АКТУАРСТВО. Предавања 2. мр Наташа Папић-Благојевић

Transcript

1 АКТУАРСТВО Предавања 2 мр Наташа Папић-Благојевић

2 АКТУАРСКЕ ОСНОВЕ ОСИГУРАЊА Актуарска математика личног осигурања - обрачун тарифа животног осигурања. Актуарска математика имовинског осигурања - обрачун тарифа имовинског осигурања. Рачуни актуарске математике зависе од старости лица. Рачуни финансијске математике су независни од живота и старости лица.

3 Закон великих бројева ЗВБ је основни закон у теорији вероватноће и статистици. Уколико се посматра велики број случајева, уочавају се одређене правилности у наступању једног догађаја. Законитост се испољава само у маси случајева и није видљива код појединачних јединица од којих је маса састављена, нити делује код малих група.

4 Деловање Закона великих бројева најбоље илуструју примери из експеримената који су вршени у сврху проучавања везаних за овај закон. Пример 1. Вршени су експерименти бацања новчића и праћења појаве грба на горњој страни, при сваком бацању. Резултате експеримента показује следећа табела: Истраживач Број бацања Појава грба Релативна учесталост Буфон ,50693=50,963% К.Пирсон ,50158=50,158% К.Пирсон ,5005=50,05% Број појављивања грба тежи ка ½=50%

5 Пример 2. Вршени су експерименти бацања коцкице и праћења појаве броја 1 на горњој страни, при сваком бацању. Резултате експеримента показује следећа табела: Број бацања Бр.појављивана броја 1 Релативна учесталост ,1=10% ,13=13% ,176=17,6% ,159=15,9% ,1644=16,44% Број појављивања броја 1 тежи ка 1/6=0,16 16,67%

6 Значај ЗВБ у осигурању За осигуравача не постоји неизвесност за укупан број покривених ризика него правилност и законитост. Са већим бројем осигураних предмета у маси је већа могућност тачнијег предвиђања будућих осигураних случајева, а тиме и будућих обавеза, на основу чега се одређују средства за њихово покриће.

7 Теорија вероватноће Теорија вероватноће представља математичко-статистичку основу савременог осигурања, а заједно са ЗВБ је одиграла кључну улогу у развоју модерног осигурања. Несрећни случајеви се више не сматрају судбински предоређеним и непредвидивим, већ се на њих гледа као на појаве које се могу предвиђати. Степен вероватноће настајања осигураног случаја је елеменат који одређује цену ризика.

8 Догађај- дефинише се као резултат неког експеримента или опсервације. Ω - скуп могућих исхода ω i (i =1, n) - елементарни догађаји, елементи скупа Ω Случајни догађаји - догађаји који могу, а не морају настати у датом експерименту (А, B, C,...) А Сигурни догађаји - догађаји који морају настати у датом експерименту; у скупу Ω сви елементи имају могући исход. Немогући догађаји - догађаји који се не могу реализовати у датом експерименту; празан скуп ( ) је немогућ догађај. Израчунавање вероватноће наступања штетних догађаја у осигурању је основа за одређивање премија осигурања.

9 Класична дефиниција вероватноће (вероватноћа a priori) Своди појам вероватноће на појам једнако могућих догађаја, који се сматра основним појмом. P A = m n m број повољних реализација догађаја А n број могућих резултата неког експеримента Пример 3. Ако бацамо правилну коцку, скуп могућих резултата су бројеви Ω={1,2,3,4,5,6}. Одредити вероватноћу појаве броја 4. Решење: Вероватноћа догађаја А је: P A = 1 6

10 Основне особине класичне вероватноће: P A 0, вероватноћа било ког догађаја је ненегативан број, па разломак m никада не може n бити негативна вредност. P A = 0, ако је m= 0, догађај је немогућ. P A = 1, ако је догађај А поуздан, тада је m= n. Вредност класичне вероватноће налази се у границама: 0 P A 1 Вероватноћа супротног догађаја P A, чита се нон А, једнака је: P A = 1 P A = 1 m n

11 Емпиријска вероватноћа (вероватноћа a posteriori) Вероватноћа случајних догађаја везаних за експерименте које можемо понављати неограничен број пута при неизмењеним условима назива се емпиријска вероватноћа. Дефинишемо их преко граничне вредности: f i P A = lim N N f i број експеримената у којима се реализовао догађај А; N број понављања експеримента.

12 Вероватноћа више догађаја Појам вероватноће више догађаја обухвата разне начине израчунавања вероватноће дешавања једног или више догађаја у скупу могућих догађаја. Догађаји могу да буду међусобно зависни или независни. Могуће је и да се међусобно искључују, дешавају истовремено или један после другог.

13 У ову групу вероватноћа сврставају се: 1. Условна вероватноћа 2. Збирна вероватноћа 3. Тотална вероватноћа 4. Сложена вероватноћа 5. Бајесова вероватноћа

14 Условна вероватноћа У пракси се често јавља проблем одређивања вероватноће догађаја А, под условом да се реализовао догађај В. Такве вероватноће називамо условним вероватноћама и обележавамо их са Р(А/В), а читамо: вероватноћа догађаја А, под условом да се реализовао догађај В.

15 Дефиниција. Нека су А и В догађаји. Условна вероватноћа догађаја А, под условом да се догађај В већ реализовао са позитивном вероватноћом означава се са Р(А В) и дефинише се са:

16 Дефиниција. Нека су А и В два догађаја. Вероватноћа производа (или пресека) два догађаја може се добити помоћу условних вероватноћа: Р(АВ) = Р(ВА)= Р(А) Р(В А) = Р(В) Р(А В) Ова релација је позната као правило или закон множења вероватноћа и може се проширити и на више од два догађаја.

17 Збирна вероватноћа Вероватноћа збира два догађаја А и В једнака је збиру вероватноћа тих догађаја, умањеном за вероватноћу њиховог заједничког јављања. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

18 Статистичка независност догађаја Jедан од основних појмова теорије вероватноће и математичке статистике јесте стохастичка или статистичка независност. Дефиниција. Нека су А и В два догађаја. За ове догађаје се каже да су статистички независни ако и само ако је вероватноћа њиховог производа једнака производу њихових вероватноћа: Р(АВ) = Р(А)Р(В)

19 Из правила множења вероватноћа такође произилази: Р(А В) = Р(А) ако је Р(В) > 0 Р(В А) = Р(В) ако је Р(А) > 0. То значи да су два догађаја међу собом независна, ако јављање или нејављање једног догађаја нема утицаја на вероватноћу јављања другог догађаја.

20 Бајесова теорема Бајесовом теоремом се врши преиспитивање условне вероватноће применом расположивих информација уз обезбеђење процедура за одлучивање да ли тврдње о вероватноћи требају да буду усклађене са датим додатним информацијама или не. Бајесова формула. Нека су А 1,А 2,...,А n, међусобно искључиви догађаји и нека је В неки други догађај. Вероватноћу догађаја А i, када је дат догађај В, можемо наћи применом Бајесове теореме:

21 На основу формуле потпуне вероватноће: именилац се може проширити, па се добија:

22 Литература: 1. Вугделија, Д. (2008) Актуарска математика, основни концепт за наставу, Суботица. 2. Кочовић, Ј. (2006) Актуарске основе формирања тарифа у осигурању лица, ЦИД Економског факултета у Београду. 3. Рачић, С. И Савковић, М. (2004) Статистика, Виша пословна школа, Нови Сад. 4. Рашета, Ј. (2008) Финансијска и актуарска математика, Универзитет Сингидунум, Београд. 5. Шекарић М. и Барјактаровић, Л. (2010) Финансијска математика и актуарство, скрипта, Универзитет Сингидунум, Београд.