Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode directe (II)
|
|
- Λωΐς Μάγκας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode directe (II) Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru disciplina Algoritmi Numerici, /59
2 Cuprins 1 Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple 2 Varianta Doolittle Varianta Cholesky 3 Ce sunt? Formate de memorare Adaptarea metodelor directe - exemplu 4 2/59
3 Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple Sistem de n ecuaţii algebrice liniare cu n necunoscute: a 11 x 1 + a 12 x 2 + +a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + +a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 + +a nn x n = b n. (1) 3/59
4 Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple Se dă matricea coeficienţilor A = şi vectorul termenilor liberi a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn se cere să se rezolve sistemul unde x este soluţia IRn n (2) b = [ b 1 b 2 b n ] T IR n, (3) Ax = b, (4) x = [ x 1 x 2 x n ] T IR n. (5) 4/59
5 Buna formulare matematică Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple Problema este bine formulată din punct de vedere matematic (soluţia există şi este unică) matricea A este nesingulară (are determinantul nenul). Se scrie formal: x = A 1 b trebuie citită ca: "x este soluţia sistemului algebric liniar Ax = b" şi NU "se calculează inversa matricei A care se înmulţeşte cu vectorul b". 5/59
6 Condiţionarea problemei Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple κ(a) = A A 1 (6) număr de condiţionare la inversare al matricei A. ε x κ(a)ε b, (7) κ(a) 1: Cazul cel mai favorabil: n A = 1 şi ε x = ε b. (matrice ortogonală) Numărul de condiţionare este o proprietate a matricei şi nu are legătură nici cu metoda de rezolvare propriu-zisă, nici cu erorile de rotunjire care apar în mediul de calcul. În practică: Dacă κ(a) > 1/eps problema se consideră slab condiţionată. 6/59
7 Clasificarea metodelor Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple 1 Metode directe - găsesc soluţia teoretică a problemei într-un număr finit de paşi. (Gauss, factorizare LU) 2 Metode iterative - generează un şir de aproximaţii ale soluţiei care se doreşte a fi convergent către soluţia exactă. staţionare: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, SSOR nestaţionare (semiiterative): gradienţi conjugaţi (GC), reziduu minim (MINRES), reziduu minim generalizat (GMRES), gradienţi biconjugaţi (BiGC), etc. 7/59
8 Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple Fie m sisteme de ecuaţii algebrice liniare Ax (1) = b (1), Ax (2) = b (2),, Ax (m) = b (m), (8) Se dau: A IR n n, b (k) IR n 1, k = 1, m Se cer: x (k) IR n 1, Notăm B = [b (1) b (2) b (m) ] IR n m (9) X = [x (1) x (2) x (m) ] IR n m (10) Se cere să se rezolve sistemul AX = B. (11) 8/59
9 Varianta I Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple Varianta I - aplicarea succesivă a algoritmului Gauss Efort de calcul: m(2n 3 /3+n 2 ) 2mn 3 /3. Etapa de eliminare este repetată inutil, de m ori. Cea mai proasta idee. 9/59
10 Varianta II Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple Varianta II - rezolvarea simultană prin adaptarea algoritmului Gauss procedură Gauss_multiplu(n, m, a, B, X) ; rezolvă simultan sistemele algebrice liniare ax = B prin metoda Gauss întreg n ; dimensiunea sistemului întreg m ; numărul de sisteme tablou real a[n][n] ; matricea coeficienţilor - indici de la 1 tablou real B[n][m] ; matricea termenilor liberi tablou real X[n][m] ; matricea soluţie întreg i, j, k real p, s ; etapa de eliminare pentru k = 1, n 1 ; parcurge sub-etape ale eliminării ; aici se poate introduce pivotarea pentru i = k + 1, n ; parcurge liniile p = a ik /a kk ; element de multiplicare pentru j = k + 1, n ; parcurge coloanele a ij = a ij + pa kj pentru j = 1, m ; parcurge coloanele termenilor liberi b ij = b ij + pb kj 10/59
11 Varianta II Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple ; etapa de retrosubstituţie pentru k = 1, m x nk = b nk /a nn pentru i = n 1, 1, 1 s = 0 pentru j = i + 1, n s = s + a ij x jk x ik = (b ik s)/a ii retur 11/59
12 Varianta II Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple Efort de calcul T e = n 1 n 1 [2(n k)+2m+1](n k) [2(n k) 2 + 2m(n k)] = k=1 = 2 (n 1)n(2n 1) 6 + 2m n(n 1) 2 k=1 2n3 3 + mn2. (12) n 1 T s = m [2(n i)+2] m i=1 n 1 i=1 [2(n i)] = 2m n(n 1) 2 T = O(2n 3 /3+2mn 2 ), mai mic decât în cazul variantei I. mn 2. (13) 12/59
13 Varianta III Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple Varianta III - rezolvarea succesivă a sistemelor folosind calculul inversei Se calculeză A 1 Se calculează x (k) = A 1 b (k) imediat ce este cunoscut termenul liber. 13/59
14 Varianta III Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple funcţie inva(n, a) ; calculează inversa matricei a întreg n ; dimensiunea matricei tablou real a[n][n] ; matricea, indici de la 1 ; alte declaraţii... pentru i = 1, n pentru j = 1, n B ij = 0 B ii = 1 Gauss_multiplu(n, n, a, B, X) întoarce X ; X este inversa matricei Complexitatea calcului inversei: 2n 3 /3+2mn 2 = 8n 3 /3 COSTISITOR! 14/59
15 Varianta III Rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare Cazul sistemelor multiple funcţie produs_mv (n, M, v) ; calculează produsul dintre o matrice pătrată M şi un vector coloană v întreg n ; dimensiunea problemei tablou real M[n][n] ; matricea, indici de la 1 tablou real v[n] ; vectorul tablou real p[n] ; rezultatul p = Mv ; alte declaraţii... pentru i = 1, n p i = 0 pentru j = 1, n p i = p i + M ij v j întoarce p Complexitatea inmulţirii dintre o matrice şi un vector: 2n 2 Efortul total de calcul : O(8n 3 /3+2mn 2 ). Există o variantă mai eficientă bazată pe factorizarea matricei coeficienţilor. 15/59
16 Ideea metodei Varianta Doolittle Varianta Cholesky Ax = b, (14) A = LU, factorizare (15) A = L = U = LUx = b. (16) 16/59
17 Ideea metodei Varianta Doolittle Varianta Cholesky Ax = b, (17) A = LU, factorizare (18) LUx = b. (19) Notăm (50) y = Ux, (20) Ly = b, substituţie progresivă Ux = y. substituţie progresivă (21) 17/59
18 Varianta Doolittle Varianta Cholesky Un exemplu simplu - pornind de la Gauss x 1 + 2x 2 x 3 = 1, 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 0, 4x 1 x 2 3x 3 = 2. x 1 + 2x 2 x 3 = 1, 7x 2 x 3 = 2, 9x 2 + x 3 = 2. x 1 + 2x 2 x 3 = 1, 7x 2 x 3 = 2, 2/7x 3 = 4/7. x 3 = ( 4/7)/( 2/7) = 2, x 2 = ( 2+x 3 )/7 = 0, x 1 = 1 2x 2 + x 3 = 1. (22) (23) (24) (25) 18/59
19 Varianta Doolittle Varianta Cholesky Un exemplu simplu - pornind de la Gauss Factorizare L = Verificare: LU = A U = / /1 9/7 1 A = /7 = (26) /7 1. (27). (28) 19/59
20 Varianta Doolittle Varianta Cholesky Un exemplu simplu - pornind de la Gauss Substituţie progresivă Ly = b /7 1 y 1 y 2 y 3 = y 1 = 1 2y 1 + y 2 = 0 4y 1 9/7y 2 + y 3 = 2, (29) (30) y 1 = 1 y 2 = 2y 1 = 2 y 3 = 2 4y 1 + 9/7y 2 = 4/7. (31) 20/59
21 Varianta Doolittle Varianta Cholesky Un exemplu simplu - pornind de la Gauss Substituţie regresivă Ux = y x x 2 = 2, (32) 0 0 2/7 x 3 4/7 x 1 + 2x 2 x 3 = 1 7x 2 x 3 = 2 (33) 2/7x 3 = 4/7. x 3 = ( 4/7)/( 2/7) = 2, x 2 = ( 2+x 3 )/7 = 0, x 1 = 1 2x 2 + x 3 = 1. (34) 21/59
22 Variante de factorizare Varianta Doolittle Varianta Cholesky Factorizare nu este unică. Variante standard: Doolittle: l ii = 1 - se aplică la orice matrice nesingulară Crout: u ii = 1 - se aplică la orice matrice nesingulară Cholesky: L = U T - se aplică doar matricelor simetrice şi pozitiv definite [ ] [ ][ l11 0 u11 u = 12 l 21 l 22 0 u 22 l 11 u 11 = 3 l 12 u 12 = 2 l 21 u 11 = 6 l 21 u 12 + l 22 u 22 = 1 ]. (35) (36) Sistemul devine determinat doar dacă fixăm oricare două valori. 22/59
23 Variante de factorizare Varianta Doolittle Varianta Cholesky Exemplu: [ ] = [ [ ] = ][ ] = [ 3 0 2/3 5/3 [ ][ 3 2/3 0 5/3 ][ 1 2/3 0 1 ]. ] (37). (38) 23/59
24 Algoritmul variantei Doolittle Varianta Doolittle Varianta Cholesky A 0 = A, (39) A 1 = E 1 A 0, A 2 = E 2 A 1 = E 2 E 1 A 0, A n 1 = E n 1 A n 2 = E n 1 E n 2 E 2 E 1 A 0. (40) U = A n 1. (41) Dar E este nesingulară şi: E = E n 1 E n 2 E 2 E 1, (42) U = EA. (43) L = E 1. (44) 24/59
25 Algoritmul variantei Doolittle Varianta Doolittle Varianta Cholesky E 1 1 = a 11 a 12 a a 22 a 32 a 23 a 33 E 1 = a 21 /a a 31 /a = E a 21 /a a 31 /a , E 1 2 = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33. (45). (46) a 32 /a (47) E 1 = E 1 1 E 1 2 E 1 n 2 E 1 n 1. (48) E 1 = a 21 /a = L. (49) a 31 /a 11 a 32 /a /59
26 Algoritmul variantei Doolittle Varianta Doolittle Varianta Cholesky ; etapa de eliminare din metoda Gauss cu memorarea opuselor elementelor ; de multiplicare în triunghiul inferior al matricei pentru k = 1, n 1 ; parcurge sub-etape ale eliminării pentru i = k + 1, n ; parcurge liniile p = a ik /a kk ; element de multiplicare pentru j = k + 1, n ; parcurge coloanele a ij = a ij + pa kj a ik = p procedură factorizare_lu(n, a) ; factorizează "in loc" matricea a ; varianta Doolittle ; declaraţii pentru k = 1, n 1 ; parcurge sub-etape ale eliminării pentru i = k + 1, n ; parcurge liniile a ik = a ik /a kk ; element de multiplicare pentru j = k + 1, n ; parcurge coloanele a ij = a ij a ik a kj ; Factorizare "pe loc" : "A = L + U I" retur 26/59
27 Varianta Doolittle Varianta Cholesky Calculul soluţiei după factorizare Notăm (50) LUx = b. (50) y = Ux, (51) Ly = b, (52) Ux = y. (53) "y = L 1 b" se rezolvă prin substituţie progresivă: l 11 y 1 = b 1, l 21 y 1 + l 22 y 2 = b 2, l n1 y 1 + l n2 y 2 + l nn y n = b n, y 1 = b 1 /l 11, y 2 = (b 2 l 21 y 1 )/l 22, y n = (b n n 1 k=1 l nky k )/l nn. (54) 27/59
28 Varianta Doolittle Varianta Cholesky Calculul soluţiei după factorizare y 1 = b 1 /l 11, (55) i 1 y i = b i l ij y j /l ii, i = 2,...,n. (56) j=1 "x = U 1 y" se rezolvă prin substituţie regresivă: x n = y n /u nn, (57) n x i = y i u ij x j /u ii, i = n 1,...,1. (58) j=i+1 28/59
29 Varianta Doolittle Varianta Cholesky Calculul soluţiei după factorizare procedură rezolvă_lu(n, a, b, x) ; rezolvă sistemul de ecuaţii ax = b prin factorizare LU ; matricea este presupusă a fi deja factorizată în loc ; varianta Doolittle ; declaraţii ; substituţie progresivă y 1 = b 1 ; formula (55), unde l 11 = 1 pentru i = 2, n s = 0 pentru j = 1, i 1 s = s + a ij y j ; formula (56), unde L este memorat în a y i = b i s ; deoarce l ii = 1 ; substituţie regresivă x n = y n/a nn ; formula (57), unde U este memorat în a pentru i = n 1, 1, 1 s = 0 pentru j = i + 1, n s = s + a ij x j x i = (y i s)/a ii retur 29/59
30 Evaluarea algoritmului Varianta Doolittle Varianta Cholesky Complexitate: Erori: Factorizarea propriu-zisă a: T f = O(2n 3 /3) Rezolvările: T s = O(2n 2 ). Necesarul de memorie: M = O(n 2 ) Nu există erori de trunchiere; Erorile de rotunjire pot fi micşorate dacă se aplică strategii de pivotare. 30/59
31 Pivotare Varianta Doolittle Varianta Cholesky Matrice de permutare: matrice care are exact un element egal cu 1 pe fiecare linie şi pe fiecare coloană, şi 0 în rest; inversa unei matrice de permutare este o matrice de permutare; produsul a două matrice de permutare este de asemenea o matrice de permutare; Pivotarea pe linie poate fi descrisă prin înmulţirea la stânga cu o matrice de permutare notată P. Pivotarea pe coloane poate fi descrisă prin înmulţirea la dreapta cu o matrice de permutare ce va fi notată cu Q. 31/59
32 Pivotare Varianta Doolittle Varianta Cholesky A 0 = P 1 A. (59) Presupunând că la fiecare etapă de eliminare se efectuează o permutare parţială, relaţiile (40) se scriu A 1 = E 1 A 0 = E 1 P 1 A, A 2 = E 2 P 2 A 1 = E 2 P 2 E 1 P 1 A, A n 1 = E n 1 P n 1 E 2 P 2 E 1 P 1 A. (60) 32/59
33 Pivotare Varianta Doolittle Varianta Cholesky U = E n 1 P n 1 E 2 P 2 E 1 P 1 A. (61) U = E 3 P 3 E 2 P 2 E 1 P 1 A = = E }{{} 3 E 3 P 3 E 2 P 1 3 }{{} E 2 = E 3 E 2 E 1 P 3 P 2 P }{{}}{{ 1 } L 1 P P 3 P 2 E 1 P 1 2 P 1 3 P 3 P 2 P 1 A = }{{} E 1 A (62) 33/59
34 Pivotare Varianta Doolittle Varianta Cholesky Factorizarea cu pivotare pe linii: PA = LU, (63) Factorizarea LU cu pivotare totală (rareori aplicată) PAQ = LU, (64) 34/59
35 Cazul sistemelor multiple Varianta Doolittle Varianta Cholesky Rezolvate cu factorizare: T = O(2n 3 /3+2mn 2 ), mai mic decât cel necesar calculului inversei. Efort de calcul pentru rezolvarea sistemelor multiple. Nr. sisteme Metoda Complexitate T 1 Gauss 2n 3 /3+n 2 LU 2n 3 /3+2n 2 m - simultan Gauss 2n 3 /3+2mn 2 m - succesiv folosind inversa 8n 3 /3+2mn 2 LU 2n 3 /3+2mn 2 35/59
36 Varianta Cholesky Varianta Doolittle Varianta Cholesky Dacă A este simetrică, atunci este de dorit ca U = L T. (65) Aceasta se poate realiza doar dacă A este pozitiv definită. Pp. A = LL T. (66) fie x nenul; atunci y = L T x va fi nenul x T Ax = x T LL T x = y T y = n i=1 y 2 i > 0. 36/59
37 Varianta Cholesky Varianta Doolittle Varianta Cholesky Teoremă: Dacă A este o matrice simetrică şi pozitiv definită, atunci factorizarea ei Cholesky există în mod unic, adică există în mod unic o matrice triunghiular inferioară L cu elementele diagonale pozitive, astfel încât. A = LL T 37/59
38 Modul de generare al matricei L Varianta Doolittle Varianta Cholesky [ α a T a A Complementul Schur al lui α: ] [ ][ λ 0 λ l T = l L 0 L T ]. (67) λ = α (68) l = a/λ (69) LL T = A ll T. (70) S = A ll T = A aa T /α. (71) Se poate demonstra că S este simetrică şi pozitiv definită şi, în consecinţa LL T este factorizarea ei Cholesky. 38/59
39 Modul de generare al matricei L Varianta Doolittle Varianta Cholesky [ λ 0 A = A 0 = l L Similar, ][ λ l T 0 L T ] [ λ 0 = l I A 1 = L 2 A 2 L T 2, ][ S ][ λ l T 0 I ] = L 1 A 1 L T 1. (72) unde A n = I.. (73) A n 1 = L n A n L T n, A = L 1 L } 2 L {{ n L } T n L T n 1 LT 1 (74) }{{} L L T 39/59
40 Algoritm Varianta Doolittle Varianta Cholesky l kk = l ik k 1 akk lkj 2, k = 1,...,n (75) j=1 k 1 = (a ik l ij l kj )/l kk, i = k + 1,...,n. (76) j=1 40/59
41 Algoritm Varianta Doolittle Varianta Cholesky procedură factorizare_lu_cholesky(n, a, l) ; factorizează matricea a, presupusă simetrică şi pozitiv definită ; întoarce matricea triunghiular inferioară l ; varianta Cholesky ; declaraţii pentru k = 1, n ; parcurge sub-etape ale eliminării pentru i = k, n ; calculează coloana, sub diagonală s = a ik pentru j = 1, k 1 s = s l ij l kj dacă i = k l kk = s altfel l ik = s/l kk retur 41/59
42 Algoritm Varianta Doolittle Varianta Cholesky Efortul de calcul T e n [2k(n k)] = 2 k=1 [ n = 2 (n k) 2 n k=1 [ (n 1)n(2n 1) = 2 6 n [(n k n)(n k)] = k=1 ] n (n k) = k=1 n n(n 1) 2 ] ( ) 2n n3 = n3 2 3 Algoritmul Cholesky este întotdeauna stabil şi nu are nevoie de pivotare. Aceasta se datorează proprietăţilor speciale ale matricei A, care fiind pozitiv definită este şi diagonal dominantă. 42/59
43 Cazul matricelor rare Ce sunt? Formate de memorare Adaptarea metodelor directe - exemplu Matrice rară = matrice care conţine un număr foarte mare de elemente nenule. O matrice care nu este rară se numeşte matrice densă sau plină. Densitatea unei matrice = raportul dintre numărul de elemente nenule şi numărul total de elemente al matricei. Dacă, pentru o anumită matrice care are şi elemente nule, se poate elabora un algoritm care exploatează această structură şi care, este mai eficient decât algoritmul conceput pentru matricea plină, atunci aceasta este o matrice rară. 43/59
44 Ce sunt? Formate de memorare Adaptarea metodelor directe - exemplu Formate de memorare a matricelor rare Matrix Market: se memoreză doar valorile nenule şi "coordonatele" lor în matrice. Exemplu: tablou bidimensional de dimensiune m n: M plin = 8mn B M rar,coord = 8 n nz + 4 2n nz = 16n nz B. M = val = [ ] r_idx = [ ] c_idx = [ ] 44/59
45 Ce sunt? Formate de memorare Adaptarea metodelor directe - exemplu Formate de memorare a matricelor rare Formatul Yale sau CRS - Compressed Row Storage: M rar,crs = 8n nz + 4(m+1)+4n nz = 12n nz + 4(m+1) B. M = val = [ ] r_ptr = [ ] c_idx = [ ] Similar, CCS (Compressed Column Storage)- cunoscut şi sum numele Harwell - Boeing. M rar,ccs = 8n nz + 4(n+1)+4n nz = 12n nz + 4(n+1) B. M = val = [ ] c_ptr = [ ] r_idx = [ ] 45/59
46 Ce sunt? Formate de memorare Adaptarea metodelor directe - exemplu Formate de memorare a matricelor rare Matricelor bandă (de exemplu matrice tridiagonală): q 1 r p 2 q 2 r p 3 q 3 r M = p n 1 q n 1 r n p n q n Memorare cu ajutorul a trei vectori (CDS - Compressed Diagonal Storage): 0 p 2 p 3 p n 1 p n M rar = q 1 q 2 q 3 q n 1 q n r 1 r 2 r 3 r n /59
47 Metode directe pentru matrice rare Ce sunt? Formate de memorare Adaptarea metodelor directe - exemplu Gauss pentru matrice tridiagonală, matricea la subetapa k de eliminare: q k r k p k+1 q k+1 r k p k+2 q k+2 r k p n q n Un singur element de multiplicare m = p k+1 /q k. Singura modificare suferind-o ecuaţia k + 1: q k+1 = q k+1 + m r k, şi temenul liber corespunzător. 47/59
48 Metode directe pentru matrice rare Ce sunt? Formate de memorare Adaptarea metodelor directe - exemplu Gauss pentru matrice tridiagonală, matricea după eliminare. q 1 r q 2 r q k r k q k+1 r k q n 1 0 r n q n Retrosubstituţie q i x i + r i x i+1 = b i x n = b n /q n, (77) x i = (b i r i x i+1 )/q i, i = n 1,...,1. (78) 48/59
49 Metode directe pentru matrice rare Ce sunt? Formate de memorare Adaptarea metodelor directe - exemplu procedură Gauss_tridiag(n, p, q, r, b, x) ; rezolvă sistemul algebric liniar ax = b prin metoda Gauss ; matricea a este tridiagonală, memorată în p, q, r întreg n ; dimensiunea sistemului tablou real p[n], q[n], r[n] ; "matricea" coeficienţilor - indici de la 1 tablou real b[n] ; vectorul termenilor liberi tablou real x[n] ; vectorul soluţie întreg i, k ; etapa de eliminare din metoda Gauss pentru k = 1, n 1 ; parcurge sub-etape ale eliminării m = p k+1 /q k ; element de multiplicare q k+1 = q k+1 + mr k ; modifică element în linia k + 1 b k+1 = b k+1 + mb k ; modifică termenul liber al ecuaţiei k + 1 ; etapa de retrosubstituţie x n = b n/q n pentru i = n 1, 1, 1 x i = (b i r i x i+1 )/q i retur T = O(8n), M = O(5n). 49/59
50 Metode directe pentru matrice rare Ce sunt? Formate de memorare Adaptarea metodelor directe - exemplu Pentru matrice rare fără o structură particulară, algoritmii trebuie adaptaţi memorării de tip CRS sau CCS. La eliminare matricea se poate umple, a.î. pivotarea urmăreşte nu numai stabilitatea numerică, ci şi minimizarea umplerilor, adică a elementelor nenule nou apărute. La matrice rare inversarea este practic imposibilă datorită fenomen de umplere. 50/59
51 Metode directe pentru matrice rare Ce sunt? Formate de memorare Adaptarea metodelor directe - exemplu Factorizarea unei matrice rare poate salva raritatea dacă matricea are o anumită structură. A 1 = A 2 = Matricea A 1 are factorii LU rari, în timp ce matricea A 2 are factorii LU plini. Structura matricei joacă deci un rol important în conceperea algoritmului de rezolvare. 51/59
52 Minimal: [1], Algoritmi numerici pentru calcule ştiintifice în ingineria electrică Editura MatrixROM, 2013, pag Alte recomandări: [2] Timothy Davis, Direct methods for sparse linear systems, SIAM [3] Timothy A. Davis, Sivasankaran Rajamanickam, and Wissam M. Sid-Lakhdar, A survey of direct methods for sparse linear systems, draftul unei lucrări ce va apare in 2016, disponibilă la 52/59
53 Pachete existente: ([3]) BCSLIB-EXT Ashcraft (1995), Ashcraft et al. (1998), Pierce and Lewis (1997), aanalytics.com BSMP Bank and Smith (1987), CHOLMOD Chen et al. (2008), suitesparse.com CSparse Davis (2006), suitesparse.com DSCPACK Heath and Raghavan (1995) (1997),Raghavan (2002), Also CAPSS.Elemental Poulson, libelemental.org ESSL GPLU Gilbert and Peierls (1988), IMSL KLU Davis and Palamadai Natarajan (2010), suitesparse.com LDL Davis (2005), suitesparse.com MA38 Davis and Duff (1997), MA41 Amestoy and Duff (1989), MA42, MA43 Duff and Scott (1996), Successor to MA32. HSL MP42, HSL MP43 Scott (2001a) (2001b) (2003), Also MA52 and MA72. MA46 Damhaug and Reid (1996), MA47 Duff and Reid (1996b), MA48, HSL MA48 Duff and Reid (1996a), Successor to MA28. HSL MP48 Duff and Scott (2004), MA49 Amestoy et al. (1996b), MA57, HSL MA57 Duff (2004), MA62, HSL MP62 Duff and Scott (1999), Scott (2003), MA67 Duff et al. (1991), HSL MA77 Reid and Scott (2009b), HSL MA78 Reid and Scott (2009a), HSL MA86, HSL MA87 Hogg et al. (2010) Hogg and Scott (2013b), HSL MA97 Hogg and Scott (2013b), 53/59
54 Mathematica Wolfram, Inc., MATLAB Gilbert et al. (1992), Meschach Steward and Leyk, MUMPS Amestoy et al. (2000), Amestoy et al. (2001a), Amestoy et al. (2006), NAG NSPIV Sherman (1978b) (1978a), Oblio Dobrian, Kumfert and Pothen (2000), Dobrian and Pothen (2005), PARDISO Schenk and G artner (2004), Schenk, G artner and Fichtner (2000), PaStiX H enon et al. (2002), ramet/pastix QR MUMPS Buttari (2013), buttari.perso.enseeiht.fr/qr mumps PSPASES Gupta et al. (1997), mjoshi/pspases Quern Bridson, S+ Fu et al. (1998), Shen et al. (2000), Sparse 1.4 Kundert (1986), sparse.sourceforge.net SPARSPAK Chu et al. (1984), George and Liu (1979a) (1981) (1999), SPOOLES Ashcraft and Grimes (1999), SPRAL SSIDS Hogg et al. (2016), SuiteSparseQR Yeralan et al. (2016), Foster and Davis (2013), suitesparse.com SuperLLT Ng and Peyton (1993a), EGNg SuperLU Demmel et al. (1999a), crd.lbl.gov/ xiaoye/superlu SuperLU DIST Li and Demmel (2003), crd.lbl.gov/ xiaoye/superlu SuperLU MT Demmel et al. (1999b), crd.lbl.gov/ xiaoye/superlu 54/59
55 TAUCS Rotkin and Toledo (2004), stoledo/taucs UMFPACK Davis (2004b) Davis and Duff (1997) (1999), suitesparse.com WSMP Gupta (2002a), Gupta et al. (1997), agupta/wsmp Y12M Zlatev, Wasniewski and Schaumburg (1981), YSMP Eisenstat et al. (1977) (1982), Yale Librarian, New Haven, CT 55/59
56 42 de cursuri pe youtube ale lui T. Davis, primul este aici 56/59
57 Pe scurt Fiţi atenţi la astfel de informaţii (capturi din COMSOL) 57/59
58 Pe scurt Fiţi atenţi la astfel de informaţii 58/59
59 Tema 3 Abonaţi-vă (cel puţin pe durata acestui semestru) la următoarele 1 NA Digest 2 Computational Science Stack Exchange şi urmăriţi unul sau mai multe subiecte de interes. Faceţi un scurt raport menţionând informaţiile care v-au stârnit interesul pe durata acestui semestru. Structuraţi raportul sub forma unui tabel cu două coloane, în coloana din stânga luaţi textul relevant din mesajele pe care le veţi primi ca urmare a celor două acţiuni de mai sus şi în coloana din dreapta introduceţi comentariile personale. Nota pe acest raport va reflecta comentariile personale. 59/59
Cap.2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode directe (II)
Cap.2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode directe (II) Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραSisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCap2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode iterative
Cap2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode iterative Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare
METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Mădălina-Andreea
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραMetode directe pentru sisteme de ecuaţii liniare
Metode directe pentru sisteme de ecuaţii liniare Eliminare gaussiană, descompunere LU, Cholesky Radu T. Trîmbiţaş Universitatea Babeş-Bolyai March 26, 2008 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραActivitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραSisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode iterative nestaţionare (semiiterative)
Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode iterative nestaţionare (semiiterative) Conf.dr.ing. Gabriela Ciuprina Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi
Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii
Διαβάστε περισσότεραMetode directe pentru sisteme de ecuaţii liniare
Metode directe pentru sisteme de ecuaţii liniare Eliminare gaussiană, descompunere LU, Cholesky Radu T. Trîmbiţaş Universitatea Babeş-Bolyai March 27, 206 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραRezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare. Cuprins. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina
Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice,
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραTeme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice
Teme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice As. Ruxandra Barbulescu Septembrie 2017 Orice nelamurire asupra enunturilor/implementarilor se rezolva in cadrul laboratorului de MN,
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραRezolvarea sistemelor liniare determinate
Seminar 2 Rezolvarea sistemelor liniare determinate Acest seminar este dedicat metodelor numerice de rezolvare a sistemelor liniare determinate, i.e. al sistemelor liniare cu numărul de ecuaţii egal cu
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare
Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare 1 Metode iterative clasice Metodele iterative sunt intens folosite, in special pentru rezolvarea de probleme mari, cum sunt cele de discretizare
Διαβάστε περισσότεραNicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI
Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază
Διαβάστε περισσότεραNoţiuni introductive
Metode Numerice Noţiuni introductive Erori. Condiţionare numerică. Stabilitatea algoritmilor. Complexitatea algoritmilor. Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII
9 PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII 81 Introducere Problema de valori proprii a unui operator liniar A: Ax = λx x vector propriu, λ valoare proprie În reprezentarea unei baze din < n problemă matricială
Διαβάστε περισσότεραLaborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE: Laborator #7 Calculul valorilor proprii si vectorilor proprii prin metodele puterii. Metoda Householder
METODE NUMERICE: Laborator #7 Calculul valorilor proprii si vectorilor proprii prin metodele puterii. Metoda Householder Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Alexandru
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότερα, m ecuańii, n necunoscute;
Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραsistemelor de algebrice liniarel
Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris
Διαβάστε περισσότεραProblema celor mai mici pătrate
Seminar 3 Problema celor mai mici pătrate Acest seminar este dedicat metodelor numerice pentru rezolvarea unei probleme numerice foarte importante întâlnită în multe aplicaţii, aşa numita problemă a celor
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραLaborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
Διαβάστε περισσότερα1.3. Erori în calculele numerice
Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018 1/41 Cuprins Caracterizarea
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραAproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate
Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina i Numerici, 2016-2017 1/60
Διαβάστε περισσότεραProiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera Cuprins Scheme de algoritmi Divide et impera Exemplificare
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραAdriana-Ioana Lefter DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs
Adriana-Ioana Lefter MATEMATICĂ (ALGEBRĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs Cuprins Partea 1 ALGEBRĂ 1 Capitolul 1 Matrice şi determinanţi 3 11 Corpuri 3 12 Matrice 4 13
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραCalculul valorilor proprii
Laborator 5 Calculul valorilor proprii 5.1 Valori şi vectori proprii Definiţia 5.1 Fie A C n n. Un vector x C n n este un vector propriu al matricei A, asociat valorii proprii λ C, dacă sunt satisfăcute
Διαβάστε περισσότεραSisteme de ecuaţii diferenţiale
Curs 5 Sisteme de ecuaţii diferenţiale 5. Sisteme normale Definiţie 5.. Se numeşte sistem normal sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi dx dt = f (t, x, x 2,..., x n ) dx 2 dt = f 2(t, x, x
Διαβάστε περισσότερα1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραMatrici şi sisteme de ecuaţii liniare
Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare 1. Matrici şi determinanţi Reamintim aici câteva proprietăţi ale matricilor şi determinanţilor. Definiţia 1.1. Fie K un corp (comutativ) şi m, n N. O funcţie A : {1,...,
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραI. Noţiuni introductive
Metode Numerice Curs 1 I. Noţiuni introductive Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate astfel încât să fie rezolvate numai prin operaţii aritmetice. Prin trecerea
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότεραIntegrarea numerică. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică
Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 017-018 1/35 Cuprins Introducere 1 Introducere Importanţa evaluării
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραProiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραGheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE
Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ ŞI GEOMETRIE IAŞI, 005 CUPRINS 1 MATRICE ŞI SISTEME ALGEBRICE LINIARE 5 1.1 Matrice şi determinanţi.......................... 5 1. Sisteme de ecuaţii algebrice
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραInterpolarea funcţiilor.
Interpolarea funcţiilor.. Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018 1/52 Cuprins Introducere 1 Introducere
Διαβάστε περισσότεραConf.dr.ing. Gabriela Ciuprina
Conf.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru disciplina Algoritmi Numerici, 2012 Cuprins 1 2 3 4 5 6 În
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότερα