ТУХАЙН ДИФФЕРЕНЦИАЛТ ТЭГШИТГЭЛ. Contents Bibliography 11 References 11 Index 12

Transcript

1 ТУХАЙН ДИФФЕРЕНЦИАЛТ ТЭГШИТГЭЛ ҮҮЕЭ ОТГОНБАЯР Contents Bibliography 11 References 11 Index 12 Date: August 23,

2 2 ҮҮЕЭ ОТГОНБАЯР 1 Бид Nakhlé H. Asmar-ийн Partial Differential Equations with Fourier Series and Boundary Value problems (Хоёр дахь хэвлэл, Pearson Prentice Hall 2005, 2000) номыг дагах болно. Энэ ном нь хялбар боловч их ойлгомжтой, цэвэрхэн тайлбартай ном юм. Бид доорх материалыг мэддэг гэж тооцно. Нэг болон олон хувьсагчтай, тасралтгүй болон дифференциалчлагддаг функцийн тухай; бид функцуудаа f(x), f(x, y, z), u(x, t) гэх мэтчилэн тэмдэглэх болно. Функцан дараалал болон цувааны нийлэлт; тэмдэглэгээ lim f n(x), n u n (x, t) гэх мэт. Үүний дотор цэг бүрчилсэн нийлэлт жигд нийлэлт ийн талаар мэддэг гэж үзнэ. Бид өөр нэг төрлийн нийлэлтийг нилээд олон удаа ашиглах бөгөөд энэ талаар дэлгэрэнгүй тайлбарлана: компакт олонлог дээрх жигд нийлэлт. Хүчит цуваа болон Тейлорийн цуваа; тодруулбал нийлэлтийн радиус коэффициентийн томьёо ямар функцууд Тейлорийн цуваанд задардаг болох сонгодог функцууд, тухайлбал e x, sin x, cos x гэх мэтийн функцуудын Тейлорийн задаргаа Энэ талаар номны A.5 хавсралтыг үзнэ үү. Ердийн дифференциал тэгшиттгэлийн (үүнээс хойш ЕДТ) анхан шатны мэдлэг, тухайлбал нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл u Õ (x)+p(x)u(x) =g(x) ийн шийдэл; хоёрдугаар эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл (тогтмол коэффиценттэй, хомогений) ийн шийдэл. u ÕÕ (x)+pu Õ (x)+qu(x) = 0 Дасгал 1.1. Хавсралт A.1 Теорем 1, Хавсралт A.2, Дасгал A.2(1, 5, 9, 62).

3 ТУХАЙН ДИФФЕРЕНЦИАЛТ ТЭГШИТГЭЛ 3 Тейлорийн цуваанаас гадна Фурьегийн цуваа гэж чухал цуваа байдаг бөгөөд энэ талаар ямар нэг мэдлэг шаардахгүй болно. Энэ нь 2π-үет функцыг f(x) =a 0 + (a n cos(nx)+b n sin(nx)) хэлбэртэй задална гэсэн үг. Номны нэрнээс харахад ойлгомжтойчилон, Фурьегийн цуваа нь бидний судлах нэгэн гол сэдэв байх бөгөөд дифференциал тэгшитгэл бодох гол багаж маань байх болно. Энд ямар функц ямар утгаар Фурьегийн цуваанд задрах вэ гэдэг асуулт чухал байр суурь эзлэх болно. Бид тухайн дифференциалт тэгшитгэл (үүнээс хойш ТДТ), өөрөөр хэлбэл, олон хувьсагчийн дифференциал тэгшитгэлийн талаар судална. Хоёр хувьсагчаас эхэлье: үл мэдэгдэх функцаа u(x, t) гэе. Тэгвэл x t (x, t): бэхлэгдсэн t-ийн хувьд x-ээр уламжлал авсан (x, t): бэхлэгдсэн x-ийн хувьд t-ээр уламжлал авсан болохыг санъя. Жишээ 1.2. Хэрвээ бол u(x, t) := x 2 + sin(t)x (x, t) = 2x + sin(t) x (x, t) =cos(t)x. t Цааш нь үргэлжлүүлэхийн өмнө гинжин дүрэмээ санъя. Жишээ 1.3. (1) Хэрвээ f = f(x), x = x(s) нь дифференциалчлагддаг функцууд бөгөөд бол (2) Хэрвээ f(s) := f(x(s)) d f df dx (s) = (x(s)) ds dx ds (s). f = f(x), x = x(s, t) нь дифференциалчлагддаг функцууд бөгөөд f(s) := f(x(s, t)) бол f df x (s) = (x(s)) s dx s (s).

4 4 ҮҮЕЭ ОТГОНБАЯР (3) Хэрвээ u = u(α, β), α = α(x, t), β = β(x, t) нь дифференциалчлагддаг функцууд бөгөөд бол ũ(x, t) := u(α(x, t),β(x, t)) ũ x = α α x + β β x ũ t = α α t + β β t. Эхлээд маш хялбар ТДТ авч үзье: u = u(x, t) (1.1) x + t =0. Энэ тэгшитгэл ямар шийдүүдтэй вэ? (1) Нэг шийд таахад амархан: u(x, t) := x t. Үнэхээр x =1, t = 1. (2) Цаашилбал, дурын дифференциалчлагддаг функц f-ийн хувьд (1.2) u(x, t) := f(x t) нь шийд болно: Тиймээс x = f Õ, t = f Õ. (t s) 2, e t s, sin(t s) + 1 гэх мэтийн маш олон функцууд нь шийдийн жишээ болно. ЕДТ хүртэл анхны утга зааж өгөхгүй бол нэг утгатай бодогддоггүйг санъя: ямар ч тогтмол тоо C-ийн хувьд y(t) := C e at нь y Õ = ay тэгшитгэлийн шийд болох бөгөөд C = y(0). Тэгэхээр бид (1.3) u(x, 0) = өгөгдсөн функц гэсэн анхны утгын нөхцөл/initial value condition (АУН) дээр анхаарлаа төвлөрүүлнэ. ТДТ-ийг АУН-тэй нийлүүлээд анхны утгын бодлого/initial value problem (АУБ) гэнэ. Дээрх жишээн дээр, хэрвээ өгөгдсөн функц маань дифференциалчлагддаг функц f бол u = f(x t) нь энэ анхны утгын бодлогын шийдэл болно. Дасгал (2a, 3a, 4), 1.2(1, 2, 3, 4).

5 ТУХАЙН ДИФФЕРЕНЦИАЛТ ТЭГШИТГЭЛ 5 Одоо (1.1) тэгшитгэл өөр шийдгүй болохыг харуулъя. Тэгэхийн тулд 2 u(x, t) =v(α, β), α(x, t) =ax + bt, β(x, t) =cx + dt гэсэн шугаман орлуулалт хийе (тодорхойлогч ad bc = 0байх шаардлагатай). Тэгвэл x = a v α + c v β t = b v α + d v β болж болно. Тиймээс x + v v =(a + b) +(c + d) t α β a =1, b =0, c =1, d = 1 гэж авбал тэгшитгэл маань v (α, β) = 0 α болж хялбаршина. Өөрөөр хэлбэл, ямар зөвхөн β-аас хамаарсан функц C = C(β)-ийн хувьд v(α, β) =C(β) байх болно. Нөгөө талаас β(x, t) =x t тул u(x, t) =v(α, β) =C(β) =C(x t) болж (1.2) бүх шийд болох нь харагдлаа. Тэмдэглэл 2.1. Боломжтой бол ДТД-ийг ЕДТ-рүү шилжүүлж бодно. Энэ аргыг бид хэд хэдэн хувиралаар хэрэглэх болно. Тэмдэглэл 2.2. (1.1) нь зөөврийн тэгшитгэл/transport equation гэж нэрлэгдэх тэгшитгэлийн хялбар хэлбэр юм. Номонд advection equation гэж нэрлэсэн байгаа. Ерөнхий тохиолдолд + κ(x, t) = k(x, t) x t гэж бичигдэнэ. Дасгал 1.1-ийн The method of characteristic curves болон Дасгал г харна уу. Мөн өөр дасгалууд өгөх болно. Одоо хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэлүүд авч үзье. Энд бид хамаагүй илүү хөдөлмөрлөх шаардлагатай болох бөгөөд нэг хэсэгтээ хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлд анхаарлаа төвлөрүүлнэ. Гурван чухал тэгшитгэл байна: c>0 гэе, Долгионы Тэгшитгэл: u = u(x, t) u := 2 u t 2 c2 2 u x 2 =0

6 6 ҮҮЕЭ ОТГОНБАЯР Дулааны Тэгшитгэл: u = u(x, t) t c2 2 u x 2 =0 Лапласын Тэгшитгэл: u = u(x, y) u := 2 u x 2 + c2 2 u y 2 =0. Харгалзах олон гишүүнтүүдийг нь харвал, тус бүр, τ 2 c 2 ξ 2 = a τ c 2 ξ 2 = a ξ 2 + c 2 η 2 = a болох нь харагдах бөгөөд иймээс дээрх дифференциал тэгшитгэлүүдийг тус бүр гиперболлог, параболлог, эллиптик гэж нэрлэнэ. Эхлээд долгионы тэгшитгэлийг авч үзье: (2.1) u := 2 u t 2 c2 2 u x 2 =0. Хувьсагч x нь [0,L] дээр тодорхойлогдсон, бөгөөд бүх t R-ийн хувьд (2.2) u(0,t) = 0 = u(l, t) гэж үзье. Энэ нөхцөл нь хоёр үзүүр нь бэхлэгдсэн L урттай хэлбэлзэх утасанд харгалзана. Физик тайлбарыг нь номноос уншина уу. Ийм маягийн нөхцөлийг захын нөхцөл/boundary condition (ЗН) гэж нэрлэнэ. Долгионы тэгшитгэлийг бодох хоёр арга байна: Хувьсагч солих: Юуны өмнө t ± c x =0 тэгшитгэлийн 2 удаа дифференциалчлагддаг шийдүүд ч (2.1) хангахыг хялбархан шалгаж болно. Өөрөөр хэлбэл, ямар ч 2 удаа дифференциалчлагддаг функцууд F, G-ийн хувьд u(x, t) =F (x + ct)+g(x ct) нь долгионы тэгшитгэлийн шийд болно. Захын нөхцөл (2.2) маань F (ct)+g( ct) = 0 = F (L + ct)+g(l ct) гэж бичигдэнэ. Долгионы тэгшитгэлийн бүх шийд ийм хэлбэртэй болохыг дасгал болгон өгсөн (Дасгал 1.2(1, 2, 3, 4)). Фурьегийн цуваа ашиглах: Энэ арга нь дээрх шиг хялбар биш боловч маш хүчирхэг юм. Энэ нь жишээлбэл дулааны тэгшитгэл дээр харагдах болно. Дулааны тэгшитгэлд дээрх шиг хялбар шийдэл байхгүй бөгөөд Фурье Фурьегийн цуваа ашиглан анх шийдэж байжээ.

7 ТУХАЙН ДИФФЕРЕНЦИАЛТ ТЭГШИТГЭЛ 7 Бид энэ хоёр дахь арга дээр анхаарлаа төвлөрүүлье. Хялбарыг бодож гэе. Тэгвэл бодлого маань c =1, L = π u := 2 u t 2 2 u x 2 =0 u(0,t) = 0 = u(π, t) болно. Юуны өмнө нэг шийд таахад амархан: Үнэхээр тул Мөн тул гэсэн анхны утга авна. Хэрвээ гэсэн анхны утгатай шийд хүсвэл u(x, t) := sin(x) cos(t). 2 u t 2 = u = 2 u x 2 u =0. u t (x, t) := (x, t) = sin(x) sin(t) t u(x, 0) = sin(x) u t (x, 0) = 0 u(x, 0) = 0 u t (x, 0) = sin(x) u(x, t) := sin(x) sin(t) гэхэд хангалттай. Ерөнхий c, L-ийн хувьд, бага зэрэг сунгахад хангалттай: π cπ u(x, t) := sin L x cos L t. Энэ шийдийг голлох шийд/principal solution гэнэ. Өөр шийдүүд: буцаад c =1, L = π гэе u 2 (x, t) := sin(2x) cos(2t). u n (x, t) := sin(nx) cos(nt). Учир нь 2 u n t = n 2 u = 2 u 2 x. Эдгээр шийдүүд мөн u(0,t) = 0 = u(π, t) 2 гэхэн захын нөхцөлийг хангана.

8 8 ҮҮЕЭ ОТГОНБАЯР Ерөнхий c, L-д nπ nπc u n (x, t) := sin L x cos L t гэж авна. Энэ шийдүүдийг жирийн төлөв/normal mode гэнэ. Цаашилбал, жирийн төлөвүүдээ нийлүүлээд L x cos Nÿ u(x, t) := a n sin 3 nπc L t 4 гэсэн шийдтэй болно. Үүнийг суперпозиц/superposition гэнэ. Анхны утга нь: Nÿ u(x, 0) = a n sin L x болно. Энд болохыг ашиглав. u t (x, 0) = Дасгал (12, 18, 25) Хэрвээ u(x, 0) = f(x) нь u t (x, 0) = 0 Nÿ Nÿ nπc nπ nπc a n L sin L x sin L t 3 a n sin L x хэлбэртэй бол долгионы тэгшитгэлийн анхны утгын бодлогыг суперпозиц ашиглаад шийдэж болохыг харлаа. Тэгвэл төгсгөлгүй цуваа f(x) = a n sin L x u(x, t) = nπ nπc a n sin L x cos L t ашиглаж болохгүй юу? Ямар тохиолдолд болох вэ? Энэ асуултад хариу өгөх нь Фурьегийн цувааны онол юм. Дээр дурьдсанчилан, долгионы тэгшитгэлийг бодоход энэ бүхэн шаардлагагүй бөгөөд хувьсагч солих замаар илүү хялбар шийдэх боломжтой. Фурьегийн цувааны давуу тал нь зөвхөн онлын төдийгүй хэрэглээний бусад олон бодлого бодоход ашиглагддаг явдал юм. Фурьегийн цувааны талаар дэлгэрэнгүй үзэхийн өмнө, Фурьегийн цуваа ашиглан дулааны тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж болохыг харья. Энэ талаар 3.5 бүлэгт нарийн үзэх болно.

9 ТУХАЙН ДИФФЕРЕНЦИАЛТ ТЭГШИТГЭЛ 9 t c2 2 u x 2 =0 u(0,t) = 0 = u(l, t) u(x, 0) = f(x). Энэ тэгшитгэл физикт L урттай савааны дулааны тархалтийг илэрхийлнэ. Хоёр үзүүр нь 0 дулаантай, x цэгийн анхны дулаан f(x) байсан гэж үзсэн гэсэн үг. Долгионы тэгшитгэлийн адил 3 4 π u 1 (x, t) := sin L x e ( cπ L ) 2 t u n (x, t) := sin.. 3 nπ L x 4 e гэсэн шийдүүдийг тааж олоод, супепозиц хийвэл u(x, t) := a n sin L x e u(x, 0) := болно. Тиймээс хэрвээ f(x)-ийг (3.1) a n sin L x a n sin L x ncπ ( L ) 2 t ncπ ( L ) 2 t хэлбэртэй бичиж чадвал дулааны тэгшитгэлийг ерөнхийд нь шийдлээ гэсэн үг. Фурье ямар ч f-ийн хувьд энэ нь боломжтой бөгөөд ингэж дулааны тэгшитгэлийг бүрэн шийдэх боломжтой гэсэн боломч, тухайн үеийнхээ математикчидаас утгагүй зүйл ярилаа, цуваа чинь нийлэхгүй бол яах вэ? гэж зэмлүүлж байжээ. Үнэхээр (3.1) цуваа хэзээ нийлэх вэ, ямар утгаар нийлэх вэ гэдэг бол чухал асуулт. Аз болоход үе үеийн математикчидийн ачаар бид өнөөдөр хариуг нь мэддэг болж, тэр нь Фурьегийн онол гэж нэрлэгдэх болжээ. Одоо 2.1 бүлэгт бэлдэж бага зэрэг бие халаалт хийе. Тодорхойлолт 3.1. Бодит тоон функц f : R R, дурын x R-ийн хувьд байдаг бол f-ийг T -үет функц гэнэ. f(x + T )=f(x) Хэрэв f нь T -үет функц бол f-ийг тодорхойлохын тулд [0,T) (эсвэл ямар нэг a-ийн хувьд [a, a + T )) хэрчим дээрх утгыг нь заахад хангалттай.

10 10 ҮҮЕЭ ОТГОНБАЯР Жишээ 3.2. f(x) =x функцыг 2L үетэй болгоё: f (x) =f(x 2kL), хэрвээ x ((2k 1)L, (2k + 1)L],k Z Энэ функц нь..., L, L, 3L,... цэгүүдэд үсрэлттэй. Жишээ 3.3. Номны 18-р хуудасны хөрөөний ир/saw-tooth функц. Энэ мэтээр бид үсрэлттэй функцуудтай ажиллах хэрэгтэй болох нь. Тодорхойлолт 3.4. f :[a, b] R функцийн тасралтийн цэг x-ийн хувьд f(x ), f(x+) оршин байдаг бол x-ийг үсрэлтийн цэг гэнэ. Зарчимийн хувьд f(x) бол ямар чутга авч болохыг анхааруулъя. Мөн заримдаа f нь x цэг дээр тодорхойлогдоогүй байхыг зөвшөөрнө. Мэн хэрэв x нь a юм уу b бол бид зөвхөн f(a+) юм уу f(b )-ийг авч үзнэ. Тодорхойлолт 3.5. f :[a, b] R функц нь зөвхөн төгсгөлөг тооны үсрэлтээс өөр тасралтгүй бол f-ийг хэсэгчилэн тасралтгүй/piecewise continuous функц гэнэ. Өөрөөр хэлбэл, [a, b] хэрчимийг a = t 0 <t 1 < <t m <t m+1 = b гэж f нь бүх (t i,t i+1 ) задгай хэрчимүүд дээр тасралтгүй бөгөөд f(t i ), f(t i +) хязгаарууд нь оршин байхаар хувааж болдог бол f-ийг хэсэгчилэн тасралтгүй гэнэ. Хэсэгчилэн тасралтгүй функцуудын нийлбэр болон үржвэр мөн хэсэгчилэн тасралтгүй болохыг анхаарна уу. Бид мөн C 0 = тасралтгүй C 1 = тасралтгүй дифференциалчлагддаг, өөрөөр хэлбэл, дифференциалчлагддаг бөгөөд уламжлал нь тасралтгүй гэж ашиглана. Номонд C 1 гэхийг гөлгөр/smooth гэж нэрлэж байгаа боловч бид энэ нэрийг C буюу төгсгөлгүй дифференциалчлагддаг функцуудад ашиглах болно. Хамгийн сүүлд нэг тодорхойлолт өгье. Тодорхойлолт 3.6. f :[a, b] R-ийн хувьд f болон f Õ нь хоюулаа хэсэгчилэн тасралтгүй 1 бол f-ийг хэсэгчилэн C 1 гэнэ. f : R R нь ямар битүү хэрчим дээр хэсэгчилэн C 1 бол бид f-ийг хэсэгчилэн C 1 гэнэ. Жишээ 3.7. (3.2, 3.3) дахь жишээнүүд хэсэгчилэн C 1 болно. Жишээ 3.8. f(x) =x 2 функцыг [ 1, 1] хэрчимээс R-луу 2-үет функц болгон үргэлжлүүлье. Тэгвэл f нь тасралтгүй боловч зөвхөн хэсэгчилэн C 1 болно. Дасгал (3, 4, 5, 27) 1 энд f Õ нь f-ийн дифференциалчлагддаггүй цэгүүд дээр тодорхойлогдоогүй болохыг анзаарна уу.

11 ТУХАЙН ДИФФЕРЕНЦИАЛТ ТЭГШИТГЭЛ 11 References [Asm05] Nakhlé H. Asmar, Partial differential equations with fourier series and boundary value problems, 2 ed., Pearson Prentice Hall, 2005.

12 equation advection, 5 transport, 5 Index normal mode, 8 principal solution, 7 superposition, 8 АУБ, 4 АУН, 4 ЕДТ, 2 ЗН, 6 ТДТ, 3 анхны утгын бодлого, 4 анхны утгын нөхцөл, 4 гинжин дүрэм, 3 голлох шийд, 7 жирийн төлөв, 8 захын нөхцөл, 6 зөөврийн тэгшитгэл, 4, 5 суперпозиц, 8, 9 тухайн дифференциал, 3 тухайн дифференциалт тэгшитгэл, 3 тэгшитгэл Лапласын, 6 долгионы, 5 дулааны, 6, 8 зөөврийн, 5 хэсэгчилэн C 1, 10 хэсэгчилэн тасралтгүй, 10 үед функц, 9 12