METODE POBOLJŠANJA TLA POSTUPCI I METODE STABILIZACIJE TLA POSTELJICE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "METODE POBOLJŠANJA TLA POSTUPCI I METODE STABILIZACIJE TLA POSTELJICE"

Transcript

1 POSTUPCI I METODE STABILIZACIJE TLA POSTELJICE Stabilizacija zbijanjem

2 3. POSTUPCI I METODE STABILIZACIJE TEMELJNOG TLA I POSTELJICE Posteljica predstavlja završni sloj nasipa određene debljine ili sloj tla u usjeku određene dubine uređen tako da odgovara traženim zahtijevima. Ona predstavlja jedan od najvažnijih elemenata prometne površine jer o njoj ovisi nosivost kolnika. Ona mora biti sposobna preuzeti opterećenje od prometa i kolničke konstrukcije bez prekomjernih plastičnih deformacija, te zbog toga i sama mora imati određenu nosivost s kojom se računa i pri dimenzioniranju kolničke konstrukcije. Važno je također da nosivost posteljice tokom godine bude što stalnija, pa su u tom pogledu, pored materijala značajni i konstruktivni uvjeti u kojima se nalazi (odvodnjam nagib i sl.). Također je bitno da posteljica bude homogena. Stoga se na posteljicu postavljaju određeni uvjeti, koji se odnose na kvalitetu materijala iz koje se radi te na njegovu zbijenost. Ukoliko se posteljica izrađuje od materijala koji zadovoljava postavljene zahtijeve kvalitete mehaničko zbijanje materijala tla posteljice smatra se postupkom njegove stabilizacije. Ukoliko materijal posteljice ne zadovoljava postavljene kriterije, odnosno s njime se ne mogu postići propisani uvjeti zbijenosti, bilo da je materijal izvan propisanih granica sastava, bilo da je iznad optimalne vlažnosti, a njegova zamjena ne dolazi u obzir primjenjuje se neki od tradicionalnih (mehanička stabilizacija, stabilizacija vapnom, cementom, letećim pepelom ili bitumenom) ili netradicionalnih (enzimska, ionska, biološka i sl.) postupaka stabilizacije tla Stabilizacija tla zbijanjem Zbijanje zrnatog kamenog materijala, bez promjene granulometrijskog sastava osnovnog materijala uobičajeni je postupak pri izgradnji prometnica i općenito se ne smatra postupkom koji bi se trebao svrstavati u stabilizacijske. No, obzirom da se zbijanjem mijenjaju svojstva ugrađenog materijala, primjerice njegova nosivost, posmična čvrstoća, stišljivost kao i vodopropusnost bez daljnjega se može smatrati stabilizacijskim postupkom Zbijanje Zadatak zbijanja je popravljanje građevinsko tehničkih svojstava tla smanjenjem volumena pora ispunjenih zrakom, a djelomično i vodom. Zbog gušćeg slaganja čestica tla povećava se posmična čvrstoća, a smanjuju se stišljivost i vodopropusnost takvog materijala. Zbijanjem se smanjuje opasnost da se vezana tla natope vodom i nabubre, kao i da im se znatno povećaju deformacije pod djelovanjem opterećenja (pad nosivosti). Postignuta zbijenost ovisi o strojevima za zbijanje, kao i o samom postupku zbijanja, te o vrsti tla, sadržaju vode i deformabilnosti podloge. Ovakva kompleksna zavisnost traži poznavanje geomehaničkih svojstava, sposobnosti strojeva za zbijanje, s posebnim osvrtom na njihovo djelovanje na razrahljivanje pri nepravilnoj primjeni, pa poznavanje samih radnih procesa zbijanja i ispitivanje zbijenosti za kontrolu propisane kvalitete. Budući da različiti materijali ne reagiraju jednako na pojedine strojeve za zbijanje razmotrit će se činitelji koji imaju najveći utjecaj na zbijanje: vrsta materijala koji se zbija, stanje vlažnosti materijala, tražena zbijenost materijala, primjena strojeva. Stranica 7

3 Slika 1. Odnosi pojedinih komponenata tla prije i nakon zbijanja Vrste materijala s obzirom na zbijenost Bez obzira na postojeće klasifikacije materijala tla, tla se obzirom na različita svojstva pri zbijanju dijele u tri grupe: krupnozrnata, nevezana (nekoherentna) tla kao što su pijesak, šljunak odnosno njihove mješavine, prirodne kamene drobine separišni ili slični materijali, sitnozrnata vezana (koherentna) tla, kao što su gline, prašine, prašinaste gline (ilovače), pjeskovite prašine i les, mješovita tla koja su mješavina krupnozrnatih nevezanih i sitnozrnatih vezanih materijala (zaglinjeni pijesci i šljunci te vezana rastrošena kamenita tla). Napominje se da se tla stabilizirana vapnom ili cementom, sa stanovišta zbijanja ubrajaju u zadnju grupu, mješovita tla Krupnozrnata tla, nevezana (nekoherentna) tla Krupnozrnati nevezani, nekoherentni materijal praktično je najmanje osjetljiv na vodu; povećanjem udjela sitnih čestica, povećava mu se i osjetljivost na vodu. Kod ovih materijala voda uglavnom nema veći utjecaj na nosivost i deformacije. Za zbijanje nevezanih, nekoherentnih materijala najvažniji su utjecajni činitelji: granulometrijski sastav materijala, oblik zrnaca, sadržaj vode. Najvažniji utjecajni činitelj za zbijanje je granulometrijski sastav materijala tla. Kao mjera za granulaciju upotrebljava se koeficijent nejednolikosti»n«. Tla sa zrncima približno iste veličine, označavaju se kao usko stupnjevana tla (mala vrijednost koeficijenta nejednolikosti»n«), a tla različitih veličina zrnaca, kao široko stupnjevana (visoki koeficijent nejednolikosti»n«). Široko stupnjevane mješavine tla mogu se bolje zbijati, od onih usko stupnjevanih, tj. uz istu energiju zbijanja sa široko Stranica 8

4 stupnjevanim mješavinama postiže se veća suha prostorna težina. Prema iskustvu mješavine zrnaca s granulometrijskom krivuljom oblika parabole daju najveću suhu prostornu gustoću. S porastom gustoće povećava se posmična čvrstoća, a smanjuje se deformabilnost tla. Ovo se očituje i u povećanju vrijednosti modula stišljivosti tla M s, kao i u poboljšanju otpornosti zbijenog sloja na djelovanje gradilišnog prometa. Mješavine tla s glatkim zaobljenim pojedinačnim zrnima podatljivije su za zbijanje od mješavina s grubim, hrapavim, uglatim pojedinačnim zrncima, ali su deformabilnije i sklonije segregaciji. Sastav zrnaca krupnozrnatih tala može se mijenjati zbijanjem zbog razaranja slabijih pojedinačnih zrnaca. Mjera ovog smanjenja zrnaca ovisi o mineraloškom sastavu i čvrstoći zrnaca, težini valjka ili vibro-valjka, o veličini amplitude pri vibraciji i slično. U nevezanim tlima nema sila kohezije, iako se u dobro stupnjevanom tlu s dosta sitnijih čestica može javlja uz prisustvo vode u tlu tzv.»prividna kohezija«. Posebno se oko sitnijih čestica stvara lažan dojam, povezanosti materijala silama kohezije. Pojava je to vidljivija, što je materijal sitnozrnatiji. Saturacijom, ispunom svih šupljina sitnog materijala vodom nestaje»prividna kohezija«, a materijal se pretvara u žitku masu. Sposobnost preuzimanja opterećenja nevezanog materijala sastoji se iz trenja između pojedinih čestica i prividne kohezije. Slika 2. Trenje između pojedinih čestica zrnatog kamenog materijala Utvrđeno je da je sila koja prevladava za preuzimanje opterećenja u krupnozrnatom materijalu sila trenja između zrnaca, a u sitnozrnatom materijalu prividna kohezija Sitnozrnata tla, vezana (koherentna) tla Za zbijanje sitnozrnatih, vezanih, koherentnih tala presudni su utjecajni činitelji: sadržaj vode, plastičnost, sastav zrnaca. Sitnozrnata tla imaju u jedinici volumena radi veće specifične površine zrnaca, prema krupnozrnatom materijalu, znatno veću sposobnost apsorbiranja vode, kao i izraženiju međusobnu vezu pojedinačnih zrnaca - koheziju. Stranica 9

5 Slika 3. Vrste tla prema veličini čestica Njihova svojstva zbijanja i deformabilnosti zbog toga su proporcionalna sadržaju vode i njihovim plastičnim svojstvima. Porastom sadržaja vode sitnozrnato tlo prelazi od čvrstog, preko polučvrstog i mekanog u kašastu konzistenciju. U istom slijedu smanjuje se njegova čvrstoća, prionljivost čestica jedne uz drugu (»kohezija«) i nosivost, a povećava se njegova deformabilnost. Slika 4. Granice konzistencije sitnozrnatih, vezanih tala Različite mogućnosti vezanja vode sitnozrnih tala ovise o njihovoj plastičnosti, tj. o razlici sadržaja vode između granica tečenja i granice skupljanja. Vezana tla su pri zbijanju osjetljivija na promjene sadržaja vode, ako im je plastičnost manja. S porastom plastičnosti tla, smanjuju se apsolutne vrijednosti postignute suhe gustoće, uz jednako utrošenu energiju zbijanja. Porastom gustoće slaganja zrnaca u zbijenom Stranica 10

6 tlu, pa i uz porast plastičnosti smanjuje se propusnost tla i time i mogućnost primanja vode. Tako se smanjuje opasnost da se tlo razmekša i nabubri. Slika 5. Odnos veličine čestica pijeska, praha i gline Zbijanje sitnozrnatih tala moguće je zbog njihove relativno neznatne vodopropusnosti samo dok još u tlu postoji dio zrakom ispunjenih pora. Tla koja su blizu potpunog zasićenja vodom mogu se zbijati samo ograničeno, kako je to već prije navedeno, izvlačenjem vode iz tla (npr. odvodnjom ili zračenjem) ili podizanjem graničnog sadržaja vode (npr. stabilizacijom dodatkom vapna). Porastom vlažnosti, općenito pada nosivost sitnozrnatog tla. Iz toga razloga ekonomičnije je zbijati vezani materijal uz još maksimalnu moguću vlažnost, pri kojoj se još može dobiti tražena gustoća materijala. Stroj za zbijanje tada djeluje na veću dubinu (radi slabije nosivosti tla), pa tako zbija veću koiičinu materijala tla Mješovita tla Na zbijanje mješovitih tla, koja predstavljaju mješavine krupnozrnatih nevezanih i sitnozrnatih vezanih materijala utječu osobito ovi činitelji: odnos u mješavini krupnijih i sitnih zrna, sadržaj vode finih zrnaca, sastav i plastičnost finih zrnaca. Miješovita tla osim pijeska, šljunka i većeg kamenja sadržavaju vezana sitna zrna mulja i gline. Mješavitim tlima pripadaju zaglinjeni pijesci i šljunci te vezana rastrošena kamenita tla, muljeviti, glinoviti pijesci i šljunci, otpaci iz kamenolama pomiješani s glinom, iskopi u miješanom materijalu zemlja-kamen itd. Tipično je za sve ove mješavine materijala, da njihov sastav varira u širokim granicama, te da su im plastična svojstva finih zrnaca vrlo različita. Svojstva zbijanja i deformbilnost određeni su sadržajem vode i plastičnošću sitnih zrnaca, granulometrijskim sastavom i oblikom krupnih zrna, kao i neposrednim odnosom mješavine sitnih i krupnih zrna. Postignuta suha prostorna težina raste pri istoj energiji zbijanja s povećanjem udjela krupnih zrna, ali nakon izvjesne granice počinje padati, zbog nemogućnosti krupnozrnatog materijal da ispuni sve šupljine između većih zrnaca. Drugim riječima, da sama krupnija zrna u jednom materijalu ne daju najveću suhu Stranica 11

7 prostornu težinu iz razloga što su između zrna postoje velike šupljine (pore). Najviše vrijednosti suhe prostorne težine postižu se pri udjelu finih zrnaca od 5 do 30%, pri čemu je viši udio u prvoj liniji karakterističan za muljevite glinovite pijeske s usko stupnjevanim krupnozrnatim udjelom tla u mješavini. Deformacijsko ponašanje mješavina bit će uvjetovano sadržajem vode sitnozrnatih tala u mješavini. Uz sadržaje vode ispod optimalnog, W opt dobivenog Proctorovim pokusom, pokazuju već neznatne količine grubih zrna jasna poboljšanja deformacijskog ponašanja. Uz visoki sadržaj vode ta se poboljšanja javljaju tek kod velikih količina grubih sastojaka. Inače prijelaz ponašanja miješanih tala od vezanih na nevezana tako je pomičan, da ga nije moguće ograničiti graničnim vrijednostima. Kratko rečeno, u potpuno raskvašenom zemljanom materijalu samo velika količina npr. tucanika ili lomljenog kamenog materijala (bolje šljunka) dovest će do poboljšanja. U malo rakvašenom materijalu već mala količina krupnozrnatog materijala (tucanika, šljunka) pokazuje vidna poboljšanja Ponašanje različitih vrsta tla pri zbijanju Nekoherentna tla Rahlo nevezano tlo zbija se djelovanjem vibracija tako da se materijal tla pod vibracijama zbog gotovo nestalih sila unutrašnjeg trenja (uslijed vibracija), a uz djelovanje vlastite težine i djelomično prisutne težine stroja za zbijanje, počinje slagati tako, da manja zrna upadaju u šupljine između vecih zrnaca. Na taj način dobivamo gušću strukturu nevezanog materijala. Ako su vibracije prenesene na tlo od stroja za zbijanje vrlo velike, a iznad materijala koji vibrira nema težine (stroja ili materijala) da stvori tzv. "prigušeno titranje«, materijal će se u gornjem sloju razrahliti, a katkada i segregirati. Opterećenje se prenosi izravno trenjem sa čestice na česticu, tj. prigušenje i ublažavanje djelovanja vibracija vrlo je malo. Za nevezani materijal jačina vibracija (veličina amplituda) ima relativno malo značenje pri zbijanju. Druga je posljedica izravnog preuzimanja sile bez prigušenja veća dubina djelovanja strojeva za zbijanje. Sadržaj vode relativno malo djeluje na deformacijske sposobnosti kao i na nosivost tla. Slika 6. Raspored zrna nekoherentnog tla prije i nakon zbijanja Stranica 12

8 Koherentna tla Kod koherentnih tala slabijim vibracijama se ne može svladati prisutna sila kohezije radi zbijanja materijala. Da bi se ta sila svladala, treba dovoljno velika udarna sila stroja za zbijanje, tj. dovoljno velika amplituda, odnosno dostatno velika težina stroja za zbijanje tla. Zbijanje vezanog tla pojedinačnim snažnim udarcima, tj. velikom amplitudom, odnosno veća težina stroja ima veće značenje, nego na nevezanom zemljanom materijalu. Vezano tlo, kad sadržava glinu koja ima pojedinačne čestice u obliku plosnatih listića ili sitnih kuglica, formira u prirodi raznoliku strukturu: lančanu, mrežastu ili pahuljastu. Ovakva struktura vezanog tla»upija«(prigušuje, amortizira) opterećenja ili udarce izazvane strojem za zbijanje znatno bolje, nego nevezano tlo. Slika 7. Raspored čestica koherentnog tla prije i nakon zbijanja Vezano tlo se osim toga znatno razlikuje od nevezanog u ponašanju uz veći iii manji sadržaj vlage. Vezani zemljani materijal može se zbijati samo dok mu je sadržaj vode niži od granice tečenja odnosno dok je relativno suh. U vezanom materijalu posmična sila ovisi o vlažnosti, s tim da s povećanjem vlažnosti pada i kod granice tečenja praktično dosiže vrijednost blizu nuli. Drugim riječima vlažnost ima vrlo velik utjecaj na zbijanje vezanog materijala, kao i veći udari (amplitude), odnosno veća težina stroja. Miješana tla (sitno i krupnozrnata) Za miješana tla teže je dati određene karakteristike za zbijanje i to zbog nedefiniranosti postotka vezanog, odnosno nevezanog materijala u miješavini. Ipak se može konstatirati da vibracije stroja trebaju biti veće amplitude (manji broj titraja). Osim toga, budući da za vezani materijal treba i veća težina (radi svladavanja sila kohezije), strojevi za zbijanje moraju biti i znatno teži. Ovisnost mogućnosti zbijanja miješanih materijala o vodi, uvjetovana je u prvom redu postotkom sitnih čestica, s tim, da što je veći postotak sitnih čestica veća je i zavisnost od vode. Stranica 13

9 Utjecaj vlažnosti materijala na zbijanje Proctorov pokus analiza i zaključci Temelj za procjenu ponašanja nekog materijala pri zbijanju je Proctorov pokus. Na slici 2 prikazane su krivulje zbijanja za različite materijale ali za istu energiju zbijanja. Pri tome je vidljivo da sitnozrnata tla traže veću količinu vode za postizanje optimalnih uvjeta zbijanja od krupnozrnatijih. Na slici 3 prikazan je Proctorov dijagram s nanesenim rezultatima standardnog Proctorovog pokusa s određenom razinom utrošene energije zbijanja kao i rezultat modificiranog Proctorovog pokusa sa propisanom utrošenom energijom zbijanja. Osim ove dvije krivulje na dijagramu je ucrtana još i linija zasićenja zbijenosti tog materijala (linija koja prikazuje maksimalnu zbijenost materijala, bez pora sa zrakom) te linija sa 5% odnosno 12% zračnih pora u materijalu, tako da je vidljiva ovisnost između vlažnosti materijala, suhe prostorne težine i sadržaja zrakom ispunjenih pora. Slika 8. Krivulje zbijanja za različita tla a iste energije zbijanja Da bismo se uspješno mogli služiti ovim dijagramom, treba pri zbijanju materijala upamtiti ovo: potpuno suh materijal slabo se zbija. Povećanjem vlažnosti čestice materijala se»podmazuju«i lakše se slažu u gustu formaciju. Trenje između čestica kao i kohezija materijala općenito se smanjuju s povećanjem vlažnosti. To ujedno Stranica 14

10 znači da se uz veću vlažnost djelovanje strojeva za zbijanje prenosi na veću dubinu, tj. na veću količinu materijala. u suhom materijalu energija stroja za zbijanje troši se na svladavanje trenja, koje je znatno veće u suhom nego u vlažnom materijalu. U vezanom materijalu ova energija troši se u prvom redu na mrvljenje i usitnjavanje materijala. poboljšanje uvjeta zbijanja ide do određene granice povećanja vlažnosti, za svaku određenu energiju zbijanja, koju zovemo»optimalna vlažnost«(w opt %), a odgovarajuću suhu prostornu težinu, maksimalnom prostornom težinom (γ smax gr/cm 3 ). Daljnjim povećanjem vlažnosti postiže se sve manja suha prostorna težina zato, što u određenom volumenu ima sve više vode, a manje krutih čestica (voda se u prikazu suhe prostorne težine γ smax ispari). općenito vrijedi pravilo, da se povećanjem energije zbijanja povećava vrijednost suhe prostorne težine γ smax, dok optimalna vlažnost opada. Ova ista konstatacija može se formulirati i na drugi način: manja suha prostorna težina od γ smax može se postići manjom energijom zbijanja, ali s većom vlažnosti materijala od W opt. Ipak i to ne treba shvatiti doslovce jer pri zbijanju nevezanog materijala nakon postizanja određene gustoće materijala, daljnjim zbijanjem može doći do segregacije materijala, a time sasvim sigurno i do pada vrijednosti γ smax. uspoređujući karakterističnu Proctorovu krivulju s linijom zasićenja zbijenosti istog materijala može se zaključiti: povećanje suhe prostorne težine nekog materijala povećanjem energije zbijanja nije ekonomično, kada taj materijal ima vlažnost veću od optimalne vlažnosti (W opt ). Ekonomično je i preporučuje se povećati energiju zbijanja radi povećanja vrijednosti suhe prostorne težine, samo kad materijal ima vlažnost manju od optimalne kad se traži suha prostorna težina od 100% γ smax, ta se suha prostorna težina može postići određenom energijom zbijanja samo uz vlažnost, koja je vrlo blizu optimalnoj vlažnosti W opt toga materijala, kad se traži manja suha prostorna težina npr. γ s = 0,95% γ smax ona se može postići u mnogo širim granicama vlažnosti sa standardnom energijom zbijanja i teoretski gledano svejedno je, uz koju se vlažnost zbijanje izvodi u tim određenim granicama. praksa je, međutim, pokazala da se zbijanjem uz vlažnost blizu gornje granice od γ s =0,95 γ smax mogu postići znatno veći učinci zbijanja i do preko 50% (manja nosivost tla veće vlažnosti, te time djelovanje stroja za zbijanje na veću dubinu i veća podatljivost tla na zbijanje). Da je bolje zbijanje uz veću vlažnost (naravno, kad se uz tu vlažnost još može postići tražena gustoća materijala) proizlazi i iz drugog stavka ovog razmatranja gdje je rečeno, da se manja suha prostorna težina od γ smax može postići s manjom energijom zbijanja, ali uz veću vlažnost materijala od W opt Utjecaj sadržaja vode Sadržaj vode je za zbijanje tla od posebnog značenja. Sposobnost zbijanja krupnozrnatih tala zavisi utoliko više od sadržaja vode ukoliko je materijal šire stupnjevan. Usko stupnjevani pijesci i šljunci su naprotiv pri zbijanju pod manjim utjecajem sadržaja vode. Sva krupnozrnata tla široko stupnjevana imaju već uz manji Stranica 15

11 sadržaj vode»prividnu koheziju«, koja smanjuje opasnost od segregacije i razlabavljenja mješavine. Kad je takva mješavina previše suha, potrebno ju je navlažiti prije zbijanja. Sposobnost zbijanja sitnozrnatih tala i vezanih mješavina tala zavisna je u određenim granicama od sadržaja vode, te time i od vremenskih priiika. Obje vrste tla, mogu se zadovoljivo zbijati samo u određenim granicama sadržaja vode. Kad su prevlažne, ne može se bez daljnjega istisnuti zatvoreni zrak iz finih pora. Kad su ove dvije vrste tla presuhe, a sastoje se od pahuljica i sadržavaju veći postotak pora ispunjenih zrakom, ne mogu se zadovoljivo i ravnomjerno zbiti. Naknadno ova tla bogata zračnim porama pokazuju pri povećanju vlažnosti omekšanje, smanjenje posmične čvrstoće i nosivosti. Stvaraju se»vreće«i veća slijeganja. Krivulja zbijanja (Proctorova krivulja) krupnozrnatog tla teče strmije i područje pogodne vlažnasti za zbijanje biti će to uže, što su zrnca tla neravnomjernije stupnjevana. U sitnozrnatom tlu raste optimalni sadržaj vode s rastućom plastičnošću, i područje između graničnih vrijednosti pagodnih vlažnosti za zbijanje bit će veće. Muljevita tla imaju zbog toga samo jedno usko područje promjene sadržaja vode, tako da je njihova sposobnost zbijanja vrlo ovisna i o nepoznatim promjenama sadržaja vode Utjecaj deformabilnosti podloge Uspjeh zbijanja sloja nekog materijala ne ovisi samo o materijalu tog sloja i primijenjenoj mehanizaciji za zbijanje, nego u znatnoj mjeri i o deformacijskim sposobnostima podloge. Ako su deformacije podloge prevelike, može se dogoditi, da se naneseni sloj ne može zbiti na traženu vrijednost zbog toga jer podloga apsorbira energiju zbijanja. Ovaj je utjecaj veći i jasnije izražen na tlima, koja treba zbijati u neznatnim visinama nasipnog sloja na mekanoj podlozi. Ovo vrijedi prije svega za prve slojeve nasipa do posteljice, za nosive slojeve preko slabog nasipa ili usjeka i za slojeve za zaštitu od smrzavice. Stranica 16

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3 Klasifikacija tla i indeksni pokazatelji.

3 Klasifikacija tla i indeksni pokazatelji. 3 Klasifikacija tla i indeksni pokazatelji. 3.1 Osnovne grupe tla Postoji niz različitih klasifikacija tla. Svakako, klasifikacija treba omogućiti da se pomoću jednostavnih pokusa svrstaju tla u grupe

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA

3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA MEHANIKA TLA: Onovni paraetri tla 4. OSNONI POKAZATELJI TLA Tlo e atoji od tri faze: od čvrtih zrna, vode i vazduha i njihovo relativno učešće e opiuje odgovarajući pokazateljia.. Specifična težina (G)

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

ODREĐIVANJE MODULA STIŠLJIVOSTI U EDOMETRU

ODREĐIVANJE MODULA STIŠLJIVOSTI U EDOMETRU SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GEOTEHNIČKI FAKULTET ZORAN BAJSIĆ ODREĐIVANJE MODULA STIŠLJIVOSTI U EDOMETRU ZAVRŠNI RAD VARAŽDIN, 2012. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GEOTEHNIČKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD ODREĐIVANJE MODULA

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ )

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ ) Posmična čvrstoća tla Posmična se čvrstoća se često prikazuje Mohr-Coulombovim kriterijem čvrstoće u - σ dijagramu c + σ n tanφ Kriterij čvrstoće C-kohezija φ -kut trenja c + σ n tan φ φ c σ n Posmična

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21, Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5?

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5? Zadata 00 (Jasna, osnovna šola) Kolia je težina tijela ase 400 g? Rješenje 00 Masa tijela izražava se u ilograia pa najprije orao 400 g pretvoriti u ilograe. Budući da g = 000 g, orao 400 g podijeliti

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju Referati za vježbe iz kolegija PRERADA GROŽðA Stručni studij kemijske tehnologije Smjer: Prehrambena

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM

LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM Vrste opterećenja Ispitivanje zatezanjem Svojstva otpornosti materijala Zatezna čvrstoća Granica tečenja Granica proporcionalnosti Granica elastičnosti Modul

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

GEOTEHNIČKO INŽENJERSTVO

GEOTEHNIČKO INŽENJERSTVO GEOTEHNIČKO INŽENJERSTVO POMOĆNI DIJAGRAMI, TABLICE I FORMULE ZA ISPIT dopunjeno za ak.god. 016/017 Slika 1. Parcijalni koeficijenti za GEO/STR za djelovanja, parametre materijala i otpore prema EC-7 Slika.

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

P E D O L O G I J A. Tema: Voda u tlu

P E D O L O G I J A. Tema: Voda u tlu MEĐUSVEUČILIŠNI STUDIJ MEDITERANSKA POLJOPRIVREDA P E D O L O G I J A Tema: Voda u tlu Doc.dr.sc. Aleksandra BENSA i Dr.sc. Boško MILOŠ Autorizirana prezentacija Split, 2011/12. Cilj Objasniti odnose između

Διαβάστε περισσότερα

Sistem sučeljnih sila

Sistem sučeljnih sila Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu

Διαβάστε περισσότερα

AGREGAT. Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aedif. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

AGREGAT. Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aedif.   SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU AGREGAT Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aeif. jcrnojevac@gmail.com SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU JOSIP JURAJ STROSSMAYER UNIVERSITY OF OSIJEK 1 Pojela agregata PODJELA AGREGATA - PREMA

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

PRETHODNI PRORACUN VRATILA (dimenzionisanje vratila)

PRETHODNI PRORACUN VRATILA (dimenzionisanje vratila) Predet: Mašinski eleenti Proračun vratila strana Dienzionisati vratilo elektrootora sledecih karakteristika: oinalna snaga P = 3kW roj obrtaja n = 400 in Shea opterecenja: Faktor neravnoernosti K =. F

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)

Διαβάστε περισσότερα

Impuls i količina gibanja

Impuls i količina gibanja FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA)

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Karakterizacija materijala DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Dr.sc.Emi Govorčin Bajsić,izv.prof. Zavod za polimerno inženjerstvo i organsku kemijsku tehnologiju Da li je DMA toplinska analiza ili reologija?

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα