АЛКАНИ И ЦИКЛОАЛКАНИ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "АЛКАНИ И ЦИКЛОАЛКАНИ"

Transcript

1 ОСНОВИ ОРГАНСКЕ ХЕМИЈЕ Предавања АЛКАНИ И ЦИКЛОАЛКАНИ Др Весна Антић, ванредни професор Др Малиша Антић, ванредни професор

2 UGLJOVODONICI Jedinjenja koja sadrže samo ugljenik i vodonik Zahvaljujući osobinama atoma ugljenika, teorijski je moguć beskonačan broj jedinjenja koja sadrže samo C i Do danas je izolovan i sintetisan veliki broj ugljovodonika Najvažniji prirodni izvori ugljovodonika su nafta i zemni gas Zbog velikog broja jedinjenja ugljovodonici se na osnovu svoje strukture, odnosno hemijskih i fizičkih osobina mogu podeliti na više načina Uobičajene su sledeće podele:

3

4

5 Zasićeni ugljovodonici ili parafini Zasićeni ugljovodonici sastoje se isključivo od atoma ugljenika i atoma vodonika koji su međusobno povezani prostim vezama. Svaki atom ugljenika je povezan sa četiri druga atoma. Alkani ili alifatični ugljovodonici, imaju proste veze između ugljenikovih atoma koji su sp 3 hibridizovani (tetraedarska hibridizacija, uglovi između veza su 109,5 ) i grade otvorene lance ugljenikovih atoma koji mogu biti sa ili bez račvanja. Opšta formula alkana je C n 2n+2. Cikloalkani imaju zatvorene lance (prstenove) sačinjene od ugljenikovih atoma, koji su sp 3 hibridizovani. Opšta formula cikloalkana sa jednim prstenom je C n 2n.

6 Imenovanje (nomenklatura) zasićenih ugljovodonika - alkana i cikloalkana Alkani grade homologni niz. omologni niz je niz jedinjenja u kome se dva uzastopna člana razlikuju uvek za istu atomsku grupu. Najčešće je to metilenska ( -C 2 - ) grupa. Jedinjenja takvog niza imaju zajedničku opštu formulu. Opšta formula alkana je C n 2n+2. Opšta formula cikloalkana je C n 2n.

7 Alkani sa normalnim nizom n Ime Racionalna formula Tačka ključanja ( C) Broj izomera 1 metan C 4-161,7 1 2 etan C 3 C 3-88,6 1 3 propan C 3 C 2 C 3-42,1 1 4 butan C 3 (C 2 ) 2 C 3-0,5 2 5 pentan C 3 (C 2 ) 3 C 3 36,1 3 6 heksan C 3 (C 2 ) 4 C 3 68,7 5 7 heptan C 3 (C 2 ) 5 C 3 98,4 9 8 oktan C 3 (C 2 ) 6 C 3 125, nonan C 3 (C 2 ) 7 C 3 150, dekan C 3 (C 2 ) 8 C 3 174,0 75

8 Alkani sa račvastim nizom Akani sa račvastim nizom su izomeri alkana sa normalnim nizom. Izomeri su molekuli koji imaju iste molekulske formule, a različite strukture, samim tim različite fizičke i hemijske osobine. Pojava da dva ili više jedinjenja sa istim molekulskim formulama pokazuju različite osobine zove se izomerija. Molekulske strukture se u organskoj hemiji mogu predstaviti na više načina: Strukturnim formulama Racionalnim formulama Formulama veza crtica Molekulskim formulama (vrlo retko) itd.

9 Strukturne formule: veze predstavljene pomoću crtica, slobodni elektronski parovi (ukoliko ih ima) predstavljeni tačkama: O C C C O C C C C C C Racionalne formule: izostavljene proste veze i elektronski parovi, osnovni ugljovodonični niz se crta horizontalno, a supstituenti se dodaju vezani vertikalnim crticama: C 3 C 2 C 2 O C 2 CC 3 C 3 CC 3 Formule veza-crtica: ugljovodonični skelet se crta cik-cak linijom izostavljajući sve ugljenikove i vodonikove atome: O O C 3 C 3 C 3 C 2 CC 2 CC 2 C 3 C 3 O C C C 3 C 2

10 U molekulima zasićenih ugljenika razlikuju se četiri vrste ugljenikovih atoma Primarni ugljenik C' je onaj koji je vezan samo za još jedan ugljenikov atom Sekundarni ugljenikov atom C'' je vezan za dva ugljenikova atoma Tercijarni ugljenikov atom C''' za tri Kvatenarni ugljenikov atom C'''' za četiri ugljenikova atoma C'3 C'3 C'3 C'''' C''' C''2 C'3 C'3 primarni

11 Primarni C' atom Sekundarni C ' atom Tercijarni C ''' atom Primarna alkil grupa Sekundarna alkil grupa Tercijarna alkil grupa

12 Alkil-grupe nastaju uklanjanjem jednog vodonikovog atoma iz molekula alkana Imenuju se zamenom nastavka an u nazivu alkana ili cikloalkana, nastavkom il Struktura Uobičajeno ime Sistematsko ime Izvedeno iz Tip C3 Metil Metil Metan primarna C3 C2 Etil Etil Etan primarna C3 C2 C2 Propil Propil Propan primarna C3 C3 C Izopropil 1-metiletil Propan sekundarna

13 Struktura Uobičajeno ime Sistematsko ime Izvedeno iz Tip C3 C3 C C2 izobutil 2-metilpropil 2-metilpropan (izobutan) primarna C3 C2 C3 C sec-butil 1-metilpropil Butan sekundarna C3 C3 C C3 terc-butil 1,1-dimetiletil 2-metilpropan (izobutan) tercijarna C3 C3 C C2 neopentil 2,2-dimetilpropil 2,2-dimetilpropan (neopentan) primarna C3

14 Imena alkana i cikloalkana završavaju se nastavkom an Kod cikloalkana se ispred imena dodaje i prefiks ciklo- IUPAC-ova pravila Odredi se i imenuje najduži ili osnovni niz u molekulu. Ime osnovnog niza se daje na osnovu naziva normalnih alkana. Grupe vezane za osnovni niz, različite od vodonika, zovu se supstituenti. Ukoliko molekul ima dva ili više nizova iste dužine, onaj sa većim brojem supstituenata je osnovni niz. 1 2 C3 C3C C3CC2C2CC2C3 6 6-etil-2,3-dimetildekan 10 C2C2C2C3

15 Imenuju se kao alkil-supstituenti sve grupe vezane za osnovni niz. Ako je supstituent račvast primenjuju se ista pravila kao i za osnovni niz: nađe se najduži niz supstituenta, zatim se dodaju odgovarajući nastavci. Numerišu se ugljenikovi atomi osnovnog (najdužeg) niza, polazeći od onog koji je najbliži supstituentu. Ukoliko se dva različita supstituenta nalaze na istom rastojanju od dva različita kraja niza, osnovni niz se numeriše tako da supstituent koji ima prednost prema abecednom redu dobije manji broj (etil ima prednost u odnosu na metil, butil u odnosu na propil itd.). C3C2 C3 C3C2CC 2C2CC 2C3 3-etil-6-metiloktan

16 Ako postoje tri ili više supstituenata, onda se niz numeriše tako da se dobije što manji broj na mestu razlikovanja dva moguća načina numerisanja. Na primer ukoliko su brojevi supstituisanih ugljenikovih atoma 3,8 i 10; i 3, 5 i 10; uzima se druga kombinacija brojeva jer je 5 manje od 8. C3 C3 C3 C3C2CC 2C2C2C2CC 2CC 2C3 3,5,10-trimetildodekan

17 Ime alkana piše se ređajući sve supstituente po abecednom redu (svakome predhodi broj ugljenikovog atoma za koji je vezan i crtica), a zatim se doda ime osnovnog niza. Ukoliko molekul sadrži više istih supstituenata, imenu alkil grupe prethode prefiksi di-, tri-, tetra-, penta- itd. Mesta vezivanja navode se zajednički pre imena supstituenta i razdvojena su zarezima. Ovi prefiksi kao i sek- i terc-, ne raspoređuju se abecednim redom. Upotreba uobičajenih imena supstituenata dozvoljena je IUPAC-ovim pravilima. C3 C3C2 C3 C3C2CC 2C2CC 2CC2C3 C3 5-etil-3,3,8-trimetildekan

18 Dobijanje alkana Glavni izvori za industrijsko dobijanje ugljovodonika, pa samim tim alkana i cikloalkana su nafta i zemni gas, a sporedni su ugalj i druga fosilna goriva. Iz nafte se dobijaju frakcionom destilacijom i pirolizom. Dobijene frakcije nisu čista jedinjenja već smeše različitih ugljovodonika sa sličnim tačkama ključanja.

19 Ugljovodonici se takođe mogu dobiti i suvom destilacijom uglja i drugih fosilnih goriva. Zemni gas se uglavnom sastoji od: metana, etana i propana, u manjem delu butana i do 3% viših alkana. Dobijene frakcije (smeše) ugljovodonika se vrlo retko dalje razdvajaju.

20 Frakciona destilacija nafte Frakcija Temperatura destilacije, C Broj C atoma Gas do 20 C 1 -C 4 Petroletar C 5 -C 6 Ligroin (laki benzin) C 6 -C 7 Prirodni benzin C 5 -C 10 i cikloalkani Petrolej (kerozin) C 12 -C 81 i aromatična jedinjenja Gasno ulje (dizelsko) iznad 275 C 12 i viši Mazivo ulje Asfalt ili naftni koks neisparljive tečnosti neisparljive čvrste supstance dugi lanci na cikličnim strukturama policiklične strukture

21

22 Piroliza nafte Piroliza je zagrevanje alkana na visoku temperaturu, pri čemu dolazi do raskidanja C- i C-C veza: C 1, C 2 raskidanje C + 3 C 2 C 2 C 2 C 2 C C 3 C 2 C 2 C 2 C 2 C 3 heksan C 2, C 3 raskidanje + C 3 C 2 C 2 C 2 C 2 C 3 C 3, C 4 raskidanje C 3 C 2 C 2 + C 2 C 2 C 3 Dobijeni radikali se mogu kombinovati i graditi više i/ili niže alkane: C + 3 C 2 C 3 C 3 C 2 C 3 C 3 C 2 C 2 C 2 C 2 + C 2 C 2 C 3 C 3 (C 2 ) 6 C 3

23 Takođe, radikali mogu da oduzmu vodonikov atom sa ugljenikovog atoma drugog radikala i da nagrade alkene - apstrakcija vodonika -: C + 3 C 2 C 3 C C 2 C 3 C 2 + C 3 C C 2 C 2 C 2 + C 2 C 2 C 3 C 2 C 2 + C 2 C 2 C 3 C 3 (C 2 ) 10 C 3 zeolit, T C 3 + C 4 + C 5 + C 6 + drugi proizvodi % 23 % 18 % 11 % % Katalitičko prevođenje alkana u aromatične ugljovodonike sa približno istim brojem C-atoma zove se - reforming -: Pt _ SiO _ 2 Al 2 O 3 C 3 (C 2 ) 5 C o C C 3

24 Laboratorijsko dobijanje alkana 1. idrogenizacija alkena: Cn2n + 2 Pt,Pd ili Ni C n2n+2 C 3 C C C 3 C 2 C 3 + 2

25 2. Redukcija halogenalkana (alkil-halogenida): a) idroliza Grinjarovog reagensa: RX + Mg RMgX Grinjarov reagens RMgX + 2 O R Br MgBr C3C2CC 3 Mg C3C2CC 3 2O C3C2CC 3 2-brombutan butan 1-metilpropil-magnezijum-bromid

26 b) Redukcija atomskim (nascentnim) vodonikom: (dobijenim dejstvom mineralne kiseline na metal) 2RX + Zn R + Zn X - Zn + 2 Cl ZnCl Cl Zn, + C3C2CC 3 C3C2CC 3

27 3a. Reakcija halogenalkana (alkil-halogenida) sa organometalnim jedinjenjima: Br Li C3 Li CuI C3C2CC 3 C3C2CC 3 ( C3C2C )2CuLi 2-hlorbutan 2-butil-litijum litijum-di sek-butilkuprat C3C2Cl hloretan C3 C3C2CC 2C3 3-metilpentan RX Li RLi CuX R2CuLi R'X R R' + RCu + LiX Cl Li C3CC3 C3 2-hlor-2-metilpropan CuI (t-c49)2culi litijum-di terc-butilkuprat C3(C2)4Br pentan C3 C3CC2C2C2C2C3 C3 2,2-dimetilheptan

28 3b. Wurtz ova reakcija: Zbog velike reaktivnosti organonatrijumovih jedinjenja, ovom reakcijom se mogu dobiti samo simetrični alkani i neki cikloalkani. 2R X + 2Na R R + 2NaX 2 C3C2I + 2Na C3C2C2C3 + 2 NaI jodetan butan 2C C 2C2Br + 2Na C2C2Br 1,5-dibrompentan ciklopentan + 2NaBr

29 4. Reakcije za dobijanje metana: C3COONa + NaO T C4 + Na2CO3 C K C4 C2Al O 3C4 + Al(O)3 C3C2C3 600 oc C2 C2 + C4 C3 C C2 + 2

30 Fizičke osobine alkana Prva četiri alkana su gasovite supstance, sledećih trinaest (C 5 -C 17 ), zbog povećanja lanca, odnosno molarne mase, su tečnosti, a ostali sa osamnaest i više ugljenikovih atoma su čvrste supstance. Temperature ključanja alkana, počevši od pentana rastu za C pri povećanju molekula alkana za jedan ugljenikov atom. Takav porast temperatura ključanja je karakterističan i za druge homologne nizove. Strukturni izomeri alkana se takođe razlikuju po temperaturama ključanja. Što je račvanje niza veće to je temperatura ključanja niža, npr. pentan ključa na 36 C, 2-metilbutan na 28 C a 2,2-dimetilpropan na 9,5 C. Uticaj razgranatosti niza na temperaturu ključanja se vidi i kod svih ostalih grupa organskih jedinjenja. To je i razumljivo jer razgranati molekuli imaju oblik vrlo sličan lopti, čime se spoljašnja površina smanjuje, pa tako i međumolekulske sile postaju slabije.

31

32 Alkani i cikloalkani su nepolarna jedinjenja i samim tim dobro su rastvorni u nepolarnim rastvaračima kao što su benzen, etar, trihlormetan (hloroform), a nerastvorni su u vodi i drugim polarnim rastvaračima. Gustina alkana i cikloalkana je manja od vode i teži ka vrednosti 0,8 g/cm 3.

33 emijske osobine alkana Slabo reaktivna, stabilna jedinjenja. 1. Sagorevanje alkana: 2C n 2n+2 + (3n + 1)O 2 2nCO 2 + (2n + 2) 2 O + toplota 2. Piroliza ili krakovanje alkana 3. Reakcije supstitucije: a) alogenovanje R- + X-X R-X + -X

34 Ove reakcije se odvijaju po radikalskom lančanom mehanizmu koji se može podeliti na tri faze: iniciranje, propagacionu fazu i terminaciju. Iniciranje:.. :.. X : Propagaciona faza:.... X. : + atom halogena.. X.. T ili h.. 2 :.. X. C C. metil-radikal X : : C. + X : X.. : C X +.. :.. X.

35 Terminacija:.... X... :.. X.. :.. : +. X.. X..: C... :.. X. + C X C. +. C C C

36 Rektivnost halogena opada sa porastom rednog broja, tako je fluor najreaktivniji a jod najmanje reaktivan. Što se alkana, t.j. cikloalkana tiče najreaktivnije su tercijarne C- veze, zatim sekundarne, a najmanje reaktivne su primarne C- veze. Reakcije koje se odvijaju po slobodno radikalskom mehanizmu je izuzetno teško kontrolisati i gotovo uvek se dobija smeša proizvoda koje treba razdvojiti. Tako se hlorovanjem metana dobijaju četiri različita alkil-halogenida, hlorovanjem etana može se dobiti devet različitih proizvoda itd.

37 b) Nitrovanje: R NO3 (razbl.) R + 2O oc NO2 Reakcije nitrovanja ugljovodonika prvi je izveo ruski hemičar M.I.Konovalov. Reakcije se izvode na temperaturama od C, a kao reagens za nitrovanje se najčešće koristi razblažena azotna kiselina. Kao i kod halogenovanja, najlakše se nitruju tercijarne C- veze, zatim sekundarne i najslabije, primarne C- veze. 1. C3 NO3 (razbl.) 100 oc C3 NO2 2. NO3 (konc.) 140 oc NO 2

38 C3 C3 C3 C C2C2CC 3 83% C3 C3 NO2 3. C3CC 2C2CC 3 NO 3 C3 C3 C3CCC 2CC 3 NO2 17% C3 C3 C2CC 2C2CC 3 NO2

39 c) Sulfonovanje: Sumporna kiselina na običnoj temperaturi ne reaguje sa alkanima, na visokim temperaturama ih oksiduje, a pri slabom zagrevanju reaguje sa njma dajući sulfokiseline. C O-SO 3 C SO O

40 Cikloalkani Ugljovodonici koji se sastoje od ugljenikovih atoma uređenih u prstenove zovu se: ciklični alkani, karbocikli ili cikloalkani. C 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2 ciklopropan ciklobutan ciklopentan C 2 C 2 C 2 C 2 C2 C 2 cikloheksan

41 Cl Cl C 3 C 3 C C 2 C 2 metilciklopropan 3 C C 2 C 2 C 3 1-hlor-2-metil-4-propilciklopentan C 2 C 2 C 3 C 2 C C 2 C 3 C 3 C 2 C 3 1-etil-1-metil-ciklobutan ciklobutilcikloheksan

42 Izomerija disuptituisanih cikloalkana 3 C C 3 C 3 C 3 C 3 C 3 3 C 3 C cis-1,2-dimetilciklopropan trans-1,2-dimetilciklopropan Br Br C 3 Br Br C 3 C 3 C 3 cis-1-brom-2-metilcikloheksan trans-1-brom-2-metilcikloheksan Br Br C 3 Br Br C3 C 3 C 3

43

44 Fizičke i hemijske osobine cikloalkana U poređenju sa alkanima normalnog niza, cikloalkani imaju više tačke topljenja i ključanja, kao i veće gustine. Do ovoga dolazi zbog povećanih međumolekulskih interakcija krućih i simetričnijih cikličnih sistema. Cikloalkani učestvuju u svim reakcijama koje su karakteristične i za ostale zasićene ugljovodonike: sagorevanje, supstitucija preko slobodnih radikala. Osim njih pokazuju i karakteristične reakcije koje su posledica napona u prstenu: reakcije adicije vodonika i halogenih elemenata. Ove reakcije se odvijaju na povišenim temperaturama i u prisustvu katalizatora. Adicijom vodonika cikloalkani prelaze u odgovarajuće alkane, a adicijom halogena dobijaju se odgovarajući α, ω - dihaloalkani.

45 1. 2, Ni oc 2. 2, Ni 180 oc 3. 2, Ni 300 oc 4. Br 2 Br Br Br 2 Br 5. Br Br T Br Br

ОРГАНСКA ХЕМИЈA ХАЛОГЕНАЛКАНИ

ОРГАНСКA ХЕМИЈA ХАЛОГЕНАЛКАНИ ОРГАНСКA ХЕМИЈA Предавања ХАЛОГЕНАЛКАНИ Др Весна Антић, ванредни професор Др Малиша Антић, ванредни професор Halogenalkani - alkilhalogenidi- Halogenalkani su jedinjenja opšte formule R-X, gde je X atom

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

UGLJOVODONICI. Organska jedinjenja koja sadrže samo ugljenik i vodonik (C i H)

UGLJOVODONICI. Organska jedinjenja koja sadrže samo ugljenik i vodonik (C i H) UGLJOVODONICI Organska jedinjenja koja sadrže samo ugljenik i vodonik (C i ) PODELA UGLJOVODONIKA emijske osobine ugljovodonika Ugljovodonici Veze u molekulu emijska reaktivnost Vrsta hem. reakcija Zasićeni

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Metan CH 4 C H. 0,110 nm. 109,5 o

Metan CH 4 C H. 0,110 nm. 109,5 o 1 2 ALKANI Zasićeni (aciklični) ugljovodonici ili parafini neaktivni (nedovoljno afiniteta, lat parum affinis) Pokazuju slabu reaktivnost Nemaju funkcionalnu grupu! Svi -atomi su sp 3 hibridizovani Opšta

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

C n H 2n+2 ALICIKLIČNI AROMATIČNI. alkani alkeni. dieni. alkini. Jedinjenja sastavljeni samo od dve vrste atoma, ugljenika i vodonika.

C n H 2n+2 ALICIKLIČNI AROMATIČNI. alkani alkeni. dieni. alkini. Jedinjenja sastavljeni samo od dve vrste atoma, ugljenika i vodonika. PEDAVANJE 9. AIKLIČNI AOMATIČNI ALIIKLIČNI Jedinjenja sastavljeni samo od dve vrste atoma, ugljenika i vodonika. Doc.dr Mirjana Abramović ZASIĆENI alkani alkeni NEZASIĆENI ENI alkini dieni IKLOALKANI IKLOALKENI

Διαβάστε περισσότερα

Ο H C C H HC5 3CH \ / \ 4 /

Ο H C C H HC5 3CH \ / \ 4 / 1 RUDARSKI ODSEK-Eksploatacija tečnih i gasovitih mineralnih sirovina i gasna tehnika PREDMET: EMIJA I PRERADA NAFTE I GASA (za studente VI semestra) Prof. dr Slobodanka Marinković (21.3.2008) AROMATIČNI

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

ОСНОВИ ОРГАНСКЕ ХЕМИЈЕ АЛКОХОЛИ

ОСНОВИ ОРГАНСКЕ ХЕМИЈЕ АЛКОХОЛИ ОСНОВИ ОРГАНСКЕ ХЕМИЈЕ Предавања АЛКОХОЛИ Др Весна Антић, ванредни професор Др Малиша Антић, ванредни професор ALKOHOLI Alkoholi su jedinjenja opšte formule R-OH. Funkcionalna grupa alkohola je hidroksilna

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

ОРГАНСКA ХЕМИЈA АЛКИНИ И ДИЕНИ

ОРГАНСКA ХЕМИЈA АЛКИНИ И ДИЕНИ ОРГАНСКA ХЕМИЈA Предавања АЛКИНИ И ДИЕНИ Др Весна Антић, ванредни професор Др Малиша Антић, ванредни професор ALKINI C C Ugljovodonici sa trostrukom vezom C C Opšta formula alkina: C n H 2n-2 Ugljenikovi

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Radoslav D. Mićić, doc. PhD, Hemija nafte i gasa. Presentation 3.

Radoslav D. Mićić, doc. PhD, Hemija nafte i gasa. Presentation 3. Radoslav D. Mićić, doc. PhD, Hemija nafte i gasa Presentation 3. ACIKLIČNI UGLJOVODONICI Alkeni (nezasićeni ugljovodonici, olefini) Alkeni su aciklični nezasideni ugljovodonici u čijim molekulima je prisutna

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

C C C C C C C C C C C C H C CH 2 H 3 C H. Br C CH 2. 1 konjugovane 2 izolovane 3 kumulovane C=C veze. C=C veze. C=C veze. 1,3-cikloheksadien

C C C C C C C C C C C C H C CH 2 H 3 C H. Br C CH 2. 1 konjugovane 2 izolovane 3 kumulovane C=C veze. C=C veze. C=C veze. 1,3-cikloheksadien DIENI Dieni su ugljovodonici koji sadrže dve = veze u molekulu U zavisnosti od rasporeda = veza, dieni mogu biti: konugovani, nekonjugovani (izolovani), kumulovani (tzv aleni) konjugovane izolovane kumulovane

Διαβάστε περισσότερα

STVARANJE VEZE C-C POMO]U ORGANOBORANA

STVARANJE VEZE C-C POMO]U ORGANOBORANA STVAAJE VEZE C-C PM]U GAAA 2 6 rojne i raznovrsne reakcije * idroborovanje alkena i reakcije alkil-borana 3, Et 2 (ili TF ili diglim) Ar δ δ 2 2 3 * cis-adicija "suprotno" Markovnikov-ljevom pravilu *

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKI PRINCIPI U INŽENJERSTVU ZAŠTITE ŽIVOTNE SREDINE

HEMIJSKI PRINCIPI U INŽENJERSTVU ZAŠTITE ŽIVOTNE SREDINE Univerzitet u Novom Sadu Fakultet tehničkih nauka HEMIJSKI PRINCIPI U INŽENJERSTVU ZAŠTITE ŽIVOTNE SREDINE INTERNA SKRIPTA Dr Mirjana Vojinović Miloradov, profesor emeritus Dr Jelena Radonić, docent Dr

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

MEĐUMOLEKULSKE SILE JON-DIPOL DIPOL VODONIČNE NE VEZE DIPOL DIPOL-DIPOL DIPOL-INDUKOVANI INDUKOVANI JON-INDUKOVANI DISPERZNE SILE

MEĐUMOLEKULSKE SILE JON-DIPOL DIPOL VODONIČNE NE VEZE DIPOL DIPOL-DIPOL DIPOL-INDUKOVANI INDUKOVANI JON-INDUKOVANI DISPERZNE SILE MEĐUMLEKULSKE SILE JN-DIPL VDNIČNE NE VEZE DIPL-DIPL JN-INDUKVANI DIPL DIPL-INDUKVANI INDUKVANI DIPL DISPERZNE SILE MEĐUMLEKULSKE SILE jake JNSKA VEZA (metal-nemetal) KVALENTNA VEZA (nemetal-nemetal) METALNA

Διαβάστε περισσότερα

C kao nukleofil (Organometalni spojevi)

C kao nukleofil (Organometalni spojevi) C kao nukleofil (Organometalni spojevi) 1 Nastajanje nukleofilnih C atoma i njihova adicija na karbonilnu grupu Ukupan proces je jedan od najkorisnijih sintetskih postupaka za stvaranje C-C veze 2 Priroda

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

ALKENI. Nezasićeni ugljovodonici Sadrže dvostruku vezu Može biti više dvostrukih veza u molekulu

ALKENI. Nezasićeni ugljovodonici Sadrže dvostruku vezu Može biti više dvostrukih veza u molekulu ALKENI Nezasićeni ugljovodonici Sadrže dvostruku vezu Može biti više dvostrukih veza u molekulu ALKENI (OLEFINI) STRUKTURA DVOSTRUKE VEZE STRUKTURA DVOSTRUKE VEZE NOMENKLATURA Alkeni imaju sufiks en Položaj

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

ОСНОВИ ОРГАНСКЕ ХЕМИЈЕ АРОМАТИЧНИ УГЉОВОДОНИЦИ

ОСНОВИ ОРГАНСКЕ ХЕМИЈЕ АРОМАТИЧНИ УГЉОВОДОНИЦИ ОСНОВИ ОРГАНСКЕ ХЕМИЈЕ Предавања АРОМАТИЧНИ УГЉОВОДОНИЦИ Др Весна Антић, ванредни професор Др Малиша Антић, ванредни професор AROMATIĈNI UGLJOVODONICI BENZEN T k = 80,1 C T t = 5,5 C Stabilnost i inertnost!

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Alkeni ili olefini C n H 2n. sp 2 hibridne orbitale

Alkeni ili olefini C n H 2n. sp 2 hibridne orbitale Alkeni ili olefini C n 2n sp 2 hibridne orbitale 1 sp 2 hibridne orbitale Struktura etilena (etena) 2 Struktura etilena (etena) Alkeni ili olefini C n 2n C C C C C3 Eten Propen Nomenklatura može i etilen

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

ОРГАНСКA ХЕМИЈA АЛКЕНИ

ОРГАНСКA ХЕМИЈA АЛКЕНИ ОРГАНСКA ХЕМИЈA Предавања АЛКЕНИ Др Весна Антић, ванредни професор Др Малиша Антић, ванредни професор ALKENI C C Ugljovodonici sa dvostrukom vezom C=C Opšta formula alkena: C n H 2n Ugljenikovi atomi povezani

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

MEĐUMOLEKULSKE SILE Jon-jon Kulonove sile kj/mol, Šarl-Оgisten de Кulon (Charles-Augustin de Coulomb) , francuski fizičar

MEĐUMOLEKULSKE SILE Jon-jon Kulonove sile kj/mol, Šarl-Оgisten de Кulon (Charles-Augustin de Coulomb) , francuski fizičar MEĐUMOLEKULSKE SILE Jon-jon Kulonove sile 400-4000 kj/mol, Šarl-Оgisten de Кulon (Charles-Augustin de Coulomb) 1736-1806, francuski fizičar F = k Q 1 x Q 2 d 2 Privlačne i odbojne elektrostatičke sile

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Prirodno-matematički fakultet Društvo matematičara I fizičara Crne Gore

Prirodno-matematički fakultet Društvo matematičara I fizičara Crne Gore Prirodno-matematički fakultet Društvo matematičara I fizičara Crne Gore OLIMPIJADA ZNANJA 2018. Rješenja zadataka iz HEMIJE za IX razred osnovne škole 1. Koju zapreminu, pri standardnim uslovima, zauzimaju

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Supstituisane k.k. Sinteza Aminokiseline Biodegradabilni polimeri Peptidi. Industrijska primena Aminokiseline Stočarstvo Hiralni katalizatori

Supstituisane k.k. Sinteza Aminokiseline Biodegradabilni polimeri Peptidi. Industrijska primena Aminokiseline Stočarstvo Hiralni katalizatori Supstituisane k.k. Značaj Sinteza Aminokiseline Biodegradabilni polimeri Peptidi Industrijska primena Aminokiseline Stočarstvo Hiralni katalizatori Hidroksikiseline Kozmetička industrija kreme Biološki

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

REAKCIJE ELIMINACIJE

REAKCIJE ELIMINACIJE REAKIJE ELIMINAIJE 1 . DEIDROALOGENAIJA (-X) i DEIDRATAIJA (- 2 O) su najčešći tipovi eliminacionih reakcija X Y + X Y 2 Dehidrohalogenacija (-X) X strong base + " X " X = l, Br, I 3 E 2 Mehanizam Ova

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

Kvantitativni odnosi strukture i dejstva

Kvantitativni odnosi strukture i dejstva FARMAEUTSKA HEMIJA 1 KVANTITATIVNI DNSI STRUKTURE I DEJSTVA LEKVA Predavač: Prof. dr. Slavica Erić Kvantitativni odnosi strukture i dejstva X N H N 4-X-pirazoli X Log1/Ki heksil 6.9 pentil 6.82 propil

Διαβάστε περισσότερα

A L D O L N A R E A K C I J A

A L D O L N A R E A K C I J A A L D L A E A K C I J A * U PTI^IM USLVIMA * Katalizovane bazama * Katalizovane kiselinama * U APTI^IM USLVIMA (eakcije preformiranih enolata ili dirigovane adicije) * U baznim uslovima * U kiselim uslovima

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Međutim, Organskih jedinjenja (OJ) ima preko 30,000,000.

Međutim, Organskih jedinjenja (OJ) ima preko 30,000,000. rganska hemija emija ugljenikovih jedinjenja GANSKI MLEKULI. Ime GANSKA EMIJA je pogrešno, a potiče iz vremena tzv. VITALISTIČKE TEIJE (vis vitalis): "GANSKA JEDINJENJA (J) mogu biti sintetisana samo pod

Διαβάστε περισσότερα

Osnove organske hemije. Halogenalkani (alkil-halogenidi) Aril-halogenidi

Osnove organske hemije. Halogenalkani (alkil-halogenidi) Aril-halogenidi Osnove organske hemije Halogenalkani (alkil-halogenidi) Aril-halogenidi Halogenalkani Nastaju supstitucijom (zamjenom) jednog ili više H-atoma atomom halogena (X = F, Cl, Br, I). Funkcionalna grupa atom

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Halogeni derivati ugljovodonika

Halogeni derivati ugljovodonika Halogeni derivati ugljovodonika Halogeni derivati ugljovodonika, nastaju zamenom atoma vodonima kod ugljovodonika, atomima fluora, hlora, broma, ili joda. Mogu biti alifatična ili aromatična jedinjenja,

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

ОСНОВИ ОРГАНСКЕ ХЕМИЈЕ АЛДЕХИДИ И КЕТОНИ

ОСНОВИ ОРГАНСКЕ ХЕМИЈЕ АЛДЕХИДИ И КЕТОНИ ОСНОВИ ОРГАНСКЕ ХЕМИЈЕ Предавања АЛДЕХИДИ И КЕТОНИ Др Весна Антић, ванредни професор Др Малиша Антић, ванредни професор ALDEIDI I KETNI Metanal Aldehid Keton Metanal Etanal Propanon 1-buten μ = 0,3 D Propanal

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNA ŠKOLA HEMIJA

OSNOVNA ŠKOLA HEMIJA OSNOVNA ŠKOLA HEMIJA Zadatak broj Bodovi 1. 8 2. 8 3. 6 4. 10 5. 10 6. 6 7. 10 8. 8 9. 8 10. 10 11. 8 12. 8 Ukupno 100 Za izradu testa planirano je 120 minuta. U toku izrade testa učenici mogu koristiti

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE 0 4 0 1 Lanci za vešanje tereta prema standardu MSZ EN 818-2 Lanci su izuzetno pogodni za obavljanje zahtevnih operacija prenošenja tereta. Opseg radne temperature se kreće

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. 1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje

Διαβάστε περισσότερα

1s 2 2s 2 2p 2. C-atom. Hibridne atomske orbitale. sp 3 hibridizacija. sp 3. Elektronska konfiguracija ugljenika: aktivacija. ekscitovano stanje

1s 2 2s 2 2p 2. C-atom. Hibridne atomske orbitale. sp 3 hibridizacija. sp 3. Elektronska konfiguracija ugljenika: aktivacija. ekscitovano stanje PREAVAJE 2. Ugljenik je u organskim jedinjenjima četvorovalentan. Elektronska konfiguracija ugljenika: 1s 2 2 2p 2 dva nesparena elektrona -atom oc.dr Mirjana Abramović 2p osnovno stanje aktivacija 2p

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα