ΣΗΜΕΙΑΚΕΣ ΑΤΕΛΕΙΕΣ (3) n n

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΗΜΕΙΑΚΕΣ ΑΤΕΛΕΙΕΣ Η συνάρτηση ree Ένα ιδιαίτρα χρήσιµο ργαλίο στον υολογισµό της ηλκτρονικής δοµής των στρών ίναι η συνάρτηση ree Η χρησιµότητά της αναδικνύται ιδιαίτρα στη µλέτη συστηµάτων ου αοκλίνουν αό την ριοδικότητα, όως για αράδιγµα ροσµίξις ή άτακτα κράµατα, οότ στις µθόδους του α υθίας υολογισµού της κυµατοσυνάρτησης δ µορί κανίς να κµταλλυθί το θώρηµα του Bloch Τότ οι µέθοδοι της συνάρτησης ree ίναι αοτλσµατικές και δίνουν α υθίας νδιαφέροντα φυσικά µγέθη, όως ίναι χ η υκνότητα ηλκτρονίων Θωρούµ ένα σύστηµα το οοίο ριγράφται αό µια χαµιλτονιανή Ĥ Η ξίσωση ιδιοτιµών της χαµιλτονιανής γράφται Hˆ ( Ο τλστής ree, ˆ ( z, του συστήµατος ορίζται ως ξής ( H ˆ ˆ ( z ˆ, z ( όου z ν γένι µιγαδικός αριθµός Αό τη σχέση ληρότητας των ιδιοδιανυσµάτων, ˆ, ροκύτι η φασµατική ανααράσταση του ˆ ( z ˆ ( z z ( Τόσο αό τον ορισµό όσο και αό τη φασµατική ανααράσταση ίναι ροφανές ότι ο ˆ ( z δν υάρχι όταν το z ανήκι στο φάσµα ιδιοτιµών της χαµιλτονιανής Τότ ορίζουµ οριακά τους τλστές ree 9

2 ˆ ± ( z ( ˆ z H ± lm lm z ± (4 Σ ανααράσταση θέσης γράφουµ ± ψ ( r ψ ( r r (5 z ± ( ˆ ±, r ; z r r lm, όου ψ ( r r Η Εξ(5 ορίζι τη συνάρτηση ree, η οοία συνδέται µ τη φασµατοχωρική υκνότητα καταστάσων χρησιµοοιώντας την ταυτότητα του Drac ( r, ψ ( r δ ( (6 lm y x ± y P δ ( x, (7 x όου P ίναι το κύριο µέρος κατά Cauchy και δ (x ίναι η γνωστή συνάρτηση x δέλτα Αό τις Εξ(5, (6, (7 ύκολα βρίσκουµ ότι ± ( r, Im ( r, r; (8 και, ολοκληρώνοντας στο χώρο, λαµβάνουµ την νργιακή υκνότητα καταστάσων ˆ ± ( δ ( ImTr ( (9 Η ξίσωση Lppma - Schwger Θα ροσαθήσουµ τώρα να βρούµ µια σχέση ου να συνδέι τις ιδιοκαταστάσις δύο συστηµάτων των οοίων οι χαµιλτονιανές διαφέρουν κατά ένα διαταρακτικό, όχι

3 κατ ανάγκη ασθνές, δυναµικό Η ξίσωση ιδιοτιµών της χαµιλτονιανής για το αδιατάρακτο σύστηµα ίναι ( ˆ H ( και για το διαταραγµένο σύστηµα ( H ˆ, µ Hˆ Hˆ ˆ ( Υοθέτουµ ότι και τα δύο συστήµατα έχουν το ίδιο συνχές νργιακό φάσµα Έτσι για µια τιµή της νέργιας του αδιατάρακτου συστήµατος θα αντιστοιχί και µια ιδιοκατάσταση του διαταραγµένου µ την ίδια ιδιοτιµή νέργιας Η Εξ( γράφται ( Hˆ ˆ ( Αν η ανήκι στο συνχές φάσµα ιδιοτιµών της αδιατάρακτης χαµιλτονιανής, η γνική λύση της Εξ( θα ίναι το άθροισµα της γνικής λύσης της οµογνούς Εξ(, η οοία θα ίναι µια ιδιοκατάσταση του αδιατάρακτου συστήµατος, συν µια µρική λύση της Εξ( Μια µρική λύση της Εξ( ίναι η ροφανής όου ˆ ˆ, Ĝ ο τλστής ree του αδιατάρακτου συστήµατος Έτσι λοιόν οι καταστάσις του διαταραγµένου συστήµατος γράφονται ˆ ± ± ˆ ± ( Η αραάνω ξίσωση ίναι γνωστή ως ξίσωση Lppma-Schwger Όως βλέουµ, για ˆ αίρνουµ τις καταστάσις του αδιατάρακτου συστήµατος ηλαδή η ξίσωση Lppma-Schwger µριέχι τις συνοριακές συνθήκς του ροβλήµατος Σ ρίτωση ου η νέργια δν ίναι ιδιοτιµή της χαµιλτονιανής του αρχικού συστήµατος, τότ δν υάρχι και αντίστοιχη ιδιοκατάσταση, οότ

4 Εοµένως η ξίσωση Lppma - Schwger σ αυτή την ρίτωση αίρνι τη µορφή ± ± ˆ ˆ ± Σχέσις διασοράς Θωρούµ ένα σύστηµα το οοίο ριγράφται αό µια χαµιλτονιανή H Η χρονοξαρτηµένη ξίσωση του Schröger για τις κυµατοσυναρτήσις γράφται ˆ H ( r ψ ( r, t (4 t Αντίστοιχα, η χρονοξαρτηµένη συνάρτηση ree ικανοοιί την ξίσωση ± H t t t t t ( r ( r, ; r, δ ( r r δ ( (5 νώ, όως ροκύτι αό την Εξ(, η χρονοανξάρτητη συνάρτηση ree ικανοοιί την ξίσωση { ˆ ( } ± r ( r, r ; δ ( r r H (6 Χρονοξαρτηµένη και χρονοανξάρτητη συνάρτηση ree συνδέονται µ ένα µτασχηµατισµό ourer ± ± [ ( t t / ] ( r; t, r ; t ( r, r ; exp (7 όως µορί ύκολα να αληθύσι κανίς αντικαθιστώντας την Εξ(7 στην Εξ(5 και κάνοντας χρήση της Εξ(6 Αν ισαγάγουµ ένα διαταρακτικό δυναµικό ( r στην αδιατάρακτη χαµιλτονιανή, οι καινούρις κυµατοσυναρτήσις ροκύτουν αό την ξίσωση Lppma-Schwger

5 ± ψ ( r, t ψ ( r, t r t ( r; t, r ; t ( r ψ ( r, t (8 Η Εξ(8 ίναι µια ολοκληρωτική ξίσωση η οοία ρέι να ικανοοιί την αρχή της αιτιότητας ηλαδή η κυµατοσυνάρτηση δν µορί να ξαρτάται αό την τιµή της για µταγνέστρς χρονικές στιγµές και οµένως ρέι να ισχύι ± ( r ; t, r ; t για t > t (9 Εφαρµόζοντας το λήµµα του Jora για το ολοκλήρωµα της Εξ(7, η συνθήκη (9 ικανοοιίται όταν η συνάρτηση ree ίναι φραγµένη στο άνω µιγαδικό ηµιίδο και δν αρουσιάζι όλους σ αυτό Η συνάρτηση ree ου ικανοοιί την αρχή της αιτιότητας, η οοία κφράζται αό την Εξ(9, ίναι η Αό δώ και στο ξής όοτ αναφρόµαστ στη συνάρτηση ree θα αναφρόµαστ στην και θα αραλίουµ το δίκτη Θωρούµ τώρα τη συνάρτηση ree σ κάοια ανααράσταση z aa ( Σύµφωνα µ τα αραάνω, οι όλοι της συνάρτησης ree βρίσκονται στο κάτω µιγαδικό ηµιίδο (βλέ σχήµα Εοµένως η aa ( z ίναι αναλυτική στο άνω µιγαδικό ηµιίδο και κατά µήκος του ραγµατικού άξονα Είσης υοθέτουµ ότι lm ( z aa z, arg z ( Σύµφωνα µ την ολοκληρωτική σχέση του Cauchy έχουµ aa ( z aa ( z z z z C ( όου z ανήκι στην ριοχή ου ρικλίται αό την καµύλη C Όταν η ακτίνα του ηµικυκλίου τίνι στο άιρο, λόγω της Εξ(, η συνισφορά του στο ολοκλήρωµα της Εξ( µηδνίζται, νώ το z µορί να ίναι οοιοδήοτ σηµίο στο άνω ηµιίδο Παίρνοντας z έχουµ

6 C -R R x Σχήµα C ίναι η κλιστή καµύλη ου ριλαµβάνι το ηµικύκλιο και τη διάµτρό του αό -R έως R Οι τλίς ίναι όλοι της (διακριτό φάσµα ιδιοτιµών της χαµιλτονιανής, και η συνχής υθία ίναι κλάδος τοµής της ιδιοτιµών της χαµιλτονιανής (συνχές φάσµα aa ( ( ( aa και χρησιµοοιώντας την ταυτότητα (7 αίρνουµ ( ( aa aa ( P ( aa P aa ( Αν αναλύσουµ την σ ραγµατικό και φανταστικό µέρος, ροκύτουν οι σχέσις διασοράς ή σχέσις Kramers-Krog για τη συνάρτηση ree Re Im aa aa ( P ( P Im aa ( Re aa ( (4 Θα ρέι να αναφέρουµ ότι δχτήκαµ σιωηρά την υόθση ( για τη συνάρτηση ree Αυτή βέβαια δν ισχύι άντοτ (χ συνάρτηση ree λυθέρου σωµατιδίου, ούτ και µορί να αοδιχθί αυστηρά στη γνική ρίτωση Για το 4

7 λόγο αυτό αναφρόµαστ συνήθως σ ροσγγιστικές χαµιλτονιανές, ου έχουν ριορισµένο φάσµα ιδιοτιµών (χ ρότυο ισχυρά δέσµιων ηλκτρονίων Τότ η συνάρτηση ree φθίνι ασυµτωτικά ως z 4 Πίνακας µτάβασης - Εξίσωση Dyso Σκοός τώρα ίναι να σχτίσουµ τη συνάρτηση ree του διαταραγµένου συστήµατος µ αυτή του αδιατάρακτου Ορίζουµ τον ίνακα µτάβασης Tˆ ως T ˆ ˆ (5 οότ η Εξ( γράφται ( ˆ ˆ T (6 Εύκολα φαίνται αντικαθιστώντας την Εξ(6 στην Εξ(5 ότι ο ίνακας µτάβασης δίνται αό την ξίσωση ˆ ˆ ˆ ˆ T Tˆ ( ˆ ˆ ˆ (7 ˆ ˆ Αν αναλύσουµ σ σιρά το (, ο ίνακας µτάβασης γράφται ( ˆ Tˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (8 και σ ροσέγγιση Bor ρώτης τάξης Tˆ ˆ (9 Αό τον ορισµό του τλστή ree για το διαταραγµένο και το αδιατάρακτο σύστηµα, καταλήγουµ στην ξίσωση του Dyso 5

8 ( ˆ ( ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ ˆ ( ˆ ή µέσω της Εξ(8 µ χρήση του Tˆ ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ( Στη συνέχια θα κφράσουµ σ κλιστή µορφή τη διαφορά του αριθµού καταστάσων ανάµσα στο αδιατάρακτο και στο διαταραγµένο σύστηµα Η υκνότητα καταστάσων για το διαταραγµένο σύστηµα δίνται αό την Εξ(9, οότ ο ολικός αριθµός καταστάσων µέχρι µια νέργια ίναι N ( ImTr ˆ ( ( Όµως αό τον ορισµό του τλστή ree έχουµ ˆ ( ˆ ˆ l ( ( ˆ ( ( Εοµένως ο ολικός αριθµός καταστάσων γράφται N ( ImTr lˆ ( Im l ( (4 Για τη µταβολή του αριθµού καταστάσων, ανάµσα στο αδιατάρακτο και στο διαταραγµένο σύστηµα, σ όλον τον κρύσταλλο θα έχουµ N( ImTr ImTr l[ ˆ [ ˆ ( ˆ ( ˆ] ( ] ImTr lˆ ( [ ˆ ( ] (5 ή µέσω του Tˆ αό την Εξ(8 6

9 [ ˆ N( ImTr l T ( ˆ ] (6 5 Συνάρτηση ree για λύθρα και ισχυρά δέσµια ηλκτρόνια Θωρούµ ένα λύθρο σωµατίδιο το οοίο κινίται στις τρις διαστάσις ντός όγκου Οι ιδιοκαταστάσις του ίναι κανονικοοιηµένα ίδα κύµατα r exp( r (7 µ ιδιοτιµές (8 m Αό την Εξ(4, θωρώντας ότι το κυµατάνυσµα αίρνι σχδόν συνχίς τιµές, µορούµ να µτατρέψουµ το άθροισµα σ ολοκλήρωµα, οότ η συνάρτηση ree γράφται ( r r ( r r exp[ r, r ; z ( z z m m ] (9 Αν r r ρ και ϑ η γωνία µταξύ και ρ έχουµ m ( r, r ; z m m ρ mz mz mz ϑ sϑ exp( ρ cosϑ exp( ρ exp( ρ ρ s( ρ (4 Ειδή η υό ολοκλήρωση συνάρτηση στην Εξ(4 ίναι άρτια 7

10 Έχουµ ότι m ( r, r ; z s( ρ (4 ρ mz mz exp( ρ mz cos( ρ mz s( ρ (4 Παρατηρούµ ότι η υό ολοκλήρωση συνάρτηση ου ριέχι το συνηµίτονο ίναι ριττή Εοµένως η συνάρτηση ree γράφται m ( r, r ; z exp( ρ (4 ρ mz Θέτοντας z, όου > και >, η συνάρτηση ree έχι έναν όλο στο άνω και ένα στο κάτω µιγαδικό ηµιίδο Έτσι, χρησιµοοιώντας το λήµµα του Jora και για έχουµ τλικά exp( m r r m ( r, r ; µ r r (44 Θα υολογίσουµ τώρα τη συνάρτηση ree στο ρότυο των ισχυρά δέσµιων ηλκτρονίων Η χαµιλτονιανή στην αλούστρή της µορφή, για µη κφυλισµένη ατοµική κατάσταση γράφται Hˆ W j, (45, j: NN j όου θωρούµ, j δ, W W όταν, j ρώτοι γίτονς Οι j j κυµατοσυναρτήσις Bloch έχουν τη µορφή exp( R (46 N 8

11 και οι ιδιοτιµές της νέργιας υολογίζονται αό τις Εξ(45, (46 exp N, m, N m,, j : NN exp j j N N [ ( R R m ] δ m δ exp[ ( R R m ], j: NN [ ( R R ] W W exp( R R: NN δ W δ m j j (47 Ο τλστής ree του συστήµατος στη φασµατική ανααράσταση γράφται ˆ ( z ( z (48 και τα στοιχία ίνακα στην ανααράσταση λγµατικής θέσης ίναι ( z ( N( ˆ j z j exp [ ( R R j ] z (49 Στη µονοδιάστατη ρίτωση το νδολγµατικό στοιχίο της συνάρτησης ree, βάσι των Εξ(47, (49, γράφται α α / ( z (5 z W cos( α / α Κάνοντας την αλλαγή µταβλητής uexp(α, το ολοκλήρωµα στη ζώνη Brllou µτατρέται σ ικαµύλιο άνω στο µοναδιαίο κύκλο C ( / αu α ( z u W u C β u W C u u β W u (54 όου β z Οι όλοι της υό ολοκλήρωση συνάρτησης ίναι οι 9

12 u β β 4W β β 4W, u (55 W W αό τους οοίους µόνο ο u βρίσκται ντός του µοναδιαίου κύκλου Αό τη θωρία των ολοκληρωτικών υολοίων έχουµ W u u W u ( z u u ( u u ( u u u (56 Αντικαθιστώντας την Εξ(55 στην Εξ(56 θα διακρίνουµ τις ξής ριτώσις ( 4W ( ( 4W, W < < W, < W κκαι > W (57 4 B a Σχήµα Το ραγµατικό Re (συνχής καµύλη και το φανταστικό -Im (διάστικτη καµύλη µέρος της συνάρτησης ree σ συνάρτηση µ την αδιάστατη νέργια a ( / B όου ΒW το ηµιλάτος της νργιακής ζώνης Στο αλό κυβικό λέγµα (sc τα διανύσµατα ρώτων γιτόνων, ίναι ± αx, ± αy, ± αz, όου α η λγµατική σταθρά Εοµένως η Εξ(5 γράφται

13 W ( cos( xα cos( yα cos( zα (58 Αό τις Εξ(48,(58 η νδολγµατική συνάρτηση ree γράφται ( ( W ( cos x cos y cos z 6W x x y y z z a (, cos x cos y cos z (59 όου a ( / 6W Ο υολογισµός αυτού του ολοκληρώµατος µορί να γίνι µόνο µ αριθµητικές µθόδους Η µέθοδος ου θα χρησιµοοιήσουµ συνίσταται στον υολογισµό µιας συγκλίνουσας αιροσιράς µ όρους συναρτήσις γάµα και δίγαµµα, µέσω της οοίας κφράζται η συνάρτηση ree Η συνάρτηση ree υολογίζται ξχωριστά για τις ριοχές <a</, /<a< και a> Λόγω συµµτρίας υολογίζται αυθίας και για αρνητικές τιµές της αραµέτρου a Έχουµ λοιόν ( a m m m m ( m 4 Γ Γ Γ 9! Γ m! m a m [ ] ( Γ( a> (6 Εδώ θα ρέι να αρατηρήσουµ ότι για a>, δηλαδή για τιµές της νέργιας Ε έξω αό τη ζώνη, η συνάρτηση ree έχι µόνο ραγµατικό µέρος Το φανταστικό µέρος ροκύτι µηδέν ιαφορτικά θα ίχαµ µη µηδνική υκνότητα καταστάσων σ ριοχές κτός της ζώνης, αφού το φανταστικό µέρος της συνάρτησης ree µας δίνι α υθίας την υκνότητα καταστάσων Για <a</ λαµβάνουµ για το ραγµατικό και το φανταστικό µέρος της συνάρτησης ree [ ] ( R a 6 m m a m 4 Γ m m!!γ Γ (6

14 [ ] ( I m m a m 6 4 Γ!Γ Γ m Γ m [ ( ] ( m m m 4 ψ( ψ( ψ( log (6 Η ακτίνα σύγκλισης για τις σιρές των Εξ(6, (6 ίναι µονάδα Για /<a< η συνάρτηση ree ροκύτι R 5 4 [ ] ( m ( m m m a Γ Γ Γ!!! ( m ( m ( m ψ m ψ m ψ m ψ( m ψ( m log 4] (6 [ ] ( I 4 m m ( m Γ Γ! m!! Γ m m Γ a m m m m a Γ m Γ m Γ m ( m!! ( m! (64 νώ η ακτίνα σύγκλισης ίναι και άλι µονάδα

15 4 8 6 Β a Σχήµα Πραγµατικό Re (συνχής καµύλη και φανταστικό -Im (διάστικτη καµύλη της συνάρτησης ree για τριδιάστατο αλό κυβικό λέγµα, σ συνάρτηση µ την αδιάστατη νέργια a(ε- /Β Β6W ίναι το ηµιύρος της νργιακής ζώνης Οι αραάνω αιροσιρές υολογίζονται ακριβώς µόνο για συγκκριµένς τιµές της αραµέτρου a: Για a/, [ ] [ ] I R , [ ] I και για α Για το υόλοιο φάσµα της νέργιας, η συνάρτηση ree υολογίζται αριθµητικά, αθροίζοντας µρικούς αό τους όρους των αιροσιρών Τα αοτλέσµατα συγκλίνουν, κτός αό τις ριοχές ου αέχουν αό το κέντρο σύγκλισης αόσταση σχδόν ίση µ την ακτίνα σύγκλισης σ κάθ ρίτωση Σ ολλές ριτώσις όου δν νδιαφέρουν οι οσοτικές λτοµέρις, ίναι ολύ χρήσιµο να έχουµ µια αλή ροσγγιστική έκφραση για τη συνάρτηση ree, ου µορί να θωρηθί ως τυική µορφή για ραλιστικά συστήµατα Μια τέτοια έκφραση για την συνάρτηση ree ρέι να έχι τη σωστή αναλυτική συµριφορά κοντά στις ακµές των ζωνών, να ίναι κατάλληλα κανονικοοιηµένη κλ Ας ροσοµοιώσουµ για αράδιγµα την υκνότητα νργιακών καταστάσων ανά άτοµο σ' έναν κρύσταλλο µ µια έλλιψη της µορφής ( B B Θ B (65

16 Εύκολα αληθύουµ ότι αυτή ίναι κανονικοοιηµένη στη µονάδα Μορούµ τώρα ύκολα να υολογίσουµ την αντίστοιχη νδολγµατική συνάρτηση ree Το φανταστικό της µέρος δίδται λόγω της Εξ(8 αό την ξίσωση Im ( Θ (66 B B B νώ το ραγµατικό µέρος υολογίζται µ τη βοήθια της σχέσης Krammers-Krog Re (, B B B (67 και Re ( B B B, B (68 Β a Σχήµα 4 Πραγµατικό Re (συνχής καµύλη και φανταστικό µέρος -Im (διάστικτη καµύλη της συνάρτησης ree, όως αυτή ορίζται αό τις Εξ(6-(64 Χρησιµοοιούµ το ολοκλήρωµα: x x p qx p q q p 4

17 Η γραφική αράσταση αυτής της συνάρτησης ree φαίνται στο σχήµα 4 Συγκρίνοντάς τη µ την ραγµατική του σχήµατος αρατηρούµ σ αδρές γραµµές µια οµοιότητα, αρόλο ότι δν µφανίζονται δώ ιδιάζοντα σηµία va Hove 6 Ενργιακές καταστάσις ροσµίξων σ κρύσταλλο Θωρούµ µια ρόσµιξη αντικατάστασης στη θέση του κντρικού ατόµου ( R του µητρικού κρυστάλλου Υοθέτουµ ίσης για αλότητα ότι η αρουσία της τροοοιί τοικά µόνον την αρχική χαµιλτονιανή (45, µ την ροσθήκη του όρου ˆ (69 Η νδολγµατική συνάρτηση ree του διαταραγµένου συστήµατος στη θέση της ρόσµιξης υολογίζται αό την Εξ( στην ανααράσταση λγµατικής θέσης ( (7 ( ( Αντικαθιστώντας σ' αυτήν την ξίσωση τις κφράσις (66, (67, (68 της (, υολογίζουµ µ τη βοήθια της Εξ(9 την υκνότητα νργιακών καταστάσων της ρόσµιξης ντός της νργιακής ζώνης B (, B B B B B (7 Η ( αίρνι τη µέγιστη τιµή της για την νέργια Ψ 4B ( B 4 η οοία µορί να θωρηθί ως κατάσταση συντονισµού (ψυδοδέσµια κατάσταση αν το µφανιζόµνο µέγιστο ίναι αρκτά οξύ Στην ρίτωση αυτή, το αντίστροφο του ύρους της κορυφής συντονισµού ίναι ένα µέτρο του χρόνου ου ένα ηλκτρόνιο αραµένι στην κατάσταση αυτή Προφανώς για µια δέσµια κατάσταση, η οοία ανααρίσταται µ µια συνάρτηση δέλτα, ο χρόνος αυτός ίναι άιρος 5

18 Ολοκληρώνοντας την (, χρησιµοοιώντας το ολοκλήρωµα της σηµίωσης, βρίσκουµ τον αριθµό των καταστάσων της ρόσµιξης B B ( / B ( / B ( / B ( (7 Παρατηρούµ ότι όταν B έχουµ συνολικά µία κατάσταση ρόσµιξης στην νργιακή ζώνη Όταν όµως B >, το αοτέλσµα της ολοκλήρωσης (7 ίναι µικρότρο της µονάδας, ίσο µ ( B Λίι οµένως κάτι για να έχουµ διατήρηση του αριθµού των καταστάσων και αυτό ρέι να το αναζητήσουµ κτός της νργιακής ζώνης Πράγµατι, κτός της νργιακής ζώνης όου Im (, µφανίζονται δέσµις καταστάσις στους όλους της συνάρτησης ree, όταν Re (, (7 B Ειδή, όως φαίνται αό το σχήµα 4, Re ( B, για να ικανοοιηθί η συνθήκη (7 ρέι B > Στην ρίτωση αυτή οµένως έχουµ την µφάνιση δέσµιων καταστάσων της ρόσµιξης, ου ρέι να ληφθούν υόψη στον υολογισµό του ολικού αριθµού των καταστάσων Αντικαθιστώντας την Εξ(68 στην Εξ(7 βρίσκουµ ότι δέσµια κατάσταση µφανίζται σ νέργια Ε 4 B, (74 4 B Κοντά στην Ε η συνάρτηση ree (7 γράφται ( ( [ ( ] ( (75 οότ και η αντίστοιχη υκνότητα νργιακών καταστάσων δίδται αό τη σχέση 6

19 ( B ( δ ( ( δ ( (76 Έτσι λοιόν, για B >, συνυολογίζοντας στον αριθµό των καταστάσων της ζώνης ( B τον αριθµό των καταστάσων ου αντιστοιχί στη δέσµια κατάσταση -( B, βρίσκουµ διατήρηση του συνολικού αριθµού των καταστάσων Στο σχήµα 5 δίχνουµ την (, όως την υολογίζουµ για διάφορς αρνητικές τιµές του Καθώς το µέτρο του αυξάνι, οι καταστάσις ωθούνται ρος τον υθµένα της νργιακής ζώνης Το µέγιστο της ( µτατοίζται ρος τις χαµηλότρς νέργις και γίνται οξύτρο, µέχρι ου σχηµατίζται ροοδυτικά µφανώς µια κατάσταση συντονισµού κοντά στον υθµένα της νργιακής ζώνης Η νέργια συντονισµού συµίτι µ τον υθµένα της ζώνης για την κρίσιµη τιµή B B(a 4 u B(a 4 u a a 4 8 B(a u-5 B(a 6 u a a Σχήµα 5 Πυκνότητα καταστάσων για διάφορς τιµές του διαταρακτικού δυναµικού Έχουµ a ( / B και u / B 7

20 Καθώς το µέτρο του αυξάνται ραιτέρω, ένα µέρος της κατάστασης συντονισµού αοσάται αό τις νργιακές καταστάσις του συνχούς και σχηµατίζι µία δέσµια κατάσταση Μγαλύτρη αύξηση του βυθίζι χαµηλότρα νργιακά τη δέσµια κατάσταση και αυξάνι το οσοστό των καταστάσων ου αυτή έχι, ις βάρος του οσοστού των καταστάσων της νργιακής ζώνης ου µιώνται Ταυτόχρονα, η κατάσταση συντονισµού στην νργιακή ζώνη µτατοίζται ρος το κέντρο της ζώνης, ξαλώνται και γίνται δυσδιάκριτη Παρόµοια συµριφορά αρατηρίται ρος την κορυφή της ζώνης για αωστικά δυναµικά ( > Πρέι ίσης να σηµιώσι κανίς ότι σ ιο σύνθτα συστήµατα ίναι δυνατόν να µφανισθούν ρισσότρς αό µία δέσµις καταστάσις ή/και καταστάσις συντονισµού Το αλό ρότυο ου ξτάσαµ µας σκιαγραφί ορισµένα γνικά χαρακτηριστικά των νργιακών καταστάσων ροσµίξων σ κρυστάλλους, όως τη δυνατότητα µφάνισης ψυδοδέσµιων καταστάσων σ µέταλλα και ηµιαγωγούς, καταστάσων δοτών και αοδκτών ντός του νργιακού χάσµατος ηµιαγωγών κλ 8 Εντοισµένς καταστάσις ροσµίξων σ αλά µέταλλα Θα ξτάσουµ τώρα την ρίτωση µµονωµένων ροσµίξων µ ντοισµένς καταστάσις ή f (στοιχία µτάβασης, σάνις γαίς σ κρυστάλλους αλών µτάλλων Οι καταστάσις αυτών των ατόµων αλληλιδρούν (υβριδοοιούνται µ το ηλκτρονικό νέφος του µητρικού µτάλλου και δηµιουργούν ψυδοδέσµις καταστάσις στην ριοχή της ρόσµιξης, οι οοίς έχουν ολύ µγάλο αλλά ρασµένο χρόνο ζωής Μορούµ να γράψουµ µια αλή έκφραση για τη χαµιλτονιανή του συστήµατος ου ριλαµβάνι τρις όρους: ένα για την νργιακή δοµή του µτάλλου, ένα για τη δέσµια ατοµική κατάσταση, έστω, της ρόσµιξης και ένα για την αλληλίδραση µταξύ τους ˆ H [ ] (94 8

21 9 χόµαστ ότι,, δ και υολογίζουµ το στοιχίο της συνάρτησης ree H ˆ ( το οοίο αναφέρται στον υόχωρο των καταστάσων της ρόσµιξης Αό την Εξ(94 αίρνουµ ( ( H H ˆ ˆ ˆ ˆ ( ( ( ( ˆ ˆ ˆ ˆ Αντικαθιστώντας την αό τη δύτρη των αραάνω ξισώσων στην ρώτη, αίρνουµ ( (95 Μτατρέοντας το άθροισµα ως ρος σ ολοκλήρωµα και χρησιµοοιώντας την ταυτότητα του Drac έχουµ ( ( ( ( δ P (96 Θέτουµ ( ( (, (, P δ Γ (97 όου η µέση τιµή του στην ιφάνια erm και ( η υκνότητα καταστάσων του µητρικού µτάλλου ανά σιν Έτσι, αό την Εξ(96 αίρνουµ την ακόλουθη έκφραση για τη συνάρτηση ree Θα ρέι να ούµ ότι αυτές οι σχέσις ορθοκανονικότητας ίναι ροσγγιστικές, διότι η βάση ίναι λήρης µόνον µ τις συναρτήσις του συνχούς φάσµατος

22 (, Γ (98 αό όου υολογίζουµ την υκνότητα των καταστάσων της ρόσµιξης ( Im ( ( Γ (99 Η αραάνω σχέση αριστάνι µια λορντζιανή καµύλη µ κέντρο το Γ και ηµιλάτος Στην ραγµατικότητα δν ανααριστά ακριβώς λορντζιανή, αφού τα Γ και ίναι συναρτήσις της νέργιας Αν, ωστόσο, δ µταβάλλονται ιδιαίτρα στο ύρος του συντονισµού, έχουµ ρακτικά µια λορντζιανή Σηµιώνται ότι η έκφραση (99 µας δίνι µια υκνότητα καταστάσων κανονικοοιηµένη στη µονάδα Γ ( arcta, ( οότ ρέι να την ολλαλασιάσουµ µ 5 για να λάβουµ υ όψη τον τροχιακό κφυλισµό των καταστάσων ανά κατύθυνση σιν Τα στοιχία µτάβασης δν έχουν συµληρωµένη τη στοιβάδα (, Cr, M, e και σ λύθρη κατάσταση αρουσιάζουν µη µηδνική µαγνητική ροή, η οοία καθορίζται αό τους κανόνς του Hu Το ρώτηµα ου τίθται, ίναι το κατά όσο αυτή η µαγνητική ροή µορί να διατηρηθί και όταν το άτοµο βρίσκται ως ρόσµιξη σ κρύσταλλο αλού µτάλλου Αν έχουµ ασθνή υβριδισµό (µικρό, ριµένουµ να υνοίται η µφάνιση µαγνητικής ροής, διότι η ρόσµιξη βρίσκται λησιέστρα στην ατοµική κατάσταση Μορούµ για αλότητα να θωρήσουµ ότι το δυναµικό ανταλλαγής δίδται αό την Εξ(4, οότ και οι υκνότητς νργιακών καταστάσων της ρόσµιξης για κάθ κατύθυνση σιν γράφονται IM (, ± ± ( 4

23 όου M η µαγνητική ροή και I το ολοκλήρωµα ανταλλαγής IM ( - Σχήµα 9 Πυκνότητα ντοισµένων καταστάσων ρόσµιξης Η διάστικτη γραµµή αντιστοιχί στην αραµαγνητική κατάσταση και η συνχής στην κατάσταση µ όλωση σιν Η µαγνητική ροή δίδται αό τη σχέση M IM IM µ B µ B ( M, ( όου η νέργια erm του µητρικού κρυστάλλου (αυτή ρακτικά δν αλλάζι αν έχουµ ολύ µικρή συγκέντρωση ροσµίξων Η συνάρτηση M έχι τις ξής γνικές ιδιότητς ( ( ( M ( M ( ± ± 5µ B I ( IM I ( M ( M [ ( IM / ( IM / ] > / ( 4

24 Για να διαιστώσουµ αν τλικά θα µφανίζται µαγνητική ροή στο άτοµο της ρόσµιξης, θα ρέι να λύσουµ αριθµητικά την Εξ( Αό το σχήµα βλέουµ ότι έχουµ µαγνητική κατάσταση ρόσµιξης όταν ( >, δηλαδή όταν '(M> M(M '(M< (M M Σχήµα Γραφική λύση της Εξ( ( > I (4 Η σχέση (4 αναφέρται και ως κριτήριο του Bla και ίναι αρόµοιο µ το κριτήριο του Stoer, µόνο ου έχουµ την υκνότητα ντοισµένων καταστάσων της ρόσµιξης στη θέση της υκνότητας καταστάσων του κρυστάλλου Για ροσµίξις το ολοκλήρωµα ανταλλαγής ίναι ρίου σταθρό, της τάξης του e, οµένως το αν η ρόσµιξη ίναι µαγνητική θα κριθί αό το αν έχουµ µγάλη υκνότητα καταστάσων στην νέργια erm Κάτι τέτοιο ίναι νδχόµνο να συµβί αν η ρόσµιξη έχι µισοκατιληµένο το φλοιό (στοιχίο στο µέσο της σιράς γιατί τότ το µέγιστο της λορντζιανής υκνότητας καταστάσων θα βρίσκται στην νέργια erm Είσης θα ρέι η λορντζιανή να ίναι σχτικά οξία (µικρό, ράγµα ου, σύµφωνα µ την Εξ(97 συµβαίνι όταν έχουµ ασθνή υβριδισµό [µικρό ] ή/και αραιό ηλκτρονικό αέριο µητρικού κρυστάλλου [µικρό ( ] Αυτό δικαιολογί γιατί, χ, µια ρόσµιξη Co ίναι µαγνητική στο Cu νώ δν ίναι στο Al Παρόµοια συµβαίνουν και για ροσµίξις 4 και 5, µόνο ου καθώς η χωρική έκταση των κυµατοσυναρτήσων µγαλώνι, έχουµ µικρότρο ολοκλήρωµα ανταλλαγής και ισχυρότρο υβριδισµό, µ αοτέλσµα το κριτήριο του 4

25 Bla να ικανοοιίται όλο και ιο δύσκολα Ανάλογα ιχιρήµατα ισχύουν και για ροσµίξις f Μάλιστα δώ οι καταστάσις ίναι ακόµη ιο ντοισµένς και έχουν µγάλς υκνότητς, µ αοτέλσµα το κριτήριο του Bla να ικανοοιίται υκολότρα Τέλος, ρέι να σηµιώσουµ ότι στην ανάλυση ου αρουσιάσαµ αγνοήσαµ τις διακυµάνσις της µαγνήτισης Ωστόσο τίοτα δν αοκλίι ότι οι διακυµάνσις µορί να αίζουν σηµαντικό ρόλο Στην ραγµατικότητα έχι διαιστωθί ιραµατικά η ύαρξη µιας κρίσιµης θρµοκρασίας, κάτω αό την οοία οι διακυµάνσις αυτές θωρακίζουν ντλώς τη µαγνητική ροή, µ αοτέλσµα το σύστηµα να µφανίζται µη µαγνητικό (φαινόµνο Koo Πάνω αό αυτή την κρίσιµη θρµοκρασία βέβαια, ο συσχτισµός των διακυµάνσων καταστρέφται και έχουµ την µφάνιση τοικής µαγνητικής ροής στην ρόσµιξη, σύµφωνα µ την ανάλυση ου αρουσιάσαµ Οι διακυµάνσις της µαγνήτισης στο φαινόµνο Koo οφίλονται στη δυνατότητα να έχουµ σκέδαση ηλκτρονίων αό µια µαγνητική ρόσµιξη µ δυνατότητα αναστροφής του σιν Αοδικνύται ότι µια τέτοια διαδικασία σκέδασης έχι νργό διατοµή ου αοκλίνι σ χαµηλές θρµοκρασίς ως l T Έτσι στα συστήµατα Koo έχουµ µια ί λέον συνισφορά στην ιδική αντίσταση ου έχι µορφή: c lt και οφίλται σ αυτή τη διαδικασία, ί λέον ρ της αραµένουσας ιδικής αντίστασης, c ρ, και της συνισφοράς των φωνονίων, 5 α T Μορούµ ύκολα να δούµ λοιόν ότι στα συστήµατα Koo η ιδική αντίσταση δν αυξάνται µονότονα µ τη θρµοκρασία, όως στα συνηθισµένα µταλλικά συστήµατα, αλλά µφανίζι ένα λάχιστο σ θρµοκρασία m 5 ( cρ 5α / T, όου c η συγκέντρωση των ροσµίξων και ρ, α θτικές σταθρές 9 Ηλκτρονική δοµή ροσµίξων σ αλά µέταλλα Μ τον όρο αραιό κράµα ννοούµ ένα µητρικό κρύσταλλο µ ροσµίξις σ χαµηλή συγκέντρωση Αν οι ροσµίξις δ σχηµατίζουν συσσωµατώµατα και ίναι στατιστικά τυχαία κατανµηµένς, µορούµ να ξτάζουµ µία µόνο ρόσµιξη και το αοτέλσµα για το σύνολο των ροσµίξων λαµβάνται ροσθτικά Αν ο µητρικός κρύσταλλος ίναι ένα αλό µέταλλο, τα ηλκτρόνια αγωγιµότητας ριγράφονται µ το ρότυο jellum και ίναι ίδα κύµατα 4

26 exp( r 4 m j ( r Y m (ˆ r Y m ( ˆ (5 Μια ρόσµιξη αντικατάστασης στο ρότυο jellum ριγράφται αν αφαιρέσουµ µια σφαίρα θτικού φορτίου υοστρώµατος, όγκου ίσου µ τον ατοµικό όγκο του µητρικού µτάλλου, και τοοθτήσουµ στο κέντρο της το σηµιακό υρήνα της ρόσµιξης Αντίστοιχα, αν έχουµ µια νδολγµατική ρόσµιξη, δν αφαιρούµ καθόλου φορτίο αό το θτικό υόστρωµα Ειδή σ καµµία ρίτωση δν έχουµ λέον οµοιογνή κατανοµή στο υόστρωµα θτικού φορτίου, τα λύθρα ηλκτρόνια θα ανακατανµηθούν ώστ να θωρακίσουν τη διαταραχή φορτίου Τα ηλκτρόνια δν κινούνται λέον σ ένα χώρο σταθρού δυναµικού, αλλά σκδάζονται αό το δυναµικό στην ριοχή της ρόσµιξης, το οοίο µορούµ να υοθέσουµ σφαιρικά συµµτρικό, (r Έτσι, µορούµ να ργασθούµ στη βάση σφαιρικών κυµάτων και να αναζητήσουµ τις ιδιοκαταστάσις των ηλκτρονίων ως λύσις της ακτινικής ξίσωσης Schröger ( - r ( ( r R r m r r r (6 Αν το δυναµικό έχι ριορισµένη µβέλια, S, για r S η γνική λύση της Εξ(6 ίναι γραµµικός συνδυασµός σφαιρικών συναρτήσων Bessel και Neuma R ( r B j ( r C ( r, r S, (7 οι οοίς συµριφέρονται ασυµτωτικά ως j ( r s r, ( cos, r r (8 r r r r οότ η ασυµτωτική έκφραση της Εξ(7 γίνται 44

27 R ( r B s r C cos r (9 r r Εξ άλλου, για δέχται λύσις r, η Εξ(6 αίρνι τη µορφή ( rr ( r ( rr ( r και A R ( r s r δ cos s s cos A δ r A δ r r r ( Συγκρίνοντας τις Εξ(9 και ( βλέουµ ότι οότ γράφουµ τη λύση (7 στη µορφή cos C s, B A δ και A δ [ cos j ( r sδ ( r ], r R ( r A δ S ( Η λύση της Εξ(6 µορί ίσης να βρθί αό την ξίσωση Lppma- Schwger R ( (ˆ ( (ˆ (, ; ( ( (ˆ r Ym r j r Ym r r g r r r R r Ym r ( Η συνάρτηση ree των λύθρων ηλκτρονίων γράφται ( r r m exp g r, r ; 4 r r m ( m Y (ˆ r j ( r h ( r Y (ˆ r, ( m < > m όου r m( r, r, r max( r, r < >, και h ( x j ( x ( x ίναι η σφαιρική συνάρτηση Hael ου ίδους Αντικαθιστώντας την Εξ( στην Εξ( έχουµ R ( r m j ( r ( ( ( (, r r j r < h r r R r > (4 και ιδή για r S το r αραµένι άντα µικρότρο του r έχουµ 45

28 m R ( r j ( r h ( r t (, r S, (5 όου T ( r j ( r Y (ˆ r ( r R ( r Y (ˆ t ( δ ίναι τα m ; m m m r δ mm στοιχία του ίνακα σκέδασης, ο οοίος ίναι διαγώνιος στην ανααράσταση της στροφορµής στην ρίτωση νός κντρικού δυναµικού Συγκρίνοντας τις Εξ( και (5 βρίσκουµ A exp( δ, t exp( δ sδ (6 m Αό τη δύτρη των Εξ(6 και την Εξ(6 ροκύτι ότι η διαφορά στον αριθµό καταστάσων σθένους µταξύ του διαταραγµένου και του αδιατάρακτου συστήµατος, µέχρι νέργια ίναι N( ( δ (, (7 όου ο συντλστής υάρχι στην ρίτωση κφυλισµού των καταστάσων σιν Για µαγνητικές ροσµίξις, ο συντλστής δν υάρχι και το άθροισµα ριλαµβάνι και τις δύο καταστάσις σιν Οι φασικές µτατοίσις σκέδασης δ ( ίναι συνχίς συναρτήσις της νέργιας στο φάσµα του συνχούς και ξκινούν αό την τιµή δ ( Η συνθήκη ηλκτρικής ουδτρότητας του συστήµατος κφράζται αό τον κανόνα θωράκισης του reel Z N( ( δ (, (8 όου Z η διαφορά σθένους µταξύ ατόµων ρόσµιξης και µητρικού κρυστάλλου (για ρόσµιξη αντικατάστασης ή το σθένος του ατόµου της ρόσµιξης (για ρόσµιξη σ νδολγµατική θέση Η ύαρξη ροσµίξων σ έναν κρύσταλλο ίναι υύθυνη για µια αραµένουσα αντίσταση ακόµη και στο αόλυτο µηδέν Αυτή γράφται 46

29 m ρ, (9 e τ όου ίναι η υκνότητα των (λύθρων ηλκτρονίων του µητρικού µτάλλου και τ ο χρόνος αοκατάστασης για τη διαδικασία σκέδασης αό τις ροσµίξις Αν έχουµ N µµονωµένς ροσµίξις, µορούµ να γράψουµ N P ( cosϑ, ( τ όου P ίναι η ιθανότητα (λαστικής σκέδασης, ανά µονάδα χρόνου, νός ηλκτρονίου αό µια κατάσταση σ µια άλλη στην ιφάνια erm P Tˆ δ ( ( Πρνώντας αό ίδα κύµατα σ σφαιρικά, βάσι της Εξ(5, και χρησιµοοιώντας ιδιότητς των ολυωνύµων Legere, µορούµ να δίξουµ ότι για λύθρα ηλκτρόνια (σφαιρική ιφάνια erm ο χρόνος αοκατάστασης δν ξαρτάται αό την κατάσταση, και τλικά η Εξ(9 µας δίνι ch ρ ( s [ ( ( ], δ δ ( Z e h όου Z h το σθένος του µητρικού µτάλλου Ας θωρήσουµ για αράδιγµα µη µαγνητικές ροσµίξις στις οοίς κυριαρχί η σκέδαση : δ ( κτός αν Τότ αό τον κανόνα ( xp ( x ( P xp ( x P xp ( x P ( x δ ( x P ( x( x δ ( x δ δ 47

30 θωράκισης του reel έχουµ δ ( /, οότ η Εξ( µας δίνι ( Z ρ s Z / ηλαδή η αραµένουσα αντίσταση γίνται µέγιστη για Z 5 Είσης για µικρό Le Z ροκύτι ν γένι ρ Z ου αναφέρται ως κανόνας του δοµένης της έκφρασης ( για τη συνάρτηση ree των λύθρων ηλκτρονίων, µορούµ να δίξουµ α υθίας αό την Εξ( ότι η συνάρτηση ree για ένα σφαιρικά συµµτρικό δυναµικό µβέλιας S σ jellum γράφται m ( r, r ; Y m m (ˆ r [ j ( r exp( δ sδ h ( r ] h ( r Y (ˆ r, r r S < < > m, ( και βάσι της Εξ(7 η διαταραχή στη φασµατοχωρική υκνότητα καταστάσων µακριά αό µια ρόσµιξη θα ίναι m ( r ; Im Y (ˆ exp( s h ( r, r S m r δ δ (4 m Σ µγάλη αόσταση αό την ρόσµιξη µορούµ να χρησιµοοιήσουµ τις ασυµτωτικές κφράσις: h ( x exp[ { x / ] x συναρτήσις Hael, οότ η Εξ(4 µας δίνι x για τις σφαιρικές [ s δ cos r sδ cosδ s r], m ( r ; ( ( r r (5 Ύστρα αό διαδοχικές αραγοντικές ολοκληρώσις η Εξ(5 µορί να αναδίξι την κυρίαρχη ασυµτωτική συµριφορά της διαταραχής στην υκνότητα φορτίου ανά κατύθυνση σιν A ( r ( r; cos( r ϕ, (6 r 4 r όου 48

31 Asϕ Acosϕ ( ( ( ( s δ ( sδ ( cosδ ( (7 Βλέουµ δηλαδή ότι η διαταραχή του φορτίου δ φθίνι κθτικά µακριά αό την ρόσµιξη, αλλά µιώνται σχτικά αργά, ταλαντούµνη Οι ταλαντώσις αυτές ονοµάζονται ταλαντώσις reel Οι ταλαντώσις reel κδηλώνονται σ ιράµατα υρηνικού µαγνητικού συντονισµού (NMR: Nuclear Magetc Resoace Η αρχή αυτών των ιραµάτων βασίζται στο φαινόµνο Zeema: ένας υρήνας στροφορµής I έχι µαγνητική ροή M N γ N I, όου γ N ο γυροµαγνητικός λόγος του υρήνα Αν ο υρήνας βρίσκται σ µαγνητικό δίο H, ροκαλίται άρση του κφυλισµού των καταστάσών του µ διαφορτική ροβολή της στροφορµής στην κατύθυνση του δίου, κατά γ N H Μέσα σ µια κοιλότητα συντονισµού ραδιοκυµάτων, µ συχνότητα ω στην ριοχή των MHz, ο υρήνας αυτός αορροφά ακτινοβολία αν η ένταση του µαγνητικού δίου γίνι τέτοια ώστ ω γ N H Όταν όµως αναφρόµαστ στους υρήνς των ατόµων νός κρυστάλλου µτάλλου, το ξωτρικό µαγνητικό δίο ροκαλί όλωση σιν λόγω αραµαγνητισµού Paul, και δηµιουργί µια µαγνήτιση m µ ( H, όου B η υκνότητα καταστάσων του µτάλλου ανά σιν ανά µονάδα όγκου Αυτή η µαγνήτιση άγι δυτρογνώς ένα υέρλτο δίο 8 H hf m ( R στον υρήνα ου βρίσκται στην λγµατική θέση R (ροφανώς βέβαια σ ένα οµοιογνές ηλκτρονικό αέριο η µαγνήτιση ίναι αντού ίδια Έτσι σ ένα µέταλλο η ροβλόµνη συχνότητα συντονισµού NMR µφανίζται µτατοισµένη κατά γ (µτατόιση Kght Αν τώρα έχουµ µια ρόσµιξη στο N H hf µέταλλο, η µαγνήτιση ου δηµιουργίται ίναι m( R µ µ B B [ ( R ; ( R ; ] [ ( R ; µ H ( R ; µ H ] µ H ( R ; B B B (8 49

32 Αυτό σηµαίνι ότι το υέρλτο δίο µταβάλλται ως ρος το µέτρο και το ρόσηµο µακριά αό την ρόσµιξη γιατί H H hf hf ( R ( ;, (9 όου η R ; δίδται αό την Εξ(5 Εοµένως, στην ρίτωση αυτή, στα ( ιράµατα NMR θα αρατηρούνται ολλές δορυφορικές κορυφές συντονισµού γύρω αό την κντρική συχνότητα Ταλαντώσις reel δν µφανίζονται µόνο στην υκνότητα φορτίου, αλλά και στη µαγνήτιση αν η ρόσµιξη ίναι µαγνητική Μια δύτρη µαγνητική ρόσµιξη θα βρίσκται στο δίο µαγνήτισης της ρώτης, και το αντίστροφο Αυτό σηµαίνι ότι το ρόσηµο και η ισχύς της µαγνητικής αλληλίδρασης µταξύ των δύο ροσµίξων αλλάζι µταβάλλοντας τη µταξύ τους αόσταση (αλληλιδράσις RKKY: Ruerma, Kttel, Kasuya, Yosha Οι αλληλιδράσις RKKY ίναι υύθυνς για µια οικιλία αό νδιαφέροντα φυσικά φαινόµνα Μταξύ άλλων, µορούν να οδηγήσουν σ µια ιδιότυη κατάσταση µαγνητικής τάξης όου οι µαγνητικές ροές µταβάλλονται σ τυχαίς κατυθύνσις, ώστ η µέση τιµή τους στο χώρο να ίναι µηδέν, ίναι όµως αγωµένς χωρίς χρονικές διακυµάνσις Τέτοια συστήµατα ονοµάζονται υαλώδη συστήµατα σιν 5