O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI.

Transcript

1 1 O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI Ljubiša Nešić, Odsek za fiziku, PMF, Niš Uvod Kao što je poznato, fizičke veličine mogu da imaju dimenzije ili pak da budu bezdimenzionalne. Veličina ima dimenziju ako njena brojna vrednost zavisi od izbora sistema jedinica. Na primer, interval vremena od izlaska do izlaska Sunca možemo da izrazimo kao 1 dan, 24 h, minuta ili s. Vidimo da se brojna vrednost menja u zavisnosti od izbora jedinice za vreme iako je stalno reč o jednom te istom intervalu vremena. Obzirom na prethodno odredjenje fizičke veličine sa dimenzijom, fizička veličina je bezdimenzionalna ako joj vrednost ne zavisi od izbora sistema jedinica. Na primer, visina Mont Everesta (h = 8, 848 km) i poluprečnik Zemlje (R = km) su očigledno veličine sa dimenzijama, ali njihov odnos, h/r = 0, 0014, je bezdimenzionalna veličina, i prema tome, nezavisna od sistema jedinica. Dimenzija fizičke veličine u stvari ukazuje na njenu fizičku prirodu. Naime, nezavisno od toga da li rastojanje koje merimo izražavamo u stopama ili metrima, reč je o merenju dužine. U tom smislu se kaže da je dimenzija (fizička priroda) rastojanja dužina. Simboli koji se obično koriste da se označe dimenzije fizičkih veličina dužina, masa i vreme su L, M i T. Fizičke veličine koje imaju dimenzije, medjusobnim množenjem i deljenjem daju nove fizičke veličine. 1 Na primer, odnos predjenog rastojanja i intervala vremena daje novu fizičku veličinu (brzinu), čija je dimenzija L/T. Kada želimo da prikažemo dimenziju neke fizičke veličine koristimo uglaste zagrade [ ]. Na primer, ako nas interesuju dimenzije brzine v, pisaćemo [v] =L/T. Dimenzija površine, S, je [S] = L 2, zapremine, V, [V ] = L 3 a ubrzanja a je [a] = L/T 2. Fizički zakon i formula kojom je izražen, ne smeju da zavise od sistema 1 Kada je reč o sabiranju i oduzimanju te operacije mogu da se rade samo sa veličinama koje imaju iste dimenzije.

2 2 jedinica. To je potpuno prirodno jer, zakoni prirode uspostavljaju vezu izmedju veličina koje su postojale do sada a postojaće i posle nas, dok je sistem jedinica stvar dogovora ljudi. Odavde sledi veoma važan zaključak: obe strane bilo koje jednačine moraju da imaju iste dimenzije. Iz tog razloga je dobro da uvek kada napišemo neku relaciju, proverimo njenu dimenzionalnu zasnovanost, odnosno jednakost leve i desne strane u pogledu dimenzionalnosti. Ova procedura se naziva dimenzionalnom analizom i uvek može da se primeni. 2 U okviru dimenzionalne analize, dimenzije fizičkih veličina se tretiraju kao algebarske promenljive. Recimo da nas zanima formula koja povezuje put s koje je prešao automobil za vreme t, krećući iz stanja mirovanja konstantnim ubrzanjem a. Pretpostavićemo da su ove tri veličine povezani relacijom oblika s = Ca α t β, odnosno predjeni put je proporcionalan ubrzanju na α i vremenu kretanja na stepen β (C je bezdimenzionalna konstanta, odnosno neki broj). Ovde su α i β nepoznati koeficijenti koje ćemo odrediti iz uslova da su dimenzije leve i desne strane jednake. Leva strana jednačine je u pogledu dimenzije dužina, tako da i dimenzija desne mora da bude dužina, odnosno [a α t β ] = [a] α [t] β ] = L = L 1, (konstantu C ne pišemo jer je bezdimenzionalna). Kako je dimenzija ubrzanja L/T 2 a vremena T, dobija se ( L T 2 ) α T β = L 1, L α T β 2α = L 1. Da bi obe strane jednačina imale iste dimenzije, eksponenti moraju biti isti. Na desnoj strani se pojavljje samo L a ne i T, ali to u stvari znači da ga možemo dopisati dignuto na nulu, što znači da su odgovarajuće jednačine za eksponenete: β 2α = 0 i α = 1, odakle se odmah dobija da je β = 2. Time je odredjena funkcionalna zavisnost predjenog puta s, ubrzanja a i vremena t kao x = Cat 2. Tačan rezultat za ovaj tip kretanja, je kao što je 2 Dimenzonalna analiza nam može pomoći u najmanju ruku za svodjenje pamćenja formula na najmanju moguću meru.

3 dobro poznato, s = 1 2 at2. 3 Po pravilu su bezdimenzionalne konstante koje se pojavljuju u fizičkim zakonima ( 2, 1/2, π,...) ni prevelike ni premale tako da dimenzionalna analiza može da posluži i da se oceni i red veličine fizičkih veličina. Funkcionalna zavisnost sile otpora sredine pri kretanju tela kroz nju Prilikom primene dimenzionalne analize treba biti veoma oprezan jer u principu mogu da se pojave dva problema. Prvi se tiče samog izbora fizičkih veličina od kojih može da zavisi fizička veličina čiju vezu sa njima zapravo tražimo. Da bi ga rešili potrebno je dobro razumevanje fizičkih zakona i pojava koje su važne za razmatranje posmatranog sistema. Drugi problem je postojanje veličina koje mogu da obrazuju bezdimenzionalne faktore u izrazu relacije koju tražimo. Pokušajmo da, koristeći dimenzionalnu analizu, odredimo silu otpora sredine telu koje se kreće kroz nju. Kao što je već napomenuto, neophodno je odrediti od kojih veličina može da zavisi ova sila. Svakodnevno iskustvo nam kazuje da sa porastom brzine tela v raste i sila otpora sredine, što znači da sila mora da zavisi od brzine. Osim toga, tela većeg poprečnog preseka trpe veći otpor od onih sa manjim (primer za ovo je padobran). Iz tog razloga u izraz za silu mora da udje i površina poprečnog preseka S. I na kraju, sila otpora mora da zavisi i od neke veličine koja predstavlja karakteristiku sredine. Evo problema: koju karakterisitiku sredine izabrati? Izgleda prirodno da treba izabrati gustinu sredine (vazduha, tečnosti) ρ, jer, što je sredina gušća, to ona više utiče na kretanje tela. Prema do sada izrečenom, pretpostavićemo silu otpora sredine u obliku F ρ = C 2 vα S β ρ 2 (množitelj 2 može da se uključi u C ali je izdvojen iz istorijskih razloga). Sila ima dimenzije proizvoda mase i ubrzanja, odnosno [F ]=LT 2 M. Iz uslova jednakosti dimenzija leve i desne strane jednačine za silu, dobija se način. L T 2 M = (LT 1 ) α (L 2 ) β (ML 3 ) γ = L α+2β 3γ T α M γ, 3 Budući da je taj faktor 1/2 bezdimenzionalan njega nije bilo moguće odrediti na ovaj 3

4 4 odakle slede jednačine 1 = α + 2β 3γ, 2 = α, 1 = γ. Njihovo rešenje je α = 2, β = 1 i γ = 1, pa je tražena formula F ρ = CS ρv2 2. (1) Koeficijent C zavisi od oblika tela, odnosno od načina kako će ga sredina opticati. Tako za telo oblika diska je C = 1, 1 1, 2, dok je za loptu C = 0, 4 2 a za telo oblika kapi C 0, 04, odnosno oko 10 puta manje nego za loptu i oko 30 puta manje nego za disk istog poluprečnika. Slika 1: Sila otpora sredine kod opticanja tela različitih oblika a jednakih karakterističnih dimenzija. Izraz za silu otpora (1) je dobijen pod pretpostavkom da je dominantna karakteristika sredine, u pružanju otpora kretanju tela kroz nju, gustina. Ali šta ako umesto gustine, za karakteristiku sredine uzmemo viskoznost η?

5 Dimenzija viskoznosti je 4 [η] = ML 1 T 1? U tom slučaju, pretpostavićemo da izraz za silu glasi F η = Bv α S β η δ (B je konstanta koja zavisi od oblika tela) čije dimenzije su L T 2 M = (LT 1 ) α (L 2 ) β (ML 1 T 1 ) δ = L α+2β δ T α δ M δ. Iz sistema jednačina 1 = α + 2β δ, 2 = α δ, 1 = δ, se dobija α = 1, β = 1/2 i δ = 1, pa je tražena formula F η = Bη Sv. (2) Veličina S je srazmerna karakterističnoj dimenziji tela L (ukoliko je telo oblika lopte poluprečnika r onda je S = r dok je C = 6π)tako da gornji izraz postaje F η = BηLv. (3) Kao što vidimo formule (1) i (3) se prilično razlikuju: u jednoj od njih je zavisnost od brizne kvadratična a u drugoj linearna. Koja je tačna? Da bi odgovorili na ovo pitanje morali bi da damo sud o tome koja karakteristika sredine (gustina ili viskoznost) dominiraju u konkretnom problemu koji rešavamo. Nameće se zaključak da, ako je dominantna osobona sredine gustina, važi izraz (1) koji predstavlja silu otpora koja je nastala usled razlike u pritiscima na prednjoj i zadnjoj strani tela, a kada je sila otpora posledica trenja, odnosno viskoznosti, važi izraz (3). Ukupna sila koja deluje na telo je u stvari kombinacija jedne i druge sile, a kada su brzine tela veoma male, 4 Ako se posmatra laminarno kretanje fluida preko površine koja leži u ravni xoy, brzina fluida koji dodiruje ovu površinu je jednaka nuli, dok u narednim slojevima brzina raste i to tako da viši slojevi imaju veću brzinu od nižih, usled čega se izmedju njih javlja trenje, a time i sila koja koči one slojeve koji se brže kreću, odnosno ubrzava one koji se sporije kreću. Njutn je ustanovio da sila unutrašnjeg trenja (viskozna sila - sila viskoznosti) zavisi od površine dodirnih slojeva S, od vrste fluida i od promene brzine od sloja do sloja fluida, odnosno od veličine koja se zove gradijent brzine, prema obrascu F = ηs v z. U ovom izrazu je sa η označen koeficijent dinamičke viskoznosti date tečnosti, a odnos v/ z predstavlja gradijent brzine. 5

6 6 sila trenja proporcionalna prvom stepenu brzine, će biti mnogo veća od sile otpora nastale usled razlike u pritiscima, koja je srazmerna drugom stepenu brzine. Pri velikim brzinama važi suprotan zaključak. Naravno, možemo da se zapitamo kolike su te velike, odnosno male brzine, odnosno potrebno je uvesti odredjeni kriterijum za procenu vrednosati brzine. U tom cilju je interesantno naći odnos sila F ρ i F η koji, obzirom da je S L 2, postaje F ρ = C ρv 2 S F η 2B ηvl F ρ ρvl F η η. Bezdimenzionalan odnos koji je dobijen, naziva se Rejnoldsov broj 5 Re = ρvl η i igra veoma veliku ulogu u hidro i aero dinamici, jer se na osnovu njega može odrediti veličina otpora kretanju tela kroz fluid. U knjigama iz oblasti dinamike fluida se obično navodi da je za klizeće opticanje Re < 1, da može da se zanemari otpor sredine izazvan razlikom u pritiscima na čeonoj i zadnjoj strani tela, pa je sila otpora jednaka sili trenja. Suprotno, pri velikim vrednostima Rejnoldsovog broja, treba uzimati u obzir silu koja nastaje usled pritiska a zanemarivati silu trenja. A da li je moguće uz pomoć dimenzionalne analize objediniti zavisnost sile otpora od gustine i viskoznosti? To bi značilo da silu treba da tražimo u obliku F = A 2 vα S β ρ γ η δ, (A je konstanta). Na osnovu analize dimenzija leve i desne strane se dobija L T 2 M = (LT 1 ) α (L 2 ) β (L 3 M) γ (L 1 T 1 M) δ = L α+2β 3γ δ T α δ M γ+δ. odakle se dobijaju jednačine 1 = α + 2β 3γ δ, 5 Osborne Reynolds ( ) Irski naučnik, uglavnom se bavio dinamikom fluida.

7 2 = α δ, 1 = γ + δ. Prvo što upada u oči je da je broj jednačina manji od broja nepoznatih (tri jednačine a četiri parametra), što znači da jedna od nepoznatih mora da ostane neodredjena. Da vidimo do kakvih to zaključaka dovodi. Iz dve poslednje jednačine mogu da se izraze parametri α i γ preko δ γ = 1 δ, α = 2 δ. Ako ovo zamenimo u prvu jednačinu dobićemo 1 = 1 + δ + 2β, 7 odakle se dobija β = 1 δ 2. Na osnovu ovoga, izraz za silu otpora može da se zapiše kao F ρ,η = A 2 v2 δ S 1 δ ρ 1 δ η δ = A ρsv2 2 ( ) δ Svρ. To što je δ proizvoljan stepen znači da faktor u zagradi prethodnog izraza nema dimenzije pa može da bude uključen u bezdimenzionalnu konstantu A koja u tom slučaju nije konstantna veličina već postaje funkcija navedenog bezdimenzionalnog parametra. Primećujemo da je ovaj bezdimenzionalni odnos u stvari Rejnoldsov broj, tako da izraz za silu otpora može da se zapiše kao F ρ,η = A(Re)S ρv2 2, (4) u kome se funkcija A(Re) naziva koeficijent otpora. Rejnoldsov broj igra dakle važnu ulogu u odredjivanju karaktera sile otpora. Tačna zavisnost koeficijenta otpora sredine od Rejnoldosovog broja ne može da se odredi teorijski već samo eksperimentalno, a za slučaj kretanja tela kroz vazduh prikazana je na slici 2. U oblasti I je Reynoldsov broj veoma mali (Re 1) i tok je laminaran. U tom slučaju formula za otpor prelazi u Stoksov oblik. Oblast II (1 < Re < ) je prelazna oblast u kojoj laminarno strujanje postaje nestabilno i razvija se turbulentnost. U oblasti III ( < Re < ) je razvijeno η

8 8 Slika 2: Zavisnost koeficijenta otpora od Reynoldsovog broja. Rimskim brojevima su označene oblasti koje odgovaraju različitim režimima strujanja vazduha. turbulentno kretanje iza tela (kao iza krme broda) dok je ispred tela oblast laminarnog strujanja. U tom slučaju sila otpora sredine nastaje usled razlike u pritiscima ispred i iza tela. U oblasti IV dolazi do turbulencije i prednjeg laminarnog sloja što dovodi do naglog opadanja sile otpora sredine (Re = (2 5) 10 5 ). Literatura 1. Halliday, Resnick, Walker, Fundamentals of Physics 7 th Edition, Wiley, Paul Peter Urone, College Physics, Brooks/Cole Publishing Company, S. E. Friš, A. V. Timorjeva, Kurs opšte fizike, I, II i III, Beograd, Zavod za izdavanje udžbenika, Kalasnjikov, Smondirev, Osnovi fiziki I i II, Drofa, Moskva, B. M. Javorskij, A. A. Pinskij, Osnovi fiziki I i II, Moskva, Fizmatlit, 2003.