MATEMATIKA 2. Ivan Slapničar Nevena Jakovčević Stor Josipa Barić. Zbirka zadataka.

Transcript

1 Ivan Slapničar Nevena Jakovčević Stor Josipa Barić Ivančica Mirošević MATEMATIKA Zbirka zadataka Sveučilište u Splitu Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, ožujak 8.

2

3 Sadržaj Popis slika ix Predgovor xi NEODREDENI INTEGRAL. Neposredno integriranje Metode supstitucije Uvodenje novog argumenta Metoda parcijalne integracije Rekurzivne formule Integriranje racionalnih funkcija Integriranje trigonometrijskih funkcija Integriranje iracionalnih funkcija racionalnom supstitucijom Eulerova i trigonometrijska supstitucija Metoda neodredenih koeficijenata Binomni integral Integriranje razvojem u red Zadaci za vježbu Rješenja zadataka za vježbu ODREDENI INTEGRAL 7. Newton-Leibnitzova formula Supstitucija i parcijalna integracija v

4 . Nepravi integral Površina ravninskog lika Duljina luka ravninske krivulje Volumen rotacionog tijela Oplošje rotacionog tijela Trapezna formula Simpsonova formula Zadaci za vježbu Rješenja zadataka za vježbu FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI 4 4 VIŠESTRUKI INTEGRALI 45 5 DIFERENCIJALNE JEDNADžBE Uvod Populacijska jednadžba Logistička jednadžba Jednadžbe sa separiranim varijablama Homogene diferencijalne jednadžbe Diferencijalne jednadžbe koje se svode na homogene Egzaktne diferencijalne jednadžbe i integrirajući faktor Ortogonalne trajektorije Singularna rješenja Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Eulerova metoda Diferencijalne jednadžbe drugog reda - Opće rješenje Reduciranje DJ-e drugog reda na DJ-u prvog reda I Reduciranje DJ-e drugog reda na DJ-u prvog reda II Reduciranje DJ-e drugog reda na DJ-u prvog reda III vi

5 5.7 Homogene LDJ drugog reda s konstantnim koeficijentima Nehomogene LDJ drugog reda s konstantnim koeficijentima Homogene LDJ višeg reda Princip superpozicije rješenja Metoda varijacije konstanti Sustavi diferencijalnih jednadžbi Lovac-plijen jednadžba Zadaci za vježbu Rješenja zadataka za vježbu METODA NAJMANJIH KVADRATA I QR RASTAV 89 vii

6 viii

7 Popis slika. Površina ravninskog lika (a) Površina ravninskog lika (b) Astroida Bernoullijeva lemniskata Duljina luka (a) Rotacija parabole y x Rotacija parabole y 4x ix

8

9 Predgovor Ova zbirka namijenjena je studentima tehničkih i prirodnih znanosti, a u prvom redu studentima Sveučilišta u Splitu, Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje (FESB). U zbirci je izloženo gradivo kolegija Matematika po sadržaju koji se predaje na FESB-u. Sličan sadržaj nalazi se u većini istoimenih kolegija koji se predaju na tehničkim i prirodoslovnim fakultetima. Zbirka prati gradivo i način izlaganja udžbenika Sveučilišta u Splitu: I. Slapničar, Matematika, te se rješenja zadataka, radi lakšeg praćenja i razumijevanja, referencijraju na odgovarajuće djelove udžbenika. Pored potpuno riješenih zadataka, zbirka sadrži i zadatake za vježbu s rješenjima. Posebnost zbirke je u tome što svaki zadatak ima naslov iz kojeg se vidi što student treba naučiti. Budući se radi o standardnom sadržaju, nije citirana posebna literatura. Spomenut ćemo samo neke od knjiga koje su utjecale na sadržaj, a koje preporučujemo i čitatelju: B. P. Demidović, Zadaci i riješeni primjeri iz više matematike, Tehnička knjiga, Zagreb, 978. P. Javor, Matematička analiza, Zbirka zadataka, Školska knjiga, Zagreb, 989. V. Devide, Riješeni zadaci iz više matematike, svezak II, III, Školska knjiga, Zagreb, 99. B. Apsen, Riješeni zadaci više matematike, drugi dio, Tehnička knjiga, Zagreb, 98. U izradi zbirke korištena su iskustva i zabilješke bivših i sadašnjih nastavnika matematike na FESB-u pa im ovom prilikom iskazujemo svoju zahvalnost. U Splitu, ožujka 8. Autori xi

10

11 . NEODREDENI INTEGRAL. Neposredno integriranje Metode supstitucije Uvodenje novog argumenta Metoda parcijalne integracije Rekurzivne formule Integriranje racionalnih funkcija Integriranje trigonometrijskih funkcija Integriranje iracionalnih funkcija racionalnom supstitucijom Eulerova i trigonometrijska supstitucija Metoda neodredenih koeficijenata Binomni integral Integriranje razvojem u red Zadaci za vježbu Rješenja zadataka za vježbu Neposredno integriranje Izračunajte integrale: (a) (b) (c) ( x ) x x, x x +, x + 5 x x,

12 NEODREDENI INTEGRAL (d) (e) sin xcos x, tg x. Rješenje. U računanju primjenjujemo [M, teorem.4] i tablicu osnovnih integrala [M,..]. (a) Da bismo mogli primjeniti integral potencije iz tablice osnovnih integrala podintegralu funkciju prvo zapisujemo u jednostavnijem obliku, pa vrijedi ( x ) x ( x ( g)x x 4 x 4 x 5 4 x x 4 4 4( x + 7 ) 7 4 x + C 4x 4 x 7 + C x + C (b) Tablični integral dobivamo nakon što brojniku dodamo i oduzmemo broj, pa vrijedi x x x + + x + x + x tgx + C. (c) Vrijedi x + 5 x x ( ) x x ln5 x ln + C. ( ) x ( x ( x 5) ln + ) 5 ln + C (d) Koristeći osnovni trigonometrijski identitet dobivamo sin sin xcos x x + cos x sin xcos x cos x + tgx ctgx + C. (e) Zapisivanjem funkcije tgx u obliku tgx sin x cos x dobivamo ( ) tg x cos x cos x tgx x + C. sin x

13 . Metode supstitucije. Metode supstitucije Izračunajte integrale: (a) x a, (b) + e x, sin x (c), x (d) cos x + sin x. Rješenje. Integrale računamo svodeći zadani integral na tablični dopustivom zamjenom varijable integracije nekom funkcijom (bijekcijom) ili dopustivom zamjenom nekog analitičkog izraza novom varijablom integracije. (a) Umjesto x a uvodimo novu varijablu t. Potrebno je promijeniti i koji je u ovom slučaju jednak dt, jer je dt d(x a). { } x a t dt x a ln x a + C. dt t (b) Umjesto + e x uvodimo novu varijablu t, pa vrijedi + e x + e x t e x dt x ln (t ) dt t dt t t t dt dt ln t ln t + C t ln e x ln ( + e x ) + C x ln ( + e x ) + C. { dt (t ) t (t )t A t + B t A B } Osim suspstitucije u ovom zadatku korišten je i rastav na parcijalne razlomke gdje smo razlomak pod integralom (t )t rastavili na dva jednostavnija. (c) Zbog pojave x u podintegralnom izrazu uvodimo zamjenu x t, pa vrijedi { sin x x t } sin t x t dt t t dt sintdt cos t + C cos x + C.

14 4 NEODREDENI INTEGRAL (d) Vrijedi { cos x + sin x t + sin x cos dt } dt t ln t + C ln + sin x + C.. Uvodenje novog argumenta Izračunajte integrale: (a) sin x, (b) (c) (ln x) 4, x x + x. Rješenje. Da bismo zadane integrale sveli na tablične umjesto x uvodimo novi argument, pa umjesto imamo d(noviargument). (a) Novi argument je x, a kako je d(x) integral je potrebno jo pomnožiti s. sin x sinx(x) cos (x) + C. (b) Za novi argument uzimamo ln x, pa vrijedi (ln x) 4 (ln x) 4 d(ln x) x (ln x)5 5 + C. (c) Vrijedi x ( + x + x ) x ( + x ) x ( + x ) d ( + x ) ( + x ) + C. Ovi integrali mogu se rješiti i metodom supstitucije tipa (noviargument) t.

15 .4 Metoda parcijalne integracije 5.4 Metoda parcijalne integracije Izračunajte integrale: (a) xe x, (b) (c) (d) (e) xln x, xln + x x, x + x, e x sin x. Rješenje. U računaju zadanih integrala koristimo formulu parcijalne integracije [M, teorem.7]. Ideja je da integral koji se pojavi nakon parcijalne integracije bude jednostavniji od zadanog integrala. (a) U parcijalnoj integraciji uzimamo da je u x i dv e x, jer time x derivacijom postaje čime se integriranje pojednostavnjuje. { xe x u x dv e x } du v e x e x xe x e x xe x e x + C (x ) e x + C. (b) Parcijalnu integraciju možemo provoditi i više puta uzastopce, npr. u slijedećem intgralu zadano je ln x, pa nakon dvije parcijelne integracije ln nestaje. { xln u ln x dv } x x du lnx x v x x ln x 4 { xln u ln x dv x x du x v x x ln x 4 ( x lnx ) x x ln x 8 x 9 ln x + 6 x 7 + C ( x ln x 4 ln x + 8 ) + C. 9 }

16 6 NEODREDENI INTEGRAL (c) Vrijedi xln + x x } dv x v x x x x x x x + x { u ln +x x du x ln + x x ln + x x ln + x x x x ln + x x + x ln + x x + C ( x + ) ln + x x + x + C. (d) x u brojinku zapisujemo kao x x, pa slijedi x x x + x + x { u x dv x } +x du x v x +x + x x + x + x x x + x + x d ( + x ) x + x ( x + ) + C. (e) Vrijedi { } e x u e x dv sin x sin x du e x v cos x e x cos x + e x cos x { } u e x dv cos x du e x v sin x e x cos x + e x sinx e x sin x. Integral koji preostaje izračunati jednak je početnom integralu, označimo ga sa I, pa izjednačavanjem lijeve i desne strane dobivamo:

17 .5 Rekurzivne formule 7 iz čega slijedi I e x cos x + e x sin x I, I e x (cos x sin x) I e x sinx ex (cos x sinx) + C..5 Rekurzivne formule Nadite rekurzivnu formulu za integral: I n (a x ) n, n N. Rješenje. Za n vrijedi ) (a I x ) a x (a x + C x x + C. Za n vrijedi { (a I n x ) n u ( a x ) n du nx ( a x ) n x ( a x ) n nx ( a x ) n x ( a x ) n [ ( + n a x )] n + n x ( a x ) n nin + na I n. } dv v x a ( a x ) n Izjednačavanjem lijeve i desne strane dobivamo traženu rekurzivnu formulu I n x ( a x ) n nin + na I n I n ( + n) x ( a x ) n + na I n I n x( a x ) n + na (n + ) (n + ) I n..6 Integriranje racionalnih funkcija Izračunajte integrale: (a) x + 5x,

18 8 NEODREDENI INTEGRAL (b) (c) (d) (e) (f) x 5x + 7, x x x +, x x x + 4, x + x + x + 7x +, ( + x ). Rješenje. (a) Polinom u nazivniku može se rastaviti na faktore x +5x x(x + 5), pa tablične integrale dobivamo rastavom na parcijalne razlomke [M,.4.]. Vrijedi x + 5x x(x + 5) x(x+5) A x + B x+5 / x(x + 5) Ax + 5A + Bx x 5 A 5 B 5 x ln x 5 ln x C 5 ln x x C. (b) Polinom x 5x+7 nema realnih nul-točaka, pa nazivnik ne možemo rastaviti na faktore. U tom slučaju integral računamo nadopunjavanjem nazivnika do punog kvadrata na slijedeći način: x 5x x 5 x + 7 d ( x 5 ) 4 ( ) x arctg x C arctg 4x 5 + C. ( ) x

19 .6 Integriranje racionalnih funkcija 9 (c) Nazivnik se ni u ovom primjeru ne može rastaviti na faktore, pa integral računamo zaspisivanjem brojnika u dva dijela od kojih je jedan derivacija nazivnika, a drugi konstanta. Time dobivamo dva integrala od kojih se prvi može izračunati metodom supstitucije [M vježbe,.] ili uvodenjem novog argumenta [M vježbe,.], dok drugi računamo kao u ovom zadatku pod (b). x x x + (x ) + x x + (x ) x x + x x x + ( d x x + ) x x + ln x x + (x ) x x + x x + ( x arctg x ) C. (d) Vrijedi x x x + 4 ( x ) ( x x + ) ( ) x + 4 x x + x x x + + ( d x x + ) 4 x x ( 4 ln x ) x x x x + ( x x x + x x + ) ( x 4 4 arctg 4x + C. ) + (e) Kako je u ovom integralu stupanj brojnika podintegralne funkcije veći od stupnja nazivnika, prvo provodimo dijeljenje polinoma, a zatim integral rastavljamo na dva, od kojih je prvi tablični integral potencije, a drugi se svodi na neki od

20 NEODREDENI INTEGRAL prethodnih slučajeva. x + x + I x + 7x + ( x + x + ) : ( x + 7x + ) x 7. ost.8x x + 86 x (x 7) + x + 7x + 7x + I Integral označen sa I računamo posebno. Kako su x i x 4 nultočke polinoma x +7x+, nazivnik se može rastaviti na faktore, pa tablične integrale dobivamo rastavom na parcijalne razlomke. 8x + 86 x + 7x + { 8 8x + 86 (x + )(x + 4) (x+)(x+4) A x+ + B x+4 A 8 B 66 d(x + ) x } d(x + 4) x + 4 8ln x ln x C. Konačno rješenje je I x + x + x x 7x 8ln x ln x C. + 7x + (f) Slijedeći integral računamo dodavanjem i oduzimajnem x u brojniku, pa vrijedi + x ( + x ) x ( + x ) + x ( + x ) ( + x ) x ( + x ) x ( + x ) arctgx I.

21 .7 Integriranje trigonometrijskih funkcija Integral označen sa I računamo posebno koristeći parcijalnu integraciju, x ( + x ) x x ( + x ) x u x dv (+x ) du v x ( + x ) + + x x ( + x ) + arctgx + C. d(+x ) (+x ) (+x ) pa je konačno rješenje ( + x ) arctgx + x ( + x ) + C..7 Integriranje trigonometrijskih funkcija Izračunajte integrale: (a) cos 5 x, (b) cos xcos xcos 5x, (c) sin x cos x + 5, cos x + cos 5 x (d) sin x + sin 4 x. Rješenje. (a) Vrijedi cos 5 x cos xcos x cos x ( sin x ) cos x cos xsin x cos x ( sin x ) cos xsin x cos x cos xsin x cos xsin x sin x I I.

22 NEODREDENI INTEGRAL Integrale označene sa I i I računamo posebno koristeći jednostavne supstitucije. I cos xsin x t dt t + C sin x { sin x t cos x dt + C. } I { cos xsin sin x t x cos x dt t ( t ) dt t dt t 4 dt } pa je konačno rješenje t t5 5 + C sin x sin5 x 5 + C. cos 5 x sin x sin x sin x sin x sin x + sin5 x 5 + sin5 x 5 + C. + C (b) Podintegralu funkciiju prvo raspišemo pomoću trigonometrijskih formula pretvorbe, pa vrijedi cos xcos xcos 5x (cos x + cos x) cos 5x cos xcos 5x + cos xcos 5x (cos 4x + cos 6x) + (cos x + cos 8x) 4 4 ( ) cos 4x + cos 6x + cos x + cos 8x 4 ( ) sin 4x sin 6x sin x sin 8x C sin x + sin4x sin 6x sin 8x C

23 .7 Integriranje trigonometrijskih funkcija (c) Integral računamo koristeći univerzalnu trigonometrijsku supstituciju [M,.5.]. { tg x t sin x cos x + 5 t sinx +t dt cos x t +t +t dt +t t t +t dt 6t + 4t t dt ( ) t arctg tg x + + C. 5 5 } dt +t 4t +t +5+5t +t dt ( t + t + arctg t + + C 5 5 ) (d) U računanju integrala umjesto univerzalne trigonometrijske supstitucije koristit ćemo pojednostavnjenu supstituciju za racionalne funkcije sa svojstvom R (sin x, cos x) R (sin x,cos x). cos x + cos 5 x sin x + sin 4 x R (sin x, cos x) R(sinx,cos x) sin x t cos x dt cos x ( + cos x ) sin x ( + sin x ) cos x ( + cos x ) cos x sin x ( + sin x ) ( t ) ( + t ) ( t ) ( t ) t ( + t dt ) t ( + t dt ) ( t 4 t + t 4 t + ) : ( t 4 + t ) t 4 dt + t. ost.4t + { t + 4t + dt + t ( + t ) dt 4t + t (+t ) A t + B + Ct+D t t + A, B, C, D 6 t dt + } 6 t + dt t 6arctgt + C. t

24 4 NEODREDENI INTEGRAL.8 Integriranje iracionalnih funkcija racionalnom supstitucijom Izračunajte integrale: (a) (b) (c) x( + x + x), (x + ) (x + ). (x ) (x + ) 5 4, Rješenje. (a) Ovakav integral rješavamo supstitucijom x t k, gdje je k najmanji zajednički višekratnik nazivnika eksponenata od x koji se pojavljuje u podintergalnoj funkciji. { x( + x + x) x t 6 6t 5 dt } 6t 5 dt t 6 ( + t + t ) 6dt t ( + t + t ) ( t + t + ) ( t t + t + ) : (t + ) t t + 6 {. ost. dt t (t + ) (t t + ) t(t+)(t t+) A t + B t+ + Ct+D t t+ A, B 4, C, D 4 dt 6 t dt t + 9 6ln t ln t + I 6ln 6 x ln 6 x + I } t 6 t t + dt

25 .8 Integriranje iracionalnih funkcija racionalnom supstitucijom 5 Integral označen sa I računamo posebno kao integral racionalne funkcije. I 4 t 6 t t + dt 4 4t t t + dt ln ( t t + ) ln ( t t + ) ln ( t t + ) + 4 4t t t + dt t t + dt t t + dt ( ) t dt arctg 4t C 4 ln ( t t + ) arctg4t 7 + C 4 ln ( x 6 x + ) x 7 arctg4 + C 7 pa je konačno rješenje x( + x + x) 6ln 6 x 6 x + ln 4 ln ( x 6 x + ) 6 6 x 7 arctg4 +C. 7 (b) Vrijedi (x + ) (x + ) { x + t 6 t 5 } x t6 t 6 x + t 5 dt t t 4 t dt t t + dt t ( t + + ) dt (t + ) dt + t t + t + ln t + C t dt x x + + ln 6 x + + C.

26 6 NEODREDENI INTEGRAL (c) Vrijedi (x ) (x + ) 5 4 (x+ 4 x ) (x ) 4 (x + ) 4 (x ) 4 (x ) (x + ) x + { x x+ } t4 t dt ( t 4 ) x +t4 t 4 t 4 t4 t t 4 t ( t 4 ) dt 4 dt 4 t + C 4 4 x x + + C..9 Eulerova i trigonometrijska supstitucija Izračunajte integrale: (a) + x + x +, (b) x x, Rješenje.

27 .9 Eulerova i trigonometrijska supstitucija 7 (a) U računanju integrala koristimo Eulerovu supstituciju [M,.7.], pa vrijedi + x + x + x + x + t x x t t+ t +t+ dt (t+) t +t+ (t+) + t t t+ dt t +t+ (t+) dt t++t +t t + (t+) t +t+ t+ t + 4t + 4 dt t + t + (t + ) (t + ) dt t +t+ A (t+) (t+) t+ + B t+ + C (t+) t + t + A(t + ) + B (t + ) (t + ) + C (t + ) A, B, C dt t + dt ln t + (t + ) (t + ) d(t + ) ln t + + (t + ) + C ln x ( + x + + x + + x + x + + x + ) + C. (b) Izraz pod korijenom nadpounjavamo do punog kvadrata, a zatim uvodimo dvije supstitucije { } x x 4 ( + x) x + t dt 4 { } t sin z t dt dt cos zdz cos zcos zdz 4 cos zdz ( + cos z) dz (z + ) sin z ( ) z + sin z sin z + C + C arcsin t + t t 4 + C arcsin x + (x + ) + (x + ) + C 4 arcsin x + + x + x x + C.

28 8 NEODREDENI INTEGRAL. Metoda neodredenih koeficijenata Izračunajte integral x + x + x + 4x. Rješenje. Iz formule za metodu neodredenih koeficijenata [M,.7.], slijedi I x + x + x + 4x (a x + a ) x + 4x + λ x + 4x. Deriviranjem po x dobivamo x + x + x + 4x a x x x + (a x + a ) x + 4x + λ x + 4x Pomnožimo li cijeli izraz sa x + 4x dobivamo x + x + a x + 4x + (a x + a )( x) + λ Izjednačavanjem lijeve i desne strane dobivamo a a 4a + a a a + λ iz čega slijedi a,a 5,λ. Integral I sada je jednak ( I ) x x 5 + 4x + ( ) x x 5 + 4x + x + 4x 4 (x ) ( ) x x 5 + 4x + arcsin x + C.. Binomni integral x Izračunajte integral x x

29 . Integriranje razvojem u red 9 Rješenje. Integral rješavamo supstitucijom za binomni integral [M,.7.4]. U ovom je slučaju m+ n cijeli broj ( m,n ),p, pa koristimo supstituciju x t. x x x x x x x m+ n Z x t x 4 t dt 4 tt dt 4 t + C 4 x x + C. ( ) x. Integriranje razvojem u red Riješite integral sin x razvojem u red potencija, koristeći razvoj sinx n ( ) n xn+ (n+)!. Rješenje. Zadana podintegralna funkcija je sinx, pa koristeći zadani razvoj sinusa dobivamo iz čega slijedi sin x n ( ) n ( x ) n+ (n + )! ( )n x 4n+ (n + )! x x6! + x x4 + + ( ) n x (n+) 5! 7! (n + )! + sin x [x x6! + x x4 + + ( ) n x 4n+ ] 5! 7! (n + )! + x7 7! + x 5! x5 5 7! + + x 4n+ ( )n (4n + ) (n + )! + x n ( ) n x 4n+ (4n + ) (n + )!.. Zadaci za vježbu Izračunajte integrale:

30 NEODREDENI INTEGRAL x + 5x x x+ 5 x x x + a a x e cos x sinx 6. x 5 + x x + ln x x e x ex cos x sin xcos x sin x cos x cos 5 x sin x e arctan x + xln( + x ) + + x x e x (x + x + )e x ln x ln x x

31 . Zadaci za vježbu x x x arccos x (x + a ) cos (ln x) x + 6x + 5 (x + x + ) x 4 x 4 + 5x + 4 x x x + 4x 5 7x x x + x x + x x + 4x x + x 4 + x sin 4 x sin 4 xcos 4 x sin x(cos x ) sin xcos x sin xcos 4 x sin xcos 5x

32 NEODREDENI INTEGRAL sin 4 xcos 4 x sin 4 x + cos 4 x sin4x sin 8 x + cos 8 x sin x( + cos x sin x) cos x sin x + sin x sin xcos x sin x + cos x sin 4 xcos x x + x + 6 x x( +. x) + x x + + x +. x ( 7x x ). x x x +. x x 4x +. x + x x. x + x + x + 4 x + x + x( 4 x + )..

33 .4 Rješenja zadataka za vježbu 5. + x x. 5. Odredite rekurzivnu formulu za integral I n sin n x. Koristeći se dobivenim rezultatom izračunajte vrijednost integrala sin 4 x. 54. Odredite rekurzivnu formulu za integral I n (ln x) n. 55. Odredite rekurzivnu formulu za integral I n x n e ax. 56. Razvijte u red potencija funkciju ln( + x) pomoću + x. ln( + x) 57. Odredite razvojem podintegralne funkcije u red potencija. x.4 Rješenja zadataka za vježbu. ( x 5 + 5x + x ) + C 5 x. 5ln 5 x ln 5 + C arctg ( ) x a. + C a ( ) x 4. arctg + C a x 5. ecos x + C 6. ( 5 + x ) + C 7. x + ln x + C 8. ln + sin x + C 6 9. ln (cos x) + ln(sin x) + C.. x 4 sin(x) + C (x + cos xsin x) + C

34 4 NEODREDENI INTEGRAL. (sin 4 x) 7 (sin x)7 (sinx) + C. e arctgx + arctg x + 4 ln ( + x ) + C 4. e x ( x + x ) + C 5. e x ( + x ) + C 6. x + xln x + C + ln x 7. 4x + C 8. x ( + x ) + C 9. 9 x ( + x ) + arccos x + C.. x a (a + x ) + arctg ( x a) a + C x(cos (ln x ) + sin (ln x )) + C. arctg (x + ) + c. 54 arctg x x + x + x + + c 4. x + arctg x 8 arctg x + c 5. 9 ln x ln x + 9 x + c x + 49 ln x c 7. ln x ln x x + c 8. ln x ln x + + ln x x + + arctg x + c 9. 8 x sin x + sin 4x + c 4. ctg x ctg x + tg x + tg x + c

35 .4 Rješenja zadataka za vježbu cos x ln cos x ln + cos x cos x + c sin x sin x + c. ctg x + tg x + tg x + c 4. cos x cos 8x + c ctg x 8 ctg x + c 6. tg x arctg + c cos 4x ln cos 4x c tg ln x ln tg x 5 tg + ln x + c 9. ln sin x sin x + c ln sinx + cos x cos x(sinx + cos x) + c 4 6 x sin 6x sin x + sin 8x + c x + arctg 6 x + c. 4. x ln + x + c (x + 6 ) (x + )5 6 + (x + ) (x + ) (x + ) + 6(x + ) ln x + + 6arctg 6 x + + c x 4 7x x 7x x 9 + c. x 46. ln x x + x ln x x + x+ + x x + x + +c x +x arctg x + x + c 6 +

36 6 NEODREDENI INTEGRAL 48. ( x ) 4x 4 4x + + ln x + 4x 4x + + c. 49. ( x 5 6 x 9 6 ( g) + x x + 4arcsin x + c. 5. ( x + 6 x + 7 ) x 6 + x ln x + + x + x + + c. 5. ( 4 x + ) ( 4 x + ) 9 + c. 5. ( + x) + c. 5. I n n cos xsinn x + n n I n, n, I 4 4 sin xcos x 8 sinxcos x + 8 x + c. 54. I n xln n x ni n. 55. I n a xn e ax n a I n. 56. ln( + x) 57. n ( ) n xn+ n +, x,]. ( ) n xn+ (n + ), x,]. n

37 . ODREDENI INTEGRAL. Newton-Leibnitzova formula Supstitucija i parcijalna integracija Nepravi integral Površina ravninskog lika Duljina luka ravninske krivulje Volumen rotacionog tijela Oplošje rotacionog tijela Trapezna formula Simpsonova formula Zadaci za vježbu Rješenja zadataka za vježbu Newton-Leibnitzova formula Izračunajte integral x x + x +.

38 8 ODREDENI INTEGRAL Rješenje. Vrijedi x x + x + x (x + ) (x + ) { x (x+)(x+) A x+ + B x+ A,B x + ln x + x + ln x + (ln ln ) (ln ln ) ln ln ln 9 8. }. Supstitucija i parcijalna integracija Izračunajte integrale: (a) ( + x), (b) (c) e x, x ln (x + ).. Rješenje. (a) Vrijedi { + x t ( + x) dt 7 dt t t 7 x t 7 }

39 . Nepravi integral 9 (b) Koristimo formulu parcijalne integracije [M, teorem.7], pa slijedi { } x x cos t x x sin t dt π t π 4 4 sint cos t cos sin t dt t cos t π 4 dt tgt π 4 + t π 4 π 4. (c) Vrijedi e { } u ln (x + ) dv ln (x + ) du x+ v x xln (x + ) (e ) ln e e e x e e e e e x x + x + x + e + ln x + e (e ) + ln e. x + e. Nepravi integral Izračunajte slijedeće integrale: (a) (b) (c) x x +, x + 4x + 5, x.

40 ODREDENI INTEGRAL Rješenje. (a) Vrijedi b x x + lim b x x + x + t x 4t (t ) dt 4t x + (t x) t + t dt x t lim b t b ++b + t t t + dt t ( t t t ) lim b b ++b + x b t + b + + b t + t dt t t t + t lim b b ++b + 4dt t lim b b ++b b ++b + dt t lim ln t b t + + b lim ln + + b b b + + b + ln b + + lim ln b b ln + b b + ( ln ln ln ln + ). +

41 .4 Površina ravninskog lika (b) Vrijedi x + 4x + 5 lim a a b x + 4x lim b b lim a (x + ) + + lim b a lim arctg (x + ) a a x + 4x + 5 (x + ) + b + lim arctg (x + ) b lim [arctg arctg (a + )] + lim [arctg (b + ) arctg] a b arctg + π + π arctg π. (c) Vrijedi x pa integral divergira. x + ǫ x lim lim ε x + lim ( lim ε ε + lim δ δ lim ε ǫ ε δ x +δ ) + lim δ x + lim δ ( + ε ε, ) +δ x.4 Površina ravninskog lika Izračunajte površinu lika omedenog krivuljama: (a) y x,x,x i osi x, (b) x + y i y x unutar parabole, (c) { x acos t y asin t,t [,π], (astroida), (d) r a cos (ϕ),ϕ [,π], (Bernoullijeva lemniskata). Rješenje.

42 ODREDENI INTEGRAL (a) Prema slici. vrijedi P x x y x Slika.: Površina ravninskog lika (a) (b) Sjecišta krivulja x + y i y x su točke A(,) i B (,), (slika.), pa vrijedi P ( x x ) x x. Prvi se integral rješava parcijalnom integracijom [M, teorem.7], pa je P (x x + arcsin x ) x ( + arcsin ) ( + arcsin ) ( + ) + π. (c) Na slici. vidimo da se cijela površina P može računati kao 4P. Za računanje P korist ćemo formulu za površinu ravninskih likova, gdje je krivulja zadana

43 .4 Površina ravninskog lika.5 y B A.5.5 x Slika.: Površina ravninskog lika (b) parametarski [M,.6..]. P asin t acos t ( sin t) dt pa je π/ a 8 a π/ π/ 6 a 6 a t π/ sin 4 t cos t dt a π/ [ sin (t) sin (t)cos (t) ] dt π/ 6 aπ a π, [ cos (4t)] dt 8 a 4 6 a sin (4t) ( ) sin(t) cos (t) π/ π/ sin (t) d(sin (t)) (t) 6 asin P 4P 4 a π a π 8. π/ dt

44 4 ODREDENI INTEGRAL.5 y.5 P x Slika.: Astroida (d) Na slici.4 vidimo da se cijela površina P može izračunati kao 4P, gdje je P (koristimo formulu za površinu ravninskih likova, gdje je krivulja zadana u polarnim koordinatama [M,.6..]) pa je P a π/4 r dϕ cos (ϕ) π/4 π/4 a cos (ϕ) dϕ a a 4 sin (ϕ) ( cos π cos ) a 4, π/4 P 4P 4 a 4 a..5 Duljina luka ravninske krivulje (a) Nadite opseg lika omedenog krivuljama: y x i y x, { x (b) Izračunajte duljinu luka krivulje t t y t +, t [,]. Rješenje.

45 .5 Duljina luka ravninske krivulje P Slika.4: Bernoullijeva lemniskata (a) Krivulje y x i y x se sijeku u točkama A(,) i B (,). Ukupnu duljinu luka računat ćemo kao l (l + l ), (vidi sliku.5), koristeći formulu za duljinu luka krivulje [M,.6..], pa je i l iz čega slijedi ydy 8 (4 + 9y) l 7 (4 + 9y) dy (4 + 9y) d(4 + 9y) 9 ( ) 8 + x x arcsin x l [ 7 π 4, x ( ] ) 8 + π 5.. 4

46 6 ODREDENI INTEGRAL y.5 l B A.5 l x Slika.5: Duljina luka (a) (b) Za { x t t y t + je x(t) t i y (t) t, pa iz formule za duljinu luka krivulje zadane u polarnim koordinatama [M,.6..] slijedi l (t ) + 4t dt ( t + ) ( ) t dt + t. t 4 t + + 4t dt (t + ) dt.6 Volumen rotacionog tijela (a) Izračunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom lika omedenog parabolom: y x, osi y i pravcem y oko osi y. { x acos (b) Izračunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom astroide t y asin oko osi t y. Rješenje. (a) Koristeći formulu za volumen rotacionog tijela koje nastaje rotacijom krivulje [M,.6.], za krivulju x y u granicama od do koja rotira oko oko osi y,

47 .6 Volumen rotacionog tijela 7 vidi sliku.6, dobivamo V π ( y) dy π y π..5 y.5 x Slika.6: Rotacija parabole y x (b) Koristeći formulu za volumen rotacionog tijela { koje nastaje rotacijom krivulje x acos zadane parametarski [M,.6.], za krivulju t y asin (astroida), oko osi t y, i koristeći simetriju astroide dobivamo V π 6πa 6πa π/ { a cos 6 t asin t cos t dt ( t ) t dt 6πa ( t t 4 + t 6 t 8) dt 6πa ( t 6πa ( ) u sin t du cos t dt ( t t 4 + t 6 t 8) dt 6πa 6 5 πa 5. t π u t5 5 + t7 7 t9 9 } )

48 8 ODREDENI INTEGRAL.7 Oplošje rotacionog tijela Izračunajte oplošje tijela koja nastaje rotacijom luka parabole y 4x, oko osi x, od x do x 4. Rješenje. Koristeći formulu za oplošje rotacionog tijela [M,.6.4] i prema slici.7 dobivamo 5 4 y x Slika.7: Rotacija parabole y 4x b P π 4π a 4 4 y (x) + [y (x)] π x + x x 4π ( + x) x 4 8π + x ( 5 )..8 Trapezna formula Primjenom Trapezne formule [M,.7.] izračunajte integral I na 5 intervala. Rješenje. ln x, podijelom

49 .9 Simpsonova formula 9 pa je n 5 x i b a n. h 5 iz čega slijedi Integral je sada x i a + ih, h., i,,... n. x, x., x.4, x.6, x 4.8, x 5. [ ] f (x ) + f (x 5 ) I ln x. + f (x ) + f (x ) + f (x ) + f (x 4 ) [ ] Simpsonova formula Primjenom Simpsonove { formule [M,.7.] za n izvedite približnu formulu za x acos t duljinu luka elipse, t [, π y bsin t ]. Rješenje. I s b a 6n {f (x ) + f (x n ) + 4[f (x ) f (x n )] + [f (x ) + f (x n )]}. U našem je slučaju pa je n x, x π 4, x π. iz čega slijedi a f (x ) b, f (x ) + b, f (x ) a. ( l π ) a b + a b. 4

50 4 ODREDENI INTEGRAL. Zadaci za vježbu Izračunajte integrale: π e 4 ln5 π π 4 sin x cos 4 x x x + ln x + x e x e x e x + xcos x xsin x cos x e x sin(πx) Izračunajte neprave integrale (ili ustanovite njihovu divergenciju): 9... a e x x x + 4x + 9. Izračunajte površinu lika omedenog parabolom y x x i pravcem y x.. Izračunajte površinu lika omedenog parabolom y 4 x i pravcem x + y Izračunajte površinu lika omedenog kardioidom r a( + cos ϕ). 5. Izračunajte duljinu luka krivulje y (x ) izmedu točaka A(, ), B(5, 8).

51 . Rješenja zadataka za vježbu 4 6. Izračunajte duljinu luka krivulje x e t cos t, y e t sin t od t do t ln π. 7. Izračunajte duljinu luka krivulje r acos ϕ od ϕ do ϕ π. 8. Izračunajte duljinu luka kardioide r a( + cos ϕ). 9. Izračunajte volumen tijela koje nastaje kada luk parabole y x, x [,5], rotira oko osi y.. Izračunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom jednog svoda cikloide x a(t sin t), y a( cos t) oko osi x.. Izračunajte oplošje tijela koja nastaje rotacijom oko osi x jednog poluvala sinusoide y sin x.. Koristeći trapeznu formulu, n 4, izračunajte vrijednost integrala gdje je. Izračunajte integral 9 f(x) { sinx x, x >, x. π 6x 5 primjenom Simpsonove formule (n 8). f(x),. Rješenja zadataka za vježbu 4. π ln 5. 4 π π e a π 4 π π + + e e. Integral divergira.

52 4 ODREDENI INTEGRAL. π 5. P 9.. P. 4. P a π. 5. l l (π ). 7. l a 8 (π + ). 8. l 8a. 9. V π.. V 5π a. [ ]. P π + ln( + ).. I.8.. I

53 . FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI

54 44 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI

55 4. VIŠESTRUKI INTEGRALI

56 46 VIŠESTRUKI INTEGRALI

57 5. DIFERENCIJALNE JEDNADžBE 5. Uvod Populacijska jednadžba Logistička jednadžba Jednadžbe sa separiranim varijablama Homogene diferencijalne jednadžbe Diferencijalne jednadžbe koje se svode na homogene Egzaktne diferencijalne jednadžbe i integrirajući faktor Ortogonalne trajektorije Singularna rješenja Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Eulerova metoda Diferencijalne jednadžbe drugog reda - Opće rješenje Reduciranje DJ-e drugog reda na DJ-u prvog reda I Reduciranje DJ-e drugog reda na DJ-u prvog reda II Reduciranje DJ-e drugog reda na DJ-u prvog reda III Homogene LDJ drugog reda s konstantnim koeficijentima Nehomogene LDJ drugog reda s konstantnim koeficijentima Homogene LDJ višeg reda Princip superpozicije rješenja Metoda varijacije konstanti Sustavi diferencijalnih jednadžbi Lovac-plijen jednadžba Zadaci za vježbu Rješenja zadataka za vježbu

58 48 DIFERENCIJALNE JEDNADžBE 5. Uvod (a) Provjerite da li je ϕ(x) e x rješenje diferencijalne jednadžbe xy + x y. (b) Pokažite da je svaki član familije krivulja y Ce x rješenje diferencijalne jednadžbe y xy, te odredite ono rješenje koje zadovoljava početni uvjet y (). (c) Odredite diferencijalnu jednadžbu čije je rješenje familija krivulja y Cx + C. (d) Odredite krivulju iz familije krivulja y C e x C e x za koju je y () i y (). Rješenje. (a) Provjeru vršimo uvrštavanjem ϕ(x) u zadanu diferencijalnu jednadžbu. Prvo računamo derivaciju od ϕ(x) Uvrštavanjem dobivamo ϕ (x) e x x x x xe. x x e x + x xe x x x e x xe x. Dakle, ϕ(x) jest rješenje diferencijalne jednad žbe xy + x y. (b) Uvrštavanjem Ce x u zadanu diferencijalnu jednadžbu y xy, dobivamo Ce x x xce x, pa Ce x jest rješenje diferencijalne jednadžbe y xy. Preostaje još pronaći ono rješ enje koje zadovoljava početni uvjet y (). y () Ce C e. Traženo partikularno rješenje dobije se uvrštavanjem dobivene konstante C u opće rješenje. y Ce x,c e y e e x e (x ).

59 5. Populacijska jednadžba 49 (c) Zadanu familiju krivulja prvo deriviramo s ciljem eliminiranja konstante C. y Cx + C y C, pa uvrštavanjem u zadanu diferencijalnu jednadžbu dobivamo y xy + ( y ). (d) Vrijedi y C e x C e x y C e x + 4C e x. Uvrštavanjem početnih uvjeta dobivamo y () C e C e y () C e + 4C e. Rješenje sustava C C C + 4C. je C i C, pa se tra žena krivulja dobije uvrštavanjem tih konstanti u zadanu familiju krivulja ( y ) e x y e x. 5. Populacijska jednadžba Kultura bakterija u početku ima bakterija. Stopa rasta proporcionalna je broju bakterija. Nakon sata populacija je narasla na 9 jedinki. Odredite izraz koji daje broj bakterija nakon t sati. Odredite broj bakterija nakon sati. Rješenje. Zadani uvjeti su slijedeći: P () P () 9

60 5 DIFERENCIJALNE JEDNADžBE želimo izračunati P (t), a zatim i P () koristeći formulu za populacijsku jednadžbu [M, 5.]. dp dt kp integriranjem dobivamo P (t) Ae kt (5.) Iz uvjeta za početnu populaciju slijedi P () A P (t) e kt. Iz veličine populacije nakon dva sata slijedi 9 e k, pa je k ln 9 ln. Uvrštavanjem u (5.) dobivamo P (t) e tln Nakon sati broj bakterija bit će ln P () e P () Logistička jednadžba Vijesti se šire gradom tako da je brzina širenja vijest proporcionalna produktu dijela stanovništva y koji su čuli vijest i dijela stanovništva koji nisu čuli vijest. Gradić ima stanovnika. U 8 sati, vijest je čulo 8 ljudi, a do podne ju je čulo pola grada. (a) Napišite diferencijalnu jednadžbu koju y zadovoljava i rije šite je. (b) U kojem će trenutku 9% stanovništva znati vijest? Rješenje. (a) Vrijedi y ky ( y),

61 5. Logistička jednadžba 5 pa je Integriranjem dobivamo dy y ( y) k dt ( ) y + dy k dt. y ln y kt + ln C y y ln kt + ln C y y y Aekt. (b) Zadano je y () 8 y (4) 5 y (t ) 9. želimo izračunati t. Iz rješenja pod (a) slijedi 8 8 A A.8696 i pa je e4k k.6, y y.8696e.6t. Ako uvrstimo y (t ) 9 dobivamo iz čega je e.6t t ln Dakle u 8 sati + 7.6, odnosno u 5 sati i 6 minuta 9 ljudi će znati vijest.

62 5 DIFERENCIJALNE JEDNADžBE 5.4 Jednadžbe sa separiranim varijablama (a) Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe x + xy + y (y + xy). (b) Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe ( + x ) y + y + x xy, te partikularno rješenje koje zadovoljava početni uvjet y (). Rješenje. (a) Uvrštavanjem y dy u zadanu diferencijalnu jednadžbu dobivamo x + x y + y dy Ovo je diferencijalna jednadžba separiranih varijabli [M, 5.], pa je rješavamo integriranjem: x + x y + y dy x + y + + x dy + y + x dy + + y dy x ln x + y + ln y + + C Sredivanjem dobivamo x + y (ln x + + ln y + ) + ln C x + y ln C (x + ) (y + ).

63 5.5 Homogene diferencijalne jednadžbe 5 (b) Uvrštavanjem y dy u zadanu diferencijalnu jednadžbu dobivamo ( + x ) dy xy y + x ( + x ) dy y (x + x ) dy y x + x + x dy x + x y + x dy y x + x + x + x ln y ( d x + ) + x + x ln y ln ( + x ) ln x + x + + ln C Vrijedi ln y ln + x + ln x + x + + ln C ( Cy x + ) x + ln + x ( Cy x + ) x + e + x ( Cy x + ) x + + x. Za početni uvjet y () dobivamo C ( + ) + +, iz čega slijedi C, odnosno partikularno rješenje za ovaj početni uvjet je ( y x + ) x + + x. 5.5 Homogene diferencijalne jednadžbe Odredite opće rješenje diferencijalnih jednadžbi

64 54 DIFERENCIJALNE JEDNADžBE (a) yy y x. ( ) (b) + e x y + e x y Rješenje. (a) Uvrštavanjem y dy odnosno ( x ) dy. y u zadanu diferencijalnu jednadžbu dobivamo ydy (y x), (y x) ydy (5.) Ovo je homogena diferencijalna jednadžba. stupnja homogenosti, pa je rješavamo supstitucijom: y x z Uvrštavanjem u (5.) dobivamo y xz y z + xz (xz x) xz ( z + xz ) : x z z ( z + xz ) z z xz z xz dz z z zdz z z x zdz z z + x. Ovo je diferencijalna jednadžba separiranih varijabli, pa vrijedi zdz z z + x d( z z + ) + ln x + C ( d z z + ) z + z + z z + dz z ln x + C z + ln z z + + arctg z ln x + C ln z z + + arctg z ln x + C.

65 5.5 Homogene diferencijalne jednadžbe 55 Vraćanjem u susptituciju y x z dobivamo ln y y x x + + arctg y x ln x + C ln y xy + x ln x + arctg y x x ln x + C ln y xy + x + arctg y x x C ln C y xy + x + arctg y x x. (b) Ovo je homogena diferencijalna jednadžba stupnja homogenosti, pa je rješavamo supstitucijom: x y z x yz dy x z + yz Uvrštavanjem u zadanu diferencijalnu jednadžbu dobivamo ( + e z ) ( z y + z ) + e z ( z) z y + z + yz e z + ze z + e z ze z z y ( + e z ) z e z y ( + e z ) dz z ez dy y ( + e z ) dz ( z e z ) dy + ez dy e z dz + z y. Ovo je diferencijalna jednadžba separiranih varijabli, pa vrijedi d(e z + z) dy e z + z y ln e z + z ln y + C e z + z Cy e z + z Cy.

66 56 DIFERENCIJALNE JEDNADžBE Vraćanjem u susptituciju x y z dobivamo e x y + x y Cy. 5.6 Diferencijalne jednadžbe koje se svode na homogene Odredite opće rješenje diferencijalnih jednadžbi (a) (y 7x + 7) (x 7y ) dy, (b) y x + y 4x + y + 5. Rješenje. (a) Zadanu diferencijalnu jednadžbu možemo pisati kao Tražimo sjecište pravaca: dy 7x + y + 7 x 7y. (5.) 7α + β + 7 α 7β. Rješavanjem sustava dobije se α, β, pa zadanu diferencijalnu jednadžbu rješavamo supstitucijom Uvrštavanjem u (5.) dobivamo dy dy x X + y Y. 7X + Y X 7Y + 7X + Y X 7Y. (5.4) Ovo je homogena diferencijalna jednadžba, pa je rješavamo supstitucijom: Y X z Y Xz Y z + Xz

67 5.6 Diferencijalne jednadžbe koje se svode na homogene 57 Uvrštavanjem u (5.4) dobivamo z 7 + z X + z 7z dz 7 + z z + 7z X dx 7z 7z + 7(z ) dz dx X. Ovo je diferencijalna jednadžba separiranih varijabli, pa je rješ avamo integriranjem Sredivanjem dobivamo z z dz + 7 7z + dx 7(z ) dz X dz dx z X ln ( z ) + 7 ln z ln CX. z + CX CX CX Vraćanjem u susptituciju z Y X odnosno C (x ) [ (z ) 7 ( ) ] z 4 z + [(z ) 4 (z + ) ] 4 [ (z ) (z + ) 5] 7 y x dobivamo [ ( ] ) y ( ) y 5 7 x x +, (y x + ) (y + x ) 5 C. (b) Pravci x + y 4x + y + 5

68 58 DIFERENCIJALNE JEDNADžBE su paralelni ( 4 ) pa koristimo supstituciju z x + y z + y y z. Uvrštavanjem u zadanu diferencijalnu jednadžbu dobivamo z z z + 5 z z + 4z + z + 5 dz 5z + 9 z + 5 z + 5 dz. 5z + 9 Ovo je diferencijalna jednadžba separiranih varijabli, pa vrijedi z + 5 5z + 9 dz 5 z + 7 ln (5z + 9) x + C 5 Vraćanjem u susptituciju z x + y dobivamo 5 (x + y) + 7 ln(x + 5y + 9) x + C Egzaktne diferencijalne jednadžbe i integrirajući faktor (a) Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe y sin y xcos y. (b) Rješite egzaktnu diferencijalnu jednadžbu, ako je λ λ(x). (xy + x y + y ) + ( x + y ) dy (c) Rješite egzaktnu diferencijalnu jednadžbu y ( + xy) xdy, ako je λ λ(y). Rješenje. (a) Zadanu diferencijalnu jednadžbu možemo zapisati u obliku sin y + xcos ydy.

69 5.7 Egzaktne diferencijalne jednadžbe i integrirajući faktor 59 Ovo je egzaktna diferencijalna jednadžba [M, 5.7] jer vrijedi P y cos y Q x Rješenje zadane diferencijalne jednadžbe dobije se rješavanjem integrala x x P (x,y) + y y Q(x,y) dy C Za početnu točku (x,y ) uzmimo npr. točku (,), pa vrijedi x y sin y + cos ydy C xsin y i to je rješenje zadane diferencijalne jednadžbe. x + C xsin y C, (b) Kako je λ λ(x) računamo ga po formuli za inetgrirajući faktor [M, 5.7], pa je Rješenje dobivamo inetgriranjem x x za npr. početnu točku (, ) je x R x+x +y x λ(x) ±e x +y ±er ±e x. ( ) y xy + x y + y e x ( + x + y ) e x dy C ) (x y + x + e x ( + x + y ) e x dy C y y + x e x dy + e x y dy C y x e x y y + e xy y C x e x y + e x y C ( ) e x x y + y C

70 6 DIFERENCIJALNE JEDNADžBE (c) Kako je λ λ(y) rač unamo ga po formuli za inetgrirajući faktor [M, 5.7], pa je R +xy+ λ(x) ±e y(+xy) ±e R y ±e ln y ± y i rješenje dobivamo integriranjem x x za npr. početnu točku (, ) x + xy y + xy y y y y x y x x y dy C y dy C + x x C x y + x C. 5.8 Ortogonalne trajektorije Odredite ortogonalne trajektorije familije elipsa x + y a. Rješenje. Derivirajnem dobivamo x + 4yy x + yy Diferencijalna jednadžba ortogonalnih trajektorija zadane familije elipsa dobije se uvrštavanjem y umjesto y. x + y ( y ) x y y y y x Ovo je diferencijalna jednadžba separiranih varijabli, pa vrijedi

71 5.9 Singularna rješenja 6 dy y x dy y x ln y ln x + C y Cx Dakle, rješenje je familija parabola y Cx. 5.9 Singularna rješenja Odredite singularna rješenja diferencijalnih jednadžbi (a) y ( y + ) x ( y ). (b) ( y ) ( y) 4( y). Rješenje. (a) Deriviranjem zadane diferencijalne jednadžbe po y dobivamo y xy. Da bi dobili potencijalna singularna rješenja zadane diferencijalne jednadžbe rješavamo sustav: y ( y + ) x ( y ) y xy. Iz druge jednadžbe slijedi y y x, pa uvrštavanjem u prvu dobivamo ( y ) ( y ) y x + x x y x + 4y y x y x + 4y y + 4xy.

72 6 DIFERENCIJALNE JEDNADžBE Rješenja ove jednadžbe su y,y 4x Da bi to bila singularna rješenja zadane diferencijalne jednadžbe nužno je i dovoljno je da je zadovoljavaju, pa ćemo to i provjeriti: Za y je pa y jest singularno rješenje. Za y 4x je y ( y + ) x ( y ), y ( y + ) x ( y ) 8x( 4 + ) 6x, pa je i y 4x singularno rješenje zadane diferencijalne jednadžbe. (b) Deriviranjem zadane diferencijalne jednadžbe po y dobivamo Rješavamo sustav: Iz prve jednadžbe slijedi pa uvrštavanjem u drugu dobivamo y ( y). ( y ) ( y) 4( y) y ( y). y y y, y y ( y) y ( y) Rješenja ove jednadžbe su y,y. Provjerimo da li ova rješenja zadovoljavaju početnu diferencijalnu jednadžbu. Za y je ( y ) ( y) 4( y),

73 5. Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda 6 pa y jest singularno rješenje. Za y je ( y ) ( y) 4( y) ( () ( 4 ) ) 4, pa y nije singularno rješenje zadane diferencijalne jednadžbe. 5. Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda Odredite opće rješenje diferencijalnih jednadžbi: (a) y cos x y sin x sin (x). (b) y (c) y y e x.,a. xcos y + asin (y) (d) ( x + ) y + 4xy. Napomena: Zadatke pod (a) i (b) rješavat ćemo primjenom formule za rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe [M, 5.8], a zadatke pod (c) i (d) metodom varijacije konstanti. Rješenje. (a) Dijeljenjem zadane diferencijalne jednadžbe sa cos x dobivamo y sin xcos x ytgx cos x y ytgx sin x U formulu za rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe [M, 5.8] uvrštavamo p (x) tgx,q (x) sin x

74 64 DIFERENCIJALNE JEDNADžBE i dobivamo y e R [ ( tgx) R [ y e tgx y e R d(cos x) cos x y e ln cos x y cos x y cos x y cos x y cos x y ] sin ( tgx) xer + C ] sin xe R tgx + C [ ] R d(cos x) sin xe cos x + C [ ] sin xe ln cos x + C [ ] sin x cos x + C [ ] sgn (cos x) sin xcos x + C [ ] sgn (cos x) sin x + C [ ( sgn (cos x) ) ] cos x + C cos x cos x + C cos x. (b) Neka je x x(y). Tada je y dy dy x, pa zadanu diferencijlanu jednadžbu možemo pisati kao x xcos y + asin (y) x xcos y + asin (y) x xcos y asin (y). U formulu za rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe [M, 5.8] uvrštavamo p (y) cos y,q (y) asin (y)

75 5. Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda 65 i dobivamo x e [a sin y x e [a sin y [ a sin (y) e R ] cos ydy dy + C ] x e R cos ydy x e [a sin y sin(y) e sin y dy + C ] sin y cos ye sin y dy + C sin y cos ye sin y dy + C ]. (5.5) Označimo sa I integral sin y cos ye sin y dy i rješimo ga: { } I sin y cos ye siny sin y t dy te t dt cos ydy dt { u t dv e t } dt du dt v e t te t + e t dt te t e t (t + ) e t (sin y + ) e siny. Uvrštavanjem dobivenog rješenja u (5.5) slijedi x e sin y [ a(sin y + ) e siny + C ] x Ce siny a(sin y + ). (c) Ovu linearnu diferencijalnu jednadžbu rješavat ćemo metodom varijacije konstanti. Prvo ćemo rješiti pripadnu homogenu diferencijalnu jednadžbu, koja je diferencijalna jednadžba separiranih varijabli. y y dy y dy y dy y ln y x + C ln Cy x y Ce x. Sada je opće rješenje zadane diferencijalne jednadžbe oblika y C (x)e x, pa ga u nju i uvrštavamo. C (x)e x + C (x)e x C (x) e x e x

76 66 DIFERENCIJALNE JEDNADžBE Integriranjem dobivamo C (x). C (x) e x e x C (x) C (x) C (x) x + A. Dakle, opće rješenje zadane diferencijalne jednadžbe glasi: y (x + A)e x. (d) I ovu linearnu diferencijalnu jednadžbu rješavat ćemo metodom varijacije konstanti. Prvo ćemo rješiti pripadnu homogenu diferencijalnu jednadžbu. y 4x x + y dy 4x x + y dy y 4x x + ( dy d x y + ) x + ln y ln ( x + ) + ln C C y (x + ). Sada je opće rješenje zadane diferencijalne jednadžbe oblika y C (X) (x + ), pa ga uvrštavamo u zadanu diferencijalnu jednadžbu. C (X) ( x + ) ( 4x x + ) C (X) (x + ) 4 + 4x x + Sredivanjem dobivamo C (X) ( x + ) 4xC (X) (x + ) + 4x x + C (x) ( x + ) C (x) x + x + A. Dakle, opće rješenje zadane diferencijalne jednadžbe glasi: y x + x + A (x + ). C (X) (x + ) x + C (X) (x + ) x +

77 5. Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Odredite opće rješenje diferencijalnih jednadžbi: (a) y xy y e x. (b) ( x y + xy ) y. Rješenje. (a) Uvodenjem supstitucije z y z y y z y y i dijeljenjem zadane diferencijalne jednadžbe sa y dobivamo y y x y e x z xz e x z + xz e x, a ovo je linearna diferencijalna jednadžba. U formulu za rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe [M, 5.8] uvrštavamo p (x) x,q (x) e x i dobivamo z e R [ x z e x [ ] e er x x + C ] e x e x + C z e x (x + C) Vraćanjem u susptituciju z y dobivamo y e x (x + C).

78 68 DIFERENCIJALNE JEDNADžBE (b) Neka je x x(y). Tada je y dy dy x, pa zadanu diferencijlanu jednadžbu možemo pisati kao: ( x y + xy ) x x ( x y + xy ) x xy x y. Dijeljenjem zadane diferencijalne jednadžbe sa x dobivamo pa uvodimo supstituciju x x y x y, (5.6) z x z x x z x x. Sada diferencijalna jednadžba (5.6) glasi: z + yz y a ovo je linearna diferencijalna jednadžba u kojoj je p (y) y,q (y) y pa uvrštavanjem u formulu za rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe [M, 5.8] dobivamo z e R [ ] ydy y ydy er dy + C Rješavanjem integrala i vraćanjem u spustituciju dobivamo konačno rješenje zadane diferencijalne jednadžbe x y + Ce y.

79 5. Eulerova metoda Eulerova metoda (a) Eulerovom metodom s korakom.5 izračunajte približne vrijednosti za ako je y (x) rješenje početnog problema y i (x i ),i,...,4 y + x y y (). (b) Eulerovom metodom s korakom. izračunajte približnu vrijednost y (), ako je y (x) rješenje početnog problema y x + y y (). Rješenje. (a) Vrijedi F (x,y) + x y x,y Za korak h.5 vrijedi x,x.5,x,x.5,x 4. Koristeći formulu [M, 5.4] Eulerove metode y y (x ) y (.5) y +.5( + x y ) +.5( + ) y y () y +.5( + x y ) +.5( +.5 ).75 y y (.5) y +.5( + x y ) ( +.75).5 y 4 y () y +.5( + x y ).5 +.5( +.5.5) 4.5 (b) Vrijedi F (x,y) x + y x,y Za korak h. vrijedi x,x.,x.4,x.6,x 4.8,x 5.

80 7 DIFERENCIJALNE JEDNADžBE Koristeći formulu [M, 5.4] Eulerove metode dobivamo y y +. ( x + y) ( +. + ) y y +. ( x + y) ( ).4 y y +. ( x + y) ( ). y 4 y +. ( x + y) ( ).45 y 5 y 4 +. ( x 4 + y4) ( ).4546 y (). 5. Diferencijalne jednadžbe drugog reda - Opće rješenje Ispitajte da li je y C x + C opće rješenje diferencijalne jednadžbe xy y u području x > i odredite partikularno rješenje koje odgovara početnim uvjetima y() 4, y (). Rješenje. Funkciju y(x) C x + C dva puta deriviramo po varijabli x i dobivamo: y (x) C x, y (x) 4 C x. Uvrštavanjem dobivenih derivacija u zadanu diferencijalnu jednadžbu dobivamo istinitu jednakost x 4 C x C x i zaključujemo da je y(x) C x + C opće rješenje zadane diferencijalne jednadžbe. Da bismo odredili partikularno rješenje, u opće rješenje i njegovu prvu derivaciju ćemo uvrstiti zadane početne uvjete. Na taj način iz uvjeta y () dobivamo C, a potom, iz uvjeta y() 4 slijedi C. Dakle, partikularno rješenje, koje zadovoljava zadane početne uvjete, glasi y(x) x Reduciranje DJ-e drugog reda na DJ-u prvog reda I Ako se u DJ-i drugog reda, kojoj je opći oblik y f(x,y,y ), ne pojavljuje eksplicitno jedna od varijabli x, y ili y onda kažemo da je DJ-a nepotpuna te ju možemo riješiti reduciranjem (spuštanjem) reda. Odredite partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe y xe x uz početne uvjete y(), y (). Rješenje. Ako je DJ-a drugog reda oblika y f(x) onda njeno opće rješenje dobivamo uzastopnim integriranjem zadane jednadžbe.

81 5.5 Reduciranje DJ-e drugog reda na DJ-u prvog reda II 7 Dakle, integrirajmo, po varijabli x, jednadžbu y xe x. Dobivamo y (x) xe x e x + C. (5.7) Sada ćemo iskoristiti zadani uvjet y () tj. uvrstit ćemo ga u (5.7) pa slijedi C. Jednakost (5.7) integriramo još jednom i dobivamo Iz (5.8) i uvjeta y() je sada C. y(x) (x + )e x + C x + C. (5.8) Time smo dobili da partikularno rješenje ove diferencijalne jednadžbe, uz zadane početne uvjete, glasi y(x) (x + )e x + x. 5.5 Reduciranje DJ-e drugog reda na DJ-u prvog reda II Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe y + y tg x sin(x). Rješenje. Diferencijalne jednadžbe oblika y f(x,y ) rješavamo uvodenjem supstitucije y (x) p(x) te na taj način zadanu diferencijalnu jednadžbu drugog reda svedemo na diferencijalnu jednadžbu prvog reda. Dakle, neka je y (x) p(x). Tada je y (x) p (x) pa, nakon uvodenja ovih zamjena u zadanu diferencijalnu jednadžbu, dobivamo p + p tg x sin(x). (5.9) Jednadžba (5.9) je linearna diferencijalna jednadžba prvog reda koju ćemo riješiti primjenom formule [M, 5.8]. Slijedi p(x) e R [ tg x ] R sin(x)e tg x + C [ ] e ln cos x sin xcos xe ln cos x + C [ ] cos x sgn(cos x) sin x + C cos x [sgn(cos x) ( cos x) + C ] cos x + C cos x. Da bismo dobili opće rješenje zadane jednadžbe pomoćni parametar p zamjenit ćemo sa dy. Slijedi

82 7 DIFERENCIJALNE JEDNADžBE y(x) ( cos x + C cos x) y(x) ( + cos(x)) + C cos x + C. Dakle, opće rješenje glasi y(x) x sin(x) + C sin x + C. 5.6 Reduciranje DJ-e drugog reda na DJ-u prvog reda III Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe (y ) (y )y. Rješenje. U slučaju kada diferencijalna jednadžba ne sadrži eksplicitno nezavisnu varijablu x tj. ima oblik y f(y,y ) rješavamo ju uvodenjem supstitucije y (x) p(y). Tada je y (x) dp dy p(y). Nakon ovih zamjena zadana diferencijalna jednadžba poprima sljedeći oblik [ p p (y ) dp ]. dy Iz p(y) dy dobivamo partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe y C. Iz p (y ) dp ćemo, separiranjem varijabli, doći do općeg rješenja zadane dy diferencijalne jednadžbe. Naime, vrijedi C dp p dy y ln p ln y + ln C p C(y ) dy C (y ) dy. (y ) Nakon integriranja dobivamo opće rješenje oblika (x + C )(y ) C.

83 5.7 Homogene LDJ drugog reda s konstantnim koeficijentima Homogene LDJ drugog reda s konstantnim koeficijentima Odredite opća odnosno partikularna rješenja diferencijalnih jednadžbi: (a) y 5y 6y, (b) y y + y ako je y() 4 i y (), (c) y + 4y + y. Rješenje. Prema [M, 5.] opće rješenje homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima ima oblik y(x) C y (x) + C y (x) gdje su y i y linearno nezavisna partikularna rješenja do kojih ćemo doći rješavajući karakterističnu jednadžbu zadane diferencijalne jednadžbe. Karakterističnu jednadžbu formiramo na način da u zadanoj diferencijalnoj jednadžbi umjesto y pišemo λ, umjesto y pišemo λ i umjesto y pišemo. Dobivamo kvadratnu jednadžbu u varijabli λ čija će rješenja, λ i λ, odredite oblik općeg rješenja diferencijalne jednadžbe na sljedeći način. Ako su λ i λ realni i ralzičiti brojevi onda opće rješenje diferencijalne jednadžbe glesi y(x) C e λ x + C e λ x. Ako su λ i λ realni i jednaki brojevi tj. λ λ λ onda opće rješenje ima oblik y(x) C e λx + C xe λx. Ako su λ i λ konjugiorano kompleksni brojevi tj λ, a±bi onda je opće rješenje zadane diferencijalne jednadžbe y(x) e ax (C cos(bx) + C sin(bx)). (a) Karakteristična jednadžba glasi λ 5λ 6. Njena rješenja su: λ 6 i λ. Prema gore opisanom postupku zaključujemo da opće rješenje zadane diferencijalne jednadžbe ima oblik y(x) C e 6x + C e x. (b) Karakteristična jednadžba ima oblik λ λ + i rješenja λ,. Tada je opće rješenje diferencijalne jednadžbe y(x) e x ((C + C x). Iz y() 4 dobivamo da je C 4, a iz drugog zadanog uvjeta y () slijedi da je C. Dakle, partikularno rješenje diferencijalne jednažbe je y(x) e x (4 x). (c) Iz karakteristične jednadžbe λ +6λ+ dobivamo rješenja λ, ±i. Tada opće rješenje zadane diferencijalne jednadžbe glasi y(x) e x (C cos(x) + C sin(x)). 5.8 Nehomogene LDJ drugog reda s konstantnim koeficijentima Izračunajte opća odnosno partikularna rješenja sljedećih diferencijalnih jednadžbi: (a) y y + y x, (b) y 8y + 6y e 4x, ako je y() i y (),