Äåßêôåò äéáãíùóôéêþò ðïéüôçôáò äïêéìáóéþí
|
|
- Ἀπόλλωνιος Λυσίμαχος Μήτζου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Äåßêôåò äéáãíùóôéêþò ðïéüôçôáò äïêéìáóéþí Ïèùí ÐáíáãéùôÜêçò Äéá ùñéóìüò ôùí áóèåíþí óå ðüó ïíôåò êáé ìç ÄéáãíùóôéêÞ äïêéìáóßá åßíáé áõôþ ðïõ ðáñý åé ìßá ãñþãïñç, åýêïëç êáé ïéêïíïìéêþ Ýíäåéîç ãéá ôï áí Ýíáò áóèåíþò ðüó åé Þ ü é áðü ìßá ïñéóìýíç íüóï. Ãéá íá áîéïëïãçèåß, èá ðñýðåé íá óõãêñéèåß ìå êüðïéá Üëëç ðñüôõðç äïêéìáó ßá, Þ äïêéìáóßá áíáöïñüò (óôç âéâëéïãñáößá áíáöýñåôáé êáé ùò «gold standard») ðïõ ìðïñåß íá å ßíáé âñáäýôåñç, äõóêïëüôåñç, ïäõíçñüôåñç Þ ðéï áêñéâþ óå ó Ýóç ìå ôçí ðñïò áîéïëüãçóç äïêéìáóßá, ðáñý åé ùóôüóï ìßá ïñéóôéêþ Ýíäåéîç ôçò ýðáñîçò Þ ìç ôçò í üóïõ. Ç äïêéìáóßá áíáöïñüò ìðïñåß íá åßíáé ðáñåìâáôéêþ, üðùò åßíáé ìßá âéïøßá, íá å ßíáé ìßá áããåéïãñáößá Þ Ýíá triplex ãéá ôç äéüãíùóç ôçò êáñäéáêþò áíåðüñêåéáò, Þ áðëþò íá óçìáßíåé áíáìïíþ ãéá Ýíá ìåãüëï ñïíéêü äéüóôçìá, Ýùò üôïõ áðïäåé èåß, ðýñá í ðüóçò áìöéâïëßáò, áí õðüñ åé Þ äåí õðüñ åé íüóïò. Ãéá ôçí ôáîéíüìçóç ìßáò ïìüäáò áôüìùí óå ðüó ïíôåò êáé ìç áðü ìßá íüóï ñçóéìïðïéïýìå ìßá äéáãíùóôéêþ äïêéìáóßá (ð Ýíá åñãáóôçñéáêü ðñïóäéïñéóìü), ðïõ äßíåé ðáèïëïãéêýò ôéìýò (óõíþèùò áõîçìýíåò), óå ðåñßðôùóç ýðáñî çò ôçò íüóïõ áõôþò. Ç äéáäéêáóßá ðïõ áêïëïõèïýìå Ý åé ùò åîþò: ÊáôáãñÜöïõìå ôïí áñéèìü ôùí ðåñéðôþóåùí üðïõ ç äïêéìáóßá áõôþ óõìöùíåß, üðùò êáé ôïí áñéèìü ôùí ðåñéðôþóåùí üðïõ äåí óõìöùíåß ìå ô çí ýðáñîç Þ ìç ôçò íüóïõ, ãéá ôçí ïìüäá ôùí õðü ìåëýôç áôüìùí, óýìöùíá ìå ôá ïñ éóôéêü áðïôåëýóìáôá ðïõ Ý ïõí ðñïêýøåé áðü ìßá äïêéìáóßá áíáöïñüò óôçí ïðïßá Ý ïõí Þäç õðïâëçèåß ôá Üôïìá áõôü. Ìðïñïýìå Ýôóé íá äçìéïõñãþóïõìå Ýíá ôåôñüðôõ ï ðßíáêá, üðïõ óôïõò ïñéæüíôéïõò Üîïíåò åìöáíßæåôáé ôï áðïôýëåóìá ôçò äïêéìá óßáò (èåôéêü/áñíçôéêü) êáé óôïõò êüèåôïõò ç êáôüóôáóç ôçò õãåßáò (áóèåíåßò/õãéåßò). ÔÝóóåñéò êáôçãïñßåò äõíáôþí áðïôåëåóìüôùí ðñïêýðôïõí áðü ôï ìéêôü áõôü óýíïëï ôùí õãéþí êáé ôùí ðáó üíôùí áðü ôç óõãêåêñéìýíç íüóï (Ðßíáêáò 1): ÈåôéêÜ åðß áóèåíþí (Áëçèþò èåôéêü, ÁÈ) ÁñíçôéêÜ åðß õãéþí (Áëçèþò áñíçôéêü, ÁÁ) ÈåôéêÜ åðß õãéþí (Øåõäþò èåôéêü, ØÈ) ÁñíçôéêÜ åðß áóèåíþí (Øåõäþò áñíçôéêü, ØÁ) Áò ðüñïõìå ùò ðáñüäåéãìá ôï PSA ôï ïðïßï ñçóéìïðïéåßôáé ãéá ôçí áíß íåõóç ôïõ êáñêßíïõ ôïõ ðñïóôüôç. Áí èåùñþóïõìå üôé ï ðñïóäéïñéóìüò ôïõ PSA áðïôåëåß ôçí õðü áîéïëüãçóç äéáãíùóôéêþ äïêéìáóßá êáé ç âéïøßá ðñïóôüôç ô çí ðñüôõðç äïêéìáóßá (äïêé- 38
2 ÊëéíéêÞ Áîéïëüãçóç Åñãáóôçñéáêþí ÁðïôåëåóìÜôùí Ðßíáêáò 1. Ôá äõíáôü áðïôåëýóìáôá ìßáò äïêéìáóßáò Áóèåíåßò Õãéåßò Óýíïëï ÈåôéêÜ ÁÈ ØÈ ÁÈ+ØÈ ÁñíçôéêÜ ØÁ ÁÁ ÁÁ+ØÁ Óýíïëï ÁÈ+ØÁ ÁÁ+ØÈ ÁÈ+ØÁ+ØÈ+ÁÁ ìáóßá áíáöïñüò), ìðïñïýìå íá äçìéïõñãþóïõìå Ýíá ôåôñüðôõ ï ðßíáêá, èåùñþíôáò èåôéêü üóá áðïôåëýóìáôá PSA>4,0 ng/ml, áñíçôéêü üóá áðïôåëýóìáôá PSA< 4,0 ng/ml, áóèåíåßò üóïõò Ý ïõí èåôéêü êáé õãéåßò üóïõò Ý ïõí áñíçôé êü ôï áðïôýëåóìá ôçò âéïøßáò. Áëçèþò èåôéêü (ÁÈ) åßíáé, åðïìýíùò, ôá áðïôåëýóìáôá ðïõ ðñïêýðôïõí áðü Üôïìá ìå ôéìþ PSA>4,0 ng/ml êáé èåôéêü ôï áðïôýëåóìá ôçò âéïøßáò, áëçèþò áñ íçôéêü (ÁÁ) üóá ðñïêýðôïõí áðü Üôïìá ìå ôéìþ PSA<4,0 ng/ml êáé áñíçôéêü ôï áðïôý ëåóìá ôçò âéïøßáò, øåõäþò èåôéêü (ØÈ) üóá ðñïêýðôïõí áðü Üôïìá ìå ôéì Þ PSA>4,0 ng/ml êáé áñíçôéêü ôï áðïôýëåóìá ôçò âéïøßáò êáé øåõäþò áñíçôéêü (ØÁ) üóá ðñïêýðôïõí áðü Üôïìá ìå ôéìþ PSA<4,0 ng/ml êáé èåôéêü ôï áðïôýëåóìá ôçò âéïøßáò (Ðßíáêáò 2). Ðßíáêáò 2. Ôá äõíáôü áðïôåëýóìáôá åíüò ðñïóäéïñéóìïý PSA ÁðïôåëÝóìáôá âéïøßáò (+) (-) Óýíïëï PSA>4,0 ng/ml ÁÈ ØÈ ÁÈ+ØÈ PSA<4,0 ng/ml ØÁ ÁÁ ÁÁ+ØÁ Óýíïëï ÁÈ+ØÁ ÁÁ+ØÈ ÁÈ+ØÁ+ØÈ+ÁÁ Ìßá êáëþ äéáãíùóôéêþ äïêéìáóßá èá ðñýðåé íá åëá éóôïðïéå ß ôïí áñéèìü ôùí ØÈ êáé ØÁ áðïôåëåóìüôùí. Ùóôüóï, ç äéáãíùóôéêþ ôçò ðïéüôçôá êáèïñßæåôáé áðü ïñéóìýíïõò äåßêôåò ðïõ ðñïêýðôïõí áðü ôïí óõíäõáóìü ìåôáîý ôùí 4 áõôþí êáôçãïñéþí. Áõôïß åßíáé: ç åõáéóèçóßá, ç åéäéêüôçôá, ç áðïôåëåóìáôéêüôçôá, ç èåôéêþ êáé áñíçôéêþ äéáãíùóôéêþ Þ ðñïâëåðôéêþ áîßá êáé ï èåôéêüò êáé áñíçôéêüò ëüãïò ðéèáíïöüíåéáò. Ïé äåßêôåò ôçò äéáãíùóôéêþò ðïéüôçôáò ôùí äïêéìáóéþí èá ì åëåôçèïýí áíáëõôéêü óôç óõíý åéá, áöïý ðñïçãïõìýíùò ãßíåé áíáöïñü óôïí åðéðïë áóìü ìå ôïí ïðïßï ó åôßæïíôáé Üìåóá Þ Ýììåóá. Ç ÅÍÍÏÉÁ ÔÏÕ ÅÐÉÐÏËÁÓÌÏÕ Ï Åðéðïëáóìüò (prevalence, Ñ) ìéáò íüóïõ óå Ýíá ðëçèõóìü åêöñüæåé ôç óõ íüôçôá åìöüíéóçò ôçò íüóïõ, äçëáäþ ôï ðïóïóôü ôùí ðáó üíôùí óô ïí ðëçèõóìü áõôü óå ìéá óõãêåêñéìýíç ñïíéêþ óôéãìþ. Ï åðéðïëáóìüò åêöñüæåé å ðßóçò ôçí ðéèáíüôçôá íá Ý åé Ýíáò áóèåíþò ôç íüóï, ðñéí ôçí áîéïëüãçóç ôïõ èåôéêïý Þ áñíçôéêïý áðïôýëåóìá ìéáò äïêéìáóßáò ðïõ ó åôßæåôáé èåôéêü ìå ôç íüóï, ãíùóôþ ê áé ùò åê ôùí ðñïôýñùí (a priori Þ pre-test) ðéèáíüôçôá. 39
3 Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ ôï äåßãìá åßíáé áñêåôü ìåãüëï êáé áíôé ðñïóùðåõôéêü ôïõ õðü ìåëýôç ðëçèõóìïý, ï åðéðïëáóìüò ìðïñåß íá åêôéìçèåß áðü ô ïí ôýðï: ÁÈ+ØÁ Åðéðïëáóìüò (Ñ) = (1) ÁÈ+ÁÁ+ØÈ+ØÁ Ï åðéðïëáóìüò äåí åßíáé Ýíáò óôáèåñüò áñéèìüò, áëëü åîáñô Üôáé áðü ôç óýíèåóç ôçò ïìüäáò ôïõ ðëçèõóìïý óôïí ïðïßï õðïëïãßæåôáé. Ãéá ðáñüäåéãìá, Üëëïò åßíáé ï åðéðïëáóìüò ôïõ êáñêßíïõ óôï ãåíéêü ðëçèõóìü ìéáò þñáò ê áé Üëëïò óôï óýíïëï ôùí áóèåíþí ðïõ íïóçëåýïíôáé óå Ýíá áíôéêáñêéíéêü íïóïêïìåß ï. Ï åðéðïëáóìüò ìðïñåß åðßóçò íá ìåôáâüëëåôáé áíüëïãá ìå ôéò åðï Ýò ôïõ ñüíïõ, Þ íá äéáöýñåé óå Üôïìá äéáöïñåôéêïý öýëïõ Þ öõëþò. Ï åðéðïëáóìüò ðáßæåé Ýíáí ðïëý óçìáíôéêü ñüëï óôçí áîéïëü ãçóç ìéáò äéáãíùóôéêþò äïêéìáóßáò. Áò äïýìå Ýíá áñáêôçñéóôéêü ðáñüäåéãìá: Åóôù üôé ôáîéíïìïýìå 100 Üôïìá, ðüó ïíôá êáé ìç áðü ìßá íüóï, ó ýìöùíá ìå ôï èåôéêü Þ áñíçôéêü áðïôýëåóìá ìéáò äïêéìáóßáò ðïõ ó åôßæå ôáé èåôéêü ìå áõôþ, (á) üôáí ï åðéðïëáóìüò åßíáé 40% êáé (â) üôáí ï åðéðïëáóìüò åßíáé 10%. Êáé óôéò äýï ðåñéðôþóåéò, ìåñéêïß áðü ôïõò ðüó ïíôåò èá äþóïõí áñíçôéêü áðïôýëåóìá (ØÁ), üðùò êáé ìåñéêïß áðü ôïõò õãéåßò èåôéêü (ØÈ). Åóôù åðßóçò üôé, êáé óôé ò äýï ðåñéðôþóåéò, ïé ëüãïé ØÁ/ÁÈ åßíáé ßäéïé êáé ßóïé ìå 1/9, üðùò êáé ïé ØÈ/ÁÁ ðïõ åßíáé êáé áõôïß ßäéïé êáé ßóïé ìå 2/8. Ùóüóï: Ïôáí ï åðéðïëáóìüò åßíáé 40% (ó Þìá 1), ôá ÁÈ áðïôåëýóìáôá (36) åßíáé ðïëý ðåñéóóüôåñá áðü ôá ØÈ (12), åðïìýíùò Ýíá èåôéêü áðïôýëåóìá Ý åé ðïëý ìåãáëýôåñç ðéèáíüôçôá íá åßíáé áëçèýò êáé áõôü óçìáßíåé ðùò ç äïêéìá óßá Ý åé éêáíïðïéçôéêþ äéáãíùóôéêþ ñçóéìüôçôá Ïôáí üìùò ï åðéðïëáóìüò åßíáé 10% (ó Þìá 2), ôá ØÈ áðïôåëýóìáôá (18) åßíáé äéðëüóéá ôùí ÁÈ (9), åðïìýíùò Ýíá èåôéêü áðïôýëåóìá äåí Ý åé ôçí ðáñáìéêñþ äéáãíùóôéêþ ñçóéìüôçôá. Ôï óõìðýñáóìá ðïõ ðñïêýðôåé åßíáé ðùò, üóï áìçëüôåñïò ï åðéðïëáóìüò, ôüóï äõóêïëüôåñç ç áîéïëüãçóç ôïõ èåôéêïý áðïôåëýóìáôïò ìéáò äïêéìáóßáò. Áõôü åîçãåß ãéáôß Ýíáò ðñïóäéïñéóìüò áðïôõã Üíåé üôáí åöáñìüæåôáé ù ò ïìáäéêüò Ýëåã ïò (screening Íïóïò Õãåßá Í Õãåßá ÁÈ ÁÈ ÁÈ ÁÈ ØÈ ØÈ ØÈ ØÈ ØÈ ØÈ ÁÈ ØÈ ØÈ ØÈ ØÈ ØÈ ØÈ ØÈ ØÈ ØÈ ÁÈ ÁÈ ÁÈ ÁÈ ØÈ ØÈ ØÈ ØÈ ØÈ ØÈ ÁÈ ØÈ ØÈ ØÈ ØÈ ØÈ ØÈ ØÈ ØÈ ØÈ ØÁ ØÁ ØÁ ØÁ ÁÁ ÁÁ ÁÁ ÁÁ ÁÁ ÁÁ ØÁ ÁÁ ÁÁ ÁÁ ÁÁ ÁÁ ÁÁ ÁÁ ÁÁ ÁÁ 40 Ó Þìá 1: Åðéðïëáóìüò 40% Ó Þìá 2: Åðéðïëáóìüò 10%
4 ÊëéíéêÞ Áîéïëüãçóç Åñãáóôçñéáêþí ÁðïôåëåóìÜôùí test) óå Ýíá ðëçèõóìü êëéíéêü õãéþí áôüìùí üðïõ ï åðéðïëáóìüò åßíáé áìçëüò. ÓõíÞèùò üìùò ïé äéáãíùóôéêýò äïêéìáóßåò åöáñìüæïíôáé óå Ýíá åðéëåãìýíï ðëçèõóìü áóèåíþí, åðß ôç âüóåé ðñïçãïýìåíùí êëéíéêþí ðëçñïöïñéþí, þóôå ï åðéðïëáóìüò ôçò íüóïõ íá åßíáé õøçëüôåñïò. ÅÕÁÉÓÈÇÓÉÁ ÊÁÉ ÅÉÄÉÊÏÔÇÔÁ Èá ðñýðåé êáôáñ Þí íá ôïíéóôåß üôé åäþ áíáöåñüìáóôå óå äé áãíùóôéêþ åõáéóèçóßá êáé åéäéêüôçôá, Ýííïéåò ðïõ äåí èá ðñýðåé íá óõã Ýïíôáé ìå ôçí áíáëõôéêþ åõáéóèçóßá êáé åéäéêüôçôá ðïõ ñçóéìïðïéïýíôáé óôçí áíáëõôéêþ áîéï ëüãçóç ôùí ìåèüäùí áíüëõóçò. Ç åõáéóèçóßá (Sensitivity, Se) åêöñüæåé ôçí ðéèáíüôçôá íá åßíáé èåôéêü ôï áðïôýëåóìá ìßáò äïêéìáóßáò ðïõ ó åôßæåôáé ìå ìßá íüóï, áí ôï Üôï ìï ðüó åé áðü ôç íüóï áõôþ (äçëáäþ ôçí ðéèáíüôçôá ôùí èåôéêþí áðïôåëåóìüôùí óô ïõò ðüó ïíôåò) êáé ïñßæåôáé ùò «ôï ðïóïóôü ôùí áëçèþò èåôéêþí (ÁÈ) áðïôåëåóìüôùí óôï óýíïëï ôùí ðáó üíôùí (ÁÈ+ØA)». ÐáñáðëÞóéïò ïñéóìüò ãéá ôçí åõáéóèçóßá åßíáé «ôï ðïóïóôü ôùí ðáó üíôùí ðïõ Ý ïõí èåôéêü ôï áðïôýëåóìá ôçò äïêéìáóß áò». ÁÈ Se = (2) ÁÈ+ØÁ Ç åéäéêüôçôá (Specificity, Sp) åêöñüæåé ôçí ðéèáíüôçôá íá åßíáé áñíçôéêü ôï áðïôýëåóìá ìßáò äïêéìáóßáò ðïõ ó åôßæåôáé ìå ìßá íüóï, áí ôï Üôï ìï äåí ðüó åé áðü ôç íüóï áõôþ (äçëáäþ ôçí ðéèáíüôçôá ôùí áñíçôéêþí áðïôåëåóìüôùí óôïõò ìç ðüó ïíôåò) êáé ïñßæåôáé ùò «ôï ðïóïóôü ôùí áëçèþò áñíçôéêþí (ÁÁ) áðïôåëåóìüôùí óôï óý íïëï ôùí ìç ðáó üíôùí (ÁÁ+ØÈ)». ÐáñáðëÞóéïò ïñéóìüò ãéá ôçí åéäéêüôçôá åßíáé «ôï ðïóïóôü ôùí ìç ðáó üíôùí ðïõ Ý ïõí áñíçôéêü ôï áðïôýëåóìá ôçò äïêéìáóßáò». ÁÁ Sp = (3) ÁÁ+ØÈ Óýìöùíá ìå ôïõò ôýðïõò (2) êáé (3): á) Ìßá äïêéìáóßá Ý åé ôüóï ìåãáëýôåñç åõáéóèçóßá, üóï ëéãüôåñá ØÁ áðïôåëýóìáôá äßíåé (ìéêñáßíåé ï ðáñïíïìáóôþò ÁÈ+ØÁ) êáé ôüóï ìåãáëýôåñç åéäéêüôçôá, üóï ëéãüôåñá ØÈ áðïôåëýóìáôá äßíåé (ìéêñáßíåé ï ðáñïíïìáóôþò ÁÁ+ØÈ). Óôçí áêñáßá ðåñßðôùóç üðïõ ôá ØÁ ôåßíïõí ðñïò ôï 0 ç åõáéóèçóßá ôåßíåé ðñïò ôç ìïíüäá, åíþ ôï ßäéï óõìâáßíåé êáé ìå ôçí åéäéêüôçôá, üôáí ôá ØÈ ôåßíïõí ðñïò ôï 0. â) Ç åõáéóèçóßá êáé ç åéäéêüôçôá ìéáò äïêéìáóßáò åðçñåüæï íôáé ðåñéóóüôåñï áðü ôéò ìåôáâïëýò ôùí øåõäþí (ØÁ êáé ØÈ) áðïôåëåóìüôùí (ìåôáâïëýò ìüíï ôïõ ðáñïíïìáóôþ), ðáñü áðü ôéò ìåôáâïëýò ôùí áëçèþí (ÁÈ êáé ÁÁ) áðïôåëåóìüôùí (ìåôáâïëýò áñéèìçôþ êáé ðáñïíïìáóôþ). ÄéÜóôçìá åìðéóôïóýíçò ãéá åõáéóèçóßá êáé åéäéêüôçôá Ùò óôáôéóôéêü ìåãýèç, ç åõáéóèçóßá êáé ç åéäéêüôçôá ìéáò ä ïêéìáóßáò åìðåñéý ïõí 41
5 ìßá «óôáôéóôéêþ áâåâáéüôçôá», áðïôýëåóìá ôçò ìåôáâëçôüô çôáò ëüãù äåéãìáôïëçøßáò. Ïé ôýðïé ðïõ õðïëïãßæïõí ôï äéüóôçìá åìðéóôïóýíçò (Ä.Å.) ãé á ìéá ïñéóìýíç ôéìþ åõáéóèçóßáò (Se) êáé åéäéêüôçôáò (Sp) åßíáé: Ä.Å. = Se ± z (SE) Ä.Å. = Sp ± z (SE) üðïõ z ï óõíôåëåóôþò ðïõ áíôéóôïé åß óôï åðßðåäï óçìáíôéêüôçôáò (significance level) ðïõ åðéëýãåôáé êáé SE ôï ôõðéêü óöüëìá (Standard Error). Óôçí ðåñßðôùóç ð ôçò åõáéóèçóßáò, ôï ôõðéêü óöüëìá õðïëïãßæåôáé ùò åîþò: SE = Se(1 - Se) n ÐáñÜäåéãìá: Áí ç ôéìþ ôçò åõáéóèçóßáò ìßáò äïêéìáóßáò åßíáé Se=0,60 êáé ï áñéèìüò ôùí áôüìùí ðïõ õðïâëþèçêáí óôç äïêéìáóßá áõôþ åßíáé n=96, ôï ÄéÜóôçìá Åìðéóôïóýíçò (Ä.Å.) ãéá åðßðåäï óçìáíôéêüôçôáò 95% (z=1,96), åßíáé: Ä.Å. = Se ± z (SE) = 0,60 ± 1,96 0, 60(1-0, 60) 96 = 0,60 ± 0,098, äçëáäþ 0,60 ± 0,10 ÅðïìÝíùò ôï äéüóôçìá åìðéóôïóýíçò ãéá ôéìþ Se=0,60, êõìáßíåôáé áðü 0,50 Ýùò 0,70 Åîáñôþíôáé ç åõáéóèçóßá êáé ç åéäéêüôçôá áðü ôïí åðéðïëáó ìü; Ç åõáéóèçóßá êáé ç åéäéêüôçôá áðïôåëïýí áñáêôçñéóôéêü ì éáò äïêéìáóßáò, ùóôüóï äåí ñçóéìïðïéïýíôáé ãéá ôçí åðßëõóç äéáãíùóôéêþí ðñïâëçìüôùí, äéüôé äåí åîáñôþíôáé áðü ôïí åðéðïëáóìü. Áõôü ðñïêýðôåé êáé áðü ôï ðñïçãïýìåíï ðáñüäåéãìá ôçò ôáîéíüìçóçò ôùí 100 áôüìùí óå ðüó ïíôá êáé ìç áðü ìßá ïñéóìý íç íüóï, óôéò äýï ðåñéðôþóåéò üðïõ ï åðéðïëáóìüò (P) åßíáé äéáöïñåôéêüò. ÐñÜ ãìáôé, åöáñìüæïíôáò ôïõò ôýðïõò (2) êáé (3), ðáñáôçñïýìå üôé êáé óôéò äýï ðåñéðôþóåéò, ï é ôéìýò ôçò åõáéóèçóßáò êáé ôçò åéäéêüôçôáò åßíáé áíåîüñôçôåò ôïõ åðéðïëáóìïý: Ãéá P=0,4 ç Se=36/(36+4)=0,9 êáé ç Sp=48/(48+12)=0,8. Ãéá P=0,1 ç Se=9/(9+1)=0,9 êáé ç Sp=72/(72+18)=0,8 Ùóôüóï, ðáñüôé ç åõáéóèçóßá êáé ç åéäéêüôçôá äåí åîáñôþíô áé áðü ôïí åðéðïëáóìü, åîáñôþíôáé áðü ôç óýíèåóç ôçò ïìüäáò ôùí ðáó üíôùí, üðùò ê áé ôùí õãéþí óôïõò ïðïßïõò åöáñìüæåôáé ç äïêéìáóßá. Ç åõáéóèçóßá ìéáò äïêéìá óßáò ìðïñåß íá áõîçèåß óçìáíôéêü áí ïé áóèåíåßò ðïõ áðïôåëïýí ôçí ïìüäá ôùí ðáó üíôùí âñßóêïíôáé óå ðñï ùñçìýíï óôüäéï ôçò íüóïõ. Ôï ßäéï óõìâáßíåé êáé ìå ôçí åéäéêüôçôá, ç ïðïßá ìðïñåß åðßóçò íá áõîçèåß, áí ç ïìüäá ôùí õãéþí áðïôåëåßôáé áðü Üôïìá ðïõ åßíáé ó åäüí âýâáéï ðùò äåí ðüó ïõí. áñáêôçñéóôéêü ðáñüäåéãìá áðïôåëåß ç ðåñßðôùóç ôïõ PSA. Ç åõáéóèçóßá êáé ç åéäéêüôçôá ôïõ PSA åßíáé ðïëý õøçëþ áí ç ïìüäá ôùí ðáó üíôùí áðïôåëåßôáé áðü çëéêéùìýíïõò óõìðôùìáôéêïýò áóèåíåßò (ð Üôïìá ìå áõîçìý íç ôéìþ üîéíçò öùóöáôüóçò óôá ïðïßá øçëáöåßôáé ïãêßäéï) êáé ç ïìüäá ôùí õãéþí, áð ü íýïõò, áóõìðôùìáôéêïýò Üíäñåò (ð áðü íåáñïýò öïéôçôýò). Áí, ùóôüóï, ùñßò íá áëëüîåé ï åðéðïëáóìüò, 42
6 ÊëéíéêÞ Áîéïëüãçóç Åñãáóôçñéáêþí ÁðïôåëåóìÜôùí äçëáäþ ôï ðïóïóôü ôùí ðáó üíôùí óôïí åîåôáæüìåíï ðëçèõóìü, áëëüîåé ç óýíèåóç ôçò ïìüäáò ôùí ðáó üíôùí, üðùò åðßóçò êáé ôùí õãéþí, ç åõáéó èçóßá êáé ç åéäéêüôçôá ìåôáâüëëïíôáé óçìáíôéêü. Áõôü ìðïñåß íá óõìâåß áí ç ïìüäá ôùí ðñïóâåâëçìýíùí áðü ôç íüóï áðïôåëåßôáé áðü Üôïìá óôï áñ éêü óôüäéï, üðïõ ä åí øçëáöåßôáé ïãêßäéï, åíþ ç ïìüäá ôùí õãéþí áðü çëéêéùìýíá Üôïìá ìå êáëïþèç õðåñôñïößá ôïõ ðñïóôüôç. Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ èá Ý ïõìå áýîçóç ôùí ØÁ êáé ôùí ØÈ áðïôåëåóìüôùí, Üñá ìåßùóç ôçò åõáéóèçóßáò êáé ôçò åéäéêüôçôáò. Åôóé, ìðïñåß êáíåßò íá èå ùñþóåé, ëáíèáóìýíá, ðùò ç åõáéóèçóßá êáé ç åéäéêüôçôá åîáñôþíôáé áðü ôï í åðéðïëáóìü, åíþ óôçí ðñáãìáôéêüôçôá åîáñôþíôáé áðü ôï óôüäéï ôçò íüóïõ óôï ïðï ßï âñßóêåôáé ï õðü ìåëýôç ðëçèõóìüò, üðùò êáé áðü ôï åßäïò êáé ôçí Ýêôáóç ôùí ó õìðôùìüôùí ðïõ åìöáíßæåé. Ôï ðáñüäåéãìá áíáäåéêíýåé ôá ìåèïäïëïãéêü ðñïâëþìáôá ðïõ ìðïñåß êáíåßò íá áíôéìåôùðßóåé üôáí ñçóéìïðïéåß äåäïìýíá áðü ìßá ïñéóìý íç ïìüäá áóèåíþí óå ìßá Üëëç, äéáöïñåôéêþ áðü áõôþ ðïõ ñçóéìïðïéþèçêå êáôü ôçí á ñ éêþ ìåëýôç, Þ üôáí óõíäõüæåé äåäïìýíá áðü ìåëýôåò ðïõ Ý ïõí ðñïêýøåé áðü äéá öïñåôéêýò ïìüäåò áóèåíþí. ÁÐÏÔÅËÅÓÌÁÔÉÊÏÔÇÔÁ Ç áðïôåëåóìáôéêüôçôá Þ éêáíüôçôá (efficiency) ìéáò äïêéìáóßáò åêöñüæåé ôï ðïóïóôü ôùí áóèåíþí ðïõ Ý ïõí ïñèþò ôáîéíïìçèåß, ìå âüóç ôï å ñãáóôçñéáêü áðïôýëåóìá, ùò ðüó ïíôåò Þ ìç áðü ôç íüóï ðïõ äéåñåõíüôáé êáé ïñßæå ôáé ùò «ôï ðïóïóôü ôùí áëçèþí áðïôåëåóìüôùí (èåôéêþí êáé áñíçôéêþí) óôï óýíï ëï ôùí áðïôåëåóìüôùí». ÁÈ+ÁÁ Áðïôåëåóìáôéêüôçôá = (4) ÁÈ+ÁÁ+ØÈ+ØÁ ÅðïìÝíùò, ìå äåäïìýíç ôçí áðïôåëåóìáôéêüôçôá ìéáò ìåèüäï õ, üôáí áõîüíåé ç åõáéóèçóßá, äçë. üôáí åëáôôþíïíôáé ôá ØÁ áðïôåëýóìáôá, åëáôôþíåôáé ç åéäéêüôçôá, äçë. áõîüíïíôáé ôá ØÈ êáé áíôéóôñüöùò. Ç áðïôåëåóìáôéêüôçôá åîáñôüôáé áðü ôïí åðéðïëáóìü. Áõôü ðñïêýðôåé êáé áðü ôï ðñïçãïýìåíï ðáñüäåéãìá ôçò ôáîéíüìçóçò ôùí 100 áôüìùí óå ðü ó ïíôá êáé ìç áðü ìßá ïñéóìýíç íüóï, óôéò äýï ðåñéðôþóåéò üðïõ ï åðéðïëáóìü ò (P) åßíáé äéáöïñåôéêüò. ÐñÜãìáôé, åöáñìüæïíôáò ôïí ôýðï (4): Ãéá P=0,4 ç áðïôåëåóìáôéêüôçôá éóïýôáé ìå (36+48)/100=0,84. Ãéá P=0,1 ç áðïôåëåóìáôéêüôçôá éóïýôáé ìå (9+72)/100=0,81 Ç äéáöïñü ìðïñåß íá ìçí åßíáé ìåãüëç, áðïäåéêíýåé ùóôüóï ô çí åîüñôçóç ôçò áðïôåëåóìáôéêüôçôáò áðü ôïí åðéðïëáóìü. Áí ï åðéðïëáóìüò åßíáé ðïëý õøçëüò, ç áðïôåëåóìáôéêüôçôá ìðïñåß íá åìöáíéóôåß ùò õøçëþ áêüìá êáé áí ç åõáéóèçóßá êá é ç åéäéêüôçôá åßíáé áìçëýò. ÄÉÁÃÍÙÓÔÉÊÅÓ Ç ÐÑÏÂËÅÐÔÉÊÅÓ ÁÎÉÅÓ Óôçí êëéíéêþ äéáãíùóôéêþ, áõôü ðïõ êõñßùò ìáò åíäéáöýñåé åßíáé ç ðéèáíüôçôá ðïõ Ý åé Ýíá Üôïìï íá ðüó åé áðü ìßá íüóï, áí ôï áðïôýëåóìá ôçò äïêéìáóßáò ðïõ ó åôß- 43
7 æåôáé ìå áõôþ åßíáé èåôéêü, üðùò êáé ç ðéèáíüôçôá íá ìçí ðüó åé, áí ôï áðïôýëåóìá åßíáé áñíçôéêü. ÐñÜãìáôé, ïé óõíçèýóôåñåò åñùôþóåéò ðïõ õ ðïâüëëïõí ïé áóèåíåßò ðñïêåéìýíïõ íá ìüèïõí ôé ðéèáíüôçôá Ý ïõí íá ðüó ïõí Þ ü é áðü ìßá íüóï, åßíáé ïé åîþò: (á) ôé ðéèáíüôçôá Ý ïõí íá ðüó ïõí áðü ôç íüóï, áí ôï áðïôýëå óìá åßíáé èåôéêü; (â) ôé ðéèáíüôçôá Ý ïõí íá ìçí ðüó ïõí, áí ôï áðïôýëåóìá åßí áé áñíçôéêü; (ã) ôé ðéèáíüôçôá Ý ïõí íá ðüó ïõí, áí ôï áðïôýëåóìá åßíáé á ñíçôéêü; Ôçí áðüíôçóç óôçí ðñþôç åñþôçóç äßíåé ç èåôéêþ äéáãíùóôéêþ Þ ðñïâëåðôéêþ áîßá ôçò äïêéìáóßáò (ÈÄÁ), ôçí áðüíôçóç óôç äåýôåñç, ç áñíçôéêþ äéáãíùóôéêþ Þ ðñïâëåðôéêþ áîßá (ÁÄÁ) êáé ôçí áðüíôçóç óôçí ôñßôç, ç óõìðëçñùìáô éêþ ôçò ÁÄÁ (1-ÁÄÁ). Ç èåôéêþ äéáãíùóôéêþ Þ ðñïâëåðôéêþ áîßá (ÈÄÁ) (positive predictive value, PV + ) åêöñüæåé ôçí ðéèáíüôçôá íá õðüñ åé íüóïò ìåôáîý ôùí áôüìù í ðïõ Ý ïõí èåôéêü ôï áðïôýëåóìá ôçò äïêéìáóßáò êáé ïñßæåôáé ùò «ôï ðïóïóôü ôùí áëçèþò èåôéêþí (ÁÈ) óôï óýíïëï ôùí èåôéêþí áðïôåëåóìüôùí (ÁÈ+ØÈ)». ÐáñáðëÞóéïé ïñéóìïß ãéá ôç ÈÄÁ åßíáé «ôï ðïóïóôü ôùí áôüìùí ìå èåôéêü áðïôýëåóìá ðïõ Ý ïõí ðñü ãìáôé ôç íüóï» êáé «ôï ðïóïóôü ôùí èåôéêþí áðïôåëåóìüôùí ðïõ åßíáé ïñèü». 44 ÁÈ ÈÄÁ = (5) ÁÈ+ØÈ Ç áñíçôéêþ äéáãíùóôéêþ Þ ðñïâëåðôéêþ áîßá (ÁÄÁ) (negative predictive value, PV - ) åêöñüæåé ôçí ðéèáíüôçôá íá ìçí õðüñ åé íüóïò ìåôáîý ôùí áôüìùí ðïõ Ý ïõí áñíçôéêü ôï áðïôýëåóìá ôçò äïêéìáóßáò êáé ïñßæåôáé ùò «ôï ðïóïóôü ôùí áëçèþò áñíçôéêþí (ÁÁ) óôï óýíïëï ôùí áñíçôéêþí áðïôåëåóìüôùí (ÁÁ+ØÁ)». ÐáñáðëÞóéïé ïñéóìïß ãéá ôçí ÁÄÁ åßíáé «ôï ðïóïóôü ôùí áôüìùí ìå áñíçôéêü áðïôýëåóìá ðïõ äåí Ý ïõí ôç íüóï» êáé «ôï ðïóïóôü ôùí áñíçôéêþí áðïôåëåóìüôùí ðïõ åßíáé ïñèü». ÁÁ ÁÄÁ = (6) ÁÁ+ØÁ Ãíùñßæïíôáò ôçí ÁÄÁ, ìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå ôçí ðéèáíüôçôá íá õðüñ åé íüóïò, áêüìá êáé ìå áñíçôéêü ôï áðïôýëåóìá ôçò äïêéìáóßáò, áðü ôç ó Ýóç 1 - ÁÄÁ: ØÁ 1 - ÁÄÁ = (7) ÁÁ+ØÁ Óýìöùíá ìå ôïõò ôýðïõò (5) êáé (6): Ç ÈÄÁ áõîüíåôáé üóï åëáôôþíïíôáé ôá ØÈ áðïôåëýóìáôá, üóï áõîüíåôáé äçëáäþ ç åéäéêüôçôá, åíþ ç ÁÄÁ áõîüíåôáé üóï åëáôôþíïíôáé ôá ØÁ áðïôåëýóìáôá, üóï áõîüíåôáé äçëáäþ ç åõáéóèçóßá. Áõôü ðïõ êáèïñßæåé åðïìýíùò ôç ÈÄÁ åßíáé ç åéäéêüôçôá, åíþ ôçí ÁÄÁ, ç åõáéóèçóßá. Óôçí áêñáßá ðåñßðôùóç, üðïõ ôá ØÈ ôåßíïõí ðñïò ôï ìçäýí, üôáí äçëáäþ ç åéäéêüôçôá ôåßíåé ðñïò ôç ìïíüäá, ç ÈÄÁ ôåßíåé êáé áõôþ ðñïò ôç ìïíüäá, åíþ üôáí ôá ØÁ ôåßíïõí ðñïò ôï ìçäýí, üôáí äçëáäþ ç åõáéóèçóßá ôåßíåé ðñïò ôç ìïíüäá, ç ÁÄÁ ôåßíåé êáé áõôþ ðñïò ôç ìïíüäá.
8 ÊëéíéêÞ Áîéïëüãçóç Åñãáóôçñéáêþí ÁðïôåëåóìÜôùí Ïðùò Þäç áíáöýñèçêå, ï åðéðïëáóìüò åêöñüæåé ôçí ðéèáíüôçô á íá Ý åé Ýíá Üôïìï ìßá íüóï ðñéí ôçí áîéïëüãçóç ôïõ èåôéêïý Þ áñíçôéêï ý áðïôåëýóìáôïò ìéáò äïêéìáóßáò ðïõ ó åôßæåôáé èåôéêü ìå áõôþ. ÌåôÜ ôçí áîéïëüãçóç, ç åê ôùí õóôýñùí (a posteriori Þ post-test) ðéèáíüôçôá íá Ý åé ï áóèåíþò ôç íüóï åßíáé ç èåôéêþ äéáãíùóôéêþ áîßá ôïõ ðñïóäéïñéóìïý. Áí ç åîýôáóç åßíáé, áðü äéáãíùóôéêþò ðëåõñüò, ñþóéìç, ç èåôéêþ äéáãíùóôéêþ áîßá èá åßíáé ìåãáëýôåñç áð ü ôïí åðéðïëáóìü ôçò íüóïõ. Ïé äéáãíùóôéêýò áîßåò åîáñôþíôáé áðü ôïí åðéðïëáóìü. Ìðïñïýìå êáé ðüëé íá ñçóéìïðïéþóïõìå ôï ðñïçãïýìåíï ðáñüäåéãìá ôçò ôáîéíüì çóçò ôùí 100 áôüìùí óå ðüó ïíôá êáé ìç áðü ìßá ïñéóìýíç íüóï, óôéò äýï ðåñéðôþóåé ò üðïõ ï åðéðïëáóìüò (P) åßíáé äéáöïñåôéêüò. ÐñÜãìáôé, åöáñìüæïíôáò ôïõò ôýðïõò (5), (6) êáé (7), Ý ïõìå: Ãéá P=0,4 ç ÈÄÁ=36/(36+12)=0,75, ç ÁÄÁ=48/(48+4)=0,92 êáé ç 1-ÁÄÁ=4/ (48+4)=0,08 Ãéá P=0,1 ç ÈÄÁ=9/(9+18)=0,33, ç ÁÄÁ=72/(72+1)=0,99 êáé ç 1-ÁÄÁ=1/(72+1)=0,01 Ç ó Ýóç äéáãíùóôéêþí áîéþí êáé åðéðïëáóìïý áðïôåëåß ôï êå íôñéêü ðåñéå üìåíï ôïõ èåùñþìáôïò ôïõ Bayes ôï ïðïßï èá ðåñéãñáöåß óôç óõíý åéá. Èåþñçìá ôïõ Bayes Ôï èåþñçìá ôïõ Thomas Bayes, ïñßæåé üôé ç ðéèáíüôçôá ýðáñîçò ìßáò íüóïõ óå Ýíá Üôïìï åîáñôüôáé áðü ôçí åõáéóèçóßá, ôçí åéäéêüôçôá êá é ôïí åðéðïëáóìü (Ñ) ôçò íüóïõ óôïí ðëçèõóìü ðïõ åîåôüæåôáé. Ïìùò ç ðéèáíüôçôá áõô Þ åêöñüæåôáé áðü ôéò äéáãíùóôéêýò áîßåò (ÈÄÁ êáé ÁÄÁ) ïé ïðïßåò ìðïñïýí, íá õðïëïãéóôïýí êáé áðü ôïõò ôýðïõò (8) êáé (9) ðïõ ðñïêýðôïõí áðü ôï èåþñçìá ôïõ Bayes: (Åðéðïëáóìüò)(Åõáéóèçóßá) P ^ Se ÈÄÁ = = (8) (Åðéðïëáóìüò)(Åõáéóèçóßá) + (1 - Åðéðïëáóìüò)(1 - Åéäéêüôçôá) P ^ Se + (1 - P) ^ (1 - Sp) (1 - Åðéðïëáóìüò)(Åéäéêüôçôá) (1 - P) ^ Sp ÁÄÁ = = (9) (1 - Åðéðïëáóìüò)(Åéäéêüôçôá) + (Åðéðïëáóìüò)(1 - Åõáéóèçóßá) (1 - P) ^ Sp + P ^ (1 - Se) ÐáñÜäåéãìá 1 Ï åðéðïëáóìüò ìéáò íüóïõ óôï ãåíéêü ðëçèõóìü ìéáò þñáò å ßíáé 1%. Íá õðïëïãéóôïýí ïé äéáãíùóôéêýò áîßåò, áí ç åõáéóèçóßá êáé ç åéäéêüô çôá åßíáé 95%. Åöáñìüæïíôáò ôïõò ôýðïõò (8) êáé (9), Ý ïõìå: P ^ Se 0.01 ^ 0,95 ÈÄÁ = = = 0,161 = 16,1% P ^ Se + (1 - P) ^ (1 - Sp) 0,01 ^ 0,95 + (1 0,01) ^ (1 0,95) (1 - P) ^ Sp (1-0,01) ^ 0,95 ÁÄÁ = = = 0,9994 = 99,94% P ^ (1 - Se) + (1 - P) ^ Sp 0,01 ^ (1 0,95) + (1 0.01) ^ 0,95 Óôïí Ðßíáêá 3 ðåñéëáìâüíïíôáé ïé ôéìýò ôùí äéáãíùóôéêþí á îéþí ãéá ôéìýò åðéðïëáóìïý ðïõ êáëýðôïõí üëï ôï äõíáôü åýñïò. 45
9 Ðßíáêáò 3. Ïé äéáãíùóôéêýò áîßåò óõíáñôþóåé ôïõ åðéðïëáóìïý (Ñ) ãéá Se=Sp=0,95 Ñ (%) ÈÄÁ (%) ÁÄÁ(%) 0,1 1,9 99, ,1 99,9 2 27,9 99,9 5 50,0 99, ,9 99, ,0 99, ,6 98, ,4 98, ,0 95, ,3 83, ,4 67, ,0 0 Áðü ôéò ôéìýò ôïõ Ðßíáêá 3 ðñïêýðôåé üôé ç èåôéêþ äéáãíùóôéêþ áîßá (ÈÄÁ) áõîüíåôáé üóï áõîüíåôáé ï åðéðïëáóìüò. Ç ðñáêôéêþ óçìáóßá áõôþò ôçò äéáðßóôùóçò ìðïñåß íá öáíåß óôï áêüëïõèï ðáñüäåéãìá: Áí ìßá äïêéìáóßá ìå 95% åéäéêüôçôá êáé åõáéóèçóßá åöáñìïóèåß óôï ãåíéêü ðëçèõóìü ìéáò êëéíéêþò, üðïõ ï åðéð ïëáóìüò ôçò çðáôïðüèåéáò åßíáé 1%, ç ÈÄÁ, äçëáäþ ç ðéèáíüôçôá Ýíáò áóèåíþò ìå èåôéêü áðïôýëåóìá íá Ý åé ôç íüóï, èá åßíáé ìüëéò 16,1%. Áí üìùò, ìåôáîý ôùí áóèåíþí ôçò êëéíéêþò åðéëýîïõìå üóïõò Ý ïõí ðáñáäå ôåß ðùò ðßíïõí ðïëý, ç ÈÄÁ, ó áõôü ôïí åðéëåãìýíï ðëçèõóìü ôùí áëêïïëéêþí üðïõ ï åðéðïëáóìüò ôçò çðáôïðüèåéáò åßíáé 25%, öèüíåé ôï 86,4%. Äïêéìáóßåò ìå ÈÄÁ<80% èåùñïýíôáé óõíþèùò äéáãíùóôéêü áóýìöïñåò. ÅðïìÝíùò óôï ðñïçãïýìåíï ðáñüäåéãìá, üðïõ ç åõáéóèçóßá êáé ç åéäéêüôçôá åßíáé 95%, ç äïêéìáóßá åßíáé äéáãíùóôéêü ñþóéìç ìüíï óå ðëçèõóìü üðïõ ï åðé ðïëáóìüò ðñïóåããßæåé ôï 20%. Ïé äéáãíùóôéêýò áîßåò (ÈÄÁ êáé ÁÄÁ), ùò åîáñôþìåíåò áðü ôïí åðéðïëáóìü ôçò íüóïõ óôïí åîåôáæüìåíï ðëçèõóìü, äåí áðïôåëïýí åããåíþ áñ áêôçñéóôéêü ìéáò äïêéìáóßáò, üðùò óõìâáßíåé ìå ôçí åõáéóèçóßá êáé ôçí åéäéêüôç ôá, áðïôåëïýí ùóôüóï ôï âáóéêü êñéôþñéï äéáãíùóôéêþò ðïéüôçôáò. ÐáñÜäåéãìá 2 Ãéá ôçí áîéïëüãçóç åíüò test åãêõìïóýíçò, åîåôüóôçêáí ïýñá áðü 670 ãõíáßêåò ðïõ åß áí êáèõóôýñçóç óôçí ðåñßïäü ôïõò êáôü 6 åâäïìüäåò ê áé ôá áðïôåëýóìáôá Þôáí ôá åîþò: ÂñÝèçêáí 540 äåßãìáôá èåôéêü, áðü ôá ïðïßá ôá 530 áí Þêáí óå ãõíáßêåò ðïõ áðïäåß ôçêå óôç óõíý åéá üôé Þôáí Ýãêõåò êáé 130 äåßãìáô á áñíçôéêü, áðü ôá ïðïßá ôá 62 áíþêáí óå ãõíáßêåò ðïõ åðßóçò áðïäåß ôçêå óôç óõ íý åéá üôé Þôáí Ýãêõåò. Íá õðïëïãéóôïýí: 1) Ï åðéðïëáóìüò ôçò åãêõìïóýíçò óôï óõãêåêñéìýíï ðëçèõóì ü ôùí ãõíáéêþí. 2) Ç åõáéóèçóßá êáé ç åéäéêüôçôá ôïõ test åãêõìïóýíçò. 46
10 ÊëéíéêÞ Áîéïëüãçóç Åñãáóôçñéáêþí ÁðïôåëåóìÜôùí 3) Ôé ðéèáíüôçôá åß å ìéá ãõíáßêá íá åßíáé Þ íá ìçí åßíáé Ýãêõïò ðñéí êáé ìåôü ôç äéåîáãùãþ ôïõ test (á) áí ôï test åßíáé èåôéêü êáé (â) áí ôï test åßíáé á ñíçôéêü; Êáôáñôßæïõìå ôï ãíùóôü ôåôñüðôõ ï ðßíáêá ìå ôç âïþèåéá ôïõ ïðïßïõ ìðïñïýí íá õðïëïãéóôïýí ïé äéáãíùóôéêïß äåßêôåò (Ðßíáêáò 4): Ðßíáêáò 4. ÁðïôåëÝóìáôá åíüò test åãêõìïóýíçò Åãêõåò Ìç Ýãêõåò Óýíïëï Test èåôéêü 530 (ÁÈ) 10 (ØÈ) 540 ÈÄÁ: 530/540=0,98 Test áñíçôéêü 62 (ØÁ) 68 (ÁÁ) 130 ÁÄÁ: 68/130=0,52 Óýíïëï Se:530/592=0,90 Sp:68/78=0,87 1) Ï åðéðïëáóìüò (Ñ) ôçò åãêõìïóýíçò ó áõôü ôïí ðëçèõóìü ôù í ãõíáéêþí êáé åöüóïí ôï äåßãìá åßíáé áíôéðñïóùðåõôéêü, éóïýôáé ìå: (530+62)/670 = 0,88 2) Åõáéóèçóßá = 530/592=0,90 êáé åéäéêüôçôá = 68/78=0,87 3) Ãéá íá áðáíôçèåß ôï ôñßôï åñþôçìá, áñêåß íá õðïëïãéóôïýí ïé äéáãíùóôéêýò áîßåò. Ðñéí ôç äéåîáãùãþ ôïõ test, ìéá ãõíáßêá ôïõ ðëçèõóìïý áõôïý åß å 88% ðéèáíüôçôá íá åßíáé Ýãêõïò (åðéðïëáóìüò Ñ = 0,88) êáé 12% íá ìçí åßíáé Ýãêõïò. ÌåôÜ ôç äéåîáãùãþ ôïõ test: (á) ÈÄÁ: 530/540=0,98. Áõôü óçìáßíåé ðùò, áí ôï test åßíáé èåôéêü, ç ðéèáíüôçôá åãêõìïóýíçò áõîüíåôáé áðü ôï 88% óôï 98%. (â) ÁÄÁ: 68/130=0,52. Áõôü óçìáßíåé ðùò, áí ôï test åßíáé áñíçôéêü, ç ðéèáíüôçôá ìç ýðáñîçò åãêõìïóýíçò áõîüíåôáé áðü ôï 12% óôï 53%. ËÏÃÏÉ ÐÉÈÁÍÏÖÁÍÅÉÁÓ Ïé ëüãïé ðéèáíïöüíåéáò åíóùìáôþíïõí åõáéóèçóßá êáé åéäéêüôçôá êáé åðéôñýðïõí íá åêôéìçèåß êáôü ðüóïí ç ãíþóç ôïõ èåôéêïý Þ áñíçôéêïý áðïô åëýóìáôïò ìßáò äïêéìáóßáò ðïõ ó åôßæåôáé èåôéêü ìå ìßá íüóï, ìðïñåß íá áëëüîåé ô çí ðéèáíüôçôá ýðáñîçò ôçò íüóïõ áõôþò. Ï èåôéêüò ëüãïò ðéèáíïöüíåéáò L (Positive Likelihood Ratio, LR + ) åêöñüæåé ôçí ðéèáíüôçôá íá åßíáé èåôéêü ôï áðïôýëåóìá ìßáò äïêéìáóßáò óå Ýíá Üôïìï, áí áõôü ðüó åé áðü ôç íüóï ðïõ äéåñåõíüôáé, ðñïò ôçí ðéèáíüôçôá íá åßíáé èåôéêü áí äåí ðüó åé êáé ïñßæåôáé ùò «ï ëüãïò ôïõ ðïóïóôïý ôùí áëçèþò èåôéêþí ðñïò ôï ðïóïóôü ôùí øåõäþò èåôéêþí áðïôåëåóìüôùí». ÁëëÜ ôï ðïóïóôü ôùí áëçèþò èåôéêþí áðïôåëåóìüôùí [ÁÈ/(ÁÈ+ØÁ)] åßíáé ç åõáéóèçóßá, åíþ ôï ðïóïóôü ôùí øåõäþò èåôéêþí [ØÈ/(ØÈ+AA)] ç 1 åéäéêüôçôá. ÐñÜãìáôé, 1 - Sp = 1 (ÁÁ/ØÈ+ÁÁ) = ØÈ/ (ØÈ+ÁÁ). Ï èåôéêüò ëüãïò ðéèáíïöüíåéáò åêöñüæåé, åðïìýíùò, ôï ëüãï ôçò åõáéóèçóßáò (Se) ðñïò ôç óõìðëçñùìáôéêþ ôéìþ ôçò åéäéêüôçôáò (1 - Sp): Se L = (10) 1 - Sp 47
11 Ï áñíçôéêüò ëüãïò ðéèáíïöüíåéáò ë (Negative Likelihood Ratio, LR - ) åêöñüæåé ôçí ðéèáíüôçôá íá åßíáé áñíçôéêü ôï áðïôýëåóìá ìßáò äïêéì áóßáò óå Ýíá Üôïìï, áí áõôü ðüó åé áðü ôç íüóï ðïõ äéåñåõíüôáé, ðñïò ôçí ðéèáíüôç ôá íá åßíáé áñíçôéêü áí äåí ðüó åé êáé ïñßæåôáé ùò «ï ëüãïò ôïõ ðïóïóôïý ôùí øåõäþò áñíçôéêþí ðñïò ôï ðïóïóôü ôùí áëçèþò áñíçôéêþí áðïôåëåóìüôùí». ÁëëÜ ôï ðïóïóôü ôùí øåõäþò áñíçôéêþí áðïôåëåóìüôùí [ØÁ/(ÁÈ+ØÁ)] åßíáé ç 1 - åõáéóèçóßá åíþ ôï ðïóïóôü ôùí áëçèþò áñíçôéêþí [ÁÁ/(ÁÁ+ØÈ)] ç åéäéêüôçôá. ÐñÜãìáôé, 1 Se = 1 (ÁÈ/ÁÈ+ØÁ) = ØÁ/ÁÈ+ØÁ. Ï áñíçôéêüò ëüãïò ðéèáíïöüíåéáò åêöñüæåé, åðïìýíùò, ôï ëüãï ôçò óõìðëçñùìáôéêþò ôéìþò ôçò åõáéóèçóßáò (1 - Se) ðñïò ôçí åéäéê üôçôá (Sp): 1 - Se ë = (11) Sp Ïðùò ç åõáéóèçóßá êáé ç åéäéêüôçôá, Ýôóé êáé ïé ëüãïé ðéèáí ïöüíåéáò äåí åîáñôþíôáé áðü ôïí åðéðïëáóìü. Ï åðéðïëáóìüò õðåéóýñ åôáé óôïõò õðïëïãéóìïýò ìüíïí üôáí ïé ëüãïé ðéèáíïöüíåéáò ñçóéìïðïéïýíôáé ãéá ôïí õðï ëïãéóìü ôçò åê ôùí õóôýñùí ðéèáíüôçôáò ýðáñîçò ôçò íüóïõ. Ó Ýóç ôùí ëüãùí ðéèáíïöüíåéáò ìå ôçí åõáéóèçóßá êáé ôçí å éäéêüôçôá Óýìöùíá ìå ôïí ïñéóìü ôïõò ïé ëüãïé ðéèáíïöüíåéáò åßíáé ó õíáñôþóåéò ôçò åõáéóèçóßáò êáé ôçò åéäéêüôçôáò. Ïôáí áõîüíåôáé åßôå ç åõáéóè çóßá, åßôå ç åéäéêüôçôá, ï èåôéêüò ëüãïò ðéèáíïöüíåéáò (L) áõîüíåôáé, åíþ ï áñíçôéêüò (ë) ìåéþíåôáé. Ïìùò ôï ìýãåèïò áõôþí ôùí ìåôáâïëþí äéáöýñåé óçìáíôéêü: Áí õðïëïãßóïõìå, óýìöùíá ìå ôïõò ôýðïõò (10) êáé (11), ôïõò ëüãïõò ðéèáíïöüíåéáò ôñéþí äïêéìáóéþí ðïõ Ý ïõí ôçí ßäéá åõáéóèçóßá (0,90) ê áé áõîáíüìåíåò åéäéêüôçôåò (0,80, 0,90 êáé 0,98), èá äéáðéóôþóïõìå ðùò ï èåôéêüò ëüãïò ðéèáíï öüíåéáò (L) åßíáé ðïëý åõáßóèçôïò óôçí áýîçóç ôçò åéäéêüôçôáò, åíþ ï á ñíçôéêüò (ë) åðçñåüæåôáé åëü éóôá. Áíôßèåôá, áí õðïëïãßóïõìå ôïõò ëüãïõò ðéèáíïöüíåéáò ôñéþí äïêéìáóéþí ðïõ Ý ïõí ôçí ßäéá åéäéêüôçôá (0,90) êáé áõîáíüìåíåò åõáéóèçó ßåò (0,60, 0,80 êáé 0,95), èá äéáðéóôþóïõìå ðùò ï áñíçôéêüò ëüãïò ðéèáíïöüíåéáò (ë) å ßíáé áõôüò ðïõ åðçñåüæåôáé óçìáíôéêü áðü ôçí áýîçóç ôçò åõáéóèçóßáò, åíþ ï èåôé êüò (L) åðçñåüæåôáé åëü éóôá (ðßíáêáò 5). Ðßíáêáò 5. ÌåôáâïëÝò ôùí ëüãùí ðéèáíïöüíåéáò óõíáñôþóåé ôçò Se êáé ôçò Sp Éäéá åõáéóèçóßá (Se) Éäéá åéäéêüôçôá (Sp) Se Sp L ë Se Sp L ë Äïêéìáóßá 1 0,90 0,80 4,50 0,125 Äïêéìáóßá 1 0,60 0,90 6,00 0,444 Äïêéìáóßá 2 0,90 0,90 9,00 0,111 Äïêéìáóßá 2 0,80 0,90 8,00 0,222 Äïêéìáóßá 3 0,90 0,98 45,0 0,102 Äïêéìáóßá 3 0,95 0,90 9,50 0,055 Ç áêñéâþò ó Ýóç ðïõ óõíäýåé ôïõò ëüãïõò ðéèáíïöüíåéáò ìå ôçí åõáéóèçóßá êáé ôçí åéäéêüôçôá, ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß ùò åîþò: 48
12 ÊëéíéêÞ Áîéïëüãçóç Åñãáóôçñéáêþí ÁðïôåëåóìÜôùí 1) Áðü ôïõò ôýðïõò (10) êáé (11) ðñïêýðôåé ðùò áí ç åéäéêüôçôá (Sp) ðáñáìåßíåé óôáèåñþ, ïé åîéóþóåéò ðáßñíïõí ôç ìïñöþ y=áx êáé y=á(1-x), äçëáäþ ï é ëüãïé ðéèáíïöüíåéáò åßíáé ãñáììéêýò óõíáñôþóåéò ôçò åõáéóèçóßáò (ó Þ ìá 3). Ïóï áõîüíåôáé åðïìýíùò ç åõáéóèçóßá, ôüóï áõîüíåôáé áíáëïãéêü ï èåôéêüò ëüãï ò ðéèáíïöüíåéáò (L) êáé ôüóï åëáôôþíåôáé áíáëïãéêü ï áñíçôéêüò (ë). Ãéá ôéìþ åõáéóèçóßáò Se=1-Sp, L=ë=1. Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ç äïêéìáóßá äåí Ý åé êáìßá äéáãíùóôéêþ áîßá. Ãéá ðáñüäåéãìá, áí ç åéäéêüôçôá åßíáé 0,90 êáé ç åõáéóèçóßá 1-0,90=0,10, ïé ëüãïé ðéèáíïö Üíåéáò åßíáé L=0,10/(1-0,90)=1 êáé ë=(1-0,10)/0,90=1 (ó Þìá 3). 2) Áðü ôïõò ôýðïõò (10) êáé (11) ðñïêýðôåé åðßóçò ðùò áí ç åõáéóèçóßá (Se) ðáñáìåßíåé óôáèåñþ, ïé åîéóþóåéò ðáßñíïõí ôç ìïñöþ y=á/(1-x) êá é y=á/x, äçëáäþ ïé ëüãïé ðéèáíïöüíåéáò åßíáé óõíáñôþóåéò õðåñâïëþò ôçò åéäéêüôçôáò (ó Þìá 4). Ãéá ôéìþ åéäéêüôçôáò Sp=1-Se, ïé äýï ëüãïé ðéèáíïöüíåéáò éóïýíôáé ìå 1. Ãéá ðáñüäåéãìá, áí ç åõáéóèçóßá åßíáé 0,80 êáé ç åéäéêüôçôá 1-0,80=0,20, ïé ëüãïé ðéèáíïöü íåéáò åßíáé L=0,80/ (1-0,20)=1 êáé ë=(1-0,80)/0,20=1 (ó Þìá 4). Ó Þìá 3. Ïé L êáé ë óõíáñôþóåé ôçò Se, ãéá Sp=0,90 Ó Þìá 4. Ïé L êáé ë óõíáñôþóåé ôçò Sp, ãéá Se=0,80 Áðü ôéò ãñáöéêýò ðáñáóôüóåéò ôùí ëüãùí ðéèáíïöüíåéáò óõíáñôþóåé ôçò åõáéóèçóßáò êáé ôçò åéäéêüôçôáò, ðñïêýðôïõí åðßóçò ôá åîþò: (á) Ï èåôéêüò ëüãïò ðéèáíïöüíåéáò (L) êõìáßíåôáé áðü ìçäýí, üôáí ç åõáéóèçóßá åßíáé ìçäýí (ó Þìá 3), Ýùò Üðåéñï, üôáí ç åéäéêüôçôá ôåßíåé ðñïò ôç ìïíüäá (ó Þìá 4). (â) Ï áñíçôéêüò ëüãïò ðéèáíïöüíåéáò (ë) êõìáßíåôáé áðü ìçäýí, üôáí ç åõáéóèçóßá åßíáé 1 (ó Þìá 3), Ýùò Üðåéñï, üôáí ç åéäéêüôçôá ôåßíåé ðñïò ôï 0 (ó Þìá 4). (ã) Ïðùò Þäç áíáöýñèçêå, ï èåôéêüò ëüãïò ðéèáíïöüíåéáò (L) åðçñåüæåôáé óçìáíôéêü áêüìá êáé áðü ìéêñýò äéáêõìüíóåéò ôçò åéäéêüôçôáò, éäéáßô åñá äå üôáí áõôþ åßíáé 49
13 õøçëþ (ó Þìá 4). ÁõîÜíåôáé ôá ýôáôá üôáí ç åéäéêüôçôá åßíáé ìåãáëýôåñç áðü 0,70 êáé ìüëéóôá, óôï ðáñüäåéãìá ôïõ ó Þìáôïò 4, üðïõ ç åõáéóèçóßá åßíáé óôáèåñþ êáé ßóç ìå 0,80, äéðëáóéüæåôáé üôáí ç åéäéêüôçôá áõîüíåôáé áðü 0,90 ó å 0,95. ÐñÜãìáôé, L 1 =0,80/(1-0,90)=8 êáé L 2 =0,80/(1-0,95)=16. ÅðïìÝíùò ç äéáãíùóôéêþ ðïéüôçôá ìéáò äïêéìáóßáò, Ýôóé üðùò áõôþ åêöñüæåôáé ìå ôï èåôéêü ëüãï ðé èáíïöüíåéáò (L), óõíäýåôáé ðïëý ðåñéóóüôåñï ìå ôçí áýîçóç ôçò åéäéêüôçôáò ðáñ Ü ìå ôçí áýîçóç ôçò åõáéóèçóßáò. ÂÉÂËÉÏÃÑÁÖÉÁ 1. Harrison s Principles of Internal Medicine 14 th Edition 2. Textbook of Clinical Chemistry edited by N. Tietz, Ë. ÂÜñóïõ-Ðáðáäçìçôñßïõ: 1 ï ÓåìéíÜñéï ÅÅÊ -Ê «Áîéïðéóôßá åñãáóôçñéáêþí áðïôåëåóìüôùí óôçí êëéíéêþ çìåßá» 25-26/09/ Remaley A.T.: ROC curve and related techniques. Biostatistics for Clinical Chemists. IFCC Congress 2002, Kyoto 5. 3o êðáéäåõôéêü óåìéíüñéï ÅÅÊ -ÊÂ, óõíôïíéóôþò ê. ÓðÜñïò, 29/12/03 ÇËÅÊÔÑÏÍÉÊÅÓ ÄÉÅÕÈÕÍÓÅÉÓ
2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
Διαβάστε περισσότεραÁóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò
Διαβάστε περισσότεραå) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé
Διαβάστε περισσότεραEstimation Theory Exercises*
Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò
Διαβάστε περισσότερα16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
Διαβάστε περισσότερα3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
Διαβάστε περισσότεραÓ ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X
V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότερα( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
Διαβάστε περισσότεραÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)
Διαβάστε περισσότεραÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...
Διαβάστε περισσότεραÐñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé
Διαβάστε περισσότεραÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ
ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
Διαβάστε περισσότεραChi-Square Goodness-of-Fit Test*
Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá
Διαβάστε περισσότερα3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ
.1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá
Διαβάστε περισσότεραÍá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...
ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï
Διαβάστε περισσότεραÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ. Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ
138 Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ 10 ÌÏÍÔÅËÏ ÁÐÏÔÉÌÇÓÇÓ ÔÙÍ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ 11 ÔÏÌÅÉÓ ÅÖÁÑÌÏÃÇÓ ÔÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ 139
Διαβάστε περισσότεραÇ íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!
ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò
Διαβάστε περισσότερα1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï
5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραÌáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
Διαβάστε περισσότεραB i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí
B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò
Διαβάστε περισσότεραÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ
Διαβάστε περισσότεραÂÉÏÓÔÁÔÉÓÔÉÊÇ ÄéäÜóêïõóá: Â. Ðéðåñßãêïõ 30/05/2017. æùíôáíü íåïãíü ÐëÞèïò ãåííþí =
ÔÌÇÌÁ ÂÉÏËÏÃÉÁÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÅÐÁÍÁËÇØÇÓ ÂÉÏÓÔÁÔÉÓÔÉÊÇ ÄéäÜóêïõóá: Â. Ðéðåñßãêïõ 30/05/07 Äßäïíôáé 0:) 0:579; 0:4) 0:655; 0:5) 0:69; 0:8) 0:788; ) 0:84; :) 0:885; :4) 0:99; :5) 0:933; :645) 0:95; :96) 0:975;
Διαβάστε περισσότερα3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 3523 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 252 28 Öåâñïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 19306/Ã2 ÐñïãñÜììáôá Óðïõäþí Ôå íéêþí Åðáããåëìáôéêþí Åêðáéäåõôçñßùí (Ô.Å.Å.).
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ
66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ
Διαβάστε περισσότεραÐïëëÝò åôáéñßåò ðñïóöýñïõí õðçñåóßåò
Ferral Ferral Της Πηνελόπης Λεονταρά Σήμανση CE: Πως γίνεται ο έλεγχος της παραγωγικής Ï êáèïñéóìüò ôïõ åëýã ïõ ðáñáãùãþò óå Ýíá êáôáóêåõáóôéêü óýìöùíá ìå ôéò ôå íéêýò ðñïäéáãñáöýò ãéá ôá êïõöþìáôá, óôçí
Διαβάστε περισσότερα245/Á/1977). 2469/1997 (ÖÅÊ 36/Á/1997). 1484/Â/ ).
ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ F 661 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 72 28 Éáíïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. Ä14/48529 ãêñéóç Ôéìïëïãßïõ Åñãáóôçñéáêþí êáé åðß Ôüðïõ Äïêéìþí ôïõ ÊÅÄÅ. OI ÕÐÏÕÑÃÏÉ
Διαβάστε περισσότεραÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009
ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009 Ïíïìáôåðþíõìï : Á.Ì : ÈÝìá 1: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 2: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 3: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 4: Âáèìüò [ ] èñïéóìá
Διαβάστε περισσότεραÅÍÏÔÇÔÁ 6ç ÑÏÍÏÓ-ÄÉÁÄÏ Ç
Ενότητα 6 Μάθημα 45 Πρώτος-τελευταίος 1. Íá êáôáíïþóïõí ôéò Ýííïéåò ðñþôïò êáé ôåëåõôáßïò. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôï ñüíï êáé ôç äéáäï Þ ãåãïíüôùí. 1. Íá áêïýóïõí ôï ðáñáìýèé
Διαβάστε περισσότεραΔΙΗΜΕΡΟ ΚΙΝΗΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΗΜΩΝ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ. Αναστολή λειτουργίας των δήμων στις 12 και 13 Σεπτεμβρίου 2012
ΔΙΗΜΕΡΟ ΚΙΝΗΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΗΜΩΝ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ Αναστολή λειτουργίας των δήμων στις 12 και 13 Σεπτεμβρίου 2012 Τετάρτη, 12 Σεπτεμβρίου, Πανελλαδική Συγκέντρωση στη Πλατεία Κλαυθμώνος, στις 11.00 π.μ. Πορεία
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 1. Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ -
ΜΑΘΗΜΑ 1 Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑΤΩΝ- ΟΡΥΚΤΩΝ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΡΕΠΤΟΣ ΖΥΓΟΣ- ΕΚΚΡΕΜΕΣ
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT
ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá
Διαβάστε περισσότερα6936 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 6935 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 432 17 Áðñéëßïõ 2001 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 91496 Áíþôáôá ¼ñéá ÕðïëåéììÜôùí, MRLs, Öõôïðñïóôáôåõôéêþí Ðñïúüíôùí åðß êáé åíôüò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý
ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý Çëåêôñéêü ðåäßï.10 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí.. ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß..... öïñôßï äý åôáé......11 íá óçìåéáêü çëåêôñéêü öïñôßï äçìéïõñãåß
Διαβάστε περισσότεραÊÅÖÁËÁÉÏ 4 ÅËÅà ÏÓ ÊÁËÇÓ ÐÑÏÓÁÑÌÏÃÇÓ
ÊÅÖÁËÁÉÏ 4 ÅËÅÃ ÏÓ ÊÁËÇÓ ÐÑÏÓÁÑÌÏÃÇÓ 4.1 ÃÅÍÉÊÁ Ìå ôïí ôßôëï "Ýëåã ïò êáëþò ðñïóáñìïãþò" (goodness-of-fit) åííïïýìå ôçí äéáäéêáóßá (Þ ôéò äéáäéêáóßåò) åêåßíåò ìå ôéò ïðïßåò ìðïñïýìå íá åëýãîïõìå áí ôá
Διαβάστε περισσότερα[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.
ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó
Διαβάστε περισσότεραÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ
ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß
ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότερα1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá
Διαβάστε περισσότεραCel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí
ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí
Διαβάστε περισσότερα1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç
1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 7 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç Åñþ ôçóç 1 Ðïéïé áñéèìïß ïíïìüæïíôáé öõóéêïß; Ðþò ôïõò óõìâïëßæïõìå êáé ðþò ùñßæïíôáé;
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ: Τροποποίηση κατηγοριών στα εγκεκριµένα ενιαία τιµολόγια εργασιών για έργα οδοποιϊας.
ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ 5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 23 Φεβρουαρίου 2005 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΕ.ΧΩ..Ε. Αρ.Πρωτ. 17α/10/22/ΦΝ 437 ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜ. ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΕΝ. /ΝΣΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΡΟΓ/ΤΟΣ /ΝΣΗ ΝΟΜΟΘΕΤΙΚΟΥ ΣΥΝΤ/ΣΜΟΥ &
Διαβάστε περισσότεραUnion of Pure and Applied Chemistry).
.5 Ç ãëþóóá ôçò çìåßáò Ãñáö çìéêþí ôýðùí êáé åéóáãùã óôçí ïíïìáôïëïãßá ôùí áíüñãáíùí åíþóåùí..5.1 ÃåíéêÜ. Ç çìåßá Ý åé ôç äéê ôçò äéåèí ãëþóóá, ç ïðïßá êáèïñßæåôáé áðü êáíüíåò ðïõ Ý ïõí ðñïôáèåß êáé ðñïôåßíïíôáé
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αποδεικτικό Σύστημα.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αποδεικτικό Σύστημα Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò
ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò Ç åðßëõóç áíáäñïìéêþí åîéóþóåùí åßíáé Ýíá áðïëýôùò áðáñáßôçôï åñãáëåßï ãéá ôçí åýñåóç åêöñüóåùí ðïõ ðåñéãñüöïõí ôçí ðïëõðëïêüôçôá ðïëëþí áëëü êáé âáóéêþí áëãïñßèìùí. Ãåíéêþò,
Διαβάστε περισσότερα4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò
4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï
Διαβάστε περισσότεραHypothesis Testing Exercises
Hypothesis Testing Exercises Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr January 28, 2011 1. Óôá ðëáßóéá åíüò ðñïãñüììáôïò ãéá ôïí Ýëåã ï ôçò öõìáôßùóçò, ó åäéüóôçêå ï øåêáóìüò
Διαβάστε περισσότεραιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá
1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ
Διαβάστε περισσότεραÕÄÑÏËÇØÉÅÓ ÔÕÐÏÕ Á2 - Á4 ÌÅ ÁÍÔÉÐÁÃÅÔÉÊÇ ÐÑÏÓÔÁÓÉÁ
ÕÄÑÏËÇØÉÅÓ ÔÕÐÏÕ Á - Á ÌÅ ÁÍÔÉÐÁÃÅÔÉÊÇ ÐÑÏÓÔÁÓÉÁ Ç ÅÕÄÏÓ ÁÂÅÅ êáôáóêåõüæåé õäñïëçøßåò Üñäåõóçò ôýðïõ SCHLUMBERGER ïé ïðïßåò áíôáðïêñßíïíôáé ðëþñùò ðñïò ôéò äéåèíåßò ðñïäéáãñáöýò, êáôáóêåõüæïíôáé ìå Þ ùñßò
Διαβάστε περισσότεραÅîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá
Διαβάστε περισσότερα2o ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΟΥ ΥΠΝΟΥ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗ ΕΠΕΜΒΑΤΙΚΟ ΑΕΡΙΣΜΟ ΑΘΗΝΑ 5-6 ΜΑΡΤΙΟΥ 2010
2o ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΟΥ ΥΠΝΟΥ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗ ΕΠΕΜΒΑΤΙΚΟ ΑΕΡΙΣΜΟ ΑΘΗΝΑ 5-6 ΜΑΡΤΙΟΥ 2010 Αγαπητοί συνάδελφοι, Με ιδιαίτερη χαρά σας στέλνουμε το πρόγραμμα του 2ου Συνεδρίου για τις Διαταραχές
Διαβάστε περισσότεραÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá
ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá Íüìïò ôïõ Coulomb Çëåêôñéêü Ðåäßï - íôáóç ÄõíáìéêÝò ÃñáììÝò Äõíáìéêü - ÄéáöïñÜ Äõíáìéêïý ÐõêíùôÝò ÃéÜííçò Ãáúóßäçò - ÅÊÖÅ ßïõ Äéáôýðùóç ôïõ Íüìïõ F F - F r F Ç HëåêôñïóôáôéêÞ
Διαβάστε περισσότεραÊÅÖÁËÁÉÏ 1 ÅËÅà ÏÓ ÓÔÁÔÉÓÔÉÊÙÍ ÕÐÏÈÅÓÅÙÍ
ÊÅÖÁËÁÉÏ 1 ÅËÅÃ ÏÓ ÓÔÁÔÉÓÔÉÊÙÍ ÕÐÏÈÅÓÅÙÍ 1.1 ÓÔÁÔÉÓÔÉÊÁ ÔÅÓÔ - ÐÑÙÔÅÓ ÅÍÍÏÉÅÓ Óêïðüò ôïõ ðáñüíôïò êåöáëáßïõ åßíáé íá ðáñïõóéüóåé ãåíéêýò éäýåò ãéá ôïí Ýëåã ï õðïèýóåùí. ôóé ð.. èá ìéëþóïõìå ãéá ôï ðùò
Διαβάστε περισσότεραÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò
ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá
Διαβάστε περισσότερα11. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ
. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ 1 . ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ÅÐÉÐËÙÍ Σύντομη αναδρομή στην ιστορία της. Η εταιρία Salice, πρωτοπόρος στον τομέα των χωνευτών μεντεσέδων επίπλων, παράγει μια πολύ μεγάλη γκάμα μεντεσέδων και μηχανισμών
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ
ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò
Διαβάστε περισσότερα11. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ
. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ 1 . ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ÅÐÉÐËÙÍ Σύντομη αναδρομή στην ιστορία της. Η εταιρία Salice, πρωτοπόρος στον τομέα των χωνευτών μεντεσέδων επίπλων, παράγει μια πολύ μεγάλη γκάμα μεντεσέδων και μηχανισμών
Διαβάστε περισσότεραΣυντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΓαλάτεια Γρηγοριάδου-Σουρέλη, Πρώτη έκδοση: Νοέμβριος 2012 ISBN
ΤΙΤΛΟΣ ΒΙΒΛΙΟΥ: Ελάτε να διαβάσουμε παραμύθια ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: Γαλάτεια Γρηγοριάδου-Σουρέλη ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΟΡΘΩΣΗ: Χρυσούλα Τσιρούκη ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Κατερίνα Χαδουλού ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΣΕΛΙΔΟΠΟΙΗΣΗ: Ραλλού Ρουχωτά ΕΚΤΥΠΩΣΗ:
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΚΑΙ ΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΑΣ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΓΑΣΤΡΟΟΙΣΟΦΑΓΙΚΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ Εκπαιδευτικό Σεμινάριο.
ΕΝΔΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΚΑΙ ΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΑΣ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΓΑΣΤΡΟΟΙΣΟΦΑΓΙΚΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ Εκπαιδευτικό Σεμινάριο Τελικό Πρόγραμμα Β Χειρουργική και Γαστρεντερολογική κλινική, Ναυτικού Νοσοκομείου
Διαβάστε περισσότεραSPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí
Διαβάστε περισσότερα9. ÁíÜðôõîç ðñïãñáììüôùí ìå ñïíéêýò ëåéôïõñãßåò.
9. ÁíÜðôõîç ðñïãñáììüôùí ìå ñïíéêýò ëåéôïõñãßåò. 9.1 ÃåíéêÜ. Ôá ðåñéóóüôåñá PLC äéáèýôïõí óçìáíôéêýò åõêïëßåò üóïí áöïñü óôïí ðñïãñáììáôéóìü ñïíéêþí ëåéôïõñãéþí ìå ñçóéìïðïßçóç ôùí ñïíéêþí ëåéôïõñãéþí
Διαβάστε περισσότεραÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç
ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò
ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÜóêçóç 15. ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò
ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò Óôü ïé ôçò Üóêçóçò äéüñêåéá Üóêçóçò: 6 äéäáêôéêýò þñåò Óôï ôýëïò ôçò Üóêçóçò ïé ìáèçôýò èá åßíáé éêáíïß: é íá áíáãíùñßæïõí ôá åîáñôþìáôá
Διαβάστε περισσότεραÊÅÖÁËÁÉÏ 11 ÁÍÔÉÓÔÁÈÌÉÓÇ ÔÏÕ ÓÕÍÔÅËÅÓÔÇ ÉÓ ÕÏÓ R S T C C M 3~ C
ÊÅÖÁËÁÉÏ 11 ÁÍÔÉÓÔÁÈÌÉÓÇ ÔÏÕ ÓÕÍÔÅËÅÓÔÇ ÉÓ ÕÏÓ R S T M 3~ ÁÍÁËÕÓÇ ÇËÅÊÔÑÉÊÙÍ ÊÕÊËÙÌÁÔÙÍ 11.1. ÅÐÉÐÔÙÓÅÉÓ ÁÌÇËÏÕ ÓÕÍÔÅËÅÓÔÇ ÉÓ ÕÏÓ Ï óõíôåëåóôþò éó ýïò óõí ö åßíáé ï ëüãïò ôçò ðñáãìáôéêþò éó ýïò P ðñïò
Διαβάστε περισσότερα1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï
ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé
Διαβάστε περισσότεραΑποκαλύπτουµε το µυστικό υπερόπλο του Μεσαίωνα
ΣΗΜΕΙΑ-ΚΛΕΙΔΙΑ 1 Στον Ατλαντικό Κώδικα ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι έκρυψε τις οδηγίες για την κατασκευή µιας στρατιάς από ροµπότ. 2 Η ανακάλυψη ανήκει στην οµάδα του Μάριο Ταντέι. Προηγουµένως πιστευόταν ότι
Διαβάστε περισσότερα5Ô Ô ÚÓÔ. ðüóï 15 ðüóï 1/ ðüóï 2/ ðüóï 4/ ðüóï ðüóï ðüóï. 13 ðüóï 33 ðüóï ðüóï ðüóï. ðüóï 26 ðüóï 2XA ðüóï 3XA ¼ëïé ðüóï
5Ô Ô ÚÓÔ ª ıëùòó Bã ÎÏÔ ¼ëïé óôçí ðñþôç / K 2 Ìïßñáóå ï  3 Q 10 6 2 6 J 8 7 6 3 5 7 2 / 10 8 5 4 / A J 9 7 3 A 9 7 3 K J 5 6 Q 4 6 K 10 5 A Q 9 3 5 J 10 5 4 / Q 6 3 3 8 4 3 6 A 9 5 2 5 K 8 6 ðüóï 15 ðüóï
Διαβάστε περισσότεραB ÛÈÎ EÚÁ ÏÂ Î È M ıô ÔÈ ÁÈ ÙÔÓ ŒÏÂÁ Ô ÙË ÔÈfiÙËÙ
E π A π π ª π B ÛÈÎ EÚÁ ÏÂ Î È M ıô ÔÈ ÁÈ ÙÔÓ ŒÏÂÁ Ô ÙË ÔÈfiÙËÙ TfiÌÔ B' Iˆ ÓÓË KÔ ÙÚÔ ÏË Èı ÓfiÙËÙÂ Î È Ù ÙÈÛÙÈÎ II ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Σχολή Θετικών Επιστηµών και Τεχνολογίας Πρόγραµµα Σπουδών
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÅõñùðáúêÞ íùóç Áëïõìéíßïõ Ý åé äçìïóéåýóåé Ýíáí ìßíé - ïäçãü åðåîþãçóçò
Ôå íéêü èýìáôá CE marking of curtain walling This FAECF Guidance Sheet provides an explanation to the product standard on curtain walling EN 13830 with more details for the manufacturer and reader of the
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. 27 Μαΐου (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΥΠΡΟΥ ΜΑΣ 121- ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 27 Μαΐου 2002 (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΑΡ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΟΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
Διαβάστε περισσότερα1ï ÊñéôÞñéï Áîéïëüãçóçò
1ï ÊñéôÞñéï Áîéïëüãçóçò óå üëç ôçí ýëç ÖõóéêÞò. à ôüîç ÊáèçãçôÞò: ¼íïìá: Âáèìüò: ÈÅÌÁ 1ï Åéê. 1 A. -2ìC ç Á êáé +2ìC ç  -1ìC ç Á êáé -1ìC ç  -9ìC ç Á êáé -9ìC ç  D. +1ìC ç Á êáé +1ìC ç  ÅðéëÝîôå ôç
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email:
Διαβάστε περισσότεραF ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 5551 ÔÅÕ ÏÓ ÔÅÔÁÑÔÏ Áñ. Öýëëïõ 647 7 Áõãïýóôïõ 2001 ÐÅÑÉÅ ÏÌÅÍÁ ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Ôñïðïðïßçóç åãêåêñéìýíïõ ó åäßïõ ðüëçò ÄÞìïõ Çñáêëåßïõ, óôçí ðïëåïäïìéêþ åíüôçôá
Διαβάστε περισσότεραÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåô
11544 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) 11545 ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåôáé
Διαβάστε περισσότεραÅðåéäÞ ïé äõíüìåéò F 1 êáé F 2 åßíáé ïìüññïðåò (ó Þìá) èá éó ýåé: F ïë = F 1 + F 2. ÔåëéêÜ: F ïë = 1.500Í.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ç äýíáìç áëëçëåðßäñáóçò äýï çëåêôñéêþí öïñôßùí ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß ìå âüóç ôïí íüìï ôïõ Coulomb. Óôï ðáñüäåéãìá ìáò âñßóêåôáé ç óõíéóôáìýíç äýíáìç ðïõ åíåñãåß óôï öïñôßï q áðü äýï Üëëá öïñôßá
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé
ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé Íéêüëáò ÊÜñáëçò Á/Ì : 91442 ÔìÞìá 1ï 28 Óåðôåìâñßïõ, 26 1 ìåóåò ÌÝèïäïé 1.1 Åñþôçìá 1 ñçóéìïðïéþíôáò ôçí gauss.m êáé ôçí herm5.m,
Διαβάστε περισσότεραFe - Ni - Cr - C. (70% - 80% Cu êáé 30% - 20% Æn).
1.5. Ìßãìáôá Äéáëýìáôá Ôáîéíüìçóç Äéáëõôüôçôá Ðåñéåêôéêüôçôá. Ìå áíüìéîç äýï Þ ðåñéóóüôåñùí çìéêþí ïõóéþí ðïõ äåí áíôéäñïýí ìåôáîý ôïõò, ðñïêýðôåé Ýíá åßäïò ýëçò ðïõ ïíïìüæåôáé ìßãìá. Ôá ìßãìáôá äéáêñßíïíôáé
Διαβάστε περισσότεραΙΣΤΙΟΠΛΟΪΚΟΣ ΑΓΩΝΑΣ : ΑΣΠΡΟΝΗΣΟΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΠΛΟΥ
ΙΣΤΙΟΠΛΟΪΚΟΣ ΑΓΩΝΑΣ : ΑΣΠΡΟΝΗΣΟΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΠΛΟΥ 1. ΩΡΑ Η επίσημη ώρα για τον αγώνα "ΑΣΠΡΟΝΗΣΟΣ 2007" είναι 9η του αστεροσκοπείου Αθηνών. Η πληροφόρηση γίνεται με τηλεφωνική κλήση του αριθμού 141. 2. ΠΡΟΓΝΩΣΗ
Διαβάστε περισσότερα