Tok električnog polja. Gaussov zakon. Tok vektora A kroz danu površinu S definiramo izrazom:

Transcript

1 Definicija (općenito): Tok električnog polja. Gaussov zakon Tok vektora A kroz danu površinu definiramo izrazom: Φ A d A d cosϕ A n komponenta vektora A okomita na element površine d d ϕ < 90 Φ > 0 A n d - vektor, okomica na površinu d ϕ > 90 Φ < 0 A d Φ 0 Primjer vektorskog polja je električno polje. pozitivan (+) (izvor) negativan (-) (ponor)

2 Gaussov zakon za električno polje Analogija s točkastim izvorom svjetlosti (svjetlost se širi pravocrtno na sve strane). Uzmimo točkasti izvor svjetlosti i povucimo par kružnica oko izvora. Brojimo zrake svjetlosti koje prolaze kroz površinu kružnice (kugle). Zaključak: Broj zraka svjetlosti kroz svaku kružnicu (kuglu) je konstantan.

3 Gaussov zakon za električno polje 2 lično, uzimamo točkasti naboj. El. polje prikazujemo silnicama, a gustoća silnica mjeri jakost el. polja. + Brojimo silnice koje prolaze kroz površinu kružnice (kugle). Zaključak: Broj silnica kroz svaku kružnicu (kuglu) je konstantan. Ili Tok polja kroz svaku zatvorenu površinu je konstantan. plohu

4 Za kružnicu je: Gaussov zakon za električno polje 3 E d d d E 2 4πε 0 R Integriramo po kugli, a R je konstanta na kugli. Φ Q 4πε 0 2 4R π 2 R Q ε 0 Q R d

5 Tok polja kroz zatvorenu površinu koja ne sadrži naboj Na radijalnim plohama je mjer vektora površina a je suprotan vektoru površine b, tj. ( E d + E d ) a a b b E d Φ 0 Ostane doprinos ploha a i b Jer je broj silnica koje ulaze u plohu a jednak broju silnica koje izlaze iz b, pišemo: Φ a Φ b d d a b, E, E a b suprotan smjer isti smjer ( E d ( 1) + E d 1) 0 a a b b

6 Zaključak: Tok električnog polja (što ga proizvodi točkasti naboj Q) kroz proizvoljnu zatvorenu površinu koja sadržava naboj iznosi Q/ε 0 ; tok kroz proizvoljnu zatvorenu površinu koja NE sadrži naboj jednak je nuli. E n d E ϕ proizvoljn zatvorena a površina cos d Q ε 0 0 Q Q unutar izvan

7 Koliki je tok električnog polja kroz pojedinu plohu? : q1 ε 0 ': q + q 2 3 ε 0 '': 0

8 Proširenje na više naboja E 1 + E Uzmimo 2 naboja, Q 1 i Q 2. Jer vrijedi 2 E E1 n 2n d 1n ( + E ) E d + E2 n d Tok polja od dva naboja jednak je zbroju tokova polja koji potječu od pojedinih naboja Q 1 i Q 2. Proširenje na više naboja daje Gaussov zakon za električno polje (osnovni zakon elektrostatike):

9 Gaussov zakon Tok električnog polja kroz proizvoljnu zatvorenu površinu/plohu jednak je algebarskom zbroju naboja koji se nalaze unutar te površine, podijeljenom s permitivnošću vakuuma ε 0 : E n d zatvorena proizvoljna površina algebarskizbrojnaboja unutar ε E d 0 i i(unutar ) ε 0 Q Gaussov zakon temelji se na činjenici da električno polje opada s r 2. Za drugačiju ovisnost el. polja Gaussov zakon ne bi vrijedio.

10 Gledamo n tj. kontinuirano rasporeñeni naboj E d V Q ρdv ρ gustoća naboja 1 ε 0 V ρdv V volumen obuhvaćen površinom Gaussov zakon Uvodimo operator nabla: i + j + k x y z Uz Gaussov teorem iz A d AdV matematike: E d V EdV 1 ε 0 V V ρdv E Diferencijalni oblik Gaussovog zakona ρ ε 0

11 KVIZ 1. U središtu sfere radijusa 1 m nalazi se naboj Q 1 C. Ako se radijus sfere smanji na pola metra, što će se dogoditi s tokom električnog polja kroz sferu i iznosom električnog polja na sferi? a) Tok i polje će porasti. b) Tok i polje će se smanjiti. Q c) Tok raste, polje opada. d) Tok opada, polje raste. r 2 r e) Tok je isti, polje raste. 1 f) Tok opada, polje ostaje isto. 2. U dijelu prostora u kojem nema slobodnih naboja postavljena je zatvorena kutija u električno polje. Koji zahtjev mora biti ispunjen da bi ukupni tok električnog polja kroz kutiju bio nula? a) Polje mora biti homogeno. b) Kutija mora biti simetrična. c) Kutija mora biti orijentirana u prostoru ovisno o smjeru polja. d) Ništa od navedenoga tok je uvijek nula.

12 3. Ako je tok električnog polja kroz neku plohu jednak nuli, koje tvrdnje moraju biti istinite? a) Unutar plohe nema naboja. b) Ukupni naboj unutar plohe je nula. c) Električno polje jednako je nuli na površini plohe. d) Broj silnica koje ulaze u plohu jednak je broju silnica koje izlaze iz plohe. 4. Naboj koji doprinosi toku električnog polja kroz plohu je: a) q 1 b) q 4 c) q 2 i q 3 d) svi naboji e) niti jedan naboj 5. Naboj koji doprinosi ukupnom el. polju na nekoj točki površine je: a) q 1 b) q 4 c) q 2 i q 3 d) svi e) nijedan

13 6. ferna zatvorena ploha okružuje točkasti naboj q. Što se dogaña s ukupnim tokom el. polja kroz plohu ako: a) naboj triput povećamo, b) radijus sfere udvostručimo, c) sfera prijeñe u kocku, d) naboj pomaknemo u neku drugu točku unutar plohe? 7. Nañi tok električnog polja kroz svaku od ploha.

14 Ravnoteža naboja u elektrostatskom polju i vodiču 1. Može li se točkasti naboj nalaziti u stanju stabilne ravnoteže u elektrostatskom polju drugih naboja? Objasni. 2. Postoji li točka stabilne ravnoteže za slobodni naboj u metalu? Objasni. N.Cindro, Fizika 2

15 Električno polje i naboj u vodiču vodič - materijal u kojem postoje slobodni naboji (obično elektroni) koji se mogu gibati pod djelovanjem el. polja Može se pokazati da u vodiču nema ravnotežnog položaja za naboj. talno el. polje izvana uzrokuje neprestano gibanje elektrona po vodiču (el. struja). Ako nema polja, elektroni miruju. Obrnuto! El. polje unutar vodiča u kojem se naboji nalaze u (ravnoteži) mirovanju, jednako je nuli. E 0 ( unutar vodica )

16 Električno polje i naboj u vodiču 2 Pokažimo da se sav slobodni naboj u vodiču nalazi na samoj površini vodiča, tj. da u unutrašnjosti vodiča nema naboja. Dokaz: Uzmimo vodič nepravilna oblika s ukupnim nabojem Q. Q Uzmimo površinu paralelnu sa. Gaussov zakon daje: (Q je naboj unutar ) je unutar vodiča, a tamo je Φ E d ' 0 Q' 0 Q' Φ ε E 0 0 Jer je proizvoljna Naboj na vodiču je rasporeñen isključivo po površini vodiča.

17 E cosϑ Posljedica 1 mjer električnog polja neposredno uz vodič je okomit na površinu. Dokaz: Pretpostavimo suprotno, tj. neka polje ima smjer pod nekim kutom ϑ. Jer naboji na površini vodiča miruju, zaključujemo da je E sin ϑ 0. E ϑ E sinϑ To je moguće samo ako je kut ϑ 0. Drugim riječima: površina vodiča Električno polje u neposrednoj blizini vodiča ima smjer okomit na površinu vodiča..

18 Posljedica 2 Jakost električnog polja u neposrednoj blizini nabijenog vodiča. Budući da je naboj rasporeñen samo po površini vodiča, uvodimo površinsku gustoću naboja σ. σ dq d σ Uzmimo uski valjak koji hvata komadić površine i primjenimo Gaussov zakon: E Φ σ ε 0 E Q ε σ 0 ε 0 Polje je proporcionalno lokalnoj gustoći naboja. E

19 Pokus: metalni elipsoid Električno polje i naboj u vodiču 3 E b E a Kušalicom prenosimo naboj na elektroskop plošna gustoća naboja nije ista! Gustoća naboja na polovima je veća nego na ekvatoru!

20 E b E a Pokus: metalni elipsoid E b Električno polje i naboj u vodiču 4 Gustoća naboja na polovima je veća nego na ekvatoru! Dokaz: E a dv Ekvator Eb da Geometrija Totalni diferencijal E a a b + c Može se pokazati da je na beskonačno malim udaljenosti da od pola el. polje E a iznosi: dv db c a b E E z z z z( x, y) dz dx + dy x y ( 2 ) ( 2 c c ) ( 2 d c ) da + db a b a b db da

21 E b E a Pokus: metalni elipsoid ( 2 ) d c 2ada 2bdb E b Električno polje i naboj u vodiču 5 E a E E a b db da c a b ( 2 ) ( 2 c c ) ( 2 d c ) da + db a b ( 2 ) ( 2 c c ) a 2 a 2b b ve ekvipotencijalne plohe su konfokalne (imaju ista žarišta) dc 0 0 a db 2ada 2bdb b E a da a E b Omjer jakosti el. polja na polu i ekvatoru jednak je omjeru velike i male poluosi! b

22 Pokus: metalni šuplji valjak Kušalicom prenosimo naboj na elektroskop plošna gustoća naboja nije ista! U unutrašnjosti vodiča nema naboja. Gustoća naboja je najveća na šiljcima! Električno polje i naboj u vodiču 6 Šiljci nabijenog vodiča mogu biti mjesta veoma jakih elektrostatskih polja! Šiljak u zraku privlači ione iz zraka ioni ioniziraju molekule i atome plina + ioni(atomi zraka) se gibaju u jednom, a ioni u drugom smjeru zrak postaje vodljiv Šiljak izbija nabijeno tijelo!

23 Primjene šiljaka: Električno polje i naboj u vodiču 7 Pomoću uzemljenog šiljka možemo izbiti nabijenu kuglu. Pozitivno nabijen šiljak približen plamenu svijeće otklanja plamen. (U plamenu ima + nabijenih čestica koje se odbijaju od šiljka.) Električno kolo. Šipka sa šiljastim krajevima savijenim u oblika slova, može se vrtjeti oko vertikalne osi. (Izmeñu + naboja na šiljcima i + naboja nastalih u zraku dolazi do odbijanja.)

24 Faradayev kavez Gledamo poseban slučaj - šuplji vodič. Jer se sav naboj nalazi na površini vodiča, unutar vodiča je polje jednako nuli (primjer šuplje nabijene kugle). Primjena: Zaštita električnih ureñaja od el. polja drugih ureñaja. Faradayev kavez: Metalni žičani kavez koji se ponaša kao šuplji vodič.

25 Primjena Gaussova zakona Polje nabijene metalne kugle. Gledamo polje u proizvoljnoj točki P izvan nabijene kugle polumjera R. E P R P R En d E( r) 1 4πε E 0 Q 2 r d E 4r 2 π E( r) Gauss Q ε 0 ; r < 1 Q ; r 2 4πε 0 r 0 R R

26 Primjena Gaussova zakona Izračunaj električno polje jednoliko nabijene sfere ukupnog naboja Q gustoće naboja ρ, polumjera a napravljene od izolatorskog materijala.

27 Primjena Gaussova zakona

28 Primjena Gaussova zakona Tanka sferna ljuska radijusa a nosi naboj Q koji je jednoliko raspodijeljen na njenoj površini. Odredi električno polje unutar i izvan sfere.

29 Primjena Gaussova zakona 2 Polje izmeñu 2 paralelne ploče nabijene jednakim nabojem Q suprotnog predznaka. Ako udaljenost izmeñu ploča d nije velika, polje je homogeno. Jer je polje homogeno, površinska gustoća naboja σ Q/. Uzimamo mali pravokutnik površine. Količina naboja na je Q σ. Ed Q ε 0 E 1 E σ σ ε 0 ε 0