Ciljevi i način rada u metodičkoj radionici (I sadržaji iz teorije brojeva i algebre pogodni za rad na dodatnoj nastavi matematike) Ana Jurasić, 2013.
|
|
|
- Πρόκρις Ιωαννίδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ciljevi i način rada u metodičkoj radionici (I sadržaji iz teorije brojeva i algebre pogodni za rad na dodatnoj nastavi matematike) Ana Jurasić, 2013.
2 Zašto metodička radionica za nastavnike? Društvo pred školu postavlja sve veće zahtjeve u pogledu obrazovanja mladih ljudi. Raste potreba za stručnjacima s dobrim matematičkim znanjem i umijećem primjene tog znanja. Razvojem društva neka znanja brzo postaju neupotrebljiva i beskorisna, javlja j se potreba za novim znanjima. Zbog toga se mijenjaju i obogaćuju nastavni programi, usavršavaju se nastavne metode, uvode se nova nastavna sredstva i tehnologije. gj To znači da se nastavnik matematike mora neprekidno usavršavati. Za povećanje uspješnosti rješavanja problema iz nekog područja matematike preporuča se: sudjelovanje na metodičkim radionicama za nastavnike, izbor i grupiranje primjerenih zadataka, cjelovita obrada područja, provjera znanja o odabranom području koje su učenici stekli samostalnim radom, usvajanje metoda rješavanja, izbor prikladne literature, izvođenje matematičkih radionica za učenike.
3 Suvremena nastava matematike postavlja, dakle, dva bitna problema: Problem razvoja stvaralačkog mišljenja i kreativnih sposobnosti učenika, Ciljevi suvremene matematike u tom smislu su sljedeći: učenje vrednovanja matematike, razvijanje i njegovanje matematičkih sposobnosti, razvijanje sposobnosti rješavanja problema, učenje matematičkog rasuđivanja, učenje matematičke komunikacije. Problem primjerenog osposobljavanja nastavnika matematike. Tradicionalni oblik rada su seminari za nastavnike matematike. No, oni imaju niz negativnosti teme su uglavnom nepovezane i ovise o izboru predavača, slušatelji su dosta pasivni pri obradi tema... Posljednjih jih godina uvode se metodičke i matematičke tičk radionice. i Najbolji oblik nastave za učenike je kombinacija grupnog i individualnog rada. Taj je oblik rada u našoj školskoj praksi prilično zapostavljen.
4 Što je metodička radionica? Metodička radionica je oblik aktivnog sudjelovanja nastavnika matematike u vlastitom usavršavanju, s većim naglaskom na metodičkim postavkama i zakonitostima putem rada u manjim grupama nastavnika matematike. Ovakvim oblikom usavršavanja ostvaruju se sljedeći ciljevi: iznošenje vlastitog iskustva, slušanje drugih nastavnika i upoznavanje njihovih iskustava, razgovor o idejama i metodičkim pitanjima, razmjena ideja, zajedničko osmišljavanje problema i pitanja, osmišljavanje metodičkog pristupa rješavanju problema, rasprava o rezultatima samostalnog i zajedničkog rada, provjeravanje j osobnog mišljenja, j razvijanje sposobnosti prosuđivanja i zaključivanja, razvijanje sposobnosti matematičkog komuniciranja...
5 Ciljevi rada nastavnika u metodičkoj radionici prilagođeni su ostvarenju spomenutih ciljeva suvremene nastave matematike. Teme pogodne za primjenu metodičkih radionica su gotovo bez iznimke sva područja nastavničke djelatnosti, ali neka su područja izrazito pogodna. Primjena metodičkih radionica može znatno unaprijediti rad s učenicima u nastavnom procesu, posebno rad s naprednijim učenicima. Radom u metodičkoj radionici nastavnik dobiva primjerenu teorijsku osnovu i metodičku razradu neke teme, s nizom prikladno odabranih primjera i zadataka, a zajednički stavovi nastavnika u pojedinim grupama daju svakom nastavniku matematike veću sigurnost pri izvođenju vlastite nastave.
6 Dugogodišnje praćenje matematičkih natjecanja pokazuje da se ni naši najbolji učenici često ne snalaze dobro u rješavanju nestandardnih i složenijih zadataka i da postižu slabe rezultate. Nedostaju im neka znanja, ne poznaju neke jednostavne metode rješavanja matematičkih problema. Kako je za uspješno rješavanje problema iz nekog područja matematike potrebna prije svega primjerena teorijska osnova i njezina dobra metodička razrada, rješenje uočenog problema treba potražiti u sudjelovanju u posebnim metodičkim radionicama (i organizaciji takvih radionica). U takvim radionicama nastavnici matematike mogu se upoznati s načinom primjerenog pripremanja učenika za natjecanja.
7 Teorija brojeva Izdvojit ćemo diofantske jednadžbe kao dodatni matematički sadržaj koji napredniji učenici osnovnih i srednjih škola moraju poznavati kako bi se što bolje pripremili za sve razine natjecanja. Diofantske se jednadžbe ne nalaze u nastavnim programima kao posebna tema. Dakle, znanje učenika o njima ovisi o nastavnicima matematike kao i o samostalnom radu samih učenika. Zadaci s diofantskim jednadžbama i problemima koji se svode na rješavanje diofantskih jednadžbi često se pojavljuju na matematičkim natjecanjima. Velik broj naših najboljih učenika ima poteškoće pri rješavanju problema s diofantskim jednadžbama i probleme riješe tek djelimice. Vrlo je važno da tijekom pripreme za natjecanja učenici obogate svoje znanje novim činjenicama, a posebno odgovarajućim metodama rješavanja. Nastavnici se kroz odgovarajuću metodičku radionicu ili na neki drugi način moraju upoznati (ako ranije nisu) s metodama i metodičkim pristupom rješavanju diofantskih jednadžbi.
8 Metodika rješavanja j diofantskih jednadžbi džbi Diofantske jednadžbe naziv su dobile po Diofantu iz Aleksandrije. Kada se s učenicima obrađuje ova tema npr. u okviru odgovarajuće matematičke radionice zgodno je i motivirajuće na početku uklopiti nekoliko uvodnih riječi o Diofantu, vezano za kojeg postoje različiti zanimljivi podaci. Diofantske jednadžbe su algebarske (polinomne) jednadžbe s dvije ili više nepoznanica s cjelobrojnim koeficijentima za koje se traže cjelobrojna (ili racionalna) rješenja. j Promatraju se i sustavi takvih jednadžbi, pri čemu se uzima da je broj nepoznanica veći od broja jednadžbi. Diofantske jednadžbe mogu biti linearne i nelinearne. Primjeri: 3x+7y-8 = 0 i x+y = z su linearne d. j. s dvije, odnosno tri nepoznanice, redom. xy-5x+y =12 i x 2 +y 2 = z 2 su d.j. drugog stupnja s dvije, odnosno tri nepoznanice, redom, x 3 -y 3-1 = 0 i xyz = 2007 su d.j. trećeg stupnja....
9 Često su diofantske jednadžbe po obliku jednostavne, ali je njihovo rješavanje j složeno, i obratno. Za uspješno rješavanje diofantskih jednadžbi potrebno je da učenici znaju niz jednostavnih činjenica o brojevima: Paran prirodan broj je oblika 2k, a neparan oblika 2k-1 1. Prirodan je broj djeljiv s 3 ako mu je zbroj znamenki djeljiv s 3. Prirodan je broj djeljiv s 9 ako mu je zbroj znamenki djeljiv s 9. Ako je svaki pribrojnik u zbroju djeljiv nekim brojem, onda je i zbroj djeljiv tim brojem. Umnožak tri uzastopna prirodna broja djeljiv je sa 6. Umnožak dva uzastopna parna broja djeljiv je s 8. Kvadrati prirodnih brojeva ne mogu završavati s 2,3,7 i 8. Naime, razvrstamo li sve prirodne brojeve u podskupove prema posljednjim znamenkama brojeva, dobivamo deset podskupova. Dalje ispitujemo i uvjeravamo se da ako broj završava s 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 tada njegov kvadrat završava s 0,1,4,9,6,5,6,9,4,1, redom.
10 Kvadrat svakog parnog prirodnog broja oblika je 4m. Kvadrat svakog neparnog prirodnog broja oblika je 8m+1. Naime, (2k-1) 2 = 4k 2-4k+1 = 4k(k-1)+1. Za k = 1 imamo 8ÿ0+1, dok je za k >1 umnožak k(k-1) paran broj 2m pa imamo 4ÿ2m+1. Svaki prost broj veći od 3 oblika je 6m-1 ili 6m+1. Naime svaki prirodan broj pri dijeljenju s 6 daje neki od ostataka 0,1,2,3,4 ili 5. Brojevi oblika 6k, 6k+2, 6k+3, 6k+4 su složeni pa za proste brojeve veće od3 ostaju jedino mogućnosti 6k+1 i 6k+5. Još ostaje primijetiti da je 6k+5 =6k+6-1 = 6(k+1)-1. Kvadrat svakog prostog broja većeg od 3 je oblika 12m+1. Naime, (6k 1) 2 = 36k 2 12k+1 = 12k(3k 1)+1. Ako je n 2 paran broj, onda je i n paran broj. Naime, da je n =2m+1 2m+1, imali bi n 2 =4m 2 +4m+1 = 2(2m 2 +2m)+1, što je neparan broj. Ako je n 2 neparan broj, onda je i n neparan. Da je n =2m 2m, imali bi n 2 =4m 2, što je paran broj. Zbroj i razlika dvaju cijelih brojeva iste je parnosti.
11 Linearne diofantske jednadžbe Opći oblik linearne diofantske jednadžbe s dvije nepoznanice je ax+by = c, gdje su a,b i c cijeli brojevi te je barem jedan od brojeva a,b različit od 0. Ako je slobodni član c = 0, kažemo da je pripadna jednadžba homogena. Tk Takva jednadžba jd džb ima uvijek ijkbeskonačno č mnogo rješenja j u skupu cijelih brojeva. Opće rješenje homogene linearne diofantske jednadžbe dano je s x = -bk, y = ak, gdje je k cijeli broj. Neke linearne diofantske jednadžbe imaju cjelobrojna j rješenja, j a neke nemaju. Linearna diofantska jednadžba navedenog oblika, gdje je c π 0, ima cjelobrojno rješenje ako i samo ako (a,b) c. Ako je (x 1,y 1 ) jedno posebno rješenje linearne diofantske jednadžbe ax+by = c, tada je opće rješenje te jednadžbe zbroj njezinog posebnog rješenja i općeg rješenja pridružene homogene jednadžbe. Dakle, x = -bk+x 1, y = ak+y 1, kœ.
12 U mnogim slučajevima nalaženje jednog posebnog rješenja nije teško, ali ako takvo rješenje ne vidimo, onda ga određujemo primjenom Euklidovog algoritma (vidjeti npr. - str. 5.).
13 Metode rješavanja diofantskih jednadžbi Mnogi se matematički problemi svode na rješavanje diofantskih jednadžbi. Postoje razne metode njihova rješavanja j opisat ćemo neke najvažnije. j Sve metode koje ćemo navesti posebni su oblici jedne opće metode, koja se naziva metoda razlikovanja slučaja. Ta metoda ima važnu ulogu u matematici njezinom se primjenom rješavanje j nekog težeg problema svodi na rješavanje nekoliko jednostavnijih problema. Metoda umnoška Primjenjuje se kod diofantskih jednadžbi najmanje drugog stupnja. Zadana diofantska jednadžba svede se najprije nizom transformacija na oblik u kojem je lijeva strana, gdje se nalaze nepoznanice, umnožak, a desna strana broj. Zatim se razmatraju svi mogući slučajevi za dobivene faktore. Ako se na desnoj strani pojavi složen broj, broj slučajeva koje treba razmatrati može biti velik. Nastavnik može učenike uputiti da ne razmatraju slučajeve koji ne doprinose skupu rješenja polazne jednadžbe. Npr. nekada promatramo samo prirodne brojeve pa naknadno kombiniramo različite mogućnosti predznaka.
14 Pr. 1. Riješi u skupu cijelih brojeva jednadžbu x 2 = y Kako se u jednadžbi pojavljuju samo kvadrati nepoznanica, dovoljno je jednadžbu riješiti u skupu prirodnih brojeva i onda kombinirati predznake u svakom dobivenom rješenju. Pr. 2. Riješi u skupu cijelih brojeva jednadžbu x 2 -xy+2x-2y+3 = 0. Ovo je složenija diofantska jednadžba drugog stupnja. Primjećujemo da je moguće postići umnožak u jednadžbi pa je metoda umnoška ovdje primjerena. Metoda kvocijenta Jednadžba se transformira tako da se jedna nepoznanica predoči kao racionalna funkcija druge nepoznanice, a zatim prikaže kao zbroj cijele i racionalne funkcije druge nepoznanice. Analizom dobivene racionalne funkcije, izdvoje se svi mogući slučajevi.
15 Pr. 3. Riješi u skupu prirodnih brojeva jednadžbu 1/x+1/y+1/xy = 1. Zadatak sa županijskog natjecanja za 8. razred. Ovaj se zadatak može riješiti i metodom umnoška. Metoda parnosti Koristi se podjela skupa cijelih brojeva na parne i neparne. U zadanoj diofantskoj jednadžbi odredi se parnost jedne od nepoznanica i na temelju toga zaključuje se ima li jednadžba cjelobrojno rješenje ili nema. Pr. 4. Dokaži da linearna jednadžba (n 2 +n+2)x+2y = 1 nema cjelobrojno rješenje (x,y) ni za jedan cijeli broj n. Zadatak s općinskog natjecanja za 1. razred srednje škole.
16 Metoda posljednje znamenke U zadanoj diofantskoj jednadžbi odrede se posljednje znamenke brojeva na lijevoj i desnoj strani. Na temelju toga izvede se zaključak ima li jednadžba cjelobrojno rješenje ili nema. Pr. 5. Riješi u skupu cijelih brojeva jednadžbu 5x+2y 2 = Metoda nejednakosti Bit ove metode sastoji se u sužavanju područja mogućih vrijednosti nepoznanica u jednadžbi i razmatranju slučajeva u tako dobivenom suženom skupu. Pr. 6. Nađi sve trojke cijelih brojeva (a,b,c) koje zadovoljavaju jednakost 3(a-3) 2 +6b 2 +2c 2 +3b 2 c 2 = 33. Zadatak s natjecanja za srednje škole.
17 Još nekoliko zadataka, iz područja teorije brojeva, s natjecanja j iz matematike tik za srednje škole Pr. 7. Dokaži da jednadžba x!+y! = 10z+9 nema rješenja u skupu prirodnih brojeva. Pr. 8. Vrijedi 126 = 6ÿ21. Nađi sve troznamenkaste prirodne brojeve koji su jednaki umnošku jedne svoje znamenke s dvoznamenkastim brojem koji čine preostale dvije znamenke. Pr.9. Dokaži da je za svaki prirodan broj n i broj ((3-5)/2) n + ((3+ 5)/2) n prirodan. Pr.10. Nađi realna rješenja jednadžbe [(x-1) 2 ] = [x]. ([x] je najveći cijeli broj manji ili jednak od x.) Zadatak je zadan na državnom natjecanju j iz matematike tik godine, za drugi razred srednje škole.
18 Nekoliko zadataka, iz područja algebre, s natjecanja iz matematike tik za srednje škole Pr. 11. Izračunaj ab+cd ako je a 2 +b 2 = 1, c 2 +d 2 = 1, ac+bd = 0. Državno natjecanje 1982., prvi razred. Pr.12. Dokaži da je x 6n+1 + 1/x 6n+1 = 1 za svaki prirodan broj n, ako je x+1/x = 1. Državno natjecanje j 1991., prvi razred. Pr.13. Odredi realne brojeve a i b tako da polinom x 4-2x 3 +ax 2 +2x+b bude djeljiv s polinomom x 2-2x-3. Državno natjecanje 1989., prvi razred. Pr. 14. Za koje cjelobrojne vrijednosti parametra m polinomi x 4 +mx 2 +1i x 3 +mx+1 imaju zajednički korijen? Državno natjecanje 1987., drugi razred. Pr. 15. Odredi sve polinome P(x) za koje vrijedi (x+1)p(x) = (x-2)p(x+1). Državno natjecanje 1988., drugi razred.
19 Literatura Elezović, N: Diofantske jednadžbe, Element, Zagreb, Dujella, A., Bombardelli, M., Slijepčević, č ić S.: Matematička tičk natjecanja j učenika srednjih škola, Element, Zagreb, 1996.
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA Dokaži dajebroj djeljivs Dokažidajebroj djeljiv Dokaži dajebroj djeljiv
3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 3.. djeljivost 65. Dokaži da je produkt tri uzastopna broja, od kojih je srednji kub prirodnog broja, djeljiv s 504. 652. Ako su a, b cijeli brojevi, dokaži da je broj ab(a
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
b = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b.
1 DJELJIVOST 1.1. Djeljivost. Prosti brojevi Količnik dvaju prirodnih brojeva nije uvijek prirodni broj. Tako na primjer, broj 54 8 nije prirodan, jer 54 nije djeljiv s 8. Broj 221 jest prirodan, jer 221
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Trigonometrija Trigonometrijska kružnica Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Projektna nastava Osnovne trigonometrijske relacije:. +. tgx. ctgx tgx.
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 25.travnja-27.travnja razred-rješenja
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 5.travnja-7.travnja 01. 5. razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN
Prosti brojevi. Uvod
MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Prosti brojevi 20.12.2015. Uvod Definicija 1. Kažemo da je prirodan broj p prost broj ako ima točno dva (različita) djelitelja (konkretno, to su 1 i p). U suprotnom
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo
Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo January 24, 2012 Uvod U Bosni i Hercegovini već pedesetak godina se organizuju
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella
Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Zadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 13 Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda U ovoj lekciji vježbamo rješavanje jedne klase običnih
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
1 Obične diferencijalne jednadžbe
1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako