Materijali u el. polju. Dielektrici
|
|
|
- Ξενοφών Βαμβακάς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Materijali u el. polju. Dielektrici do sada električna polja u vakuumu i ponašanje vodiča u el. polju. Izolatori u električnom polju? Izolator naboj se ne može slobodno gibati nema utjecaja na E?? POGREŠNO! Michael Faraday ( ) engleski fizičar i kemičar otkrio elektromag. indukciju, zakone elektrolize i dijamagnetizam; tvorac suvremenog elektromagnetizma Pokus: pločasti kondenzator, elektroskop, izolator
2 Faradayev pokus s dielektrikom izmeñu ploča kondenzatora Materijali u el. polju. Dielektrici 2 Jedna obloga kondenzatora je spojena na elektroskop ubacimo sloj izolatora (staklo, papir, sl) listiće se skupe
3 Materijali u el. polju. Dielektrici 3 Listići se skupili smanjila se razlika potencijala izmeñu ploča Naboj na pločama se nije mogao promijeniti, a jer vrijedi: Q Povećao se kapacitet kondenzatora!!! = CU Faraday niz pokusa Za dani materijal, kapacitet kondenzatora poveća se uvijek za isti iznos. dielektrik grč. dia (kroz) Materijal kroz koji prolazi el. polje, ali sam ne vodi elektricitet. Zašto dielektrici pokazuju električna svojstva premda sami ne vode elektricitet?
4 Pokus 2. Materijali u el. polju. Dielektrici 4 Nabijeno tijelo u blizini električnog njihala. Izmeñu tijela i njihala stavimo vodič nema privlačenja U el. polju oko nabijenog tijela na ploči se indukcijom razdvaja naboj. Unutar vodiča nema naboja. E = prekida se utjecaj polja Vodič razara električno polje. Nabijeni vodič ne utječe na njihalo. tzv. efekt vodiča.
5 Pokus 2. Materijali u el. polju. Dielektrici 4a Nabijeno tijelo u blizini električnog njihala. Izmeñu tijela i njihala stavimo izolator njihalo se otklanja (slabije) Električno polje prolazi kroz izolator. Zašto se smanji otklon njihala kad je prisutan izolator? Objašnjenje je u polarizaciji (kasnije).
6 Materijali u el. polju. Dielektrici 5 Zašto dielektrici pokazuju el. svojstva iako sami ne vode elektricitet? Objašnjenje: vodič u el. polju elektroni se slobodno kreću izolator u el. polju elektroni vezani uz atomske jezgre, ali ipak se malo pomaknu prema + naboju Pomaci su lokalni mikroskopska područja izolatora dobiju el naboj! Taj naboj zovemo inducirani naboj ili inducirani dipolni naboj. Ukupni naboj na izolatoru (makroskopski) ostaje jednak nuli.
7 Polarizacija dielektrika Zašto dielektrici pokazuju el. svojstva iako sami ne vode elektricitet? Objašnjenje ide preko grañe atoma: Svaki atom se sastoji od pozitivno nabijene jezgre oko koje se okreću negativni elektroni. Ukupni naboj atoma je jednak nuli, a centar sila koje djeluju na + i - naboje se nalazi u istoj točki. Stavimo li atom u el. polje, doći će do pomaka jezgre u jednom, a elektrona u drugom smjeru. Rezultat = centri + i naboja više nisu u istoj točki dobili smo dipole.
8 Polarizacija dielektrika 2 Rezultat = centri + i naboja više nisu u istoj točki dobili smo dipole. Što je polje jače razmicanje naboja je veće. Neka se u svakom atomu nalazi naboj Q i neka se pod djelovanjem polja pomakne za δ N broj atoma u jedinici volumena dipolni moment po jedinici volumena: P = NQδ P dielektrična polarizacija ili samo polarizacija (smjer + naboja)
9 Polarizacija dielektrika 3 Postoje 2 vrste molekula s obzirom na el. svojstva dielektrika: polarne molekule imaju permanentni el. dipolni moment Primjeri - molekule H 2 O, HCl, NH 3,.. Postoje i čvrste tvari koje imaju vlastiti dipolni moment bez djelovanja vanjskog polja - elektreti Primjer vosak. Rastopimo vosak, stavimo u el. polje, skrutnemo vosak privlači papiriće. Dipoli u skrutnutom vosku ostanu poredani. nepolarne molekule težište + i naboja padaju u istu točku (nemaju permanentni el. dipolni moment) nepolarne molekule u el. polju težišta naboja se pomaknu i od neutralne molekule nastaju inducirani dipoli
10 Polarizacija dielektrika 4 Izolator u el. polju: a) induciranje dipolnih mimenata b) orijentiranje permanentnih dipola Budući se dipoli postave u smjeru polja (polariziraju se) pojava se zove POLARIZACIJA dielektrika Za razliku od metala, naboj na površini dielektrika nije slobodan, nego je vezan za molekule ne površini dielektrika.
11 Susceptibilnost, permitivnost i dielektričnost materijala Promatramo dielektrik u kondenzatoru. Ako je polje unutar kondenzatora homogeno polarizacija je posvuda jednaka višak naboja samo na rubovima Na jednom rubu se negativni naboji pomaknu prema van za pomak δ, a na drugom rubu se elektroni pomaknu u dielektrik za isti pomak. Rezultat: Na površinama se stvara naboj polarizacije. Izračunajmo ga. N broj elektrona u jediničnom volumenu σ pol = Q / S = Nδ e Sδ volumen površinskog sloja Od prije izraz isti kao za polarizaciju σ pol = P Polarizacija u dielektriku je jednaka površinskoj gustoći naboja.
12 Susceptibilnost, permitivnost i dielektričnost materijala 2 Izračunajmo el. polje u kondenzatoru s dielektrikom: σ slob površinska gustoća naboja na pločama kond. σ pol površinska gustoća naboja na površini dielektrika Gaussov zakon ( Q / S ) σ slob i σ pol Q ES = su suprotnog predznaka E ( Q S ) σ = = / slob pol σ E = = E = σ σ slob P
13 E = Susceptibilnost, permitivnost i dielektričnost materijala 3 σ slob P Pretpostavljamo da je dielektrična polarizacija P P razmjerna električnom polju: slob e E E σ = χ E + χe E = σ slob E σ slob 1 = 1+ χ e = χ E e σ slob / Jakost električnog polja praznog kondenzatora 1+χ e Faktor smanjenja polja u dielektriku prema polju u vakuumu.
14 Susceptibilnost, permitivnost i dielektričnost materijala 4 E slob 1 = σ 1+ χ e Izračunajmo napon izmeñu ploča kondenzatora: U = Ed U = σ ( + χ ) 1 slob d e Napon se smanjio za faktor 1+χ e. Ukupni naboj je morao ostati isti Q = Q = σ slob S kapacitet C = Q/U C = σ σ slob slob 1 S d ( + χ ) e C S = ( + χ ) C = C ( 1 + χe ) 1 e Kapacitet pločastog kondenzatora u koji smo umetnuli dielektrik povećao se za faktor 1+χ e. d
15 Susceptibilnost, permitivnost i dielektričnost materijala 5 Pretpostavljamo da je dielektrična polarizacija P razmjerna električnom polju (vrijedi za umjereno jaka polja): P = χe E χ e električna susceptibilnost - bezdimenziona veličina - ovisi o temperaturi 1+χ e = relativna permitivnost r = 1+ χ e C ( ) + χ = = permitivnost dielektrika S = 1+ χe d 1 e r ( ) 1 E slob = σ 1+ χ e S C = d E = σ slob [ ] = [ ] r [ ] [ ][ ] 2 1 = 2 r = C N m [ ] 1
16 Susceptibilnost, permitivnost i dielektričnost materijala 6
17 Gaussov zakon u općem obliku "Zbroj silnica koje izlaze iz zatvorenog prostora jednak je 1/ puta algebarski zbroj slobodnog naboja u tom prostoru" zatv. površina 1 E cosϑds = Q Vrijedi za slobodni naboj. Kako to proširiti na dielektrike? Uzmimo dielektrik izmeñu ploča kondenzatora i primjenimo Gaussov zakon: E σ σ pol = E = ( Q Q ) ( ) pol ES = Q Q pol 1 S Q-Q pol - Algebarski zbrojeni naboji (slobodni i inducirani) unutar Gaussove površine cosϑ Proširenje Gaussovog zakona: 1 zatv. površina 1 EdS = E ds = Q + Q ( pol )
18 Električno polje u kondenzatoru. Električni pomak Električni pomak umnožak električnog polja i permitivnosti dielektrika D = E D = E Za vakuum je = D = E Električni pomak je vektorska veličina čiji je smjer identičan smjeru el. polja, ali mu je iznos puta veći od E. Slično el. silnicama, možemo uvesti silnice vektora pomaka. 1 EdS = E cosϑds = Q zatv. površina ( ) E S = Q E Q = σ = σ = S r DdS = D cosϑds = Q zatv. površina Gaussov zakon površinski integral normalne komponente pomaka po zatvorenoj površini jednak je alg. zbroju slobodnog naboja koji ta površina zatvara.
19 D = E [ D] = [ ][ E] Električni pomak [ D] = C N m Vm = Cm 1 1 [ V ] JC = = NmC Slično el. silnicama, možemo uvesti silnice vektora pomaka. 1 EdS = E cosϑds = Q zatv. površina DdS = D cosϑds = Q zatv. površina Gaussov zakon za opći slučaj Površinski integral normalne komponente pomaka po zatvorenoj površini jednak je algebarskom zbroju slobodnog naboja koji ta površina zatvara.
20 Sile meñu nabojima u dielektriku 1 QQ ' Kulonska sila izmeñu 2 naboja (Q, Q') u vakuumu je: F = 2 4π r Što se dogaña ako je naboj u dielektriku? Promatrajmo nabijenu kuglu u tekućini (izolator). Polje nabijene kugle stvara inducirane naboje u tekućini. Proizvoljna točka P Polje je jednako rezultanti djelovanja naboja na kugli i svih induciranih naboja u tekućini. Zbog promjene polja E mijenja se i izraz za silu (F = EQ)
21 Sile meñu nabojima u dielektriku 2 Izračunaj el. polje kugle ukupnog naboja Q uronjenu u beskonačni fluid permitivnosti = r. Uzmimo točku P na udaljenosti r od središta kugle. Gaussov zakon (površina je kugla polumjera r) kugli D cosϑ ds = D ds kugli D E E π Q 4π r 2 = D 4 r = Q D = 2 = = r 2 4π r r Polje u dielektriku je umanjeno za faktor r prema polju u vakuumu. E = 1 Q
22 E = Sile meñu nabojima u dielektriku 3 1 Q 2 π r 4 r Zašto se smanjilo polje? Primijenimo Gaussov zakon za dielektrike: kugli E cosϑds = E 4π r E = Kao da je na kugli efektivni naboj (Q-Q pol )! 2 kugli 1 4π 1 E cosϑds = Q Q Q Q pol r 2 ( ) pol 1 Q 1 Q Qpol Izračunajmo efektivni naboj (Q-Q pol )! = 2 2 4π r r 4π r Q Q Qpol = Efektivni naboj je 1/ r puta slobodni nabojq! r
23 Sile meñu nabojima u dielektriku 4 Sila izmeñu 2 naboja Q i Q' u dielektriku? Zaključivanjem! Sila na naboj Q': naboj Q naboj Q pol (izazvan u dielektriku od Q) naboj Q' pol (izazvan u dielektriku od Q') Q' pol = ; jer je simetrično rasporeñen oko naboja Q' (rezultanta je ) Djelovanje naboja Q pol smanjenje naboja Q na efektivnu vrijednost Q/ r.. 1 QQ ' 1 QQ ' F = = 2 2 4π r 4π r Sila izmeñu naboja u dielektriku je smanjena za faktor 1/ r. u odnosu prema sili istih naboja u vakuumu. r
24 Sile meñu nabojima u dielektriku 5 Primjer: Dvije metalne ploče, nabijene jednakim količinama suprotnog naboja, razdvojene su slojem dielektrika relativne permitivnosti r = 3, debljine,5 mm, Rezultirajuće polje u dielektriku iznosi 1 6 V/m. Valja izračunati: a) električni pomak u dielektriku: D = E = re D 3 8,85 1 = C / Vm 1 V / m = 2,655 1 C / m b) površinsku gustoću slobodnog naboja na pločama: σ σ E D pol = = r = = 2,655 1 C / m c) polarizaciju dielektrika: P χe E 5 2 = = ( 1 ) r E ( 3 1) 8,85 1 / 1 / 1, 77 1 / P = C Vm V m = C m
25 Sile meñu nabojima u dielektriku 6 Primjer: Dvije metalne ploče, nabijene jednakim količinama suprotnog naboja, razdvojene su slojem dielektrika relativne permitivnosti r = 3, debljine,5 mm, Rezultirajuće polje u dielektriku iznosi 1 6 V/m. Valja izračunati: d) gustoću naboja polarizacije na površini dielektrika: σ = pol P = 5 1,77 1 / e) komponentu el. polja u dielektriku koja dolazi od slobodnog naboja σ C m 6 E = = re = 3 1 V / m f) komponentu el. polja u dielektriku koja dolazi od inducir. naboja pol Epol = σ = χee = 2 1 V / m 6 2
26 Izvori električne energije El. polje Djeluje silom na naboje. Privlači ili odbija druge naboje. Djelovanje sile na putu = rad treba energija Odakle polju energija (tzv. električna energija)? Energiju daju izvori električne energije. Izvori pretvaraju druge oblike energije (mehaničku, svjetlosnu, kemijsku) u električnu.
27 Izvori električne energije 2 Pretvaranje mehaničke energije u električnu energiju Trljanje štapa vunom ili krznom najjednostavniji izvor Trljanjem premještamo naboj s jednog mjesta na drugo. WINTEROV stroj elektrostatički izvor energije - staklena ploča koja se vrti oko osi rotacione simetrije - elektrizira se dodirom (trenjem) ploče o dva komadića kože - Ploča prolazi kroz šuplji cilindar ( s unutarnje strane šiljci) spojen s kuglom. - Kugla se nabije pozitivno jer negativni naboji s kugle prelaze ne ploču - Vrlo malo iskorištenje. - Većina mehaničke energije se pretvara u toplinu.
28 Izvori električne energije 3 WIMSHURSTOV stroj elektrostatički izvor energije - Radi na principu električne influencije. - Dvije tanke ploče (izolatori) na kojima su nalijepljene metalne pločice. - Ploče se vrte u protivnim smjerovima oko zajedničke osi rotacije. - Ploče prolaze kroz četkice spojene s 2 kuglice. - Naboj se prenosi na te 2 kuglice (iskrice).
29 Izvori električne energije 4 VAN DE GRAFFOV stroj elektrostatički izvor energije - Vrpca od gumiranog platna se vrti izmeñu 2 valjka - Na donjem kraju vrpce se prskaju el. naboji (pomoću šiljaka). - Ti naboji vrpcom putuju u unutrašnjost šuplje kugle pokrivene šiljcima - Šiljci "oduzimaju" naboj s kugle i kugla postaje nabijena. - Postižu se vrlo visoki naponi (5 MV).
30 Izvori električne energije 4 Fotoelektrični efekt pretvorba svjetlosne energije Svjetlost pada na površinu metala i predaje energiju elektronima. Dovoljno velika energija elektroni napuštaju metal. Pretvaranje kemijske energije u električnu. Oslobaña se rad dok sistem teži k kemijskoj ravnoteži. Primjeri: Galvanski članci (Daniellov članak, kadmijev normalni element, akumulator) - 2 elektrode + elektrolit Elektromagnetska indukcija gibanjem vodiča u mag. polju razdvajanje naboja Elektromagnetska indukcija najrašireniji izvor.
31 Izvori električne energije 5 Izvor elektromotorne sile Ureñaj kojim se jedan oblik energije može prevesti u drugi. EMS (ili ) oznaka za izvor elektromotorne sile. EMS nije SILA, nego rad po jedinici naboja. = dw dq J C [ ] = = [ V ] Istosmjerni izvori na krajevima imaju 2 vodiča različitih potencijala. Vodič većeg potencijala (+), a nižeg (-). Izmjenični izvori razlika potencijal na polovima se vremenski sinusno mijenja.
32 Spajanje u seriju: Spajanje izvora električne energije Pozitivni pol jednog generatora EMS-a se spaja s negativnim polom drugog generatora. Oba spojena generatora imaju nužno isti potencijal. U = V V + V V = V V = U + U A1 B1 A2 B2 A1 B2 1 2 Ukupna elektromotorna sila je jednaka zbroju elektromotornih sila obaju generatora. n = i= 1 i Serijskim spojem dobivamo generator veće EMS.
33 Spajanje u paralelu: Spajanje izvora električne energije 2 Pozitivne krajeve generatora EMS-a spojimo u jednu točku, a negativne polove u drugu točku. U paralelu se spajaju samo izvori jednakih EMS. 1 = 2 = Ukupna elektromotorna sila je jednaka elektromotornoj sili jednog od generatora. Prednost dobiva se izvor EMS s povećanom energijom (proporcionalno broju izvora).
34 Spajanje izvora električne energije 2 Što se dogaña ako spojimo krajeve izvora EMS-a? Dolazi do gibanja naboja. Naboj teče od pozitivnijeg ka negativnijem (ustvari obrnuto). Električna struja usmjereno gibanje naboja. Pokus: Izvor spojimo preko tanke žice žica se zagrije, užari i pregori.
Popis oznaka. Elektrotehnički fakultet Osijek Stručni studij. Osnove elektrotehnike I. A el A meh. a a 1 a 2 a v a v. a v. B 1n. B 1t. B 2t.
Popis oznaka A el A meh A a a 1 a 2 a a a x a y - rad u električnom dijelu sustaa [Ws] - mehanički rad; rad u mehaničkom dijelu sustaa [Nm], [J], [Ws] - mehanički rad [Nm], [J], [Ws] - polumjer kugle;
Tok električnog polja. Gaussov zakon. Tok vektora A kroz danu površinu S definiramo izrazom:
Definicija (općenito): Tok električnog polja. Gaussov zakon Tok vektora A kroz danu površinu definiramo izrazom: Φ A d A d cosϕ A n komponenta vektora A okomita na element površine d d ϕ < 90 Φ > 0 A n
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
1. Rad sila u el. polju i potencijalna energija 2. Električni potencijal 3. Vodič u električnom polju 4. Raspodjela naboja u vodljivom tijelu 5.
ELEKTROSTTIK II 1. Rad sila u el. polju i potencijalna energija 2. Električni potencijal 3. Vodič u električnom polju 4. Raspodjela naboja u vodljivom tijelu 5. Dielektrik u električnom polju 6. Električki
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Slika 1. Električna influencija
Elektrostatika_intro Naboj, elektriziranje trenjem, dodirom i influencijom za vodiče i izolatore, Coulombov zakon, električno polje, potencijal i napon, kapacitet, spajanje kondenzatora, gibanje naboja
E L E K T R I C I T E T
Coulombov zakon E L E K T R I C I T E T 1. Dva sitna tijela jednakih naboja međusobno su udaljena 0,3 m i privlače se silom 50 μn. Koliko iznosi svaki naboj? Q = 2,2 10 ⁸ C 2. Odredi kolikom će silom međusobno
1. As (Amper sekunda) upotrebljava se kao mjerna jedinica za. A) jakost električne struje B) influenciju C) elektromotornu silu D) kapacitet E) naboj
ELEKTROTEHNIKA TZ Prezime i ime GRUPA Matični br. Napomena: U tablicu upisivati slovo pod kojim smatrate da je točan odgovor. Upisivati isključivo velika štampana slova. Točan odgovor donosi jedan bod.
SADRŽAJ. 1. Električni naboj 2. Coulombov zakon 3. Električno polje 4. Gaussov zakon 5. Potencijal elektrostatičkog polja
ELEKTROSTATIKA 1 SADRŽAJ 1. Električni naboj 2. Coulombov zakon 3. Električno polje 4. Gaussov zakon 5. Potencijal elektrostatičkog polja 1. Električki naboj Eksperiment Stakleni štap i svilena krpa nakon
Elektrodinamika ( ) ELEKTRODINAMIKA Q t l R = ρ R R R R = W = U I t P = U I
Elektrodinamika ELEKTRODINAMIKA Jakost električnog struje I definiramo kao količinu naboja Q koja u vremenu t prođe kroz presjek vodiča: Q I = t Gustoća struje J je omjer jakosti struje I i površine presjeka
Dielektrik u elektrostatskom polju
Seučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij ielektrik u elektrostatskom polju Polarizacija dielektrika snoe elektrotehnike I Jedno od osnonih sojstaa dielektrika
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
kondenzatori električna struja i otpor Istosmjerni strujni krugovi
kondenzatori električna struja i otpor Istosmjerni strujni krugovi - Dva vodiča, nose jednaki naboj suprotnog predznaka - kondenzator - Vodiče nazivamo ploče kondenzatora - Između ploča kondenzatora postoji
Elektrodinamika
Elektrodinamika.. Gibanje električnog naboja u električnom polju.2. Električna struja.3. Električni otpor.4. Magnetska sila.5. Magnetsko polje električne struje.6. Magnetski tok.7. Elektromagnetska indukcija
ELEKTRIČNO I MAGNETNO POLJE
ELEKTRIČNO I MAGNETNO POLJE Elektroni u mirovanju elektrostatika elektrostatska polja/sile dielektričnost ε 0 Elektroni u gibanju elektrodinamika magnetska polja/sile permeabilnost µ 0 Elektromagnetski
Dvoatomna linearna rešetka
Dvoatomna linearna rešetka Promatramo linearnu rešetku s dva različita atom u elementarnoj ćeliji. Konstanta rešetke je a. Udaljenost između susjednih različih atoma je a/2 Mase atoma su M 1 i M 2. (Neka
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Elektricitet i magnetizam. 2. Magnetizam
2. Magnetizam Od Oersteda do Einsteina Zimi 1819/1820 Oersted je održao predavanja iz kolegija Elektricitet, galvanizam i magnetizam U to vrijeme izgledalo je kao da elektricitet i magnetizam nemaju ništa
V(x,y,z) razmatrane povrsi S
1. Napisati izraz koji omogucuje izracunavanje skalarne funkcije elektricnog potencijala V(x,y,z) u elektrostaskom polju, ako nema prostornoo rasporedjenih elekricnih naboja. Laplaceova diferencijalna
Ampèreova i Lorentzova sila zadatci za vježbu
Ampèreova i Lorentzova sila zadatci za vježbu Sila na vodič kojim prolazi električna struja 1. Kroz horizontalno položen štap duljine 0,2 m prolazi električna struja jakosti 15 A. Štap se nalazi u horizontalnom
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
ELEKTROSTATIKA. Električni naboji. Električna sila, električno polje. Električni potencijal. Električna potencijalna energija
ELEKTROSTATIKA Električni naboji Električna sila, električno polje Električni potencijal Električna potencijalna energija Pokusi pokazuju da postoje dvije vrste električnih naboja: pozitivni i negativni
1. Osnovni pojmovi o elektricitetu
1. Osnovni pojmovi o elektricitetu 1.0. Uvod U ljetnim olujnim danima nastaju žestoke munje, koje imaju razornu moć. Svatko se zapita odakle munji ta energija. To su pitanje ljudi postavljali stoljećima.
ZADATCI S NATJECANJA
ZADATCI S NATJECANJA MAGNETIZAM 41. Na masenom spektrometru proučavamo radioaktivni materijal za kojeg znamo da se sastoji od mješavine 9U 35 9U. Atome materijala ioniziramo tako da im je naboj Q +e, ubrzavamo
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Što je to struja (općenito)? = tok čestica kroz neku plohu u jedinici vremena -molekule tekućine struja tekućine (vode) -molekule plina struja plina
Električna struja Što je to struja (općenito)? = tok čestica kroz neku plohu u jedinici vremena -molekule tekućine struja tekućine (vode) -molekule plina struja plina (zraka, vjetar) -nabijene čestice
SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
gdje je Q naboj što ga primi kondenzator, C kapacitet kondenzatora.
Zadatak 06 (Mimi, gimnazija) Elektična enegija pločastog kondenzatoa, kapaciteta 5 µf, iznosi J Kolika je količina naboja pohanjena na kondenzatou? Rješenje 06 = 5 µf = 5 0-5 F, W = J, =? Enegija nabijenog
Maxwellove jednadžbe
Maxwellove jednadžbe Povijesni uvod - u početku bijaše elektricitet i magnetizam grč. ελεκτρον = jantar Magnesia, pastir Magnus -električni naboj stvara električno polje; ne postoji magnetski naboj (monopol)
Elektricitet i magnetizam. 1. Elektricitet
1. Elektricitet Podsjetnik Dodatna literatura:, E.M.Purcel. Udžbenik fizike Sveučilišta u Berkeleyu. Najelementarnije: Fizika 2. V. Paar i V. Šips. Školska knjiga. 2 Povijest elektriciteta Tales iz Mileta
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Magnetsko polje ravnog vodiča, strujne petlje i zavojnice
Magnetske i elektromagnetske pojave_intro Svojstva magneta, Zemljin magnetizam, Oerstedov pokus, magnetsko polje ravnog vodiča, strujne petlje i zavojnice, magnetska sila na vodič, Lorentzova sila, gibanje
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Rotacija krutog tijela
Rotacija krutog tijela 6. Rotacija krutog tijela Djelovanje sile na tijelo promjena oblika tijela (deformacija) promjena stanja gibanja tijela Kruto tijelo pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa
Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)
Izvori magnetskog polja
Izvori magnetskog polja Biot-Savartov zakon - Hans Christian Oersted 1820. g. veza elektriciteta i magnetizma: električna struja u vodiču otklanja magnetsku iglu - Jean-Baptiste Biot (1774.-1862.) i Felix
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5?
Zadata 00 (Jasna, osnovna šola) Kolia je težina tijela ase 400 g? Rješenje 00 Masa tijela izražava se u ilograia pa najprije orao 400 g pretvoriti u ilograe. Budući da g = 000 g, orao 400 g podijeliti
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
ILIŠTA U RIJECI Zavod za elektroenergetiku. Elektrostatika. Električni potencijal Električni napon. Osnove elektrotehnike I: Elektrostatika
TEHNIČKI FKULTET SVEUČILI ILIŠT U RIJECI Zavod za elektoenegetiku Studij: Peddiplomski stučni studij elektotehnike Kolegij: Osnove elektotehnike I Pedavač: v. ped. m.sc. anka Dobaš Elektostatika Elektični
Podsjetnik za državnu maturu iz fizike značenje formula
Podsjetnik za državnu maturu iz fizike značenje formula ukratko je objašnjeno značenje svih slova u formulama koje se dobiju uz ispit [u uglatim zagradama su SI mjerne jedinice] Kinetika v = brzina ( =
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
ELEKTRODINAMIKA ELEMENTI STRUJNOG KRUGA IZVOR ELEKTRIČNE ENERGIJE
ELEKTRODINAMIKA ELEKTRIČNA STRUJA I PRIPADNE POJAVE ELEMENTI STRUJNOG KRUGA Strujni krug je sastavljen od: izvora u kojemu se neki oblik energije pretvara u električnu energiju, spojnih vodiča i trošila
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Prostorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
5. Koliki naboj treba dati kugli mase 1 kg da ona lebdi ispod kugle s nabojem 0,07 µc na udaljenosti 5 cm?
Coulombov zakon 1. Metalna kugla polumjera R = 10 cm nabijena je plošnom gustoćom naboja σ = 7, 95 nc/m 2. Kolika je razlika izmedu broja protona i broja elektrona u kugli? 2. Koliki je omjer gravitacijske
ELEK 3. ISTOSMJERNA ELEKTRIČNA STRUJA I STRUJNI KRUGOVI ELEKTROTEHNIKA. Doc. dr. sc. Vitomir Komen, dipl. ing. el. 1/77. Komen
ELEKTOTEHNIKA 3. ISTOSMJENA ELEKTIČNA STUJA I STUJNI KUGOVI Doc. dr. sc. Vitomir Komen, dipl. ing. el. /77 SADŽAJ: 3. Nastajanje električne struje 3. Električni strujni krug istosmjerne struje 3.3 Električni
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1
Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Električni strujni krug
1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 r.t h Električni strujni krug n e Uvod u elektricitet Građa tvari Električni naboji Napon, struja i otpor Međusobna ovisnost napona, struje i otpora u strujnim krugovima
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
4. Koliki naboj treba dati kugli mase 1 kg da ona lebdi ispod kugle s nabojem 0,07 µc na udaljenosti 5 cm?
1 Coulombov zakon 1. Koliki je omjer gravitacijske i elektrostatske sile izmedu dva elektrona? m e = 9, 11 10 31 kg 2. Na kojoj će udaljenosti u zraku odbojna sila izmedu dvaju jednakih naboja q 1 = q
Elektrodinamika Elektrodinamika
1. 1.1. 1.1 1.. 1. 1.3. 1.3 1.4. 1.4 1.5. 1.5 1.6. 1.6 1.7. 1.7 1.8. Elektrodinamika Elektrodinamika Gibanje naboja električnog pod naboja utjecajem u električnom električnog polju polja Električna struja
Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet
Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Marko Periša, dipl. ing. UVODNO PREDAVANJE ELEKTROSTATIKA I
VJEŽBE - ELEKTROTEHNIKA Marko Periša, dipl. ing. UVODNO PREDAVANJE ELEKTROSTATIKA I KOLEGIJ NOSITELJI KOLEGIJA: Dr.sc. Sadko Mandžuka Dr.sc. Edouard Ivanjko Dr.sc. Niko Jelušić Asistent Marko Periša, dipl.ing.
Zadatak 161 (Igor, gimnazija) Koliki je promjer manganinske žice duge 31.4 m, kroz koju teče struja 0.8 A, ako je napon
Zadatak 6 (gor, gimnazija) Koliki je promjer manganinske žice duge. m, kroz koju teče struja 0.8, ako je napon između krajeva 80 V? (električna otpornost manganina ρ = 0. 0-6 Ω m) ješenje 6 l =. m, = 0.8,
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio
Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Električne struje. Električne struje. Električne struje. Električne struje
Električna struja (AP47-5) Elektromotorna sila (AP5-53) Omov zakon za deo provodnika i otpor provodnika (AP53-6) Omov zakon za prosto električno kolo (AP6-63) Kirhofova pravila (AP63-66) Vezivanje otpornika
Elektromagnetska indukcija
Elektromagnetska indukcija Povijesni pregled -1831. Michael Faraday (Engleska) i Joseph Henry (SAD) promjena magnetskog polja može inducirati ems. Faradayev zakon indukcije: promjena magnetskog toka inducira
Elektrodinamika Elektrodinamika
1. 1.1. 1.1 1.2. 1.2 1.3. 1.3 1.4. 1.4 1.5. 1.5 1.6. 1.6 1.7. 1.7 1.8. Elektrodinamika Elektrodinamika Gibanje naboja električnog pod naboja utjecajem u električnom električnog polju polja Električna struja
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava
Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA
VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Unipolarni tranzistori - MOSFET
nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati