MATEMAATIKA RAKENDUSED, REAALSETE PROTSESSIDE UURIMINE

Transcript

1 MATEMAATIKA RAKENDUSED, REAALSETE PROTSESSIDE UURIMINE Gümnaasiumi laia matemaatika ainekava õppematerjal Ants Aasma, Ako Sauga, Riina Timmermann TALLINN 013 See teos on litsentseeritud Creative Commonsi Autorile viitamine + Mitteäriline eesmärk + Jagamine samadel tingimustel 3.0 Jurisdiktsiooniga sidumata litsentsiga.

2 Sisukord 1. Mis on mudel Mudelite põhiomadused ja erinevad esitusviisid Ülesanded Andmed ja mudel Õpime tõlkima: mudeli verbaalne ja matemaatiline kuju Mudeleid võrdelise ja pöördvõrdelise sõltuvusega Ülesanded Konstantne muutumine ja lineaarsed mudelid Lineaarse mudeli parameetrite leidmine ja tõlgendamine Ühtlase liikumise graafikud Ülesanded Kuidas leida parimat sirget Regressioonanalüüs ja vähimruutude meetod Regressioonmudeli kirjeldusvõime Tõus ja langus: paraboolsed mudelid Odavise ja ettevõtja tulu: mis on neil ühist Kasumi maksimeerimine Ülesanded Kas maailmas jätkub ressursse? Eksponentsiaalne ja logistiline kasv Populatsiooni eksponentsiaalne kasv Ülesanded eksponentsiaalsete mudelite kohta Logistiline kasv Ülesanded logistilise kasvu kohta Võta või jäta Ratsionaalne otsustamine Ülesanded Muusika, matemaatika ja siinus Nootide pikkus ja geomeetriline jada... 84

3 8.. Heli kui harmooniline võnkumine Toonid, ülemtoonid ja harmooniline analüüs Agendid mudelis Komplekssüsteemid Lihtne ühemõõtmeline rakk-automaat Agendipõhised mudelid Lisaülesandeid mudelite koostamise kohta Lisad Lisa 1. Lineaarvõrrand ja selle lahendamine Lisa. Ruutvõrrandid Lisa 3. Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine Lisa 4. Võrdeline sõltuvus Lisa 5. Lineaarne sõltuvus Lisa 6. Lineaarse võrrandisüsteemi graafiline lahendamine Lisa 7. Pöördvõrdeline sõltuvus Lisa 8. Ruutfunktsioon Lisa 9. Eksponentfunktsioon Lisa 10. Logaritmid, logaritmfunktsioon Lisa 11. Modelleerimisel kasutatavaid funktsioone, kokkuvõte Lisa 1. Funktsiooni ekstreemumite tarvilikud ja piisavad tingimused Lisa 13. Majanduses kasutatavad funktsioonid Lisa 14. Lineaarse regressioonmudeli parameetrite arvutusvalemid Lisa 15. Determinatsioonikordaja arvutuskäik... 1 Lisa 16. Eksponentsiaalse kasvumudeli tuletamine integreerimise abil

4 Eessõna Käesolev õpik on osa õppekomplektist, mis on mõeldud gümnaasiumi laia matemaatika 14. kursuse Matemaatika rakendused, reaalsete protsesside uurimine õppimiseks. Kursuse õppeeesmärgiks on tutvustada matemaatika rakendusi erinevates valdkondades (bioloogia, füüsika, geograafia, keskkond, majandus, muusika, sport, tehnoloogia, tervishoid) ja anda oskusi lihtsamate reaalseid nähtusi kirjeldavate matemaatiliste mudelite loomiseks, nende analüüsimiseks ja tõlgendamiseks. Erinevate reaalses elus toimuvate protsessidega tutvumine toimub interaktiivsete simulatsioonide abil, projektitöödes analüüsitakse ka reaalseid protsesse ja nähtusi. Õpikus on iga peatüki alguses toodud vastava teema õppe-eesmärgid, oodatavad õpitulemused ja eelteadmised matemaatikast, mis on vajalikud antud teema läbimiseks. Seejärel on loetelu õpikeskkonnas Moodle olevatest lisamaterjalidest, mis aitavad antud teemat läbida: interaktiivsed demod, enesekontrolli testid. Tuuakse ära ka arvutiklassis toimuvate tundide teemad. Nende tundide jaoks on eraldi töölehed, mis asuvad Moodles. Õpikus tutvustatakse põhimõisteid ja meetodeid erinevatest valdkondadest näidete abil, sest mudelite koostamist ja analüüsi on sobiv õppida just näidete uurimise ja ülesannete lahendamise abil. Näidete uurimisel on soovitav leida vastused tekstis esinevatele küsimustele, mis on tähistatud K1.1, K1.,... Õpikus esinevad ülesanded on mõeldud lahendamiseks paberi, pliiatsi ja kalkulaatori abil. Alapeatükid algavad uuelt lehelt, et soovi korral oleks võimalik ülesandeid sisaldavad alapeatükid eraldi välja trükkida. Õpiku lõpus on lisad matemaatiliste mõistete ja meetodite kordamiseks, samuti mõned pikemad tuletuskäigud. Lisada tarkvara kohta Töögrupp avaldab siirast tänu retsensentidele Sirje Sillale ja Indrek Zolkile kasulike ning asjatundlike märkuste eest. Veel väärivad meie tänu Gustav Adolfi Gümnaasiumi õpilased Õppematerjali koostamine sai võimalikuks tänu edukale koostööle Katrin Saartiga Eesti Teadusagentuurist. Õppematerjal on valminud Eesti Teadusagentuuri programm TeaMe raames ning rahastatud Euroopa Sotsiaalfondist. TeaMe on teadust ja tehnoloogiat populariseeriv 4

5 programm, mille üheks eesmärgiks on uute loodus-, täppis- ja tehnikateaduste valdkonna õppematerjalide väljatöötamine üldhariduskoolile. Lisainfo: Tallinnas, 013 Autorite nimel 5

6 1. Mis on mudel Suur osa matemaatikast on mitmesuguste funktsioonide uurimine ja erinevat liiki võrrandite lahendamine. Kas lisaks loogilise mõtlemise arendamisele saab õpitut kasutada ka igapäevaelus? Reaalses maailmas ringi liikudes ei näe me ju kuskil funktsioone ega võrrandeid. Järgnevaga püüame anda nõuandeid, kuidas luua seos reaalse maailma ning võrrandeid ja funktsioone sisaldava abstraktse maailma vahel. Reaalse mailma tunnetamine mõistete ja kujundite abil on lihtsamalt öeldes mõtlemine. Matemaatilise mõtlemise korral kasutatakse matemaatilisi mõisteid ehk matemaatika keelt. Matemaatiline modelleerimine on mingi reaalses elus esineva situatsiooni tõlkimine matemaatika keelde. Matemaatiliste mudelite koostamisel liigutakse reaalsest maailmast matemaatika mõistete abstraktsesse maailma. Mudeli loomiseks kasutatakse erinevaid matemaatilisi funktsioone ning mõnikord nimetatakse neid ka analüütilisteks mudeliteks. Seejärel mudelit analüüsitakse, otsitakse lahendeid, optimeeritakse jne, milleks läheb vaja mitmesugust matemaatilist aparatuuri. On hulgaliselt näiteid, kus keerukate probleemide lahendamiseks saab hakkama väga lihtsa matemaatikaga, kuid üldiselt probleemi keerukuse suurenemisel suureneb ka kasutatava matemaatilise aparatuuri keerukus. Saadud tulemustega minnakse tagasi reaalsesse maailma ning matemaatilist lahendit kasutatakse meid huvitava reaalse probleemi lahenduse formuleerimiseks. Viimast etappi nimetatakse mudeli tõlgendamiseks. Õppe-eesmärgid Teema eesmärgiks on tutvustada mudeli mõistet ja põhiomadusi, mudelite erinevaid esitusviise, andmete kasutamist ning mudeli koostamise põhietappe. Õpitulemused: 1. Õpilane oskab eristada olulist informatsiooni mitteolulisest.. Õpilane teab mudelite erinevaid esitusviise. 3. Õpilane teab, millised on matemaatilise mudeli komponendid ja oskab neid eristada. 4. Õpilane teab, mis on empiirilised andmed ning kuidas neid kasutatakse mudelite koostamisel ja kontrollimisel. 5. Õpilane oskab interpreteerida graafikuid ning põhjendada, millise kujuga peab olema mingit nähtust kirjeldav graafik. 6

7 Vajalikud eelteadmised: kahe arvu erinevus protsentides, sirge võrrand (lisa 5), sirge võrrandi leidmine kahe punkti põhjal (lisa 5), astmefunktsioon, logaritmi mõiste ja logaritmide omadused (lisa 10). Tund arvutiklassis E-raamat Mudelite põhiomadused. Iseseisev töö E-tund Mudelite erinevad esitusviisid Mudelite põhiomadused ja erinevad esitusviisid E-raamatu Mudelite põhiomadused läbitöötamisel tutvutakse mudeli mõiste ja selle põhiomadustega. Järgnevalt toome kokkuvõte olulisemast. Mudel on reaalses maailmas esineva objekti analoog, mis asendab seda objekti tunnetusprotsessis. Mudel peab välja tooma olulise; kõrvale jätma mitteolulise. Matemaatiline mudel on originaali kirjeldavate matemaatiliste seoste kogum. Matemaatilise mudeli y= f ( x1, x,, a, b,...) komponendid on: sõltuv muutuja y ehk funktsioon; sõltumatud muutujad x 1, x, ehk argumendid; mudeli parameetrid a, b,. Parameetrite arvväärtused leitakse reaalsest elust saadud andmete põhjal. Mudeli kuju, kus parameetrite arvväärtused puuduvad, nimetatakse mudeli üldkujuks. Kui parameetritele on antud konkreetsed arvväärtused, siis on meil olemas mudeli konkreetne kuju. Näiteks e-raamatu Mudelite põhiomadused läbitöötamise käigus tuli leida peatumisteekonna mudeli üldkuju 7

8 v0 v0 s( v0) = t, 3,6 3,6 a km kus peatumisteekond s (meetrites) on sõltuv muutuja ja algkiirus v 0 h on sõltumatu m muutuja. Reaktsiooniaeg t (sekundites) ja pidurdamisel mõjuv kiirendus a on selles s mudelis parameetrid. Kasutades konkreetse juhi reaktsiooniaega t= 0,9s ja konkreetsetes oludes m (kuiv asfalttee) mõjuvat kiirendust a= 8, saame mudeli konkreetse kuju s v0 v0 s( v 0) = 0,9 +. 3,6 3,6 8 E-tunnis Mudelite erinevad esitusviisid tutvusime järgnevate mudeli esitusviisidega: matemaatiline ehk analüütiline mudel; graafik; diagramm; tabel; verbaalne mudel (nähtuse või objekti iseloomustamine sõnadega); kontseptuaalne mudel (näitab valitud objekte ja nendevahelisi seoseid); füüsiline mudel. 8

9 1.. Ülesanded Tuule-külma indeks E-õppekeskkonna õppetunnis Mudelite põhiomadused tutvusime tuule-külma mõistega. Eesti Terviseameti kodulehel oleva tuule-külma indeksi tabelist (paremal) võib näha, et kui õhutemperatuur on -8ºC ja tuule kiirus m 7 s, siis tuule-külma indeks on -16ºC ning klassi õpilaste kehalise kasvatuse tundi ei tohi õues läbi viia (lubatud on kuni -15ºC). Kas võib aga tundi õues läbi viia, kui välisõhu temperatuur on -10ºC ja tuule kiirus m 4 s? Õhutemperatuuri -10ºC jaoks tabelist me väärtusi ei leia. Vaja oleks matemaatilist mudelit, mille alusel see tabel on koostatud. Selleks on USA, Kanada ja Suurbritannia teadlaste poolt välja töötatud valem t t v t v 0,16 0,16 WC = 13,1+ 0,615 13,96 + 0,4867 (1.1) kus t on õhutemperatuur Celsiuse skaalas ja v tuule kiirus meetrit sekundis. Mudeli saamiseks mõõdeti inimeste näonaha temperatuuri erinevate õhutemperatuuri ja tuule kiiruse väärtuste m km korral. Katsealused liikusid vastu tuult kiirusega 1,4 5 s h. Valem (1.1) kehtib, kui õhutemperatuur on väiksem kui +10ºC ja tuule kiirus suurem kui m 1,3 s. Tihti on mudelil kindel kehtivuspiirkond: argumentide väärtuste vahemik, kus mudelit võib rakendada Kui välisõhu temperatuur on -10ºC ja tuule kiirus õues läbi viia? 9 m 4 s, kas tohib kehalise kasvatuse tundi 1... Suusatamise kiirlaskumisel võib sportlase kiirus ulatuda 00 kilomeetrini tunnis. Millist temperatuuri tajub sellisel juhul kiirlaskuja, kui ilm on tuulevaikne ja õhutemperatuur on -5ºC? Milline peaks olema tuule kiirus, et tuulekülm oleks -10ºC a) õhutemperatuuri 0ºC korral;

10 b) õhutemperatuuri -5ºC korral? Mudeli parameetrite arvväärtused sõltuvad mudelis olevate suuruste mõõtmiseks kasutatud mõõtühikutest Wikipedia inglisekeelses artiklis Wind chill on tuulekülma indeksi valem kujul, kus tuule kiiruse V ühikuks on kilomeetrit tunnis: T = 13,1+ 0,615T 11,37V + 0,3965T V. (1.) 0,16 0,16 WC a a Siin T a on õhutemperatuur Celsiuse skaalas (sama, mis t valemis (1.1)). Näidata, et kui kasutada tuule kiiruse mõõtmiseks ühikuid m/s, siis saame valemist (1.) valemi (1.1) Eesti Meteoroloogia- ja Hüdroloogia Instituudi (EMHI) ilmateenistus avaldab kahte erinevat tuulekülma indeksit. Tuulekülm on arvutatud valemiga (1.1), mida kasutab ka Soome meteoroloogiateenistus. Tajutava temperatuuri arvutamiseks kasutatakse aga Austraalia meteoroloogiateenistuse valemit (Australian Apparent Temperature AT), mis arvestab lisaks õhutemperatuurile t ja tuule kiirusele v ka õhuniiskust: AT = t+ 0,33p 0,70v 4,00. (1.3) t Õhuniiskust kirjeldab selles valemis antud temperatuuril õhus oleva veeauru rõhk p t, mille arvutamiseks kasutatakse valemit t 17,7t Srel 37,7 t 6, Ühe ja sama nähtuse modelleerimiseks võib kasutada erineva kujuga matemaatilisi mudeleid. + p = e, (1.4) kus S rel on õhu suhteline niiskus protsentides. a) Mitu argumenti on tajutava temperatuuri valemis (1.3)? b) Leida EMHI kodulehelt tabel, kus on toodud nii tajutav temperatuur kui ka tuulekülm (Ilmavaatlused -> Meteoroloogilised -> Ekstreemumid -> Külm). Valida kodukohale lähim jaam, kus mõõdetakse ka õhu relatiivset niiskust. Kasutades mõõdetud tuule kiirust, õhu relatiivset niiskust ja õhutemperatuuri, leida valemite (1.3) ja (1.4) alusel tajutav temperatuur ning võrrelda tulemust tabelis toodud väärtusega. 10

11 1.3. Andmed ja mudel Näide 1.1. Bode seadus aastal sõnastas saksa astronoom Johann D. Titius reegli, kuidas päikesesüsteemi planeetide kaugusi Päikesest saab kirjeldada lihtsa matemaatilise seose abil. Selleks ajaks oli teada kuus planeeti ja alljärgnevas tabelis on toodud nende kaugused Päikesest astronoomilistes ühikutes (astronoomiline ühik on Maa ja Päikese vaheline kaugus, tähiseks aü) aastal avaldas teine saksa astronoom Johann Bode raamatu, kus ta tutvustas seda seaduspärasust laiemale avalikkusele ja seepärast tuntakse seda Bode seaduse (Bode law) nime all, kuid mõnikord kasutatakse õigluse huvides ka nimetust Titius-Bode seadus. Planeet Tegelik kaugus Päikesest (aü) Kaugus Bode seaduse järgi (aü) Merkuur 0,39 (0+ 4) :10= 0,4 Veenus 0,7 (3+ 4) :10= 0,7 Maa 1,0 (6+ 4) :10= 1 Andmed, mis on saadud mõõtmiste või vaatluste põhjal, on empiirilised andmed (kr empeiros kogenud). Marss 1,5 (1+ 4) :10= 1, Jupiter 5, (48+ 4) :10= 5, Saturn 9,54 (96+ 4) :10= 10 K 1.1. Milline on Bode seaduse kuju? K 1.. Milline kaugus peaks olema planeedil, mis asuks Marsi ja Jupiteri vahel? aastal avastati Marsi ja Jupiteri vahel väikeplaneet ehk asteroid Ceres, mille kaugus Päikesest on,8 aü ja diameeter ligikaudu 0,06 Maa diameetrit. Nüüdseks on avastatud selles piirkonnas ligikaudu 000 asteroidi ning Hea mudel suudab prognoosida ka neid andmeid, mis mudeli koostamise ajal pole veel teada. seda piirkonda nimetatakse ka asteroidide vööks. Üheks hüpoteesiks oli, et seal asus kunagi planeet Phaeton, mis purunes kokkupõrkes komeediga. Kaasajal pooldavad teadlased hüpoteesi, et päikesesüsteemi tekkimise ajal oleks sinna pidanud küll planeet tekkima, kuid hiiglaslik 11

12 Jupiter segas planeedi tekkimise protsessi ja asteroidide vöö on jäänuk protoplanetaarsest kettast, millest tekkisid planeedid. K 1.3. Leida Bode seaduse põhjal Saturnist järgmise kahe planeedi kaugused. Saturnist kaugemal olevate planeetide tegelikud kaugused Päikesest on järgmised: Uraan Neptuun Pluuto (väikeplaneet) 19, aü 30,06 aü 39,44 aü Nagu veenduda võib, ei prognoosi Bode seadus Neptuuni kaugust. Bode seadusel puudub seni veel korrektne teoreetiline põhjendus, kuid teoreetilised kaalutulused ja vaatlused näitavad, et tõenäoliselt kehtib igas stabiilses planeedisüsteemis Bode seaduse tüüpi seos. See hüpotees leidis kinnitust 010. aastal, kui Euroopa Lõuna Observatooriumi teadlased avaldasid artikli kauge tähe HD planeedisüsteemi kohta, millest on kirjutatud ajakirja The Economist 4. aug a. numbri artiklis Bode s law lives!. Näide 1.. Lindude eluea sõltuvus massist Lindude eluiga mõjutavad mitmed tegurid: ilmastiku- ja toitumistingimused, kiskjad, haigused ja inimtegevus. Suurematel lindudel on üldiselt pikem eluiga kui väikestel. Suurbritannia ornitoloogid kogusid andmeid erinevate linnuliikide keskmise eluea ja kehamassi kohta, et modelleerida linnu eluea pikkuse sõltuvust linnu massist. Linnuliik Mass, kg Eluiga, aastad Metsvint 0,0 1 Koduvarblane 0,07 1,5 Jäälind 0, Harakas 0,5 15 Raudkull 0,34 16 Kaelustuvi 0,5 17 1

13 Rabapistrik 1,0 19 Toonekurg 3,5 4 Kaljukotkas 6,0 6 Matemaatilise mudeli konstrueerimiseks on vaja: 1. Valida sobiv matemaatiline seos, mis kirjeldaks linnu massi ja eluea vahelist sõltuvust, st konkretiseerida matemaatilise funktsiooni kuju.. Andmete põhjal määrata mudeli parameetrite arvväärtused. 3. Mudeli headuse hindamiseks võrrelda mudeli põhjal leitud väärtusi arvandmetega. 1. Sobiva matemaatilise seose leidmine Tähistame massi tähega M ja eluiga tähega L (ingl k longevity). Mudelit otsime siis kujul L= f ( M ). Et otsustada, millist funktsiooni kasutada, tuleb kõigepealt kanda andmed teljestikku ja seejärel võrrelda punktiparve kuju tuntud funktsioonide graafikutega. Hajumisdiagrammilt näeme, et seos on mittelineaarne. Kasutatava funktsiooni graafik peab olema kasvav ja kumer. Lisas 11 on toodud mõningate modelleerimisel kasutatavate funktsioonide graafikud. Näeme, et graafiku kuju põhjal sobib kas logaritmiline mudel või astmefunktsioon. Mõistlik on eeldada, et linnu mass M ja eluiga L on alati positiivsed suurused; kui M = 0, siis ka L= 0, st graafik peab läbima punkti (0,0). Sellist diagrammi, kus vaatlus- või katseandmed on kantud teljestikku, nii et ühel teljel on üks suurus ja teisel teljel teine suurus, nimetatakse hajumisdiagrammiks (satter diagram). 13

14 Järelikult sobib astmefunktsioon ja mudelit otsime kujul b L( M ) = am, (1.5) kus a ja b on mudeli parameetrid. Parameetrite jaoks kehtivad järgmised tingimused: a> 0 ja 0< b< 1. K 1.4. Miks kehtivad parameetrite jaoks sellised tingimused? Järgnevalt tuleb leida parameetrite a ja b arvväärtused, nii et matemaatiline mudel kirjeldaks arvandmeid võimalikult hästi. Võimaluse korral kasutatakse punktiparvele sobiva sirge leidmist. Võtame valemi (1.5) mõlemast poolest logaritmi: Teisendust, kus mittelineaarne funktsioon viiakse muutujate teisendamise abil lineaarsele kujule, nimetatakse lineariseerimiseks. Seda ei saa teha aga kõikide mittelineaarsete funktsioonide korral. b log L= log( am ). Kasutades logaritmi omadusi (vt lisa 10), saame Tähistades on sirge võrrandiga log L= log a+ blog M. (1.6) y= log L, c= log a ja x= log M, näeme, et tegemist y= c+ bx (1.7) Järelikult, kui lindude eluea ja massi vahelist seost kirjeldab mittelineaarne mudel (1.5), siis logaritmitud eluea ja logaritmitud massi vahelist seost kirjeldab lineaarne mudel (1.6), mille graafikuks on sirge. Vastava sirge leidmiseks leiame arvandmetest logaritmid, kanname punktid graafikule ja leiame punktiparve läbiva sirge. 14

15 log M -1,66-1,57-1,35-0,6-0,47-0,8 0 0,54 0,78 log L 1,08 1,1 1,15 1,18 1, 1,3 1,8 1,38 1,41. Mudeli parameetrite arvväärtuste leidmine Sirge võrrandis (1.7) olevate konstantide, sirge tõusu b ja algordinaadi c ligikaudsed väärtused on b 0,13 ja c 1,9. K 1.5. Kontrolli, kas saad samad väärtused. Selleks vali sirgel kaks punkti, määra ära nende koordinaadid ja leia sirge tõus. Algordinaadi saad määrata otse graafikult. Järelikult graafikul oleva sirge võrrand on y= 0,13x+ 1,9, (1.8) kus y= log L ja x= log M. Nüüd tuleb mudel ümber kirjutada kujul (1.5). Selles valemis olev parameeter b on meil leitud. Parameetri a väärtuse saame seosest c= log a a= 10 c. Arvestades c arvväärtust 1,9 saame kirjeldav mudel on 1,9 a= 10 19,5. Järelikult lindude massi ja eluea pikkust L( M ) 19,5 0,13 = M. (1.9) 3. Mudeli võrdlemine andmetega Järgnevalt leiame erinevate linnuliikide eluead, lähtudes linnu massist ja mudelist (1.9) ning võrdleme neid tulemusi ornitoloogide poolt kogutud empiiriliste andmetega. Erinevuse arvuliseks iseloomustamiseks kasutame empiirilise eluea protsentuaalset erinevust mudeli põhjal arvutatud elueast. Näiteks metsvindi korral saame protsentuaalseks erinevuseks 1 11,9 0,011= 1,1%. 11,9 Linnuliik Mass, kg Eluiga, aastad Eluiga mudeli põhjal, aastad Protsentuaalne erinevus mudelist Metsvint 0,0 1 11,9 1,1% Koduvarblane 0,07 1,5 1,,5% Jäälind 0, ,0 7,4% 15

16 Harakas 0, ,3-7,9% Raudkull 0, ,9-5,6% Kaelustuvi 0, ,9-5,1% Rabapistrik 1, ,5 -,6% Toonekurg 3,5 4,9 4,6% Kaljukotkas 6,0 6 4,6 5,6% K 1.6. Milliste linnuliikide korral mudel prognoosib eluiga pikemaks, milliste korral lühemaks? K 1.7. Millise linnuliigi korral on eluea erinevus mudelist kõige suurem? K 1.8. Kui pikk võiks selle mudeli järgi olla kodukaku eluiga, kui tema mass on keskmiselt 700 grammi? Kodukaku eluiga ajakirja Eesti Loodus põhjal on kuni 15 aastat 1. PÕHIMÕISTED Mudel, matemaatiline mudel, mudeli üldkuju, mudeli konkreetne kuju, mudelite erinevad esitusviisid, mudeli kehtivuspiirkond, empiirilised andmed, hajumisdiagramm, lineariseerimine. ÜLESANNETE VASTUSED Ei tohi, tuulekülm on -16,6ºC ,ºC a) m 3,4 s ; b) m 3,5 s. 1 P. Pappel, Märtsi loom kakk, EL, 03,

17 . Õpime tõlkima: mudeli verbaalne ja matemaatiline kuju Mingi protsessi või nähtuse analüüsimisel püütakse seda alguses kirjeldada sõnade abil ehk verbaalselt. Näiteks teame me kõik, et liiva täis käru liigutamiseks tuleb rohkem jõudu rakendada kui tühja käru liigutamiseks. Selline kirjeldus jätab aga lahtiseks küsimuse: kui palju rohkem? Me ei saa ka teada, kui kiiresti hakkab käru liikuma, kui me seda mingi jõuga lükkame. Konkreetsete vastuste saamiseks tuleb nähtust konkreetsemalt kirjeldada ja siin tulevad appi matemaatilised seosed. Füüsikast tuntud Newtoni II seadus ütleb: Kiirendus on võrdeline jõuga ja pöördvõrdeline massiga. See on Newtoni II seaduse verbaalne kuju. Nüüd saame järeldada, et kui täis käru mass on 10 korda suurem tühja käru massist, siis sama kiirenduse saavutamiseks tuleb rakendada 10 korda suuremat jõudu. Et kirjeldus oleks kompaktsem ja arvutamine mugavam, võtame kasutusele matemaatilised sümbolid ja tähistused. Kui kiirenduse tähistamiseks kasutame tähte a, jõud on F ja mass m, siis Newtoni II seaduse matemaatiline kuju on F a=. m Matemaatiline kuju võimaldab vajadusel kasutada matemaatilisi teisendusi, näiteks kui soovime leida massi m ning antud on jõud F ja kiirendus a. Selleks tuleb mass m toodud seosest avaldada. Järgnevalt vaatame mõningaid näiteid ja ülesandeid matemaatiliste mudelite koostamise kohta, kui verbaalne mudel on ette antud ning see tuleb panna matemaatika keelde. Õppe-eesmärgid Teema eesmärgiks on anda näpunäiteid ja kogemusi matemaatiliste mudelite formuleerimiseks, kui verbaalne mudel on formuleeritud. Õpitulemused: 1. Õpilane oskab võtta kasutusele tähistusi nähtuste kirjeldustes toodud suuruste tähistamiseks.. Õpilane oskab verbaalsel kujul antud mudelit esitada matemaatilises keeles. 3. Õpilane oskab leida mudeli parameetrit, kui mudel on antud kas võrdelise või pöördvõrdelise seose abil. 4. Õpilane oskab tabelarvutuses teha andmete põhjal arvutusi: miinimumi, maksimumi ja aritmeetilise keskmise leidmine, arvutused valemite põhjal. 17

18 5. Õpilane oskab tabelarvutuses koostada andmete põhjal hajumisdiagrammi ning lisada sinna mudeli põhjal leitud joont. Vajalikud eelteadmised: võrdeline seos ja võrdetegur (lisa 4), pöördvõrdeline seos (lisa 7), ruutvõrrandi lahendamine (lisa ), kaalutud aritmeetiline keskmine, tuletise kasutamine funktsiooni miinimumi leidmisel (lisa 1). Lisamaterjalid kordamiseks Demo Võrdeline seos. Demo Pöördvõrdeline seos. Test Võrdeline ja pöördvõrdeline sõltuvus. Tunnid arvutiklassis Tõmbekeskuse mõjupiirkond. Vee tarbimise mudel (enne tuleb teha kodune ülesanne Pere ööpäevase vee tarbimise määramine )..1. Mudeleid võrdelise ja pöördvõrdelise sõltuvusega. Näide.1. Loomulik iive Kas eestlased surevad välja? Mida teha, et sündimus suureneks? Nendele küsimustele vastamiseks peab oskama modelleerida demograafilisi protsesse. Loomulik iive on sündide ja surmajuhtude arvu vahe teatud piirkonnas. Nii sündide kui ka surmajuhtude arv on võrdeline antud piirkonna rahvaarvuga. Avaldada loomuliku iibe sõltuvus rahvaarvust. Lahendus. Võtame kasutusele järgmised tähistused: i N loomulik iive; rahvaarv. Nüüd sündide arv an ja surmajuhtude arv bn, kus a ja b on positiivsed konstandid, a > 0, b> 0. Demograafias nimetatakse neid vastavalt sündimuse üldkordajaks ja suremuse üldkordajaks (ka sündimuskordaja ja suremuskordaja). 18

19 K.1. Miks konstantidele a ja b on pandud kitsendav tingimus, et need peavad olema positiivsed? Suremuse üldkordaja (lihtsustatult suremuskordaja) on mingi piirkonna surmajuhtude arv 1000 inimese kohta aastas. Sündimuse üldkordaja (seda nimetatakse sageli lihtsalt sündimuskordajaks) on mingi piirkonna kogu rahvastiku või mõne selle osa elussündide arv mingis ajavahemikus jagatuna vaatlusaluse rahvastiku keskmise suurusega selles ajavahemikus. Tavaliselt väljendatakse sündimuse üldkordajat promillides (1000 inimese kohta) ning ajavahemikuks võetakse üks aasta. Loomulik iive on nende konstantide vahe Konstantide vahe a i( N) = an bn = ( a b) N. b on samuti konstant, võtame selle jaoks kasutusele uue tähistuse: c= a b. Seda nimetatakse iibe kordajaks ja seda kasutades on loomuliku iibe mudel i( N ) Näeme, et loomulik iive on võrdeline rahvaarvuga. K.. Millal on loomulik iive positiivne ja millal negatiivne? = cn. (.1) Nagu näeme, on loomuliku iibe suurendamiseks kaks võimalust: suurendada sündimuskordajat või vähendada suremuskordajat. Mõlemad sõltuvad paljudest ühiskonda kirjeldavatest suurustest (elatustase, tervishoiu tase, keskmine sünnitamise vanus jt) ning demograafilise mudeli edasine arendamine tähendab nende kordajate modelleerimist. Tabelis on toodud mõnede Euroopa riikide sündimuse ja suremuse kordajad aastal 011 (allikas on Eurostati andmebaas). Riik Sündimuse üldkordaja (elussündide arv 1000 elaniku Suremuskordaja (surmade arv 1000 elaniku kohta) Saksamaa 8,1 10,4 Eesti 11 11,4 Suurbritannia 1,9 8,8 Iirimaa 16,3 6,3 EL (7 liikmesriiki) 10,4 5,87 K.3. Millises riigis oli 011. aastal loomulik iive kõige suurem? 19

20 K aastal oli Eestis aastakeskmine rahvaarv K.5. Kui palju oli sel aastal sünde? K.6. Kui palju oli surmasid? K.7. Kuidas muutus rahvaarv loomuliku iibe tõttu? Ühes anekdoodis küsib turist kohalikult elanikult Kui suur on teie maal suremus? Täpselt samasugune nagu teilgi, vastab kohalik. Lõppkokkuvõttes tuleb iga elaniku kohta üks surmajuhtum. K.8. Kuidas seletada seda, et suremuse üldkordaja on erinevates riikides erinev? K.9. Millest sõltub rahvaarvu muutus veel peale loomuliku iibe? Näide.. Vee tarbimine Eestis on keskmine vee tarbimine ühe elaniku kohta 100 liitrit ööpäevas (mitu ämbritäit see on?), kuid see ei iseloomusta mitmeliikmeliste perede vee tarbimist. Pere suuruse kasvades ei Mudelite korral võib võrdelisus olla antud ka argumendi x mingi funktsiooni suhtes. Lahendus. Võtame kasutusele järgmised tähistused: kasva pere vajadused võrdeliselt pereliikmete arvuga. Näiteks kolmeliikmeline pere ei vaja kolm korda rohkem elamispinda, vett ja elektrienergiat kui üksinda elav inimene. Erinevad uuringud on näidanud, et pere vajaduste kasv on võrdeline ruutjuurega pereliikmete arvust. Avaldada pere poolt ööpäevas tarbitud vee kogus funktsioonina pereliikmete arvust. V n vee tarbimine ööpäevas; pereliikmete arv. Vee tarbimine on võrdeline ruutjuurega pereliikmete arvust: V( n) = a n, (.) kus a on konstant. Konstandi arvväärtus võib erinevates riikides olla erinev. K.10. Milline tingimus tuleb konstandi a jaoks lisada? 0

21 K.11. Kasutades keskmist vee tarbimist ühe elaniku kohta (100 liitrit ööpäevas) ja seda, et 01. aasta rahvaloenduse andmeil oli Eestis keskmise pere suurus,3 inimest, määrata mudelis (.) oleva parameetri a väärtus. Selleks leida ühelt poolt keskmise pere ööpäevane vee tarbimine, kasutades tarbimist ühe elaniku kohta, ja teiselt poolt rakendada keskmise pere jaoks mudelit (.). Peale parameetri arvväärtuse määramist on vee tarbimise mudel Eesti perede jaoks V ( n) = 15 n. (.3) Vasakpoolsel graafikul (a) on mudeli (.3) graafiline esitus, sõltuvaks muutujaks on V ja sõltumatuks n. Parempoolsel graafikul (b) on sõltumatuks muutujaks võetud n (horisontaalteljel on n väärtused) ning on näha, et graafikuks on sirge. K.1. Leida mudeli (.3) põhjal, mitu liitrit vett ööpäevas tarbib 3-liikmeline pere. K.13. Vee-ettevõttele laekunud näitude alusel on teada, et teatud aadressil elava pere vee tarbimine on keskmiselt 10,3 kuupmeetrit kuus. Kui suur pere elab tõenäoliselt sellel aadressil? K.14. Tuua veel näiteid mudelitest, kus sõltuv muutuja on võrdeline sõltumatu muutuja mingi astmega. KODUNE ÜLESANNE: Leida oma pere vee tarbimine ööpäevas. Selleks saab kasutada veeettevõttele esitatud veemõõtja näitusid (vt vastavat koduse töö nr 1 juhendit). Võrrelda tegelikku tarbimist mudeli põhjal arvutatud tarbimisega. Sisestada oma pere vee tarbimine ka õpetaja poolt ettevalmistatud jagatud arvutustabelisse edasiseks analüüsiks. 1

22 Näide.3. Tõmbekeskused Eesti regionaalpoliitikas on aktuaalne teema omavalitsuste arvu vähendamine. Üheks väljapakutud ideeks on Tõmbekeskuste Eesti, mille käigus riik nimetab piirkondlikud tõmbekeskused ja omavalitsustel tuleb valida, kellega ühineda (vt näiteks Postimees 6. märts 013 Haldusreform hakkab toimuma tõmbekeskuste mudeli alusel ). Kas tõmbekeskust saab ka matemaatiliselt modelleerida? Üheks võimaluseks on aastal W. J. Reilly poolt väljapakutud kaubanduskeskuste atraktiivsuse mudel, mis oma kujult sarnaneb Newtoni gravitatsiooniseadusele (Reilly s law of retail gravitation). Reilly seadus ütleb, et linna A kui kaubanduskeskuse atraktiivsus mingi asustatud punkti P suhtes on võrdeline linna A elanike arvuga N A ja pöördvõrdeline linna A ning punkti P vahelise kauguse d AP ruuduga. Selle seaduse matemaatiline kuju näeb välja järgmiselt: R AP N =. (.4) d A AP K.15. Mis ühikutes on atraktiivsus R? Valem (.4) sarnaneb Newtoni gravitatsiooniseadusest leitava raskuskiirenduse valemiga ja seetõttu kasutatakse sotsiomeetrias (sotsiaalpsühholoogia haru) terminit demograafiline gravitatsioon. Gravitatsiooniseadus füüsikas Gravitatsioonijõud m1m F = G, r kus m 1 ja m on kehade massid, r nendevaheline kaugus ja G gravitatsioonikonstant. Raskuskiirendus Maal ehk gravitatsiooniline potentsiaal M g= G, r kus M on Maa mass ja r vaadeldava punkti kaugus Maa keskpunktist. Demograafiline gravitatsioon sotsiomeerias Demograafiline jõud N1N F =, d kus N 1 ja N on kahe asustatud punkti rahvaarvud ja d nendevaheline kaugus. Atraktiivus ehk linna A demograafiline potentsiaal punktis P. R AP N =. d A AP W. J. Reilly, The Law of Retail Gravitation, WJ Reilly, 1931.

23 Atraktiivsuse väärtus ühe tõmbekeskuse jaoks on väheütlev. Rohkem informatsiooni annab kahe tõmbekeskuse atraktiivsuse võrdlemine. Võrdleme näiteks Tallinna ja Tartu atraktiivsust Paide suhtes: Tallinna rahvaarv 01. aasta seisuga 47 tuh, kaugus Paidest 93 km. Tallinna atraktiivsus Paide jaoks on ligikaudu 49,4 in/km. Tartu rahvaarv 01 aasta seisuga 95 tuhat, kaugus Paidest 104 km. Tartu atraktiivsus Paide jaoks on ligikaudu 8,8 in/km. Järelikult Tallinn on Paide jaoks 5,6 korda atraktiivsem kui Tartu. Sageli kasutatakse mudelit (.4) kahe tõmbekeskuse mõjupiirkonna vahelise piiri leidmiseks. Selleks leitakse kaht tõmbekeskust ühendaval lõigul punkt, kus nende atraktiivsus on võrdne. R AL = R BL d AL A L B d Seda punkti nimetatakse lävepunktiks (break-even point) ja selle kaugus tõmbekeskusest A on d AL = 1+ d N N B A, (.5) kus d on kaugus kahe tõmbekeskuse vahel ning N A ja N B tõmbekeskuste elanike arvud. Kui tõmbekeskusteks on kaks konkureerivat kauplust, siis punktis L elavad inimesed sooritavad näiteks 50% oma ostudest kaupluses A ja 50% ostudest kaupluses B. Märkus: kaupluse korral on N mingi ajavahemiku jooksul kauplust külastanud ostjate arv. K.16. Tuletada valem (.5). Kui võrrelda Tallinna ja Tartu atraktiivsust, siis lävepunkt (kaardil punane balloon) asub Tallinnast 111 km kaugusel (Tallinna ja Tartu kauguseks on võetud linnulennult 163 km). 3

24 Kui tõmbekeskusi on palju, tuleb valemit (.5) rakendada iga tõmbekeskuste paari jaoks. Nii on saadud atraktiivsuse lävepunktid iga paari jaoks (joonisel punased kriipsukesed). Ühendades need punktid pideva joonega, saame iga tõmbekeskuse jaoks piirkonna, kus see on teistest atraktiivsem. Reilly seadus on loomulikult lihtsustatud mudel. Lisaks elanike arvule ja kaugusele on mitmeid muid tegureid, mis mõjutavad tõmbekeskuse atraktiivsust. K.17. Millised tegurid võivad veel tõmbekeskuse atraktiivsust mõjutada? Kas neid saab arvuliselt mõõta, et mudelit täiendada? 4

25 .. Ülesanded..1. Soomes on vee tarbimine ühe elaniku kohta 150 liitrit ööpäevas (005. aasta andmed). Keskmine pere suurus oli Soomes sel aastal,8. a) Toetudes näitele., leida vee tarbimise mudel Soome perede jaoks. b) Skitseerida (või koostada programmis GeoGebra) kaks graafikut. Üks graafik teljestikus, kus horisontaalteljel on pereliikmete arv n ja vertikaalteljel vee tarbimine V. Teine graafik teljestikus, kus horisontaalteljel on n ja vertikaalteljel V.... Koolieelse lasteasutuse tervisekaitsenõuded näevad ette, et sõimerühma mänguväljaku pindala peab olema vähemalt 7,5 m ühe lapse kohta. Omavalitsus soovib rajada uut lastesõime, mille juurde on planeeritud ruudukujuline mänguväljak. a) Milline seos on laste arvu ja mänguväljaku minimaalse lubatud pindala vahel? b) Mänguväljak tuleb igast küljest piirata aiaga ning väljaku maksumuse kalkuleerimiseks on vaja teada aia pikkust. Avaldada aia pikkus funktsioonina laste arvust, kui on täidetud tervisekaitsenõuetega ette nähtud miinimumnorm...3. Teleri ostmisel tuleb ekraani suuruse valikul tavaliselt lähtuda ekraani diagonaalist, mis tihti on antud tollides (1 toll =,54 cm). Müügil on näiteks telerid diagonaaliga 19, 3, 4, 60. Leida valem ekraani laiuse arvutamiseks sentimeetrites, kui on teada ekraani diagonaal tollides ning ekraani laiuse ja kõrguse suhe on 16:9. Kas ekraani laius on võrdeline diagonaali pikkusega?..4. E-raamatus Mudelite põhiomadused koostasime auto peatumisteekonna matemaatilise v0 mudeli. Peatumisteekond koosnes kahes osast: reageerimisteekond s1( v 0) = 0,9 meetrit ja 3,6 pidurdusteekond v0 s ( v 0) = meetrit, kus v 0 on auto algkiirus 3,6 8 km h. a) Millega on võrdeline reageerimisteekonna pikkus ja milline on võrdetegur? b) Millega on võrdeline pidurdusteekonna pikkus ja milline on võrdetegur? c) Kui pidurdusteekonna valemis kiirenduse väärtust mitte fikseerida, vaid tähistada tähega a, siis valem on kujul v =. Kuidas sõltub pidurdusteekond auto kiirendusest? 3,6 a 0 ( 0) s v 5

26 d) Kui auto kiirus on kaks korda suurem, kui palju on pikem reageerimisteekond, kui palju pidurdusteekond? e) Kui auto kiirus on 5% suurem, mitu protsenti pikeneb reageerimisteekond ja mitu protsenti pikeneb pidurdusteekond?..5. USA-s sõltub suuremate majade hind lisaks maja pindalast ka majas olevate vannitubade arvust. Hinna kalkuleerimiseks kasutatav mudel koosneb kahest liidetavast: üks on võrdeline maja pindalaga ja teine võrdeline vannitubade arvu ruuduga. Panna kirja vastav mudel...6. Viirusliku epideemia levikukiirus piirkonnas on võrdeline nii nakatunud inimeste arvuga kui ka veel nakatumata inimeste arvuga. Avaldada epideemia levikukiirus funktsioonina nakatunud inimeste arvust sajandil avastas inglise teadlane Robert Boyle, et konstantsel temperatuuril on kinnises anumas oleva gaasi rõhk pöördvõrdeline gaasi ruumalaga. Tänapäeval tuntakse seda seost Boyle- Mariotte i seaduse nime all. a) Panna kirja Boyle-Mariotte i seaduse matemaatiline kuju. b) Neljaliitrises anumas on gaasi rõhk 100 kpa. Millisel rõhul on sama kogus gaasi 15 liitrises anumas?..8. * Ettevõte valmistab merekonteinereid mahuga 69 m 3, mille pikkus on kolm korda suurem laiusest. Konteineri seinteks kasutatava materjali maksumus on 1,5 euro/m, põhi ja lagi tehakse materjalist maksumusega euro/m. a) Avaldada konteineri materjalikulud funktsioonina konteineri laiusest. b) Millise laiusega konteinerite korral on materjalikulu kõige väiksem? ÜLESANNETE VASTUSED..1. Vee tarbimise mudel Soomes on V ( n) = 51 n, kus n on pereliikmete arv ja V vee tarbimine (liitrit ööpäevas).... a) Mänguväljaku minimaalne lubatud pindala on võrdeline laste arvuga, võrdetegur on 7,5 m /lapse kohta. b) Ü = 4 7,5 n, kus Ü on mänguväljaku ümbermõõt meetrites ja n laste arv. 6

27 ..3. Ekraani laius laius on võrdeline diagonaali pikkusega. 16 l=,54 d =,1d cm, kus d on ekraani diagonaal tollides. Ekraani a) Reageerimisteekonna pikkus on võrdeline auto algkiirusega. Võrdetegur on 0,9 = 1 ; 3,6 4 1 b) Pidurdusteekonna pikkus on võrdeline auto algkiiruse ruuduga. Võrdetegur on. 3,6 8 c) Pidurdusteekond on pöördvõrdeline auto kiirendusega. d) Reageerimisteekond on korda pikem, pidurdusteekond 4 korda pikem. e) Reageerimisteekond pikeneb 5%, pidurdusteekond 56,5%...5. p( S, n) as bn positiivsed konstandid. = +, kus p on maja hind, S maja pindala, n vannitubade arv, a ja b..6. v( n) = an( N n), kus v on epideemia levikukiirus, N piirkonna elanike arv, n nakatunud inimeste arv ja a positiivne konstant. a..7. a) Olgu gaasi ruumala V ja rõhk p. Boyle-Mariotte seadus on p( V ) =, kus a on V positiivne konstant. b) 6,7 kpa...8. a) 76 C( a) 1 a b) ligikaudu,6 m. = + a, kus C on materjalikulu eurodes ning a konteineri laius meetrites; 7

28 3. Konstantne muutumine ja lineaarsed mudelid Õppe-eesmärgid Teema eesmärgiks on tutvustada erinevaid lineaarseid mudeleid ja nende kasutamist ning lineaarse mudeli koostamist. Õpitulemused: 1. Õpilane oskab võtta kasutusele tähistusi nähtuste kirjeldustes toodud suuruste tähistamiseks.. Õpilane oskab leida lineaarse mudeli parameetreid. 3. Õpilane oskab tõlgendada lineaarse mudeli parameetreid, lähtudes konkreetsest situatsioonist. Vajalikud eelteadmised: lineaarne seos (lisa 5), lineaarse võrrandi lahendamine (lisa 1), lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine (lisa 3). Lisamaterjalid kordamiseks Test Lineaarne sõltuvus. Testi ennast: millisel sirgel milline võrrand. Tund arvutiklassis Mudelite koostamine simulatsioonide põhjal Lineaarse mudeli parameetrite leidmine ja tõlgendamine Näide 3.1. Tallinna rahvaarvu mudel Järgmisel lehel oleval diagrammil on toodud Tallinna rahvaarvu muutumine aastatel Nagu näeme, kasvas aastatel Tallinna elanike arv konstantse kiirusega: punktid asuvad praktiliselt sirgel. Võib näha, et ka aastatele 1986 ja 1988 vastavad punktid asuvad selle sirge läheduses. Muutus toimus aastal, mil Tallinna elanike arv hakkas kahanema. Selle põhjuseks oli aastal toimunud sündmused: Rahvarinde loomine, öölaulupeod, 11. septembril toimunud ligi 300 tuhande osavõtjaga Eestimaa laul 1988 ning 16. novembril vastuvõetud suveräänsusdeklaratsioon. Kõik see põhjustas nõukogude võimu ajal siia rännanute massilise lahkumise. K 3.1. Leia diagrammilt, kui palju ligikaudu vähenes Tallinna elanike arv aastatel

29 Tallinna rahvaarv aastatel Märkus: aastate 1980 kuni 1985 kohta täpseid andmeid ei õnnestunud leida. Põhjuseks võis olla neil aastatel endise Nõukogude Liidu territooriumil valitsenud stagnatsioon, mil statistilisi andmeid ei soovitud avaldada. Statistiliste andmete analüüsimine oleks võimaldanud teha mitmesuguseid tollasele võimule ebameeldivaid järeldusi. 1. Sobiva matemaatilise seose leidmine Lähtudes eespool toodud diagrammist järeldame, et aastatel võib Tallinna rahvaarvu muutumist modelleerida lineaarse mudeliga. Kõiki kogutud andmeid ei saa alati mudeli koostamisel kasutada, sest erinevates piirkondades võib mudeli kuju olla erinev. Sõltuvaks muutujaks võtame rahvaarvu N tuhandetes. Sõltumatuks muutujaks olgu aeg t aastates, nii et t= 0 aastal Mudeli üldkuju on siis N( t) = at+ b, (3.1) 9

30 kus a ja b on konstandid. Parameetrit a nimetatakse lineaarliikme kordjaks ja b on vabaliige. Kui me vaatame mudelit (3.1) kui sirge võrrandit, siis a on sirge tõus ja b algordinaat. Kuid konkreetses situatsioonis tuleb neid parameetreid tõlgendada lähtudes sellest, mis on sõltuv ja sõltumatu muutuja. K 3.. Milline on parameetrite a ja b tõlgendus? K 3.3. Miks me ei kasuta sõltumatu muutujana aastaarvu?. Mudeli parameetrite arvväärtuste leidmine Lineaarsel mudelil (3.1) on kaks parameetrit. Kahe tundmatu leidmiseks on meil vaja kaht võrrandit. Kaks võrrandit saame, kui kahe sirgel asuva punkti koodinaadid paneme valemisse (3.1). Kuna mudelis on sõltuvaks muutujaks t, siis diagrammi horisontaalteljele kanname t väärtused. Märgime sirgel kaks punkti A ja B ning määrame nende koordinaadid: A(, 380) ja B(14, 460). Kui need koordinaadid panna valemisse (3.1), saame lineaarse võrrandsüsteemi 380= a + b 460= a 14 + b. (3.) Võrrandsüsteemi (3.) lahend on a 6,7 tuhat elanikku aastas b 367 tuhat elanikku. 30

31 K 3.4. Lahenda võrrandsüsteem (3.). Järelikult Tallinna rahvaarvu muutumist aastatel kirjeldab mudel N( t) = 6,7t+ 367, (3.3) kus N on rahvaarv tuhandetes ja t aastate arv alates aastast Neil aastatel kasvas Tallinna rahvaarv konstantse kiirusega ligikaudu 6,7 tuhat elanikku aastas. Lineaarse mudeli y= ax+ b lineaarliikme kordaja a näitab, kui palju muutub y, kui x muutub 1 võrra ehk y muutumise kiirust ehk; vastava sirge tõusu. Märkus: näites.1 Loomulik iive eeldati, et rahvaarvu muutus on võrdeline rahvaarvuga. Siin aga saime, et rahvaarvu muutumine oli igal aastal ühesugune, kuigi rahvaarv kasvas. Nimelt rahvaarv muutub ka sisse- ja väljarände tulemusena, mida nimetakse mehaaniliseks iibeks. Loomulikult esinevad alati mõlemad iibe komponendid ning kogu muutus on loomuliku iibe ja mehaanilise iibe summa. Neil aastatel oli aga Tallinna rahvaarvu muutumise peamiseks põhjuseks just sisseränne Nõukogude Liidu teistest piirkondadest. On põhjust arvata, et sisserände suurus oli planeeritud ehk siis kuskil võis olla kirjas arv 6,7 tuhat inimest aastas. Lapsesuu ei valeta! Mehhaaniline iive - rahvaarvu muutmine masinatega. Loomulik iive - surematuse ja surelikkude vahe aastal oli Tallinna rahvaarv 483,5 tuh. Mudel (3.3) annab aasta väärtuseks 486,6 tuhat elanikku. Näeme, et tegeliku rahvaarvu erinevus mudeli poolt prognoositud väärtusest on ainult -0,6%! Mudelit saame kasutada ka rahvaarvu prognoosimiseks neil aastatel, mille kohta meil väärtused puuduvad. Näiteks aasta väärtus on mudeli põhjal 466,5 tuhat elanikku. K 3.5. Kasutada mudelit aasta ja aasta elanike arvu prognoosimiseks aasta korral leida ka tegeliku väärtuse protsentuaalne erinevus mudeli abil leitud väärtusest. 31

32 Näide 3.. Ettevõtte kulufunktsioon Tihedas majanduskonkurentsis peab iga ettevõte oskama analüüsida oma kulusid. Kulude analüüs on esimene etapp kulude vähendamisel, mis võimaldab suurendada kasumit või alandada hinda, et tarbijad kaupa või teenust rohkem tarbiksid. Kulude planeerimist mingiks perioodiks nimetatakse eelarvestamiseks ja see on hädavajalik ka näiteks äriplaani koostamisel, mille alusel pangast laenu saadakse. Kulufunktsioon on seos tootmismahu (tegevuse mahu) q (quantity) ja kulude C (cost) vahel ning koosneb kahest liidetavast (vt ka lisa 13): püsikulu ehk fikseeritud kulu C 0, mis ei sõltu tootmismahust. Siia kuuluvad näiteks hoonete rent, kindlustus, laenu- ja liisingmaksed, kontoritöötajate palgad jms. Fikseeritud kulud leitakse kindla ajavahemiku (aasta, kvartali, kuu) kohta. muutuvkulu, mille suurus sõltub tootmismahust. Näiteks kulud materjalile, elektrienergiale, aja- või tükitööliste töötasu. Seda tähistatakse tavaliselt VC (variable cost). Järelikult kulufunktsiooni matemaatiline kuju üldjuhul on C( q) = C + VC( q). (3.4) 0 Rõhutamaks, et tegemist on erinevat komponentide summaga, kasutatakse C( q ) kohta ka tihti sõna kogukulud. Millise kujuga on muutuvkulu VC( q )? Enamasti eeldatakse, et see on võrdeline tootmismahuga VC( q) = aq, (3.5) kus a on positiivne konstant ning tähendab muutuvkulu tooteühiku kohta. K 3.6. Miks ei või parameeter a olla negatiivne? Kui kehtib (3.5), on kulufunktsioon lineaarne: C( q) = C + aq, (3.6) 0 3

33 Lineaarse kulufunktsiooni graafik. Joonisel on kriipsjoonega näidatud fikseeritud kulu väärtus tootmismahu muutudes: fikseeritud kulu on konstant, mille graafikuks on horisontaalne sirge. K 3.7. Kuidas muutub fikseeritud kulu osakaal kogukuludes, kui tootmismaht kasvab? Kulufunktsiooni parameetrite, fikseeritud kulu C 0 ja muutuvkulu tooteühiku kohta a määramiseks on põhimõtteliselt mitu võimalust, nagu iga lineaarse funktsiooni korral. 1. võimalus. Analüüsida eraldi kumbagi kulukomponenti ning leida nende väärtused. Näiteks summeerida 1 kuu jooksul kokku kõik kulud (rent, laenu tagasimakse jms), mis ei sõltu tootmismahust ja saamegi fikseeritud kulu kuus. Teiseks leida, kui palju kulutusi tuleb teha ühe toote valmistamiseks (nt materjalikulu, tööjõukulu) ja meil on olemas a väärtus. Asugu näiteks ajalehetoimetus rendipinnal, mille rent on 500 eurot kuus. Toimetuse tööjõukulud kuus on eurot. Ühe ajalehe trükkimiseks tehtavad kulud on 0,5 eurot. Kulufunktsioon on sel juhul C( q) = ,5q, kus q on trükitud eksemplaride arv. K 3.8. Kui suur on ajalehe trükiarv kuus, kui ajalehetoimetuse kogukulud kuus on eurot?. võimalus Leida kogukulud kahe erineva tootmismahu korral ning lahendada lineaarne võrrandsüsteem, nii nagu eelmises näites. 33

34 K 3.9. Ettevõtte kulud olid jaanuaris eurot ja veebruaris eurot. Jaanuaris toodeti 300 ühikut ja veebruaris 350 ühikut. Kui suur on muutuvkulu ühiku kohta ja kui suur on fikseeritud kulu kuus? Milline on ettevõtte kulufunktsioon? Majanduses kasutatakse kulufunktsiooni (3.6) lineaarliikme kordaja a nimetamiseks sageli terminit marginaalkulu (marginal cost) ehk piirkulu. Piirkulu on lisakulu ühe lisatoote tootmisel. Sisuliselt on see sama, mida sirge tõus sirge võrrandi y= ax+ b korral: suuruse y muutumine suuruse x ühikulise muutuse korral. K Järgmisel joonisel on toodud ettevõtete A ja B kulufunktsioonide graafikud? Kummal ettevõttel on fikseeritud kulud suuremad? Kummal ettevõttel on piirkulu suurem? K Kuidas on kulude lineaarse mudeli korral omavahel seotud marginaalkulu ja kulu tooteühiku kohta? Näide 3.3. Tarbimismudel Pered, kellel on suurem sissetulek, saavad ka kulutada rohkem. Pere kogukulude kasvades ei kasva aga kulutused toidule, haridusele, riietele jms ühesuguse kiirusega. Tarbimismudelid näitavad, kuidas perede kulutused erinevates valdkondades sõltuvad perede kogukuludest. Mudelite koostamiseks kasutatakse Eesti Statistikaameti leibkonna eelarve uuringutega kogutud andmeid. Kasutades 01. aasta uuringu andmeid, on leitud lineaarne mudel, kuidas pereliikme kohta arvestatud kulutused vabale ajale V sõltuvad kogukuludest pereliikme kohta aastas: 34

35 V ( K) = 0,13K 136, (3.7) kus K on kogukulud aastas. Kõik kulud on eurodes. Kuidas mudeli (3.7) parameetreid tõlgendada? Lineaarliikme kordaja 0,13 tõlgendamisel lähtutakse sirge tõusu tõlgendusest. Kui pere kulutused pereliikme kohta suurenevad 1 euro võrra, siis kulud vabale ajale suurenevad 0,13 eurot pereliikme kohta. Paremini kõlab, kui me ütleme, et igast rohkem kulutatud 100-st eurost suunatakse 13 eurot vaba aja teenuste tarbimise suurendamiseks. Negatiivset vabaliiget 136 aga ei saa tõlgendada nii nagu tavaliselt sirge algordinaati tõlgendatakse: kui kogukulu on null, siis vaba aja kulud on 136 eurot. Kulud ei saa olla negatiivsed. Selle asemel tõlgendatakse punkti A, st millisest K väärtusest muutub V positiivseks. Vabale ajale hakatakse kulutama siis, kui kogukulud ületavad väärtuse 1046 eurot aastas pereliikme kohta. K 3.1. Kuidas leiti punktis A kogukulude K väärtus 1046 eurot? Näide 3.4. Raudbetooni tugevus Hoonete, sildade jms ehitamisel pannakse betooni sisse terasest armatuur (raudbetoonkonstruktsioonid). Üks peamisi tegureid, mis mõjutab nende konstruktsioonide vastupidavust, on betooni karboniseerumine. See on keemiline reaktsioon, mille käigus betooni leelisus (ph) väheneb ja sellega väheneb korrosioonikaitse. Kui terasarmatuur hakkab roostetama, vähendab see konstruktsioonide kandevõimet ja sild või muu raudbetoonehitis võib kokku variseda. Konstruktsiooni tugevuse määramiseks võetakse betoonist proove ja määratakse karboniseerumise sügavus h. Betooni tugevuse T määramiseks kasutatakse mudelit T = 4,5,8h, 35

36 kus tugevus T on megapaskalites (MPa) 1 ja karboniseerumise sügavus h millimeetrites. Lineaarliikme kordaja tõlgendus: kui karboniseerumise sügavus suureneb 1 mm võrra, väheneb betooni tugevus,8 MPa võrra. Vabaliikme tõlgendus: kui karboniseerumise sügavus on 0 mm, siis betooni tugevus on 4,5 MPa. Kommentaar: negatiivne lineaarliikme kordaja tähendab, et kui sõltumatu muutuja suureneb, siis sõltuv muutuja väheneb. Näide Golfipalli lennukiirus Golfipalli lennukaugus sõltub sellest, kui kiiresti liigub löögi hetkel golfikepi laba. Selle seose modelleerimiseks viidi läbi eksperiment, kus palli löödi erineva kiirusega ja mõõdeti palli lennukaugus. Löömiseks kasutades robotgolfikeppi. Mudeliks saadi s=,91+ 84,87v, kus s on golfipalli lennukaugus meetrites ja v golfikepi laba kiirus löögihetkel, km/h. Lineaarliikme kordaja tõlgendus: kui golfikepi laba kiirus löögihetkel on 1 km/h võrra suurem, lendab pall 84,87 meetrit kaugemale. Vabaliikme tõlgendus: kui palli lüüakse kiirusega 0 km/h, lendab pall,91 meetri kaugusele. Kommentaar: vabaliikme tõlgendus ei oma mõtet, sest kui löögi kiirus on 0, ei lenda pall üldse. Kiiruseid, mis on nullile lähedal, katse läbiviimisel ei kasutatud: löömiseks peab kepi laba kiirus olema oluliselt nullist suurem. See tähendab aga, et väga väikeste kiiruste juures see mudel ei kehti. Näide 3.6. Pingviinide sukeldumine Ornitoloogid kogusid andmeid pingviinide sukeldumissügavuse ja vee all oleku aja kohta. Leiti, et need suurused on omavahel seotud ja seost kirjeldab lineaarne mudel h= 0,014+,67t, kus h on sukeldumissügavus meetrites ja t sukeldumisaeg minutites. 1 Betooni tugevuse määramine laboris põhineb betooni pinda surutava teraskuulikese poolt tekitatava lohu diameetri d määramisel. Kui kuulikese diameeter D on meetrites ja kuulikest suruv jõud F njuutonites, siis tugevuse T ühikuks [ F] N N on [ T] = = = = Pa. d D m m m [ ][ ] 36

37 Lineaarliikme kordaja tõlgendus: kui sukeldumisaeg suureneb 1 minuti võrra, sukeldub pingviin ligikaudu,67 meetrit sügavamale. Vabaliikme tõlgendus: kui sukeldumisaeg on 0 minutit, sukeldub pingviin 0,014 meetri sügavusele. Kommentaar: vabaliikme tõlgendus ei oma mõtet. Reaalselt ei saa sukeldumisaeg olla nulli lähedal, sest siis pingviin ei jõuagi sukelduda. Siin on sama probleem, mis eelmises näites: väga väikeste aegade juures see mudel ei kehti. Nagu nägime, ei oma lineaarse mudeli vabaliige alati reaalses elus vastuvõetavat tõlgendust. Lineaarliikme kordajal on aga alati tõlgendus olemas ja see tuleb mudeli analüüsimisel tingimata sõnastada. 3.. Ühtlase liikumise graafikud Näide 3.7. Autode liikumisgraafikud Joonisel on kujutatud kahe auto liikumise graafikud. Püstteljel on kaugus ristmikust (m) ja horisontaalteljel aeg (s). Analüüsime nende autode liikumist. Auto A asus ajahetkel t= 0 ristmikust 0 meetri kaugusel ja liikus ristmikust eemale (aja suurenedes kaugus suurenes). 6 sekundit liikus see konstantse kiirusega ja jõudis 10 meetri kaugusele ristmikust. Liikumiskiirus oli m = = 16,7. Siis auto vähendas s kiirust, liikus veel 5 sekundit ja jõudis ristmikust 160 meetri kaugusele. Selle teelõigu läbimisel 37

38 oli auto kiirus = 40 = m s. 160 meetri kaugusel ristmikust jäi auto seisma. Auto A liikumisvõrrandid erinevates ajavahemikes võime kirja panna järgmiselt t, kui 0 t 6 3 s( t) = 7+ 8 t, kui 6 t , kui 11 t kus s on kaugus ristmikust ja t aeg. Esimese võrrandi vabaliikme 0 saab määrata otse graafikult. Teise võrrandi vabaliikme määramiseks rakendame seda võrrandit näiteks punktis (6;10): 10= b+ 8 6 ja leiame tundmatu b. Auto B asus ajahetkel t= 0 ristmikust 00 meetri kaugusel ja liikus ristmikust eemale (aja suurenedes kaugus vähenes). 1 sekundit liikus see konstantse kiirusega, jõudis 40 meetri kaugusele ristmikust ja jäi seisma. Auto liikumiskiirus oli m = = 13, s Auto B liikumisvõrrandid erinevates ajavahemikes on järgmised: t, kui 0 t 1 s( t) = 3 40, kui 1 t Paneme tähele, et kuuendal sekundil autod möödusid teineteisest: siis asusid nad mõlemad ristmikust 10 meetri kaugusel. 38

39 3.3. Ülesanded Tervislik on treenida pulsisagedusel 55-70% maksimumpulsist. Maksimaalse pulsisageduse leidmiseks tuleb meestel arvust 0 lahutada vanus. Naistel tuleb arvust 06 lahutada 88% vanusest. a) Avaldada naiste ja meeste maksimaalne pulsisagedus sõltuvalt vanusest. b) Kui suur on kummalgi juhul vabaliige ja kui suur on lineaarse liikme kordaja? c) Kas nende mudelite graafikuteks on langevad või tõusvad sirged? Juuksuritöökoja klientide arv oli märtsis 800 ja aprillis 80. Kulud olid märtsis 5800 eurot ja aprillis 5900 eurot. a) Milline on juuksuritöökoja kulufunktsioon? b) Kui suured olid püsikulud ühe kliendi kohta märtsis ja kui suured aprillis? Kaubavarude tellimusprotsessi analüüs on näidanud, et ühe tellimuse koordineerimiseks ja vormistamiseks kulub ligikaudu 15 tundi tööaega sõltumata tellitava kaubakoguse suurusest. Tellimuste vormistamisega tegeleva töötaja töötasuks kulub 17 eurot töötunni kohta. Lisaks näitas kulude analüüs, et 50 tellimuse kohta kulus 1450 eurot paberi, postikulude ja telefonikõnede peale. Ühe tellimuse kättetoimetamistasu on 70 eurot. Kõik need kokku on hankekulud. Leida a) ühe tellimuse hankekulud; b) tellimise kogukulude (hankekulud + kauba maksumus) sõltuvus tellimuse suurusest, kui tellitava kauba tükihind on 55 eurot Mingi kauba nõudluse määrab ära hind: kui hind suureneb, siis ostetakse vähem ja kui hind väheneb, siis ostetakse rohkem. Nõudlust saab modelleerida lineaarse nõudlusfunktsiooniga (vt ka lisa 13) q( p) = b+ ap, kus q on kauba nõutav kogus ja p hind ning a ja b konstandid, a< 0, b> 0. Ühe konkreetse kauba hind on 50 eurot ja sellise hinna korral osteti seda 400 tk kuus. Hinda langetati 10 euro võrra ning siis osteti seda 1000 tk kuus. a) Milline on nõudlusfunktsioon? 39

40 b) Mitu eurot tuleks hinda veel langetada, et nõudlus oleks 1300 tk kuus? jaanuaril 005 oli linnakese A rahvaarv 30 tuhat ja 1. jaanuaril 011 oli see 338 tuhat. a) Eeldades, et rahvaarv kasvab konstantse kiirusega, panna kirja rahvaarvu muutumise mudel. b) Mis aastal ja mis kuul saavutab linna A elanike arv väärtuse 451,4 tuhat? jaanuaril 01 elas vallas A 5510 elanikku ja vallas B 4700 elanikku. Valla A elanike arv väheneb igal aastal keskmiselt 130 inimese võrra, vallas B aga elanike arv suureneb igal aastal ligikaudu 140 inimese võrra. Millal saavad nende valdade elanike arvud võrdseks? * Ensüümid on valgud, mis reguleerivad organismis toimuvate keemiliste reaktsioonide kiirust, on nende reaktsioonide bioloogilisteks katalüsaatoriteks. Näiteks tähtsamad toitaineid lõhustavad ensüümid on amülaas, pepsiin, laktaas jpt. Keemiliste reaktsioonide toimumise kiirust uuritakse ensüümide kinemaatikas, kus reaktsiooni kiirust V modelleeritakse Michaelis-Menteni mudeliga Vmax S V ( S) =. K+ S Siin V max on reaktsiooni toimumise maksimaalne kiirus, S on substraadi (reaktsiooni lähteained) kontsentratsioon ja K Michaelis-Menteni konstant. See mudel on mittelineaarne. Kuna mittelineaarsete mudelite graafiline analüüsimine on ebamugav, siis mudel lineariseeritakse, et saada lineaarne funktsioon. a) Milline teisendus tuleb teha, et Michaelis-Menteni mudelist saada lineaarne mudel kujul y= ax+ b, kus uus sõltuv tunnus on funktsioon esialgsest sõltuvast tunnusest, y= f ( V ) ja uus sõltumatu tunnus on funktsioon esialgsest sõltumatus tunnusest, x= f ( S)? b) Kuidas avalduvad uue lineaarse mudeli lineaarliikme kordaja ja vabaliige esialgse mudeli parameetrite kaudu? PÕHIMÕISTED Lineaarse mudeli parameetrite tõlgendus, kulufunktsioon, püsikulu, muutuvkulu, marginaalkulu ehk piirkulu. 40

41 ÜLESANNETE VASTUSED a) Kui vanus on x ja pulsisagedus y siis, meestel y( x) = 0 x ja naistel y( x) = 06 0,88x. b) Mudel meeste jaoks: vabaliige 0, lineaarliikme kordaja -1. Mudel naiste jaoks: vabaliige 05, lineaarliikme kordaja -0,88. c) Langevad sirged a) C( q) = q, kus C on kulud ja q klientide arv kuus. b) Märtsis,5 eurot, aprillis ligikaudu, eurot a) 354 eurot; b) C( n) = n, kus n on tellimuse suurus q( p) = p, kus q on nõutav kogus ja p hind eurodes; b) hinda tuleb veel langetada 5 euro võrra aasta aprillis jaanuaril 015. aastal b) Lineaarse liikme kordaja on K V max, vabaliige 1 V max. 41

42 4. Kuidas leida parimat sirget Õppe-eesmärgid Eesmärgiks on tutvustada lineaarse mudeli parameetrite leidmist regressioonanalüüsi abil. Õpitulemused: 1. Õpilane teab regressioonülesande eesmärki ja vähimruutude meetodi olemust ning determinatsioonikordaja mõistet.. Õpilane teab, mis on regressioonmudeli jäägid. 3. Õpilane oskab võrrelda erinevate mudelite kirjeldusvõimet. 4. Õpilane oskab programmis GeoGebra leida lineaarse regressioonmudeli parameetreid. 5. Õpilane oskab diagrammilt leida erindeid ja uurida nende mõju regressioonsirgele erindite eemaldamise teel. Vajalikud eelteadmised: lineaarne seos (lisa 5), lineaarne korrelatsioonikordaja, GeoGebra kasutamise oskus. Lisamaterjalid Demo Hälvete summa ja hälvete ruutude summa. Demo Vähimruutude meetod. Demo Determinatsioonikordaja. Demo Regressioonanalüüs. Test Regressioonanalüüs. Tunnid arvutiklassis Regressioonanalüüs programmis GeoGebra (Jooksu kiirus ja rütm). Regressioonanalüüs programmis GeoGebra, II (Inimese pikkus. Ujuja) Regressioonanalüüs ja vähimruutude meetod Arvandmed abistavad mudelite koostamisel mitmel moel: 1. Andmed aitavad valida mudelis kasutatavate seoste kuju: lineaarne, eksponentsiaalne vms. Väga palju kasutatakse empiirilisi mudeleid, mis põhinevad ainult arvandmetel. Seda eriti ajalise muutuse ehk trendi kirjeldamisel. 4

43 . Andmed võimaldavad määrata mudelis esinevate parameetrite arvväärtusi. 3. Andmed on vajalikud mudeli testimiseks: kas mudel kirjeldab reaalset maailma piisavalt hästi. Kõigi eespool toodud kolme juhu korral kasutatakse regressioonanalüüsi. See võimaldab leida nii mudeli parameetreid kui ka hinnata, kui hästi meie mudel empiirilistele andmetele vastab. Regressioonanalüüs uurib suuruste vahelist sõltuvust ja võimalusi selle funktsionaalseks kirjeldamiseks etteantud valemi põhjal. Paneme tähele, et regressioonanalüüsi läbiviimiseks tuleb valem ehk siis funktsiooni matemaatiline kuju ette anda. See võib olla lineaarne või mittelineaarne: ruutfunktsioon, eksponentsiaalne funktsioon, astmefunktsioon või mingi keerulisema kujuga funktsioon. Vaatame kõige lihtsamat matemaatilist mudelit, milleks on lineaarne mudel: y( x) = ax+ b. (4.1) Funktsiooni (4.1) graafikuks on sirge xy-tasandil. Kui soovime määrata parameetrite a ja b arvväärtusi, siis me otsime kõikvõimalike sirgete hulgast üht konkreetset sirget, mille tõus on a ja algordinaat b. Lineaarse mudeli parameetrite leidmist regressioonanalüüsi abil nimetatakse lineaarseks regressioonülesandeks. Olgu meil 6 erinevat punkti, millele vastab 6 erinevat arvupaari: x koordinaadid ,4 8,1 10 y koordinaadid 0,14 0,11 0,0 0,30 0,5 0,38 0,30 Lineaarne regressioonülesanne seisneb selles, et läbi punktiparve tuleb tõmmata sirge, mis võimalikult hästi kirjeldab seda punktiparve. Aga mis tähendab võimalikult hästi? Samu 43

44 andmeid kasutades saavad erinevad inimesed erinevad tulemused. Joonisel on kolm erinevat sirget A, B ja C, mille võrrandid on vastavalt y = 0,038x+ 0,054, y = 0,035x+ 0,049, A B yc = 0,08x+ 0,088. K 4.1. Milline sirge kirjeldab seda punktiparve sinu arvates kõige paremini? Selleks et otsustada, milline sirge on kõige parem, on vaja mingit objektiivset karakteristikut. Objektiivne on vastand subjektiivsele, mis sõltub inimesest (subjektist). See tähendab, et on vaja mingit kindla reegli järgi leitud arvu, mis seob omavahel sirge ja punktid. Üks võimalus selle defineerimiseks on, et punktiparve kirjeldab hästi selline sirge, mille korral üksikute punktide y- telje sihilised kaugused sirgest on võimalikult väikesed, kõik punktid on sirgele nii lähedal kui võimalik. Kaugusi saab arvutada hälvete u i kaudu, hälbeid aga omakorda punkti koordinaatide ja sirge võrrandi kaudu. Punkti A hälve on punkti y-koordinaadi y A ja sellele punktile vastava sirgel 44

45 asuva punkti y-koordinaadi yˆ A vahe: negatiivsed, kaugused on aga alati positiivsed. u = y yˆ. Hälbed võivad olla nii positiivsed kui A A A Arvestades, et sirge võrrand on ŷ= ax+ b, saame hälbe arvutamiseks valemi u = y yˆ = y ( ax + b). (4.) A A A A A Kaugus on hälbe absoluutväärtus, mille leidmiseks võetakse hälve ruutu ja siis ruutjuur. Kauguseid on aga sama palju kui punkte, n tükki. Kuidas me saame neist ühe arvu? Loomulik oleks need kaugused kokku liita. Tegelikult pole meil vaja ruutjuurt võtta, piisab hälvete ruutude liitmisest. Hälvete ruutude summa järgi saame otsustada, milline sirge on parim. Seda meetodit nimetatakse vähimruutude meetodiks. Vähimruutude meetodi korral minimeeritakse üksikute punktide hälvete u i ruutude summat: n 1 n i i= 1 u + u u = u min. (4.3) Valemis (4.3) oleme kasutanud summeerimise sümbolit Σ, indeks i loendab punkte ja n on punktide koguarv. Nüüd on meil olemas objektiivne karakteristik kahe sirge võrdlemiseks ja me saame otsustada, kumb sirge on parem. Näeme, et seda punktiparve kirjeldab paremini sirge C, mille korral hälvete ruutude summa on väiksem. Aga kas me saame olla veendunud, et sirge C on kõige parem sirge? Võib olla leiame veel mõne sirge, mille korral hälvete ruutude summa on veel väiksem? Läbi punktiparve võib ju tõmmata lõpmata arvu erinevaid sirgeid. 45

46 Õnneks aitab meid jälle matemaatika. Hälvete ruutude summat n ui võime vaadelda kui i= 1 funktsiooni kahest muutujast a ja b: u = ( y ax b) n n i i i i= 1 i= 1. Siin kasutasime me hälbe avaldist (4.). Funktsiooni minimeerimiseks on aga olemas spetsiaalne metoodika: tuleb leida funktsiooni tuletis ja võrdsustada see nulliga. Kahe muutuja funktsiooni minimeerimist koolimatemaatika kursuses ei ole ja me ei hakka seda siin ära tooma. Oluline on, et sel moel saadakse sirge parameetrite a ja b leidmiseks arvutusvalemid, mis on toodud lisas 14. Nende valemite kasutamine on kalkulaatoriga arvutades üpris mahukas töö. Paljudel kalkulaatoritel on need aga sisse programmeeritud. Kõige mugavam on regressioonanalüüsi läbi viia arvutis. Selleks võib kasutada tabelarvutust (MS Excel, vabavara OpenOffice või LibreOffice). Tabelarvutuses on parameetrite a ja b leidmiseks olemas vastavad funktsioonid: sirge tõusu a leiab funktsioon SLOPE; sirge algordinaadi b leiab funktsioon INTERCEPT. Kui näiteks arvutustabelis asuvad punktide x koordinaadi lahtrites A1 kuni A10 ja y koordinaadid lahtrites B1 kuni B10, siis: tõusu a saamiseks tuleb tühja lahtrisse kirjutada =SLOPE(B1:B10;A1:A10) algordinaadi b saamiseks teise lahtrisse kirjutada =INTERCEPT(B1:B10;A1:A10) Paneme tähele, et nende funktsioonide kasutamisel tuleb ettepoole panna lahtrite piirkond, kus asuvad punktide y- koordinaadid. Kui viia läbi regressioonanalüüs eespool vaadeldud punktiparve jaoks, siis saame a 0,06 b 0,09 ja vastav regressioonsirge on y= 0,06x+ 0,09. Regressioonanalüüs on olemas ka paljudes muudes matemaatika ja statistika pakettides. Veebipõhised on näiteks GeoGebra, Wiris, Google Docs arvutustabel. Arvutiklassis vaatame programmi GeoGebra kasutamist. 4.. Regressioonmudeli kirjeldusvõime Kuidas hinnata, kui hea on meie mudel? Üheks võimaluseks on kasutada empiiriliste punktide suhtelisi erinevusi mudeliga arvutatud punktidest, nagu näites 1. Lindude eluea sõltuvus 46

47 massist. Kui meil on n punkti, siis suhtelisi erinevusi on n tükki. Parem, kui oleks üks arvkarakteristik. Regressioonmudeli kirjeldusvõime näitajaks on determinatsioonikordaja R (R Square). Selle arvutamiseks vaadeldakse punktide hajumist ümber y keskväärtuse kui koguhajuvust, mis jagatakse kaheks komponendiks. Koguhajuvus iseloomustab punktide hajumist ümber y-koordinaatide aritmeetilise keskmise y (vasakpoolne joonis). Jääkhajuvus iseloomustab punktide hajumist ümber regressioonsirge ja seda iseloomustab hälvete ruutude summa (4.3) (parempoolne joonis). Seletatud hajuvus on koguhajuvuse see osa, mis on mudeliga seletatud. Koguhajuvus on mudeliga seletatud hajuvus pluss jääkhajuvus: koguhajuvus=seletatud hajuvus+jääkhajuvus. Determinatsioonikordaja arvutusvalemi võib verbaalsel kujul kirja panna järgmiselt seletatud hajuvus determinatsioonikordaja R =. (4.4) koguhajuvus Determinatsioonikordaja näitab, kui suur osa sõltuva tunnuse y muutusest on mudeliga ära kirjeldatud. Lisas 15 on toodud determinatsioonikordaja arvutusvalemi matemaatiline kuju. Lineaarse mudeli korral on determinatsioonikordaja võrdne lineaarse korrelatsioonikordaja ruuduga. Seda tähistabki ruut determinatsioonikordaja tähistuses. Valemist (4.4) näeme, et kui regressioonmudel seletab punktide hajumise täielikult ära (seletatud hajuvus = koguhajuvus), siis ei seleta midagi ära, siis seletatud hajuvus =0 ja R = 0. R = 1; 47

48 Determinatsioonikordaja väärtus võib olla 0 ja 1 vahel ning mida suurem determinatsioonikordaja on, seda suurem on regressioonmudeli kirjeldusvõime. Kui täpselt regressioonsirgel, reaalsete andmete korral seda tavaliselt ei juhtu. R = 1, asuvad kõik punktid Järgmisel diagrammil on toodud lindude eluea L ja massi M vahelise seose tuletamisel (näide 1.) saadud regressioonsirge (lineaarse seose saamiseks tuli mõlemat tunnust logaritmida). Determinatsioonikordaja R = 0,96 näitab, et 96% erinevate linnuliikide eluea erinevusest on põhjustatud sellest, et nende keha mass on erinev. Ülejäänud 4% jääb nende tegurite arvele, mida me mudelisse ei võtnud, aga mis samuti mõjutavad eluiga. Järgmisel joonisel on toodud kaks regressioonsirget erineva determinatsioonikordajaga R. Parempoolsel graafikul olev sirge kirjeldab vastavat punktiparve paremini, kui vasakpoolsel graafikul olev sirge vasakul olevat punktiparve, sest determinatsioonikordaja on suurem. 48

49 PÕHIMÕISTED Empiiriline mudel, regressioonanalüüs, lineaarne regressioonülesanne, vähimruutude meetod, koguhajuvus, jääkhajuvus, seletatud hajuvus, determinatsioonikordaja. 49

50 5. Tõus ja langus: paraboolsed mudelid Õppe-eesmärgid Eesmärgiks on tutvustada erinevaid paraboolseid mudelid ja õpetada neid analüüsima. Õpitulemused: 1. Õpilane oskab parabooli võrrandit kasutada paraboolil asuva punkti y-koordinaadi leidmiseks x-koordinaadi põhjal ja vastupidi.. Õpilane oskab leida paraboolse mudeli maksimum- või miinimumkohta. 3. Õpilane oskab leida kolme punkti järgi parabooli võrrandi kordajaid, kui parabool läbib koordinaatide alguspunkti. 4. Õpilane oskab programmis GeoGebra viia läbi paraboolset regressioonanalüüsi. Vajalikud eelteadmised: parabooli võrrand (lisa 8), parabooli haripunkti x-koordinaadi leidmine (lisa 8), ruutvõrrandi lahendamine (lisa ), lineaarvõrrandi süsteemi lahendamine (lisa 3), täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus, koosinus ja tangens, trigonomeetrilised funktsioonid, seosed ühe ja sama nurga trigonomeetrilise funktsioonide vahel, kahekordse nurga trigonomeetrilised funktsioonid, funktsiooni ekstreemumite leidmise oskus (lisa 1). Kasuks tuleb nõudlus-, tulu- ja kasumifunktsiooni tundmine (lisa 13). Lisamaterjalid kordamiseks Demo Parabool ja selle võrrand. Test Parabool ja selle võrrand. Tunnid arvutiklassis Kehade heitmine. Paraboolsed regressioonmudelid. Lisamaterjalid Demo Oda lennutrajektoor. Demo Sirge või kõver. Video odaviskaja Jan Zelesny maailmarekordi viskest aastal. Video Korvpall ja matemaatika. 50

51 5.1. Odavise ja ettevõtja tulu: mis on neil ühist Näide 5.1. Odavise Kõige kaugemale on oda visanud sakslane Uwe Hohn aastal, olles -aastane, viskas ta oda kaugusele 104,80 meetrit, mis on (01. aasta seisuga) kõigi aegade parem tulemus. Kuna visked ulatusid juba väga kaugele (jalgpalliväljaku pikkus on meetrit), muudeti oda konstruktsiooni, mis tingis visketulemuse vähenemise ca 8-10 meetrit. Uue oda maailmarekord (01. a suve seisuga) on tšehhi odaviskaja Jan Zelesny käes: 98,48 meetrit aastal. K 5.1. Millest sõltub oda lennukaugus? Mis sõltub odaviskajast? Oda mass on ära määratud, meestel 800 grammi ja naistel 600 grammi. Odaviskajast sõltub oda algkiirus ja viskenurk. Kas on olemas optimaalne viskenurk? Probleemi lahendamiseks leiame oda lennutrajektoori võrrandi: kuidas lennukõrgus y sõltub kaugusest x. Mudeli lihtsustamiseks me ei arvesta õhutakistust ega tuule kiirust. Oda liikumise võib jagada kaheks komponendiks: x-telje suunaline ja y-telje suunaline komponent. Kui tuult pole ja õhutakistust me ei arvesta, siis x-telje sihis jõudusid ei mõju ning füüsikast on teada, et sellisel juhul on liikumine ühtlane ja sirgjooneline. Läbitud kauguse sõltuvus ajast on x t ( ) 0x v 0 y α v 0x = v t, (5.1) v 0 kus v 0 x on algkiiruse v 0 x-telje sihiline komponent ja t aeg. Oda y-telje sihiline liikumine on nagu ülespoole visatud pallil, millele mõjub alla suunatud raskuskiirendus: gt y( t) = v0 yt, (5.) kus v y0 on algkiiruse y-telje sihiline komponent ja g on raskuskiirendus, g 9,8 m. s Valemites (5.1) ja (5.) on koordinaadid x ja y avaldatud aja t kaudu. Võrrandeid, kus kõveral asuva punkti koordinaadid on avaldatud funktsioonina mingitest parameetritest, nimetatakse kõvera parameetrilisteks võrranditeks. 51

52 Meie saavime saada seost kujul y= f ( x). Avaldades valemist (5.1) aja t ja pannes selle valemisse (5.), saame trajektoori võrrandiks kus α on viskenurk. K 5.. Tee läbi valemi (5.3) tuletamine. g y( x) x tan x = α, (5.3) v0 cos α g Võttes võrrandis (5.3) kasutusele uued tähistused a= ja b= tanα, võime selle kirja v cos α panna kujul y( x) ax bx 0 = +. (5.4) Näeme, et tegemist on parabooli võrrandiga, kus vabaliige on 0. Järelikult oda lennutrajektoor on parabool. K 5.3. Mida tähendaks see, kui oda trajektoori võrrandis oleks ka vabaliige, st võrrand oleks kujul y( x) ax bx c = + +? Meie eesmärgiks oli leida, milline peab olema viskenurk α, et oda lendaks võimalikult kaugele. Odaviske kauguse saame, kui arvestame sellega, et maandumisel on oda kõrgus 0. Kui paneme valemi (5.3) vasaku poole võrduma nulliga ja leiame saadud võrrandist tundmatu x, saame odaviske kauguseks 5

53 v sin 0 α l=. (5.5) g See on odaviske kauguse sõltuvus oda algkiirusest v0 ja viskenurgast α. Millise nurga korral on kaugus maksimaalne? Siinuse maksimumväärtuseks on 1. Kui sin α = 1, siis α = 90 ja optimaalne viskenurk Sellisel juhul maksimaalne lennukaugus α = 45. (5.6) opt l max v0 =. (5.7) g K 5.4. Valemis (5.5) ei ole oda massi. Kas siis viskekaugus ei sõltugi visatava keha massist? Me ju teame, et näiteks erineva suurusega kive suudame me visata erinevale kaugusele. Milline on seletus? Valem (5.5) kehtib muidugi igasuguste lendavate (ilma mootorita) kehade jaoks, mitte ainult oda korral. K 5.5. Milliste spordialade korral veel võib kohata paraboolikujulist trajektoori? Näide 5.. Maasikakasvatajad Talupidaja Jüri müüb turul maasikaid hinnaga 3 eurot/kg. Päevas ostetakse keskmiselt 10 kg ja päevas saab ta tulu 3 10= 360 eurot. Raha on hädasti vaja ning Jüri otsustab hinda tõsta. Nüüd küsib ta kilogrammi eest juba 6 eurot. Sellise hinnaga ostetakse muidugi vähem, päevas keskmiselt 90 kg, aga tulu on ikka oluliselt suurem: 6 90= 540 eurot päevas. Sellest innustatuna tõstab Jüri hinda veelgi ja hakkab müüma hinnaga 10 /kg. Enamus ostjaid vangutab sellise hinna juures pead ja kõnnib minema, 50 kg õnnestub päevas siiski maha müüa. Keskmine tulu 10 50= 500 eurot päevas. Hm, kratsib Jüri kukalt ja langetab hinna uuesti 6 euroni. Järgmise 10 päeva jooksul saab ta maasikate eest kokku 5400 eurot. Talupidaja Kaarel müüs samuti maasikaid algul keskmiselt 10 kg päevas hinnaga 3 eurot/kg. Kui Jüri tõstis hinna 6 euroni, tõstis ka tema ning päevane müügikogus langes 90 kilogrammini, tulu päevas 540 eurot. Õhtul kodus võttis Kaarel aga paberi ja pliiatsi, nuputas natuke ja järgmisel päeval pani hinnaks 7,5 eurot/kg. Selle hinnaga osteti keskmiselt 75 kg päevas, ning 53

54 tulu oli 7,5 75= 56,5 eurot päevas. Järgmise 10 päevaga teenis ta 565 eurot, st 5 eurot rohkem kui Jüri. Pole paha, nentis Kaarel. Üks õhtu nuputamist tasus end ära. Mida siis Kaarel välja nuputas? Tulu oskas ta arvutada, see on müüdud kogus korda hind. Kui tähistame tulu tähega R (revenue), kogust tähega q (quantity) ja hinda tähega p (price), siis tulu R = pq. (5.8) Teiseks teadis ta, et päeva jooksul müüdud kogus sõltub hinnast, q= f ( p). Majanduses nimetatakse hinna ja koguse vahelist sõltuvust nõudlusfunktsiooniks (vt Lisa 13. Majanduses kasutatavad funktsioonid). Mis kujuga nõudlusfunktsioon on? Kaarel eeldas, et kõige lihtsama kujuga, lineaarne: q( p) = ap+ b, (5.9) kus a ja b on konstandid. Loomulikult tuleb lisada, et a< 0 ja b> 0, vastasel korral ei kirjeldaks nõudlusfunktsioon reaalsust. See tähendab, et nõudlusfunktsioon on langev sirge. K 5.6. Miks peab a< 0 ja b> 0? Kaarel sai maasikate nõudlusfunktsiooniks q( p) = p. K 5.7. Kuidas Kaarel selleni jõudis? Kuna Kaarlit huvitas tulu sõltuvus hinnast ehk tulufunktsioon, leidis ta ka selle ning sai tulemuseks R( p) 150 p 10p =. K 5.8. Kuidas Kaarel tulufunktsiooni leidis? 54

55 Edasi oli juba lihtne. Tuli leida, millise hinna korral on tulu maksimaalne. Matemaatika Kaarlile koolis meeldis ning funktsiooni maksimeerida ta oskas. Nii saigi Kaarel maasikate optimaalseks hinnaks 7,5 eurot kilogrammi eest, mis garanteeris talle maksimaalse tulu. K 5.9. Kas oskad ka Kaarli tulufunktsiooni maksimeerida? Üldjuhul tulufunktsioon lineaarse nõudlusfunktsiooni (5.9) korral R( p) ap bp = +. (5.10) Nagu näeme, on tegemist ruutparabooliga. Kuna nõudlusfunktsioonis a< 0, avaneb parabool allapoole ja omab maksimumi. Nii oda viskamine kui maasikate müümine nõuab parabooli tundmist. K Kas oskad veel tuua näiteid ümbritsevast maailmast, kus kahe suuruse vahelist seost kirjeldaval graafikul on maksimum või hoopis miinimum? 55

56 5.. Kasumi maksimeerimine Maasikakasvatajat nagu igat ettevõtjatki huvitab tegelikult kasumi maksimeerimine. Kasum P (profit) on kauba müügist saadud tulu R miinus kulu C P= R C. (5.11) Näite maasikakasvataja kulude analüüsi kohta võib leida Eesti põllu- ja maamajanduse veebilehel rubriigist Maaettevõtlus. Seal on toodud otseselt tootmismahuga seotud kulud ehk muutuvkulud. Kui talupidajal on rendimaa või kui ta on võtnud laenu, siis on tal ka fikseeritud kulu kuus (või aastas). Maasikakasvataja Kaarel analüüsis samuti oma kulusid. 1 tonni maasikate saamiseks on kulud 3300 eurot, järelikult kulud 1 kg kohta (piirkulu ehk marginaalkulu) on 3,3. Lisaks maksab ta pangalaenu, mille suurus on 400 eurot kuus ehk keskmiselt ,3 eurot päevas. Järelikult 30 ühe päeva kohta on tema kulufunktsioon C( q) = 13,3+ 3,3q, kus q on maasikate kogus kilogrammides. Kaarli tulufunktsioon oli R( p) 150 p 10p =, kus p on maasikate hind. Nagu näeme, on kulufunktsioonis sõltumatuks muutujaks kogus q, tulufunktsioonis on sõltumatu muutuja aga hind p. See on probleemiks, sest kui me kasutame valemit (5.11), siis saame = (13,3+ 3,3 ). P p p q Selle avaldisega ei osanud Kaarel midagi pihta hakata. Siis tuli talle meelde leitud nõudlusfunktsioon q( p) = p. See on seos koguse q ja hinna p vahel ning siit saab hinna avaldada: q= p 10p= 150 q :10 p= 15 0,1 q. Nüüd on nõudlusfunktsioon leitud kujul hinna sõltuvus kogusest: p( q) = 15 0,1 q. (5.1) Majanduses nõudlusfunktsioon nii enamasti esitataksegi. Tulufunktsioon on nüüd R= pq= (15 0,1 q) q= 15q 0,1q 56

57 ja kasumifunktsioon valemist (5.11) P( q) R( q) C( q) (15q 0,1 q ) (13,3 3,3 q) 15q 0,1q 13,3 3,3q = = + = = = + 0,1q 11, 7q 13, 3. Nagu näha, on kasumifunktsioon samamoodi ruutfunktsioon nagu tulufunktsioongi ja graafikuks on allapoole avanev parabool. Oluline erinevus tulufunktsioonist on aga vabaliikme esinemine. Näeme, et vabaliige on tingitud fikseeritud kuludest 13,3 eurot päevas ning loomulikult on vabaliige kasumi avaldises miinusmärgiga, sest kulud vähendavad kasumit. Näeme ka seda, et kui Kaarel maasikaid ei kasvataks (kogus q = 0 ), oleks kasum päevas negatiivne P (0) = 13,3 eurot, mida ta nimetaks kahjumiks. Kasumi maksimeerimiseks leiame kasumifunktsiooni tuletise ( ) P ( q) = 0,1q + 11,7q 13,3 = 0,q+ 11,7. Maksimumkohal peab tuletis olema null. Sellest tingimusest saame võrrandi optimaalse koguse jaoks 0,q+ 11,7 = 0 0, q= 11,7 11,7 q= = 58,5. 0, Järelikult maksimaalse kasumi saamiseks on optimaalne kogus q opt = 58,5 kilogrammi päevas. Optimaalse hinna saab arvutada nõudlusfunktsioonist (5.1): popt = p(58,5) = 15 0,1 58,5= 9,15. 57

58 Järelikult maksimaalse kasumi saamiseks peab Kaarel müüma maasikaid hinnaga 9,15 eurot/kg ja päevas müüdud kogus on seejuures 58,5 kg. Eelnevalt tehtud tulu analüüsist lähtudes aga müüs ta maasikaid hinnaga 7,5 eurot ning päevas müüdud kogus oli 75 kg. Oluline on see, et kasumi maksimeerimisel arvestatakse järgmise eeldusega: kõik mis on toodetud, kõik see ka ära müüakse (kulufunktsioonis ja tulufunktsioonis on üks ja sama kogus q). Kui ta nüüd müüb kõrgema hinnaga ja 58,5 kg päevas, aga maasikaid on nii palju, et võiks müüa 75 kg päevas, siis läheb ju osa marju raisku. Järelikult peab oma tegevust pikalt ette planeerima ja kasvatama just nii palju, et müüdud kogus oleks optimaalne. Kasumifunktsiooni ja seega ka optimaalse koguse määravad ära kaks seost: kauba nõudlusfunktsioon ning tootja kulufunktsioon. Nende analüüs võimaldab planeerida tootmist nii et, saadav kasum oleks maksimaalne. 58

59 5.3. Ülesanded Ülesannetes kuni ei arvestata õhutakistust Odaviskaja Uwe Hohni tulemus aastal oli 104,8 meetrit. Eeldades, et tema viskenurk oli optimaalne (45º), kui suur pidi olema oda algkiirus? Algaja odaviskaja viskenurk on 50º ja oda algkiirus a) Kui kaugele lendab oda? b) Kui kõrgel on oda oma trajektoori haripunktis? e) Kui suure toodete arvu q korral on kasum maksimaalne? 59 m s * Näidata, et optimaalse viskenurga korral on oda trajektoori haripunkti kõrgus maapinnast 1 4 lennukaugusest Pall visatakse vabaviske joonelt. Palli kõrgus maapinnast hetkel, kui pall lahkub käest, on,1 meetrit ja palli vertikaalsuunaline kiirus 7, meetrit sekundis. Korvpallirõnga kõrgus maapinnast on 3,05 meetrit. a) Kui kõrgel maapinnast on palli lennutrajektoori haripunkt? b) Kui kaua on pall lennanud, kui selle kõrgus on 3 meetrit maapinnast? Vaata ka videot (link Moodles), kus NBA korvpallur Elton Brand selgitab, milline matemaatika peitub perfektse vabaviske taga Teatud konkreetse kauba nõudlusfunktsioon on q( p) = 40 0,4 p, kus q on nõutav kogus ja p hind eurodes. a) Millise hinnaga tuleb toodet müüa, et tulu oleks maksimaalne? b) Kui suur on maksimaalne tulu? Olgu ühe ettevõtte kulud nädalas C( q) = 300q+ 000, kus q on toodete arv. Nõutava koguse sõltuvus hinnast on q= 50 0,5p tükki nädalas. a) Avaldada nõudlusfunktsioon hinna p sõltuvusena kogusest q. b) Leida tulu sõltuvus kogusest R( q ). c) Leida kasumi sõltuvus kogusest P( q ). d) Kui suur on kasum, kui nädalas toodetakse 40 toodet?

60 f) Kui suur on maksimaalne kasum? Kahest otsast kinnitatud kett võtab raskusjõu toimel aheljoone 1 kuju, samuti postide otsas olev elektrikaabel ja ämblikuvõrgu niidid. rippsilla trossid. Aheljoon (ingl k catenary) ja parabool on ligikaudu sarnase kujuga ning kuni XVII sajandi keskpaigani oli tuntud Galileo Galilei tõestus, et sel moel saame paraboolse kõvera. Kerge rippsilla korral vastab trosside kuju samuti aheljoonele, kuid kui sild on oluliselt raskem kui trossid, on trossid parabooli kujulised (vt Wikipedia artikkel Catenary). Pildil on San Fransisco sümbol Kuldvärava sild. Silla kõrgus veepinnast on 67 meetrit, postide vahemaa 180 meetrit ja trossi kinnituspunktide kõrgus veepinnast 7 meetrit. Leida sillatrossi kuju kirjeldava parabooli võrrand teljestikus, mille koordinaatide alguspunkt on silla keskel (vt pilti). PÕHIMÕISTED Parameetrilised võrrandid, nõudlusfunktsioon, tulufunktsioon, kasum. ÜLESANNETE VASTUSED m a) 48,64 m; b) 14,49 m a) 4,7m; b) 0,14s ja 1,33s a) 300 s ; b) 36 tuh a) p( q) = 500 q ; b) R( q) 500q q = ; c) P( q) = q + 00q 000 ; d) P (40) = 800 ; e) q = 50 toodet; f) P max = opt y = x. a = +. 1 x a x a Aheljoone võrrand on y ( e e ) 60

61 6. Kas maailmas jätkub ressursse? Eksponentsiaalne ja logistiline kasv Õppe-eesmärgid Eesmärgiks on tutvustada eksponentsiaalset ja logistilist kasvumudelit ning õpetada neid analüüsima. Õpitulemused: 1. Õpilane teab eksponentsiaalse kasvumudeli kuju ja oskab tõlgendada selle parameetreid.. Õpilane oskab eksponentsiaalsest kasvumudelist avaldada kasvumäära r ja aega t. 3. Õpilane oskab leida eksponentsiaalse mudeli kasvumäära, kui on antud arvukuse muutus kordades mingi aja jooksul. 4. Õpilane teab, mida tähendab populatsiooni piiratud kasv ja keskkonnamahutavus. 5. Õpilane teab logistilise kasvu põhiomadusi. 6. Õpilane oskab kasutada logistilise kasvu mudelit, määrata sealt keskkonnamahutavust, kasvu maksimumkiirust ja aega, millal kiirus on maksimaalne. 7. Õpilane teab, mis on levikukõver. 8. Õpilane oskab regressioonanalüüsi läbi viia tabelarvutuses ja teha valikut erinevate regressioonmudelite vahel. Vajalikud eelteadmised: eksponentsiaalne funktsioon, arvu e astme leidmine kalkulaatoril, eksponentfunktsiooni tuletis, jagatise tuletis, liitfunktsiooni tuletis, logaritmi mõiste, logaritmide leidmine kalkulaatoril, funktsiooni piirväärtus, käänupunkt. Tunnid arvutiklassis Kalade populatsiooni kasv. Aatomite poolestusaeg ja leidude dateerimine. Populatsiooni piiratud kasv. Regressioonanalüüs tabelarvutuses. Lisamaterjali Demo Eksponentmudeli parameetrid. Mis on arv e ja kuidas see on seotud eksponentsiaalse kasvuga. Demo Logistilise kasvukõvera sõltuvus parameetritest. 61

62 Demo Logistilise kasvu kiirus erinevatel ajahetkedel. Demo Logistilise kasvu kiirus ja arvukus Populatsiooni eksponentsiaalne kasv Tabelarvutuses koostati kalade populatsiooni kasvu muutumise mudel tabeli ja graafiku kujul. Kas seda on võimalik ka analüütiliselt kirja panna? Nägime, et arvukuse N muutumisel korrutati arvukust iga uue põlvkonna tekkimisel kindla kordajaga, mis iseloomustas kasvu kiirust. Näiteks kui kordaja oli 1,5, siis Põlvkond Arvukus 0 N 0 1 N1 = 1, N0 = N0 + 0,N 0 N = 1, N1 = N1+ 0, N1 t+ 1 N = 1 1, N = + N + 0,N t t t t Üldisemalt, kui kasvumäär on r, siis ehk N = t 1 N + + t rn, t N t 1 N = + t rn. (6.1) t See ongi populatsiooni kasvu kirjeldav matemaatiline mudel. Näites.1. Loomulik iive oli samasugune võrdeline seos, inimpopulatsiooni korral nimetatakse valemis (6.1) vasakul olevat arvukuse muutust iibeks. Põlvkondade asemel me võime rääkida ajast, sest iga uue põlvkonna teke vastab ajateljel mingile kindlale väärtusele. Mudelis (6.1) muutub aeg hüppeliselt, ajal on diskreetsed väärused t= 0;1;;... ja sellist mudelit nimetatakse diskreetse ajaga mudeliks. Arvukuse muutuse võime leida ka mitme sammu kaupa, näiteks kui t muutub või 3 võrra, siis Kui aja muutust tähistada N N = rn t+ t t N N = rn 3. t+ 3 t t t ja arvukuse muutust 6 N, siis

63 N = rn t. (6.) Reaalses elus populatsiooni arvukus ei muutu hüppeliselt, vaid pidevalt, sest sünnid (ja surmad) toimuvad kogu aeg. Kuidas minna üle pidevalt muutuvale ajale? Selleks tuleb aja muut väga väike, minna üle piirile t 0. Siis väheneb loomulikult ka teha, jagame valemis (6.) mõlemad pooled läbi aja muuduga t : t võtta N. Et sellist üleminekut N = rn ( t ). (6.3) t Avaldise parem pool nüüd ajast ei sõltu. Mis juhtub vasaku poolega piiril t 0? Vasakul pool on sellisel juhul tuletis aja järgi: N lim = N ( t ). (6.4) t t 0 Saime populatsiooni kasvu kirjeldava matemaatilise mudeli pideva aja korral: N ( t) = rn( t), (6.5) kus r on konstant. See on mudel tuletise ehk arvukuse N muutumise kiiruse jaoks. Kas on siit võimalik saada ka mudelit, kuidas arvukus ise sõltub ajast? Millise kujuga peab olema funktsioon N = f ( t), et tuletise jaoks kehtiks valem (6.5)? Selline funktsioon on siis Arvestades, et rt e rt e, kus arv e=, Tõepoolest, kui rt N ( t) = e (6.6) rt N ( t) = re. (6.7) = N, näeme, et N ( t) = rn ja kehtib seos (6.5). Mudeli (6.6) korrektne matemaatiline tuletuskäik on toodud lisas 16. Mudelil (6.6) on üks puudus. Alghetkel, kui t = 0, saame N 0 (0) e r 1 = =. Järelikult mudel (6.6) kirjeldab situatsiooni, kus alghetkel on populatsiooni arvukus 1. Üks mikroob saab küll poolduda, aga lahksuguliste loomade jaoks see ei kõlba. Näitame seda, et tuletise jaoks olev seos (6.5) kehtib ka siis, kui kus C on suvaline konstant. Võtame tuletise ja teisendame rt N( t) = Ce, (6.8) 63

64 rt rt rt ( ) ( ) N ( t) = Ce = Cre = r Ce = rn. Järelikult ka mudeli (6.8) tuletis rahuldab tingimust (6.5). Mudelis (6.8) on kaks parameetrit: kasvumäär r ja konstant C. Mida näitab konstant C? Selleks leiame arvukuse väärtuse alghetkel t = 0 r 0 N(0) Ce C 1 C = = =. Järelikult C on arvukus ajahetkel t = 0 ja seepärast tähistatakse seda tavaliselt N 0. Populatsiooni arvukuse N eksponentsiaalset kasvu kirjeldab mudel rt N( t) = N e, (6.9) 0 kus r on kasvumäär ja N 0 arvukus ajahetkel t = 0. Suurus r e näitab, mitu korda kasvab arvukus ajaühiku jooksul. Ajaühikuks võib olla aasta, päev, tund või muu. Ajaühiku valib mudeli koostaja ja kasvumäära väärtus sõltub sellest. K 6.1. Kuidas jõuti r e tõlgenduseni mudelis (6.9)? Kuidas aga tõlgendada kasvuparameetrit r? Eksponentsiaalse kasvu mudeli (6.9) kasvumäär r on pöördvõrdeline ajaga, mille jooksul arvukus N kasvab (või kahaneb) arv e korda. K 6.. Kuidas jõuti mudelis (6.9) oleva kasvumäära r tõlgenduseni? Viimasest tõlgendusest järeldub, et eksponentsiaalse kasvu korral parameetri r ühikuks on mudelis kasutatava ajaühiku pöördväärtus; parameetri r väärtus sõltub kasutatavast ajaühikust. Näiteks kui meil on mudeliks y y e 0,1 t = 0, kus t on aeg aastates, siis 1 r= 0,1 ehk 0,1 aasta aasta kohta. Kui selle mudeli korral soovime ajaühikuks kasutada kuud, siis 1 1 r= 0,1 = 0,01 ja mudeliks saame y 1 kuu kuu y e 0,01t = 0, kus t on aeg kuudes. 64

65 Populatsiooni keskmine kasvumäär mõningate liikide jaoks Liik Kasvumäär kuus Mitme kuu jooksul arvukus kahekordistub Coli-bakter ehk soolekepike ,0039 Kingloom (ainurakne) 37 0,019 Ruuge-jahumardikas 3,6 0,19 Rändrott 0,45 1,5 Koer 0,7,6 Tabelis toodud populatsiooni arvukuse kasvumäärad on maksimaalsed, st soodsates tingimustes: toitu on palju, vaenlasi ei ole jms. Näide 6.1. Maa rahvaarvu kasv aastatel Aastatel võib Maa rahvaarvu muutumist modelleerida eksponentsiaalse mudeliga N( t) 1,348 0,015t = e, kus N on rahvaarv miljardites ja t aastate arv alates aastast Mudel on saadud eksponentsiaalset regressioonanalüüsi kasutades. Kasvumäär 0,015 näitab, et keskmiselt on Maa rahvaarv kasvanud aastas 1,015 korda ehk 1,5% võrra. Maa rahvaarvu kasv aastatel Selle mudeli põhjal peaks aastal 00 elama Maal ligikaudu 8,15 miljardit inimest. 0 miljardini jõuab Maa rahvaarv selle mudeli järgi aastal 080. K 6.3. Kuidas leiti aastaarv 080? 65

66 Mudel (6.9) ei kirjelda ainult elusorganismide paljunemist, eksponentsiaalset kasvamist või kahanemist kohtab paljudes erinevates valdkondades. Eksponentsiaalne on viirushaiguse levik, füüsikas kirjeldab aatomituumade radioaktiivset lagunemist eksponentsiaalne mudel. Ka ühiskonnas toimuvad protsessid on tihti eksponentsiaalsed. Näide 6.. Eesti SKP kasv aastatel Kiire majanduskasvu aastatel kasvas Eesti sisemajanduse koguprodukt (SKP) ligikaudu 13% aastas ja vastav eksponentsiaalne mudel on kus t on aeg aastates alates aastast SKP( t) 3,145 0,13t = e miljardit eurot, Eesti SKP kasv aastatel

67 6.. Ülesanded eksponentsiaalsete mudelite kohta Vilja täis lattu sattusid kaks rändrotti, emane ja isane. Rändrottide populatsiooni kasvumäär kuus on 0,45. a) Leida, mitu rotti elutseb laohoones nelja kuu pärast? kümne kuu pärast? b) Mitme kuu pärast elab laos 1000 rotti? aastal tõi mees nimega Thomas Austin Inglismaalt Austraaliasse 4 küülikut ja lasi nad küttimise eesmärgil vabasse loodusesse. 60 aastat hiljem hinnati küülikute arvuks Austraalias 10 miljardit 1. Kui suur oli Austraalia küülikute populatsiooni kasvumäär aastas? Kui bakter pooldub iga 0 minuti tagant, kui palju on baktereid 4 tunni pärast? Lutikate arv neljakordistub umbes 0 päevaga. Kui suur on lutikate populatsiooni kasvumäär päevas? Kasutades näites 6.1 toodud mudelit Maa rahvastiku kohta, leida a) Kui suur oli selle mudeli järgi Maa rahvaarv aastal 000? b) Mis aastal elas Maal 5 miljardit inimest? Riigi A rahvastiku kasvu kirjeldab mudel N( t) 0,03t = N0e (miljardit elanikku), kus N 0 on rahvaarv praegu ja N(t) rahvaarv t aasta pärast. Leida rahvaarv 0 aasta pärast, kui praegu elab selles riigis 3 miljardit elanikku Kui soovitakse võrrelda erinevate riikide elanike elatustaset, siis kasutatakse sisemajanduse koguprodukti ühe elaniku kohta (SKP per capita). Lihtsuse mõttes nimetamegi suurust SKP elaniku kohta elatustasemeks. Kui SKP kasvab eksponentsiaalselt, siis ka elatustase kasvab eksponentsiaalselt, sest elanike arv väga kiiresti ei muutu aastal oli Eestis elatustaseme mõõt SKP elaniku kohta eurot ja Soomes 3065 eurot. a) Kui Eesti suudab hoida elatustaseme kasvumäära konstantselt 4% aastas, siis mis aastal saavutab Eesti sama taseme, mis oli Soomes aastal 009?

68 b) 009. aastal püstitati Eestis loosung 15 aastaga Euroopa viie rikkama riigi hulka. See oleks siis aastaks 04. Milline peaks olema elatustaseme kasvumäär, et Eesti jõuaks aastaks 04 Soome 009. aasta tasemeni? c) Ega Soome majandus kõik need aastad paigal seisa. Kui Soomes on elatustaseme (SKP elaniku kohta) keskmine kasvumäär % aastas ja Eestis see väärtus, mis saadi osas b), mis aastaks siis Eesti Soomele järele jõuaks? Ettevõte toodab köögikombaine. Garantiiremondiks vajalike kulutuste planeerimiseks on viidud läbi köögikombainide tööea analüüs. Analüüs näitab, et t aastat peale partii valmimist on töökorras olevate köögikombainide osakaal Leida w( t) 0,t = e. a) kui suur osa köögikombainidest töötavad vähemalt 3 aastat? b) kui suur osa nimetatud toodetest langevad rivist välja kolmandal tööaastal? 0,0t Kirjeldagu teatud suuruse muutumist ajas pideva kasvu funktsioon y= y e, kus t on aeg aastates ja 0,0 kasvumäär aastas. Mismoodi tuleks kasvufunktsioon kirja panna, kui soovime aega mõõta kvartalites? 0 68

69 6.3. Logistiline kasv rt Eksponentsiaalse mudeli N( t) = N0e korral aja t piiramatul kasvul suureneb populatsiooni arvukus lõpmatuseni. Seda tuntakse ka Malthuse piiramatu kasvuna. Thomas Robert Malthus oli inglise õpetlane, kes elas aastatel ning avaldas töid poliitikast, majandusest ja demograafiast. Oma uurimuses Essee rahvastiku alustest sõnastas ta nn rahvastusseaduse: elanikkond kasvab geomeetrilises progressioonis, elatusvahendite hulk aga aritmeetilises progressioonis, mis viib lõppkokkuvõttes katastroofini aastal publitseeris Rooma Klubi raporti Kasvu piirid, mis esindab Malthuslikku pessimismi. Kuid ökoloogias on ammu tähele pandud, et mingi liigi populatsiooni arvukuse kasv ei ole piiramatu. Piiri seab keskkonnamahutavus, mis on selline antud liigi isendite arv, mille korral populatsiooni kasvu enam ei toimu. Keskkonnamahutavus on määratud eluks vajalike ressursside olemasoluga. Väikese arvukuse korral on kasv eksponentsiaalne, kuid kui arvukus läheneb sellele piirile, siis kasvu kiirus aeglustub. Näide 6.3. Lammaste arvukuse muutus Tasmaanias Austraalia ökoloog J. Davidson analüüsis lammaste arvukuse muutumist Tasmaanias aastatel 1818 kuni Populatsiooni dünaamika modelleerimiseks kasutas ta logistilist kasvukõverat 1670 N( t) = 0,131t 1 + 3,8e, kus N on lammaste arv tuhandetes ja t aeg aastates, t = 0 aastal 1818 (vt järgmist joonist). Järgmisel lehel on toodud joonis koos empiirilisi andmeid kujutava kõvera ja mudelile vastava kõveraga. 69

70 Lammaste arvukuse muutus Tasmaanias 1818 kuni 1936, lammaste arv on tuhandetes. Joonis raamatust Renshaw, E. (1995) Modelling Biological Populations in Space and Time. 1. Logistiline funktsioon Kõige lihtsam funktsioon, mis modelleerib sellist piiratud kasvu, on logistiline funktsioon (logistic function). Logistiline funktsioon ehk logistilist kasvu kirjeldav funktsioon on graafik, kus K, a ja r on positiivsed konstandid. K N( t) =, (6.10) rt 1 + ae Uurime, millele läheneb suurus N( t ), kui aeg t läheneb lõpmatusele: K K K lim N( t) = lim = = = K t t rt 1+ ae 1 1+ a lim 1+ a 0 t rt e 70

71 Näeme, et mudeli (6.10) parameeter K ongi eespool nimetatud keskkonnamahutavus (vt joonist). Milline on aga N algväärtus, so väärtus ajahetkel t = 0? K K K N(0) = = = r 0 1+ a e 1+ a 1 1+ a. Kasutades algväärtuse jaoks tähistust N0 = N(0), saame kirjutada N 0 K =. (6.11) 1 + a Jooniselt näeme, et logistiline kõver meenutab väljavenitatud S tähte. Sellise kujuga kõveraid nimetataksegi S-kujulisteks kõverateks. Graafikul on märgitud punkt, millal kasvu kiirus on maksimaalne. Selles punktis läheb graafiku nõgusus üle kumeruseks, st see on ka käänupunkt. Algväärtust kasutades kirjutatakse logistilise kõvera avaldis kujul N ( t) = N0e N K rt ( e rt ) (6.1) Kuigi matemaatiliselt keerukam, on viimane esitus hea kahel põhjusel. Esiteks on raskesti tõlgendatava parameetri a asemel mudelis kasutusel korralikku tõlgendust omav algväärtus N 0. rt Teiseks paistab valemi (6.1) lugejast välja eksponentsiaalne kasv N0e kui logistilise kasvu Logistiline kasvukõver. K on keskkonnamahutavus. Kasvukiirus on maksimaalne käänukohas. 71

72 N0 piirjuht. Kui keskkonnamahutavus K on algväärtusega N 0 võrreldes väga suur, on suhe K ligikaudu 0 ning nimetaja valemis (6.1) ligikaudu 1. Sellest järeldub, et rt lim N( t) = N e. K 0 Aja t kasvades rt e kasvab eksponentsiaalselt ning selle tõttu avaldise (6.1) nimetajas olev teine liidetav muutub nullist oluliselt erinevaks ja hakkab mõju avaldama. Seda, kuidas parameeter r mõjutab logistilise kõvera kuju, näeme järgnevalt jooniselt. Seal on toodud kolm erinevat logistilist kõverat parameetri r väärtustega 0,5; 0,3 ja 0,. Ülejäänud parameetrid on kõveratel samad: K = 10, N 0 = 0,1. Näeme, et suurema r korral on kasv kiirem ja mahutavus saavutatakse varem. Käänupunkt on kõikidel kõveratel ühesuguse N väärtuse juures aga erineval ajal.. Logistilise kasvu kiirus Eksponentsiaalse kasvu korral oli kasvu kiirus võrdeline funktsiooni väärtusega ajahetkel t (vt valem (6.5)). Logistilise kasvu kiiruse leidmiseks võtame avaldisest (6.10) tuletise, milleks kasutame jagatise tuletise valemit Erinevate parameetri r väärtustega logistilised kõverad. Kõikide kõverate korral ja. K 1 0 (1 + ae ) a( r) e Kare N ( t) = K K K rt = rt = = = 1+ ae 1+ ae 1+ ae 1+ ae 1+ ae rt rt rt rt rt rt ( ) ( ) ( ). Logistilise kasvu korral on kasvu kiirus 7

73 N ( t) = Kare rt rt ( 1+ ae ). (6.13) Kasutades funktsiooni maksimeerimist, on võimalik leida kasvu kiiruse maksimumkoht ning seejärel leida arvukuse N( t ) väärtus sellel kohal. Graafik, mis kirjeldab kasvu kiiruse sõltuvus ajast, on toodud järgmisel joonisel. Logistilise kasvu kiirus on maksimaalne ajahetkel ln a t* = (6.14) r ning selleks ajaks on arvukus saavutanud pool keskkonnamahutavusest: K N( t *) =. (6.15) Logistilise kasvu kiiruse muutumine ajas. Analüüsimaks, millest täpsemalt sõltub kasvu kiirus, on valem (6.13) liiga keeruline. Valemit K saab lihtsustada, kui kasutada seost (6.10), mille järgi = N. Teeme vastava asenduse: 1 rt + ae Kare are ae N ( t) = = N Nr rt 1+ ae = 1+ ae rt ( 1+ ae ) rt rt rt rt. rt K rt K Viimase murru nimetaja ja lugeja avaldame seosest (6.10): 1+ ae =, ae = 1. N N Nüüd võime tuletist edasi teisendada: 73

74 K rt 1 ae r N ( t) = Nr = Nr N = N( K N ). rt 1+ ae K K N Logistilise kasvu korral on kasvu kiirus võrdeline arvukusega N( t ) ja võimaliku juurdekasvuga K N( t) : r N ( t) = N( t) ( K N( t) ). (6.16) K Kui arvukus saab võrdseks keskkonnamahutavusega, N( t) = K, siis K N( t) = 0 ning N ( t) = 0. St, et kasvu kiirus on null ning kasv peatub. Kui arvukus on mingil põhjusel ületanud keskkonnamahutavuse, N( t) arvukus kahaneb. > K, siis K N( t) < 0 ja kasvu kiirus on samuti negatiivne Logistilise kasvu kiiruse sõltuvus arvukusest N on paraboolne. Kasvu kiirus on maksimaalne, kui ja muutub negatiivseks, kui. Kui me rakendame logistilist mudelit Maa rahvastiku kasvu analüüsimisel, siis keskkonnamahutavus on määratud antud tehnoloogiataseme juures kasutada olevate toidu- ja energiaressurssidega. Rahvaarvu lähenedes keskkonnamahutavusele hakkab kasvumäär vähenema (eksponentsiaalse kasvu korral on kasvumäär konstantne). USA Rahvastikubüroo andmetel ( oli maailma rahvastiku kasv kõige kiirem aastatel , ligikaudu % aastas. Peale seda on kasvumäär pidevalt alanenud ning aastaks 045 prognoositakse suhtelist juurdekasvu 0,5% aastas. 74

75 Kui valemis (6.16) avada sulud, näeme, et kasvu kiiruse sõltuvus arvukusest N on parabooli kujuline: r N rn N K =. Valemist (6.16) saame leida ka lihtsa avaldise kiiruse maksimumväärtuse leidmiseks. Arvestades valemit (6.15) saame r r K K 1 N max = N ( t*) = N( t*) ( K N( t*) ) = K = rk. K K 4 Logistilise kasvu korral on kasvukiiruse maksimumväärtus 1 N max = rk. (6.17) 4 Lisaks bioloogiale ja demograafiale kasutatakse logistilise kasvu kõverat veel paljudes erinevates valdkondades. Keemias kirjeldab see autokatalüütiliste reaktsioonide kulgemist, kus reaktsiooniks vajalik katalüsaator tekib reaktsiooni käigus. Keeleteaduses kirjeldab logistiline kõver keeles tekkivate muutuste (uued sõnad) levikut. Meditsiinis modelleeritakse sellega vähirakkude paljunemist organismis, samuti nakkushaiguste levikut inimeste seas. 3. Logistiline kõver kui levikukõver Näide 6.4. Eesti mobiiltelefonivõrgu klientide arvu dünaamika Eesti mobiiltelefonivõrgu klientide arvu kasvu aastatel , on modelleeritud logistilise Eesti mobiiltelefonivõrgu kasutajate arvu dünaamika aastatel Joon on arvutatud logistilise mudeli põhjal. 75

76 173 kõveraga N ( t) = 0,4754t 1 169,3e, kus N on mobiiltelefonide kasutajate arv tuhandetes ja aeg t + aastates ( t = 0 aastal 1991) 1. Mudeli järgi on turu mahutavus 1,73 miljonit. See küll ületab Eesti rahvaarvu, kuid paljudel inimestel on kaks telefoninumbrit: eranumber ja töönumber Majanduses kohtab logistilist kõverat seal, kus on tegemist uue toote või teenuse turule toomisega. Turule sisenemisel on müügimahu kasv aeglane. Seejärel saabub kasvufaas, kus müügimaht kasvab kiiresti ning lõpuks jõuab kätte küpsusfaas, kus müük kasvab endiselt, kuid kahaneva kiirusega. Turu mahutavus on määratud sellega, kui palju on sellel tootel potentsiaalset tarbijaskonda. Logistilise kõvera esinemine uue toote müügi kasvu kirjeldamisel on põhjendatav tarbija käitumisega. Suur osa tarbijatest on nö matkijad : nad ostavad uue toote siis, kui keegi teine on selle juba ostnud. Mida rohkem on uue toote kasutajaid (mida suurem on N valemis (6.16)), seda rohkem on ka matkijaid, kes samuti selle toote ostavad ning seda kiiremini N kasvab. Kui aga enamik inimesi on toote juba ostnud, hakkab lähenema turu mahutavus (vahe K N valemis (6.16) on väga väike) ja N kasv pidurdub. See, et uue toote müügi kasvukõver on logistiline kõver, on järelikult seotud uue toote levikuga tarbijate hulgas. Kui elusorganismide paljunemisel sündide (seega ka uute sünnitajate) arv sõltub arvukusest, siis siin tarbijate arvu kasv sõltub sellest, kui palju juba tarbijaid on. Ja iga uus tarbija sünnitab uusi tarbijaid, sest teda matkib teatud arv inimesi. Uue toote müügi kasvukõver. Peale turule sisenemist müügimaht kasvab kiirenevalt, st läbimüük kuus kasvab. Aja pärast on läbimüük kuus (N tuletis) maksimaalne ning siis hakkab vähenema. 1 Andmed on võetud Eesti Statistikaameti andmebaasist. Tabel SI41: Telekommunikatsiooniteenused. 76

77 Samasugune logistiline kõver kirjeldab ka näiteks uute mobiilsideteenuste (G3 ja G4 võrk, MMS-ide saatmine, videokõned jms) kasutuselevõttu, ainult turu mahutavus ja muud mudeli parameetrid võivad omada teisi arvväärtusi. Mobiilsideteenuste pakkuja peab oma tegevuse planeerimisel oskama seda kõverat kasutada: millal ja kui palju on vaja uude tehnoloogiasse investeerida. Kodused majapidamisseadmed (külmikud, pesumasinad, tolmuimejad jms), elektroonikakaubad, kontoritehnika kõigi selliste toodete müük järgib S-kujulist kõverat ning paljud suurettevõtted (IBM, Kodak jt) kasutavad logistilist mudelit oma tegevuse planeerimisel. Samuti allub logistilisele kõverale mitmesuguste teenuste tarbimise kasv, suhtlusvõrgustike laienemine, moe ja mitmesuguste uute harjumuste levik ühiskonnas. Seepärast nimetatakse seda kõverat ka levikukõveraks või difusioonikõveraks (diffusion curve). Nagu näeme, kirjeldab üks ja sama matemaatiline funktsioon väga erinevaid nähtusi. Kui me oskame seda funktsiooni analüüsida, suudame analüüsida protsesse, mis toimuvad bioloogias, majanduses, ühiskonnas. Saavutamaks modelleerimisel suuremat kooskõla reaalsusega, on logistilist mudelit mitmel moel modifitseeritud ja praegu tuntakse mitmeid S-kujulisi kasvukõveraid, mida saab kasutada erinevate protsesside modelleerimisel (Gompertzi, Bassi, üldistatud Verhulsti mudel). Järgmisel joonisel toodud graafik kirjeldab Wikipedia artiklite arvu kasvu kiiruse (lisandunud artiklid kuus) muutust, mida on võrreldud logistilise, Gompertzi ja laiendatud (extended) logistilise mudeli alusel arvutatud kasvu kiiruse graafikutega. Wikipediasse lisanduvate artiklite kasvu kiiruse dünaamika, mida on võrreldud logistilise, Gompertzi ja laiendatud (extended) logistilise mudelite alusel arvutatud kasvu kiiruse graafikutega. Allikas: Wikipedia artikkel Modelling Wikipedia's growth. 77

78 6.4. Ülesanded logistilise kasvu kohta Kasutades näites 6.3 toodud Tasmaania lammaste arvukuse muutumist aastatel leida, mitu lammast oli Tasmaanias aastal aasta oktoobris avaldatud artiklis hindasid Šveitsi majandusteadlased P. Cauwels ja D. Sornette suhtlusvõrgustiku Facebook turuväärtust, mille jaoks oli vaja prognoosida Facebooki kasutajate arvu kasvu. Prognoosimiseks kasutasid nad logistilist mudelit (6.1), mille parameetrid leiti Facebooki poolt avaldatud kasutajate arvu statistika alusel. Parameetrite väärtused said nad järgmised: turu mahutavus K = 1,11 miljardit kasutajat, algväärtus N 0 = 597 tuhat kasutajat ja parameeter r= 1,16 (aasta kohta). Millal kasvas nende mudeli järgi Facebooki kasutajate arv kõige kiiremini? Facebook loodi 004. aasta algul aastal oli Eestis 1444,3 tuhat mobiiltelefonivõrgu klienti (Eesti Statistikaameti andmed). Leida, kui suure klientide arvu sel aastal annab näites 6.4. toodud mudel. Mitu protsenti erineb mudeli abil leitud väärtus tegelikust väärtusest? Mis aastal oli näites 6.4 toodud mudeli järgi mobiiltelefoni kasutajate arvu kasvamise kiirus kõige suurem? Kui kiire kasv siis oli? Fotoaparaate tootva ettevõtte müügiosakonna andmetel kasvas uue mudeli müük kiirenevalt esimesed kolm aastat peale turule tulemist. Siis müüdi seda mudelit tk kuus. Kokku oli selleks ajaks müüdud tk. a) Leida, kui suur on selle fotoaparaadi turu mahutavus ning panna kirja müüki kirjeldav logistiline mudel. b) Millal müüakse miljones fotoaparaat? * Näidata, et logistilise kõvera avaldisest (6.10) saame avaldise (6.1), kui kasutame seost (6.11) ** Näidata, et logistilise kasvu kiirus (6.13) on maksimaalne ajahetkel lna t=. r * Näidata, et kui logistilise kasvu kiirus on maksimaalne, siis on arvukus N( t ) saavutanud pool keskkonnamahutavusest, st ln a K N =. r 78

79 PÕHIMÕISTED Diskreetse ajaga mudel, eksponentsiaalse kasvu mudel, kasvumäär, keskkonnamahutavus, logistiline funktsioon, logistilise kasvu kiirus, levikukõver ehk difusioonikõver. ÜLESANNETE VASTUSED a) Nelja kuu pärast 1, kümne kuu pärast 180 rotti. b) ligikaudu 13,8 kuu pärast ehk ühe aasta ühe kuu ja 4 päeva pärast ,33= 33% , Ligikaudu 0,069=6,9% a) 6 miljardit; b) Aastal ,5 miljardit a) Aastaks 037. b) 0,075= 7,5% aastas. Võrdluseks: aastatel oli Eestis suuruse SKP elaniku kohta kasvumäär keskmiselt 0,078 ehk 7,8% aastas; c) aastaks a) 54,9%; b) 1,1% y 0,005m = y0e, kus m on kvartalite arv Ligikaudu 346 lammast aasta keskel , tuhat; -1,5% aastal 05,8 tuhat klienti aastas a) K = 1, miljonit; N( t) = 0,16t 1 317e, kus N on tuhandetes ja t aeg kuudes alates turule tulekust. b) 3 + aastat ja 4 kuud peale turule tulekut. 79

80 7. Võta või jäta Nii mõnigi kord tuleb meil valida kahe või rohkema võimaluse vahel. Otsustamiseks on vaja leida valikukriteerium, millal teha üks ja millal teine valik. Näiteks mitmesuguste teenuste eest tasumisel on tihti vaja valida erinevate hinnapakettide vahel. Kriteeriumi leidmisel on abiks situatsiooni matemaatiline modelleerimine. Õppe-eesmärgid Eesmärgiks on tutvustada matemaatiliste mudelite kasutamist otsustamisel. Õpitulemused: 1. Õpilane oskab mudeli põhjal leida kriteeriumi, millal valida üks variant, millal teine. Vajalikud eelteadmised: lineaarne funktsioon, lineaarse võrrandi lahendamine, oskus programmiga GeoGebra konstrueerida sirgeid ja leida nende lõikepunkt, nõudlus-, kulu-, tulu- ja kasumifunktsiooni mõiste (vt õpikus lisa 13). Tunnid arvutiklassis Otsustamine mudeli abil. Arvuusi valimine. Test enesekontrolliks Ratsionaalne otsustamine Ratsionaalne otsustamine Näide 7.1. Telefoni hinnapakettide valik Perel on lauatelefon kuutasuga 4 eurot, millele lisandub kõneminuti hind 0,045 eurot. Sideettevõte soovitab nüüd uut hinnapaketti, kus kõneminuti hind on väiksem: 0,035 eurot. Aga kuutasu on sellel paketil 6,5 eurot. Millal oleks otstarbekas võtta uus hinnapakett? Lahendus. Olgu kõneminutite arv kuus x ja telefoni eest makstav tasu y. Paneme mõlema paketi jaoks kirja tasu sõltuvuse kõneminutite arvust: Olemasolev hinnapakett A ya = 4+ 0,045x. Uus hinnapakett B yb = 6,5+ 0,035x. Kriteeriumiks on selline kõneminutite arv, mille korral tasu mõlema paketi korral on ühesugune, 80

81 y A = y B (7.1) Kõneminutite arvu leidmiseks asendame võrduses (7.1) ya ja yb vastavate avaldistega ning lahendame võrrandi y A 4+ 0,045x= 6,5+ 0,035x 0,045x 0,035x= 6,5 4 0,01x=,5,5 x= = 50. 0,01 Kui pere räägib kuus 50 minutit, siis telefoni eest makstav tasu on mõlema hinnapaketi korral ühesugune: = y B paketi A korral paketi B korral y = 4+ 0,045 50= 15,5 A y = 6,5+ 0,035 50= 15,5 B eurot. eurot. Kuidas otsustada, kumba siis valida, kui pere räägib rohkem või vähem kui 50 minutit kuus? Kõige lihtsam on vaadata, kumb pakett on kasulikum, kui üldse ei räägi, st x= 0. Siis on kasulikum olemasolev pakett A, sest kuutasu ilma kõneminutiteta on 0. Järelikult, kui kõneminutite arv on kuni 50, on kasulikum pakett A, kui üle selle, siis pakett B. Vastus: uus hinnapakett tasub valida siis, kui kõneminutite arv kuus on suurem kui 50. Probleemi saab lahendada graafiliselt, kui konstrueerime hinnapakettidele vastavad sirged y A = 4+ 0,045x ja yb = 6,5+ 0,035x ning leiame nende lõikepunkti. 81

82 Inimene kasutab peamiselt kolme otsustamise viisi: 1. Automaatne otsustamine põhineb vilumustel. Seda kasutatakse automaatseks muutunud tegevuste sooritamisel (kuhu pöörata kooliteel? milline käik autol valida?). Kui mingit tegevust on juba palju kordi sooritatud, ei kaalutleta enam, mismoodi seda teha ja isegi ei teadvustata, et järjest võetakse vastu otsuseid.. Intuitiivne otsustamine on otsustamine sisetunde järgi. Seda kasutatakse tundmatutes olukordades, kui on vaja kiiresti otsustada ja otsuse igakülgseks läbikaalumiseks pole aega. Intuitiivsel otsustamisel läbitakse otsustusprotsessi etapid iseendale märkamatult ning pärast on raske põhjendada, miks just selline otsus vastu võeti. 3. Ratsionaalsel otsustamisel tuginetakse probleemi analüüsile. Analüüsiks võib kasutada erinevat liiki mudeleid. Mudelite kasutamisel on otsustamiseks vaja kõigepealt fikseerida, mille alusel me hindame ühe või teise variandi kasulikkust. Hinnapaketi valikul on see lihtne: telefoni eest makstav tasu kuus. Mida väiksem see on, seda parem tarbijale. Alati see nii lihtne ei ole, sest erinevatel inimestel võivad olla erinevad väärtushinnangud: sissetulek, tööga rahulolu, mõnus seltskond. Matemaatiliste mudelite kasutamisel peab ühe või teise variandi kasulikkus olema arvuliselt määratav. Siis saame me leida kriteeriumi otsustamiseks. 8

83 7.. Ülesanded Torumees Jüri küsib torutööde eest tasu 5 eurot kohaletulek pluss 16 eurot tunnis. Teine torumees Karla küsib kohaletuleku eest 31 eurot pluss 14 eurot tunnis. Leida kriteerium, kumb torumees kutsuda aastal pakkus USA telefonikompanii Bell Systems oma klientidele kahte erinevat arveldusvõimalust 1. Kuutasu 7,5$ võimaldas piiramatut kõnede arvu kuus. Teine võimalus oli kuutasu 5$ kuus, mis võimaldas pidada kuni 50 kõnet ja iga järgmise kõne eest tuli maksta 0,05$. Ligikaudu 50% nendest klientidest, kelle kõnede arv kuus oli alla 50, valisid esimese variandi. Aga kui suure kõnede arvu korral kuus tuleks valida esimene variant? Turul on müügil kahte sorti arbuuse: suuremate arbuuside raadius on ligikaudu,5 dm ja väiksemate raadius on ligikaudu 1,5 dm. Koore paksus on mõlemat sorti arbuusidel ligikaudu 0,3 dm. Eeldame, et mõlemat liiki arbuusid on maitseomadustelt ühesuguse kvaliteediga. a) Millise arbuusi ostmine on ostjale kasulikum, kui suurem arbuus maksab 15 eurot ja väiksem 5 eurot? b) Millise peaks olema väiksema arbuusi hind, et oleks kasulikum osta väiksemaid arbuuse? c) Milline peaks olema väiksema arbuusi koore paksus, et kasulikum oleks osta väiksemaid arbuuse? d) Milline peaks väiksema arbuusi raadius vähemalt olema, et kasulikum oleks osta väiksemat arbuusi? PÕHIMÕISTED Automaatne otsustamine, intuitiivne otsustamine, ratsionaalne otsustamine. ÜLESANNETE VASTUSED Jüri tuleks kutsuda juhul, kui torutööde jaoks ei kulu rohkem kui 3 tundi. Kui on vaja palju tööd teha ja aega kulub rohkem kui 3 tundi, siis eelistada torumees Karlat See pakett, mis võimaldas 7,5$ eest piiramatut kõnede arvu, tuleb valida siis, kui kõnede arv kuus on suurem kui a) Kasulikum on osta suurem arbuus. b) Väiksemaid arbuuse eelistada, kui nende hind on,43 eurot või sellest väiksem. c) Sellise hinna ja diameetriga väiksemaid arbuuse ei tasu osta mistahes koore paksuse korral. d) Vähemalt 1,83 dm. 1 Cosgrove, J. G., and Linhart, P. B. (1979). Customer choices under local measured telephone service. Public Utilities Fortnightly, Aug. 30,

84 8. Muusika, matemaatika ja siinus Mis võib küll ühist olla matemaatikal ja muusikal? Keegi ei õpi matemaatikat selleks, et saada muusikuks või vastupidi. Aga selgub, et seoseid on. Õppe-eesmärgid Eesmärgiks on tutvustada, kuidas muusikainstrumentide erinev kõla tekib erinevate siinusfunktsioonide liitumisel. Õpitulemused: 1. Õpilane teab harmoonilise võnkumise põhisuurusi.. Õpilane teab, mis on põhitoon, ülemtoonid, kõla. 3. Õpilane teab, mis on Fourier analüüs ja kus seda kasutatakse. Vajalikud eelteadmised: Siinus- ja koosinusfunktsioon. Tund arvutiklassis Toon, kõla ja Fourier analüüs (e-raamat Toonid ja kõlad ning rakendus Fourier: lainete tekitamine ). Test enesekontrolliks Toonid, kõlad ja Fourier analüüs Lisamaterjal: demo Riigipiiride matemaatiline modelleerimine Nootide pikkus ja geomeetriline jada Võtame näiteks nootide pikkused ehk vältused. On terve noot, siis poolnoot, veerandnoot, kaheksandiknoot jne. Paneme vastavad arvud kirja: 1, 1, 1 4, 1,. See on ju geomeetriline 8 jada, mille algliige on 1 ja teguriks 1. Terve noot Veerandid Poolnoodid Kaheksandikud 84

85 8.. Heli kui harmooniline võnkumine Kuidas aga üldse heli tekib? Füüsikast on teada, et heli on õhuosakeste võnkumine ja heli levib lainetena. Ühe puhta noodi kuulamiseks on vaja, et õhuosakesed võnguksid harmooniliselt. Harmooniline võnkumine on aga võnkumine, mida saab kirjeldada siinus- või koosinusfunktsiooni abil. Tuletame siinkohal meelde harmoonilise võnkumise võrrandi x( t) = Asin( ωt+ φ) = Asin( π f t+ φ), kus A on võnkeamplituud (m), f on sagedus (Hz) ja ϕ algfaas (rad). Nurksagedus ω= π f (rad/s) Võnkumise periood on sageduse pöördväärtus T 1 = (s). f Siinusfunktsioon on ju jälle matemaatika. Harmoonilise võnkumise sagedus määrab ära heli kõrguse, järelikult heli kõrgus on otseselt seotud siinusfunktsiooni argumendiga Toonid, ülemtoonid ja harmooniline analüüs Igal noodil on oma kõrgus, järelikult igale noodile vastab mingi kindel sagedus. Kindla sagedusega helilaine on toon. Järgnevas tabelis on esitatud mõnedele nootidele vastavad sagedused. Noot Sagedus, Hz do C 64 re D 97 mi E 330 fa F 35 sol G 396 la A 440 si B 495 do C 58 85

86 Noot la on tabelis esile tõstetud, sest see on keskseks heliks, mille tekitamiseks muusikud kasutavad heliharki. Muusikas rühmitatakse helikõrgused oktaavideks ja tabelis on toodud esimese oktaavi helid ning tabeli viimasel real on teise oktaavi do. Paneme tähele seda, et teise oktaavi do ja esimese oktaavi do sageduste suhe on täpselt. Iga järgmine oktaav saadakse nootide sageduste kahekordistamisel. Näiteks teise oktaavi la sagedus on 440= 880 Hz ja kolmanda oktaavi la sagedus 880= 1760 Hz. Kui igale noodile vastab kindel sagedus, miks siis klaveri do ja viiuli do ei kõla ühtemoodi? Nimelt muusikainstrument ei tekita mitte üht kindla sagedusega harmoonilist võnkumist, vaid korraga mitmeid erineva sagedusega võnkumisi, mille sageduste suhtarvud on täisarvud. Noot, mida mängitakse, on põhitoon, sellele lisanduvad mitmed ülemtoonid ehk kõrgemad harmoonikud. Kui põhitoon on I oktaavi do sagedusega 64 HZ, siis selle. ülemtoon on 64= 568 Hz, kolmas ülemtoon 3 64= 79 Hz jne. Kõla on põhitooni ja erinevate ülemtoonide summa. Kõik ülemtoonid ei esine kõlas ühesuguse tugevuse ehk amplituudiga. Erinevate ülemtoonide erinevad amplituudid annavadki muusikainstrumentidele erinevad kõlad. Näiteks kaks erinevat kõla, mis võib saada I oktaavi do-st: kõla 1 sin(π 64 t) + 0,5sin(π 568 t) + 0,1(π 79 t) kõla sin(π 64 t) + 0,sin(π 568 t) + 0,8(π 79 t). (7.) Reaalse muusikainstrumendi kõlas on ülemtoone hulgaliselt rohkem kui kolm. Näitena on toodud klaveri kõla graafik (pildil vasakul) ja põhi- ning ülemtoonide amplituudide diagramm (paremal). Parempoolsel diagrammil olevate tulpade kõrgused näitavad vastavate harmoonikute amplituude, k loendab harmoonikuid. 86

87 Summasid (7.) nimetatakse Fourier summadeks ja keerulise kujuga signaali esitamine erineva sagedusega harmooniliste võnkumiste summana on Fourier analüüs ehk harmooniline analüüs. Põhimõtteliselt võib ülemtoone ehk kõrgemaid harmoonikuid olla lõpmata palju ning igasuguse kujuga signaali saab lahutada harmoonilisteks komponentideks ja esitada nende komponentide Fourier summana, milles on lõpmatu arvu liidetavaid. Üldjuhul võib Fourier summa kirja panna nii = n= 1 F( t) A sin( πnf t), n kus f on esimese harmooniku sagedus (kui n= 1), A n on n-nda harmooniku amplituud ja n täisarv. Tänu Fourier analüüsile saame me kuulata muusikat MP3 failidest ja vaadata digitaalset televisiooni. Keerulise kujuga signaali matemaatiline kirjeldamine võimaldab heli- ja videosignaali palju kompaktsemalt edasi kanda. Seepärast kasutatakse Fourier summat muusikapalade kokkupakkimisel MP3 failideks, samuti videosignaali kokkupakkimisel (MPEG). Fourier analüüsi võib läbi viia ka -dimensionaalselt ja kirjeldada, kuidas muutub erinevate värvide intensiivsus x- ja y-telje sihis. See on pildifailide kokkupakkimine (JPG). PÕHIMÕISTED Harmooniline võnkumine, võnkeperiood, võnkesagedus, võnkeamplituud, faasinurk, toon, ülemtoon ehk kõrgem harmoonik, kõla, Fourier analüüs ehk harmooniline analüüs. 87

88 9. Agendid mudelis Õppe-eesmärgid Eesmärgiks on tutvustada agendipõhiste mudelite kasutamist komplekssüsteemide analüüsimisel. Õpitulemused: 1. Õpilane teab, mis on diskreetse ajaga mudel ja agendipõhine mudel.. Õpilane oskab etteantud parameetreid muutes uurida agendipõhise mudeli käitumist ja teha järeldusi. Vajalikud eelteadmised: Normaaljaotuse mõiste. Tund arvutiklassis: Agendipõhised mudelid. Lisamaterjal: demo Elementaarne rakk-automaat Test enesekontrolliks Komplekssüsteemid ja rakk-automaat Komplekssüsteemid Komplekssüsteemid on süsteemid, millele on omane iseorganiseerumine või kohanduv käitumine. Näiteks bioloogias mingi liigi populatsioon või mitme liigi kooseksisteerimine, inimühiskond või teatud osa sellest, erinevad materjalid jne. Need koosnevad harilikult suhteliselt lihtsatest komponentidest, mis on omavahel vastasmõjus ja moodustavad keeruka terviku. Üldreeglina pole komplekssüsteeme võimalik kirjeldada võrrandi või võrrandsüsteemiga. Küll aga saab neid mugavalt analüüsida arvutite abil. Komplekssüsteemide käitumise analüüsimisel eristatakse mikrotasandit ja makrotasandit. Mikrotasandil kirjeldatakse üksikute komponentide muutumist, komponente iseloomustatakse mikroparameetritega. Makrotasandil vaadeldakse süsteemi kui terviku arengut ja süsteemi iseloomustamiseks kasutataks makroparameetreid. Näited mikro- ja makroparameeritest: Bioloogias mingi liik Mikroparameetrid Üht isendit iseloomustavad suguküpseks saamise aeg; tiinuse periood; poegade arv pesakonnas; eluiga 88 Makroparameetrid Populatsiooni iseloomustavad populatsiooni arvukus; arvukus erinevates vanusegruppides; emaste ja isaste suhtarv.