RADNA VERZIJA. Matematika 2. Zbirka zadataka. Ivan Slapničar. Josipa Barić. w w w. f e s b. h r / m a t 2. Split, 2012.
|
|
- Ἔρεβος Αξιώτης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 S V E U Č I L I Š T E U S P L I T U FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE Ivan Slapničar Nevena Jakovčević Stor Josipa Barić Ivančica Mirošević Matematika RADNA VERZIJA Zbirka zadataka w w w. f e s b. h r / m a t Split,.
2
3 Sadržaj Popis slika Predgovor viii ix. NEODREDENI INTEGRAL. Neposredno integriranje Metode supstitucije Uvodenje novog argumenta Metoda parcijalne integracije Rekurzivne formule Integriranje racionalnih funkcija Integriranje trigonometrijskih funkcija Integriranje iracionalnih funkcija racionalnom supstitucijom Eulerova i trigonometrijska supstitucija Metoda neodredenih koeficijenata Binomni integral Integriranje razvojem u red Zadaci za vježbu Rješenja zadataka za vježbu ODREDENI INTEGRAL 5. Newton-Leibnitzova formula Supstitucija i parcijalna integracija Nepravi integral Površina ravninskog lika Duljina luka ravninske krivulje iii
4 .6 Volumen rotacionog tijela Oplošje rotacionog tijela Trapezna formula Simpsonova formula Zadaci za vježbu Rješenja zadataka za vježbu Funkcije više varijabli. Područje definicije funkcije Parcijalna derivacija prvog reda Parcijalna derivacija drugog reda Parcijalna derivacija trećeg reda Parcijalna diferencijalna jednadžba Totalni diferencijal prvog reda Totalni diferencijal drugog reda Derivacija složene funkcije jedne varijable Parcijalne derivacije složene funkcije dviju varijabli Derivacija funkcije jedne varijable zadane implicitno Parcijalne derivacije funkcije dviju varijabli zadane implicitno Totalni diferencijal implicitno zadane funkcije Tangencijalna ravnina i normala Primjer primjene tangencijalnih ravnina Lokalni ekstremi funkcije dviju varijabla Primjena ekstrema,. primjer Primjena ekstrema,. primjer Lokalni ekstremi funkcija triju varijabla Ekstremi funkcija više varijabli na zatvorenom području,. primjer 58. Ekstremi funkcija više varijabli na zatvorenom području,. primjer 6. Problem vezanog ekstrema Primjena vezanog ekstrema,. primjer Primjena vezanog ekstrema,. primjer Zadaci za vježbu Rješenja zadataka za vježbu iv
5 . Višestruki integrali 7. Područje integracije u dvostrukom integralu Neposredno integriranje u dvostrukom integralu Polarne koordinate u dvostrukom integralu Eliptične koordinate u dvostrukom integralu Površina ravninskog lika Volumen tijela,. primjer Volumen tijela,. primjer Površina dijela plohe u prostoru Područje integracije u trostrukom integralu Neposredna integracija u trostrukom integralu Cilindrične koordinate u trostrukom integralu Sferne koordinate u trostrukom integralu Volumen tijela Koordinate težišta homogenog tijela Zadaci za vježbu Rješenja zadataka za vježbu DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE Uvod Populacijska jednadžba Logistička jednadžba Jednadžbe sa separiranim varijablama Homogene diferencijalne jednadžbe Diferencijalne jednadžbe koje se svode na homogene Egzaktne diferencijalne jednadžbe i integrirajući faktor Ortogonalne trajektorije Singularna rješenja Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Eulerova metoda Diferencijalne jednadžbe drugog reda - Opće rješenje Reduciranje DJ-e drugog reda na DJ-u prvog reda I v
6 5.5 Reduciranje DJ-e drugog reda na DJ-u prvog reda II Reduciranje DJ-e drugog reda na DJ-u prvog reda III Homogene LDJ drugog reda s konstantnim koeficijentima Nehomogene LDJ drugog reda s konstantnim koeficijentima Homogene LDJ višeg reda Princip superpozicije rješenja Metoda varijacije konstanti Sustavi diferencijalnih jednadžbi Lovac-plijen jednadžba Zadaci za vježbu Rješenja zadataka za vježbu Metoda najmanjih kvadrata i QR rastav 5 6. Problem najmanjih kvadrata Linearna regresija QR rastav QR rastav vektora i matrice Rješavanje problema najmanjih kvadrata uz pomoć QR rastava 6.. Zadaci za vježbu Rješenja zadataka za vježbu vi
7 Popis slika. Površina ravninskog lika (a) Površina ravninskog lika (b) Astroida Bernoullijeva lemniskata Duljina luka (a) Rotacija parabole y x Rotacija parabole y x Područje definicije funkcije z(x,y) + (x y) Područje definicije funkcije z(x, y) x y. Područje definicije funkcije z(x,y) ln(x+y) y x. Područje definicije funkcije z(x, y) ln(x +y ) Područje definicije funkcije z(x,y) arcsin x + xy Tangencijalna ravnina na plohu z x +y u točki T(,,5) Stožac x + y z i sfera x + y + (z ) (dodiruju se u točkama (,±,±)) Ploha z xy x y Ploha z e x y (x y ) Ploha z x y +xy 6x nad zatvorenim područjem D {(x,y) R : x,y,x+y } Ploha z x y nad zatvorenim područjem D {(x,y) R : x +y } Dio plohe z x+y uz uvjet x +y Proizvoljni stožac upisan u kuglu polumjera - projekcija vii
8 . Područje integracije D {(x,y) R : x, e x y e x }.. 7. Područje integracije D {(x,y) R : x, x y x} Područje integracije D D D {(x,y) R : y, x y} {(x,y) R : y 8, x } Područje integracije S {(r,ϕ) R : π ϕ π, r } Područje integracije S {(r,ϕ) R : ϕ π, r } }.6 Podruǰe integracije S {(x,y) R : (x ) 9 + (y+),y Tijelo omedjeno plohama z x + y, z, y x, y 6 x i y, te njegova projekcija na xy ravninu Tijelo odredjeno s z x + y, z (x + y ) i z, te njegova projekcija na xy ravninu Odsječakravnineπ...6x+y+z uprvomoktantuinjegova projekcija na yz ravninu Kugla radijusa sa središtem u ishodištu, te njezina projekcija na xy ravninu Stožac odredjen sa z x +y, z 5, i njegova projekcija na xy ravninu Područje integracije zadano s x +z i y Područje integracije V...x +y +z Tijelo omedjeno paraboloidom z x +y i ravninom y +z, i njegova projekcija na xy ravninu Tijelo omedjeno sferom x +y +z i stošcem z x +y (izvan stošca) y viii
9 Predgovor Ova zbirka namijenjena je studentima tehničkih i prirodnih znanosti, a u prvom redu studentima Sveučilišta u Splitu, Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje (FESB). U zbirci je izloženo gradivo kolegija Matematika po sadržaju koji se predaje na FESB-u. Sličan sadržaj nalazi se u većini istoimenih kolegija koji se predaju na tehničkim i prirodoslovnim fakultetima. Zbirka prati gradivo i način izlaganja udžbenika Sveučilišta u Splitu: I. Slapničar, Matematika, te se rješenja zadataka, radi lakšeg praćenja i razumijevanja, referencijraju na odgovarajuće djelove udžbenika. Pored potpuno riješenih zadataka, zbirka sadrži i zadatake za vježbu s rješenjima. Posebnost zbirke je u tome što svaki zadatak ima naslov iz kojeg se vidi što student treba naučiti. Budući se radi o standardnom sadržaju, nije citirana posebna literatura. Spomenut ćemo samo neke od knjiga koje su utjecale na sadržaj, a koje preporučujemo i čitatelju: B. P. Demidović, Zadaci i riješeni primjeri iz više matematike, Tehnička knjiga, Zagreb, 978. P. Javor, Matematička analiza, Zbirka zadataka, Školska knjiga, Zagreb, 989. V. Devide, Riješeni zadaci iz više matematike, svezak II, III, Školskaknjiga, Zagreb, 99. B. Apsen, Riješeni zadaci više matematike, drugi dio, Tehnička knjiga, Zagreb, 98. U izradi zbirke korištena su iskustva i zabilješke bivših i sadašnjih nastavnika matematike na FESB-u pa im ovom prilikom iskazujemo svoju zahvalnost. U Splitu, ožujka. Autori ix
10
11 . NEODREDENI INTEGRAL. Neposredno integriranje Metode supstitucije Uvodenje novog argumenta Metoda parcijalne integracije Rekurzivne formule Integriranje racionalnih funkcija Integriranje trigonometrijskih funkcija Integriranje iracionalnih funkcija racionalnom supstitucijom...9 Eulerova i trigonometrijska supstitucija Metoda neodredenih koeficijenata Binomni integral Integriranje razvojem u red Zadaci za vježbu Rješenja zadataka za vježbu Neposredno integriranje Izračunajte integrale: (a) (b) (c) (d) (e) ( x ) x x, x x +, x +5 x x, sin xcos x, tg x.
12 NEODREDENI INTEGRAL Rješenje. U računanju primjenjujemo [M, teorem.] i tablicu osnovnih integrala [M,..]. (a) Da bismo mogli primjeniti integral potencije iz tablice osnovnih integrala podintegralu funkciju prvo zapisujemo u jednostavnijem obliku, pa vrijedi ( x ) x ( x ( g)x x x x 5 x7 7 x ( x +7 ) 7 x +C x x 7 +C. + x +C (b) Tablični integral dobivamo nakon što brojniku dodamo i oduzmemo broj, pa vrijedi x x x + + x + x + x tgx+c. (c) Vrijedi x +5 x x ( ) x x ln5 x ln +C. ( ) x ( x ( x 5) ln + ) 5 ln +C (d) Koristeći osnovni trigonometrijski identitet dobivamo sin sin xcos x x+cos x sin xcos x cos x + tgx ctgx+c. sin x (e) Zapisivanjem funkcije tgx u obliku tgx sinx cosx dobivamo ( ) tg x cos x cos x tgx x+c.. Metode supstitucije Izračunajte integrale: (a) x a,
13 . Metode supstitucije (b) +e x, (c) (d) sin x x, cosx +sinx. Rješenje. Integrale računamo svodeći zadani integral na tablični dopustivom zamjenom varijable integracije nekom funkcijom(bijekcijom) ili dopustivom zamjenom nekog analitičkog izraza novom varijablom integracije. (a) Umjesto x a uvodimo novu varijablu t. Potrebno je promijeniti i koji je u ovom slučaju jednak dt, jer je dt d(x a). { x a t x a dt } dt t ln x a +C. (b) Umjesto +e x uvodimo novu varijablu t, pa vrijedi +e x +e x t e x dt x ln(t ) dt t dt t t t dt dt ln t ln t +C t lne x ln(+e x )+C x ln(+e x )+C. { dt (t )t (t )t A t + B t A B } Osim suspstitucije u ovom zadatku korišten je i rastav na parcijalne razlomke gdje smo razlomak pod integralom (t )t rastavili na dva jednostavnija. (c) Zbog pojave x u podintegralnom izrazu uvodimo zamjenu x t, pa vrijedi sin x x { } x t sint t dt t t dt sintdt cost+c cos x+c. (d) Vrijedi { cosx +sinx t +sinx cos dt } dt t ln t +C ln +sinx +C.
14 NEODREDENI INTEGRAL. Uvodenje novog argumenta Izračunajte integrale: (a) sinx, (b) (c) (lnx), x x +x. Rješenje. Da bismo zadane integrale sveli na tablične umjesto x uvodimo novi argument, pa umjesto imamo d(noviargument). (a) Novi argument je x, a kako je d(x) integral je potrebno jo pomnožiti s. sinx sinx(x) cos(x)+c. (b) Za novi argument uzimamo ln x, pa vrijedi (lnx) x (lnx) d(lnx) (lnx)5 5 +C. (c) Vrijedi x (+x +x ) x (+x ) x (+x ) d ( +x ) ( +x ) +C. Ovi integrali mogu se rješiti i metodom supstitucije tipa (noviargument) t.. Metoda parcijalne integracije Izračunajte integrale: (a) xe x, (b) (c) xln x, xln +x x,
15 . Metoda parcijalne integracije 5 (d) (e) x +x, e x sinx. Rješenje. U računaju zadanih integrala koristimo formulu parcijalne integracije [M, teorem.7]. Ideja je da integral koji se pojavi nakon parcijalne integracije bude jednostavniji od zadanog integrala. (a) U parcijalnoj integraciji uzimamo da je u x i dv e x, jer time x derivacijom postaje čime se integriranje pojednostavnjuje. { } u x dv e xe x x du v e x e x xe x e x xe x e x +C (x )e x +C. (b) Parcijalnu integraciju možemo provoditi i više puta uzastopce, npr. u slijedećem intgralu zadano je ln x, pa nakon dvije parcijelne integracije ln nestaje. { xln u ln x dv } x x du lnx x v x x ln x { } xlnx u lnx dv x du x v x x ln x ( x lnx ) x x ln x 8 x lnx+ 9 6 x +C 7 ( x ln x lnx+ 8 ) +C. 9 (c) Vrijedi xln +x x { u ln +x x du x x x x } dv x x v x +x x ln x x +x x ln x + x +x ln x x +x ln x +x +x ln x +C ( x + ) ln +x x +x+c.
16 6 NEODREDENI INTEGRAL (d) x u brojinku zapisujemo kao x x, pa slijedi x x x +x +x { u x dv x } +x du x v x +x +x x +x +x x x +x +x d ( +x ) x +x ( x + ) +C. (e) Vrijedi { } e x u e x dv sinx sinx du e x v cosx e x cosx+ e x cosx { } u e x dv cosx du e x v sinx e x cosx+e x sinx e x sinx. Integral koji preostaje izračunati jednak je početnom integralu, označimo ga sa I, pa izjednačavanjem lijeve i desne strane dobivamo: iz čega slijedi I e x cosx+e x sinx I, I e x (cosx sinx) I e x sinx ex (cosx sinx)+c..5 Rekurzivne formule Nadite rekurzivnu formulu za integral: I n (a x ) n, n N. Rješenje. Za n vrijedi (a I x ) ) a x (a x +C x x +C.
17 .6 Integriranje racionalnih funkcija 7 Za n vrijedi { (a I n x ) n u ( a x ) n du nx ( a x ) n x ( a x ) n nx ( a x ) n x ( a x ) n [ ( +n a x )] n +n x ( a x ) n nin +na I n. } dv v x a ( a x ) n Izjednačavanjem lijeve i desne strane dobivamo traženu rekurzivnu formulu I n x ( a x ) n nin +na I n I n (+n) x ( a x ) n +na I n I n x( a x ) n + na (n+) (n+) I n..6 Integriranje racionalnih funkcija Izračunajte integrale: (a) (b) (c) (d) (e) (f) x +5x, x 5x+7, x x x+, x x x+, x +x+ x +7x+, (+x ). Rješenje. (a) Polinom u nazivniku može se rastaviti na faktore x + 5x x(x+5), pa tablične integrale dobivamo rastavom na parcijalne razlomke [M,..].
18 8 NEODREDENI INTEGRAL Vrijedi x +5x x(x+5) x(x+5) A x + B x+5 / x(x+5) Ax+5A+Bx A 5 B 5 x 5 x ln x 5 ln x+5 +C 5 ln x x+5 +C. (b) Polinomx 5x+7nemarealnihnul-točaka,panazivniknemožemorastaviti na faktore. U tom slučaju integral računamo nadopunjavanjem nazivnika do punog kvadrata na slijedeći način: x 5x+7 x 5 x+ 7 d ( ) x 5 ( ) 5 x arctg x 5 6 +C arctg x 5 +C. ( ) x (c) Nazivnik se ni u ovom primjeru ne može rastaviti na faktore, pa integral računamo zaspisivanjem brojnika u dva dijela od kojih je jedan derivacija nazivnika, a drugi konstanta. Time dobivamo dva integrala od kojih se prvi može izračunati metodom supstitucije [M vježbe,.] ili uvodenjem novog argumenta [M vježbe,.], dok drugi računamo kao u ovom zadatku pod (b). x x x+ (x )+ x x+ (x ) x x+ x x x+ ( d x x+ ) x x+ ln x x+ (x ) x x+ x x+ ( x arctg x ) + +C.
19 .6 Integriranje racionalnih funkcija 9 (d) Vrijedi x x x+ ( ) x ( x x+) ( ) x + x x+ x x x+ + ( d x x+) x x+ + 8 ln ( x x+ ) + 8 x x x+ ( ) x + x x+ x x+ ) ( x arctg x +C. (e) Kako je u ovom integralu stupanj brojnika podintegralne funkcije veći od stupnja nazivnika, prvo provodimo dijeljenje polinoma, a zatim integral rastavljamo na dva, od kojih je prvi tablični integral potencije, a drugi se svodi na neki od prethodnih slučajeva. x +x+ I x +7x+ ( x +x+ ) : ( x +7x+ ) x 7.. ost.8x+86 (x 7) + 8x+86 x x +7x+ 7x+I Integral označen sa I računamo posebno. Kako su x i x nultočke polinoma x + 7x +, nazivnik se može rastaviti na faktore, pa tablične integrale dobivamo rastavom na parcijalne razlomke. 8x+86 x +7x+ 8x+86 (x+)(x+) { (x+)(x+) A x+ + B x+ A 8 B 66 8 d(x+) x+ +66 } d(x+) x+ 8ln x+ +66ln x+ +C. Konačno rješenje je x +x+ x I x +7x+ 7x 8ln x+ +66ln x+ +C. (f) Slijedeći integral računamo dodavanjem i oduzimajnem x u brojniku, pa
20 NEODREDENI INTEGRAL vrijedi +x (+x ) x (+x ) +x (+x ) (+x ) x (+x ) x (+x ) arctgx I. Integral označen sa I računamo posebno koristeći parcijalnu integraciju, x (+x ) x x (+x ) { u x dv x } (+x ) du v d(+x ) (+x ) (+x ) x (+x ) + +x x (+x ) + arctgx+c. pa je konačno rješenje (+x ) arctgx+ x (+x ) +C..7 Integriranje trigonometrijskih funkcija Izračunajte integrale: (a) (b) (c) cos 5 x, cosxcosxcos5x, sinx cosx+5, (d) cos x+cos 5 x sin x+sin x. Rješenje.
21 .7 Integriranje trigonometrijskih funkcija (a) Vrijedi cos 5 x cos xcos x cos x ( sin x ) cos x cos xsin x cosx ( sin x ) cos xsin x cosx cosxsin x cos xsin x sinx I I. Integrale označene sa I i I računamo posebno koristeći jednostavne supstitucije. { } I cosxsin sinx t x cosx dt t dt t +C sin x +C. { } I cos xsin sinx t x cosx dt t ( t ) dt t dt t dt t t5 5 +C sin x sin5 x +C. 5 pa je konačno rješenje cos 5 x sinx sin x sin x + sin5 x +C 5 sinx sin x + sin5 x 5 (b) Podintegralu funkciiju prvo raspišemo pomoću trigonometrijskih formula pretvorbe, pa vrijedi cosxcosxcos5x (cosx+cosx)cos5x cosxcos5x+ cosxcos5x (cosx+cos6x) + (cosx+cos8x) ( ) cosx+ cos6x+ cosx+ cos8x ( sinx + sin6x + sinx + sin8x ) +C 6 8 sinx + sinx + sin6x + sin8x +C C.
22 NEODREDENI INTEGRAL (c) Integral računamo koristeći univerzalnu trigonometrijsku supstituciju [M,.5.]. } { tg x sinx cosx+5 t sinx t +t dt +t cosx t +t dt +t t +t t dt 6t +t+ +t +5 dt ( ) t arctg tgx + +C. 5 5 dt +t t +t +5+5t +t dt ( t + t+ arctg t+ +C 5 5 (d) U računanju integrala umjesto univerzalne trigonometrijske supstitucije koristit ćemo pojednostavnjenu supstituciju za racionalne funkcije sa svojstvom R(sinx, cosx) R(sinx,cosx). cos x+cos 5 x sin x+sin x R(sinx, cosx) R(sinx,cosx) sinx t cosx dt cos x ( +cos x ) sin x ( +sin x ) cos x ( +cos x ) cosx sin x ( +sin x ) ( )( t + t ) ( )( t t ) t (+t dt ) t (+t dt ) ( t t + t t + ) : ( t +t ) t dt +t. ost.t + t + dt+ t (+t ) dt { } t + t (+t ) A t + B t + Ct+D t + A, B, C, D 6 t+ t dt+ ) 6 t + dt t t 6arctgt+C..8 Integriranje iracionalnih funkcija racionalnom supstitucijom Izračunajte integrale:
23 .8 Integriranje iracionalnih funkcija racionalnom supstitucijom (a) x(+ x+ x), (b), (x+) (x+) (c). (x ) (x+) 5 Rješenje. (a) Ovakav integral rješavamosupstitucijom x t k, gdje je k najmanji zajednički višekratnik nazivnika eksponenata od x koji se pojavljuje u podintergalnoj funkciji. { } x(+ x+ x) x t 6 6t 5 dt 6t 5 dt t 6 (+t +t ). ost dt t(+t +t ) ( t +t + ) ( t t +t + ) : (t+) t t+ dt t(t+)(t t+) { t(t+)(t t+) A t + B t+ + Ct+D t t+ A, B, C, D dt t +6 dt t+ 9 6ln t ln t+ I 6ln 6 x ln 6 x+ I } t 6 t t+ dt
24 NEODREDENI INTEGRAL Integral označen sa I računamo posebno kao integral racionalne funkcije. t 6 I t t+ dt t t t+ dt t t t+ dt+ t t+ dt ln( t t+ ) + t t+ dt ln( t t+ ) + dt ln( t t+ ) + ( t arctg t 7 ) C ln( t t+ ) arctgt +C 7 ln( x 6 x+ ) arctg 6 x 7 +C pa je konačno rješenje x(+ x+ x) 6ln 6 x 6 x+ ln ln( x 6 x+ ) 6 7 arctg 6 x +C. 7 (b) Vrijedi (x+) (x+) { x+ t 6 t 5 } x t6 t 6 x+ t 5 dt t t t dt t t + dt t ( t++ ) dt (t+) dt+ t t dt t +t+ln t +C x++ 6 x++ln 6 x+ +C.
25 .9 Eulerova i trigonometrijska supstitucija 5 (c) Vrijedi ( ) (x ) (x+) 5 x+ x (x ) (x+) (x ) (x )(x+) x+ { x x+ } t t dt ( t ) x +t t t t t t t ( t ) dt dt t+c x x+ +C..9 Eulerova i trigonometrijska supstitucija Izračunajte integrale: (a) + x +x+, (b) x x, Rješenje.
26 6 NEODREDENI INTEGRAL (a) U računanju integrala koristimo Eulerovu supstituciju [M,.7.], pa vrijedi x +x+ t x + x +x+ x t t+ t +t+ dt (t+) t +t+ (t+) dt +t t t+ t +t+ (t+) dt t++t +t t + (t+) t +t+ t+ t +t+ dt t +t+ (t+) (t+) dt t +t+ A (t+) (t+) t+ + B t+ + C (t+) t +t+ A(t+) +B(t+)(t+)+C(t+) A, B, C dt t+ dt (t+) ln t+ (t+) d(t+) ln t+ +(t+) +C ln x +x++x+ +( x +x++x+) +C. (b) Izraz pod korijenom nadpounjavamo do punog kvadrata, a zatim uvodimo dvije supstitucije x x { } (+x) x+ t dt t { } t sinz dt dt coszdz coszcoszdz cos zdz (+cosz)dz (z + ) sinz +C ( ) z +sinz sin z +C arcsin t +t t +C arcsin x+ +(x+) (x+) +C arcsin x+ + x+ x x +C.. Metoda neodredenih koeficijenata Izračunajte integral x +x+ x +x.
27 . Binomni integral 7 Rješenje. Iz formule za metodu neodredenih koeficijenata [M,.7.], slijedi I x +x+ x +x (a x+a ) x +x+λ x +x. Deriviranjem po x dobivamo x +x+ x +x a x+ x +x+(a x+a ) x +x + λ x +x Pomnožimo li cijeli izraz sa x +x dobivamo x +x+ a x +x+(a x+a )( x)+λ Izjednačavanjem lijeve i desne strane dobivamo a a a +a a a +λ iz čega slijedi a,a 5,λ. Integral I sada je jednak ( I ) x x 5 +x+ ( ) x x 5 +x+ x +x (x ) ( ) x x 5 +x+arcsin x +C.. Binomni integral x Izračunajte integral x x Rješenje. Integral rješavamo supstitucijom za binomni integral [M,.7.]. U ovom je slučaju m+ n cijeli broj ( m,n ),p, pa koristimo supstituciju
28 8 NEODREDENI INTEGRAL x t. x x x x x x x m+ n Z x t x tdt tt dt t+c x x+c.. Integriranje razvojem u red Riješite integral ( ) x sinx razvojemuredpotencija,koristećirazvojsinx Rješenje. Zadanapodintegralnafunkcijajesinx, pakoristećizadanirazvojsinusa dobivamo iz čega slijedi sinx n ( ) n ( x ) n+ (n+)! ( )n x n+ (n+)! x x6! + x x + +( ) n x (n+) 5! 7! (n+)! + n ( ) n x n+ (n+)!. sinx [x x6! + x x + +( ) n x n+ ] 5! 7! (n+)! + x x7 7! + x 5! x5 x n+ 5 7! + +( )n (n+)(n+)! + ( ) n x n+ (n+)(n+)!. n. Zadaci za vježbu Izračunajte integrale:.. x +5x x x+ 5 x x
29 . Zadaci za vježbu x +a a x e cosx sinx x 5+x x+lnx x e x ex cosx sinxcosx sin x cos x cos 5 x sinx e arctanx +xln(+x )+ +x x e x (x +x+)e x lnx lnx x x x x arccosx (x +a )
30 NEODREDENI INTEGRAL cos(lnx) x +6x+5 (x +x+) x x +5x + x x x+ x 5 7x x x+ x x +x x +x x+ x +x sin x sin xcos x sinx(cos x ) sin xcos x sin xcos x sinxcos5x sin xcos x sin x+cos x sinx sin 8 x+cos 8 x sinx(+cosx sinx)
31 . Zadaci za vježbu cos x sin x+sinx sin xcosx sinx+cosx sin xcos x x+ x + 6 x x(+. x) + x x+ + x+. x ( 7x x ). x x x+. x x x+. x +x x. x +x +x+ x +x+ x( x+). + x x.. 5. Odredite rekurzivnu formulu za integral I n sin n x. Koristeći se dobivenim rezultatom izračunajte vrijednost integrala sin x. 5. Odredite rekurzivnu formulu za integral I n (lnx) n. 55. Odredite rekurzivnu formulu za integral I n x n e ax. 56. Razvijte u red potencija funkciju ln( + x) pomoću +x. ln(+x) 57. Odredite razvojem podintegralne funkcije u red potencija. x
32 NEODREDENI INTEGRAL. Rješenja zadataka za vježbu. ( x 5+5x+x ) +C 5 x. 5ln 5 x ln5 +C arctg ( ) x a. +C a ( x. arctg )+C a x 5. ecosx +C 6. ( 5+x ) +C 7. x+ ln x +C 8. 6 ln +sinx +C 9. ln(cosx)+ln(sinx)+c... x sin(x)+c (x+cosxsinx)+c (sinx) 7 (sinx) 7 (sinx) +C. e arctgx +arctgx+ ln( +x ) +C. e x( x+x ) +C 5. e x( +x ) +C 6. x+xln x +C 7. +ln x x +C 8. x ( +x ) +C 9. x 9 ( +x ) + arccosx+c x. a (a +x ) + arctg ( x a) a +C
33 . Rješenja zadataka za vježbu. x(cos(ln x )+sin(ln x ))+C. arctg(x+)+c. x+ arctg 5 + x+ 8x +x+ +c. x+ arctgx 8 arctg x+c 5. 9 ln x 9 ln x+ x +c 6. 7 x+ 9 ln x 5 7 +c 7. ln x ln x x +c 8. ln x ln x+ +ln x x+ + arctg x +c 9. 8 x sinx+ sinx+c. ctg x ctgx+tgx+ tg x+c + cosx. ln cosx ln +cosx cosx +c. sin x sin x+c. ctgx+tgx+ tg x+c. cosx 6 cos8x+c 5. 8ctgx 8 ctg x+c arctg tgx +c cosx+7+ ln cosx+7 +c tg ln x ln tg x + 5 tg ln x +c 9. ln sinx sinx+c. ln sinx+cosx cosx(sinx+cosx)+c
34 NEODREDENI INTEGRAL.. 6 x 9 sin6x 9 sinx+ 576 sin8x+c x +arctg 6 x+c.. x ln + x +c (x+) (x+)5 6 + (x+) (x+) (x+) +6(x+) ln x++ 6arctg 6 x++c x 7x x 7x x 9 +c. x 6. ln x x+ x ln x x+ x+ + x x+ x+ + c. x 7. arctg + +x +c 8. x +x ( x ) x x++ ln x + x x+ +c. 9. ( x 5 9( x g) +x x +arcsin x +c. 6 6 ( 5. x + 6 x+ 7 ) x +x ln x++ x +x+ +c. 5. ( x+) 8 + 9( x+) 9 +c. 5. (+ x) +c. 5. I n n cosxsinn x+ n n I n, n, I sin xcosx 8 sinxcosx+ 8 x+c. 5. I n xln n x ni n. 55. I n a xn e ax n a I n. 56. ln(+x) 57. n n ( ) n xn+ ( ) n xn+ n+, x,]. (n+), x,]. 6 +
35 . ODREDENI INTEGRAL. Newton-Leibnitzova formula Supstitucija i parcijalna integracija Nepravi integral Površina ravninskog lika Duljina luka ravninske krivulje Volumen rotacionog tijela Oplošje rotacionog tijela Trapezna formula Simpsonova formula Zadaci za vježbu Rješenja zadataka za vježbu Newton-Leibnitzova formula Izračunajte integral Rješenje. Vrijedi x x +x+. x x +x+ x (x+)(x+) { x (x+)(x+) A x+ + B x+ A,B x+ ln x+ x+ ln x+ (ln ln) (ln ln) ln ln ln 9 8. }
36 6 ODREDENI INTEGRAL. Supstitucija i parcijalna integracija Izračunajte integrale: (a) (+x), (b) x, x (c) e ln(x+).. Rješenje. (a) Vrijedi { +x t (+x) dt 7 dt t t 7 x t 7 } (b) Koristimo formulu parcijalne integracije [M, teorem.7], pa slijedi { x x x cost sintdt π x t sint cos t sintdt π π cos t cos t } dt tgt π +t π π.
37 . Nepravi integral 7 (c) Vrijedi e { } u ln(x+) dv ln(x+) du x+ v x xln(x+) (e )lne e e x e e e e e x x+ x+ x+ e +ln x+ e (e )+lne. x+ e. Nepravi integral Izračunajte slijedeće integrale: (a) x x +, (b) x +x+5, (c) x. Rješenje.
38 8 ODREDENI INTEGRAL (a) Vrijedi b x x + lim b x x + x + t x t (t ) t dt x + (t x) t + t dt x t lim b t b ++b + t t t + t dt ( t t t ) lim b b ++b + x b t + b ++b t + t dt t t t + t lim b b ++b + dt t lim b b ++b + dt t lim ln t b ++b b t+ + b ++b lim ln b b ++b+ ln + ++ b ++ lim ln b b b +++ ln + b + ( ln ln ln ln + ). + (b) Vrijedi x +x+5 lim a a lim a a b x +x+5 + lim b b (x+) + + lim b lim arctg(x+) a a x +x+5 (x+) + b + lim arctg(x+) b lim [arctg arctg(a+)]+ lim [arctg(b+) arctg] a b arctg+ π + π arctg π.
39 . Površina ravninskog lika 9 (c) Vrijedi x pa integral divergira. x + x lim ǫ lim ε x + lim δ ( lim ε ε + lim δ δ lim ε ǫ ε x ) + lim δ +δ x + lim δ ( + ε ε, ) +δ x. Površina ravninskog lika Izračunajte površinu lika omedenog krivuljama: (a) y x,x,x i osi x, (b) x +y i y x unutar parabole, { x acos (c) t y asin,t [,π], (astroida), t (d) r a cos(ϕ),ϕ [,π], (Bernoullijeva lemniskata). Rješenje. (a) Prema slici. vrijedi P x x 8 +. (b) Sjecišta krivulja x +y i y x su točke A(,) i B(,), (slika.), pa vrijedi P ( x x ) x x. Prvi se integral rješava parcijalnom integracijom [M, teorem.7], pa je P (x x +arcsin x ) x ( +arcsin ) ( +arcsin ( ) + ) + π.
40 ODREDENI INTEGRAL.5 y x Slika.: Površina ravninskog lika (a) (c) Na slici. vidimo da se cijela površina P može računati kao P. Za računanje P korist ćemo formulu za površinu ravninskih likova, gdje je krivulja zadana parametarski [M,.6..]. P asin t acos t( sint) dt π/ a 8 a π/ π/ sin tcos tdt a π/ [ sin (t) sin (t)cos(t) ] dt π/ 6 a [ cos(t)] dt 8 a 6 a t π/ 6 aπ a π, 6 a sin(t) ( ) sin(t) cos(t) π/ π/ sin (t) d(sin(t)) (t) 6 asin π/ dt
41 .5 Duljina luka ravninske krivulje.5 y B A.5.5 x Slika.: Površina ravninskog lika (b) pa je P P a π a π 8. (d) Na slici. vidimo da se cijela površina P može izračunati kao P, gdje je P (koristimo formulu za površinu ravninskih likova, gdje je krivulja zadana u polarnim koordinatama [M,.6..]) pa je P a π/ r dϕ cos(ϕ) π/ π/ a cos(ϕ)dϕ a sin(ϕ) a ( cos π cos ) a, π/ P P a a..5 Duljina luka ravninske krivulje (a) Nadite opseg lika omedenog krivuljama: y x i y x, { x (b) Izračunajte duljinu luka krivulje t t y t, t [,]. +
42 ODREDENI INTEGRAL Slika.: Astroida Rješenje. (a) Krivulje y x i y x se sijeku u točkama A(,) i B(,). Ukupnu duljinu luka računat ćemo kao l (l +l ), (vidi sliku.5), koristeći formulu za duljinu luka krivulje [M,.6..], pa je i l iz čega slijedi + 9 ydy 8 (+9y) l 7 (+9y) dy ( ) 8 + x x arcsin x l [ 7 π, (+9y) 9 d(+9y) x ( ] ) 8 + π 5..
43 .6 Volumen rotacionog tijela Slika.: Bernoullijeva lemniskata { x (b) Za t t y t je x(t) t i y(t) t, pa iz formule za duljinu luka + krivulje zadane u polarnim koordinatama [M,.6..] slijedi l (t ) +t dt ( t + ) ( ) t dt +t. t t ++t dt (t +) dt.6 Volumen rotacionog tijela (a) Izračunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom lika omedenog parabolom: y x, osi y i pravcem y oko osi y. { x acos (b) Izračunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom astroide t y asin t osi y. oko
44 ODREDENI INTEGRAL Slika.5: Duljina luka (a) Rješenje. (a) Koristeći formulu za volumen rotacionog tijela koje nastaje rotacijom krivulje [M,.6.], za krivulju x y u granicama od do koja rotira oko oko osi y, vidi sliku.6, dobivamo V π ( y) dy π y π. (b) Koristeći formulu za volumen rotacionog tijela { koje nastaje rotacijom krivulje x acos zadane parametarski [M,.6.], za krivulju t y asin (astroida), oko t
45 .7 Oplošje rotacionog tijela 5.5 y.5 x Slika.6: Rotacija parabole y x osi y, i koristeći simetriju astroide dobivamo V π 6πa 6πa π/ { a cos 6 t asin tcostdt ( t ) t dt 6πa ( t t +t 6 t 8) dt 6πa ( t 6πa ( ) u sint du costdt ( t t +t 6 t 8) dt 6πa 6 5 πa 5. t5 5 + t7 7 t9 9 t π u ) }.7 Oplošje rotacionog tijela Izračunajte oplošje tijela koja nastaje rotacijom luka parabole y x, oko osi x, od x do x. Rješenje. Koristeći formulu za oplošje rotacionog tijela [M,.6.] i prema slici.7 dobivamo
46 6 ODREDENI INTEGRAL 5 y x Slika.7: Rotacija parabole y x b P π π a y(x) +[y (x)] π x +x x π (+x) x 8π + x ( 5 )..8 Trapezna formula Primjenom Trapezne formule [M,.7.] izračunajte integral I lnx, podijelom na 5 intervala. Rješenje. pa je n 5 x i b a n. h 5 x i a+ih, h., i,,...n.
47 .9 Simpsonova formula 7 iz čega slijedi Integral je sada x, x., x., x.6, x.8, x 5. [ ] f (x )+f (x 5 ) I lnx. +f (x )+f (x )+f (x )+f (x ) [ ] Simpsonova formula Primjenom Simpsonove { formule [M,.7.] za n izvedite približnu formulu za x acost duljinu luka elipse, t [, y bsint ] π. Rješenje. I s b a 6n {f (x )+f (x n )+[f (x )+...+f (x n )]+[f (x )+f (x n )]}. U našem je slučaju pa je n x, x π, x π. iz čega slijedi a +b f (x ) b, f (x ), f (x ) a. ( l π ) a +b b+a+.. Zadaci za vježbu Izračunajte integrale:. π sin x cos x
48 8 ODREDENI INTEGRAL e ln5 π π x x +lnx + x e x e x e x + xcosx xsinx cos x e x sin(πx) Izračunajte neprave integrale (ili ustanovite njihovu divergenciju): 9... a e x x x +x+9. Izračunajtepovršinulika omedenog parabolom y x x i pravcemy x.. Izračunajte površinu lika omedenog parabolom y x i pravcem x+y 5.. Izračunajte površinu lika omedenog kardioidom r a( + cos ϕ). 5. Izračunajte duljinu luka krivulje y (x ) izmedu točaka A(, ), B(5, 8). 6. Izračunajte duljinu luka krivulje x e t cost, y e t sint od t do t lnπ. 7. Izračunajte duljinu luka krivulje r acos ϕ od ϕ do ϕ π. 8. Izračunajte duljinu luka kardioide r a( + cos ϕ). 9. Izračunajte volumen tijela koje nastaje kada luk parabole y x, x [,5], rotira oko osi y.. Izračunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom jednog svoda cikloide x a(t sint), y a( cost) oko osi x.
49 . Rješenja zadataka za vježbu 9. Izračunajte oplošje tijela koja nastaje rotacijom oko osi x jednog poluvala sinusoide y sinx.. Koristeći trapeznu formulu, n, izračunajte vrijednost integrala gdje je. Izračunajte integral 9 f(x) { sinx x, x >, x. π f(x), 6x 5 primjenom Simpsonove formule (n 8).. Rješenja zadataka za vježbu. π... ln 5. π π e a π π π + +e e. Integral divergira.. π 5. P 9.. P.. P a π. 5. l l (π ).
50 ODREDENI INTEGRAL 7. l a 8 (π + ). 8. l 8a. 9. V π.. V 5π a. [ ]. P π +ln( +).. I.8.. I
51 . Funkcije više varijabli. Područje definicije funkcije Parcijalna derivacija prvog reda Parcijalna derivacija drugog reda Parcijalna derivacija trećeg reda Parcijalna diferencijalna jednadžba Totalni diferencijal prvog reda Totalni diferencijal drugog reda Derivacija složene funkcije jedne varijable Parcijalne derivacije složene funkcije dviju varijabli Derivacija funkcije jedne varijable zadane implicitno Parcijalne derivacije funkcije dviju varijabli zadane implicitno. 5. Totalni diferencijal implicitno zadane funkcije Tangencijalna ravnina i normala Primjer primjene tangencijalnih ravnina Lokalni ekstremi funkcije dviju varijabla Primjena ekstrema,. primjer Primjena ekstrema,. primjer Lokalni ekstremi funkcija triju varijabla Ekstremi funkcija više varijabli na zatvorenom području,. primjer Ekstremi funkcija više varijabli na zatvorenom području,. primjer Problem vezanog ekstrema Primjena vezanog ekstrema,. primjer Primjena vezanog ekstrema,. primjer Zadaci za vježbu Rješenja zadataka za vježbu Područje definicije funkcije Odredite područje definicije funkcija:
52 Funkcije više varijabli (a) z(x,y) + (x y), (b) z(x,y) x y, (c) z(x,y) ln(x+y), y x (d) z(x,y) ln(x +y ), (e) z(x,y) arcsin x + xy. Rješenje. (a) Da bi zadana funkcija bila dobro definirana mora vrijediti to jest (x y), (x y). To je ispunjeno samo kada je x y, odnosno y x, pa je područje definicije zadane funkcije dano sa D { (x,y) R y x } (Slika.). y 8 yx 8 8 x 8 Slika.: Područje definicije funkcije z(x,y) + (x y) (b) Zadana funkcija definirana je na području D R koje je odredeno nejednadžbom x y >, odnosno (Slika.) D { (x,y) R x +y < }. (c) Funkcija ln(x+y) definirana je za sve točke (x,y) R za koje je x+y >, odnosno na području (Slika.) D { (x,y) R y > x }.
53 . Područje definicije funkcije y x y x Slika.: Područje definicije funkcije z(x, y) x y y x y-x 8 Slika.: Područje definicije funkcije z(x,y) ln(x+y)
54 Funkcije više varijabli (d) Da bi zadana funkcija bila dobro definirana moraju biti ispunjeni sljedeći uvjeti: y x, x +y > i ln(x +y ). Dakle, zaključujemo da je područje definicije zadane funkcije odredeno sa D { (x,y) R (y x) (x +y > ) (x +y ) }. (Slika.) y y x x y x y x Slika.: Područje definicije funkcije z(x, y) y x ln(x +y ) (e) Prema definiciji funkcije arcsin [M,.6.6] zaključujemo da domena zadane funkcije mora ispunjavati sljedeće uvjete: x, xy. Drugi uvjet je ispunjen ako su x i y istog predznaka. Dakle, (Slika.5) D { (x,y) R (( x ) (y )) (( x ) (y )) }.
55 . Parcijalna derivacija prvog reda 5 y 5 5 x Slika.5: Područje definicije funkcije z(x,y) arcsin x + xy. Parcijalna derivacija prvog reda Odredite parcijalne derivacije prvog reda za sljedeće funkcije: ( (a) z(x,y) ln sin x+a ), y (b) u(x,y,z) (xy) z. Rješenje. Tražene derivacije odredit ćemo primjenom već poznatih pravila deriviranja, [M, 5..], ali na način da, kada funkciju z(x, y) deriviramo po varijabli x, varijablu y tretiramo kao konstantu i obrnuto. (a) z x (x,y) sin x+a cos x+a ctg x+a. y y y y y Analogno vrijedi: z y (x,y) x+a x+a ctg. y y (b) u x (x,y,z) zy(xy)z, u y (x,y,z) zx(xy)z i u z (x,y,z) (xy)z ln(xy).
56 6 Funkcije više varijabli. Parcijalna derivacija drugog reda Odredite parcijalne derivacije drugog reda za funkcije: (a) f(x,y) x y, (b) f(x,y) (+x) m (+y) n u točki T(,) (m,n N). Rješenje. (a) Odredimo najprije parcijalne derivacije prvog reda zadane funkcije. Vrijedi f x (x,y) yxy i f y (x,y) xy lnx. Sada je prema [M, definicija.8] f x (x,y) ( yx y ) y(y )x y, x f x y (x,y) x (xy lnx) yx y lnx+x y, f y (x,y) y (xy lnx) x y (lnx). (b) Parcijalnederivacijeprvogredafunkcijef uproizvoljnojtočki(x,y) D f glase: f x (x,y) m(+x)m (+y) n, f y (x,y) n(+x)m (+y) n. Parcijalne derivacije drugog reda funkcije f u proizvoljnoj točki (x,y) D f su: f x (x,y) m(m )(+x)m (+y) n, f x y (x,y) mn(+x)m (+y) n, f y (x,y) n(n )(+x)m (+y) n. Prema tome, vrijednosti parcijalnih derivacija drugog reda funkcije f u točki T(,) su: f x(,) m(m ), f x y (,) mn, f y(,) n(n ).
57 . Parcijalna derivacija trećeg reda 7. Parcijalna derivacija trećeg reda Za funkciju u(x,y,z) e xyz odredite Rješenje. u x y z (x,y,z). Prema Teoremu [M, teorem.] vrijednost tražene derivacije ne ovisi o redoslijedu deriviranja po pojedinim varijablama pa redoslijed deriviranja biramo proizvoljno. Ovdje ćemo funkciju u derivirati najprije po varijabli z. Vrijedi u z (x,y,z) xyexyz. Dobivenu derivaciju zatim deriviramo po varijabli y. Slijedi u y z (x,y,z) y (xyexyz ) (x yz +x)e xyz. Derivirajmo još po varijabli x. Vrijedi u x y z (x,y,z) [( x yz +x ) e xyz] ( x y z +xyz + ) e xyz. y.5 Parcijalna diferencijalna jednadžba Riješite parcijalnu diferencijalnu jednadžbu z (x,y). x y Rješenje. Do tražene funkcije z z(x, y) doći ćemo ako zadanu diferencijalnu jednadžbu integriramo uzastopce dva puta. Integrirajmo ju najprije po varijabli x. Slijedi z y (x,y) +ϕ(y) ϕ(y), (.) gdje je ϕ(y) funkcija u varijabli y koju, prilikom integriranja po varijabli x, prepoznajemo kao konstantu. Integrirajmo sada jednakost (.) po varijabli y. Dobivamo traženo rješenje z(x,y) ϕ(y)dy +ψ(x), gdje je ψ(x) funkcija u varijabli x koja se pojavljuje kao konstanta pri integriranju po varijabli y..6 Totalni diferencijal prvog reda Odredite totalni diferencijal prvog reda funkcije z(x,y) x +xy y. Rješenje.
58 8 Funkcije više varijabli Prema definiciji [M, definicija.9] totalni diferencijal prvog reda za funkciju dviju varijabli z z(x, y) izračunavamo po formuli Budući da je dz(x,y) z z (x,y)+ x y (x,y)dy. z x (x,y) x+y i z (x,y) x y, y dobivamo da je totalni diferencijal prvog reda zadane funkcije dz(x,y) (x+y)+(x y)dy..7 Totalni diferencijal drugog reda Odredite totalni diferencijal drugog reda funkcije z(x, y) ln(x + y). Rješenje. Da bismo izračunali totalni diferencijal drugog reda, prema [M, definicija.], odredit ćemo parcijalne derivacije prvog i drugog reda zadane funkcije. Vrijedi z x (x,y) x+y, z y (x,y) x+y, z x (x,y) z x y (x,y) z y (x,y) (x+y). Dakle, nakon uvrštavanja dobivenih derivacija u slijedi d f(x,y) f xx (x,y)() +f xy (x,y)dy +f yy (x,y)(dy), d z(x,y) (x+y) () (x+y) dy (x+y) (dy) (x+y) (+dy)..8 Derivacija složene funkcije jedne varijable Odredite derivaciju dz (t) ako je: dt (a) z(x,y) x y, x et, y lnt; (b) z(x,y) e x y, x sint, y t. Rješenje. Primijenjujemo [M, teorem.5]:
59 .9 Parcijalne derivacije složene funkcije dviju varijabli 9 (a) dz z (t) dt x dt + z y dy dt y et + ( xy ) t y et x y t ytet x y tet lnt e t t tln t et (tlnt ) tln. t (b) dz z (t) dt x dt + z y dy dt ex y cost+e x y ( ) t e sint t (cost 6t ).9 Parcijalne derivacije složene funkcije dviju varijabli Odredite parcijalne derivacije z z (u,v), (u,v) ako je: u v (a) z(x,y) x lny, x u v, y u v; (b) z(x,y) x y, x u v, y e uv. Rješenje. Primjenom [M, teorem.5] slijedi (a) z z (u,v) u x x u + z y y u xlny v + x y u v ln(u v)+ u v (u v). (b) z z (u,v) v x x v + z y y v xlny u v x y u v ln(u v) u v (u v) z z (u,v) u x x u + z y y u yxy u+x y lnx ve uv e uv (u v ) euv u+(u v ) euv ln(u v )ve uv z z (u,v) v x x v + z y y v yxy ( v)+x y lnx ue uv e uv (u v ) euv ( v)+(u v ) euv ue uv ln(u v ).
60 5 Funkcije više varijabli. Derivacija funkcije jedne varijable zadane implicitno Odredite derivaciju prvog i drugog reda funkcije y f(x) zadane implicitno sa z(x,y) y xarctg y x. Rješenje. Deriviranjem jednakosti z(x,y) po varijabli x dobivamo iz čega slijedi z x + z dy y, y dy z x. Izračunajmo najprije parcijalne derivacije funkcije z po varijablama x i y. Vrijedi ( ) z (x,y) arctg y x x y ( arctg y x+ y x xy ) x +y, x z y (x,y) y x x +y. Sada je y z y ( ) arctg y x xy x +y. y x x +y Iz jednakosti y xarctg y x slijedi arctg y x y. Uz tu zamjenu, sredivanjem x izraza za y dobivamo da je y y. Za drugu derivaciju funkcije y f(x) vrijedi x ( y ) y y y x y x x x x y x.. Parcijalne derivacije funkcije dviju varijabli zadane implicitno Odredite parcijalne derivacije prvog reda funkcije z f(x, y) zadane implicitno sa x +y +z. Rješenje. Zadanu implicitnu jednadžbu ćemo zapisati u obliku F(x,y,z) x +y +z. Sada je F x x, F y y i F z z. Prema formuli za derivaciju implicitno zadane funkcije dviju varijabli [M, definicija.] slijedi z x (x,y) x z, z y (x,y) y z.
61 . Totalni diferencijal implicitno zadane funkcije 5. Totalni diferencijal implicitno zadane funkcije Odredite totalni diferencijal prvog reda funkcije z f(x, y) zadane implicitno sa x +y +z a, a je konstanta. Rješenje. Prema formuli za totalni diferencijal prvog reda funkcije dviju varijabli [M, definicija.9] zaključujemo da moramo izračunati parcijalne derivacije funkcije z. Zapišemo li zadanu implicitnu jednadžbu u obliku F(x,y,z) x + y + z a dobivamo F x x, F y y, F z z, odnosno z x (x,y) x z i z y (x,y) y z. Dakle, slijedi dz(x,y) z (+dy).. Tangencijalna ravnina i normala Odredite tangencijalnu ravninu i normalu na plohu z x +y u točki T(,,z ). Rješenje. Budući da točka T pripada zadanoj plohi vrijedi z +( ) 5, tj. točka T ima koordinate T(,,5). Prema fomuli za jednadžbu tangencijalne ravnine na plohu z f(x, y) u točki (x,y ) [M,.7] z z f x (x,y )(x x )+ f y (x,y )(y y ) slijedi z 5 (x )+( )(y +), tj. tražena tangencijalna ravnina na zadani paraboloid (Slika.6) ima jednadžbu x y z 5. Jednadžba normale na plohu z f(x,y) u točki (x,y ) plohe dana je s x x f x (x,y ) y y f y (x,y ) z z. pa je tražena normala x y + z 5.
62 5 Funkcije više varijabli Slika.6: Tangencijalna ravnina na plohu z x +y u točki T(,,5). Primjer primjene tangencijalnih ravnina Pokažite da se stožac x a + y b z c i sfera x +y + (z b +c ) b c c (b +c ) dodiruju u točkama (,±b,c). Rješenje. Ono što trebamo pokazati jest da u točkama (,±b,c) stožac i sfera imaju istu tangencijalnu ravninu! Odredit ćemo tangencijalne ravnine stošca i sfere u točki (,b,c). Dokaz za točku (, b,c) je potpuno analogan. Jednadžba tangencijalne ravnine na plohu zadanu implicitno s F(x,y,z) glasi F x (x,y,z )(x x )+ F y (x,y,z )(y y )+ F z (x,y,z )(z z ). Zapišimo jednažbe stošca i sfere na sljedeći način F (x,y,z) x a + y b z c, F (x,y,z) x +y + (z b +c c ) b c (b +c ). Neka su T i T tangencijalne ravnine na stožac i sferu, respektivno, u točki (,b,c). Tada, primjenom formule za jednadžbu tangencijalne ravnine implicitno zadane
63 .5 Lokalni ekstremi funkcije dviju varijabla 5 plohe, dobivamo da za T vrijedi Za T imamo b c b(y b) c(z c) y b z c + y b z c. b(y b)+ (c b +c ) (z c) c by b c z y b z c. Dakle, pokazali smo da stožac i sfera u točki (, b, c) imaju zajedničku tangencijalnu ravninu tj. da se dodiruju u toj točki (Slika.7). Slika.7: Stožac x +y z i sfera x +y +(z ) (dodiruju se u točkama (,±,±)).5 Lokalni ekstremi funkcije dviju varijabla Odredite lokalne ekstreme funkcija:
64 5 Funkcije više varijabli (a) f(x,y) xy x y +, (b) f(x,y) e x y (x y ). Rješenje. Lokalne ekstreme odredivat ćemo prema postupku opisanom u [M,.]. (a) Odredimo najprije parcijalne derivacije prvog reda funkcije. Vrijedi: f x (x,y) y 6x i f (x,y) x y. y Prema nužnom uvjetu postojanja ekstrema [M, teorem.7] mora biti y x x y. Rješenje sustava je stacionarna točka S(,). Da bismo provjerili dovoljne uvjete ekstrema odredit ćemo parcijalne derivacije drugog reda funkcije f u točki S. Imamo f (x,y) 6, x f x y (x,y), f (x,y), y odnosno f (,) 6, x f x y (,), f (,). y Determinanta f x (x,y) f (x,y) x y (x,y) f x y (x,y) f y (x,y) u točki S(,) ima vrijednost (,) 6. Kako je > i f x(,) 6 < zaključujemo da zadana funkcija u točki S(,) postiže maksimalnu vrijednost z maks f(,) (Slika.8). (b) Deriviranjem funkcije f dobivamo dobivamo f x (x,y) ex y (x +x y ), f y (x,y) ex y (y y x ).
65 .5 Lokalni ekstremi funkcije dviju varijabla 55 5 Slika.8: Ploha z xy x y + Da bismo odredili stacionarne točke moramo riješiti sljedeći sustav jednadžbi Sustav se svodi na e x y (x +x y ) e x y (y y x ). x +x y y y x. Rješenje sustava su dvije stacionarne točke: S (,) i S (, ). Da bismo provjerili dovoljne uvjete za dobivene točke odredit ćemo parcijalne derivacije drugog reda funkcije f. Vrijedi f x (x,y) ex y (x +x y +), f x y (x,y) ex y (y y x x ), f y (x,y) ex y (x y +8y ). Za točku S je (S ) 8 < pa, prema [M, teorem.8] zaključujemo da u točki S funkcija f nema ekstrem. Za točku S vrijedi (, ) f x (, ) 6e < i (, ) 6e 8e 8e e 8e.
66 56 Funkcije više varijabli pa zaključujemo da funkcija f u točki S (, ) postiže lokalni maksimum z maks f(, ) 8e (Slika.9) Slika.9: Ploha z e x y (x y ).6 Primjena ekstrema,. primjer Uxy ravniniodredite točkut(x,y) zakoju je zbrojkvadrataudaljenosti od pravaca x, y i x+y 6 najmanji. Rješenje. Neka je d udaljenost točke T od pravca x, d udaljenost točke T od pravca x+y 6 i d udaljenost točke T od pravca y. Tada vrijedi d x, d x+y 6 5, d y. Funkcija kojoj trebamo izračunati ekstrem i koja zadaje zbroj kvadrata udaljenosti točke T od zadanih pravaca ima oblik z(x,y) x +y + (x+y 6). 5 Nakon kvadriranja i stavljanja na zajednički nazivnik funkciju z možemo zapisati na sljedeći način z(x,y) 5 (6x +9y +xy x 6y+56). Tražimo ekstreme funkcije z odnosno najprije njene stacionarne točke. U tu svrhu
67 .7 Primjena ekstrema,. primjer 57 izračunajmo parcijalne derivacije funkcije z po varijablama x i y. Vrijedi Rješavanjem sustava jednadžbi z x 5 (x+y ), z y (8y +x 6). 5 (x+y ) 5 (8y +x 6) 5 ( 8 dobivamo stacionarnu točku S 5, 6 ). 5 Budući da parcijalne derivacije drugog reda funkcije z u točki S imaju vrijednosti z xx 5, z xy 5 i z yy 8 5, slijedi ( 8 5, 6 ) ( > i 5, 6 ) 5 5 >, pa je tražena točka ( minimuma funkcije z tj. točka ravnine xy, koja ispunjava uvjete 8 zadatka, točka T 5, 6 ). 5.7 Primjena ekstrema,. primjer Odredite stranice kvadra zadanog volumena V koji ima najmanje oplošje. Rješenje. Označimo tražene duljine stranica sa a, b i c. Tada je volumen V abc, i oplošje O (ab + ac + bc). Ako s pomoću poznate vrijednosti volumena izrazimo npr. vrijednost duljine stranice a, dobivamo da je a V, pa oplošje možemo zapisati bc kao funkciju dviju varijabli, tj. ( V O O(b,c) c + V ) b +bc, (b,c) R + R +. Izračunajmo minimum funkcije O. Stacionarne točke zadovoljavaju sustav jednadžbi O b V b +c O c V c +b Iz geometrijskih razloga jedina stacionarna točka ( V, V) mora biti točka lokalnogiglobalnogminimumafunkcijeo. Dakle, kvadarsastranicamaa b c V (kocka) zadovoljava uvjete zadatka.
68 58 Funkcije više varijabli.8 Lokalni ekstremi funkcija triju varijabla Izračunajte lokalne ekstreme funkcije Rješenje. u(x,y,z) x +y +z xy +x z. Funkcija u triju varijabla je beskonačno puta diferencijabilna na D R, a njene parcijalne derivacije prvog reda su u x x y +, u y y x i u z z. Rješavanjem sustava u x x y + u y y x u z z dobivamo x, y i z, što znači da je u točki T(,,) ispunjen nužan uvjet ekstrema [M, teorem.7], odnosno da je T stacionarna točka funkcije u. Provjerimo dovoljne uvjete za postojanje lokalnog ekstrema funkcije u u točki T. Izračunajmo najprije njene derivacije drugog reda. u xx u xy u xz u yx u yy u yz u zx u zy u zz Dakle, u točki T vrijedi (T), (T) >, (T) 6 >, pa po teoremu [M, teorem.8] zaključujemo da je T(,,) točka lokalnog minimuma funkcije u..9 Ekstremi funkcija više varijabli na zatvorenom području,. primjer Odredite globalne ekstreme funkcije f(x,y) x y +xy 6x na skupu D {(x,y) R : x,y,x+y }.
69 .9 Ekstremi funkcija više varijabli na zatvorenom području,. primjer 59 b c a Slika.: Ploha z x y + xy 6x nad zatvorenim područjem D {(x,y) R : x,y,x+y }.
70 6 Funkcije više varijabli Rješenje. Dio plohe z x y +xy 6x nad zatvorenim područjem D prikazan je na Slici.. U ovakvim zadacima, budući da tražimo samo globalne ekstreme, nećemo provjeravati dovoljne uvjete za postojanje ekstrema funkcije, već ćemo izračunati sve stacionarne točke funkcije nad zadanim zatvorenim područjem, i usporedivanjem funkcijskih vrijednosti u tim točkama izdvojiti točke globalnog minimuma i maksimuma. Pronadimo najprije stacionarne točke funkcije f na cijelom području definicije. Rješavanjem sustava f x x+y 6 f y x y dolazimodo točket (,). Zanimljiva namje jerse nalaziunutarpodručjad, inače bismo je isključili iz promatranja. Pronadimo zatim točke ekstrema na rubovima područja D. Kandidati za ekstrem su naravno i točke T (,), T (,) i T (,). a) Promotrimo segment y, x [,] (označimo ga sa a). Vrijedi f(x,) f(x) x 6x, pa f na tom segmentu možemo promatrati kao funkciju jedne varijable. Iz f (x) x 6 dobivamo x, što znači da je rubna točka T (,) jedina stacionarna točka funkcije f f(x) nad segmentom a. b) Označimo sa b segment x, y [,]. Na njemu vrijedi f(,y) f(y) y, pa ponovo ekstreme funkcije f nad b možemo tražiti uz pomoć alata za računaje ekstrema funkcije jedne varijable [M, 5.7]. Kako iz f (y) y slijedi y, zaključujemo da ni unutar segmenta b nema stacionarnih točaka funkcije f. c) Preostao je rub c odreden s x [,], y x. Na njemu vrijedi f(x,y) f(x, x) x ( x) +x( x) 6x 5x +8x 9. Iz f (x) x+8 slijedi x.8 i y.8.. Dakle, točka T 5 (.8,.) je stacionarna točka funkcije f nad segmentom c. Prikažimo sada dobivene rezultate u preglednoj tablici: T(x,y) f(t) T (,) T (,) T (,) 9 T (,) T 5 (.8,.).8 Budući da su navedene točke jedini kandidati za točke minimuma i maksimuma, a da globalni ekstremi moraju postojati (funkcija je neprekidna nad D), očito je da f u T (,) ima globalni minimum, a u T (,) globalni maksimum nad područjem D.
71 . Ekstremi funkcija više varijabli na zatvorenom području,. primjer 6. Ekstremi funkcija više varijabli na zatvorenom području,. primjer Odredite najveću i najmanju vrijednost funkcije f(x,y) x y ako je x +y. Rješenje Slika.: Ploha z x y nad zatvorenim područjem D {(x,y) R : x +y }. Dio plohe z x y nad zatvorenim područjem x +y prikazan je na Slici.. Rješavanjem sustava z x x z y y dolazimodostacionarnetočkeo(,)funkcijef. Vrijedif(,). Provjerimošto se dogada s funkcijskim vrijednostima na na rubu zadanog područja, tj. na kružnici x +y. Kao i u prethodnom primjeru, funkciju f nad kružnicom prikazat ćemo kao funkciju jedne varijable, te ispitivati postojanje ekstrema alatima za ispitivanje
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Ivan Slapničar Nevena Jakovčević Stor Josipa Barić. Zbirka zadataka.
Ivan Slapničar Nevena Jakovčević Stor Josipa Barić Ivančica Mirošević MATEMATIKA Zbirka zadataka http://www.fesb.hr/mat Sveučilište u Splitu Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, ožujak
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραIntegrali Materijali za nastavu iz Matematike 1
Integrali Materijali za nastavu iz Matematike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 202/3 / 44 Definicija primitivne funkcije i neodredenog integrala Funkcija F je primitivna funkcija (antiderivacija)
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραKatedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραFunkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραMATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012
MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Ivan Slapničar. Sveučilište u Splitu Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje
Ivan Slapničar MATEMATIKA 2 http://www.fesb.unist.hr/mat2 Sveučilište u Splitu Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, ožujak 27. Sadržaj Popis slika Predgovor xv xvii. NEODREDENI INTEGRAL.
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)
FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα1 Obične diferencijalne jednadžbe
1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f
Διαβάστε περισσότεραObične diferencijalne jednadžbe 2. reda
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 13 Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda U ovoj lekciji vježbamo rješavanje jedne klase običnih
Διαβάστε περισσότεραDerivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Vježbe 2017/ lipnja 2018.
Matematika Vježbe 17/18. 3. lipnja 18. Predgovor Ova neslužbena i nedovršena skripta prati auditorne vježbe iz kolegija Matematika koje se u ljetnom semestru ak. god. 17/18. na Gradevinskom fakultetu u
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραZI. NEODREðENI INTEGRALI
ZI. Nodrđni intgrali 7 ZI. NEODREðENI INTEGRALI. Antidrvacij. Pronañi tri antidrivacij funkcij.. Odrdi sv antidrivacij funkcij.. Pronañi dvij antidrivacij funkcij.. Pronañi antidrivaciju funkcij za koju
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραVVR,EF Zagreb. November 24, 2009
November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA seminari. smjer: Nutricionizam
MATEMATIKA seminari smjer: Nutricionizam Sadržaj Realne funkcije realne varijable 4 Granična vrijednost funkcije jedne varijable. a ±............................... Granična vrijednost i neprekidnost.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije više varijabli
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότερα3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI Homogene funkcije, homogenost Parcijalne derivacije Totalni diferencijal
Sadržaj 3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI 34 3. Homogene funkcije, homogenost................. 34 3.2 Parcijalne derivacije........................ 38 3.3 Totalni diferencijal........................ 40 3.4 Koeficijenti
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραPlohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli
Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli Franka Miriam Brückler f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. Dakle, za svaki par (x, y) u domeni
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. kolokviji. Sadržaj
Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Gordan Radobolja. 22. rujna PMF. Gordan Radobolja (PMF) Matematika rujna / 70
MATEMATIKA 2 Gordan Radobolja PMF 22. rujna 2013. Gordan Radobolja (PMF) Matematika 2 22. rujna 2013. 1 / 70 Dekompozicija kvadra Zatvoreni n-dimenzionalni kvadar K je kartezijev produkt od n zatvorenih
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότερα4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA
5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 8 5 poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA U ovom poglavlju: Derivacija po definiciji, tablica deriviranja Derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραFARMACEUTSKO-BIOKEMIJSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU. IZVEDBENI PLAN akademska godina 2012./2013. zimski semestar
Naziv kolegija: Matematika sa statističkom analizom Naziv studija: Studij farmacije i medicinske biokemije Godina i semestar studija: Prva, zimski semestar FARMACEUTSKO-BIOKEMIJSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραx + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x
Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραPrikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Trigonometrija Trigonometrijska kružnica Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Projektna nastava Osnovne trigonometrijske relacije:. +. tgx. ctgx tgx.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma
INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna
Διαβάστε περισσότερα6. Poopćenja Newton Leibnizove formule
STOKES 5 6. oopćenja Newton Leibnizove formule 6.. Još neki važni operatori Doasad smo naučili operator ili grad, koji od skalarnog polja radi vektorsko polje: ( U gradu U(x, y, z) x,, ). z Sada ćemo upoznati
Διαβάστε περισσότερα6. Nelinearne jednadžbe i sustavi
6. Nelinearne jednadžbe i sustavi 6.. Osnovne napomene Neka je I interval u R, f : I R neprekidna funkcija na I inekajedana jednadžba f(x) =0. (6.) Riješiti jednadžbu (6.) znači naći one x za koje vrijedi
Διαβάστε περισσότερα1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable
Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................
Διαβάστε περισσότερα