Cvičenie 1 ( )

Transcript

1 Cvičenie 1 ( ) Indexová algebra 1 Trochu teórie k sumačnej konvencii, čo znamenajú výrazy a i, A ij, a i b i, A ii, a i b i c i Výrazy s maticami: y = Ax y i = A ij x j C = AB C ij = A ik B kj Kroneckerov symbol: δ ij := { 1 ak i = j 0 inak δ ji = δ ij, δ ii = 3, δ ij x j = x i, δ ij A ij = A ii = Tr A Levi-Civitov symbol ε ijk : úplne antisymetrický a ε 123 = 1 (0.3), (0.4), (0.5) (tie 4 identity) Užitočné: (e i ) j = δ ij (e i e j ) k = ε ijk Niektoré riešenia (0.4): a (b c) = a i (b c) i = ε ijk a i b j c k = ε kij c k a i b j = c k (a b) k = c (a b) (0.5): (bez čísla): ε ijk ε mjk = δ im δ jj δ ij δ jm = 3δ im δ im = 2δ im ε ijk ε ijk = 2δ ii = 2 3 = 6 (a b) 2 = (a b) i (a b) i = (ε ijk a j b k )(ε ilm a l b m ) = (δ jl δ km δ jm δ kl )a j b k a l b m = a j b k a j b k a j b k a k b j = a 2 b 2 (a b) 2 (0.6)!oba! Ukázať, že maticové násobenie je asociatívne [ (AB)C ] ij = [ A(BC) ] ij Ukázať Tr(AB) = Tr(BA) Cvičenie 2 ( ) Indexová algebra 2 Časť príkladu (0.9): ukázať (trik), že pre matice S ij = S ji a A ij = A ji platí S ij A ij = 0 1 Tu si treba len uvedomiť, že ak sa vo výraze vyskytuje index raz, ide o tzv. voľný index nesumujeme cez neho. Ak sa index vyskytuje dvakrát, ide o nemý (sumačný) index myslí sa sumácia cez neho, pričom sa explicitne neuvádza. Ak sa index vyskytuje viackrát bez explicitne uvedenej sumácie, ide o nezmysel také výrazy sa nám neobjavia, a ak áno, niekde máme chybu (syntax error). 1

2 Od teraz všade platí: f = f(r) je funkcia v R 3, A = A(r) a B = B(r) sú vektorové polia v R 3, p je konštantný vektor, r = (x 1, x 2, x 3 ), r = x x2 2 + x2 3, nabla operátor je definovaný ako v Príkladoch2 : = ( 1, 2, 3 ) (kde i x i ), f,i i f, a navyše: grad f f rot A A div A A f div grad f (0.11): i x j, i r (0.10): Napísať v kartézskych súradniciach grad f, div A, rot A, f (0.12): Dokázať (0.13): Dokázať, že ak F (r) = f(r)r, tak rot F = 0 rot grad f = 0 div rot A = 0 Ukázať v kartezských súradniciach: rot rot A = grad div A A Vypoćítať div((p r)r) a div(f(r)r) Väzby Komentár k tomu, ktoré väzby sú slušné, a ktoré nie (2.1)ii, iii: napísať väzby, aktívnu silu F (a), počet stupňov voľnosti a zaviesť zovšeobecnené súradnice pre sférické kyvadlo a pre dvojné rovinné kyvadlo Princíp virtuálnych prác: ( p F (a) ) δ r = 0 F (a) δ r = 0 čo v zovšeobecnených súradniciach q a dá: kde i = 1,..., 3N a a = 1,..., n δ r ϕ a = 0 δ r ϕ a = 0 (2.3): nájsť rovnovážne polohy sústav z úlohy (2.1) ϕ a = 0 ϕ a = 0 F (a) x i i δq a = 0 q a (2.5): riešiť úlohu o rovnováhe na páke pomocou princípu virtuálnych prác (ramená l 1, l 2, na ich koncoch sily F 1, F 2 smerom dolu) Niektoré riešenia (0.10): (grad f) i = i f (rot A) i = ε ijk j A k div A = i A i f = i i f (0.11): i r = i x x2 2 + x2 3 = 1 2r i(x j x j ) = 1 2r 2x j i x j = x j r δ ij = x i r 2 Od tejto chvíle až do času t = + (prípadne do skončenia vesmíru, ak by to bolo skôr) budeme pod názvom Príklady rozumieť Feckovu zhruba 40-stranovú zbierku príkladov dostupnú na jeho stránke. 2

3 (0.12): (rot grad f) i = ε ijk }{{} j k }{{} asym v jk sym v jk f = 0 (0.13): (bez cisla): f(r) (rot f(r)r) i = ε ijk j (f(r)x k ) = ε ijk r ( jr)x k + ε ijk f(r) j x k = = 1 f(r) r r ε ijkx j x k + f(r)ε ijk δ jk = 0 div((p r)r) = i (p j x j x i ) = p j δ ij x i + p j x j δ ii = p j x j + 3p j x j = 4p r div(f(r)r) = i (f(r)x i ) = f(r) x i r r x i + f(r)δ ii = f(r) r + 3f(r) = len funkcia od r r rot(fa) =... div(fa) =... div(a B) =... grad ( ) p r r =... (2.1)iv: napísať väzby, aktívnu silu F (a), počet stupňov voľnosti a zaviesť zovšeobecnené súradnice pre dvojné sférické kyvadlo Od veci (trochu): Zíde sa (neskôr kvôli Matematike 3, ale aj TM) pozrieť si recepty 1 a 2 na výpočet krivkových a plošných integrálov v Príkladoch pod (0.16). Hlavne recept 2 sa na Matematike nedokazuje poctivý dôkaz by bol pri súčasnej úrovni analýzy ťažkopádny, avšak s použitím comba geometria + obrázok + intuícia sa to trochu dá nahliadnuť. Poctivý a elegantný dôkaz zároveň poskytne až Diferenciálna geometria, ale to je technológia budúcnosti... Cvičenie 3 ( ) Lagrangeove rovnice Zhrnutie prednášky: Našim cieľom bude zostavenie pohybových rovníc pre konkrétne (zatiaľ iba mechanické) fyzikálne úlohy. Výstupom je teda sada (obyčajných) diferenciálnych rovníc jedna pre každý stupeň voľnosti ktoré môžu byť zreťazené (v rovnici pre jeden stupeň voľnosti vystupujú ostatné, teda ich treba riešiť naraz) 3. Všeobecný recept (známy z prednášky) pre potenciálové sily 4 ( F (a) = U( r)): 1. Zavediem zovšeobecnené súradnice a napíšem si transformačné vzťahy (s pomocou obrázka a intuície) r = r(q), indexovo x i = x i (q 1,..., q n ), i = 1,..., 3N 2. Zostavím si lagranžián L(q, q, t) = T (q, q) U(q, t). Za behu potrebujem obodkovať a dať na druhú transformačné vzťahy (kvôli kinetickej energii T = 1 N 2 k=1 m kṙ 2 k), teda ẋ i = xi q q a. a 3. Zostavím Lagrangeove rovnice (pre každý stupeň voľnosti): d L dt q a L q a = 0 a 3 Tieto rovnice riešiť nebudeme (okrem jednoduchých prípadov). 4 Teda zatiaľ nebudeme uvažovať trecie a odporové sily (ktoré nie sú potenciálové). Taktiež sa obmedzíme na prípad bez explicitnej časovej závislosti (napr. väzieb). 3

4 4. Niekedy sa dajú (ešte pred zostavením LR) využiť tzv. zákony zachovania: Príklady: L t L q a = 0 a q a je cyklické = 0 t je cyklické qa L q a L = T + U E = const Prvé je zákon zachovania energie a druhé je zákon zachovania zovšeobecnenej hybnosti. L q a p a = const (3a.1): Odvodiť Newtonove rovnice pre N neviazaných hmotných bodov z Lagrangeových rovníc. (3a.3): Sférické kyvadlo. Napísať L, rovnice a zákony zachovania. Uhádnuť nejaké riešenie (iné ako státie). Flashback: Na minulom cvičení sme dospeli k zovšeobecneným súradniciam (jednej verzii sférických súradníc) x(ϑ, ϕ) = l sin ϑ cos ϕ y(ϑ, ϕ) = l cos ϑ z(ϑ, ϕ) = l sin ϑ sin ϕ (3a.4): Dvojné rovinné kyvadlo. Napísať L, rovnice a zákony zachovania. Overiť, že kmitanie ako jedno dlhé kyvadlo (ϕ 1 (t) = ϕ 2 (t)) nie je riešením. Flashback: Na minulom cvičení sme dospeli k zovšeobecneným súradniciam x 1 (ϕ 1, ϕ 2 ) = l 1 sin ϕ 1 x 2 (ϕ 1, ϕ 2 ) = l 1 sin ϕ 1 + l 2 sin ϕ 2 y 1 (ϕ 1, ϕ 2 ) = l 1 cos ϕ 1 y 2 (ϕ 1, ϕ 2 ) = l 1 cos ϕ 1 l 2 cos ϕ 2 z 1 (ϕ 1, ϕ 2 ) = 0 z 2 (ϕ 1, ϕ 2 ) = 0 (3a.6), (3a.9) Cvičenie 4 ( ) Lagrangeove rovnice 2 (3a.8) Rebrík (3a.10) Lineárna retiazka (3a.11) Strecha (3a.12) Rovinné kyvadlo na šikmom drôte Cvičenie 5 ( ) Zovšeobecnená potenciálna energia a princíp minimálneho účinku Riešenia príkladov z cvičení možno nájsť na mojej stránke v sekcii teoretická mechanika. (3b.5) Väzby explicitne závislé od času Sférické kyvadlo vs. (3b.6) hmotný bod na vertikálnej kružnici (4.5) Reťazovka 4

5 Doplnkové cvičenie S druhým cvičiacim (Ferom) sme sa dohodli, že v prípade záujmu by sme urobili doplnkové nepovinné cvičenie na kapitolu 4 (princíp minimálneho účinku), keďže sme toho až tak veľa nestihli (a budúci týždeň už cvičíme Hamiltonove rovnice). Bude to zamerané na príklady (4.6) až (4.9), kľúčové slová (rozumej buzzwordy) sú struna, vlnová rovnica, Fourierove rady, hustota lagranžiánu. Príklady sú zatiaľ v zozname odporučených domácich úloh, môžete si skúsiť poradiť sami príklday sú s podrobným návodom. (3b.7)!!! Povinná domáca úloha Za odovzdanie tejto domácej úlohy možno získať 1 bod: (3c.1), (3c.2) Matematické kyvadlo s odporom vzduchu Cvičenie 6 ( ) Hamiltonova mechanika Riešenia príkladov z cvičení možno nájsť na mojej stránke v sekcii teoretická mechanika. (5.3) napísať hamiltonían a Hamiltonove rovnice: comeback niektorých príkladov na lagranžiány (3a.9), (3a.3), (3a.4) 5. V prvom príklade je jeden stupeň voľnosti, v druhom a treťom sú dva, a v treťom je navyše neortogonálne T ab. (5.2), (5.4), (5.5): hamiltonián pre častice v elektromagnetickom poli (5.8), (5.9), čosi z (5.12): Poissonove zátvorky (5.3) napísať hamiltonián a Hamiltonove rovnice pre: (3a.5), (3a.6) (vodorovný a zvislý valec) (5.12) Poissonove zátvorky: (iii) druhý ({L i, p j } = ε ijk p k ) a (iv) druhý ({L i, p 2 } = 0) Cvičenie 7 ( ) Fázový portrét a škálovanie Riešenia príkladov z cvičení možno nájsť na mojej stránke v sekcii teoretická mechanika. (6.1) nakresliť fázový portrét harmonického oscilátora (6.3) a (5.13) nakresliť fázový portrét a uvidieť Liouvillovu vetu pre pohyb v konštantnom silovom poli (6.8) pohyb po separatise (6.10) škálovanie a rovinné kyvadlo (6.11), (6.14) 5 Pre dvojné kyvadlo rovnice radšej netreba, chceme byť hotoví do Vianoc. 5

6 Cvičenie 8 ( ) Cvičenie viedol Fero Herman (za čo mu ďakujem). (7.10) Cvičenie 9 ( ) Malé kmity vypočítať zovšeobecnenú silu Q a = ri q F a i pre mat. kyvadlo s odporovou silou F o = kv (bolo treba v povinnej domácej úlohe) lyžiar na svahu z(x, y) = 1 2 x2 y, nájsť charakteristické frekvencie a módy hmotný bod viazaný na jamu z(x, y) = 1 4 x y4 rovinné kyvadlo s pružinkou tuhosti k (namiesto tyče s konštantnou dĺžkou), pokojová dĺžka pružinky je l, nájsť charakteristické frekvencie, módy a všeobecné riešenie pohybových rovníc Riešený príklad Taký matematickejší príklad 6 : Hmotný bod m v gravitačnom poli viazaný na 2D plochu danú rovnicou z(x, y) = x 3 + y 2 xy x, nájsť charakteristické frekvencie, módy a všeobecné riešenie pohybových rovníc. Máme 2 stupne voľnosti: x a y. Lagranžián L = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) mg(x 3 + y 2 xy x) kde ż = 3x 2 ẋ + 2yẏ ẋy xẏ ẋ. Chceme urobiť aproximáciu malých kmitov v okolí minima potenciálnej energie. Aby sme toto minimum našli, spočítame gradient funkcie z x z = 3x 2 y 1 y z = 2y x Ak položime tento gradient rovný 0 dostaneme kvadratickú rovnicu 12y 2 y 1 = 0 Po vyriešení máme 2 stacionárne body ( 2 (x 1, y 1 ) = 3, 1 ) 3 (x 2, y 2 ) = ( 1 ) 2, 1 4 Aby sme vedeli, ktorý z týchto bodov je naozaj minimum, spočítame druhú deriváciu z (Hessian) ) ( ) 6x 1 = 1 2 ( 2 z x 2 2 z x y 2 z x y 2 z y 2 Minimum nastáva, keď je táto matica kladne definitná, a to je (podľa Sylvestrovho kritéria) pre 6x > 0 a zároveň 12x 1 > 0. Tento prípad nastane pre bod (x 1, y 1 ). Teda lagranžián v aproximácii malých kmitov má tvar L = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) 1 2 mg ( ) ( ) ( ) 4 1 x x1 x x 1 y y y y 1 6 Všetky tvrdenia (okrem tých, ktoré sa týkajú analýzy funkcii viacerých premenných) boli dokázané na prednáške z TM o malých kmitoch. Komu niečo nie je jasné, nech si skúsi pozrieť prednášku. 6

7 kde sme dosadili do matice druhých derivácii nájdené minimum a v kinetickom člene sme využili, že v minime sa ż = 0 (veď tak sme ho predsa našli). Ak si označíme ξ := x 2 3 η := y 1 3 lagranžián dostaneme do tvaru L = 1 ( ) ( ) ( ) m 0 ξ ξ η m η 2 ( ) ( ) ( ) 4mg mg ξ ξ η mg 2mg η kde tie dve matice sú M a K. Charakteristické frekvencie nájdeme riešením sekulárnej rovnice det(k ω 2 M) = 0 čo dá 4mg ω2 m mg mg 2mg ω 2 m = 0 ω 4 6gω 2 + 7g 2 = 0 ω 2 1,2 = (3 ± 2)g Vlastné vektory nájdem ako riešenia homogénnych rovníc ( ) ( ) 4mg ω 2 1 m mg u1 mg 2mg ω1m 2 = 0 u 2 ( ) ( ) 4mg ω 2 2 m mg v1 mg 2mg ω2m 2 = 0 v 2 čo dá ( ) ( ) u1 = 0 2 u 2 ( ) ( ) v1 = 0 2 v 2 odtiaľ hneď vidíme riešenie (spodný riadok sa vždy dá vynulovať) ( ) 1 u = 1 2 v = ( ) a teda všeobecné riešenie (s ľubovoľnými počiatočnými podmienkami) lagranžiánu v aproximácii malých kmitov je ( ) x(t) = y(t) kde A, B, C, D sú integračné konštanty. Hotovo. ( ) ( ) 2/3 1 + A 1/3 1 cos(ω 2 1 t + B) + C ( ) 1 2 cos(ω 1 2 t + D) (8.6) (úloha 2) 3 hmotné body hmotnosti m spriahnuté 4 pružinkami tuhosti k, nájsť charakteristické frekvencie, módy a všeobecné riešenie pohybových rovníc. Obrázok je ako pre (3a.10) pre 3 body. Ide o variáciu príkladu z prednášky. (úloha 3) Pozrieť si a pochopiť príklad, ktorý je vyriešený vyššie. Cvičenie 10 ( ) Riešenia príkladov z cvičení možno nájsť na mojej stránke v sekcii teoretická mechanika. 7

8 Neinerciálne vzťažné sústavy a poruchová teória (9.6), (9.7), (9.8): pohyb hmotného bodu nízko nad točiacou sa Zemou. Riešiť poruchovou teóriou (kde za poruchu považujeme Coriolisovu silu) do prvého rádu. Konkrétne pre voľný pád z výšky h R - ukázať, že teleso pustené z tejto výšky nedopadne presne na to isté miesto (teda nepadá len zvislo nadol) 7. Tenzor zotrvačnosti (10.2)iii vypočítať tenzor zotrvačnosti homogénnej kocky voči ťažisku 8 (10.2)ii vypočítať tenzor zotrvačnosti sféry Návod: Jeden spôsob je zrátať plošný integrál prvého druhu (ako mám v poznámkach). Tu si treba vypočítať alebo uhádnuť tvar plošného elementu ds. Výpočet sa dá urobiť vo sférických súradniciach (kde integračná oblasť vyzerá jednoducho), ale malo by to ísť aj v kartézskych (ale integračná oblasť bude zložitejšia). Druhý spôsob (intuitívnejší, stredoškolskejší a rovnako správny; odporučený pre menších milovníkov integrálov) je rozdeliť si sféru na nekonečne veľa nekonečne tenkých prstencov rôznych polomerov. Momenty zotrvačnosti týchto prstencov poznáme (vieme spočítať triviálne). Moment zotrvačnosti sféry potom vyskladáme z týchto momentov. Podobne, ak by sme rátali moment zotrvačnosti gule, vieme ho vyskladať z momentov zotrvačnosti sfér rôznych polomerov. Alternatívne vieme guľu vyskladať aj z nekonečne tenkých valcov (diskov), v takom prípade si musíme zrátať najprv moment zotrvačnosti disku. Cvičenie 11 ( ) Malé kmity: Horizontálne zavesená pružinka tuhosti k s pokojovou dĺžkou a, ktorá sa môže pohybovať len v horizontálnom smere, má na konci pripevnený hmotný bod hmotnosti m. Na tento hmotný bod je pripevnené matematické kyvadlo dĺžky l a na jeho konci je druhý hmotný bod s hmotnosťou m, na ktorý pôsobí tiažová sila. Pre tieto parametre platia vzťahy: 2g l = 8ω 2 0 k m = 6ω2 0 kde ω 0 je nejaká typická frekvencia. Napísať lagranžián pre tento systém v aproximácii malých kmitov, nájsť matice M a K, vypočítať charakteristické frekvencie, určiť módy systému a napísať všeobecné riešenie pohybových rovníc. Výsledky: Frekvencie a im prislúchajúce módy: Všeobecné riešenie: L = 1 2 m ( l 2 ϕ 2 + 2l ϕ q cos ϕ + 2 q 2) + mgl cos ϕ 1 k(q a)2 2 L 1 ( ) ( ) ( ) ml 2 ml ϕ ϕ q 1 ( ) ( ) ( ) mgl 0 ϕ ϕ q a 2 ml 2m q 2 0 k q a ω 2 + = 12ω 2 0 kde A, B, C, D sú integračné konštanty. ( ) 3 2l ( ω 2 = 2ω0 2 1 l) ( ) ( ( ) ϕ(t) 0 3 ( ) ( 1 ( ) = + A cos 12ω0 t + B + C cos 2ω0 t + D q(t) a) 2l l) 7 V mojich oskenovaných poznámkach možno ešte nájsť výpočet zotrvačnej sily pomocou lagranžiánov. 8 V poznámkach mám vypočítaný moment zotrvačnosti rotačného paraboloidu vzhľadom na os symetrie. Je to o čosi náročnejšie, ako sme cvičili, tento spôsob netreba vedieť na predmet teoretická mechanika, na matematike (3) sa možno zíde. 8

9 Odvodenie Eulerových kinematických rovníc. To čo sme robili na cvičení je možné nájsť na stránke Lukáša Tomeka: (10.8) Cvičenie 12 ( ) Mechanika tuhého telesa: (10.7) regulárna precesia voľného symetrického zotrvačníka Mechanika kontiunua (tekutiny): (11.2), (11.3), (11.5)!!! Povinná domáca úloha Posledné cvičenie písomka už nebude. (Počkám až doznie hromadné hurá, radosť, smiech a iné emocionálne prejavy, ktoré predchádzajúca veta vyvolala.) Zvyšné 2 body môžete získať (správnym) vyriešením nasledujúcej domácej úlohy, ktorú mi (každý svojmu cvičiacemu) odovzdáte najbližšiu stredu na začiatku cvičenia. 1. Teoretická úloha. Na vyriešenie tejto úlohy stačí poznať a rozumieť tomu, čo sa robilo na prednáške. Pozrite si to, rozmyslite si to a skúste to nerobiť metódou copy+paste. Odpovedajte na to, na čo sa pýtam, a nepíšte toho o moc navyše 9. (a) Rozmyslieť si, odkiaľ sa berie všeobecná pohybová rovnica kontinua. Stačí jednou / dvoma vetami napísať, z ktorej rovnice vychádza a čo za členy (písmenká) v nej vystupujú. (b) Odvodiť Navierovu-Stokesovu rovnicu zo všeobecnej pohybovej rovnice kontinua. Tu čakám zavedenie jednotlivých členov a výpočet (úpravu na finálny tvar). 2. Príklad (11.10) Cvičenie 13 ( ) (11.9)i tečenie nestlačiteľnej kvapaliny vo vodorovnej záchodovej rúrke (11.11) tenzor deformácie (11.12), (11.13) určiť o akú deformáciu ide, vypočítať tenzor deformácie a objemovú dilatáciu napísať pole posunutí pre rovnomerné (zo všetkých strán rovnaké) stláčanie gule (u(r, t) = kr), vypočítať tenzor deformácie a objemovú dilatáciu 9 Nemalo by sa v úlohe objaviť vyriešené Newtonovo vedro, kmity v pružnom kontinuu alebo pohyb v centrálnom poli. 9