Katedra informatiky Fakulty matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave ÚVOD DO DISKRÉTNYCH ŠTRUKTÚR.

Transcript

1 Katedra iformatiky Fakulty matematiky, fyziky a iformatiky Uiverzity Komeského v ratislave ÚVOD DO DISKRÉTNYCH ŠTRUKTÚR Eduard Toma RTISLV 008

2 OSH EDURD TOMN OSH PREDHOVOR 4 PREHĽD OZNČENÍ 5 ZÁKLDY MTEMTICKEJ LOGIKY 7 VÝROKY 7 VÝROKOVÉ FORMY - CVIČENI 5 3 MTEMTICKÉ DÔKZY 7 4 ZÁKLDNÉ METÓDY DÔKZOV V MTEMTIKE 9 I Priamy dôkaz tvrdeia a 9 II Nepriamy dôkaz tvrdeia a sporom 9 III Priamy dôkaz implikácie 0 IV Nepriamy dôkaz implikácie sporom 0 V Nepriamy dôkaz implikácie pomocou obmey 0 VI Matematická idukcia CVIČENI 7 ÚVOD DO TEÓRIE MNOŽÍN 9 ZÁKLDNÉ POJMY OZNČENI TEÓRIE MNOŽÍN 9 ZÁKLDNÉ MNOŽINOVÉ OPERÁCIE VZŤHY 3 3 ZÁKLDNÉ VLSTNOSTI MNOŽINOVÝCH OPERÁCIÍ 34 4 USPORIDNÁ DVOJIC KRTEZIÁNSKY SÚČIN 36 4 CVIČENI 39 5 RELÁCIE 4 6 RELÁCI EKVIVLENCIE ROZKLD MNOŽINY 43 7 ČISTOČNÉ USPORIDNIE USPORIDNIE MNOŽINY CVIČENI 47 8 ZORZENIE 49 8 CVIČENI 5 9 MOHUTNOSTI MNOŽÍN 54 0 POČÍTNIE S MOHUTNOSŤMI 59 SPOČÍTTEĽNÉ MNOŽINY CVIČENI 78 ZÁVER 80

3 RESUMÉ 8 LITERTÚR 8 3

4 Predhovor Predložeý učebý tet je apísaý pre predmet Úvod do diskrétych štruktúr, študijý odbor Iformatika, prvý ročík a Fakulte matematiky, fyziky a iformatiky v ratislave V podstate ide o rozšíreý a upraveý zápis viacerých predášok autora z diskrétej matematiky a tejto fakulte Diskréta matematika predstavuje základ teoretických disciplí pre vedu o počítačoch, pre ktorú používame ozačeie iformatika, ktorá sa zaoberá všetkým tým, čo súvisí s počítačmi a vyčísliteľými procesmi Diskréta matematika sa zaoberá skúmaím ajmä diskrétych (espojitých) štruktúr Práve v súvislosti s itezívym využívaím počítačov pri riešeí problémov a úloh ajrozličejších typov, diskréta matematika presiahla rámec diskrétej aalýzy a zahrňuje des aj rad metód koštruktívych, vytvoreých pre bezprostredé využívaie počítačov Diskréta matematika je relatíve samostatá súčasť matematiky Jej začiatky sú začiatkami matematiky Hlavou špecifikou je diskrétosť, tj opak spojitosti a v širšom zmysle zahrňuje aj také disciplíy ako teória čísel, algebra, matematická logika, kombiatorika, teória grafov, teória moží a rad ďalších disciplí, ktoré sa začali ajitezívejšie rozvíjať v polovici dvadsiateho storočia spojeých s využívaím počítačov Dosiahutie určitého stupňa matematickej zrelosti tvorí v začej miere súčasť odborej kvalifikácie každého, kto chce s počítačmi systematicky pracovať Prirodzeé východisko pre štúdium iformatiky predstavujú matematická logika a teória moží, ktoré zo všeobecého hľadiska tvoria vyjadrovacie prostriedky a pracové postupy Životosť týchto teórií sa prejavuje v tom, že oy samy, ale aj disciplíy, ktorých vzik podmieili preikli do celej matematiky i iformatiky a v istom rozsahu sa dostávajú do učiva prvých ročíkov vysokoškolského štúdia a fakultách rôzych zameraí V učebom tete je iste moho edostatkov, ejasých formulácií, epresostí, alebo chýb Veríme však, že sa dajú odstráiť pomere rýchlo a pohodle Čitateľovi, ktorý ma a tieto edostatky upozorí, budem veľmi povďačý V ratislave, Doc RNDr E Toma, CSc,

5 Symbol,, C, a Prehľad ozačeí Výzam, prípade ázov možiy prvok a patrí do možiy a, a,, a prvky a, a,, a patria do možiy ( a ) a, prvok a epatrí do možiy { a a }, =,, a možia obsahuje práve prvky a, a,, a { a V ( a) } = možia práve tých prvkov možiy, ktoré majú vlastosť V prázda možia možia sa rová možie možia sa erová možie možia je obsiahutá v možie možia ie je obsiahutá v možie, možia je vlastou, (pravou) podmožiou možiy P, S systémy moží P () \, S S možia všetkých podmoží možiy zjedoteie moží a prieik moží a rozdiel moží a symetrická diferecia moží a zjedoteie systému moží prieik systému moží ( a, b) usporiadaá dvojica ( a, a,, ) a usporiadaá -tica Karteziásky súči moží a Karteziásky súči moží,,, mohutosť možiy N, možia { 0,,,, }

6 0 א alef ula, mohutosť možiy N f : zobrazeie f možiy do možiy g = f parciála fukcia k fukcií f možia zobrazeí f : p, q, r výroková premeá p egácia výroku p p q p q p q, p q p q, p q a : V a : V! a : V ( a) ( a) ( a) kojukcia výrokov p a q disjukcia výrokov p a q implikácia výrokov p a q ekvivalecia výrokov p a q Shafferova spojka Pierce Lukasiewicsova spojka veľký (všeobecý, uiverzály) kvatifikátor všetky prvky a možiy majú vlastosť V malý (eistečý) kvatifikátor v možie eistuje aspoň jede prvok a s vlastosťou V v možie eistuje práve jede prvok a s vlastosťou V

7 Základy matematickej logiky V matematike pracujeme so súbormi objektov, ktoré sú idealizovaé a abstrakté, čo do mohutosti môžu byť koečé, alebo ekoečé Matematika je deduktíva veda, a rozdiel od eperimetálych vied ové tvrdeia, ak chceme začleiť do matematickej teórie, musíme ich ajskôr dokázať k iekto chce študovať matematiku, rozumieť jej tvrdeiam a správe ich iterpretovať, musí mať základé vedomosti o výstavbe matematických teórií V ašom výklade epôjdeme až do takých podrobostí Máme a to iekoľko dôvodov; prvý dôvod je časový, druhý dôvod je, že ešte epozáme dôklade žiadu matematickú teóriu a tretí dôvod je, že problematika spadá do matematickej logiky, ktorá v širšom zmysle slova taktiež patrí do oblasti diskrétej matematiky Niekoľko slov k logickej výstavbe matematických teórií povieme Keď sa zaoberáme logickou výstavbou matematiky stojíme predovšetkým pred dvoma otázkami: ko sa odvodzujú matematické tvrdeia (vety)? ké sú logické základy matematiky? Keď študujeme odvodzovaie matematických viet, tak sa musíme pýtať, aké typy logických záverov (úsudkov) pozáme, aké metódy dôkazov rozozávame, atď ko vidíme sú to čisto logické otázky Nemusíme sa preto zaoberať logickým odvodzovaím (dedukciou) vôbec a pritom súčase spozáme ako sa odvodzujú matematické vety Vlastému výkladu o logickej dedukcií treba predoslať akúsi hovorkyňu logiky, totiž výklad o tvare a druhoch viet (výrokov) Základom každej matematickej teórie sú, ako je záme určité aiómy, pre jeho ďalšiu výstavbu potom sú dôležité defiície, ktorými zavádzame ové matematické objekty k sa obrátime k logickým základom matematiky, prehovoríme teda o tom, aké defiície rozozávame a aké vlastosti defiície musia mať Potom sa môžme zaoberať systémom aióm a dotkúť sa požiadaviek, ktoré a e kladieme (bezosporosť, úplosť, ezávislosť) Napoko možo zaviesť iektoré matematické pojmy, apr pojem možiy, relácie, zobrazeie, fukcie, mohutosť možiy, prirodzeé čísla atď, ktoré sa vyskytujú vo všetkých odboroch matematiky a majú pre jej výstavbu základú dôležitosť Musíme preto veovať pozorosť aj týmto pojmom ko sme už povedali vyššie, výstavbu matematických teórií ebudeme študovať podrobe, uspokojíme sa s tým, že sa aučíme rozpozávať logickú štruktúru a základé typy dôkazov matematických tvrdeí Teraz sa bližšie pozrieme a logický aparát matematických teórií Výroky Matematické pozatky formulujeme v podobe výrokov Výrok je tvrdeie, o ktorého pravdivosti alebo epravdivosti má zmysel uvažovať Výrok ma spravidla tvar gramatickej ozamovacej vety Výrokmi ie sú otázky, rozkazovacie vety, ale ai ozamovacie vety, pokiaľ im emožo jedozače priradiť pravdivostú hodotu (Napr Táto veta je epravdivá ) Výrok je buď pravdivý, buď je epravdivý (pricíp dvojhodotovosti), výrok emôže byť súčase pravdivý i epravdivý (záko o vylúčeí sporu), ale platí práve jeda z týchto možostí (záko vylúčeia tretieho) Pravdivostá hodota pravdivý sa ozačuje symbolom (alebo T - true), pravdivostá hodota epravdivý sa ozačuje symbolom 0 (alebo F - false) Pri rozhodovaí, či ejaké tvrdeie má pravdivostú hodotu 0 alebo, t j či tvrdeie je výrokom z hľadiska výrokového počtu ezáleží a tom, akým spôsobom zistíme pravdivostú hodotu daého tvrdeia, dokoca ezáleží a tom, či vôbec vieme pravdivostú hodotu tvrdeia určiť 7

8 V matematike výroky ajčastejšie obsahujú tvrdeia, či ejaký objekt alebo možia objektov má resp emá istú vlastosť, alebo vlastosti Výroky, ktorých pravdivostú hodotu epozáme azývame hypotézami (Napríklad: Eistuje ekoeče veľa prirodzeých čísel p takých, že aj číslo p + je prvočíslo) Teda prvočíselých dvojčiat je ekoeče veľa Napríklad problém v matematike zámy ako problém štyroch farieb bol pokladaý dlho za otvoreý, apoko sa ho v roku 976 podarilo úspeše vyriešiť Pojem výroku patrí k základým matematickým pojmom, presá defiícia výroku je zložitejším problémom, ktorý spadá do oblasti skúmaia matematickej logiky My v ašich úvahách vystačíme s ituitívym pojmom výroku Nasledujúce tvrdeia sú výroky: ratislava je hlavé mesto Sloveskej republiky Číslo 55 je deliteľé piatimi 3 Každé prirodzeé číslo je mešie ako číslo 5 4 Prvočísel je ekoeče veľa 5 Možia {3,4,} je koečá, spočítateľá Nasledujúce gramatické vety ie sú výroky: Požičaj mi učebicu zo sloveského jazyka Pries mi pohár dobrej mierálky 3 Táto veta je zeleá 4 Všetci Kréťaia vždy klamú Výroky ozačujeme malými písmeami latiskej abecedy: a, b, c, d, ajčastejšie však z koca abecedy p, q, r, s, (Symboly a, b, c, používaé a ozačeie výrokov, azývame tiež výrokovými premeými Niekedy výrokové premeé aj ideujeme a, a,, a Pravdivostú hodotu (valuáciu) výroku a budeme ozačovať symbolom v(a) Pozameávame, že ak výrok a je pravdivý, tak potom v(a) =, v opačom prípade v(a) = 0 Z výrokov pomocou logických spojok môžeme tvoriť ové, zložitejšie výroky Najjedoduchší spôsob ako z daého výroku utvoriť ový výrok je popretie skutočosti, ktorú vyjadruje pôvodý výrok Napríklad, ak máme výrok: číslo 5 je väčšie ako číslo, popretím skutočosti, ktorú tvrdí dostávame výrok ie je pravda, že číslo 5 je väčšie ako číslo, alebo používame aj slový obrat eplatí, že číslo 5 je väčšie ako číslo Hovoríme, že druhý výrok vzikol z prvého výroku egovaím, teda egáciou prvého výroku k prvý výrok ozačíme p, tak jeho egáciu budeme ozačovať p (V literatúre sa používa pre egáciu výroku aj ozačeie p, p, o p, v programovacích jazykoch NOT p) Pozameávame, že výrok je pravdivý práve vtedy, ak jeho egácia je epravdivá, je epravdivý v opačom prípade k sú p, q ľubovoľé výroky, kojukcia spája výroky p, q do ového výroku p a q čítame p súčase q Kojukciu výrokov p, q ozačujeme p q (p & q, pq, p ad q) Kojukcia p q je pravdivá práve vtedy, ak výroky p, q sú pravdivé súčase V opačom prípade je kojukcia p q epravdivá Disjukciu výrokov p, q zapisujeme výrazom p q (p or q) Disjukciu výrokov p, q čítame p alebo q Disjukcia výrokov p, q je pravdivá práve vtedy, ak aspoň jede z výrokov p, q je pravdivý, v opačom prípade je disjukcia výrokov p, q epravdivá Okrem disjukcie výrokov sa iekedy používa aj alteratíva výrokov (výlučé alebo, XOR, sčítaie podľa modulu, egácia ekvivalecie) lteratívu výrokov p, q ozačujeme p q a čítame buď platí výrok p alebo platí výrok q, ale výroky p a q eplatia súčase Výrok p q je pravdivý práve vtedy, ak je pravdivý práve jede z výrokov p, q V opačom prípade je výrok p q epravdivý 8

9 Matematické tvrdeia majú spravidla tvar implikácie alebo ekvivalecie Preto v matematických dôkazoch zohráva veľmi dôležitú úlohu implikácia Implikácia výrokov p, q sa ozačuje symbolicky ako p q a číta sa ak p, tak q, p implikuje q, z p vyplýva q Výrok p v implikácií p q azývame predpoklad a výrok q záver, alebo tvrdeie, dôsledok Implikácia výrokov p, q je epravdivá, ak predpoklad p je pravdivý a záver q je epravdivý, v opačom prípade je implikácia pravdivá Implikáciu q p azývame obmeou implikácie p q, implikáciu q p azývame obráteím implikácie p q Treba upozoriť a istú odlišosť v chápaí výrokov p q a p q od ich chápaia v bežej hovorovej reči Tak apríklad spojka alebo sa v bežej reči používa vo vylučovacom zmysle, tj p alebo q zameá, že platí práve jede z výrokov Implikácia sa v bežej reči chápe tak, že z pravdivosti predpokladu možo aozaj odvodiť pravdivosť tvrdeia, dôsledku, záveru No v matematike chápeme implikáciu trocha iak Ilustrujeme to a elemetárom príklade zo školského učiva k prirodzeé číslo je deliteľé číslom 0, tak je deliteľé aj číslom 5 Teto výrok v matematike pokladáme za pravdivý, teda ak za dosadíme ľubovoľé prirodzeé číslo, tak dostávame vždy pravdivý výrok Špeciále pri dosadeí čísla 4 dostaeme výrok typu 0 0, pri dosadeí čísla 5 výrok typu 0, pri dosadeí čísla 30 výrok typu, všimime si, že pri ľubovoľom dosadeí prirodzeého čísla ikdy edostaeme výrok typu 0, teda epravdivý výrok Ekvivaleciu výrokov p, q zapisujeme výrazom p q (iekedy sa používajú aj výrazy p q, alebo p ~ q) a čítame ako p je ekvivaleté s q, p práve vtedy, keď q, p vtedy a le vtedy, keď q Ekvivalecia p q je pravdivá práve vtedy, keď výroky p a q majú rovakú pravdivostú hodotu, ekvivalecia eplatí v opačom prípade Výroky, ktoré majú rovakú pravdivostú hodotu sa azývajú logicky rovoceé (ekvivaleté) To, že výroky majú rovakú pravdivostú hodotu zameá, že jede z ich môže byť apríklad v zložeom výroku ahradeý druhým výrokom bez toho, aby sa zmeila pravdivostá hodota zložeého výroku Na druhej strae však logicky ekvivaleté výroky emusia mať rovaký zmysel Napríklad výrok ratislava je hlavé mesto Sloveskej republiky a výrok Prirodzeé číslo 6 je páre číslo sú pravdivé výroky a teda aj ekvivaleté výroky, ktoré však majú rozličý zmysel Nahradzovaie výrokov ekvivaletými výrokmi využívame pri zjedodušovaí výrokov, z dôvodu prehľadejšieho a vhodejšieho zápisu Pozámka V literatúre sa stretávame pri implikácií aj s ozačeím a pre ekvivaleciu s ozačeím My predoste používame ozačeia, Napoko uvedieme dve dôležité biáre spojky: Shafferovu a Pierce-Lukasiewiçsovu Shafferova spojka je pre výroky p, q defiovaá takto: ( p q) ( p q), čiže p q je pravdivá práve vtedy, keď p q je epravdivá a je epravdivá v opačom prípade Pierce Lukasiewiçsova spojka je pre výroky p, q defiovaá takto: ( p q) ( p q), čiže p q je pravdivá práve vtedy, keď p q je epravdivá a je epravdivá v opačom prípade Obidvom uvedeím spojkám budeme veovať zvláštu pozorosť, pre ich dôležitú vlastosť, o iečo eskôr v tete ižšie k sa pravdivostá hodota výroku p (ozačeie v(p)) ideticky rová, tj výrok p je pravdivý pre všetky možé kombiácie pravdivostých hodôt výrokov, z ktorých je zložeý, azývame ho tautológia Zložeý výrok p azývame kotradikcia, ak v(p) = 0 bez ohľadu a pravdivosté hodoty výrokov, z ktorých pozostáva Zložeý výrok je spliteľý, ak v(p) = aspoň pre jedu kombiáciu pravdivostých hodôt výrokov, z ktorých sa skladá Uvedieme iektoré výzamé logické tautológie, ktoré budeme v ďalšom výklade používať a potrebovať Nech sú p, q, r ľubovoľé výroky (výrokové premeé) a ech výroky 0 () ozačujú ľubovoľú kotradikciu (tautológiu), potom sú asledujúce výroky tautológie 9

10 Idempotetosť ( p p) p ( p p) p Komutatívosť ( p q) ( q p) ( p q) ( q p) ( p q) ( q p) 3 sociatívosť ( p ( q r ) ) ( ( p q) r ) ( p ( q r ) ) ( ( p q) r ) 4 Distributíve zákoy ( p ( q r ) ) ( ( p q) ( p r ) ) ( p ( q r ) ) ( ( p q) ( p r ) ) 5 bsorbčé zákoy ( p ( q p) ) p ( p ( q p) ) p 6 Záko dvojitej egácie p p 7 Záko vylúčeia tretieho ( p p) 8 Záko o vylúčeí sporu ( p p) 0 p q p q p q p q 0 Kotrapozícia egácie ( p q) ( q p) Reductio ad absurdum ( p p) p ( p q) ( p q) 3 ( p q) ( p q) 4 ( p q) ( p q) 5 ( p q) ( p q) p q p q q p 9 De Morgaove zákoy ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ( ) ( ) ) V asledujúcej tabuľke uvádzame pravdivosté hodoty základých zložeých výrokov, závisiacich od pravdivostých hodôt ich prvotých zložiek p q p p q p q p q p q p q p q p q Obr Tabuľka pravdivostých hodôt Z vyššie uvedeých základých tautológií iheď vido, že ľubovoľú biáru spojku možo,,,,, ahradiť asledujúcimi dvojicami spojok { } { } { } Ukážeme, že a a sú jedié biáre spojky, ktoré túto vlastosť majú, tj ľubovoľú biáru spojku môžeme vyjadriť le pomocou jediej z uvedeých spojok Nato, aby sme sa o tom presvedčili, pomocou každej spojky a vyjadríme,, p p p q p q q, p p q, p q ( p p) ( q q) ( p p) ( q q), p q ( p q) ( p q), ( p q) ( p q) 0

11 Ukážeme, že žiada iá spojka túto vlastosť emá Uvažujeme asledujúcu pravdivostú tabuľku pre logickú spojku Δ s uvedeou vlastosťou p q p Δ q p q p q Obr Pravdivosté hodoty pre logickú spojku Δ k v(p) = v(q) = 0, tak p Δ q musí byť pravdivý výrok, iak by sa pomocou Δ edal vyjadriť výrok p Taktiež z toho istého dôvodu musí platiť, že ak v(p) = v(q) =, tak p Δ q je epravdivý výrok k pre zvyšé pravdivosté hodoty p, q doplíme chýbajúce pravdivosté hodoty pre Δ, tak, že jedotlivé stĺpce budú vyzerať takto: Δ (0,) = 0, Δ (,0) =, tak bude spojka Δ totožá s a p q q, ak Δ (0,) =, Δ (,0) = 0, tak p q p V prípade, že Δ (0,) = 0, Δ (,0) = 0, je Δ totožá s, v prípade, že Δ (0,) =, Δ (,0) =, je Δ totožá s Pomocou logickej spojky môžeme vyjadriť výrok ideticky rový premeej alebo ideticky rový egácií premeej le výrok ideticky rový 0, alebo ideticky rový edokážeme le pomocou egácie apísať Výrokové formy Výrokovou formou a() s premeou azývame takú ozamovaciu vetu (formály výraz, formulu), ktorá obsahuje premeú, sama ie je výrokom, a stae sa výrokom vždy vtedy, keď za premeú dosadíme kokréty objekt z vopred daej vhode vybratej možiy Príklad: je väčšie ako číslo 5 je hlavé mesto SR 3 je prvočíslom Ku každej výrokovej forme eistuje ejaká možia prvkov, ktoré má zmysel do výrokovej formy dosadzovať Napríklad v príkladoch a 4 to môže byť možia reálych čísel V príklade možia miest a Slovesku, v príklade 3 možia prirodzeých čísel Ozačíme a() výrokovú formu defiovaú a možie prirodzeých čísel takto: a(): je väčšie ako 3 a mešie alebo rové 7 Dosadeím prirodzeých čísel do formuly a() dostávame asledujúce výroky: a(0) 3 < 0 7 a() 3 < 7 a() 3 < 7 a(3) 3 < 3 7 a(4) 3 < 4 7 a(5) 3 < 5 7 Je zrejmé, že prvé štyri výroky sú epravdivé, ak budeme dosadzovať ďalej ľahko uvidíme, že ďalšie štyri výroky sú pravdivé a všetky ostaté výroky už budú epravdivé V matematike sa často vyskytujú výroky, o ktorých hovoríme, že v daej možie eistuje objekt istých vlastostí alebo, že všetky objekty z istej možiy majú istú vlastosť Iak povedaé, že z výrokovej formy môžeme dostať výrok iele dosadeím, ale aj tým, že určíme (kvatifikujeme),

12 pre koľko (aké možstvo) prvkov z vhodej možiy dáva daá výroková formula pravdivý výrok Pri zápise týchto výrokov používame kvatifikátory Eistečý kvatifikátor čítame eistuje Zápis ( ) a() má výzam eistuje aspoň jedo také, pre ktoré platí a(), tj eistuje aspoň jede taký prvok, ktorý keď dosadíme do výrokovej formy a() za premeú, dostaeme pravdivý výrok Všeobecý kvatifikátor čítame pre všetky, alebo pre každé Zápis ( ) a() má výzam: pre každé platí a() Výroky obsahujúce kvatifikátory azývame kvatifikovaé výroky Pozameávame, že eistečý kvatifikátor iekedy azývajú aj malý kvatifikátor a všeobecý kvatifikátor veľký alebo uiverzály kvatifikátor Príklad Nech N ozačuje možiu všetkých prirodzeých čísel Nech a možie N je defiovaá výroková forma a(): + je väčšie ako 5 Kvatifikovaý výrok: eistuje aspoň jedo prirodzeé číslo, pre ktoré platí, že je väčšie ako 5, formále zapisujeme takto: ( ) ( ( N ) ( + ) > 5) Príklad Nech R ozačuje možiu všetkých racioálych čísel Nech a možie R je defiovaá výroková forma b(): + v absolútej hodote je väčšie ako číslo 5 Kvatifikovaý výrok: pre každé reále číslo platí, že + > 5 formále zapíšeme takto: ( + > 5) ( ) ( R) Pozameávame, že kvatifikovaý výrok z príkladu je pravdivý, stačí ám položiť apr = 6, kvatifikovaý výrok z príkladu je epravdivý, stačí ám položiť apríklad = 3,5 Kvatifikovaé výroky môžeme spájať pomocou logických spojok a tak vytvoriť zložeé kvatifikovaé výroky Zvláštu pozorosť si zasluhuje egovaie kvatifikovaých výrokov Nech a() ozačuje ľubovoľú výrokovú formu Jedoduché kvatifikovaé výroky (tj obsahujúce jede kvatifikátor) egujeme podľa asledujúcich pravidiel: ( ) a( ) ( ) ( a( ) ) () ( ) a( ) ( ) ( a( ) ) () Príklad 3 Nech a() je výroková forma defiovaá a možie prirodzeých čísel, ktorá hovorí, že je epáre číslo Vieme, že páre číslo je také prirodzeé číslo, ktoré sa dá vyjadriť v tvare k, kde k je ľubovoľé prirodzeé číslo Uvažujme kvatifikovaý výrok eistuje prirodzeé číslo, ktoré je zároveň aj páre číslo Formále môžeme teto výrok zapísať takto: ( ) ( ( N ) ( je páre číslo) ) Urobme egáciu tohto kvatifikovaého výroku Podľa vyššie uvedeého pravidla dostávame: ( ) ( ( N ) ( je páre číslo) ) ( ) ( ( N ) ( je páre číslo) ) Uplatíme teraz de Morgaov záko: ( ) ( ( N ) ( je páre číslo) ) ( ) ( ( N ) ( je páre číslo) ) ( ) ( ( N ) ( je páre číslo) ) ( ) ( ( N ) ( je epárečíslo) ) V posledej úprave sme použili tautológiu ( p q) ( p q) Pozameávame, že pôvodý kvatifikovaý výrok je pravdivý, teda jeho egáciou sme dostali epravdivý výrok Príklad 4 Uvažujme teraz kvatifikovaý výrok: ( ) ( ( N ) ( je páre číslo) ) Výrok ám hovorí, že každé prirodzeé číslo je páre, je to zrejme výrok epravdivý Negujme teto výrok,

13 použitím ajprv tautológie ( p q) ( p q) dostávame ( ) ( ( N ) ( je párečíslo) ) ( ) ( ( N ) ( je párečíslo) ) ( ) ( ( N ) ( je páre číslo) ) ( ) ( ( N ) ( je párečíslo) ) ( ) ( ( N ) ( je páre číslo) ) ( ) ( ( N ) ( je epárečíslo) ), zákou dvojitej egácie a de Morgaovho zákoa,, kvatifikovaý výrok, ktorý hovorí, že eistuje také prirodzeé číslo, ktoré ie je páre, teda je epáre číslo Ľahko vido, že je výrok pravdivý ko sme už uviedli, kvatifikovaé výroky môžeme spájať pomocou logických spojok Nech a() je ľubovoľá výroková forma defiovaá a možie a kvatifikovaé výroky ( ) a(), ( ) a() Pomocou implikácie môžeme vytvoriť asledujúce zložeé kvatifikovaé výroky: ( ) a( ) ( ) a( ) ( ) a( ) ( ) a( ) Všimime si, že, že kvatifikovaý výrok ( ) a( ) ( ) a( ) je pravdivý pre ľubovoľú výrokovú formu a() a pre ľubovoľú možiu prvkov, a ktorej je výroková forma a() defiovaá, teda kvatifikovaý výrok je tautológia Nech je ľubovoľá možia, a ktorej je výroková forma a() defiovaá, ak a() je pravdivá pre ľubovoľé, teda je pravdivý predpoklad ( ) a( ), tak potom je pravdivý aj záver ( ) a( ), dôsledok daej implikácie V prípade výroku ( ) a( ) ( ) a( ), môže astať taká situácia, že pre iektoré je a() epravdivý výrok V tomto prípade je implikácia ( ) a( ) ( ) a( ) epravdivá, teda kvatifikovaý výrok ( ) a( ) ( ) a( ) ie je tautológia Príklad 5 Nech a(), b() sú ľubovoľé výrokové formy defiovaé a možie Ukážte, že asledujúce kvatifikovaé výroky sú tautológie: ( ) ( a( ) b( ) ) ( ( ) a( ) ( ) b( ) ) ( ) ( a( ) b( ) ) ( ( ) a( ) ( ) b( ) ) Riešeie Predpokladajme, že kvatifikovaý výrok ( ) ( a( ) b( ) ) ( ( ) a( ) ( ) b( ) ) ie je tautológia To zameá, že eistujú také a(), b() defiovaé a možie, že kvatifikovaý výrok ( ) a( ) ( ) b( ) je epravdivý, tj výrok ( ) a() je pravdivý a ( ) b() je epravdivý výrok, to zameá, že eistuje aspoň jedo také, ozačme ho 0, že výrok b ( 0 ) je epravdivý Položme si otázku, či v tomto prípade môže byť kvatifikovaý výrok ( ) ( a( ) b( ) ) pravdivý, t j či implikácia a( ) b( ) je pravdivá pre každé Vezmime 0, v tomto prípade je a ( 0 ) pravdivý výrok, b ( 0 ) epravdivý výrok, teda implikácia b a b a( 0 ) ( 0 ) je epravdivá To zameá, že v kvatifikovaom výroku ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) a( ) ( ) b( ) ) emôže astať prípad, že záver v ašom prípade kvatifikovaý výrok ( ) a( ) ( ) b( ) je epravdivý a predpoklad kvatifikovaý výrok ( ) ( a( ) b( ) ) je pravdivý výrok Čiže implikácia ( ) ( a( ) b( ) ) ( ( ) a( ) ( ) b( ) ) je vždy pravdivý kvatifikovaý výrok, teda tautológia To, že kvatifikovaý výrok ( ) ( a( ) b( ) ) ( ( ) a( ) ( ) b( ) ) je tautológia dokážeme priamo k uvedeý kvatifikovaý výrok je tautológia, tak potom jeho egácia je kotradikcia Najprv pomocou zámych tautológií budeme upravovať uvažovaý kvatifikovaý výrok Postupými ekvivaletými úpravami dostávame: [( ) ( a( ) b( ) ) ( ( ) a( ) ( ) b( ) ) ] 3

14 [( ) ( a( ) b( ) ) ( ( ) a( ) ( ) b( ) )] [ ( ) ( a( ) b( ) ) ( ( ) a( ) ( ) b( ) ) ] [ ( ) ( a( ) b( ) ) ( ( ) a( ) ( ) b( ) )] [ ( ) ( a( ) b( ) ) ( ( ) a( ) ( ) b( ) )] [ ( ) ( a( ) b( ) ) ( ( ) a( ) ( ) b( ) ) ] Negáciou posledého výroku postupými ekvivaletými úpravami dostávame: [ ( ) ( a( ) b( ) ) ( ( ) a( ) ( ) b( ) )] ( ) ( a( ) b( ) ) ( ( ) a( ) ( ) b( ) ) ( ) ( a( ) b( ) ) ( ( ) a( ) ( ) b( ) ) Je zrejmé, že posledý výrok je vždy epravdivý pre ľubovoľé Úvod do diskrétych štruktúr Príklad 6 Nech a(), b() sú ľubovoľé výrokové formy defiovaé a možie Ukážeme, že kvatifikovaý výrok ie je tautológia ( ) ( a( ) b( ) ) ( ( ) a( ) ( ) b( ) ) Riešeie Stačí ám uviesť výrokové výrokové formy a(), b() a možiu, a ktorej sú a(), b() defiovaé tak, že uvedeý kvatifikovaý výrok ebude pravdivý Zvolíme apríklad možiu = { u, v} Teda možia pozostáva z dvoch prvkov u a v Nech ďalej a(u) je pravdivý výrok, a(v) epravdivý výrok, b(u), b(v) epravdivé výroky V tomto prípade kvatifikovaý výrok ( ) ( a( ) b( ) ) je pravdivý výrok, zabezpečuje ám ho pravdivá implikácia a( v) b( v) Kvatifikovaý výrok ( ) a( ) ( ) b( ) je epravdivý výrok, pretože ( ) a( ) je pravdivý výrok a ( ) b( ) je v daom prípade epravdivý výrok Zhrutím dostávame, že implikácia ( ) ( a( ) b( ) ) ( ( ) a( ) ( ) b( ) ) je v uvažovaom prípade epravdivá Doteraz sme uvažovali výrokové formy jedej premeej Pozameávame, že v matematike sa stretávame s výrokovými formami dvoch, troch, vo všeobecosti - premeých Pozámka: Upozorňujeme čitateľa, že pri kvatifikovaých výrokoch si treba uvedomiť asledujúcu vec k máme ľubovoľú výrokovú formu a(), tak beže v odborej reči sa stretávame s asledujúcou formuláciou: Pre žiade eplatí a() Formále teto kvatifikovaý výrok môžeme skrátee zapísať ( ) a( ), teda v skutočosti epoužijeme dve egácie v kvatifikovaom výroku Pozameávame, že horeuvedeý kvatifikovaý výrok možo ekvivalete v sloveskom jazyku vyjadriť aj asledove : Pre každé, eplatí c alebo Pre žiade platí a() Najpoužívaejšie je však vyjadreie Pre žiade eplatí a(), ktoré podľa mieky autora vyplýva zo zvyklostí vyjadrovaia sa v sloveskom jazyku, v iých jazykoch apríklad v agličtie je to iak Na záver tejto pozámky uvedieme asledujúci kokréty príklad Nech a() ozačuje, že prirodzeé číslo je prvočíslo Uvažujme kvatifikovaý výrok: Žiade ie je prvočíslo Formále výrok zapíšeme takto: ( )( ( N ) a( ) ), alebo skrátee ( ) a( ), ak v daom prípade použijeme dve egácie, tak dostávame: ( ) ( ( N ) a( ) ) ( ) ( ( N ) a( ) ) ( ) ( ( N ) a( ) ) a teda skrátee ( ) a( ) a to sme echceli povedať 4

15 - CVIČENI ) Udajte príklady dvoch výrokov a utvorte z ich kojukciu, disjukciu, implikáciu, ekvivaleciu ) Prepíšte z prirodzeého jazyka do jazyka výrokovej logiky asledujúce výroky a egujte ich a) Mama epôjde a výlet bez otca b) k epôjde a výlet Katka, tak epôjde ai Jao c) Jao pôjde práve vtedy, keď pôjde Zuzka d) ka a výlet pôjde a Eva a výlet epôjde 3) Negujte asledujúce výroky: a) Na výlet pôjdem iba vtedy, keď ebude pršať b) Všetky oká v miestosti sú zatvoreé c) Nórsko má aspoň 5 tisíc obyvateľov d) V závode pracuje ajviac 9 ižiierov 4) Napíšte obráteie, obmeu a egáciu výrokov a) k je číslo deliteľé desiatimi, tak je deliteľé aj piatimi b) k je štvoruholík CD štvorec, tak všetky jeho štyri stray majú rovakú veľkosť 5) Preverte, pomocou tabuľkovej metódy, ktoré formuly sú tautológie, kotradikcie a spliteľé a) ( p q) ( p q) b) p ( q p) c) ( p q) ( q p) d) p q p q p e) ( ) 6) Negujte daé výroky Vyjadrite slove ich obsah, určite ich pravdivostú hodotu a) ( ) ( ( N ) ( > 5) ) N mod = 0 mod = b) ( ) ( ( ) ( ) ) c) ( ) (( R) ( + + 0) ) 7) Zistite, či pre ľubovoľé výrokové formy a(), b(), defiovaé a možie sú asledujúce kvatifikovaé výroky tautológie a) ( ( ) a( ) ( ) b( ) ) ( ) ( a( ) b( ) ) b) ( ( ) a( ) ( ) b( ) ) ( ) ( a( ) b( ) ) a b a b c) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) 8) Dokážte pomocou pravdivostých tabuliek, že uvedeé výroky sú tautológie a) ( p ( q r ) ) ( ( p q) r ) b) ( p ( q r ) ) ( ( p q) r ) c) ( p ( q r ) ) ( ( p q) ( p r ) ) d) ( p ( q r ) ) ( ( p q) ( p r ) ) e) ( p ( q r ) ) ( ( p q) ( p r ) ) p q p r p q r f) ( ) ( ( ) ( ( ) ) ) 5

16 g) ( p q) ( ( q r ) ( ( p q) r ) ) 6

17 3 Matematické dôkazy V predchádzajúcej časti sme uviedli, že matematika ako eaktá veda je vybudovaá deduktíve Základy každej matematickej teórie tvoria základé pojmy, ktoré sú ituitíve jasé a ázoré (apr prirodzeé číslo, reále číslo, zlomok, bod, priamka, rovia, ) Tieto základé pojmy edefiujeme, ale pomocou ich defiujeme ostaté pojmy, ktoré sa v teórií vyskytujú Niekoľko elemetárych tvrdeí o vlastostiach základých pojmov prijmeme za aiómy Zameá to, že ich považujeme za atoľko zrozumiteľé, že sme ochotí prijať ich pravdivosť z ázoru, bez ďalšej argumetácie udovať, rozvíjať, zdokoaľovať teóriu, zameá odhaľovať stále ové pravdivé tvrdeia o vlastostiach základých pojmov a ďalších defiovaých pojmov, pričom ajčastejšie postupujeme tak, že sformulujeme hypotézu, t j výrok, ktorého pravdivostú hodotu zatiaľ epozáme, potom sa sažíme hypotézu dokázať, alebo vyvrátiť Dôkazom ľubovoľého tvrdeia a rozumieme postuposť logických úvah, ktoré ukazujú, že platosť tvrdeia a logicky vyplýva z platosti prijatých aióm a z tvrdeí, ktoré už boli skôr dokázaé Deduktívosť výstavby matematických teórií je v tom, že každé tvrdeie, ktoré chceme do teórie začleiť, musí byť ajskôr dokázaé (jediou výimkou sú aiómy) Teda zjedodušee, pod matematickým dôkazom tvrdeia a si budeme predstavovať koečú postuposť tvrdeí a, a,, a = a, kde a i sú ejaké výroky, alebo výrokové formy a pre všetky i, i =,,, - sú implikácie a i a i+ tautológie Pričom a je pravdivý výrok a azývame ho predpoklad Pri takomto poňatí matematického dôkazu si treba uvedomiť, že sme zohľadili fiité hľadisko a odvolávame sa a sématiku, uvažovaé implikácie sú tautológie Jedým z ašich cieľov je upresiť túto predstavu a aučiť čitateľa iektorým štadardým postupom, ktoré sa pri dôkazoch matematických tvrdeí používajú k stojíme pred problémom, ako dokázať daé tvrdeie a (výrok a) odporúčame postupovať asledujúcim spôsobom Najprv uvedieme základé typy matematických dôkazov, ktoré postupe popíšeme a bližšie špecifikujeme ) Priamy dôkaz tvrdeia a (pokúsiť sa dokázať tvrdeie a priamo) ) Utvoriť egáciu tvrdeia a, tú sa pokúsiť doviesť do sporu 3) Utvoriť obmeu tvrdeia a (výrok ekvivaletý s a), teto výrok dokázať priamo, alebo sporom 4) Dôkaz tvrdeia a vykoať matematickou idukciou k dokazujeme tvrdeie a sporom, alebo ak dokazujeme jeho obmeu, takýto dôkaz azývame epriamy Vo všetkých typoch deduktívych dôkazov potrebujeme mať k dispozícií odvodzovacie pravidlá, ktoré ám umožia prejsť od pravdivých tvrdeí k ovým pravdivým tvrdeiam Hovoríme, že uvedeé pravidlá sú korekté Najdôležitejším odvodzovacím pravidlom, ktoré budeme používať je tzv pravidlo odlúčeia, a, a b modus poes, ktoré symbolicky zapisujeme v tvare a čítame b z predpokladov a, a b odvoď b 7

18 Zmysel tohto pravidla je teda asledujúci, ak platia výroky apísaé ad čiarou (predpoklady), tak potom musí platiť aj záver, t j výrok b Iheď sa o tom presvedčíme, ak si vezmeme a pomoc pravdivostú tabuľku implikácie b a, b Pravidlo modus poes možo zapísať aj v asledujúcom tvare, ak a a implikáciu v predpoklade použijeme záko kotrapozície egácie dostávame pravidlo azývaé a b, b modus toles, azývame ho pravidlo zamietutia a Veľmi užitočé pravidlo, pre skracovaie implikácie je pravidlo jedoduchého sylogizmu, a b, b c ktoré hovorí, z predpokladov a b, b c odvoď a c, symbolicky zapísaé a c Nakoiec uvedieme pravidlo reductio ad absurdum, ktoré hovorí, že ak z egácie a a tvrdeia a odvodíme tvrdeie a, tak potom platí tvrdeie a Formále a V matematike, ako aj v bežom živote často treba riešiť otázku, či daé tvrdeie vyplýva, je dôsledok ejakých iých tvrdeí To ás privádza k pojmu logický dôsledok Skôr, ež si teto pojem prese defiujeme, objasíme pojem iterpretácia (ozačujeme I), ak povieme iterpretácia, tak máme a mysli ejakú kokrétu kombiáciu pravdivostých hodôt výrokov, ktoré vytvárajú zložeý výrok (V prípade pravdivostej tabuľky je to jede kokréty riadok) Defiícia 3 Nech sú daé výroky a, a,, a a výrok a Hovoríme, že výrok a je logickým dôsledkom výrokov a, a,, a (alebo že a logicky vyplýva z a, a,, a ), ak pre každú iterpretáciu, v ktorej každý výrok a, a,, a je pravdivý, výrok a je taktiež pravdivý Výroky a, a,, a azývame postulátmi, alebo predpokladmi tvrdeia a Veta 3 Nech sú daé výroky a, a,, a, a, potom výrok a je logickým dôsledkom a, a,, a práve vtedy, keď ( ( a a a ) a) je tautológia Dôkaz: Predpokladajme, že a je logickým dôsledkom a, a,, a Nech I je ľubovoľá iterpretácia a ech výroky a, a,, a sú v ej pravdivé, tak potom podľa defiície logického dôsledku je výrok ( ( a a a ) a) pravdivý v iterpretácií I, ak ie všetky výroky a, a,, a ie sú pravdivé v I, tj aspoň jede z ich ie je pravdivý v I, potom výrok ( ( a a a ) a) je pravdivý v I a teda výrok ( ( a a a ) a) je pravdivý pri každej iterpretácií I výrokov a, a,, a, t j zložeý výrok ( ( a a a ) a) je tautológia Z druhej stray predpokladajme, že ( ( a a a ) a) je tautológia, teda, ak a, a,, a sú pravdivé výroky, pravdivý výrok je aj a a a, potom aj a je pravdivý výrok, teda a je logický dôsledok výrokov a, a,, a Veta 3 Nech sú daé výroky a, a,, a, a, potom výrok a je logickým dôsledkom a, a,, a práve vtedy, ak ( a a a ) a je kotradikcia, espliteľý, t j ie je pravdivý v žiadej iterpretácií Dôkaz: Podľa predchádzajúcej vety výrok a je logickým dôsledkom výrokov a, a,, a práve vtedy, ak ( ( a a a ) a) je tautológia Z toho vyplýva, že a je logický dôsledok a, a,, a práve vtedy, keď egácia výroku ( ( a a a ) a) je espliteľá Počítajme ( ( a a a ) a) ( ( a a a ) a) ( ( a a a ) a) ( ( a a ) a) 0 a 8

19 Pozameávame, že u všetkých odvodzovacích pravidiel výrok apísaý pod čiarou je logickým dôsledkom výrokov zapísaých ad čiarou výrokov a, b Príklad: Nech výrok a: ( p ( q r ) ), b: ( p q), c: ( p r ) Výrok c je logický dôsledok Pozámka Z predchádzajúcich viet vyplýva, ak potrebujeme dokázať, že ejaký výrok je logický dôsledok koečej možiy výrokov, je ekvivaleté dôkazu toho, že iektorý s ím spojeý zložeý výrok je tautológia, alebo kotradikcia Pozámka k a je logický dôsledok a, a,, a, potom výrok ( ( a a a ) a) azývame teorémou a v matematickej logike často ozačujeme symbolicky ( ( a a a ) a) Teraz podrobejšie popíšeme jedotlivé metódy dôkazov v matematike I Priamy dôkaz tvrdeia a 4 Základé metódy dôkazov v matematike Pozostáva z koečého reťazca implikácií a a a a, ktorého prvý čle je aióma, alebo už dokázaé tvrdeie, alebo pravdivé tvrdeie, výrok a každé ďalšie tvrdeie je logickým dôsledkom predchádzajúcich, pričom posledým čleom reťazca (postuposti) je dokazovaé tvrdeia a Všimime si, že ak v uvedeej postuposti implikácií použijeme dostatočý počet krát pravidlo jedoduchého sylogizmu dostávame platosť implikácie a a O tvrdeí, výroku a predpokladáme, že je pravdivé, tak potom použitím pravidla modus poes dostávame platosť tvrdeia a Príklad k prirodzeé číslo je deliteľé súčase číslami a 3, tak potom je deliteľé aj číslom 6 Dokážte Dôkaz vykoáme priamo k číslo je deliteľé číslom, tak ho môžeme vyjadriť v tvare = k, k je prirodzeé číslo Súčase je číslo deliteľé aj číslom 3, tak potom = 3 l, kde l je prirodzeé číslo, pretože číslo ie je deliteľé číslom 3, tak potom číslo 3 musí deliť číslo k, teda číslo k môžeme vyjadriť v tvare k = 3 r Zhrutím dostávame, že číslo môžeme apísať v tvare = 3 r = 6 r Z toho vyplýva, že číslo 6 delí číslo II Nepriamy dôkaz tvrdeia a sporom Založeý je a zákoe vylúčeia tretieho, podľa ktorého z dvojice výrokov a, a musí byť práve jede pravdivý Keď teda dokážeme, že výrok a ie je pravdivý, vyplýva z toho pravdivosť tvrdeia a Pri dôkaze sporom postupujeme takto: Predpokladajme platosť tvrdeia a, odvodzujeme z eho logické dôsledky tak dlho, až sa ám podarí odvodiť tvrdeie b, o ktorom vieme, že je epravdivé (pretože jeho egácia b bola už skôr dokázaá ) V tom prípade hovoríme, že sme dospeli ku sporu Keby sme v tejto situácií pokladali a za pravdivé tvrdeie, boli by v ašej teórií dokázateľé tvrdeia b aj b, a teda aj tvrdeie b b, ktoré je epravdivé Teória by bola preto sporá (všetky tvrdeia by v ej boli dokazateľé a teda aj pravdivé), ľahko to možo ahliaduť takto, ech a je ľubovoľé tvrdeie, výrok, zložeý výrok ( b ( b c) ) je tautológia, použitím pravidla modus poes, dvakrát, dostávame platosť tvrdeia c, ktoré sme vzali ľubovoľé Teda zhrutím dostávame, že predpoklad o pravdivosti tvrdeia a eplatí, z čoho vyplýva, že a je pravdivé tvrdeie Príklad k je páre prvočíslo, tak potom ie je deliteľé tromi 9

20 Dôkaz vykoáme sporom Predpokladajme, že páre prvočíslo je deliteľé 3 Dostávame, že páre prvočíslo má aspoň troch deliteľov a to čísla, a 3 To je spor s tým, že je prvočíslo, pričom každé prvočíslo má práve dvoch rôzych deliteľov, číslo a seba samého V matematike majú tvrdeia spravidla tvar implikácie Pozameávame, že obe uvedeé metódy dôkazov možo použiť aj v prípade, keď dokazovaé tvrdeie má tvar implikácie a b III Priamy dôkaz implikácie a b Predpokladajme, že tvrdeie a platí (v prípade, že a je epravdivé je implikácia a b pravdivá, iet čo dokazovať), ájdeme postuposť implikácií začíajúcu tvrdeím a, kočiacu tvrdeím b, v ktorej každý čle je logickým dôsledkom predchádzajúcich tvrdeí a aióm, resp skôr dokázaých tvrdeí Niekoľkoásobým použitím pravidla jedoduchého sylogizmu dostávame platosť implikácie a b IV Nepriamy dôkaz implikácie a b sporom Podobe ako v opísaej schéme dôkazu sporom predpokladáme platosť egácie dokazovaej implikácie, t j predpokladáme platosť tvrdeia ( a b), ktoré je ekvivaleté tvrdeiu a b Z tohto tvrdeia postupe odvodzujeme logické dôsledky tak dlho, pokým dospejeme k sporu Môžu tu astať tri prípady: - dôjdeme do sporu s tvrdeím a, - dôjdeme do sporu s tvrdeím b - apoko môžeme dokázať dve avzájom odporujúce si tvrdeia c, c Všetky tri prípady vedú a platosť tvrdeia a b, čo teraz postupe dokážeme V prvom prípade sme dokázali pravdivosť implikácie ( a b) a k použijeme a uvedeú implikáciu záko kotrapozície, tak dostávame a ( a b), Zo zámych dôvodov predpokladáme, že výrok a je pravdivý, aplikáciou pravidla modus poes dostávame pravdivosť implikácie a b V druhom prípade sme odvodili implikáciu ( a b) b Použijeme tautológiu b ( a b), aplikáciou pravidla jedoduchého sylogizmu dostávame platosť implikácie a b V treťom prípade sme odvodili implikáciu ( a b) ( c c) k použijeme kotrapozíciu egácie, tak dostávame implikáciu ( c c) ( a b) Výrok ( c c) je podľa de Morgaovho zákoa ekvivaletý s výrokom c c, ktorý je tautológia Pomocou pravidla modus poes opäť dostávame pravdivosť výroku a b, čo bolo treba dokázať V prípade, že dokazovaým tvrdeím je implikácia, môžeme použiť aj epriamy dôkaz pomocou obmey, ak je to výhodejšie (autor teto typ dôkazu zaradil aj z toho dôvodu, že sa vyskytuje v stredoškolskom učive) V Nepriamy dôkaz implikácie a b pomocou obmey Zakladá sa a skutočosti, že implikácia a b a jej obmea b a sú ekvivaleté, tj majú vždy rovakú pravdivostú hodotu To zameá, že amiesto implikácie a b, môžeme 0

21 dokazovať jej obmeu b a, ak je to výhodejšie Nepriamym dôkazom implikácie a b je teda reťazec (postuposť) implikácií b a a a a Do predpokladu sme dali b a odvodili sme a Dokázali sme teda implikáciu b a, ktorá je obmeou implikácie a b, teda z a b, a vyplýva b Prakticky to zameá, že epriamy dôkaz implikácie obmeou ukočíme odkazom a spor, pretože z egovaého tvrdeia b sme odvodili platosť epravdivého tvrdeia a (Pritom sa eodvolávame a kotrapozíciu egácie) Náš spor spočíva v tom, že o tvrdeí a v implikácií a b predpokladáme, že je pravdivé (zo zámych dôvodov), zároveň sme však dokázali, že aj a a je pravdivé tvrdeie, čo ale ie je pravda Pozameávame, že účiosť epriamych dôkazov závisí podstate a tom, či okrem daých predpokladov sa aviac ako predpoklad príjme epravdivosť toho, čo chceme dokázať a vychádzame z väčšieho počtu predpokladov Vďaka tomu sa mohé tvrdeia dokazujú ľahšie epriamo, ako keby sme ich chceli dokázať priamo, eplatí to však všeobece Príklad 3 k prirodzeé číslo je deliteľé a 3 súčase, tak potom je deliteľé aj 6 Riešeie: Utvoríme obmeu tohto výroku, dostávame výrok: ak prirodzeé číslo ie je deliteľé 6, tak potom ie je deliteľé alebo ie je deliteľé 3 To zameá, že ak číslo sa edá vyjadriť v tvare 6, tak potom sa edá vyjadriť v tvare y, alebo sa edá vyjadriť v tvare 3z V ďalšom uvedieme iekoľko príkladov a rôze typy matematických dôkazov Príklad 4 Dokážte, že pre každé dve reále čísla a >, b > platí: loga b + logb a Najskôr urobíme rozbor úlohy Pretože a >, b >, sú oba logaritmy kladé čísla k ozačíme log a b =, to zameá, že a = b, ak ozačíme log b a = y, teda b y = a, tak dostávame, že y ( b ) b =, a teda b y = b, čiže y = Z vyššie uvedeého vyplýva, že log a b = log a k zostaeme pri ozačeí log a b = pre každé Postupými úpravami dostaeme, potom ám stačí dokázať, že + b ( ) 0 čo platí pre každé reále Tým sme s rozborom hotoví a v opačom smere môžeme vykoať priamy dôkaz (Rozbor sám o sebe ie je dôkaz) Platí ( loga b ) 0 a postupe dostávame ( loga b) loga b + 0 a teda ( loga b) + loga b Z toho vyplýva, že loga b +, čo bolo treba dokázať loga b Príklad 5 Dokážte, že prvočísel je ekoeče veľa Riešeie: Dôkaz vykoáme sporom Predpokladajme, že prvočísel je koeče veľa Ozačme ich p, p,, p, kde N Ozačme m = p p p + Číslo m N, teda môžu astať pre prirodzeé číslo tieto prípady: číslo m = 0 číslo m = 3 číslo m je prvočíslo 4 číslo m je zložeé číslo

22 Nemôže astať prípad ai, je to v spore s voľbou čísla m, číslo m je vždy väčšie ako Číslo m ie je ai zložeé číslo, pretože ie je deliteľé žiadym z prvočísel p, p,, p (Po deleí čísla m ľubovoľým prvočíslom dostaeme vždy zvyšok ) Teda predpoklad o koečom počte prvočísel je epravdivý Platí, že prvočísel je ekoeče veľa, čo bolo treba dokázať Príklad 6 Dokážte, že 5 je iracioále číslo Dôkaz: Tvrdeie dokážeme sporom Predpokladajme, že 5 je racioále číslo, teda eistujú p také prirodzeé čísla p, q, že = 5 Súčase predpokladáme, že zlomok je v základom tvare, q teda p, q sú esúdeliteľé Úpravou dostaeme, že p = q 5 a teda p = 5q Z toho vidíme, že p je deliteľé piatimi a pretože 5 je prvočíslo musí platiť, že aj p je deliteľé piatimi (k by p ebolo deliteľé piatimi, ebolo by ai p deliteľé piatimi) Teda p = 5 k, k N k dosadíme do predošlej rovosti, dostaeme 5k = 5q a teda 5k = q, číslo q je deliteľé piatimi, teda aj q je deliteľé piatimi To je ale spor s predpokladom, že p, q sú esúdeliteľé 5 sa teda edá zapísať v tvare p / q, teda ie je racioále číslo, ale iracioále, čo bolo treba dokázať Príklad 7 Dokážte, že fukcia f : y = je a itervale (,0) rastúca Riešeie: Máme dokázať implikáciu (, 0) ; < < Implikáciu dokážeme priamo Nech platí < < 0 Postupe dostávame > 0 > > < > pretože 0 Tým je tvrdeie dokázaé Príklad 8 Šesť družstiev sa zúčastilo turaja, ktorý sa hral systémom každý s každým jede zápas Turaj trval dva di Dokážte, že eistujú tri družstvá, ktoré odohrali všetky svoje zápasy počas jedého dňa Riešeie: Každé družstvo hralo 5 zápasov, teda eistuje také družstvo, ktoré odohralo aspoň 3 zápasy v jede deň, pretože keby odohralo dee ajviac, boli by to celkove iba 4 zápasy (Takýto úsudok azývame Dirichletov pricíp) Ozačme ho družstvo (ľahko sa možo presvedčiť, že to môže byť ľubovoľé z piatich družstiev) a deň, v ktorý odohralo aspoň tri zápasy ozačme d Nech súpermi družstva v deň d sú družstvá, C, D Skúmajme vzájomé zápasy týchto štyroch družstiev V deň d sa odohrali zápasy, C, D Súperi družstva zohrali ešte v dvoch dňoch zápasy medzi sebou, teda C, D, C D k sa ai jede z týchto zápasov ehral v deň d, máme tri družstvá, C, D, ktoré odohrali svoje vzájomé zápasy jede deň, iý ako d k by apríklad zápas C odohrali v deň d, tak v tomto di sa odohrajú všetky tri vzájomé zápasy družstiev,, C Teda v každom prípade eistujú také tri družstvá, ktoré odohrali všetky vzájomé zápasy v jede deň, čo bolo treba dokázať

23 Príklad 9 Máme k + lístkov očíslovaých prirodzeými číslami,,,k + ký ajväčší počet lístkov možo vybrať tak, aby sa žiade vybraté číslo erovalo súčtu dvoch vybratých čísel? Riešeie: Podmieku úlohy spĺňajú apríklad lístky s číslami k +, k +,, k + Ich počet je k + Dokážeme, že väčší počet lístkov sa už edá vybrať Predpokladáme opak, t j že možo vybrať k + r lístkov, ktoré spĺňajú podmieku úlohy, pričom r > Nech je ajväčšie číslo, apísaé a tých lístkoch Uvažujme rozdiely medzi a ostatými člemi a vybratých k + r lístkoch Týchto rozdielov je k + r a musia byť apísaé a ostatých k + ( k + r ) lístkoch To zameá, že musí byť spleá erovosť k + r k + k r = k r +, čiže r, čo je spor Pozameávame, že podmieku úlohy spĺňajú aj lístky s číslami,3,5,, k +, ktorých je taktiež k + Na záver tejto časti uvedieme ešte jede príklad zo školského učiva Príklad 0 Dokážte, že ak emožo pravítkom a kružidlom zostrojiť uhol s veľkosťou º, emožo zostrojiť ai uhol s veľkosťou 9 º Riešeie: Tvrdeie dokážeme epriamo Namiesto implikácie a b, dokážeme jej obmeu b a, v ašom prípade tvrdeie: k možo zostrojiť uhol s veľkosťou 9º, možo zostrojiť aj uhol s veľkosťou º Predpokladajme teda, že vieme zostrojiť uhol s veľkosťou 9º Potom vieme zostrojiť aj uhol s veľkosťou 9 9 º = 36º, a teda aj uhol s veľkosťou º Tým je tvrdeie dokázaé VI Matematická idukcia k ám treba dokázať platosť ejakého tvrdeia (vety), ktoré je typu (alebo sa dá sformulovať tak, aby bolo tohto typu) pre každé prirodzeé číslo platí, budeme sa pridržiavať pricípu a ktorom je založeá metóda dokazovaia tvrdeí azývaá matematická idukcia Pričom pod prirodzeými číslami rozumieme0,,,,,, teda aj 0 pokladáme za prirodzeé číslo Pricíp môžeme sformulovať takto: Majme možiu M, ktorá má tieto dve vlastosti: ) 0 M ) Pre každé prirodzeé číslo platí: k M, tak aj + M Možia M obsahuje všetky prirodzeé čísla Ľahko sa o tom presvedčíme Podľa ) je 0 M Podľa ) z toho vyplýva, že M Z toho zovu podľa ) vyplýva, že M, odtiaľ 3 M, atď Takto môžeme prísť postupe ku ktorémukoľvek prirodzeému číslu, takže možia M obsahuje všetky prirodzeé čísla Môžeme uvažovať aj iak Predpokladajme, že eistujú prirodzeé čísla, ktoré do M epatria, ajmešie z ich ozačme p Podľa ) je p > 0 Číslo p je teda prirodzeé číslo a podľa toho ako sme zaviedli číslo p, je p M Podľa ) z toho vyplýva, že p M a to je spor Nech a() ozačuje výrokovú formu, defiovaú a možie prirodzeých čísel Máme dokázať tvrdeie, že a() platí pre každé prirodzeé číslo, tak postupujeme asledujúcim spôsobom: º Dokážeme, že a() platí pre = 0 Teto krok azývame báza matematickej idukcie º Dokážeme asledujúce tvrdeie Pre každé prirodzeé číslo platí: ak platí a() pre číslo, tak platí aj pre + Tvrdeie, ktoré dokazujeme v º azývame idukčý krok a jej predpoklad a() platí pre číslo azývame idukčý predpoklad Záver: Výroková forma a() platí pre každé prirodzeé číslo Dôkaz matematickou idukciou ukážeme a iekoľkých typických príkladoch Príklad Dokážte, že číslo ie je pre ijaké prirodzeé číslo deliteľé číslom 73 3

24 Riešeie: Pre = 0 tvrdeie platí, pretože =, a to ie je číslo deliteľé 73 áza idukcie platí Zostáva ám preveriť platosť idukčého kroku Nech je prirodzeé číslo, predpokladajme, že ie je deliteľé číslom 73 ko je to s číslom = = 8( + 3 ) Prvý zo sčítacov ie je podľa idukčého predpokladu deliteľý 73, druhý je deliteľý 73 Preto ich súčet ie je deliteľý číslom 73 Dokázali sme platosť idukčého kroku Tým sme dôkaz tvrdeia vykoali Príklad Dokážte, že pre každé prirodzeé číslo a reále q je súčet q + q + q + + q = q q Riešeie: Pre = 0 tvrdeie platí, pretože = áza idukcie platí Preveríme platosť q idukčého kroku Nech je prirodzeé číslo, predpokladajme, že + q + q + + q = + + = q q ko je to v prípade + + q + q + + q + q Využitím idukčého predpokladu + q dostávame + q q idukčého kroku + q = + ( q ) + q q + + q = Teda dokázali sme platosť q Záver: Uvedeé tvrdeie platí pre každé prirodzeé číslo a reále číslo q Predovšetkým si treba uvedomiť, že a pricípe matematickej idukcie ie je podstaté, že sa začía od čísla 0 Úple rovako, ako v pôvodom zeí º a º možo overiť pravdivosť všeobecejšieho variatu matematickej idukcie Uvažujme o možie M, ktorá má tieto vlastosti: 3) Pre každé celé číslo k platí, k M 4) Pre každé celé číslo r k platí: k r M, tak aj r + M Možia M potom obsahuje všetky celé čísla väčšie, alebo rovajúce sa číslu k To umožňuje dokazovať vety typu: Pre každé celé číslo väčšie alebo rovajúce sa číslu k platí, tak, že preveríme platosť výrokovej formy a(k), kde k je celé číslo º Výroková forma a(k) platí pre celé číslo k áza matematickej idukcie r + º Pre každé celé číslo r k platí: k a(k) platí pre celé číslo r, tak platí aj pre celé číslo Idukčý krok Záver: Výroková forma a(k) platí pre každé celé číslo r k Na ilustráciu dôkazu matematickou idukciou uvedieme ďalšie príklady Príklad 3 Dokážte, že pre každé celé číslo väčšie alebo rové -8 platí erovosť > 0 Riešeie: Nech = 8, dostávame 9 > 0 áza idukcie platí Nech pre celé číslo k 8 platí erovosť k > 0 Potom pre k + dostávame k + = k 8 > 0 Platí aj idukčý krok Záver: Uvedeá erovosť platí pre každé celé číslo väčšie alebo rové -8 Príklad 4 Dokážte, že pre každé prirodzeé číslo platí, že číslo 3 delí Riešeie: Preveríme platosť tvrdeia pre =, dostávame, že = 3 áza idukcie platí Nech N a tvrdeie platí pre, teda Pre + dostávame 4

25 5 ( + ) + ( + ) = = (5 + 3) = 5 ( ) Číslo je deliteľé číslom 3 podľa idukčého predpokladu V posledom výraze sú oba sčítace deliteľé 3, teda aj ich súčet je deliteľý číslom 3 Záver: Pre každé prirodzeé číslo platí, že 3 delí Príklad 5 Dokážte, že pre každé prirodzeé číslo platí erovosť: < 3 ( + ) Riešeie: º a(): = < áza idukcie platí º Nech N a platí a() t j < 3 ( + ) Počítajme a ( +) : < + 3 ( + ) ( + )( + ) ( + )( + ) Vyjadrime v tvare Ďalej ukážeme, že platí ( + ) + * a ( ) : < Matematickou idukciou teraz dokážeme uvedeú 3 ( + ) + erovosť * º áza idukcie a () : = áza idukcie platí Predpokladajme, že platí a * ( ) idukčý predpoklad, tj * Počítajme a ( + ) : 3 ( + ) < + = + = < 3 ( + ) ( + )( + ) + ( + )( + ) Platí aj idukčý krok Záver: Pre každé prirodzeé číslo platí erovosť: < 3 + ( ) Uvedieme ešte jede variat pricípu matematickej idukcie Uvažujeme možiu M, ktorá má tieto dve vlastosti: 5) 0 M 6) Pre každé prirodzeé číslo platí: k k M pre všetky prirodzeé čísla k, tak aj + M Potom možia M obsahuje všetky prirodzeé čísla Uvedeý variat umožňuje dokazovať tvrdeia typu, ktorý už pozáme: Pre každé prirodzeé číslo platí tak, že dokážeme dve pomocé tvrdeia: º Výroková forma a() platí pre = 0 áza matematickej idukcie º Idukčý krok Pre každé prirodzeé číslo platí: k a() platí pre všetky prirodzeé čísla mešie ako +, tak platí aj pre číslo + Záver: Výroková forma a() platí pre všetky prirodzeé čísla Pozameávame, že idukčý predpoklad je v tomto prípade silejší ako v predchádzajúcich variatoch matematickej idukcie Namiesto platosti výrokovej formy a() pre, požadujeme platosť výrokovej formy a() pre 0,,, súčase, araz Príklad 6 Každé prirodzeé číslo > je možé vyjadriť v tvare súčiu mocí prvočísel: 5

26 α α α = p p p k k, kde α, α,, α k sú prirodzeé čísla a p, p,, pk sú avzájom rôze prvočísla Riešeie: Nech =, a() platí, = áza idukcie platí Nech tvrdeie platí pre Ukážeme platosť a ( +) k + je prvočíslo, tak idukčý krok platí k + ie je prvočíslo, tak vyjadríme číslo + v tvare súčiu dvoch prirodzeých čísel r, l, o ktorých vieme, že platí a ( r ), aj a ( l ) podľa idukčého predpokladu modifikovaého pricípu matematickej idukcie, r < +, l < + Teda + α r α α α = p i i ir i p i p i, l p j j j r j p j p jl l α α = p i ir j j l k k i pi p r j p j = p l k p k α α α α = α α p k α k Platí aj idukčý krok Pozameávame, že vyjadreie ľubovoľého prirodzeého čísla > v tvare súčiu prirodzeých mocí prvočísel je jedozačé až a poradie čiiteľov Pozameávame, že pri dôkaze matematickou idukciou je treba vykoať bázu idukcie aj idukčý krok j keď je dôkaz bázy idukcie vo všeobecosti podstate ľahší (etvrdíme, že tak vždy musí byť) ako dôkaz idukčého kroku, ie je rozumé túto etapu podceňovať alebo dokoca vyechávať Skúsme dokázať asledujúce tvrdeie: Pre každé prirodzeé číslo je číslo deliteľé číslom 73 ko vieme toto tvrdeie eplatí, v príklade sme dokázali opačé tvrdeie k vyecháme bázu idukcie a budeme predpokladať, že pre každé je deliteľé číslom 73, tak dostávame, že aj 3( + ) 4( + ) = 8 ( + 3 ) je deliteľé číslom 73 Podobe, ak v príklade vyecháme bázu idukcie, tak dokážeme espráve tvrdeie, že + q q súčet + q + q + + q = pre q q Ďalej a príklade ukážeme, aké dôležité sú v idukčom kroku slová pre každé prirodzeé číslo Dokážeme, že pre každé prirodzeé číslo platí: Ľubovoľých prirodzeých čísel sa avzájom rová Pre = toto tvrdeie platí, každé prirodzeé číslo sa rová samo sebe Majme teraz + prirodzeých čísel c, c,, c + Podľa idukčého predpokladu platí: c = c = = c = c3 = = c+ = c = = c = c a tiež c Preto c + Tým sme dôkaz vykoali Chyba v tomto prípade astala v tom, že idukčý krok eplatí pre = Z toho, že každé číslo sa rová samo sebe ešte evyplýva, že každé dve čísla sa avzájom rovajú Pozameávame, že pri dôkaze tvrdeí matematickou idukciou je veľmi dôležité správe zvoliť bázu matematickej idukcie o čom svedčí aj predchádzajúci príklad, pretože vo všeobecosti výroková forma a() platí od určitého celého V úvode ášho tetu sme uviedli, že matematika je eaktá deduktíva veda, že každé tvrdeie, ktoré chceme do matematickej teórie začleiť, musíme logicky odvodiť, dokázať ko je to v súlade s ázvom metódy dokazovaia matematickou idukciou? k si bližšie všimeme spôsob uvažovaia pri dokazovaí matematickou idukciou, vidíme, že usudzovaie má čisto deduktívy charakter a dôkaz matematickou idukciou ie je podľa toho ijaká idukcia, ale dedukcia Názov idukcia je zrejme vyvolaý tým, že v matematike iekedy pri formulácií úlohy typu Pre každé prirodzeé číslo platí uvažujú iduktíve, ajprv pre prirodzeé číslo preverujú platosť tvrdeia, sformulujú samoté tvrdeie a potom asleduje deduktíve odvodeie tvrdeia Na záver tejto časti uvedieme ešte dva dôkazy tvrdeí pomocou matematickej idukcie 6

27 Príklad 7 eroulliho erovosť Nech R, >, 0, tak pre každé prirodzeé číslo > platí ( + ) > + Riešeie: Nech = a( ) : ( ) = ( + + ) > + > +, pretože 0 áza idukcie platí Nech platí a ( ),, overíme platosť a ( +) : Počítajme ( + ) > + podľa idukčého predpokladu Pri podmieke >, 0 platí erovosť + > 0 Vyásobeím posledej erovosti + dostávame ( ) + + > ( + )( + ) = + ( + ) + > + ( + ) Platí aj idukčý krok Príklad 8 Prvočísel je ekoeče veľa Riešeie: Dôkaz vykoáme priamo, pričom použijeme aj matematickú idukciu Položíme F = +, pre = 0,,, dostávame F 0 = 3, F = 5, F = 7, F3 = 57, F4 = 65537, Najprv k k= 0 0 = ukážeme, že platí: F = F, º =, F = 3, F 3 áza idukcie platí º F F F = ( F ) F = + = = F k= 0 Ďalej ukážeme, že pre + = k k + k= 0 jede čiiteľ v pravo je F m Nech m platí, že F, F m sú esúdeliteľé Nech < m, F = k= F k 0 F d Fm Z toho vyplýva, že d F k k= 0 d, teda Potom d F F k = Teda d = alebo d = Keďže d F, ale F je epáre číslo, preto d = k= 0 Keďže F sú avzájom esúdeliteľé čísla, a každé z ich je deliteľé ejakým prvočíslom, dostávame že prvočísel je ekoeče veľa, pretože čísel F je ekoeče veľa Pozámka: Fermat (6 7 storočie) vyslovil hypotézu, že každé jeho číslo F je prvočíslo Euler dokázal, že F 5 ie je prvočíslo, je deliteľé číslom 64 Nevie sa zatiaľ, či eistuje ekoeče veľa Fermatových prvočísel 3-4 CVIČENI ) Dokážte, že fukcia y / = je klesajúca a itervale (,0) aj a itervale (, ) ) Pre každé dve reále čísla a, b platí a + b a + b Dokážte 0 3) Dokážte erovosť medzi aritmetickým a geometrickým priemerom Pre kladé reále čísla a, b platí ( a + b) / ab Kedy platí rovosť? 4) Nech C je trojuholík, a, b, c sú jeho stray a t a, tb, tc sú prislúchajúce ťažice Dokážte, že v trojuholíku C platí: a + b > t 5) Dokážte, že ak má geometrický útvar dve a seba kolmé osi súmerosti, tak je stredovo súmerý Platí aj obráteá veta? c 7

28 Nasledujúce cvičeia dokážte matematickou idukciou: 6) Nech je prirodzeé číslo a,,, sú kladé reále čísla Potom platí ) Nech je prirodzeé číslo, dokážte, že pre každých reálych čísel,,, platí ( + + ) ( ) + Kedy astae rovosť? 8) Dokážte, že pre každé prirodzeé číslo platí 3 5 < ) Pre každé prirodzeé číslo platí < < Dokážte 0) Dokážte, že ak sú,,, kladé reále čísla, pre ktoré platí =, tak ) Dokážte, že pre každé prirodzeé číslo platí i i= = ( ) ( ) ) Dokážte, že pre každé prirodzeé číslo platí = i i + ( ) i= + 3) Dokážte, že pre každé prirodzeé číslo platí 3 i= i = 3 = = 4 8

29 Úvod do teórie moží Základé pojmy a ozačeia teórie moží V moderom svete adobúda matematika čoraz väčší výzam Súčasá matematika je budovaá a základe pozatkov z teórie moží Teto spôsob pojatia matematiky, pôvode obmedzeý le a teoretickú matematiku, preiká do všetkých vedých oblastí Začiatky teórie moží siahajú do 9 storočia Cator publikoval prvú prácu z teórie moží v roku 87 a v priebehu ďalších rokov vytvoril teóriu, ktorá po obsahovej stráke tvorí základ súčasej matematiky Na ituitívej úrovi chápeme pojem možiy takto: Možia je súbor prvkov, ktoré majú istú spoločú vlastosť a tvoria určitý celok Napríklad možia obyvateľov mesta ratislavy, možia všetkých priamok v rovie, možia všetkých celých čísel, atď Formulácia pojmu možiy ako súboru vecí je všeobecá a eurčitá, edáva iformáciu o spôsobe tvorby moží, pripúšťa eobmedzeú možosť tejto tvorby, teda aj možosť takých moží ako je možia všetkých moží, ktorej eistecia sa ukázala byť sporá V teórií moží vzikali atiómie, ktoré pripomíali staroveké paradoy a vyútili potrebu položiť solídejšie základy teórie moží Východiskom sa stalo budovaie teórie moží a aiomatickom základe iomatická metóda ašla už predtým uplateie v matematike Možiy budeme ozačovať veľkými písmeami latiskej abecedy,, C,, prípade veľkými písmeami s ideami:,,,, Objekty, ktoré tvoria možiu azývame prvkami daej možiy Prvky možiy ozačujeme malými písmeami latiskej abecedy a, b, c,,, y, z,, v prípade potreby ich tiež ideujeme Skutočosť, že prvok patrí do možiy zapisujeme symbolicky (Zak azývame biáry predikát patričosti, priáležitosti), hovoríme tiež, že prvok je elemetom možiy (možia obsahuje (prvok), patrí do (možiy) ) k ie je prvkom možiy, zapisujeme, alebo iekedy je výhodé zapísať ( ) kým spôsobom môžeme opísať možiu, tj aké prvky možia obsahuje? Opísať možiu možo v podstate dvomi spôsobmi a to buď vymeovaím jej prvkov, alebo charakterizáciou jej prvkov pomocou ejakej spoločej vlastosti V prvom prípade do zložeých zátvoriek vypíšeme všetky prvky daej možiy, v prípade, že možia je koečá, ie príliš veľká; zložeé zátvorky môžeme použiť aj v prípade, keď možia je ekoečá spočítateľá (Presú defiíciu uvedeých pojmov uvedieme eskôr) Príklad = { a, a, a, a a } 3 4, = { ratislava, ystrica,košice} { a, b, c, d} 3 = V matematike sa však často stretávame s veľmi veľkými alebo ekoečými možiami, ktoré z pochopiteľých dôvodov emožo zadať vymeovaím prvkov Niektoré z ich sú všeobece záme a majú zaužívaé ozačeie, apríklad číselé možiy: N možia prirodzeých čísel Z - možia celých čísel Q možia racioálych čísel 5 9

30 I možia iracioálych čísel R možia reálych čísel C možia kompleých čísel Ié možiy je potrebé defiovať tak, že zadáme vlastosti, ktoré musia spĺňať všetky prvky daej možiy Využívame tu takzvaú aiómu (Zermelovu schému separácie), ktorá hovorí, že každá rozumá vlastosť určuje možiu Pozameávame, že rozumá vlastosť je daá výrokovou formou V(), pričom je možiová premeá (tj V() je výrok, či už pravdivý alebo epravdivý, ak za dosadíme ľubovoľú možiu) Potom ku každej možie eistuje možia všetkých tých prvkov a, pre ktoré je V(a) pravdivý výrok Možiu ozačujeme zakom { V ( ) } Napríklad: { R 5 0} () (V literatúre sa používajú aj zápisy { : V ( ) } a {, V ( ) }, { ; V ( ) } Ďalej uvedieme príklady moží určeé vyššie uvedeým spôsobom = { N ( je deliteľé dvomi)} 4 { R ( + 0) } 5 = Keď si všimeme predchádzajúce príklady vidíme, že výraz () je ich zovšeobeceý zápis, ktorý ozačuje, že príslušú možiu tvoria prvky, ktoré majú istú rozumú vlastosť a do možiy epatria tie prvky z vybratej možiy, ktoré daú vlastosť reprezetovaú výrokovou formou V() emajú Cator používal ituitívy pojem možiy a ehovoril ič o spôsobe tvorby moží z ľubovoľých objektov To viedlo k iektorým ťažkostiam paradoom v teóríí moží a podietilo vzik aiomatickej teórie moží ko príklad uvádzame Russellov parado Pozameávame, že v aióme separácie je veľmi dôležité, že prvky, ktoré tvoria možiu, berieme z možiy (v ašom prípade z možiy ) ez tohto obmedzeia aióma eplatí! Dokážeme to pomocou Russellovho paradou Nech X je možia a V() je výroková forma X (je to zrejme výroková forma (fukcia) jedej voľej premeej) Nech by eistovala možia M všetkých tých, pre ktoré V() je pravdivá, tj ech M = { X } (do V() dosadzujeme všetky možé možiy bez obmedzeia) Podľa defiície teda máme pre každé, M práve vtedy, keď V(), tj M X k za dosadíme špeciále možiu M, tu sme aj za X dosadili, dostaeme výrok M M M M, ktorý je epravdivý Pozameávame, že pomocou vyššie uvedeého príkladu sa dá ukázať, že eeistuje možia, ktorej prvkami by boli všetky možiy Ďalej si treba všimúť, že aióma separácie vlaste predstavuje ekoeče veľa aióm (ku každej výrokovej fukcii jedu) Podľa Catora môžeme vytvoriť možiu, ktorej prvkami sú všetky možiy Ozačme ju zakom M Pretože M je možia, tak je aj prvkom možiy všetkých moží, teda M M Pre možiu N všetkých prirodzeých čísel zasa platí N N Rozdelíme teda možiu M všetkých moží a možiy U a V, pričom U je možia tých prvkov M pre ktoré platí X a V je možia tých prvkov M, pre ktoré platí X Platia tieto vzťahy: M = U V, U V = Možiy U, V sú eprázde, lebo M V a N U Každá možia patrí do U alebo do V Kam patrí možia U? k U V, tak podľa defiície V je U U le U V = tak ak U V, potom U U Máme spor U U a súčase U U Teda ie je možé, aby U V k U V, tak U U a podľa defiície U, U U Opäť máme spor 30

31 Máme teda možiu U, ktorá ie je prvkom M, čo je v rozpore s tým, že M je možia všetkých moží, M potom ale emôže byť možia Základé možiové operácie a vzťahy Defiícia Nech sú, ľubovoľé možiy Hovoríme, že možia sa rová možie, ozačujeme = práve vtedy, ak každý prvok z možiy je súčase prvkom možiy a každý prvok z možiy je súčase prvkom možiy Formále možo vyššie uvedeú defiíciu zapísať takto: = ( ) [( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ] resp skrátee = ( ) ( ( ) ( ) ) = sa rovajú Príklad Možia ={ ( N) ( je deliteľé dvomi)}a možia { 0,, 4,,, } Defiícia Nech sú, ľubovoľé možiy k pre každý prvok platí, že je prvkom, tak potom hovoríme, že možia je podmožiou možiy alebo tiež, že je v iklúzií s, ozačeie k a eistuje prvok možiy taký, ktorý epatrí do možiy (tj eplatí ), tak hovoríme, že je vlastá alebo pravá podmožia možiy a ozačujeme Pozameávame, že iekedy amiesto sa v literatúre píše Vtedy amiesto píšeme Skutočosť, že zapisujeme formále takto: ( )( ( ) ( ) ) Príklad Pre možiy, z predchádzajúceho príkladu platí, že Príklad 3 Pre možiy { 0,,4,,, } = a = N platí že, Treba si všimúť, že z porovaia predchádzajúcich defiícií vyplýva, že rovosť moží = možo zapísať aj pomocou vzťahu iklúzie: = ( ( ) ( ) ) Teto posledý vzťah budeme často používať pri dokazovaí vlastostí ejakých dvoch moží Všimime si, že v prípade rovosti moží, z Príkladu, ám platia obe iklúzie,, V ďalšom budeme predpokladať, že možiy s ktorými pracujeme tvoria podmožiy ejakej uiverzálej možiy U Pozameávame, že možia U ie je možia, ktorá obsahuje všetky možiy, ako uvidíme eskôr, taká možia eeistuje Niektoré vzťahy medzi možiami, možiové operácie možo ázore reprezetovať pomocou Veových diagramov Možiy budeme reprezetovať spojitými olasťami roviy (kruhmi) Na obr sú zázoreé dve možiy, také, že Obr 3

32 Zavedieme teraz operácie zjedoteia, prieiku, doplku, rozdielu moží, symetrickej diferecie a karteziáskeho súčiu Defiícia 3 Nech sú a ľubovoľé možiy Zjedoteím moží, azveme možiu všetkých prvkov, ktoré patria aspoň do jedej z moží, Ozačeie: Formále zapísaé zjedoteie moží: = { ( ) ( ) } Pomocou Veových diagramov zjedoteie zázorňujeme takto: Obr = = k +, k = N Príklad 4 = { = k, k }, { } Defiícia 4 Nech sú a ľubovoľé možiy Prieikom moží, azveme možiu všetkých prvkov, ktoré patria súčase do oboch moží, Ozačeie: Formále zapisujeme prieik moží: = { ( ) ( ) } Pomocou Veových diagramov prieik moží zázorňujeme takto: Obr 3 Príklad 5 Nech = { ( N ) 5}, = { ( Z ) 9} Potom = { N,5 9} Nech a sú ľubovoľé možiy, ak eeistuje taký prvok, ktorý súčase patrí do možiy aj, teda možiy, emajú spoločý prvok, v tomto prípade hovoríme, že možiy sú disjukté a ich prieikom je možia, ktorá eobsahuje žiade prvok Defiícia 5 Možia, ktorá eobsahuje žiade prvok sa azýva prázda možia a ozačujeme ju Pozameávame, že prázdu možiu môžeme defiovať pomocou ľubovoľej vlastosti, ktorú espĺňa žiade prvok V asledujúcom tvrdeí ukážeme dve dôležité vlastosti prázdej možiy Veta a) Prázda možia je podmožia ľubovoľej možiy b) Eistuje práve jeda prázda možia Dôkaz: Najprv dokážeme tvrdeie a) priamo a potom sporom Nech X je ľubovoľá možia, máme dokázať, že X Z defiície vyplýva, že X ( )( X ) Všimime si, že kvatifikovaý výrok a pravej strae ekvivalecie je vždy pravdivý, pre ľubovoľú možiu X, teda je tautológia, pretože implikácia X je vždy pravdivý výrok, lebo výrok má pravdivostú hodotu 0 3

33 Ďalej dokážeme tvrdeie a) sporom Predpokladajme, že tvrdeie vety eplatí To zameá, že platí jeho egácia ( X ){ X } ( X ) { X }, čiže slove povedaé; eistuje taká možia X, že prázda možia ie je podmožiou X, to ale zameá, že prázda možia obsahuje prvok, ktorý epatrí do X To ale ie je možé, pretože prázda možia eobsahuje žiade prvok Dostali sme spor, čiže platí tvrdeie ( X ){ X } a ie jeho egácia Tvrdeie b) dokážeme sporom Predpokladajme, že eistujú dve rôze prázde možiy, Vzhľadom a to, že, sú prázde možiy, podľa predchádzajúceho tvrdeia platí a súčase, z toho vyplýva, že =, čo je v spore s predpokladom Teda eistuje práve jeda prázda možia Defiícia 6 Nech je ľubovoľá možia, U Doplkom možiy vzhľadom a možiu U azývame možiu všetkých tých prvkov uiverzálej možiy U, ktoré epatria do možiy Ozačeie Formály zápis: = { U } C V literatúre ozačujú doplok (komplemet ) možiy aj ako alebo Keďže uvažujeme doplok (komplemet) možiy vzhľadom a uiverzálu možiu U, často používame aj skráteý formály zápis = { } Obr 4 Pozameávame, že pojem doplok možiy možo zovšeobeciť, tj vyjadriť iele vzhľadom a uiverzálu možiu, ale aj vzhľadom a ľubovoľú iú možiu Na to uvedieme ďalšiu možiovú operáciu rozdiel moží Defiícia 7 Nech sú, ľubovoľé možiy Rozdielom moží, azveme možiu všetkých tých prvkov možiy, ktoré epatria do Ozačeie \, alebo aj Formály zápis: = { ( ) ( ) } Zázoreie pomocou Veových diagramov: Obr 5 Príklad 6 Nech = 5,, = 7, 5 Potom = 5,7) Ľahko vido, že rozdiel moží môžeme vyjadriť pomocou prieiku a doplku asledove: = 33

34 V takomto prípade doplok možiy vzhľadom a uiverzálu možiu U ie je ič ié ako U = U = Pomocou rozdielu dvoch moží budeme defiovať ďalšiu možiovú operáciu, symetrickú difereciu moží Defiícia 8 Nech sú, ľubovoľé možiy Symetrickou difereciou moží, azveme možiu = { ( ) ( ) } Symetrickú difereciu moží, možo vyjadriť pomocou rozdielu a zjedoteia moží skrátee takto: = ( ) ( ) Príklad 7 Nech = 5,, = 7, 5 Potom = 5,7) (, 5 Grafické zázoreie symetrickej diferecie moží, Obr 6 Na záver tejto časti uvedieme ďalší typ dôležitej možiy Videli sme už, že prvkami možiy môžu byť aj ié možiy Medzi možiami, ktorých prvkami sú možiy majú zvlášty výzam tzv potečé možiy Defiícia 9 Nech je daá možia Potečou možiou možiy azveme možiu všetkých podmoží možiy Ozačeie P () Teda P () = { } Príklad 8 Nech = { a, a, a3 } Potom P () = {, { a }, { a },{ a },{ a, a },{ a, a }, { a, a }, { a, a a }} 3 3 3, 3 3 Základé vlastosti možiových operácií Uvedieme ajprv iekoľko jedoduchých vlastostí základých možiových operácií Treba si uvedomiť, že jedu a tú istú možiu môžeme vyjadriť rôzymi spôsobmi Je pochopiteľé, že sa sažíme získať vyjadreie čo ajjedoduchšie a ajprehľadejšie Podľa toho aký typ úlohy riešime, podľa toho hľadáme aj vhodé vyjadreie možiy, s ktorou pracujeme Veta 3 Nech,, C sú ľubovoľé možiy, potom platia asledujúce rovosti: ) =, = komutatívosť ) ( C ) = ( ) C, ( C ) = ( ) C asociatívosť 3) ( C ) = ( ) ( C ), ( C ) = ( ) ( C ) 4) =, = idempotetosť 5) =, = 6) =, = de Morgaove zákoy distributívosť 34

35 Dôkaz: Dokážeme le tvrdeie ) a 6) Ostaté tvrdeia echávame usilovému čitateľovi Pri dôkazoch uvedeých tvrdeí budeme vychádzať z defiície uvedeých možiových operácií a z vlastostí výrokovej logiky Najprv ukážeme, že platí = Treba ám teda dokázať, že platí a súčase Nech, je ľubovoľý prvok, Teraz obráteá iklúzia, ech Mohli by sme uvažovať aj takto: Využili sme pritom ekvivaleciu výrokov p q q p Ďalej dokážeme, že =, máme teda opäť dokazovať iklúzie, Obe iklúzie dokážeme súčase, ie oddelee Nech je ľubovoľý prvok, pričom ( ) ( ) ( ) ( ) Pri dôkaze sme využili ekvivaleciu výrokov q p q p Pozameávame, že pri tomto spôsobe dôkazov musíme dávať veľký pozor, či využívame ekvivaleciu výrokov, alebo le platosť implikácie istých výrokov Napríklad vo všeobecosti eplatí rovosť =, pretože platí implikácia p q p a teda, eplatí ekvivalecia p q p Príklad Nech,, C sú ľubovoľé možiy, potom platí ( ) ( ) ( ) C C C = Riešeie: Pri dôkaze tejto idetity využívame platosť už dokázaých idetít z predošlej vety a rovosť = Postupujeme asledujúcim spôsobom Vezmime výrok a ľubovoľej strae rovosti a pomocou ekvivaletých možiových úprav sa sažíme získať druhú strau, takýmto spôsobom dostávame: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = C C C C C C C C C C ( ) ( ) C C = Pozámka: Všimime si podstatý rozdiel pri dokazovaí možiových idetít Vo vete sme vychádzali z defiícií možiových operácií a vykoali sme ekvivaleté úpravy výrokov, v príklade sme robili ekvivaleté úpravy s možiovými operáciami Pri dôkazoch možiových idetít sa musíme vyvarovať používaiu asledujúcich zápisov, apríklad = Zápis ie je správy, pretože a ľavej strae je možia a a pravej strae zložeý výrok v tvare disjukcie výrokov Správe zápisy sú { } = a Príklad Nech, sú ľubovoľé možiy, potom platí ( ) ( ) = Riešeie: Upravíme pravú strau idetity: ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] = = = = ( ) [ ] ( ) [ ] = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = Najprv sme použili idetitu Y X Y X =, potom de Morgaov záko, distributívy záko, idetitu X X =, komutatívy záko a defiíciu symetrickej diferecie Príklad 3 Nech, sú ľubovoľé možiy, dokážte, že asledujúce výroky sú ekvivaleté: a = Riešeie: Máme teda dokázať, že platí práve vtedy, keď = Predpokladajme, že, potrebujeme dokázať iklúzie a Prvá iklúzia platí pre ľubovoľé možiy, (pretože implikácia p q p je tautológia), druhú iklúziu dokážeme sporom Nech a ech súčase ( ), to sú aše predpoklady Podrobe rozpíšeme druhý predpoklad: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 35

36 To zameá, že eistuje prvok u, ktorý patrí do možiy a súčase epatrí do možiy u u u u u u ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( u ) ( u ) ) ( ( u ) ( u ) ) ( u ) ( u ) Predpokladali sme však, že ( )( ) u u Teda ( u u ) ( u u ) Tvrdeie, ktoré sme odvodili je egáciou Dostali sme spor, ktorý poukazuje a to, že z predpokladu musí platiť aj Ďalej budeme dokazovať obráteú implikáciu, t j že z predpokladu = vyplýva Implikáciu budeme dokazovať priamo Nech platí výrok =, to zameá, že pre každé platí, teda Z pravdivosti uvedeého výroku vyplýva platosť výroku, uvedeá implikácia platí z asledujúcej úvahy: ak výrok je pravdivý, potom musí byť pravdivý aj výrok (keďže sú oba výroky ekvivaleté) a teda aj výrok V prípade, že je epravdivý výrok, implikácia je opäť pravdivá, teda za uvedeého predpokladu, že je implikácia tautológia, teda Príklad 4 Nech,, C sú ľubovoľé možiy Dokážte, že iklúzia C platí práve vtedy, ak C a C Riešeie: Skôr, ež začeme úlohu riešiť, všimime si štruktúru tohto tvrdeia Ozačme symbolom: p výrok C q výrok C r výrok C s výrok,, C sú ľubovoľé možiy Potom tvrdeie môžeme schématicky zapísať takto: s p ( q r ) Výrok s je predpoklad a tvrdeie, ktoré treba dokázať je ( p ( q r ) ) ( ( q r ) p) Implikáciu p ( q r ) dokážeme sporom Nech C a ( C C ) To zameá, že platí tvrdeie ( C ) ( C ), teda buď eistuje prvok a C alebo b C Keďže C a C, prvok a epatrí do C ale patrí do, prvok b epatrí do C ale patrí do, teda a alebo b patrí do C, teda a alebo b patrí aj do C, čo je spor Implikáciu ( q r ) p dokážeme priamo Nech platí C a C To zameá C = C, C = C, potom aj ( ) C = ( C ) = C = C a teda aj C 4 Usporiadaá dvojica a karteziásky súči k chceme a možiovom jazyku bližšie skúmať a popisovať vlastosti, vzťahy a štruktúru jedotlivých moží je potrebé zaviesť iektoré ďalšie dôležité pojmy K ovým pojmom bezprostrede patrí usporiadá dvojica, vo všeobecosti usporiadaá -tica a pomocou ich defiovaý karteziásky súči moží Pojem usporiadaej dvojice (-tice) je čitateľovi zrejme a ituitívej úrovi jasý Pod usporiadaou -ticou si môžeme predstaviť koečú postuposť o -čleoch Usporiadaú -ticu pre budeme ozačovať ( a, a,, a ), čo predstavuje aj -rozmerý vektor Pojem usporiadaej - tice sa dá defiovať rôzym spôsobom Pri defiovaí usporiadaej -tice dbáme predovšetkým a to, aby bola zachovaá asledujúca vlastosť: Nech ( a, a,, a ), ( b, b,, b ) sú dve usporiadaé - tice, tieto sa rovajú práve vtedy, ak a = b, pre i =,,, i i, tj 36

37 Na jazyku teórie moží môžeme podobe defiovať pojem usporiadaej dvojice ( a,a ) asledujúcim spôsobom Defiícia 4 Nech sú a, a ľubovoľé prvky Možiu {{ a }, { a, a }} azývame usporiadaou dvojicou, ozačeie ( a,a ), pričom a azývame prvou súradicou (zložkou), a druhou súradicou (zložkou) Usporiadaú -ticu, pre môžeme teraz defiovať iduktíve takto: ( a ) = a ( a, a ) = {{ a },{ a, a }} ak b ( a a,, a ) ( ( a,, a ), a ), = Platí asledujúce tvrdeie, charakterizujúce základú vlastosť usporiadaej dvojice Veta 4 Nech ( ),a a =, a = b a, ( b ) sú dve usporiadaé dvojice (, a ) ( b b ), b a = práve vtedy,, a =, tak zrejme platí {{ } { }} {{ } { }} Dôkaz: k platí, že a = b súčase b a, a, a = b, b, b Nech teraz ( a, a ) = ( b, b ), dôkaz rozdelíme a dve časti ) Nech a = a Potom dostávame {{ a }} = {{ b },{ b, b }} Odtiaľ dostávame, že b = b, súčase a = b ) Nech a a, potom z rovosti ( a, a ) = ( b, b ) dostávame, že b b, a = b, a = b Tým je dôkaz vety ukočeý Pozameávame, že prvky usporiadaej dvojice, -tice emusia byť avzájom rôze Pomocou pojmu usporiadaej dvojice zavedieme pojem karteziáskeho súčiu Defiícia 4 Karteziáskym súčiom moží, azveme možiu = {( y) y } Príklad = { a,a }, = { b, b, b3 } ; {( a, b ), ( a, b ), ( a, b ), ( a, b ), ( a, b ), ( a b )} 3,, = Defiíciu karteziáskeho súčiu môžeme rozšíriť aj pre prípad moží, môžeme postupovať iduktíve, ako v prípade usporiadaej -tice Teda 3 = {( a) a } {( a, a ) a a } = ( ) = Pri defiovaí karteziáskeho súčiu moží môžeme postupovať aj jedoduchšie, budeme vychádzať z pojmu usporiadaej tice, pričom budeme mať a zreteli základú vlastosť usporiadaých tíc, usporiadaé tice ( a, a,, a ) = ( b, b,, b ) práve vtedy, ak a i = bi, pre i =,,,, pričom všetky a, a,, a emusia byť avzájom rôze Karteziásky súči moží,,, môžeme defiovať ako možiu 37

38 {( a, a,, a ) a, i } = i i =, Úvod do diskrétych štruktúr =, =,,, b m, tak karteziásky súči moží je vhodé iekedy reprezetovať obdĺžikovou maticou typu m, a priesečíku i teho riadku a j-teho stĺpca bude prvok ( a i, b j ) Nie je ťažké vidieť, že medzi a obdĺžikovou maticou je vzájomé jedozačé priradeie Pozámka: Všimime si, že ak máme daé dve koečé možiy: { a, a,, a } { b b } Príklad Nech,, C sú ľubovoľé možiy Ukážeme, že vo všeobecosti eplatí =, komutatívy záko pre karteziásky súči moží a taktiež eplatí ( C ) = ( ) C, asociatívy záko pre karteziásky súči moží Riešeie: Najprv ukážeme, že, ak = { a}, = { b}, pričom predpokladáme, že a b, = {( a, b) }, = {( b, a) }, odtiaľ {( a, b) } {( b, a) } Ďalej uvažujme možiu C = { c}, pričom predpokladáme, že c a, c b, Potom ( C ) = {( a, ( b, c) )}, ( ) C = {( ( a, b), c) }, {( a, ( b, c) )} {( ( a, b), c) } Príklad 3 Ukážeme, že ak aspoň jeda z moží, je prázda, tak potom = Riešeie: Trvrdeie dokážeme sporom ez ujmy a všeobecosti predpokladajme, že =, a pre spor ech To zameá, že eistuje ( a, b) je pravdivý výrok Potom ale platí, že a a súčase b, to je výrok epravdivý, čiže dostávame sa do sporu Implikácia je epravdivá, ak predpoklad ( a, b) je pravdivý a záver a b je epravdivý Príklad 4 Nech,, C sú ľubovoľé možiy, potom platí asledujúca rovosť: ( ) C = ( C ) ( C ) Riešeie: Zvolíme asledujúci postup, vezmeme ľubovoľý prvok (, y) ( ) C, využijeme defiíciu možiových operácií a karteziáskeho súčiu moží, uskutočíme ekvivaleté úpravy výrokov a ukážeme, že prvok (, y) ( C ) ( C ) a obrátee Nech teda (, y) ( ) C ( ) y C ( ) y C ( y C ) ( y C ) (, y) ( C ) (, y) C (, y) ( C ) ( C ) Ďalšie dôležité možiové idetity a vzťahy uvádzame v cvičeiach Odporúčame čitateľovi veovať im patričú pozorosť 38

39 4 CVIČENI ) Nech, sú ľubovoľé možiy Dokážte, že platia asledujúce vzťahy: a), b), c) = d) =, = U e) ( ) = ( ) =,, absorbčé zákoy ) Nech,, C sú ľubovoľé možiy Dokážte, že platia asledujúce vzťahy: a) ( ) C = ( C ) b) ( ) C = ( C ) ( C ) c) C ( ) = ( C ) ( C ) d) C ( ) = ( C ) ( C ) e) = ( ) = ( ) f) ( C ) = ( ) ( C ) g) ( ) C = ( C ) 3) Nech, sú ľubovoľé možiy, dokážte, že platia asledujúce vzťahy: a) = komutatívosť b) ( C ) = ( ) C asociatívosť c) rovica X = má jedié riešeie X = 4) Nech, sú ľubovoľé možiy a U uiverzála možia Dokážte, že potom sú asledujúce výroky ekvivaleté: a) b) = c) = d) = e) = U f) = 5) Nech,, C sú ľubovoľé možiy Dokážte, že platí iklúzia C práve vtedy, ak C a C 6) Nech, sú ľubovoľé možiy a) Zapíšte formále egáciu tvrdeí, = b) Slove vyjadrite egáciu uvedeých tvrdeí 7) Zistite, či platí: k C a C = C, tak = 8) Nech,, C sú ľubovoľé možiy, potom platia asledujúce tvrdeia: a) k, tak pre každú možiu C platí C C C = C C b) ( ) ( ) ( ) 39

40 c) ( ) ( ) ( ) C C C = d) Možiy, sú disjukté práve vtedy, keď = 9) Zistite, pre aké možiy,, C platí resp eplatí: a) ( ) ( ) ( ) C C = b) ( ) ( ) ( ) C C = c) ( ) ( ) ( ) C C = d) ( ) ( ) ( ) C C C = 40

41 5 Relácie Pojem relácie má v matematike a v takých príbuzých vedách ako je iformatika základý výzam Veľmi úzko súvisí s pojmom karteziáskeho súčiu moží Najprv uvedieme defiíciu a potom uvedieme príklady a rôze typy relácií Defiícia 5 Nech, sú ľubovoľé možiy Možiu ϕ azývame biárou reláciou z možiy do možiy, alebo biárou reláciou medzi prvkami moží a vtedy a le vtedy, keď ϕ Príklad Nech = { a, a, a3 }, = { b,b } Potom ϕ {( ) ( )} = a, b, a, b, ϕ = {( a, b ), ( a, b )}, ϕ 3 = {( a, b ), ( a, b ), ( a3, b3 )}, ϕ 4 =, ϕ 5 = sú relácie z možiy do možiy Pozámka: Z defiície i uvedeého príkladu možo usudzovať, že ľubovoľá podmožia (pravá, alebo epravá) karteziáskeho súčiu moží je reláciou a že eistujú rôze druhy relácií My sa budeme zaoberať rôzymi typmi relácií v súvislosti so špeciálym typom relácií ako sú usporiadaia, relácia ekvivalecie a zobrazeia Pozámka: Slovo biára z defiície zameá, že relácia je defiovaá medzi dvomi možiami Môžeme však zaviesť aj áre relácie, ktoré sú podmožiami karteziáskeho súčiu moží,,, V tejto časti sa budeme zaoberať výluče biárymi reláciami a preto pojem relácia bude ozačovať biáru reláciu iára relácia ϕ z prvkovej možiy do m prvkovej možiy sa dá reprezetovať maticou M typu m Tie miesta v matici, ktoré zodpovedajú usporiadaým dvojiciam možiy ϕ ozačíme symbolom, a ostaté miesta v matici M apíšeme symbol 0 Miesto matice M ležiace a priesečíku i-teho riadku a j-teho stĺpca ozačíme symbolom ( i, j ) a jeho hodotu symbolom m ij m, i =,,, j =,, m Maticu, ktorej prvky Maticu M budeme tiež ozačovať symbolom ( ) ij 0 azývame booleovská Maticovú reprezetáciu relácie tiež azývame tabuľkovou reprezetáciou Ďalšou veľmi ázorou reprezetáciou je grafová reprezetácia biárej relácie Prvky moží ozačíme krúžkami, ktoré azývame vrcholmi grafu a usporiadaú dvojicu zázoríme šípkou, ktorá ide z vrcholu odpovedajúceho prvému prvku dvojice k vrcholu, ktorý odpovedá druhému prvku dvojice Táto šípka sa azýva orietovaou hraou, v tom prípade, že oba vrcholy sú totožé ide o orietovaú slučku adobúdajú hodoty z možiy {, } Príklad Nech = { a, b, c, d } a = { a, b, e, f }, = {( a, a), ( a, b), ( b, e), ( c, b), ( d, f ),( b, a) } ϕ Obr 7 Graf relácie ϕ z príkladu 4