Επιλεγμένες Ασκήσεις Αριθμητικής Ανάλυσης

Transcript

1 ΜΈΡΟΣ Β: Επιλεγμένες Ασκήσεις Αριθμητικής Ανάλυσης Χρήστος Α. Αλεξόπουλος Τμήμα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Πάτρα Ιούνιος

2 Εισαγωγή Το παρόν οήθημα περιλαμάνει λυμένες ασκήσεις και επιλεγμένα στοιχεία θεωρίας που αφορούν σε μερικά ασικά θέματα της Αριθμητικής Ανάλυσης: Στοιχειώδης Θεωρία Σφαλμάτων, Επαναλητικοί Αλγόριθμοι Επίλυσης μη Γραμμικών Εξισώσεων, Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων-Διασπάσεις, Ανάλυση Σφάλματος και Νόρμες, και Επαναληπτικές Μέθοδοι για Γραμμικά Συστήματα. Ειδικότερα αφορούν στην ύλη των κεφαλαίων Ι, ΙΙ, ΙΙΙ και VI του διδακτικού ιλίου «Εισαγωγή στις Αριθμητική Ανάλυση και Περιάλλοντα Υλοποίησης» του Χ. Αλεξόπουλου (διδάσκοντος), το οποίο διανέμεται στους Β ετείς φοιτητές του Τμήματος Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής στα πλαίσια του αντιστοίχουν μαθήματος. Σκοπός του οηθήματος είναι να δώσει ένα συμπληρωματικό εφόδιο και εργαλείο στους φοιτητές για την κατανόηση ασικών στοιχείων και εννοιών της Αριθμητικής Ανάλυσης, να τους φέρει πιο κοντά σε πεδία εφαρμογών και να οηθήσει στην εμάθυνση στη σχετική ύλη. Με αυτή την έννοια μπορεί να θεωρηθεί ως συμπληρωματικό οήθημα σε σχέση με το εν λόγω διδακτικό ιλίο. Οι περισσότερες ασκήσεις έχουν τεθεί σε διάφορες γραπτές εξετάσεις (εξεταστικών περίοδων ή πρόοδων) του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση και Περιάλλοντα Υλοποίησης». Η λύσεις δίνονται με υποδειγματικό τρόπο και είναι λεπτομερείς. Για καλύτερη εμπέδωση της ύλης, οι ασκήσεις περιλαμάνουν συχνά πρόσθετες ερωτήσεις, αναλυτικούς και εναλλακτικούς τρόπους απαντήσεων, καθώς και δυνητικές επεκτάσεις, στο πνεύμα πάντα των παραδόσεων και του διδακτικού ιλίου, στο οποίο γίνονται κατ ευθείαν αναφορές, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο. Ορισμένα θέματα θεωρίας από την Αριθμητική Ανάλυση και τη Γραμμική Άλγερα έχουν εισαχθεί στο Παράρτημα. Λειτουργούν ως συμπληρώσεις των αντιστοίχων παραγράφων του διδακτικού ιλίου και ταυτόχρονα ως παραπομπές στη θεωρία. τις ε από τις υποδειγματικές λύσεις. Η συνδρομή της γλώσσας Mtb και του υπολογιστικού της περιάλλοντος κρίνεται εξαιρετικά χρήσιμη έως και αναγκαία σε πολλές περιπτώσεις, όπως άλλωστε απαιτεί και το μάθημα. Συχνά, και στα πλαίσια των υπολογισμών που περιλαμάνονται στις απαντήσεις των ασκήσεων, ο αναγνώστης, ενθαρρύνεται ή παρακινείται να ανατρέξει για επαλήθευση και για περισσότερες ιδέες σε ενδογενή χαρακτηριστικά και εντολές που υλοποιούν στοιχειώδεις μαθηματικούς υπολογισμούς της Γραμμικής Άλγερας και της Αριθμητικής Ανάλυσης ή ακόμα και σε πηγαίο κώδικα που περιλαμάνεται στα αντίστοιχα κεφάλαια ή στο παράρτημα Β (Εισαγωγή στο Mtb) του διδακτικού ιλίου. Τέλος, θα πρέπει να τονιστεί ότι, για την κατανόηση της μεθοδολογίας, προαπαιτείται ένα ικανό γνωστικό υπόαθρο από την Γραμμική Άλγερα (εξοικείωση στις πράξεις και ιδιότητες πινάκων, απαλοιφή Gss, διάσπαση LU, ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα κλπ.), όπως και από την Κλασσική Μαθηματική Ανάλυση (παράγωγοι, θεωρία συναρτώσεων, ακολουθίες, σειρές Tyor κ.λ.π.).

3 Περιεχόμενα. Επαναληπτικοί Αλγόριθμοι για μη Γραμμικές Εξισώσεις Άσκηση... Άσκηση... Άσκηση... Άσκηση... Άσκηση.5.. Άσκηση.6.. Άσκηση.7... Γραμμικά Συστήματα-Διασπάσεις-Ανάλυση Σφάλματος-Νόρμες Άσκηση... Άσκηση... Άσκηση... Άσκηση.. Άσκηση.5. Άσκηση.6. Άσκηση.7. Άσκηση.8. Άσκηση.9. Άσκηση. Άσκηση.. Επαναληπτικές Μέθοδοι για Γραμμικά Συστήματα Άσκηση.. Άσκηση.. Άσκηση.. Άσκηση.. Άσκηση.5. Άσκηση.6. Άσκηση.7. Άσκηση.8. Ευρετήριο θεμάτων

4 . Eπαναληπτικοί Αλγόριθμοι για μη Γραμμικές Εξισώσεις Άσκηση. Έστω ότι για την εύρεση του (7) / χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της διχοτόμησης. (Υπόδειξη: το όποια δεδομένα απαιτεί η μέθοδος επιλέγονται από εσάς) α) Βρείτε την η προσέγγιση (επανάληψη). ) Δώστε φράγμα για το απόλυτο σφάλμα μετά την ή επανάληψη. Απαντήσεις: α) Ο αριθμός 7 / είναι ρίζα της συνάρτησης f(x)x -7 η οποία είναι συνεχής σε όλο το R. Επιλέγουμε τώρα ένα διάστημα (,b) της ρίζας ξ τέτοιο ώστε να ισχύει f()f(b)<. Ας θεωρήσουμε το (.5, ), με f(.5)f()-.65<. Λαμάνουμε τις διαδοχικές προσεγγίσεις:.5, b b: x (.5)/.75 και f(x )*f(b ) -.66 <, άρα ξ (x, b ). x, b b : x (.75)/.875 και f(x )*f(b ) -.8<, άρα ξ ( x, b ). x, b b : x (.875)/.975 ) Αν e k είναι το σφάλμα στην k προσέγγιση, γνωρίζουμε ότι ισχύει η ανισότητα e k (b - )/ k Για k λαμάνουμε: e k.5*.8e-7 (με α.κ.υ. 5 σ.ψ.) Άσκηση. Δίνεται η εξίσωση: -x *x - 5*x. Στα παρακάτω ερωτήματα θεωρούμε ότι ισχύει α.κ.υ. σ.ψ. α) Με τη μέθοδο του «εγκλεισμού» των ριζών ρείτε ένα διάστημα [,b], αρκούντως μικρό, στο οποίο να ανήκει μια πραγματική ρίζα της. ) Στη συνέχεια, με εφαρμογή ημάτων της μεθόδου της διχοτόμησης, ρείτε μια προσέγγιση x * της παραπάνω ρίζας. γ) Πόσες επαναλήψεις θα χρειαστούν το πολύ για να ρεθεί μια προσέγγιση της ρίζας με απόλυτο σφάλμα e< -? Δικαιολογείστε την απάντησή σας. δ) Ποιό συγκεκριμένο κριτήριο τερματισμού του αλγορίθμου θα προτείνατε στην περίπτωση σύγκλισης? ε) Με αρχική προσέγγιση την πρώτη προσέγγιση της μεθόδου διχοτόμισης, εφαρμόστε τώρα τη μέθοδο Newton-Rphson, για να ρείτε μια προσέγγιση της ρίζας με ακρίεια σ.ψ. Αναφέρατε συμπεράσματα και συγκρίνατε τις δύο μεθόδους. Απαντήσεις Για τη συνάρτηση f(x) -x *x - 5*x είναι f (x)-x 6x-5< με Δ6-*5-< και συνεπώς f (x)< για κάθε x R. Επομένως η f είναι συνεχώς παραγωγίσημη και φθίνουσα σε όλο το R. Άρα υπάρχει μια μόνον πραγματική ρίζα r (οι υπόλοιπες δυο είναι μιγαδικές συζυγείς). Μια γραφική παράσταση της f φαίνεται στο γράφημα. Ελέγχοντας τα πρόσημα της f σε διαδοχικά διαστήματα πλάτους h έχουμε: f(-)f(-), f(-)f(), f()f()-

5 <. Συνεπώς r (,). Με μια αρχική διχοτόμηση, λαμάνουμε τελικά ένα ακόμα πιο στενό διάστημα της ρίζας: επειδή f()f(.5)-.875<, παίρνουμε r (,.5) Γράφημα. Γράφημα της f(x) -x *x - 5*x ) Εφαρμόζουμε τη μέθοδο της διχοτόμισης ξεκινώντας από το αρχικό διάστημα [,.5] της ρίζας. Οι ζητούμενες επαναλήψεις παριλαμάνονται στον πιο κάτω πίνακα. Ο πίνακας αυτός περιέχει προαιρετικά τα μήκη των εγκλειομένων διαστημάτων και τον έλεγχο ακρίεια σε σχέση με μια δοθείσα ανοχή epsion - : Προσέγγιση x k Διάστημα εισόδου f(x k) Μήκος διαστήματος - έλεγχος x.5 [,.5] >.55e- x.5 [,.5].99.5>5e- x.875 [.5,.5].6.5>5e- x.87 [.875,.5].95.65>5e- [.875,.5].5<5e- Η x.87 είναι η ζητούμενη προσέγγιση. Σημείωση. Στο Mtb η συμολική εντολή sove('-x^*x^-5*x') ή sove('-x^*x^-5*x') υπολογίζει την προσέγγιση της πραγματικής ρίζας της f(x) με ακρίεια και 6 σ.ψ. αντίστοιχα: x % formt ong x.98975e- % formt ong e Παρατήρηση : Στον παρακάτω πίνακα (που συμπεριλαμάνει και την 5 η επανάληψη) φαίνεται καθαρά η ραδύτητα της μεθόδου διχοτόμισης στην επίτευξη ικανοποιητικής ακρίειας σε συνδυασμό με τη γραμμικότητα μείωσης του σφάλματατος στις διαδοχικές επαναλήψεις. (Υπόμνηση: ως γνωστόν για μεγάλο k ισχύει e k e k- /). Ενώ το σχετικό σφάλμα e k (x k-x)/x είναι ικανοποιητικό στην πρώτη επανάληψη (ακρίεια σ.ψ., η αρχική διχοτόμιση «πέφτει» συμπτωματικά κοντά στη ρίζα), χειροτερεύει στη η και η (ακρίεια σ.ψ.), για να ελτιωθεί στη συνέχεια (ακρίεια σ.ψ.), πάντα όμως γραμμικά. Προσέγγιση x k Διάστημα Σχετ. σφάλμα ακρίεια προσέγγισης x.5 [,.5].9<.55e- σ.ψ.

6 x.5 [,.5].5<.5 σ.ψ. x.875 [.5,.5].85<.5 σ.ψ. x.87 [.875,.5].5<.55e- σ.ψ. x 5. [.875,.5].<.5 σ.ψ. Η προσέγγιση x.87 που ρήκαμε είναι ακριής σε σ.ψ. και σε σχέση με την προσέγγιση της ρίζας της f στην αναπαράσταση πραγματικών dobe. Συγκεκριμένα ισχύει: ( e-)/.98975e e-<5e- (γ) Το απόλυτο σφάλμα φράσσεται από την ανισότητα e k (b - )/ k. Ο μέγιστος αριθμός επαναλήψεων για να επιτευχθεί (απόλυτο) σφάλμα e μικρότερο από την ανοχή - είναι: N og(b - ) - og(e) og() og(.5- ) - og(.e - ) og().89 mx Σημείωση. Ισοδύναμα, στο Mtb δίνουμε την εντολή Νmxrond((og(.5)-og(.e-))/og()) (δ) Ο αλγόριθμος της διχοτόμισης τερματίζεται όταν το μήκος του διαστήματος [, b] γίνει «αρκούντως μικρό». Στην τελευταία στήλη του πίνακα του ερ. () φαίνονται οι σχετικοί έλεγχοι πάνω σε μια δοθείσα ανοχή. Συνεπώς δεχόμαστε μια ανοχή det- k (ενδεικτικά k5). Κατόπιν αυτού το κριτήριο μπορεί να διατυπωθεί: if bs(-b)>e-5, brek; (δ) Προφανώς f C [,.5] και συνεπώς συντρέχουν όλες οι προϋποθέσεις σύγκλισης της ακολουθίας Newton-Rphson στην απλή πραγματική ρίζα r: x x n x n.5 - xn xn- 5xn, n,,... - x 6x 5 n n Η σύγκλιση προφανώς θα είναι τετραγωνική για h στην περιοχή της ρίζας, και -πιο συγκεκριμένα- στο επιλεγέν διάστημα (,.5): e () g ( h) k e k * f (r) f (r) e k - r - 6r 6 6r - 5 e k - r - r 6r - 5 e k r ( ) - r e k 6r 5 Ξεκινώντας με x.5 και εκτελώντας τις πράξεις σε α.κ.υ. σ.ψ., λαμάνουμε τις εξής διαδοχικές προσεγγίσεις x k, μαζί με τις τιμές της προσέγγισης σχετικού σφάλματος e k (x k-x k- )/x k-. Προσέγγιση Σχετικό σφάλμα e k Έλεγχος σφάλματος x <.55e- x.9. <.55e- x.9 < 5e- Παρατηρούμε ότι χρειάστηκαν μόλις επαναλήψεις για έχουμε ακρίεια σ.ψ. Σημείωση. Η προσέγγιση x.9 είναι ακριής ως προς την ρίζα r και στα σ.ψ.: ( )/ e-5 < 5e-

7 Παρατήρηση Αν εργαστούμε σε περιάλλον με αναπαράσταση πραγματικών dobe (π.χ. Mtb), λαμάνουμε τις εξής διαδοχικές προσεγγίσεις x k, της ακολουθίας Ν-R, μαζί με τις τιμές του σχετικού σφάλματος e k (x k-x k-)/x k-. Προσέγγιση Σχετικό σφάλμα e k Έλεγχος σφάλματος ακριή σ.ψ. x e e- < 5e- x e e- < 5e- x e e-7 < 5e-7 7 x e e-5 < 5e- Παρατηρούμε ότι η η προσέγγιση συμφωνεί με την ρίζα r σε σ.ψ (ακρίεια σ.ψ.). Άσκηση. α. Βρείτε με την παραπάνω μέθοδο μια προσέγγιση της 7 με ακρίεια 5 σημ. ψηφίων. Να γραφούν όλες οι ενδιάμεσες προσεγγίσεις και να δικαιολογηθεί το αποτέλεσμα.. Ποια είναι η τάξη σύγκλισης της παραπάνω μεθόδου; Και ποια η μαθηματική της σημασία στην περίπτωση αυτή; Απαντήσεις α) Είναι 7, συνεπώς αναζητούμε μια από τις δύο λύσεις της f(x)x -7 (έστω τη θετική) που είναι συνεχώς παραγωγίσιμος σε όλο το R. H ακολουθία N-R είναι: x n x n x n x 7, n,, n Επιλέγουμε x o (η αρχική προσέγγιση είναι ακριής σε ένα σ.ψ.) Εφαρμόζοντας τώρα έλεγχο στο απόλυτο και στο σχετικό σφάλμα αντίστοιχα λαμάνουμε διαδοχικά: x x -(x -7)/(*x ).75 με x -x.75.75e και ( x -x )/x.75e- x x -(x -7)/(*x ).677 με x-x..e- και ( x -x )/x.7e- x x -(x -7)/(*x ).658 με x-x.9.9e- και ( x -x )/x 7.76e- x x -(x -7)/(*x ).658 με x-x και ( x -x )/x Συνεπώς η ζητούμενη προσέγγιση είναι η x. Χρειάστηκαν συνολικά og 5 επαναλήψεις για την επίτευξη της ζητούμενης ακρίειας.

8 Γράφημα : Γράφημα της f(x)x -7 στο διάστημα [,] και επαναλήψεις της μεθόδου Ν-R ) Η τάξη σύγκλισης είναι τετραγωνική, εφ όσον η ρίζα της f(x)x -7 είναι απλή: f (r)r. Τετραγωνική σύγκλιση σημαίνει ότι, αν e n x n-r είναι το απόλυτο σφάλμα, τότε η ακολουθία e k / e k συγκλίνει σε ένα θετικό αριθμό. Τότε θα ισχύει και η πρσεγγιστική σχέση: e () g ( h) k e k όπου g είναι η συνάρτηση επανάληψης (σταθερού σημείου) στην περίπτωση της Ν-R, g(x)x-f(x)/f (x) και h ικανοποιητικά κοντά στη ρίζα r. Άσκηση. (α) Να υπολογισθεί η μικρότερη πραγματική λύση της εξίσωσης f(x)x -e x με εφαρμογή του αλγορίθμου Newton-Rphson και με ακρίεια σ.ψ. Να καθορισθεί αρχικά διάστημα της λύσης με τη οήθεια γραφικής παράστασης. Για την αρχική προσέγγιση να εφαρμοσθεί η μέθοδος διχοτόμησης ( επαναλήψεις). Να γραφούν τέλος, τα ενδιάμεσα ήματα και να δικαιολογηθεί η τελική προσέγγιση. () Ποια είναι η τάξη σύγκλισης της μεθόδου Newton-Rphson, όπως εφαρμόστηκε στο ερώτημα (α) και τι σημαίνει αυτό για το σφάλμα; Απαντήσεις (α) H f είναι προφανώς συνεχής σε ολόκληρο το R. Δίνουμε το γράφημά της f στο διάστημα [-, ], στο οποίο εμφαίνεται ότι υπάρχουν ρίζες. Για τον εντοπισμό τους αναζητούμε τις ρίζες εντός του [,] με ήμα (προφανώς είναι f()f()<). Λαμάνουμε διαδοχικά: f(-)*f(-).9e> f(-)*f(-) 9.755> f(-)*f(-).9> f(-)*f() -.6< f()*f() -.87< f()*f().99> f()*f().88>

9 f()*f() -5.67< Επομένως οι ρίζες ανήκουν στα διαστήματα (-,), (,) και (,) (το παραπάνω συμπέρασμα μπορεί να εξαχθεί και κατόπιν μελέτης της f ως προς τη μονοτονία και τοπικά ακρότατα). Θεωρούμε τώρα το διάστημα (-,) της μικρότερης λύσης. Εφαρμόζοντας τη μέθοδο της διχοτόμισης για τον καθορισμό μιας αρχικής προσέγγισης, έχουμε: x (-)/ και f(-/)f() -.5 και επομένως η ρίζα ανήκει στο (-/,). x (-/)/-/-.5 Γράφημα. Γράφημα της x -e x για τον εντοπισμό της μικρότερης ρίζας. Λαμάνουμε τώρα σαν αρχική προσέγγιση της μεθόδου Ν-R την x, οπότε ο επαναληπτικός τύπος δίνεται: δηλαδή: f ( n ) n n, n,,... με f '( ) x n x e n n, n,,... με x -.5 6x e x Λαμάνουμε διαδοχικά τις επαναλήψεις: -.595, με , με , με -.8.8*e-<.5 e- και απομένως απαιτήθηκαν μόνον επαναλήψεις για να επιτευχθεί η ζητούμενη ακρίεια. () Η ρίζα που ρέθηκε είναι απλή. Επομένως η τάξη σύγκλισης είναι τετραγωνική και η ακολουθία e k / e k συγκλίνει: e k e k g (h) /, όπου g(x)x-f(x)/f (x) ή:

10 e k * f (ξ) f (ξ) e k * 6 - e 6ξ - e ξ ξ e k (ξ είναι η ρίζα) Αυτό σημαίνει ότι το απόλυτο σφάλμα στο ήμα k είναι ανάλογο του τετραγώνου του σφάλματος στο ήμα k-. Άσκηση.5 (α) Να δοθεί η ακολουθία Newton-Rphson για την προσέγγιση της ρίζας 7 /. () Βρείτε με την παραπάνω μέθοδο μια προσέγγιση της 7 / με ακρίεια σημ. ψηφίων. Για την αρχική προσέγγιση να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος διχοτόμησης. Να γραφούν όλες οι ενδιάμεσες προσεγγίσεις και να δικαιολογηθεί το αποτέλεσμα. (γ) Ποια είναι η τάξη σύγκλισης της μεθόδου Newton-Rphson, όπως εφαρμόστηκε στο ερώτημα (α) και τι σημαίνει αυτό για το σφάλμα; Απαντήσεις: (α) Είναι f(x)x -7 και f (x)x. Προφανώς η f είναι συνεχώς παραγωγήσιμη μέχρι ης τάξης σε ολόκληρο το R. Η ακολουθία Ν-R είναι: x nx n- -f(x n-)/f (x n-) n,, από όπου: x n x n- - (x n- -7)/x n- n, Σαν αρχική προσέγγιση λαμάνουμε μια τιμή στην «περιοχή της ρίζας», π.χ. x.6. () Επιλέγουμε το αρχικό x «επαρκώς κοντά» στη ρίζα με τη μεθοδο διχοτόμισης: Είναι f(.5) -.75 και f(.6).576 με f(.5)*f(.6)<, οπότε η ρίζα ανήκει στο (.5,.6). Διχοτομούμε: x (.5.6)/.55 με f(.55)-.86. Το νέο διαστημα της ρίζας είναι το (.55,.6). Με νέα διχοτόμηση έχουμε x (.55.6).58. Ακριώς αυτή θα ληφθεί ως αρχική προσέγγιση για τη μέθοδο Newton-Rphson στη συνέχεια. Λόγω συνέχειας των παραγώγων μέχρι δευτέρας τάξης, αναμένουμε σύγκλιση αν ξεκινήσουμε στην περιοχή της ρίζας. Εφαρμόζοντας τώρα την επανανάληψη Newton-Rphson με x.58, λαμάνουμε διαδοχικά (τα υπόλοιπα δ.ψ. παραλέιπονται, λόγω εφαρμογής α.κ.υ. σ.ψ.): x x ο - (x -7)/x f(.57) n.57 x x - (x -7)/x f(.57) n.57 (!) δηλαδή η απαιτούμενη ακρίεια επιτυγχάνεται με μια μόνον επανάληψη και η ζητούμενη προσέγγιση είναι x.57. Παρατήρηση : Το γεγονός ότι χρειάστηκε μόνον μια επανάληψη οφείλεται ακριώς στο ότι λάαμε την αρχική προσέγγιση πολύ κοντά στη ρίζα. (γ) Προφανώς η ρίζα ξ της f(x)x -7 είναι απλή (τυπική δικαιολόγηση: είναι f (x)x για x ). Συνεπώς η τάξη σύγκλισης είναι τετραγωνική, δηλ. ο λόγος e k / e k συγκλίνει και θα ισχύει: e k e k g (h) /. Αυτό σημαiνει ότι το απόλυτο σφάλμα στο ήμα k είναι ανάλογο του τετραγώνου του απολύτου σφάλματος στο ήμα k-. Συνεπώς, αν μια προσέγγιση είναι ακριής σε ένα σ.ψ. σε κάποιο ήμα της επανάληψης, μετά από k ήματα θα είναι ακριής σε k σ.ψ.

11 Παρατήρηση : Με άλλα λόγια, στην περίπτωση της τετραγωνικής σύγκλισης, αν η αρχική προσέγγιση είναι ακριής σε σημαντικό ψηφίο, τότε για να επιτευχθεί ακρίεια σε m σημαντικά ψηφία, απαιτούνται το πολύ og m επαναλήψεις. Άσκηση.6 Δώστε με κατάλληλη αιτιολόγηση ένα γρήγορο αλγόριθμο για τον υπολογισμό της ποσότητας 5. Να επιλεγεί κατάλληλη αρχική προσέγγιση και να γίνουν επαναλήψεις. Απάντηση Βρίσκουμε αρχικά ποιας εξίσωσης f αποτελεί λύση η πoσοσότητα x x -(5) ½ x -(5) ½ (x -) -5 f(x)x 6 -x - 5. Έχουμε: Μια σύντομη μελέτη της f καθώς και ένα γράφημά της είναι χρήσιμα. H f είναι συνεχώς παραγωγήσιμος σε όλο το R. Επίσης: f (x)6x 5-6x 6x (x -) f (x)> για x> (f αύξουσα) και f (x)< για x< (f φθίνουσα). f (x)x -x6x(5x -) Τα ακρότατα της f ρίσκονται στα σημεία όπου f (x), δηλ. στα x και x. Το είναι σημείο καμπής (f ()), ενώ το ελάχιστο. (f ()8>). Τα παραπάνω συνοψίζονται στον πίνακα: X - - <x< x <x< x <x< F - -5 f f Η f έχει λοιπόν πραγματικές ρίζες, μια θετική και μια αρνητική και μιγαδικές (ανά δύο συζυγείς). Αναζητούμε φυσικά τη θετική ρίζα. Μια γραφική παράσταση της f φαίνεται στο γράφημα.

12 Γράφημα. Γραφική παράσταση της f(x)x 6 -x - και της παραγώγου της ( Στο Mtb: fpot('[f6(x),f6d(x)]',[ ]),grid; ) Η αναζητούμενη ρίζα είναι θετική και είναι απλή αφού f (x)> για r (, ). Προκειμένου να ρούμε προσεγγίσεις τις θετικής ρίζας r, παρατηρούμε f(.)*f(.5) -.56, επομένως r (.,.5). Λαμάνουμε μια πρώτη προσέγγιση με διχοτόμιση: x (..5)/.5. Θεωρώντας τώρα την επαναληπτική μέθοδο Newton-Rphson, ισχύουν όλες οι προϋποθέσεις σύγκλισης και επιπλέον η σύγκλιση θα είναι τετραγωνική επειδή η ρίζα είναι απλή. Η επαναληπτική ακολουθία είναι: x x n x xn n- - x -, n,,... 6x (x ) δ ο θ έν 6 n- n n- Θέτοντας x.5 παίρνουμε τις ακόλουθες προσεγγίσεις (παραλείπουμε τα υπόλοιπα δεκαδικά ψηφία, αφού θεωρούμε ότι οι πράξεις γίνονται με α.κ.υ. 5 σ.ψ.): x.8 x.79 x.79 Παρατηρούμε ότι x x, δηλ. η x είναι ακριής σε 5 σ.ψ. Επομένως χρειάστηκαν μόνον επαναλήψεις για να επιτευχθεί ακρίεια 5 σ.ψ. Σημείωση Σύντομη απάντηση: Η μελέτη της f και το γράφημα είναι προαιρετικά. Χρειάστηκαν για να διαπιστώσουμε με ασφάλεια σε ποια πραγματική ρίζα της f αντιστοιχεί η δοθείσα ποσότητα, καθώς και για τον εγκλωισμό της ρίζας αυτής. Θα μπορούσαμε πάντως να να εγκλωίσουμε άμεσα τη θετική ρίζα χρησιμοποιώντας το διάστημα h.5 και ελέγχοντας το πρόσημο στα άκρα των διαστημάτων [,.5] και [.5,]. Πράγματι, f()f(.5)< δηλ. r (.5,.5). Διχοτομούμε: x.5 και θέτουμε το x σαν αρχική προσέγγιση της N-R. Λαμάνουμε διαδοχικά τις προσεγγίσεις x k καθώς και τις προσεγγίσεις του σχετικού σφάλματος e k x k x x k- k- (παραλείπουμε τα υπόλοιπα σ.ψ. αφού οι πράξεις γίνονται με α.κ.υ. 5 σ.ψ.): Προσέγγιση Σχετικό σφάλμα e k Έλεγχος σχετικού σφάλματος x e- >5*e-5 x.55 9.e- >5*e-5 %θα σταματούσαμε εδώ! x e- >5*e-5 x e- >5*e-5 x e- <5*e-5 %ακρίεια 5 σ.ψ. x e-8 <5*e-5 % περαιτέρω επαναλήψεις x e- <5*e Δηλ. χρειάστηκαν 5 επαναλήψεις για να επιτευχθεί ακρίεια 5 σ.ψ. Οι επόμενες επαναλήψεις x 6, x 7, είναι ακριείς σε περισσότερα σημαντικά ψηφία.

13 Άσκηση.7 Δώστε με κατάλληλη αιτιολόγηση ένα γρήγορο αλγόριθμο υπολογισμού της ποσότητας 5. Να επιλεγεί κατάλληλη αρχική προσέγγιση και να γίνουν επαναλήψεις. Απάντηση Παρατηρούμε κατ αρχήν ότι η υπολογιστέα ποσότητα είναι φανταστικός αριθμός και γράφεται: x ( ) i Συνεπώς αρκεί να υπολογισθεί η: img( x) 5. Έχουμε: δηλ. η αποτελεί λύση της διτετράγωνης εξίσωσης: f ( x) x x Η f (λ. γράφημα 5) είναι συνεχής παντού, άρτια και αύξουσα στο [, ). Συνεπώς έχει δύο πραγματικές και αντίθετες ρίζες και δύο μιγαδικές συζυγείς. Η είναι η θετική της ρίζα, την οποία και αναζητάμε. Επιπλέον είναι f()f()<, δηλ. (,) και f C [,], συνεπώς ισχύουν οι προϋποθέσεις σύγκλισης της ακολουθίας Newton-Rphson. Επιλέγουμε ως αρχική προσέγγιση το μέσον.5 του [,]: Γράφημα 5. Γραφική παράσταση της f(x)x x - και της παραγώγου της ( Στο Mtb: fpot('[f6(x),f6d(x)]',[- - ]),grid; ) x n n.5 n n n - ( ) ) n, n,,...

14 Η ρίζα είναι απλή, συνεπώς αναμένουμε τετραγωνική σύγκλιση. Λαμάνουμε τις εξής διαδοχικές επαναλήψεις με αναπαράσταση πραγματικών διπλής ακρίειας (εμφάνιση σε formt ong e): Προσέγγιση x k 9.58e e e e e e e- Σχετικό σφάλμα e-.6555e e e e e- Ακρίεια σ.ψ. 6 6 Συνεπώς μετά από 6 επαναλήψεις επιτυγχάνεται ακρίεια σε 6 σ.ψ. Η ζητούμενη προσέγγιση είναι: * e-. Γραμμικά Συστήματα-Διασπάσεις-Ανάλυση Σφάλματος- Νόρμες Άσκηση. Δίνεται το μητρώο Α [ ; ; ]. Για όλα τα ερωτήματα υποθέτουμε ότι οι πράξεις γίνονται με α.κ.υ. σ.ψ. και ότι μας απασχολούν μόνον σφάλματα στρογγύλευσης. α. Βρείτε το δείκτη κατάστασης του Α με χρήση των φυσικών νορμών, και «άπειρο».. Βρείτε με τη μέθοδο Gss μια λύση για το σύστημα Αx(,-5,) Τ, δουλεύοντας με α.κ.υ. σημαντικών ψηφίων και στρογγύλευση. γ. Θεωρώντας μόνον σφάλματα στρογγύλευσης κατά τους υπολογισμούς, ρείτε φράγματα για το σχετικό σφάλμα της λύσης του παραπάνω συστήματος. δ. Εξετάστε αν ο πίνακας Α είναι θετικά ορισμένος, χωρίς να γίνει χρήση του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Στη συνέχεια επαληθεύστε, υπολογίζοντας τις ιδιοτιμές. ε. Θεωρούμε συστήματα της μορφής Axb, όπου Α[ 6 ; - ; 9 ; 7 ] και b τυχαίο διάνυσμα. Να διατυπωθεί τυπικά και να υπολογισθεί η πλέον αποδοτική διάσπαση για το μητρώο Α. Απαντήσεις

15 α) Υπολογίζουμε τώρα τον Α - με τη μέθοδο Gss-Jordn: [Α Ι] [Ι Α - ]. Λόγω της ειδικής μορφής του Α, παρατηρούμε ότι τα μηδενικά στοιχεία των στηλών και παραμένουν και στον αντίστροφο! (απλή εφαρμογή Γραμμικής Άλγερας). Λαμάνουμε τελικά: A Δουλεύοντας τώρα με κάθε νόρμα ξεχωριστά έχουμε: Νόρμα : Α, Α -.667, k(α) Α Α - * Νόρμα «άπειρο»: Α, Α -.5, k(a)6 Νόρμα : Α ρ ( A Τ A). Εδώ θα πρέπει να υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές του Α Τ Α. Ο Α δεν είναι συμμετρικός, οπότε θα είχαμε Α ( A Τ ρ A) ρ ( A ) ( ρ ( A)) ρ(α). Οδηγούμαστε λοιπόν υποχρεωτικά στην εύρεση των ριζών του χαρακτηριστικού πολυωνύμου φ(λ)det(α Τ Α-λI) που είναι ένα πλήρες πολυώνυμο τρίτου αθμού, όχι εύκολα παραγοντοποιήσιμο. Θα υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές με τη οήθεια του Mtb (επαληθεύστε τα αποτελέσματα!): eig(a'*a) [.759,.586,.88] Τ Binv(Α); eig(b'*b) [.99,.9,.76] Τ απ όπου: Α και Α και επομένως: k(a) Α Α Επιεαιώνουμε: cond(a,).7866 Παρατηρούμε ότι ο δείκτης κατάστασης είναι μικρός, οπότε μπορούμε να δεχθούμε το σχετικό υπόλοιπο ως ενδεικτικό για την τάξη μεγέθους του σχετικού σφάλματος. ) Εφαρμόζουμε απαλοιφή στον επαυξημένο [Α b], με b(,-5,) Τ, εκτελώντας τις πράξεις σε α.κ.υ. σ.ψ. Λαμάνουμε: [ A b] / Εφαρμόζοντας απαλοιφή και πίσω αντικατάσταση, υπολογίζουμε τελικά μια προσεγγιστική λύση x*: x*[.5, -.5,.67] Τ Παρατηρούμε ότι με α.κ.υ..σ.ψ. υπάρχει κατ αρχήν απώλεια σ.ψ. στη διαίρεση /.5.66., οπότε η τρίτη συνιστώσα δεν είναι ακριής!

16 γ) Εφαρμογόζουμε τη διπλή ανισότητα για τον δείκτη κατάστασης. r σ / k(a) ε σ r σ * k(a) () Υπολογίζουμε τις εμπλεκόμενες ποσότητες, ενδεικτικά με τη νόρμα «άπειρο»: r r σ b b Ax b * (σχετικό υπόλοιπο-resid) Είναι b Ax * [,, -.] ] Τ (αυτό το περιμέναμε!), b, b Ax *., οπότε: r σ.e- Η () γράφεται:.e-5 ε σ..e- δ) Από το θεώρημα των κύκλων Gerchgorin προκύπτει λ- λ, λ- λ (ρέθηκε η μια ιδιοτιμή) λ- λ, που συναληθεύουν στο [, ]. Εξ άλλου o A είναι προφανώς αντιστρέψιμος και επομένως το δεν είναι ιδιοτιμή. Επομένως λ (,] και άρα ο Α είναι θετικά ορισμένος. Οι ιδιοτιμές του Α υπολογίζονται άμεσα από την det(a-λι): λ - det( ) λ - λ A ( λ ) ( )( )( ) λ λ λ λ - λ και συνεπώς λ, λ, λ, όλες θετικές και ρ(α). ε) O Α είναι ταινιακός. Θα μπορούσαμε έαια να διαπιστώσουμε ότι είναι και αντιστρέψιμος ελέγχοντας την ορίζουσα (εδώ det(a)8 ), αλλά αυτό μπορεί να ελεγχθεί κατά την εφαρμογή του αλγορίθμου διάσπασης!. Υποθέτοντας ότι δεν υπάρχουν εναλλαγές γραμμών (PI), επιχειρούμε λοιπόν τη διάσπαση. Αν δεν ισχύει η υπόθεση, θα προκύψει μη επιτρεπτή πράξη: διαίρεση δια (ο οδηγός είναι, δηλ. μη συμιαστό σύστημα):

17 A LU 6 από όπου παίρνουμε το σύστημα: /(-6) * (-.565) / * Επομένως ο Α είναι άμεσα διασπάσιμος. Σημείωση: Επιεαιώνουμε στο Mtb: >> L*U ns Παρατήρηση: Το Mtb στη διάσπαση LU εφαρμόζει μερική οδήγηση (και στους ταινιακούς πίνακες). Συνεπώς, όταν P I (εναλλαγή οδηγού με άλλον μεγαλύτερο σε απόλυτη τιμή), οι L και U δεν έχoυν την παραπάνω μορφή στην έξοδο. Αντ αυτού θα ισχύει PALU. Δοκιμάζουμε: >> [L, U, P](A) L U P Πράγματι P I και εύκολα επαληθεύουμε ότι PΑLU.

18 Άσκηση. Στα παρακάτω ερωτήματα υποθέτουμε ότι δουλεύουμε με α.κ.υ. 5 σημαντικών ψηφίων. Δίνεται ο πίνακας : A 5 α) Με άση ιδιότητες του Α (ρείτε τις και αιτιολογείστε τις), υπολογίστε μια γρήγορη διάσπαση LU του Α, χωρίς να εφαρμοσθεί η κλασσική απαλοιφή (Gss). ) Είναι όλες οι ιδιοτιμές του Α πραγματικές και γιατί; γ) Εξετάστε αν ο Α είναι θετικά ορισμένος χωρίς να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές του. Βρείτε διαστήματα στα οποία ανήκουν οι ιδιοτιμές δ) Εξετάστε τώρα αν υπάρχει απλούστερη διάσπαση για τον Α. Εάν υπάρχει, δώστε την, υπολογίζοντας τον ή τους απαιτούμενους πίνακες. Απαντήσεις: α) Ο Α προφανώς έχει αυστηρή διαγώνια κυριαρχία και επομένως είναι αντιστρέψιμος και άμεσα διασπάσιμος: ΑLU. Επειδή είναι και είναι τρισδιαγώνιος, οι τριγωνικοί πίνακες L και U έχουν τις γνωστές ειδικές μορφές: Ο L περιέχει στην η διαγώνιο, τα στοιχεία i,i (i,,) (κάτω διαγώνιος του L) στην κάτω διαγώνιο και στα υπόλοιπα στοιχεία. Ο U περιέχει τα ii (i,,) στη η διαγώνιο και τα i,i (i,,) της πάνω διαγωνίου του Α στην πάνω διαγώνιό του: A LU * Από την ταυτότητα ALU καταλήγουμε συστηματικά στις παρακάτω εξισώσεις ως προς ij και ii. L ()U () L ()U ().5 5L ()U.75 -L ()U () -.5 L ()U ().7895 L U.585 L U.65

19 και επομένως οι L και U έχουν καθοριστεί πλήρως. ) Παρατηρούμε ότι ο Α είναι συμμετρικός και συνεπώς έχει πραγματικές ιδιοτιμές, σύμφωνα με γνωστή πρόταση της Γραμμικής Άλγερας. γ) Βρήκαμε ότι οι ιδιοτιμές του Α είναι πραγματικές. Εφαρμόζουμε τώρα το Θεώρημα των κύκλων του Gershgorin και λαμάνουμε ότι οι ιδιοτιμές λ ανήκουν στην εξής ένωση κύκλων: Ε(Α) C[(,), ] C[(5,), ] C[(,), ] C[(,), ] ή ισοδύναμα κάθε ιδιοτιμή λ πληροί μια από τις ανισότητες: λ-, λ-5, λ-, λ- από όπου προκύπτουν οι ανισότητες - λ-, - λ-5, - λ-, - λ- ή: λ 5, λ 7, λ 5, λ Παρατηρούμε ότι όλες οι ιδιοτιμές οριοθετούνται σε θετικά διαστήματα, επομένως είναι θετικές. Πιο συγκεκριμένα, οι παραπάνω ανισότητες συναληθεύουν στο διάστημα Ε(Α)[,7], άρα θα είναι λ >. Αφού ο πίνακας Α είναι συμμετρικός και έχει θετικές ιδιοτιμές, από σχετικό θεώρημα είναι θετικά ορισμένος. Παρατήρηση: Το ότι ο Α είναι θ.ο., μπορεί να εξαχθεί άμεσα: είναι συμμετρικός, παρουσιάζει α.δ.κ. και έχει θετικά διαγώνια στοιχεία. δ) Η απλούστερη διάσπαση είναι η διάσπαση Choeski, η οποία ισχύει στην περίπτωσή μας, αφού ο Α είναι συμμετρικός και θ.ο.: Α L L T όπου L κάτω τριγωνικός πίνακας. Επειδή ο Α είναι τρισδιαγώνιος, ο L θα έχει διδιαγώνια μορφή: α α α α L Η Α L L T τώρα γράφεται: * T LL A

20 Οι άγνωστοι α i και j υπολογίζονται από το σύστημα ijl (i)(l T ) (j) L (i)l (j)t, i,j,..,, το οποίο προφανώς ανάγεται (λόγω συμμετρίας) σε σύστημα 7 διαφορετικών εξισώσεων με 7 αγνώστους, το οποίο αναμένουμε φυσικά να έχει πραγματικές λύσεις: α α α.5 α 5 α 5 (.5).75 α.79 α - -/ α α (-.588).7895 α.67 α / α α (.5987).66 α.8 Συνεπώς:. L , με ΑLL T.8 Άσκηση. Δίνεται ο πίνακας A[ ; 8 5 ; 5 8 ; ]. Υποθέτουμε ότι δουλεύουμε σε α.κ.υ. σημ. ψηφίων με εφαρμογή στρογγύλευσης και ότι μας απασχολούν μόνον σφάλματα οφειλόμενα σε απώλεια ακρίειας κατά τους υπολογισμούς. α) Αφού εξετάσετε διεξοδικά και αναφέρετε όλες τις ιδιότητες του Α, να δικαιολογήσετε και να δώσετε την απλούστερη δυνατή (από πλευράς μνήμης-ταχύτητας) διάσπαση του Α, υπολογίζοντας τους εμπλεκόμενους πίνακες. ) Πόσο «καλός» υπολογιστικά είναι ο Α για την επίλυση ενός συστήματος Axb (b R ) και γιατί; Παίζει ρόλο το b; γ) Για ποια πραγματικά k συγκλίνει η επαναληπτική μέθοδος x k kax k- c (c R, δοθέν) για κάθε αρχικό x ; Απαντήσεις α) Ο Α είναι συμμετρικός τρισδιαγώνιος, έχει α.δ.κ. και θετικά διαγώνια στοιχεία. Οι δύο τελευταιες ιδιοότητες εξασφαλίζουν το ότι είναι θ.ο. Επομένως ο Α επιδέχεται την απλούστερη και πλέον αποδοτική σε μνήμη και ταχύτητα διάσπαση, τη διάσπαση Choeski: ALL T. O L θα είναι της μορφής: α L α α α Από την ταυτότητα:

21 L T L A Λαμάνουμε 5 εξισώσεις με 5 αγνώστους. Βρίσκουμε τελικά: L ) Υπολογίζουμε το δείκτη κατάστασης: Α A Α -.5 Άρα k(a)6.5. Λόγω της μικρής τιμής του k(a), o Α είναι υπολογιστικά καλός ανεξαρτήτως της τιμής του σταθερού διανύσματος b. Μπορούμε λοιπόν να εμπιστευθούμε το σχετικό υπόλοιπο έναντι του σχετικού σφάλματος. ) Η επαναληπτική μέθοδος συγκλίνει εάν και μόνον εάν ρ(ka)<, δηλαδή θα πρέπει kρ(α)< ή k</ρ(α). Βρίσκουμε λοιπόν τις ιδιοτιμές του Α: det(λι-α) ( ) ) )( )( )( ( 5 8 ) )( ( λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ Συνεπώς ρ(α) και η ζητούμενη συνθήκη είναι: k</. Άσκηση. Δίνεται ο πίνακας (μητρώο) A και το διάνυσμα b: A[ ; 8 ; 8 ; ], b[ -] Τ Έστω επίσης ότι ισχύει α.κ.υ. σ.ψ. Με εφαρμογή της μεθόδου Gss-Jordn (ή στο Mtb ) ρίσκουμε τον Α - : Α - [. ; ; ;.5]

22 α) Κάνοντας τους κατάλληλους υπολογισμούς, πόσο «καλός» περιμένετε να είναι ο Α για την υπολογιστική επίλυση ενός συστήματος Axc και γιατί; Παίζει ρόλο σ αυτό και η τιμή του σταθερού διανύσματος c ή όχι; ) Θεωρούμε τώρα το συγκεκριμένο σύστημα Αxb. Να δώσετε με συστηματικό τρόπο και με πλήρη δικαιολόγηση φράγματα για το σχετικό σφάλμα ε σ της λύσης. α) Χωρίς καν να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές ρείτε διαστήματα στα οποία αυτές ρίσκονται. Υπάρχει κάποιο συμπέρασμα? ) Ποιες είναι τώρα οι ιδιοτιμές του Α και ποια η φασματική ακτίνα ρ(α); [Υπόδειξη:όλες οι ιδιοτιμές είναι ακέραιοι] γ) (α) Με άση και τα παραπάνω, δώστε τώρα όλες τις μέχρι τώρα εμφανείς ιδιότητες του Α:,, κλπ. () Χωρίς να εφαρμοσθεί οποιοδήποτε σύνθετος υπολογισμός στον Α, πως μπορούμε να αποφανθούμε ότι ο Α μπορεί να παραγοντοποιηθεί χωρίς να απαιτούνται εναλλαγές γραμμών? δ) Ο αλγόριθμος του Grot, υπολογίζει συστηματικά και άμεσα τον L και U, από την απαίτηση ALU, χωρίς να εφαρμόζει τυπικά τη γνωστή μέθοδο LU. Εφαρμόστε τoν συστηματικά, για τον υπολογισμό των L και U, αφού λάετε υπ όψη και άλλη ιδιότητα του Α (από το ερώτημα (γ)) για την εύρεση των τελικών μορφών των L και U. ε) Λαμάνοντας τώρα υπ όψιν όλες τις ιδιότητες του Α, υπάρχει απλούστερη ακόμα παραγοντοποίηση για τον Α και ποια είναι αυτή; Προσαρμόστε τον αλγόριθμο Grot στην περίπτωση αυτή, υπολογίζοντας τον, ή τους, εμπλεκόμενους πίνακες. Απαντήσεις: α) Αρκεί να ρούμε το δείκτη κατάστασης k(a) του Α. Με χρήση της νόρμας «άπειρο» ρίσκουμε: Α, Α - και άρα k(a) Α Α -. Παρατηρούμε ότι ο k(a) είναι σχετικά μικρός και επομένως ο Α θα είναι υπολογιστικά καλός (συμφωνία σφάλματος και υπολοίπου). Το σταθερό διάνυσμα δεν παίζει ρόλο. ) Αν ε σ το σχετικό σφάλμα, ως γνωστόν ισχύει η ανισότητα r σ / k(a) ε σ r σ * k(a) όπου r σ b-ax * / b το σχετικό υπόλοιπο. Λύνοντας το Αxb με Gss και ακρίεια σ.ψ., υπολογίζουμε την προσεγγιστική λύση x * : x * (.,.667, -.8, -.5) Τ Βρίσκουμε τώρα: rb -Ax *.e-5 *(,.,., -.) Τ b r σ r / b.e-6 και τελικά:.85e-7 ε σ.665e-5 α) Σύμφωνα με το Θ. των κύκλων του Gerschgorin οι ιδιοτιμές ρίσκονται στην ένωση κύκλων: C[(,), ] C[(8,), ] C[(,),], δηλ. ικανοποιούν τις ανισότητες -λ, 8-λ

23 , -λ, που συναληθεύουν στην λ. Συνεπώς λ> και άρα ο Α είναι θετικά ορισμένος. Σημείωση: Το ότι ο πίνακας Α είναι συμμετρικός και θ.ο. συνάγεται άμεσα από το γεγονός ότι έχει α.δ.κ. και θετικά τα διαγώνια στοιχεία. Επομένως θα είναι και λ>. ) Οι ιδιοτιμές είναι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου φ(λ)det(a-λι). Αναπτύσσοντας την ορίζουσα προκύπτει αμέσως: det((a-λι) λ 8 λ 8 λ λ (-λ)(-λ)[(8-λ) - ] (-λ)(-λ)[(8-λ-)(8-λ) (-λ)(-λ)(-λ)(-λ) Συνεπώς οι ιδιοτιμές είναι οι,, και. Η φασματική ακτίνα είναι ρ(α). γ) (α) Ο Α είναι συμμετρικός, τρισδιαγώνιος και θετικά ορισμένος. Επιπλέον έχει α.δ.κ. και ως εκ τούτου αντιστρέψιμος. () Επειδή ο Α είναι α.δ.κ. (ή επειδή ο Α είναι θ.ο.), σύμφωνα με σχετικό θεώρημα, ισχύει η άμεση διάσπαση ΑLU (δεν υπάρχουν εναλλαγές γραμμών, ή PI). δ) Επειδή ο Α είναι τρισδιαγώνιος θα ισχύει η διάσπαση (οι L και U θα έχουν απαραίτητα διδιαγώνια μορφή): ΑLU όπου οι προσδιοριστέοι άγνωστοι είναι μόνον 5: οι και ii, i,,. Εξισώνοντας συστηματικά κατά στήλες, λαμάνουμε τελικά (εδώ παραλείπονται οι ενδιάμεσες εξισώσεις):. L..5., U. 8 6 ε) Επειδή ο Α είναι συμμετρικός και θ.ο. ισχύει η διάσπαση Choeski ALL T, όπου L κάτω τριγωνικός. Αφού ο Α είναι και τρισδιαγώνιος, το ίδιο θα είναι και ο L, δηλαδή θα ισχύει: L(,)L(,)L(,). Επιπλέον, παρατηρούμε αμέσως ότι θα είναι και L(,)L(,). Επομένως οι προσδιοριστέοι άγνωστοι είναι μόνον. Θέτουμε:

24 L και Α Εξισώνοντας συστηματικά κατά στήλες, λαμάνουμε τελικά (εδώ παραλείπονται οι ενδιάμεσες εξισώσεις): L Άσκηση.5 Δίνεται ο πίνακας A και το διάνυσμα b: A[ ; 8 5 ; 5 8 ; ], b[ -] Τ Υποθέτουμε ότι δουλεύουμε σε α.κ.υ. σημ. ψηφίων με εφαρμογή στρογγύλευσης και ότι μας απασχολούν μόνον σφάλματα οφειλόμενα σε απώλεια ακρίειας κατά τους υπολογισμούς. Υπόδειξη: O Α - υπολογίζεται εύκολα. Έχει την ίδια μορφή με τον Α με Α - (,)/α, Α - (,)/α και με κεντρικό x μπλόκ ίσο με το αντίστροφο του αντίστοιχου μπλοκ του Α: Α - (:, :) [A(:, :)] - ) Εξετάζοντας προσεκτικά και διεξοδικά τις ιδιότητες του Α, δώστε και δικαιολογείστε την απλούστερη δυνατή παραγοντοποίηση LU του Α, υπολογίζοντας τους απαραίτητους πίνακες. ) Πόσο «καλός» υπολογιστικά είναι ο Α για την επίλυση ενός συστήματος Axc (c R ) και γιατί; ) Δώστε με συστηματικό τρόπο και με πλήρη δικαιολόγηση αριθμητικά φράγματα για το σχετικό σφάλμα ε σ της λύσης του συστήματος Αxb. Να γίνει χρήση της νόρμας «άπειρο». Απαντήσεις ) Διαπιστώνουμε άμεσα ότι ο Α είναι τρισδιαγώνιος, συμμετρικός, με αυστηρή διαγώνια κυριαρχία και με θετικά διαγώνια στοιχεία. Επομένως είναι θετικά ορισμένος και συνεπώς επιδέχεται διάσπαση Choeski ΑL T L όπου L κάτω τριγωνικός (εναλλακτικά μπορούμε να φθάσουμε στο ίδιο συμπέρασμα εφαρμόζοντας το Θεώρημα των κύκλων Gerschgorin). Όπως και στην άσκηση, συμπεραίνουμε ότι ο L θα έχει τη διδιαγώνια μορφή:

25 α α α α L και συνεπώς θα είναι: * T LL A Έχουμε 5 εξισώσεις με 5 αγνώστους. Επιλύοντας συστηματικά τις προκύπτουσες εξισώσεις με α.κ.υ. σ.ψ., λαμάνουμε τελικά: L ) Θα υπολογίσουμε το δείκτη κατάστασης k(a) με χρήση της νόρμας. Ο Α - θα είναι παρομοίως τρισδιαγώνιος και συμμετρικός και υπολογίζεται εύκολα: Α A Α - k(a)* O δείκτης κατάστασης είναι της τάξης του και συνεπώς το μητρώο Α αναμένεται να έχει καλή υπολογιστική συμπεριφορά για την επίλυση ενός συστήματος Αxc: δηλ. μπορούμε να εμπιστευτούμε το σχετικό υπόλοιπο για την τάξη μεγέθους του σχετικού σφάλματος. ) Το σχετικό σφάλμα ε σ ως γνωστόν φράσσεται: r σ / k(a) ε σ r σ * k(a) όπου r σ b-ax * / b το σχετικό υπόλοιπο. Λύνοντας το Αxb με Gss και ακρίεια σ.ψ., υπολογίζουμε την προσεγγιστική λύση x * : x * (.,.5, -.8, -.5) Τ Εξ άλλου είναι (οι υπολογισμοί πάντα σε α.κ.υ. σ.ψ. και στρογγύλευση!): rb-ax *.e-5 *(,., -., -.) Τ b r σ r / b f(.85e-6) n.85e-6

26 και τελικά:.e-7 ε σ.5e-5 Άσκηση.6 Δίνεται ο πίνακας Α Υποθέτουμε ότι δουλεύουμε με αριθμητική κινητής υποδιαστολής σημαντικών ψηφίων. () Εξηγείστε, κάνοντας τους απαραίτητους υπολογισμούς, πως μπορεί να διαπιστωθεί ότι ο Α είναι μη ιδιάζων (αντιστρέψιμος). (α) Πoια ιδιότητα θα πρέπει να είχε ο Α, για να μπορούσε να διαπιστωθεί με το ελάχιστο υπολογιστικό κόστος (χωρίς να γίνει απαλοιφή) ότι είναι αντιστρέψιμος; () Πoια ιδιότητα θα πρέπει να είχε ο Α, για να μπορούσε να διαπιστωθεί με το ελάχιστο υπολογιστικό κόστος ότι είναι άμεσα παραγοντοποιήσιμος (δηλ. ALU); () Υποθέτουμε ότι εφαρμόζουμε εις το εξής απαλοιφή με μερική οδήγηση για την παραγοντοποίηση LU του Α. Τότε, παρατηρώντας προσεκτικά τη μορφή του Α και χωρίς καμία απολύτως αριθμητική πράξη, δώστε σε ένα ήμα μια οικονομική μορφή παραγοντοποίησης του Α, υποδεικνύοντας τους αγνώστους που πρέπει να υπολογισθούν. Δικαιολογείστε. () Υπολογίστε συστηματικά τους αγνώστους, όπως προκύπτουν από την μορφή παραγοντοποίησης της (.), εφαρμόζοντας α.κ.υ. σημαντικών ψηφίων. (5) Τι περιμένετε να σας επιστρέψει η κλήση [L, U, P](Α) της συνάρτησης στη γλώσσα MATLAB; (6) Φράξτε τις ιδιοτιμές του Α σε διαστήματα, χωρίς να τις υπολογίσετε. (7α) Καλώντας τη συνάρτηση eig(b) της MATLAB για τον υπολογισμό των ιδιοτιμών του πίνακα Β[e ; e ; e ; e ]A, λαμάνουμε: ns Είναι ο Β θετικά ορισμένος και γιατί; (7) Τι μπορείτε τότε να συμπεράνετε για την επιτυχία της διάσπασης Choeski για τον πίνακα Β; Απαντήσεις () Εφαρμόζουμε απαλοιφή Gss (με ή χωρίς οδήγηση). Καταλήγουμε τελικά στον αναγμένο κλιμακωτό πίνακα RΙ R x, άρα ο Α είναι μη ιδιάζων (αντιστρέψιμος). (α) Αν είχε α.δ.κ., οπότε, όπως γνωρίζουμε, θα ήταν αντιστρέψιμος.

27 () Αν και πάλι είχε α.δ.κ., οπότε, όπως γνωρίζουμε, θα ήταν ΑLU με PI. () Εναλλάσσοντας τις γραμμές και (>) έχουμε Β PA, με P[e ; e ; e ; e ] Παρατηρούμε όμως ότι ο Β είναι τρισδιαγώνιος. Tότε γνωρίζουμε ότι o Β παραγοντοποιείται ως εξής: Β LU * (δεύτερη διαγώνιος του U δεύτερη διαγ. του B) και άρα μια οικονομική μορφή διάσπασης είναι B PΑ LU * Σημ. Παρατηρούμε ότι η περαιτέρω απαλοιφή δεν εναλλάσσει γραμμές. () Σύμφωνα με τα παραπάνω, ξεκινάμε από την ανάπτυξη της ταυτότητας BPΑLU και υπολογίζουμε συστηματικά τους αγνώστους i,i- και ii από τις εξισώσεις που προκύπτουν. Αναπτύσσοντας τις χρήσιμες εξισώσεις κατά στήλες του Α λαμάνουμε: b L U b L U, άρα.5 b - L U (,,, ) (,,, ) Τ, άρα -.5 b L U (,,, ) (,,, ) Τ, και άρα.5 f( ) n (α.κ.υ. σ.ψ.) και παρομοίως:.67 (α.κ.υ. σ.ψ.),.75 και.5. (5) Ακριώς τα αποτελέσματα που πήραμε παραπάνω, μαζί με τον πίνακα μετάθεσης: [L, U, P](Α) L , U

28 P (6) Από το Θ. των κύκλων του Gerschgorin έχουμε ότι οι ιδιοτιμές ρίσκονται στην ένωση των κύκλων C(( ii, ), R i) του μιγαδικού επιπέδου με R i Σ ij, i j. Για την περίπτωση του Α έχουμε: R, R, R, R και επομένως για τις ιδιοτιμές λ ικανοποιούνται οι σχέσεις: λ- <, λ- <, λ- <, λ- < δηλαδή οι λ ρίσκονται στην ένωση των κύκλων: C((, ), ) C((, ), )[, 6]. (7α) H τρίτη ιδιοτιμή είναι αρνητική. Συνεπώς ο Α δεν είναι θ.ο. αφού δεν ισχύει η ικανή και αναγκαία συνθήκη λ>. (7) Αφού ο Β δεν είναι θ.ο., η διάσπαση δεν είναι εφικτή. Σημείωση: Πράγματι στο Μtb θα είχαμε: R cho(a) %cho: προκαθορισμένη συνάρτηση του συστήματος που υλοποιεί την μέθοδο Choeski??? Error sing > cho Mtrix mst be positive definite. Άσκηση.7 Δίνεται το σύστημα Axb με A[ - ; - - ; - ] και b[..6 -.] Με εφαρμογή της μεθόδου Gss-Jordn (ή στο Mtb ) ρίσκουμε τον Α - : Α - [ ; ; ] α) Χωρίς καν να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές ρείτε διαστήματα στα οποία αυτές ρίσκονται. ) Να δοθούν τώρα οι νόρμες, και «άπειρο» του Α. Ποιες είναι οι ιδιοτιμές του Α και ποια η φασματική ακτίνα ρ(α); [Υπόδειξη: τουλάχιστον μια ιδιοτιμή που θα ρείτε είναι ακέραιος αριθμός] γ) Με άση και τα παραπάνω, δώστε τώρα όλες τις μέχρι τώρα εμφανείς ιδιότητες του Α: αντιστρέψιμος,,, κλπ. δ) Ενδιαφερόμαστε για την παραγοντοποίηση LU του Α. Χωρίς να εφαρμοσθεί οποιοδήποτε σύνθετος υπολογισμός, πως μπορούμε να αποφανθούμε ότι ο Α μπορεί να παραγοντοποιηθεί χωρίς να απαιτούνται εναλλαγές γραμμών? ε) Ο αλγόριθμος του Grot που διδάχτηκε στο μάθημα, υπολογίζει συστηματικά τον L και U, από την απαίτηση ALU, χωρίς να εφαρμόζει τυπικά τη γνωστή μας από την Γραμμική Άλγερα μέθοδο LU. Λαμάνοντας τώρα υπ όψιν και άλλη τυχόν ιδιότητα του Α (από το ερώτημα (γ)). εφαρμόστε τoν συστηματικά, δίνοντας τελικά τα L και U.

29 ζ) Λαμάνοντας τώρα υπ όψιν όλες τις ιδιότητες του Α, υπάρχει απλούστερη παραγοντοποίηση για τον Α? Προσαρμόστε τον αλγόριθμο Grot στην περίπτωση αυτή, υπολογίζοντας τον, ή τους, εμπλεκόμενους πίνακες. Απαντήσεις α) Οι ιδιοτιμές φράσσονται σε διαστήματα που υπαγορεύονται από το Θ. κύκλων Gersgorin. Επομένως έχουμε ότι οι ιδιοτιμές ανήκουν στην εξής ένωση κύκλων κέντρων ( ii, ) και ακτίνων R iσ ij, j,,n με j i: λ C[(,), )] C[(,), )] C[(,), )] δηλ. τελικά λ [, ]. Επιπλέον, επειδή det(a-*i)det(a), το δεν είναι ιδιοτιμή (δηλ. ο Α είναι αντιστρέψιμος) και συνεπώς λ (, ], δηλαδή όλες οι ιδιοτιμές είναι θετικές και άρα ο Α είναι θετικά ορισμένος. ) Υπολογίζουμε έυκολα: A, και A Αφού ο Α είναι συμμετρικός, αναμένουμε πραγματικές ιδιοτιμές. Έχουμε: Det(A-λΙ) λ λ λ (-λ)[(-λ)(-λ)-][-(-λ)](-λ)(λ -5λ5-)(-λ)(λ -5λ) απ όπου λ και λ, 5 ± ±, δηλαδή: λ και λ Επομένως η φασματική ακτίνα ρ(α). Προφανώς ο Α είναι συμμετρικός. Η νόρμα συμμετρικού μητρώου προκύπτει άμεσα, συγκεκριμένα είναι ίση με τη φασματική του ακτίνα: A ρ(α Τ Α) ρ(αα) ρ(α ) ( ρ(α) ) ρ(α) δηλαδή A στην περίπτωσή μας. Σημείωση: Εναλλακτικός υπολογισμός της ορίζουσας με χρήση γραμμικότητας (δεν προτιμάται εδώ, αλλά καλόν είναι να εφαρμόζεται για μεγέθη μητρώων >): λ λ λ λ λ ( λ ) ( λ ) λ λ λ

30 ( λ ) λ (-)(-λ) [-(-λ)(-λ)] (λ-)[-λ 5λ-] λ λ γ) Οι άμεσα ορατές ιδιότητες είναι: συμμετρικός και τρισδιαγώνιος (ταινιακός). Επίσης είναι θετικά ορισμένος, αφού όλες οι ιδιοτιμές είναι θετικές όπως ρέθηκε, και άρα αντιστρέψιμος. δ) Ο Α είναι θετικά ορισμένος και άρα από σχετικό θεώρημα είναι ΑLU (δεν απαιτούνται εναλλαγές γραμμών, δηλ. PI) ε) Αφού ο Α είναι και τρισδιαγώνιος, το ίδιο θα ισχύει και για τους U και L. Άρα στην ταυτότητα Α LU, θα είναι: L( ij) κάτω τριγωνικός με L(i,i) και L(,) U( ij) άνω τριγωνικός με στοιχεία της ης διαγωνίου (,)(,)- και (,) (,)- και ((,). Συνεπώς υπάρχουν συνολικά 5 άγνωστοι. Εξισώνοντας συστηματικά λαμάνουμε τελικά: L. και.6 U.667. (Παραλείπονται εδώ οι ενδιάμεσες εξισώσεις, ο αναγνώστης μπορεί να επαληθεύσει). ζ) Ναι. Αφού ο Α είναι θετικά ορισμένος (ιδιοτιμές θετικές) και συμμετρικός, επιδέχεται διάσπαση Choeski: Α LL T ή ΑU T U () Αφού Α τρισδιαγώνιος, το ίδιο θα είναι και ο U. Συνεπώς, για την προσαρμογή του αλγορίθμου Grot, απαιτούμε να ισχύει η (), όπου U ( ij)άνω τριγωνικός και (,). Άρα υπάρχουν συνολικά 5 άγνωστα ij. Εξισώνοντας συστηματικά και με ανάλογο τρόπο όπως πιο πάνω ρίσκουμε τελικά:.7 U L T Άσκηση.8 Δίνεται το σύστημα Axb με A[ - ; - - ; - ] και b[..6 -.] Τ α) Πόσο «καλός» περιμένετε να είναι ο Α για την υπολογιστική επίλυση ενός συστήματος Axc και γιατί; Παίζει ρόλο σ αυτό και η τιμή του σταθερού διανύσματος c ή όχι; ) Θεωρούμε τώρα το συγκεκριμένο σύστημα Αxb. Να δώσετε με συστηματικό τρόπο και με πλήρη δικαιολόγηση φράγματα για το σχετικό σφάλμα ε σ της λύσης.

31 Απαντήσεις: α) Βρίσκουμε πρώτα τον αντίστροφο του Α με εφαρμογή της μεθόδου Gss-Jordn: [A I] [I A - ] Εύκολα ρίσκουμε: A και A -.5 Κριτήριο για την υπολογιστική συμπεριφορά του Α είναι ο δείκτης κατάστασης k(α). Eίναι k(a) A Α - *.5 5 που ρίσκεται πολύ κοντά στο, δηλ. ο Α έχει καλή κατάσταση: το σχετικό σφάλμα συμαδίζει με το σχετικό υπόλοιπο, το οποίο είναι «αξιόπιστο» ως προς την ακρίεια της υπολογιστικής επίλυσης του συστήματος Axc ανεξάρτητα της τιμής του c. ) Για το σχετικό σφάλμα ε σ ισχύει η ανισότητα: r σ / k(a) < ε σ < r σ * k(a) () Το σχετικό υπόλοιπο ορίζεται: r σ r / b b-ax * / b Επιλύουμε πρώτα το Axb με τη μέθοδο Gss ρίσκοντας μια προσέγγιση x * του x: x * [ ] Όσον αφορά τα υπόλοιπα μεγέθη, είναι: rb-ax * [-.e-6.e-6] r 8.88e-6 b 7., και άρα r σ.e-6 Αντικαθιστώντας στην () ρίσκουμε τα συγκεκριμένα φράγματα:.67e-7 < ε σ < 6.68Ε-6 Σημ. Το πόσο καλός είναι ο Α (k(a)5) επαληθεύεται ακριώς από τη «στενότητα» του παραπάνω διαστήματος. Άσκηση.9 Δίνεται ο πίνακας A και το διάνυσμα b: A[. -. ; -. ;. ], b[ ] T Υποθέτουμε ότι εργαζόμαστε με αριθμητική κ. υ. σ.ψ. α) Μπορεί να διασπασθεί ο Α στη μορφή ΑPLU με PI και γιατί; (εξηγείστε χωρίς να εφαρμόσετε μέθοδο Gss)

32 ) Να ρεθούν οι L και U και P (με ή χωρίς οδήγηση) της διάσπασης LU, χωρίς να εφαρμοσθεί απαλοιφή Gss. Τι παρατηρείτε αν εφαρμόζατε μερική οδήγηση; γ) Να ρεθεί ο δείκτης κατάστασης του Α. (νόρμα ). δ) Να ρεθούν φράγματα για το σχετικό σφάλμα ε σ του συστήματος Axb. Διατυπώστε και εξηγείτε με σαφήνεια τα απαιτούμενα ήματα Απαντήσεις: α) O A έχει προφανώς α.δ.κ. και ως εκ τούτου (όπως γνωρίζουμε από σχετικό θεωρητικό αποτέλεσμα), διασπάται άμεσα : ΑLU (δεν υπάρχουν ανταλλαγές γραμμών ή ισοδύναμα PI) ) Γράφουμε την ταυτότητα ALU απαιτώντας (i,i), Lκάτω τριγ. και Uάνω τριγ. Α * που δίνει ένα γραμμικό σύστημα με 9 αγνώστους ( ij και ij). Εξισώνοντας συστηματικά τα Α(i,j) με τα στοιχεία του Αx κατά στήλες, λαμάνουμε: Στοιχεία ης στήλης: A(,) L U (,) A(,) L U (,) (,) (,) A(,). L U (,) (,) (,). Στοιχεία ης στήλης: A(,). L U (,) A(,)- L U (,) (,)(,) (,) - *. -. A(,) L U (,) (,)(,)(,) (,) -.*./(-.) f(.65) n.6 Στοιχεία ης στήλης: A(,)-. L U (,) A(,). L U (,) (,)(,) (,). *(-.). A(,) L U (,) (,)(,)(,)(,) (,) (.)*(-.)-.65*(.) f(.85) n.8 Επομένως οι L και U έχουν καθορισθεί πλήρως. γ) Είναι A. Υπολογίζουμε τώρα τον Α με τη μέθοδο Gss-Jordn. Τελικά λαμάνουμε κάνοντας πράξεις σε α.κ.υ. σ.ψ.:.958 A οπότε: A - f(.995) n.

33 Τελικά έχουμε k(a) A A -. r δ) Αν e r το σχετικό σφάλμα και r r το σχετικό υπόλοιπο, τότε ισχύει η b ανισότητα: r r /k(a) e r r r * k(a) () Υπολογίζουμε τώρα το r r : r r r b b Ax b * όπου x * είναι η υπολογιζόμενη λύση του Αx * b. Λύνουμε τώρα το Αx * b εφαρμόζοντας απαλοιφή Gss και με α.κ.υ. σ.ψ. Τελικά λαμάνουμε: x * [.88,.,.958 ] τ Στη συνέχεια ρίσκουμε τις απαιτούμενες υπόλοιπες ποσότητες: b, και: b-ax * [, -., -.] τ b-ax * 7.77e-6 οπότε τελικά λαμάνουμε: r r 7.77e-6/.9e-6 Άρα η () γίνεται:.9e-6/. e r.*.9e-6 6.e-7 e r 6.56e-6 Το σχετικό σφάλμα επομένως φράσσεται (όπως αναμενόταν) σε πολύ στενό διάστημα. Άσκηση. Δίνεται ο πίνακας A[- ; ; 6] και θεωρούμε τον ΒΑ Τ Α. Υποθέτουμε επίσης ότι δουλεύουμε με αριθμητική κινητής υποδιαστολής 5 σ.ψ. και ότι ισχύουν μόνον σφάλματα οφειλόμενα σε στρογγύλευση κατά τους υπολογισμούς. α) Χωρίς σύνθετους υπολογισμούς, να ελέγξετε αν ο Β είναι θετικά ορισμένος. Δικαιολογείστε πλήρως την απάντησή σας. ) Βρείτε τη νόρμα του Β ( B ). γ) Υπολογίστε το δείκτη κατάστασης του Β (με χρήση της νόρμας ). Σχολιάστε σχετικά. δ) Να υπολογισθούν επακριώς όλες οι ιδιοτιμές του Β. Ποιο το συμπέρασμά σας? ε) Αναφέρατε ποιές μορφές διάσπασης επιδέχεται ο Β και γιατί. Στη συνέχεια δικαιολογείστε και υπολογίστε επακριώς την απλούστερη δυνατή μορφή διάσπασής του.

34 ζ) Δίνεται τώρα το διάνυσμα b[ ] T. Πως μπορεί να λυθεί κατόπιν της (ε), το σύστημα Bxb? Βρείτε τη λύση του. η) Δώστε αριθμητικά φράγματα για το σχετικό σφάλμα της προσεγγιστικής λύσης του Bxb που ρήκατε στο ερώτημα (η). θ) Γράψτε εντολές στη Mtb για τον υπολογισμό/επαλήθευση των ζητούμενων ή αναφερομένων στα ερωτήματα ()-(ζ) Απαντήσεις: α) ος τρόπος Η απλούστερη αιτιολόγηση δεν απαιτεί καν την εύρεση του γινομένου Α Τ Α: αφού ο Α είναι αντιστρεπτός (υπολογίζουμε μόνον την ορίζουσα και ρίσκουμε det(a) -66, ή ρίσκουμε εναλλακτικά ότι οι οδηγοί είναι μη μηδενικοί), τότε ο ΒΑ Τ Α είναι θ.ο. ος τρόπος: Υπολογίζουμε το γινόμενο: B A T A 6 Ο Α Τ Α είναι συμμετρικός και έχει α.δ.κ. με θετικά διαγώνια στοιχεία. Επομένως είναι θ.ο. ος τρόπος: Με εφαρμογή του Θ. των κύκλων Gerschgorin διαπιστώνουμε εύκολα ότι λ(α Τ Α)>, άρα ο Α Τ Α είναι θ.ο. ) Ο Β είναι συμμετρικός και θ.ο. και συνεπώς B λ mx(β). Υπολογίζουμε τις ιδιοτιμές. Προφανώς λ 6 και οι υπόλοιπες δύο λαμάνονται από: λ ( λ )( λ ) 6 λ λ λ απ όπου λαμάνουμε τελικά: λ 8.59 και λ.85. Συνεπώς B γ) Υπολογίζουμε: B 6 και λ mx(β)6. B B / 6.78 n mx j,..., n bij (.7.8). i / 6.78 Συνεπώς: k(a) B B.76 (μικρή τιμή κοντά στο!) Η τιμή του δείκτη κατάστασης είναι μικρή και κοντά στο. Επομένως η υπολογιστική συμπεριφορά του Β αναμένεται να είναι καλή για τη λύση ενός συστήματος Axb. Αυτό

35 σημαίνει ότι μπορούμε να εμπιστευτούμε την τιμή του σχετικού υπολοίπου r σ (b- Ax*) / b (x* είναι η υπολογιζόμενη προσέγγιση της λύσης του Axb) για την εκτίμηση του σχετικού σφάλματος. δ) Οι ιδιοτιμές του Β υπολογίσθηκαν ήδη στο ερώτημα (). Παρατηρούμε ότι είναι θετικές, γεγονός άλλωστε αναμενόμενο: αφού ο Β είναι συμμετρικός και θ.ο. θα έχει θετικές ιδιοτιμές. ε) Ελέγχουμε τις δυνατότητες παραγοντοποίησης του Β, μια προς μια: Επειδή ο Β έχει α.δ.κ. (εναλλακτικά: επειδή ο Β είναι συμμετρικός και θ.ο.), επιδέχεται διάσπαση LU: ΒLU, όπου L κάτω τριγωνικός με στην κύρια διαγώνιο και U άνω τριγωνικός. Αρκετοί από τους αγνώστους υπολογίζονται άμεσα: αφού ο Β είναι ταινιακός, ο U θα έχει στην επάνω διαγώνιό του τα στοιχεία της διαγωνίου του Β (- και ). Επιπλέον, επειδή η η γραμμή του Β έχει εκτός από το διαγώνιο στοιχείο, το ίδιο θα συμαίνει και για την αντίστοιχη γραμμή του L (άμεσο συμπέρασμα από τον πολλαπλασιασμό μητρώων!). Ανάλογη παρατήρηση ισχύει και για την η στήλη του U σε σχέση με την η στήλη του Β, αν και έχουμε ήδη καλυφθεί, αφού έχουμε ρει μηδενικά στις αντίστοιχες θέσεις. Συνεπώς έχουμε τελικά μόνον αγνώστους! B LU 6 Δεν θα τους υπολογίσουμε αφού επικεντρωνόμαστε στην ύπαρξη και δεύτερης διάσπασης: Επίσης, ο Β είναι συμμετρικός και θ.ο. και άρα επιδέχεται διάσπαση Choeski: AC T C, όπου C κάτω τριγωνικός. Πρόκειται, ως γνωστόν, για την αποδοτικότερη διάσπαση από άποψη μνήμης (απαιτείται μόνο ένας τριγωνικός πίνακας) και υπολογιστικού χρόνου (μικρότερος αριθμός πράξεων). Αυτή ακριώς αναλύουμε στη συνέχεια. Επειδή η η γραμμή (και η η στήλη) του Β έχουν μηδενικά στις μη διαγώνιες θέσεις, το ίδιο πρέπει να συμαίνει και για την η γραμμή (και στήλη) του C. Συνεπώς προκύπτουν και πάλι άγνωστοι: B C T C 6 d b c d b c Λαμάνουμε συστηματικά: α.6 d- d -/ d b b(-.987 ) /.785 c6 b6 Δηλ. ο C ισούται: C ζ) Εφ όσον AC T C, η επίλυση του Axb ή του C T Cxb ανάγεται στην επίλυση των C T yb (με πίσω αντικατάσταση) και Cxy (με εμπρός αντικατάσταση). Συνεπώς έχουμε:

36 y y 6 y y.785y 6y.5 y / ( )/.6 y y x x x x x ( *.7) 6x.787 /.6.5 x.7 / και επομένως η λύση είναι: x(.7,.6,.8) T r η) Αν e r το σχετικό σφάλμα της λύσης και r r b φράγματα για το σχετικό σφάλμα δίνονται από την ανισότητα: το σχετικό υπόλοιπο, τότε r r /k(a) e r r r * k(a) () Στο προηγούμενο ερώτημα υπολογίσαμε με τη μέθοδο Choeski μια προσεγγιστική λύση του Βxb: x*(.7,.6,.8) T. Υπολογίζουμε τώρα το r r : r r r b b Ax b b 6 b-βx * [.6, -.98, ] τ b-βx *.595 * και λαμάνουμε: r r.599. Αντικαθιστώντας στην () παίρνουμε:.6 e r.85 θ) Δίνουμε ήμα προς ήμα τις εντολές Mtb για τους απαιτούμενους υπολογισμούς των ερ. ()-(η): A[- ; ; 6] b[ ] BA *A norm(b,) % ερ. () cond(b,) seig(b) [V, D] eig(b) [P, L, U] (B) Ccho(B) yc \b ; xc\y xc\(c \b); re_res norm(b-b*x,)/norm(b,) ristero_frgmre_res/cond(b,) dexio_frgmre_res*cond(b,) % ερ. (γ) % ερ. (δ): μόνον ιδιοτιμές % ερ. (δ): ιδιοδιανύμσατα και ιδιοτιμές % ερ. (ε) % ερ. (ζ) % ερ. (ζ) με μια μόνον εντολή. %ερ. (η)

37 Άσκηση. Σε ένα πρόλημα τμηματικής παρεμολής μιας συνάρτησης f με κυικά πολυώνυμα, σε n σημεία x k με x k <x k, οδηγούμαστε στην επίλυση του εξής γραμμικού συστήματος n- εξισώσεων με n αγνώστους: h k ( hk hk ) k hk k dk k k, k,..., n k όπου h k x k x k και Δ k είναι τα δεδομένα (τμήματα παρεμολής και διαιρεμένες διαφορές Δ k [x k,x k ]f αντίστοιχα) και μ k οι άγνωστοι (μ k S (x k )/6). Ακολούθως, συμπληρώνουμε το σύστημα, καθορίζοντας δύο αγνώστους με τις συνοριακές συνθήκες: μ και μ n (φυσική κυική spine). α) Δέχεται το προκύπτον σύστημα Ημd πάντα λύση και γιατί? ) Υποθέτουμε ότι το n είναι μεγάλο και ότι αναζητούμε τη έλτιστη μέθοδο επίλυσης στον υπολογιστή. Ποια συγκεκριμένη μέθοδο θα προτείνατε και γιατί? Περιγράψτε τα ήματά της. γ) Θεωρούμε τώρα n, h i, i,,, και το διάνυσμα d[.5,,] T. Εφαρμόστε τη μέθοδο που προτείνατε στο () και υπολογίστε το μ (πράξεις σε α.κ.υ. 5 σ.ψ.). δ) Έχει καλή κατάσταση ο Η και γιατί? Δίνεται norm(inv(h),).. ε) Κάνετε εκτίμηση σφάλματος για την λύση που ρήκατε στο (γ), υπολογίζοντας κατάλληλα αριθμητικά φράγματα. ζ) Γράψτε ήμα προς ήμα όλες τις απαιτούμενες εντολές στη Mtb για τον υπολογισμό/επαλήθευση όλων των ζητούμενων ή εμπλεκομένων ποσοτήτων στα ερωτήματα (γ)-(ε) Απαντήσεις α) Λαμάνοντας υπ όψη και τις συνοριακές συνθήκες, δίνουμε τη γενική μορφή του Ημd: ( h h ) h h ( h h ) h ( h h h ) h h ( h h ) n n n n d Παρατηρούμε ότι ο H είναι συμμετρικός και ταινιακός (τρισδιαγώνιος). Επιπλέον έχει α.δ.κ., αφού h i> και (h k- h k-)> h k- h k-). Συνεπώς είναι αντιστρέψιμος και το σύστημα Hμd έχει πάντοτε λύση. ) Ο H είναι συμμετρικός, έχει α.δ.κ. και διαγώνια στοιχεία θετικά, συνεπώς είναι θ.ο. Άρα ο Η επιδέχεται διάσπαση Choeski: H C T C, όπου C είναι κάτω τριγωνικός με μηδενικά στο αντίστοιχο κάτω τριγωνικό του μέρος (όπως ο Η), δηλ. περιλαμάνει μόνον δύο διαγωνίους: C c c c c n, n cnn