Кинематика и динамика у структуралном инжењерству, Звонко Ракарић, Механика 2, грађевинарство, Факултет техничких наука, Нови Сад,2017

Transcript

1 КИНЕМАТИКА ТЕЛА МЕХАНИКА 2 ГРАЂЕВИНАРСТВО ФТН НОВИ САД Верзија 3 Октобар 207

2 ГЛАВА V КИНЕМАТИКА КРУТОГ ТЕЛА 5. УВОД У претходним Поглављима смо научили како да се у потпуности дефинише кретање једне (било које) тачке неког тела, као и начин на који се успоставља веза између брзина и убрзања између било које две тачке. Са овим знањем смо сада у стању да пређемо на успостављање основних релација за кретање неког тела. Да бисмо анализирали кретање неког тела, можемо то да урадимо тако што би уочили више тачака на том телу, и пратили њихово кретање. То смо сада у могућности на основу изложеног у Глави III. На основу њиховог кретања бисмо могли да извучемо и закључке о кретању и самог тела. Међутим, овде се одмах поставља питање о потребном броју тачака на телу које треба изабрати, а да би нам кретање тела у потпуности онда било јасно. Одговор на ово питање је следеће: довољно је познавати кретање само једне тачке (апсолутно кретање те тачке), као и обртање тог тела у односу на неки апсолутно непокретан координатни систем. Овде ћемо се бавити разматрањем кретања крутих тела. Круто тело је идеалан појам и односи се на тело код којег растојања између тачака остају константна током кретања. Значи утицај деформације тела на његово кретање се не узима у обзир. Иначе, свако тело можемо сматрати и као скуп огромног (или бесконачно великог) броја тачака међусобно повезаних на неки начин. Везе између тих тачака, у случају крутог тела подразумевамо да су такође круте и да су самим тим растојања између његових тачака непроменљиве, тј. константне дужине. Значи, круто тело само специјалан случај система материјалних тачака. У наставку ћемо за круто тело, користити само назив тело, уколико се другачије не нагласи. Број степени слободе кретања (ССК) које има једно круто тело износи шест. То је у случају слободног крутог тела у простору, као што је детаљно размотрено у претходној Глави IV. Ово значи да је за потпуно познавање кретања једног тела потребно шест података. То могу бити три Декартове координате неке тачке тела, као и три угла које неки правац на телу образује са осама Декартовог координатног система. Међутим, са инжењерског становишта је уобичајено да је тело подвргнуто одговарајућим везама које смањују нека од могућих кретања, односно смањују број ССК. 2

3 5.2. ВЕЗА ИЗМЕЂУ БРЗИНА И УБРЗАЊА ИЗМЕЂУ ДВЕ ТАЧКЕ ТЕЛА Уочимо nа телу произвољног облика приказано на Слици 5. неке две његове тачке A и B. На основу претпоставке да је тело круто, важи да је AB const. Желимо да одредимо изразе који повезују векторе брзине и убрзања између ове две тачке. Као што се може приметити, Слика 5. је слична Слици 3.2 из Главе III. Разлика у односу на Слику 3.2, као и у односу на анализу приказану у делу 3.9 је та што у случају крутог тела, тачка B је на увек истом растојању у односу на тачку А. Анализу коју ћемо сада спровести, можемо да третирамо као специјалан случај анализе спроведене у делу Слика 5. И овде уводимо два координатна система, непокретни Oxyz и покретни Ax yz који је круто везан за тело и креће се са њим као једна целина. Кретање тела, у општем случају подразумева кретање његових тачака у односу на непокретни координатни систем Oxyz, као и обртање тела. Обртање тела се манифестује променом угла које неки правац на телу гради са неким непокретним правцима. Мера промене угла је угаона брзина. Угаона брзина је вектор и то слободан, тј. није везан за неку конкретну тачку на телу. Као и сваки вектор, и вектор угаоне брзине може бити представљен у одговарајућем координатном систему. Овде то може бити учињено у приказаном Декартовом координатном систему Oxyz. У општем случају кретања тела, вектор угаоне брзине може да има све три компоненте, у правцу оса x, y и z, а такође и правац тог вектора може да буде променљив. Из тог разлога, најпотпунији назив за је вектор тренутне угаоне брзине. Међутим, као што ћемо касније видети, у случају најчешћих кретања која се јављају у инжењерству, вектор угаоне брзине се обично може једноставно представити и има константни правац у простору. Мера промене вектора тренутне угане брзине је вектор тренутног угаоног убрзања. Можемо да успоставимо одређену аналогију између вектора тренутне брзине и тренутног убрзања тачке a и вектора тренутне угаоне брзине и тренутног угаоног убрзања тела. Подсетимо са да у случају кретања тачке, вектори брзине и убрзања нису лежали на истом правцу, осим у специјалном случају праволинијског кретања. Тако и у случају

4 општег кретања тела вектори тренутне угаоне брзине и тренутног угаоног убрзања не морају да леже на истом правцу. Али, као што је већ напоменуто, за врсте кретања које ће нам бити од интереса, ова два вектора су колинеарна. Користићемо релације које су изведене у Полављу 3.9 али сада само усвајајући да је растојање између тачака непроменљиво. Из овог разлога, не постоји промена вектора r B / A dr B / A у покретном координатном систему Ax yz. То значи да важи да је 0 и да dt Ax yz нема релативног кретања тачке B у односу на тачку А. Значи, користећи израз (3.46) имамо да је 4 B / O A/ O d dt dr dt B / A rb / A A/ O rb / A A/ O rb / A Ax y z (5.) Као што видимо, веза између тренутних брзина било које две тачке крутог тела се може представити следећим изразом: (5.2) B/ O A/ O rb / A A/ O B / A На основу израза (5.2) следи да се вектор брзине неке тачке тела увек може представити као векторска сума два вектора: вектора брзине неке друге тачке тела и вектора B / A који се обично назива вектор брзине тачке B у односу на тачку А. Интензитет овог вектора произилази на основу датог векторског производа. Значи, његов интензитет је (5.3) B / A rb / A sin, rb / A Правац вектора B / A лежи на правцу нормале на раван коју чине вектори и r B / A, док је смер у складу са правилом десне руке. Јасно је и да је вектор B / A нормалан и на вектор као и на вектор r B / A. Значи, вектор B / A је увек нормалан на вектор који спаја те две тачке, тј. увек је r. B / A B / A На сличан сличан начин, користећи израз (3.50) се одређује израз за вектор убрзања тачке B, изражен преко вектора убрзања тачке А и вектора угаоне брзине и убрзања тела, који гласи (5.4) a B / O aa/ O rb / A rb / A Значи, из израза (3.52) су отпали чланови a B / A и 2 Ax yz B / A због непостојања релативног кретања између тачака А и B. Видимо да се израз за убрзање тачке B састоји од три члана:

5 . a A / O - вектор апсолутног убрзања тачке А; 2. r B / A - ово убрзање се назива и тангенцијално убрзање тачке B у односу на тачку А или Ојлерово убрзање. Видимо да је тај вектор увек нормалан на r B / A (као и вектор B / A ); 3. r B / A - Овај вектор се назива и нормално убрзање тачке B у односу на 2 тачку А или центрипетално убрзање. Интензитет овог члана је a AB. Овај вектор лежи на правцу вектора и увек је усмерен од B ка А. r B / A Изрази 5.2 и 5.4 сада омогућују анализu различитих начина кретања неког тела НАЧИНИ КРЕТАЊА ТЕЛА Као што је наглашено у претходном делу, кретање тела је у потпуности познато уколико су познати вектори брзине једне тачке на телу и вектор угаоне брзине тела, тј., A t и t, gde је са А означена било која тачка на телу. Ова два вектора дефинишу начине кретања тела. Постоје неколико различитих случаја кретања, и то су: Ако је t 0 и t 0 A, тада је тело у стању мировања., тада тело врши транслаторно кретање. Као што, тада важи да је B A, тј. вектори брзина свих тачака тела су једнаки. При томе, вектор A t може имати константни правац (праволинијско транслаторно кретање) или променљив правац (криволинијско транслаторно кретање). Ако је A t 0 и t 0 следи на основу израза (5.2), уколико је t 0 A, тада тело врши само обртно кретање. У овом случају имамо два подтипа: Ако је (постоји бар једна тачка на телу за коју важи да је) t 0 и t 0. Уколико вектор има константни правац у простору, ради се о обртању око непокретне осе. Тада тачка А лежи на тој оси; 2. Уколико вектор има променљив правац у простору, ради се о обртању око непокретне тачке А. Овакво кретање се назива још и сферно кретање. Ако је (постоји бар једна тачка на телу за коју важи да је) t 0 и t 0 тада се могу разликовати три случаја: A, 5

6 . За A 0 ; Ова два вектора су међусобно нормална. Ако је правац вектора непроменљив, тада тело врши раванско кретање. t 2. За A 0, ради се о завојном кретању. 3. Уколико су вектори t кретању тела. A и t произвољни, ради се у општем Претходно изложено је систематизовано у следећој табели: Табела 5.. Начини кретања тела Карактеристика Кретање A. = 0 = 0 - Мировање. A има константни правац праволинијско 2. 0 = 0 2. Транслаторно A има променљив правац криволинијско 3. = 0 0. има константни правац око непокретне осе 2. има променљив правац Обртање око непокретне A и има конст. правац A A и произвољних праваца тачке Раванско Завојно Општи случај У наставку овог поглавља ћемо детаљније представити следећа три типа кретања: транслаторно кретање, обртање око непокретне осе и раванско кретање. 6

7 5.4.. ОПШТИ ИЗРАЗИ ТРАНСЛАТОРНО КРЕТАЊЕ Кинематска дефиниција: Тело се креће транслаторно уколико је вектор угаоне брзине тела једнак нули, а брзина било које тачке је различита од нуле A t 0 и t 0 Геометријска дефиниција: Тело се креће транслаторно уколико свака права дуж на телу остаје током кретања паралелна самој себи.. (5.5) Приликом анализе транслаторног кретања, најједноставније је покретни координатни систем (који је круто везан за тело) поставити тако да су му осе паралелне са непокретним координатним системом, како је приказано на Слици 5.2. На основу геометријске дефиниције следи и да ће током кретања паралелност оса остати очувана. Одавде произилази да су јединични вектори i, j и k, у овом случају непроменљивог и правца и смера. Слика 5.2 Из тог разлога, изводи по времену јединичних вектора покретног координатног система су једнаки нули. На основу израза (2.35) се види да је ово испуњено када је 0. (Напомиње се да је извод по времену било којег јединичног вектора, например i једнак векторском производу угаоне брзине његовог обртања и њега самог, тј., i ). Будући да се тело креће, мора бити да је брзина било које тачке различита од нуле, например, тачке А, тј., A t 0. На основу израза (4.2) и (4.4) вектори брзине и убрзања неке произвољно изабране тачке B су B A, (5.6) a B a A. (5.7) Значи, изрази (5.6) и (5.7) указују да при транслаторном кретању неког тела све његове тачке имају једнаке векторе брзине и убрзања. Транслаторно кретање, као што је и у Табели 5. приказано, може бити праволинијско или криволинијско, како у равни тако и у простору. У суштини, транслаторно кретање тела је механички еквивалентно кретању материјалне тачке. Када се утврди да се неко тело током одређеног временског интервала креће транслаторно,

8 довољно је познавати кретање, брзину и убрзање само једне, било које тачке тела. Јасно је и да је број степени слободе кретања тела које се креће транслаторно, одговара броју степени слободе материјалне тачке (, 2 или 3, у зависности од начина транслаторног кретања) ПРИМЕРИ ТРАНСЛАТОРНОГ КРЕТАЊА Пример 5. Троугаона призма се креће тако што доњом страном клизи по хоризонталној равни. Познато је да тачка А призме има убрзање константног 2 интензитета a A 30cm / s приказаног смера. Одредити брзи8не и убрзања тачака B и D у тренутку t s од почетка кретања, ако је призма у почетном тренутку мировала. Скицирати све векторе брзина и убрзања. Rешeње: Речено је да се призма креће тако да клизи по хоризонталној равни. У складу са анализом из претходног трећег поглавља (ССК) овај случај одговара вези клизач-вођица чији је БО = 2. Значи, призма у односу на хоризонталну раван (подлогу) има ССК. Оваквом везом је спречено кретање у вертикалном правцу, као и обртање у равни кретања. Будући да је спречено обртање, угаона брзина призме је једнака нули, односно призма се креће транслаторно. Значи, довољно је задати кретање (или закон промене брзине или убрзања) било које тачке, на основу чега се може одредити кретање (брзина и убрзање) било које друге тачке. У овом случају је задат интензитет убрзања тачке А које је по услову задатка, константно. Значи ради се о равномерно убрзаном кретању. Закон промене брзине тачке А је 8 cm cm aa 30 const. At aadt aa t C At 30t s s () Вредност интеграционе константе је C 0, на основу задатог почетног услова (речено је да је призма у почетном тренутку мировала). На основу (), интензитет брзине тачке А, као и тачака B и D у тренутку t s је A B D 30cm / s. Вектори брзина и убрзања свих тачака су паралелни хоризонталној равни и усмерени улево. Пример 5.2 Тело М се креће по хоризонталној равни (током кретања блок доњом страном лежи на хоризонталној равни) тако да му је закон

9 кретања: где је s t R t x sin, задати константни параметар. Кордината x се мери од положаја О-О како је приказано на слици. Познато је да у почетном тренутку координата x0 и брзина 0 x 0 x,. Одредити: износе: а) константе R и у функцији x0 и 0 ; б) За x 0 mm, 0 mm/ s и s скицирати дијаграм x t. в) скицирати дијаграм x у функцији R и. Пример 5.3 За бољи комфор путника у лифту, потребно је спречити тренутну промену интензитета убрзања током нестационарних режима кретања. На слици је представљен дијаграм a t до тренутка успостављања константне брзине V (тренутак Т), као један од начина да се оствари поменуто кретање. За дату максималну вредност убрзања од 2 a m / s, одредити остварену брзину V на крају интервала од T 3s. Такође, скицирати график промене брзине лифта током тог интервала Пример 5.4 Диск се креће по непокретној хоризонталној равни. За диск је зглобно везан штап AB чији крај А је слободно ослоњен на хоризонталну раван. Познато је да се интензитет центра диска мења са временом по следећем закону: 9

10 0 mm B 2sin 4 t s. () Одредити интензитет брзине и убрзања тачке А у тренутку векторе. t s. Скицирати ове Решење: Овде се ради о систему два тела, штапа и диска који су међусобно зглобно везани. Одредимо најпре ССКС. Може се поставити питање: на који начин, у духу Поглавља 3, може бити представљен начин везе диска који се може кретати по некој равни. Наиме, за разлику од троугаоне призме из Примера, где је показано да је такав начин везе еквивалентан вези клизач-вођица, овде се мора узети у обзир и да постоји могућност обртања диска. Очито је да је приликом кретања диска по некој Слика 2 подлози, центар диска се креће тако да је увек на истом растојању од те подлоге. Значи, у овом случају се центар диска увек креће праволинијски. (Напомена: уколико би подлога по којој се диск креће била нека закривљена површ, трајекторија кретања би била криволинијска путања). Све остале тачке диска (у општем случају) се крећу криволинијски. Имајући у виду познат правац кретања центра диска (који је наметнут обликом подлоге по којој се диск креће), може се замислити као да је за центар диска везан клизач и постављен на вођицу (веза клизач-вођица, Слика 2). При томе, улогу вођице игра фиктивни хоризонтални правац паралелан равни по којој се диск креће. Додатно, због могућности обртања диска око свог центра, треба замислити и везу цилиндрични зглоб. На овај начин је кретање диска по некој равни аналогно кретању диска са везом клизач-вођица+цилиндрични зглоб, која омогућава праволинијско кретање центра диска, као и обртање диска око центра. Подсетимо да оваква веза има БО=, тако да је ССК диска (у општем случају) једнак 2. Имајући ово у виду, сада се може одредити број ССКС којег чине диск и штап (Слика ). У овом случају имамо следеће везе: цилиндрични зглоб између штапа и диска; везу типа клизач-вођица+цилиндрични зглоб између штапа и подлоге (крај А штапа); везу типа клизач-вођица+цилиндрични зглоб између диска и подлоге. Значи, ССКС = 23 (2++)= 2. Будући да је ССКС = 2, потребно је познавати два независна параметра да би кретање свих тачака овог система могло бити дефинисано. У овом задатку је дат само један параметар, кретање центра диска (дато у облику закона промене брзине центра диска B ). Треба приметити и да је то уједно и брзина краја B штапа. Значи, крај B штапа, (будући да је то истовремено и центар диска) се креће праволинијски. Додатно, и правац кретања другог краја (тачке А) штапа је познат, односно мора бити у Слика 3 правцу подлоге. Као што се види, имамо штап AB који се креће тако да су правци брзина двеју тачака паралелни. На основу овога се закључује да се штап креће транслаторно.

11 t s Користећи задати закон () одређује се интензитет брзине у задатом тренутку (2) 2 mm s B A / Имајући у виду да је ab B cos t ; (због праволинијског кретања тачке B, 2 4 интензитет убрзања се може добити директно изводом по времену закона промене брзине те тачке, тј. a a t ; an 0 ); Интензитет убрзања у тренутку t s је 2 mm a B a A 2 4 s (3) Као што се види, било је довољно да се препозна да је кретање штапа транслаторно. Није било потребно уопште познавати начин кретања диска у смислу његовог обртања, већ само начин кретања његовог центра за који је везан крај штапа. Пример 5.5 Диск полупречника r се креће по већем непокретном диску полупречника R. Диск започиње кретање из приказаног положаја при чему је интензитет почетне брзине центра диска 0. Познато је да се током кретања интензитет брзине центра диска мења према закону t g sin, при чему је угао којег правац OC гради са вертикалним правцем, а g убрзање силе земљине теже. Диск врши такво кретање при којем је правац AC увек вертикалан. Одредити убрзање тачке А (тачке на ободу диска) у тренутку када је угао 45. Скицирати природне компоненте убрзања тачке А при проласку кроз тај положај. Пример 5.6 Систем приказан на слици чине штапови AB, и правоугаона плоча. Штапови су једнаких дужина L. Странице правоугаоне плоче су b и d. Штапови су за плочу везани зглобно у тачкама B и D. Такође, штапови су за подлогу везани зглобно. У почетном тренутку, штапови су вертикални. Одредити ССК приказаног система. У зависности од израчунате вредности за ССКС дефинисати променљиву или променљиве којима би једнозначно био дефинисан положај било које тачке система током кретања. CD

12 5.6.. ОПШТИ ИЗРАЗИ 5.6. ОБРТАЊЕ ТЕЛА ОКО ОСЕ Кинематска дефиниција: Обртање тела око непокретне осе је такво кретање при којем је брзина бар једне тачке једнака нули док је угаона брзина различита од нуле и има константни правац. Геометријска дефиниција: Обртање тела око непокретне осе је такво кретање тела при којем су бар две тачке тела непокретне. На Слици 5.3 која приказује тело произвољног облика и које се обрће око непокретне осе на којој су непокретне тачке О (или А) и O. Напокретни к.с. Oxyz је усвојен тако да се оса z поклапа са осом обртања, док је координатни почетак усвојен у непокретној тачки О. Покретни к.с. Ax yz који је фиксиран за тело које се обрће, је уведен тако што се оса z поклапа са осом z. Обртањем тела око непокретне осе z (или око z ), осе x и y се такође обрћу. То је представљено углом којег оса x односно y образују са осама x, односно y. Наравно, уколико се тело креће (обрће) овај угао се мења са временом, тј. временом t се назива закон обртања. t. Закон промене овог угла са Да би се анализирало кретање тачака при оваквом кретању тела, уочиће се нека тачка B која не лежи на оси обртања. Вектори положаја r B / (у односу на непокретни к.с.) и O (у односу на покретни к.с.) сада представљају један те исти вектор, тј. r B / A Слика 5.3. (5.8) r B / O rb / A Узимајући у обзир израз (5.2), лако се изводи израз за брзину тачке B у односу на непокретну тачку О, имајући у виду да је О = А. (5.9) B/ O rb / A rb / O На основу израза (5.9), интензитет брзине тачке B је (види Слику 5.3) B rsin, (5.0), r d 2

13 где је са d означено најкраће растојање тачке B до непокретне осе око које се врши обртања. (Иначе, овде можемо изоставити индекс код вектора положаја тачке B, односно можемо да пишемо r B O r ). Као што се види, за сваку конкретну тачку, ово растојање d је / константно (било која тачка је увек на истом растојању од осе обртања), што јасно указује да се тачка при оваквом кретању креће по кружници, а чији је центар на оси обртања (за тачку B је центар те кружнице тачка O ). Такође се уочава и да интензитет брзине тачке зависи од њеног растојања од осе. Што је тачка на већем растојању од осе, има и већи интензитет брзине и то се линеарно мења. На основу (5.9) следи и правац и смер вектора брзине. Правац вектора брзине је у правцу нормале на раван коју образују вектори и r, а смер је у складу са правилом десне руке. Имајући све претходно речено у виду, вектор брзине тачке је у правцу тангенте на малопре поменуту кружницу (Слика 5.4), а смер одговара смеру обртања који је дефинисан смером угаоне брзине тела,. Коначно, на основу (5.0) следи и да све тачке тела које леже на оси обртања ( d 0 ) имају нулту брзину, односно, те тачке су непокретне. Убрзање произвољне тачке тела које се обрће око непокретне осе се добија коришћењем израза (5.4), узимајући у обзир да је a A/ O 0 ab / O rb / A rb / A r r (5.) Као што се види на основу (5.), вектор убрзања тачке тела приликом обртања око непокретне осе се може, у општем случају разложити на две компоненте (Слика 5.4). Интензитет прве компоненте убрзања у изразу (5.) је a t rsin d, (5.2) и она представља тангенцијално убрзање. Са је означен угао којег правац ОB образује са z осом. Правац и смер тангенцијалног убрзања се могу одредити на основу дефиниције векторског производа. Смер тангенцијалног убрзања је у смеру угаоног убрзања. Уколико је 0 (равномерно обртање), тада је тангенцијално убрзање тачке једнако нули. Интензитет друге компонента убрзања је a n 2 d. (5.3) 3 Слика 5.4

14 Смер компоненте a n је увек усмерен ка оси обртања (Слика 5.4) и представља нормално убрзање. Нормално убрзање је једнако нули само уколико је 0. При томе треба да разликујемо два случаја: прво, када се тело током одређеног периода не обрће, већ је у стању мировања; друго, у тренуцима када долази до промене смера обртања, односно у зауставним тренуцима. На Слици 5.4 су приказани вектор брзине и компоненте вектора убрзања за произвољно изабрану тачку B. Наглашава се чињеница да је трајекторија кретања тачке B (или било које тачке тела које се обрће око непокретне осе) кружница чији је центар на оси обртања. Полупречник те кружнице одговара најкраћем растојању тачке од осе обртања и на Сликама 5.3 и 5.4 је обележен са d. Често се обртање око осе приказује у равни која је нормална на осу обртања (Слика 5.4 б). Тада се трајекторије тачке, кружнице виде у правој величини. Оса обртања се тада види као тачка и често се представља цилиндричним зглобом. Анализа кретања тачака тела које се обрће око непокретне осе се своди на анализу кретања тачке у равни по унапред дефинисаној трајекторији кружници. Будући да је трајекторија кретања позната, уводи се природна координата s, затим природни координатни систем са јединичним векторима тангенте и нормале. Са Слике 5.4. се може уочити веза између угла и природне координате s: s d (користи се позната релација за дужину кружног лука). Значи, познавајући закон обртања тела око осе, долази се до природне координате било које тачке на телу. Потврђују се следеће везе: s d d ; a n s d 2 d ; a t d d. (5.4) R d k Као што је приказано на Слици 5.4 б), обртање тела око непокретне осе се може посматрати као кретање тачака у равни која је нормална на осу обртања. У пресеку тела и те равни се добија нека равна фигура, плоча. Анализа обртања тела око непокретне осе је еквивалентна анализи обртања плоче око осе цилиндричног зглоба. Брзина оне тачке на плочи која се поклапа са цилиндричним зглобом је једнака нули. Та тачка (цилиндрични зглоб) се често за овакву врсту кретања назива и центром ротације (ЦР). Ова тачка (ЦР), тј тачка чија брзина је једнака нули, је од значаја за анализу кретања система тела код којих се неки од елемената обрће око непокретне осе, што ће касније бити приказано ПРИМЕРИ Пример 5.7 Као један од начина да се умањи ефекат земљотреса на конструкције је у примени специјалних лежајева који се називају клизни сеизмички изолацијски лежаји. На енглеском језику њихов назив је Friction Pendulum Bearing. Управо енглески назив указује на суштину функционисања оваквог лежаја. На слици је приказано у корацима, генеза основне идеје настајања ових лежајева. 4

15 . Pendulum Полази се од математичког клатна (тешка материјална тачка која је закачена помоћу ужета или лаког штапа за непокретну тачку вешања). У овом случају је материјална тачка везана помоћу штапа који је за подлогу везан глобно. Значи, ради се о обртању око непокретне осе. При оваквом кретању, трајекторија материјалне тачке је кружница (или део кружнице) чији је центар у тачки вешања, а полупречник одговара дужини ужета или лаког штапа. 2. У овом кораку 2, уместо материјалне тачке се уводи тело (правоугаона плоча) и још један штап. Плоча је за штапове (који су исте дужине) везана зглобно. Штапови су за подлогу такође везани зглобно. Тачке везивања А и B плоче за штапове су током кретања на истом растојању од хоризонталног правца, тако да се плоча креће транслаторно. Тачке А и B плоче се крећу по кружницама, као и материјална тачка код математичког клатна (из претходног. Корака) Уводе се две цилиндричне површи истог облика као трајекторије кретања тачака А и B из претходног корака. Уместо штапова AC и BD који су били зглобно везани за плочу, уводе се два штапа круто везана за плочу и који су слободно ослоњени на цилиндричне површи. Кретање плоче у овом случају је механички еквивалентно кретању плоче из претходног корака. И овде се плоча креће транслаторно. При томе, на месту контакта штапова и цилиндричних површи се јавља одређено трење (Ово је разлог за реч Friction у енглеском називу оваквог лежаја). Као што се види, имамо на два места додир у тачки. 4. Корак 4. Указује на практичну изведбу оваквог лежаја. Наиме, две цилиндричне површи су замењене једном. Уводи се посебан елемент клизач, који клизи по цилиндричној површи. Овим је обезбеђено да се

16 уместо контакта у две тачке, остварује контакт по површи (односно линији). Такође, горњи део клизача је сферног облика на који належе горња плоча лежаја (преко сферне удубљене површи). Како се клизач креће по цилиндричној површи, долази до његовог нагињања. Горњи део (сферног облика) обезбеђује релативно кретање удубљеног дела горње плоче лежаја у односу на клизач, тако да је апсолутно кретање горње плоче транслаторно. Као што се види у овом примеру, представљено функционисање је остварено комбиновањем два основна кретања: обртања око непокретне осе и транслаторног кретања. При томе, у конкретној изведби лежаја (корак 4.) клизач у суштини замењује и штапове AC и BD, као и цилиндричне зглобове А и B. Пример 5.8. Једним својим крајем штап ОА је везан за непокретни цилиндрични зглоб О и обрће се у равни константном угаоном брзином. Положај штапа у односу на хоризонтални правац је дефинисан углом. Ако у почетном тренутку штап образује угао α са хоризонталом, одредити: а) закон обртања штапа; б) законе кретања пројекција краја А штапа, A и A на хоризонтални, односно вертикални правац који су дефинисани осама x и y; в) колика је брзина краја штапа А, а колико је њено убрзање? Пример 5.9 На слици је приказан систем од два штапа AB и DE који су међусобно везани помоћу покретног цилиндричног зглоба (клизач + цилиндрични зглоб). Штапови су за непокретну подлогу везани зглобно. Растојање између ослонаца AD L. Дужина штапа AB је L, а штапа DE 3/2 L. Одредити векторe елементарних померања тачака B и E, ако се угао промени за елементарну вредност d. Уцртати на слици ове векторе, као и положаје тренутних полова брзина штапова. 6

17 Пример 5.0. Затега која је одржавала приказани систем у равнотежи, изненада је пукла. Систем којег чине штап ОА и тело М започиње кретање тако да крај А штапа клизи по једној страни тела М и гура га удесно, како је приказано на слици. Познато је да у почетном тренутку, непосредно након пуцања затеге, штап има угаоно убрзање 0 0. Колико у том почетном тренутку износи убрзање тела М. Резултат изразити у функцији од 0 и угла 0 којег у почетном тренутку штап гради са хоризонталом. Какав је утицај пораста почетног угла 0, на почетно убрзање тела. Усвојити да је дужина штапа L. Пример 5. Одредити све као у претходном задатку, ако се сада штап наслања на квадратну плочу, како је приказано на слици. Пример 5.2. Радни елемент кровног вентилатора пречника 800 mm обрће се око непомичне осе угаоном брзином од 345 об/мин. Одредити фревенцију f обртања (фреквенција је обрнуто пропорционална времену које је потребно за један пун обртај, тј. f Hz). Такође T одредити брзину и убрзање тачке на обoду радног елемента. Како гласи закон кретања пројекције тачке обода радног елемента на непокретни правац? Пример 5.3 Диск који се обрће око непокретне осе, започиње кретање из стања мировања равномерно убрзано. Десет минута од почетка кретања диск има угаону брзину од 20ob / min. Колико обртаја направи диск у току тих 0 min? Пример 5.4 Диск полупречника R / 4m се обрће равномерно. Брзина тачака обима диска је 2 m/ s. Колико обртаја у минути направи диск? 7

18 Пример 5.5 Диск полупречника 2m се обрће равномерно успорено. 20 s од тренутка када је започето успоравање, диск је учинио 600 обртаја. Осим тога, познато је да његова угаона брзина у тренутку 5 s од почетка успоравања, износи 30 s. У задатку је потребно одредити тангенцијално убрзање тачке обима диска у тренутку 20 s. Пример 5.6 Носач уклештен на једном, а слободан на другом крају (конзола) може изгубити стабилност стварањем пластичног зглоба на месту уклештења, како је приказано на доњој слици. Познато је да у почетном тренутку (када кретање започиње) почетна вредност угаоног убрзања износи 3 g 0 2 L, где је g гравитационо убрзање. Ако је кретање греде раномерно убрзано, одредити колика је вредност угаоне брзине у положају када греда током кретања образује угао од 30 са хоризонталом. Такође, одредити и брзину краја штапа B у том положају. Дужина штапа је L 4m. Пример 5.7 Рам ABCD приказан на слици a) (три пута статички неодређени рам) може под одређеним околностима и оптерећењем постати покретљив, тј. постати механизам. Један од могућих сценарија је да се формирају 4 пластична зглоба, како је приказано на слици б). Ако је познато да у приказаном почетном тренутку, штап AB има угаоно убрзање 2s 2 и које остаје непромењено, одредити a) угаоне брзине штапова у положају у којем штап AB образује угао од 30 у односу на почетни положај; a) брзине и убрзања тачака Е и К (тачка К је на средини штапа CD, усвојити L 3m ); б) скицирати положаје и остала два штапа, ако је крај штапа B прешао у положај B како је приказано на слици ц). ц) каква кретања сваки од елемената изводи? 8

19 5.7.. ОПШТИ ИЗРАЗИ 5.7 РАВАНСКО КРЕТАЊЕ ТЕЛА Кинематска дефиниција: Раванско кретање је такво кретање код којег вектор угаоне брзине тела има константан правац и нормалан је на вектор брзине било које тачке тела. Геометријска дефиниција: Раванско кретање тела је такво кретање код којег се три тачке тела крећу у непокретној равни. Уочиће се затворена површ покретног тела која настаје пресеком покретног тела и хоризонталне непокретне xoy равни (Слика 5.5. а). Ту површ можемо да посматрамо као плочу која се креће у непокретној равни дефинисана осама x и y усвојеног к.с (Слика 5.5 б)). Слика 5.5 Оса z покретног к.с. је нормална на раван кретања, односно оса z је стално паралелна непокретној z оси. Јединични вектор осе z, k је константан, тако да важи k 0 (вектор угаоне брзине) је колинеарна са k, тј. нормална је на раван кретања. Са је на Слици 5.5 означен угао између осе x и осе x. Промена тог угла са временом представља угаону брзину, k. (5.5) 9

20 Може се приметити да је израз (5.5) исти као код обртања тела око непокретне осе. Претпоставимо да нам је кретање тачке А познато, (дефинисано вектором r A / ). O Желимо да успоставимо релацију између брзине неке произвољне тачке B и тачке A. Слично већ раније приказаном начину, уочава се вектор положаја r B / тачке B у O непокретном к.с. Тај вектор се може представити као векторски збир, (5.6) r r r B/ O A/ O B/ A где је r B / вектор положаја тачке B у покретном к.с. Као A што сада знамо, r B / је вектор са константном дужином A (ради се о крутом телу, тако да је растојање између било Слика 5.6 које две тачке константно). Брзину тачке B можемо добити било диференцирањем по времену израза (5.6) или једноставно коришћењем израза (3.50). (5.7) B/ O A/ O rb / A A/ O B / A Као што видимо, мористимо исти израз који је већ изведен. Једино, што у случају раванског кретања које разматрамо у овом делу, сви вектори у изразу (5.7) леже у једној равни. Најчешће, векторски израз (5.7) у задацима користимо тако што векторе пројектујемо на две осе и тако добијемо две скаларне једначине из којих се могу одредити две непознате величине. Слично, за одређивање убрзања тачке B при раванском кретању, користимо израз (3.52), имајући у виду да сви вектори леже у једној равни ВЕЗА ИЗМЕЂУ ПРОЈЕКЦИЈА БРЗИНА ДВЕ ТАЧКЕ НА СПОЈНУ ПРАВУ Користећи израз (5.7), тј., везу између вектора брзина неке две тачке А и B тела које се креће равански, и пројектовањем те векторске једначине на осу која лежи на правцу AB, добија се cos cos. (5.8) B A Углови и су углови које вектори брзиа тачака А и B образују са правцем AB, како је приказано на Слици 5.7. Слика

21 5.7.3 ТРЕНУТНИ ПОЛ БРЗИНЕ Приликом разматрања раванског кретања, од интереса може бити одређивање тренутног пола брзина. Тренутни пол брзина је тачка чија је брзина у посматраном тренутку једнака нули. Она се може налазити на телу, али такође и ван тела. Тренутни пол брзина се обично означава са P. Користећи израз (5.7), вектори брзина тачака А и B у односу на тренутни пол су A B P P P A P B,, A B P P AP, BP, A B P A P B AP. (5.9) BP Положај тренутног пола брзина се графички добија у пресеку нормала на правце брзина две тачке. На Слици 4.9 су приказани начини одређивања тренутног пола брзина за неке карактеристичне случајеве: Слика КОТРЉАЊЕ БЕЗ КЛИЗАЊА (КБК) Кажемо да се једно тело котрља без клизања по другом телу (Слика 5), уколико су им брзине у тачки контакта међусобно једнаке, тј E D. (5.20) Слика 5.9 2

22 Уколико је једно од та два тела непокретно, брзине свих његових тачака су једнаке нули. Уколико се друго тело котрља без клизања по том непокретном телу, тада је за покретно тело тачка контакта са непокретним, тренутни пол брзина. Ово је посебно од значаја код случаја кретања диска по непокретној подлози. Уколико се диск котрља без клизања по непокретној подлози, она тачка на диску која је у том тренутку у контакту са подлогом, представља тренутни пол брзина за диск. C P C P P P C C (5.2) r (5.22) C Слика КОТРЉАЊЕ СА КЛИЗАЊЕМ (КСК) ПРИМЕРИ Пример 5.8. Штап AB дужине L се креће у равни тако да му крајеви клизе по непокретној хоризонталној, односно вертикалној равни. Ако је током кретања позната брзина краја (тачке) А, одредити: а) брзину тачке B и угаону брзину штапа у функцији брзине краја А и угла ; б) ако је познато да је интензитет брзине тачке А 2 m/s у положају када је угао =30, одредити брзину тачке B као и угаону брзину штапа. Пример 5.9. Штап дужине 2 a се креће тако да му крајеви клизе по хоризонталној, односно вертикалној непокретној равни, како је приказано на слици. Позната је брзина краја А, A која је константног интензитета и приказаног смера. Одредити у функцији A, a и угла којег штап гради са хоризонталом: а) угаону брзину штапа; б) интензитет брзине средишта C штапа (такође скицирати 22

23 правац и смер брзине); в) интензитет брзине краја B (скицирати и смер и правац). Напомена: Резултате изразити у функцији: A, a и. Решења: а) A ; б) A C ; в) B A cot 2asin 2sin Пример Штап AB познате дужине L се може кретати тако да му крајеви A и B клизе по хоризонталној, односно вертикалној равни, како је приказано на сликама. На сликама I и II су приказана два различита положаја штапа током кретања. За први случај, приказан на слици I, угао који штап у том тренутку заклапа са вертикалом је већи од 45. У случају II, угао је мањи од 45. Одредити везу између брзина крајeва штапа, тј. везу између A и B и одредити који крај штапа има већи интензитет брзине, за сваки од ова два случаја. Величине: L, и сматрати познатим. Решење: tan ; I) 45 A B ; II) 45 A B. A B Пример 5.2. Систем крутих тела чине два штапа једнаких дужина L 4m и међусобно повезана зглобом. Штап ОА је крајем О везан за подлогу помоћу непокретног цилиндричног зглоба О. Други штап крајем B се слободно наслања на хоризонталну раван. У почетном тренутку систем мирује и штап ОА гради угао од 30 са вертикалом. Познато да је угаоно убрзање штапа ОА у почетном тренутку износи 0 0. а) Уколико штап ОА наставља кретање са непромењеним убрзањем, колико је брзина тачке B и угаонa брзина штапа AB у тренутку када током кретања, штап ОА заклапа угао од 60 са вертикалом; б) Одредити у почетном тренутку убрзање тачке B. Пример Систем крутих тела чини штап и диск полупречника R 5cm. Штап се креће по хоризонталној равни по закону xt 0cost mm. Диск се по горњој непокретној површи котрља без клизања, а такође нема проклизавања ни између диска и штапа. Одредити: а) угаону брзину и угаоно убрзање диска у функцији времена; 23

24 б) брзину и убрзање центра диска, као и брзину тачке B која је на ободу диска у тренутку t s. 4 Пример Проста греда (статички одређен носач, ослоњен на својим крајевима на непокретни цилиндрични зглоб у А, и покретно лежиште у B) може под одређеним оптерећењем постати покретљива појавом пластичног зглоба Z између ослонаца. Одредити угаоне брзине делова AZ и ZB, као и брзину ослонца B у тренутку када део AZ гради угао од 30 у односу на хоризонталу. Резултат изразити у зависности од места на којем се појавио зглоб, тј. AZ x. Познато је да је угаоно убрзање дела AZ, s 2 const. AZ Пример Претпоставимо да је рам ABCD из задатка 3.5 (вежбе 3) постао покретљив, тј. механизам, појавом пластичног зглоба на средини штапа BC дужине L=3 m како је приказано на слици. Одредити угаоне брзине елемената EC и DC у приказаном положају у којем угаона брзина дела ABE износи s. Такође, у приказаном положају одредити положаје тренутних полова брзина свих елемената. Дужине AB DC L. Колика су у том положају убрзања тачака B и E. Пример Одредити координате тренутних полова брзина лука на три зглоба приказаног на слици, ако се ослонац А померио у: а) хоризонталном правцу, б) вертикалном правцу. Пример Нека је у положају приказаном на слици позната угаона брзина елемента, као и положај тренутног пола брзине елемента 2, тј познато је BP b и CP b2 (са P је означен тренутни пол брзине елемента 2). Одредити: а) угаону брзину штапа 3 у датом положају; 24

25 б) елементарно обртање штапа 3 у разматраном положају, ако је познато да је интензитет елементарног померања тачке B, dr. B Пример Три крута штапа дужина l, l 2 иl 3 су међусобно и за подлогу везани зглобно, како је приказано на слици. Уколико је познат интензитет елементарног померања dr B тачке B, одредити колико износи елементарно померање тачке C. Резултат изразити у функцији dr B, углова и које штапови AB и DC образују са хоризонталним правцем који пролази кроз тачке А и D, као и дужина l, l 2, l 3 и а. Растојање између непокретних цилиндричних зглобова А и D износи а. Специјално, ако је l l3 и l2 a, колико тада износи елементарно померање тачке C? Решења: asin l3 sin drc drb ; asin l sin Пример 5.28 Статички стабилној структури коју су сачињавали следећи крути елементи: плоча OAB облика једнакостраничног троугла странице а, и два штапа AD и BD, такође дужина а, уклоњен је штап BD. Структура постаје нестабилна, тј. постаје механизам. Уколико је познато елементарно померање темена А плоче, dr A, одредити колико је елементарно померање покретног лежишта D за два различита случаја ослањања приказана на сликама а) и б). У темену О је плоча за подлогу везана зглобно (непокретни цилиндрични зглоб). Одредити за који случај ослањања је померање ослонца D веће, а такође одредити и колико та разлика износи? a) drd Решење: а) drd 3 dra ; б) drd dra 3 b) dr D 25

26 Пример 5.29 Плоча облика једнакокраког правоуглог троугла катете m се креће у равни цртежа. При томе су, у положају приказаном на слици познати интензитети следећих величина: B 2m/ s, A m/ s, док су им правци и смерови приказани на слици. Одредити угаону брзину плоче, као и брзину тачке C. Пример Плоча облика једнакостраничног троугла странице a m се креће у равни цртежа, тако да је у положају приказаном на слици интензитет брзине тачке А: A m/ s, Док је правац и смер тог вектора, као и вектора брзине тачке B, приказан на слици. Одредити угаону брзину плоче, као и брзину тачке C Пример 5.3. Одредити тренутне полове свих елемената на приказаној конструкцији. Колико је елементарно померање тачке Е, уколико се штап AB заокрене за елементарни угао d. 26

27 Пример 5.32 У приказаним конструкцијама одредити степен слободе кретања. Затим, одредити положаје тренутних полова брзина за сваки елемент. Одредити и елементарна померања свих тачака, уколико се елемент који је за подлогу везан непокретним цилиндричним зглобом, заротира за елементарни угао d. Пример 5.33 У приказаним конструкцијама одредити степен слободе кретања. Затим, одредити положаје тренутних полова брзина за сваки елемент. Одредити и могућа елементарна померања свих тачака. 27

28 28