12 ATÓM VODÍKA V STATICKOM ELEKTRICKOM A MAGNETICKOM POLI JEMNÁ ŠTRUKTÚRA SPEKTRÁLNYCH IAR

Transcript

1 ATÓM VODÍKA V STATICKOM ELEKTRICKOM A MAGNETICKOM POLI JEMNÁ ŠTRUKTÚRA SPEKTRÁLNYCH IAR. ÚVOD Štúdium zmien spektrálnych iar atómov a molekúl spôsobených vonkajšími elektrickými a magnetickými poliami zohralo vemi dôležitú úlohu v rozvoji atómovej fyziky i kvantovej mechaniky. V tejto kapitole sa budeme zaobera iba najjednoduchšou sústavou atómom vodíka. Sústredíme sa pritom najmä na kvalitatívnu a metodickú stránku jednotlivých problémov. Podrobnosti výpotov a použitie príbuzných metód ku komplikovanejším systémom možno nájs v literatúre. 97 Zmena energetických hladín atómu vonkajším elektrostatickým poom sa všeobecne nazýva Starkovým javom. Jeho kvalitatívnou analýzou sa budenie zaobera v nasledujúcom lánku a výpoet lineárneho a kvadratického Starkovho javu nartneme v lánku.. Zmeny energetických hladín atómu spôsobené vonkajším magnetickým poom nazývame všeobecne Zeemanovým javom. Jeho analýza je trocha komplikovaná tým, že pri bežne dosahovaných intenzitách predstavuje vonkajšie magnetické pole naozaj iba malú poruchu. Aby malo zmysel porovnanie výsledkov s experimentom, musíme najprv parametre neporušených hladín uri presnejšie ako doteraz. Konkrétne musíme pri výpote spektra atómu vodíka (pri nulových vonkajších poliach) použi realistickejší hamiltonián, v ktorom budú zahrnuté aj relativistické korekcie a spinovo-orbitálna väzba. Diskusiu týchto otázok zaneme tým, že v lánku.4 urobíme kvalitatívne odhady rádovej vekosti jednotlivých efektov, v alšom sa budeme trocha podrobnejšie zaobera odvodením výrazov pre spinovo-orbitálnu väzbu a relativistické korekcie a v lánku.6 prediskutujeme jemnú štruktúru spektrálnych iar stále bez vonkajšieho magnetického poa. V poslednom lánku sa budeme zaobera Zeemanovým javom. Poznamenajme ešte nakoniec, že problematika preberaná v tejto kapitole bola pri zrode kvantovej mechaniky jedným zo základných skúšobných kameov nových ideí. Klasici ako Lorentz, Sommerfeld, Heisenberg, Jordan a mnohí alší poznali dokonale experimentálny stav a spektrá mali naozaj v ruke. Dnes, ke 97 Odporúame na úvod uebnicu Landaua a Lifšica [9] a monografie Betheho a Salpetera [] a Sommerfelda [6]. 75

2 kvantová mechanika je v podstate uzavretou teóriou, sa hlavný akcent trocha posunul na teoretickejšie problémy. Otázka spektier sa diskutuje iba strune ako príklad na aplikáciu. Obmedzený rozsah potom núti vynecha na vea miestach podrobný postup a obmedzi sa iba na náznaky. Je preto prirodzené, že v štruktúre výkladu sa musia objavi logické medzery. Tak napríklad pri diskusii Starkovho javu z uvedených rádových odhadov nijako nevyplýva, že možno zanedba spinovo- -orbitálnu interakciu, a vo všeobecnom prípade to ani možné nie je. Historicky však obdobný výpoet slúžil iba na štúdium charakteru rozštiepenia spektrálnych iar v takej oblasti spektra, kde spomenuté zanedbanie nebolo na závadu. Preto i my uvádzame klasický výpoet. Podobných medzier si itate všimne i viac. Záujemcov o podrobnosti súvisiace s touto historicky významnou problematikou odkazujeme na Sommerfeldovu monografiu [6]. 76. KVALITATÍVNA DISKUSIA STARKOVHO JAVU Hamiltonián atómu vodíka bez prítomnosti vonkajšieho elektrostatického poa je e H = () 4πε r m Vplyv vonkajšieho homogénneho elektrostatického poa opíšeme jednoducho. Pre uritos predpokladajme, že pole má intenzitu E = E a smer osi z. Potenciál príslušného elektrostatického poa je ϕ(r) = Ez a potenciálna energia elektrónu s nábojom ( e) v tomto poli je H' = eez () Z hadiska kvantovej mechaniky je tým úloha v podstate sformulovaná. Máme H = H + H' () priom poznáme vlastné funkcie neporušeného hamiltoniánu H. H ψ nlm = E n ψ nlm (4) ψ nlm (r) = R nl (r)y lm (ϑ, ϕ) (5) Ostáva nám už iba použi poruchové metódy výpotu korekcií k energetickým hladinám. Predtým ako by sme to urobili je však užitoné odhadnú výsledky, ktoré oakávame. Lineárny Starkov jav Porucha H' je úmerná intenzite E, preto korekcie prvého rádu k energetickým hladinám budú tiež úmerné E. Vtedy hovoríme o lineárnom Starkovom jave, ale znamená to presne to isté ako Starkov jav v prvom ráde poruchovej teórie.

3 Všimnime si najprv základný stav. Korekcia prvého rádu k jeho energii je daná vzahom E = ψ* (r)h'ψ (r) dv (6) Okamžite však vidno, že E =. Je to tým, že v tomto stave l = m = a Y je konštanta. Preto ψ (r) závisí iba od absolútnej hodnoty r = r. Preto je ψ* (r)ψ (r) párnou funkciou z, zatia o H' je nepárna. Podintegrálna funkcia v (6) je teda nepárnou funkciou z a integrál z nej je nulový. Pri korekciách k vyšším hladinám je situácia podstatne iná. Je to spôsobené tým, že tieto hladiny sú degenerované a pri výpote korekcií treba použi príslušnú verziu poruchovej metódy. Napríklad pre hladinu s n = máme štyri rôzne, navzájom ortogonálne stavy 98. m = n =, l =, m = ; n =, l =, m = (7) m = Pri poruchovej metóde pre degenerované hladiny hadáme také lineárne kombinácie vlnových funkcií, ktoré diagonalizujú poruchu H'. Takéto lineárne kombinácie vlnových funkcií už vedú k stavom s istým nenulovým dipólovým momentom 99. Typická veliina dipólového momentu p bude daná súinom náboja elektrónu a typického rozmeru atómu, t. j. Bohrovho polomeru a : p ~ ea (8) Energia (tuhého) dipólu vo vonkajšom elektrickom poli je δu = p.e (9) a rádový odhad korekcie k energii degenerovanej hladiny teda bude δu ~ ea E () Kvôli názornejšej predstave o vekosti tejto korekcie uveme, že typické hodnoty rozdielu (neporušených) energetických hladín v atóme vodíka sú rádovo rovné U ~ E = m e 4πε 98 Spin elektrónu tu neuvažujeme, lebo hamiltonián () nezávisí od spinu a všetky hladiny sú rozdelené na as so spinom hore a as so spinom dolu, priom prechody medzi nimi nie sú v rámci () možné. 99 Podrobnejšie to uvidíme v nasledujúcom lánku. 77

4 o možno prepísa do tvaru 4πε U ~ e m e e 4πε e = e a 4πε a = e a E int () kde E int ( 5. Vm ) má význam intenzity coulombovského poa v atóme na prvej Bohrovej dráhe. Pre vyššie excitované stavy môžeme pre orientáciu bra E int ~ až Vm () Pre pomer korekcie za lineárny Starkov jav k energetickému rozdielu hladín takto dostaneme δu U ~ E E int () Džka spektrálnych iar vo viditenej oblasti je niekoko sto nm, a preto pri E ~ 7 Vm (príklad pre orientáciu) oakávame korekcie rádové, nm. Kvadratický Starkov jav Pri lineárnom Starkovom jave musíme ma vlnovú funkciu, ktorá už odpovedá vlastnému dipólovému momentu. Súin tohto dipólového momentu a intenzity vonkajšieho póla E je potom lineárny v E. O kvadratickom Starkovom jave hovoríme vtedy, ke korekcia k energetickej hladine je úmerná E, o matematicky odpovedá korekciám druhého rádu poruchovej metódy. Fyzikálne korekcie druhého rádu odpovedajú polarizovatenosti atómu. Ak totiž má atóm dipólový moment potom jeho energia vo vonkajšom poli je p = αe (4) U = α E (5) O vzahu (5) sa ešte zmienime na záver lánku, teraz sa budeme zaujíma o rádový odhad veliiny α vystupujúcej vo vzahu (4). Predstavme si pre tento úel vemi zjednodušený model atómu vodíka v základnom stave. Protón je nehybný a je v strede a elektrónový oblak odpovedá náboju rovnomerne rozdelenému v guli s polomerom a. Ak túto sústavu dáme do vonkajšieho poa s intenzitou E, celá gua záporného náboja sa posunie o vzdialenos l voi jadru. Posunutie odhadneme takto. Na protón posunutý o l z centra oblaku pôsobia dve sily: po prvé sila od vonkajšieho poa rovná ee a po druhé sila od 78

5 záporného elektrického náboja atómu. Náboj elektrónového oblaku rozdelíme na dve asti, tak, ako je to ukázané na obr... Sila od náboja ležiaceho mimo gule s polomerom l je nulová. Obr.. Celkový náboj v guli s polomerom l je δq = e(l/a ) a tento náboj pôsobí na protón príažlivou silou tak, ako by bol umiestnený v zaiatku. Vekos tejto sily je e( l/ a ) e e = = 4πε l 4πε a F Táto sila ale musí by rovná vonkajšej sile F = ee. Odtia pre posunutie l dostaneme 4πε a l = E e Indukovaný dipólový moment je p = el a porovnaním so (4) máme odhad l α ~ 4πε a (6) Použitý model bol vemi hrubý a v skutonosti oakávame ako výsledok pravú stranu v (6) násobenú faktorom medzi, povedzme, a. Tento faktor nájdenie až numerickým výpotom, ktorého postup naznaíme neskôr. Teraz odhadneme oakávaný výsledok pre korekciu druhého rádu pomocou vzahu (5) s koeficientom α daným vzahom (6). δu ~ (4πε a )a E (7) Intenzita vnútorného poa v atóme je E int ~ e/(4πε a ). Pomocou tohto upravíme prvý len na pravej strane (7) a máme odhad δu ~ ea E(E/E int ) (8) Výraz ea E je ale odhadom pre lineárny Starkov jav, takže korekcia druhého rádu (8) sa od prvého rádu líši faktorom (E/E int ), ktorý pri E ~ 7 Vm prináša alší faktor až 4, pri základnom stave atómu vodíka. 79

6 Napokon sa ešte vrátime k vzahu (5) pre energiu indukovaného dipólu vo vonkajšom poli. Tento výraz možno písa ako U = (αe)e + αe (9) a odtia vidno fyzikálnu interpretáciu. Prvý len na pravej je energia tuhého dipólu vo vonkajšom poli, druhý je vnútorná energia dipólu. Najjednoduchšie to vidno z modelu, kde si dipól predstavíme ako dva náboje spojené pružinkou s tuhosou k. Ak takýto dipól dáme do vonkajšieho poa, pružinka sa natiahne tak, aby sila ee bola rovná sile pružinky kx: ee = kx Odtia x = (ee/k). Dipólový moment pružinky je p = ex = e Elk a jeho energia vo vonkajšom poli je pe = e E /k. Energia natiahnutej pružinky je kx / a po dosadení za x máme e E /k, o je situácia odpovedajúca presne (9) pri α = e /k. Všeobecnejšiu a podrobnejšiu diskusiu itate nájde v uebniciach teórie EM poa, odporúame špeciálne Jacksonovu uebnicu.. STARKOV JAV Najprv naznaíme postup výpotu lineárneho Starkovho javu pre hladinu s n = pre atóm vodíka. Prvou vecou, ktorú potrebujeme sú maticové elementy poruchy pre stavy (.7). Výsledok je uvedený v tabuke.. Tabuka. Maticové elementy poruchy H' = eez pre funkcie ψ lm,,,,,,,,,, a ee,, a ee,,,, Riadky a stpce tabuky sú íslované trojicou kvantových ísel (n, l, m) a v každom mieste tabuky uvádzame maticový element ψ* nlm H'ψ n'l'm' dv = R nl (r)y lm (ϑ, ϕ)ee z R nl' (r)y l'm' (ϑ, ϕ) dv () Jackson, J. D.: Classical electrodynamics. J. Wiley & Sons, New York 96. 8

7 Pozrime sa teraz na to, preo sú takmer všetky maticové elementy v tab.. nulové. Diagonálne elementy sú poda () rovné R nl (r)y lm (ϑ, ϕ) eez dv () Funkcia R nl (r) Y lm (ϑ, ϕ) pri zámene r r je párna pre párne l a nepárna pre nepárne l, ale v oboch prípadoch je druhá mocnina jej absolútnej hodnoty párna. Faktor z je ale nepárny, a preto podintegrálna funkcia v () je nepárna a integrál z nej je nulový. Pre nediagonálne elementy prídeme rýchlo k tomu, že môžu by nenulové len pre m = m'. Funkcia Y lm v () totiž obsahuje faktor exp(imϕ) a podobne za Y* l'm' dostaneme faktor exp( im'ϕ). Ak m m' bude integrál nulový kvôli integrovaniu cez uhol ϕ. Múdrejšie znejúca reformulácia tohto výberového pravidla vychádza z tvrdenia: Ak porucha H' komutuje s operátorom L z, potom výraz nlm H' n'l'm' je nenulový len pre m = m'. Dôkaz je jednoduchý. Obložíme výraz príslušnými stavmi a máme = [H', L z ] = nlm H'L z L z H' n'l'm' = (m' m)nlm H' n'l'm' Pre m m' musí by maticový element nulový. Takto vidíme, že nenulovými elementmi v rab.. sú skutone len tie, ktoré môžu by nenulové na základe uvedených výberových pravidiel. Hodnotu jediného nenulového maticového elementu treba nájs priamym dosadením vlnových funkcií atómu vodíka do (). Poda všeobecnej schémy poruchovej metódy pre degenerované hladiny preberanej v lánku 6.4 potrebujeme už len nájs lineárne kombinácie vlnových funkcií, ktoré diagonalizujú maticu danú tab... Jednoducho sa presvedíme o tom, že hadanými kombináciami sú (ψ + ψ ), E = a ee (ψ ψ ), E = +a ee () ψ, E = ψ, E = 8

8 Tým je problém v prvom ráde poruchovej metódy pre hladinu s n = vyriešený. Teraz naznaíme schému výpotu pre kvadratický Starkov jav v atóme vodíka v základnom stave. Výpoet neurobíme až do konca, uvedieme iba základnú myšlienku postupu, ktorá je skutone pekná. Pre zmenu energie základného stavu atómu vodíka v druhom ráde poruchovej metódy platí H k H k δ U = ' (4) E E k kde indexom oznaujeme základný stav a situjeme cez všetky k. V Diracovej symbolike H' k k H' a stavy k sú vlastnými stavmi neporušeného operátora H, s vlastnými hodnotami E k. V tejto symbolike predchádzajúca rovnica nadobudne tvar k kk U = ' H H δ (5) E E k Predpokladajme, že sa nám nejako podarí a v tom je vtip tohto prístupu nájs operátor F, pre ktorý platí Potom [F, H ] = H' k H' = k [F, H ] = (E E k )k F Ak toto dosadíme do (5), zbavíme sa menovateov a máme Využijeme teraz známy vzah a z rovnice (6) dostaneme k δu = Σ k ' H' kk F (6) = Σ k kk = Σ k ' kk + δu = H'F k H' F (7) Metóda bola navrhnutá v knihe Kotani, M.: Quantum Mechanics. Tokyo 95 a je prebraná v. vydaní uebnice L. Schiffa [8]. Rozpracovanie metódy bolo uverejnené v prácach Dalgarno, A. Lewis, T. T.: Proc. Roy. Soc., A, 955, s. 7, Schwartz, C: Ann Phys., 6, 959, s

9 Rovnica (7) je vhodná na numerické alebo analytické výpoty, pretože namiesto nekoneného sútu v (5) staí nájs tri maticové elementy. Celá vec závisí od toho, i sa podarí nájs operátor F s požadovanou vlastnos- ou. V uvažovanom prípade ho možno nájs dos jednoducho (pozri citovanú literatúru), ale nebudeme sa tu s touto otázkou zaobera a uvedieme iba výsledok = eema F (r + a r)cosϑ Po dosadení do (7) a vykonaní príslušných integrácií dostaneme δu = αe kde (8) α = 9 4πε a Výsledok má oakávaný tvar, ako vidno porovnaním s rovnicami (5) a (6) predchádzajúceho lánku..4 KVALITATÍVNA DISKUSIA SPINOVO-ORBITÁLNEJ VÄZBY Pri diskusii atómu vodíka v lánku.4 sme brali do úvahy iba elektrostatickú interakciu protónu a elektrónu. V atóme vodíka sú však i alšie interakcie, ktoré pri podrobnejšom štúdiu spektrálnych iar treba vzia do úvahy. Jednou z nich je spinovo-orbitálna väzba, oznaovaná tiež ako väzba LS. Názorne si túto interakciu môžeme predstavi nasledovne: Ak sa elektrón pohybuje okolo jadra má istý orbitálny moment hybnosti. Pretože je nabitou asticou, zodpovedá tomuto pohybu aj istý magnetický moment daný výrazom el/m. Tento magnetický moment budí magnetické pole, ktoré interaguje so spinovým magnetickým momentom elektrónu. Pri hrubom kvalitatívnom odhade vekosti tejto interakcie si môžeme predstavi vzájomné pôsobenie dvoch magnetických momentov M, M, priom ich vekosti sú približne M i ~ e m () 8

10 kde m je hmotnos elektrónu a ich vzdialenos je rádové rovná Bohrovmu polomeru a. Poda teórie EM poa je energia ich interakcie daná rádové výrazom M M δu ~ a 4π µ kde µ je permeabilita vákua. Ak za M, M dosadíme z () do () a použijeme vzah µ ε = c, dostaneme () e δu ~ m 4πε a c () Elementárnou úpravou dostaneme ~ e δ U = E m a.4 (4) c πε a m a c kde E =,6 ev je absolútna hodnota väzbovej energie v základnom stave atómu vodíka. Do (4) teraz dosadíme vyjadrenie Bohrovho polomeru v tvare a máme 4πε a = me e δ U ~ E = α E 4 ε c π kde α = e /(4πε c) = /7 je konštanta bez rozmeru, nazývaná konštantou jemnej štruktúry. Vidíme teda, že zahrnutie spinovo-orbitálnej väzby do hamiltoniánu vedie k tomu, že energetické hladiny v atóme vodíka budú posunuté rádové o 4 ev oproti hladinám, ktoré by zodpovedali isto coulombovskej interakcii protónu a elektrónu. Uvidíme, že hladiny, ktoré v coulombovskom modeli boli degenerované sa pritom rozštiepia, o sa v spektre prejaví ako jemná štruktúra spektrálnych iar so štruktúrou na úrovni, nm (iara, javiaca sa pri hrubšom pozorovaní ako jednoduchá, je zložená z niekokých tesne pri sebe ležiacich iar). V klasickej teórii EM póla je interakcia dvoch bodových magnetických dipólov s magnetickými momentmi M, M daná vzahom µ M. M ( M. r )( M. r ) 5 4π r r Nemôžeme oakáva, že v kvantovej mechanike pre interakciu spinového a orbitálneho momentu hybnosti bude plati rovnaký vzah, lebo orbitálny moment urite nezodpovedá bodovému dipólu, ale z rozmerových dôvodov bude aj v kvantovej mechanike pre rádové odhady vhodný výraz (). (5) 84

11 Na výraz () sa môžeme pozera aj ako na energiu interakcie spinového magnetického momentu s vnútorným poom v atóme. Pre toto vnútorné pole potom e máme (v oznaení δ U ~ Bint ) m B int e µ ~ m 4π a (6) Po dosadení jednotlivých veliín (pozri koniec kap. ) dostaneme B int ~ 6 T (7) priom odhad treba považova iba za vemi približný. Vidno z neho ale dôležitý záver: Ak chceme sledova správanie sa atómu vo vonkajších poliach, ktoré nie sú podstatne väšie ako B int, musíme zárove uvažova spinovo-orbitálnu väzbu. V nasledujúcom lánku ešte ukážeme, že rádové rovnakú vekos ako väzba LS majú aj relativistické korekcie na pohyb elektrónu. Kvôli úplnosti sa napokon zmienime o interakcii magnetického momentu jadra s magnetickým momentom elektrónu. Rádový odhad energie interakcie je opä daný vzahom (), ale jeden z magnetických momentov M i už bude magnetickým momentom jadra, ktorý má typickú vekos rádovo (e/m j ), kde m j je hmotnos jadra v našom prípade protónu. Úpravami, ako v predchádzajúcom, prídeme k výsledku m e δ U HF ~ α E (8) mj Korekcie k energetickým hladinám spôsobené touto interakciou nazývame hyperjemnou štruktúrou. Z porovnania (8) a (5) vidno, že hyperjemná štruktúra je faktorom (m e /m j ) ~ jemnejšia ako jemná štruktúra..5 SPINOVO-ORBITÁLNA VÄZBA A RELATIVISTICKÉ KOREKCIE Korektný postup ako odvodi as hamiltoniánu príslušnú k spinovo-orbitálnej väzbe je vyjs z relativistickej Diracovej rovnice a urobi v nej nerelativistické priblíženia. V jednotkách SI máme: (e/m) =,97. JT, µ = 4π. 7 kg.m.c, a =,5. m. 85

12 S Diracovou rovnicou sa ale v tejto uebnici nestretneme, a preto napíšeme priamo výsledok a ukážeme, že odpovedá kvalitatívnym predstavám z predchádzajúceho lánku. Pre elektrón v atóme vodíka je spinovo-orbitálna interakcia charakterizovaná hamiltoniánom Tento výraz môžeme prepísa aj nasledovne e H sˆ L ˆ SL =. () 4πε m c r µ e e ˆ = ˆ L H. SL s () 4π r m m priom sme využili identitu ε µ = c a usporiadali sme leny tak, aby sa v okrúhlych zátvorkách objavili práve magnetické momenty spojené so spinovým a orbitálnym magnetickým momentom elektrónu. Výraz () je ale práve to, o sme použili v rovnici (4.) v predchádzajúcom lánku, iba namiesto strednej vzdialenosti, ktorú sme tam odhadli na a, píšeme premennú vzdialenos r. Poznamenajme však, že samotný tvar skalárneho súinu v () ani znamienko, ktoré pred ním stojí, nevyplývajú z kvalitatívnej diskusie v lánku.4, ale ich obdržíme z nerelativistickej limity Diracovej rovnice 4. alší príspevok k jemnej štruktúre pochádza z korekcie na relativistický charakter pohybu elektrónu. V teórii relativity je kinetická energia astice s hmotnosou m a hybnosou p daná vzahom pre p << m c približne platí (R) (NR) E E (R) kin = c p + m c mc (R) p ( p ) (NR) (NR) kin = E kin ( E kin ) m 8m c kde Ekin a Ekin oznauje relativistický, resp. nerelativistický výraz pre kinetickú energiu. V druhom koreknom lene možno pre elektrón s celkovou nerelativistickou energiou E v elektrostatickom poli s potenciálom ϕ(r) použi vzah E = (NR) = E kin eϕ(r). Korekciu k hamiltoniánu danú posledným lenom v () možno potom zapísa ako 4 Správny výraz možno dosta aj pomocou podrobnejších intuitívnych úvah, pri ktorých prejdeme do pokojovej sústavy klasického elektrónu pohybujúceho sa v klasickom analógii atómu vodíka a nájdeme magnetické pole pôsobiace na spinový magnetický moment. Nárt odvodenia je napr. v predchádzajúcom vydaní tejto uebnice. Zdá sa nám ale, že takéto odvodenie nie je vemi pouné, a preto ho neuvádzame. mc 86

13 H rel ( E + eϕ( r)) = mc Pravdu povediac, ani toto odvodenie nie je vemi presvedivé, ale aj tento len možno korektne získa z Diracovej rovnice..6 JEMNÁ ŠTRUKTÚRA SPEKTRÁLNYCH IAR Základom pre výpoet korekcií jemnej štruktúry k energetickým hladinám je hamiltonián H', uvedený v predchádzajúcom lánku. Ak zoberieme do úvahy spinovo-orbitálnu väzbu (5.) a relativistickú korekciu (5.4), máme kde H = H + H' = H + H' SL + H' rel () e H sˆ L ˆ SL =. () 4πε m c r e H rel = E + mc 4πε r () V tejto asti sa budeme zaobera zmenou energetických hladín atómu vodíka spôsobenou poruchami () a (). Podrobné výpoty nebudeme vykonáva iba naznaíme postup riešenia a uvedieme konené výsledky. Zaneme so spinovo-orbitálnou väzbou. Vlnové funkcie vodíkového atómu, zodpovedajúce neporušenému hamiltoniánu H, možno v súradnicovej reprezentácii písa ako r nlms z = ψ nlm (r)χ(s z ) (4) kde χ(s z ) je spinová vlnová funkcia. Budeme používa oznaenie χ(+), χ( ), priom prvá z nich odpovedá vlastnej hodnote operátora s z rovnej / a druhá vlastnej hodnote /. Vlnové funkcie (4) ale nie sú vhodnou bázou pre zaiatok použitia poruchovej metódy v našom prípade. Dôvod je v tom, že operátor ŝ. Lˆ nekomutuje ani s s z, ani s L z a vlnové funkcie (4), ktoré sú vlastnými funkciami s z a L z nediagonalizujú poruchu. Správne vlnové funkcie pre tento degenerovaný prípad uhádneme hne, ak si všimneme, že platí a odtia Ĵ = (Lˆ + ŝ) + Lˆ + ŝ + Lˆ. ŝ Lˆ. ŝ = (Ĵ Lˆ ŝ ) (5) 87

14 Rýchlo sa dá ukáza, že operátor Lˆ. ŝ komutuje s operátormi Ĵ J z, Lˆ, ŝ (6) kde Ĵ je operátor druhej mocniny celkového momentu hybnosti a J z je priemet celkového momentu hybnosti na os z. Vlastné hodnoty Ĵ sú J(J + ), kde pri danom l môže J nadobúda iba dve hodnoty J = l ± /. Vlastné hodnoty J z budeme oznaova symbolom M. Vlastné funkcie H, ktoré sú súasne vlastnými funkciami štvorice komutujúcich operátorov, budeme oznaova ako n, J, M, l (7) kde prvý index oznauje hlavné kvantové íslo, druhý vlastnú hodnotu operátora Ĵ tretí vlastnú hodnotu J z a štvrtý vlastnú hodnotu Lˆ. Orbitálna as týchto vlnových funkcií je (v súradnicovej reprezentácii) rovná R nl, (r). Pomocou (5) okamžite nájdeme Lˆ. ŝ n, J, M, l = [J(J + ) l(l + ) s(s + )] n, J, M, l a to je všetko, o vlastne potrebujeme na výpoet maticových elementov poruchy H' SL, i poruchy H' rel. Prirodzene, je ešte treba integrály z radiálnych vlnových funkcií násobených faktorom r v () a faktormi r resp. r, ktoré sú prítomné vo výraze (). Výpoet tu nebudeme podrobne uvádza, konený tvar pre energiu hladiny s daným n, J, l je E α E( n, J, l) = + n n J + 4n kde E =,6 ev je energia základného stavu atómu vodíka, a α = e /(4πε c) je konštanta jemnej štruktúry. Výraz E /n je energiou danej hladiny bez zapoítania poruchy a druhý len v hranatej zátvorke násobený faktorom stojacim pred zátvorkou je rovný príspevku od poruchy. Podstatnou rtou výsledku (8) je nezávislos energie od kvantového ísla l. Pri danej hodnote hlavného kvantového ísla n môže l nadobúda hodnoty,,, n l a kvantové íslo J prechádza hodnotami /, /,, n /. Degenerovaná hladina s hlavným kvantovým íslom n sa rozštiepi na n hladín s hodnotami J = /, /,, n /. Tieto hladiny budú ešte stále viacnásobne degenerované, jednak preto, že každú hodnotu J možno dosta zo stavu s l = J / alebo zo stavu s l = J + / (a stavy s l líšiacim sa o jednotku majú opanú paritu) a jednak preto, že každá hladina s daným J je (J + l)-krát degenerovaná poda rôznych hodnôt priemetu celkového momentu hybnosti M na os z. Hladiny atómu vodíka sa najastejšie oznaujú strune tak, že namiesto danej hodnoty l používame písmeno poda predpisu (8) 88

15 l: 4 5 Symbol: S P D F G H 9 Hlavné kvantové íslo píšeme dopredu a J pripojíme ako index vpravo dolu. Napríklad P / oznauje stav s n =, l =, J =/. Vekos rozštiepenia hladiny v efektoch jemnej štruktúry možno posúdi z nasledujúceho príkladu. Degenerovaná hladina s n = má bez zahrnutia spinovo- -orbitálnej väzby a relativistických korekcií energiu E =,4 ev a rozdiel medzi E a E je E E ~, ev. Poda (8) sa hladina s n = rozštiepi na dve hladiny s J = / a J = / a rozdiel ich energií bude α E(P / ) E(P / ) = E 5 E 4,5. 5 ev 8 Ak použijeme približný vzah ev/,5. 5 s, dostaneme kruhovú frekvenciu príslušnú k tomuto prechodu ω 6,9 s a obyajnú frekvenciu ν,. 4 MHz. Džka elektromagnetickej vlny s takouto frekvenciou je približne,7 cm. Rozštiepenie spektrálnych iar spinovo-orbitálnou väzbou zohralo dôležitú úlohu pri objave spinu elektrónu. Známy príklad uvádzaný v tomto kontexte je sodíkový dublet. Za žlté svetlo sodíka je zodpovedný prechod valenného elektrónu z hladiny P na hladinu 5 S. Hladina P je ale rozštiepená spinovo-orbitálnou väzbou na hladiny P / a P /. Preto príslušná spektrálna iara je dubletom s vlnovými džkami λ = = 589, nm a λ = 589,6 nm (pozri obr..). Obr.. 5 Elektróny na vnútorných hladinách spôsobujú, že valenný elektrón sa nepohybuje v isto coulombovskom poli. Hladiny s rovnakým hlavným, ale rôznym orbitálnym kvantovým íslom preto nie sú degenerované. 89

16 .7 ZEEMANOV JAV Ak sa atóm vodíka nachádza vo vonkajšom magnetickom poli, potom hamiltonián príslušný k tomuto problému bude ma tvar: H = H + H' + H' () kde H je neporušený hamiltonián zodpovedajúci kinetickej energii a coulombovskej interakcii, e H' = B(L z + s z ) () m je poda (8..7) hamiltonián interakcie s vonkajším poom a e e H = ˆ. ˆ s L En + () 4πε m c r mc 4πε r zodpovedá spinovo-orbitálnej interakcii a relativistickým korekciám ku kinetickej energii. Z fyzikálneho hadiska H' predstavuje vonkajšiu poruchu, H' má vnútorné príiny. Z hadiska metodiky riešenia budeme však za neporušený hamiltonián bra H a H' + H' budeme chápa ako poruchu. Aby sme zjednodušili zápis nasledujúcich formuliek prepíšeme v zrejmom oznaení jednotlivé leny ešte raz H' = a(l z + s z ) (4) H' = b ŝ. Ĵ + c (5) kde a je konštanta a b = b(r), c = c(r) závisia len od absolútnej hodnoty polohového vektora. Hladina s daným kvantovým íslom n je degenerovaná, a preto pri výpote musíme používa poruchovú metódu pre degenerované stavy. Prvou otázkou, ktorú treba rozhodnú, je výber reprezentácie vlnových funkcií, ktorú budeme používa a predtým si treba všimnú, aké operátory komutujú s H. Vzhadom na to, že uvažujeme len jednu degenerovanú hladinu s daným hlavným kvantovým íslom n, budeme uvažova len takéto funkcie a íslo n nebudeme explicitne vypisova. Operátor H', daný v (5), urite komutuje so súborom operátorov Lˆ, ŝ, Ĵ, J z (6) ako sme sa o tom presvedili už v predchádzajúcom lánku. Operátor H' ale nekomutuje ani s L z ani s priemetom spinu s z. Vlnové funkcie, v ktorých je operátor H' diagonálny, sú teda vlastnými funkciami štvorice operátorov (6) a tieto funkcie dostaneme štandardným spôsobom pomocou Clebschových-Gordanových koeficientov. Symboly pre vlastné hodnoty L, s nebudeme vypisova a vlnové funkcie budeme oznaova ako J, M. 9

17 Pomocou CG koeficientov máme JM = C(JM l, m l, s, m s ) Y lml χ ms (7) kde Y lml je guová funkcia s danými kvantovými íslami, χ oznauje spinovú vlnovú funkciu a m s je priemet spinu na os z. V skutonosti na pravej strane (7) máme vždy len dva leny, pretože m s môže nadobúda iba hodnoty / alebo /. Príslušné CG koeficienty sú dobre známe a stretli sme sa s nimi už v kapitole. Pretože ich budeme potrebova v alšom, vypíšeme ich tu explicitne. Pri danom l môže J nadobúda iba dve hodnoty, a to J = l + / alebo J = l /. Pre ne máme l + /, M = l M + / l M + / Yl, M + /χ / Yl, M + /χ / l + l + l /, M = l M + / l + M + / Yl, M / χ/ + Yl, M + /χ / l + l + (8) Teraz prejdeme k lenu H'. Problém s ním je v tom, že tento len nekomutuje s J. Je to tým, že (L z + s z ) môžeme písa ako J z + s z, priom J z samozrejme komutuje s Ĵ, ale s z s Ĵ nekomutuje. Vidno to najrýchlejšie zo zápisu J = = Lˆ + ŝ + ŝ. Lˆ, kde práve len ŝ. Lˆ nekomutuje s operátorom s z. Pre operátor H' je vhodnou sústavou komutujúcich operátorov štvorica Lˆ, ŝ, L z, s z (9) Teraz vidno, že už na zaiatku sme sa mohli rozhodnú prirodzene pre dve bázy. Prvou je báza daná operátormi (6) a v nej je diagonálne H', druhou je báza daná operátormi (9) a v nej je diagonálne H'. V oboch bázach dospejeme k rovnakému výsledku. Pre nás je výhodnejšia báza, v ktorej je diagonálna spinovo-orbitálna väzba, lebo príslušné maticové elementy máme už uvedené v predchádzajúcom lánku. Teraz teda ideme v báze (8) spoíta maticové elementy operátora H'. Budeme pritom podstatne využíva to, že funkcie vystupujúce na pravej strane v (8) sú vlastnými funkciami operátora H'. Postupne dostaneme ( l + ) M ( l + ) M ( ) l + M lm a ( H ) ik = () l + 9

18 Indexy i, k tu nadobúdajú dve hodnoty, z nich prvá hodnota zodpovedá stavu l + /, M a druhá stavu l /, M. Koeficient vystupujúci v () je poda (4) a () daný vzahom eb a = () m Matica odpovedajúca H' bola už vlastne uvedená v predchádzajúcom lánku. Ak totiž z rovnice (6.8) odtrhneme hodnotu neporušenej energie, ostáva nám práve príspevok za spinovo-orbitálnu väzbu a relativistické korekcie. Do (6.8) iba potrebujeme raz dosadi J = l + / a raz J = l /. Takto máme α E H = l + 4n ) ik () n l 4n ( Teraz už potrebujeme iba spoji oba výsledky a zostroji maticu H'. Korekcie k jednotlivým energetickým hladinám nájdeme riešením kvadratickej rovnice H δe H H H δe = () Výpoet nebudeme vykonáva explicitne, uspokojíme sa s tým, že na obr.. ukážeme vemi schematicky závislos rozštiepenia hladín p stavu v atóme vodíka (t. j. n =, l = stavu) od intenzity vonkajšieho poa. Obr.. Zdôraznime ešte to, že rozštiepené hladiny majú ako dobré kvantové ísla iba tie, ktoré sú vlastnými hodnotami operátorov vystupujúcich aj v súbore (6) aj 9

19 v súbore (9). Sú to len hodnoty 6 (l, M) príslušné k operátorom Lˆ, J z. V tomto zmysle je obr. trocha klamný. Mohlo by sa zda, že krivky naznaujúce závislos energie rozštiepených hladín od B majú stále tie kvantové ísla, z ktorých vychádzajú pri B =. To ale nie je pravda, kvantové íslo J je dobré iba v limite B Pre malé vonkajšie polia B sú ale vlnové funkcie rozštiepených hladín približne rovné dvom vlnovým funkciám v (8).8 PRÍKLADY A PROBLÉMY. Odhadnite radové intenzitu magnetického poa potrebnú na to, aby spiny elektrónov v atóme hélia mali rovnaký smer Poda Pauliho princípu na to treba prehodil jeden z s elektrónov do stavu s n =.. Lineárny harmonicky oscilátor je vo vonkajšom homogénnom elektrostatickom poli s intenzitou E v smere, v ktorom oscilátor kmitá Aká bude korekcia k energii n-tého stacionárneho stavu v prvom ráde poruchovej teórie (lineárny Starkov jav)?. Nájdite polarizovatenos lineárneho harmonického oscilátora v n-tom stacionárnom stave (kvadratický Starkov jav)! Riešte poruchovo a porovnajte s presným riešením. Pripomienka: Kreaný a anihilany operátor je daný vzahmi (lánok.6) x = (a + a + ), p = mω mω i(a + a) 4. Urobte predbežnú diskusiu výpotu lineárneho Starkovho javu v n = stave atómu vodíka zostrojte analóg tabuky. a zistite, ktoré maticové elementy budú nenulové. 5. Mame sústavu skladajúcu sa z dvoch astíc so spinom /, príslušne operátory spinov sú s =, s =. Ukážte, že pre operátor celkového spinu Sˆ = ( + ) platí S = ( +. ) priom v singletnom stave je. = a v tripletnom. =. 6. Základný stav atómu vodíka je rozštiepený v dôsledku interakcie magnetického momentu jadra s magnetickým momentom elektrónu (hyperjemná štruktúra) Ukážte na základe kvalitatívnej analýzy že poruchový hamiltonián v spinovom priestore (t. j. po preintegrovaní cez priestorové premenné v príslušnom maticovom elemente) možno vyjadri v tvare ˆ ˆ π µ H = C 4 a kde a je Bohrov polomer a C je bezrozmerná konštanta Odhadnite rozdiel energie hladín, na ktoré sa základný stav rozštiepi a urte vlnovú džku elektromagnetického žiarenia emitovaného alebo absorbovaného pri takomto prechode. 6 Operátor J z síce nevystupuje v súbore (9), ale je sútom L z + s z, priom L z aj s z v (9) vystupujú. 9

20 Poznámka: Táto iara s λ = cm je vemi dôležitá v astrofyzike. Preítajte si o tom nieo napr. vo Feynmanových prednáškach o fyzike [7]. 7. Odhadnite vekos efektu hyperjemnej štruktúry v základnom stave pozitrónia. 8. Atóm vodíka v základnom stave sa nachádza vo vonkajšom magnetickom poli. Uvete dôvody pre to, že hamiltonián v spinovom priestore môžeme písa v tvare H = A + D e. p e. B p. B kde index e odpovedá elektrónu a index p protónu. Nájdite fyzikálnu interpretáciu jednotlivých lenov, odhadnite ich rádové vekosti pri vonkajšom poli B = T a nájdite vlastné stavy a vlastné hodnoty energie. 94