OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

Transcript

1 OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na osnovu toga i radi odredjivanje oblasti deinisanosti unkcija. D.. Ako je data racionalna unkcija ili unkcija u kojoj bilo gde imamo razlomak sve što je u imeniocu mora biti različito od. P( ) Q( ) onda je Q(), odnosno. Ako je data logaritamska unkcija, onda sve iza logaritma mora biti veće od. ( log ili ln, onda je >) Zašto ovo? Podsetimo se graika logaritamskih unkcija: log a a> log a ln < a< slika slika slika Vidimo da je logaritamska unkcija postoji samo za vrednosti koje su veće od. U situaciji kad iza log ili ln nije samo već neka unkcija od ( recimo ) cela ta unkcija mora biti veća od. ( > ). Ako nam je data korena unkcija, onda moramo razlikovati dve situacije: kada je u pitanju paran koren (,4,6...) i kad je u pitanju neparan koren (,5,7...) n n-paran broj n n-neparan broj Iz graika elementarnih unkcija možemo zaključiti da je :

2 n i) Ako imamo, n paran onda je, dakle sve unutar korena je veće ili jednako. n ii) Ako imamo, n neparan onda je ta unkcija svuda deinisana, sem naravno ako u izrazu nema nešto drugo da nam smeta. 4. U slučaju kada su nam date eksponencijalne unkcije = a odnosno = e, unkcija je svuda deinisana: a a> a < a< e Trebamo voditi računa da ako u eksponentu postoji razlomak, logaritam ili parni koren to odradimo po prethodnim stavkama U slučaju da nam je zadata trigonometrijska unkcija, odlast deinisanosti tražimo na osnovu elementarnih graika: sin - -

3 tg ctg arccos - arcsin - Funkcija je deinisana za [,] Funkcija je deinisana za [,] arctg arcctg Funkcija je deinisana na celom skupu R. Funkcija je deinisana na celom skupu R.

4 PRIMERI. Odrediti oblast deinisanosti sledećih unkcija: v) Sve što je u imeniocu mora biti različito od Oblast deinisanosti je D = (, 4) ( 4, ) ili neki proesori vole da zapišu R \{ 4} Šta ovo konkretno znači? Ovo znači da unkcija ima prekid u = - 4 i da je tu potencijalna vertikalna asimptota! 4 Sve što je u imeniocu mora biti različito od. Dakle 4. Ovo možemo rešavati kao kvadratnu jednačinu sa kvadrata., b± b 4ac = a u ovoj situaciji možemo upotrebiti I razliku a ( )( + ) + Ako vam je lakše, vi prvo rešite ovo sa ( )( + ) = pa na kraju precrtajte =, to jest. Odlast deinisanosti ove unkcije je : D = (, ) (, ) (, ) Ovo znači da unkcija ima prekide u = - i = i da su tu potencijalne vertikalne asimptote. 4

5 v) + 5 Sve što je u imeniocu mora biti različito od. Dakle: + Razmislimo malo... Izraz + > pa nikad ne može biti nula! To nam govori da je ova unkcija deinisana na celom skupu realnih brojeva I da nema vertikalnih asimptota. To jest D = (, ).. Odrediti oblast deinisanosti sledećih unkcija: log + v) ln + ln ln log + Ovde imamo prvo razlomak, pa mora da je + Imamo i logaritamsku unkciju pa mora da je >. + Ovu nejednačinu možemo rešavati na više načina ali mi preeriramo tablicu ( pogledajte ajl iz II godine o nejednačinam Oblast deinisanosti je D = (, ) (, ) Ovo znači da je unkcija nema izmedju prava = - i =, što bi na slici izgledalo: 5

6 ln Zbog razlomka mora da je ln, a zbog ln unkcije mora da je >, to jest, oblast deinisanosti je: D = (,) (, ) a na slici bi to izgledalo: v) + ln ln Sve u imeniocu mora da je različito od nule: ln ln e e Kako imamo i ln to mora biti > pa je oblast deinisanosti : D = (, e) ( e, ) Graik bi bio sličan kao u prethodnom primeru samo bi potencijalna vertikalna asimptota bila u = e. 6

7 . Odrediti oblast deinisanosti sledećih unkcija: e + e e + Imamo razlomak, pa je, a kako je e uvek deinisano, onda je D = (,) (, ) e Pazite ovde! Jeste da je unkcija Dakle: pa je D = (, ) (, ) 4. Odrediti oblast deinisanosti sledećih unkcija: e uvek deinisana, ali kad u eksponentu ima razlomak on ne sme da bude v) ( + ) ( + ) g) + Najpre uočimo da postoji razlomak, pa mora biti + Dalje, pošto se radi o parnom korenu ( kvadratni koran) sve unutar korena mora biti veće ili jednako., ovo je najbolje rešiti upotrebom tablice. + 7

8 Dobijamo (, ] [, ), ali ovo nije oblast deinisanosti, jer moramo uzeti u obzir da je, pa je onda: D = (, ) [, ). 4+ Imamo razlomak, pa je 4+ a zbog korena mora biti 4+. Kad spakujemo ova dva uslova dobijemo 4+ >. Rešimo prvo ovu kvadratnu jednačinu: b± b 4ac, = = = a Sad možemo kvadratnu napisati u onom drugom obliku proizvoda a( )( ) = ( )( ) pa da koristimo tablicu a može i brže ( koristeći činjenicu da kvadratni trinom ima znak broja a svuda osim izmedju nul Oblast deinisanosti je D = (,) (, ). v) ( + ) ( + ) Ovde nemamo razlomaka a već smo rekli da su neparni koreni svuda deinisani ( treći koren bilo kog realnog broja je realan broj) pa je oblast deinisanosti ove unkcije D = (, ). g) Ovde nam najpre smeta razlomak : a kako je treći koren uvek deinisan, ostaje da je Iskoristićemo ormulu za razliku kubova:. A B = ( A B)( A + AB+ B ) pa je = ( )( + + ). Dalje razmišljamo : izraz + + > jer je kod njega a> D< ( pogledajte ajl kvadratna unkcija iz druge godine). Ostade samo da je pa je oblast deinisanosti: D = (,) (, ) 8

9 5. Odrediti oblast deinisanosti sledećih unkcija: arcsin + arctg arcsin + Iz elementarnog graika arcsin unkcije zaključujemo da ako imamo arcsinω Ω, što znači da sve iza arcsin mora biti izmedju - i. (slično je i za arccos ) Za naš zadatak je dakle: + E sad ovo možemo odmah raditi kao dve nejednačine pa onda upakovati rešenja na istoj brojevnoj pravoj. U našoj situaciji ćemo sve pomnožiti sa u imeniocu pozitivan, a mi smo ovde sigurni da je + >...* + + ( ) ( ) ( ) sad razdvojimo na dve nejednakosti ( + ) ( ) Ovo očigledno uvek važi, za svako iz skupa R, pa je D = (, ). arctg Zašto to smemo ovde? Pazite, to smemo da uradimo samo ako je izraz Videli smo na početku ajla da je unkcija arctg deinisana za svako. Ovde nama smeta samo razlomak! Rešenja ove kvadratne jednačine su = =, pa je onda : a oblast deinisanosti je : D = (,) (,) (, ) 9

10 6. Odrediti oblast deinisanosti unkcije 7+ log + + e +,5 Evo jednog zadatka u kome imamo kombinaciju više uslova Prvo ćemo da odradimo sve razlomke: +, 5,5 Sad idemo redom, da najpre odradimo logaritam: ( )( 4) > Ovde je rešenje (,) (,4) Sad uništimo koren: + Ovde je rešenje: (, ) [, ) s obzirom da smo veš rekli da je. Sad sve upakujemo na jednoj brojevnoj pravoj: D = (, ) (;,5) (,5;4) je tražena oblast deinisanosti!