LIPIDI Definicija lipida

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "LIPIDI Definicija lipida"

Transcript

1 LIPIDI Definicija lipida Lipidi su materije biološkog porekla koje ulaze u sastav organizama biljaka i životinja, i u osnovi se karakterišu time: što su slabo rastvorni ili nerastvorni u vodi, a rastvorni su u različitim organskim rastvaračima (etar, hloroform, metanol i sl); što u njihov sastav ulaze i više kiseline alifatskog i alicikličnog reda, ili pak odgovarajući alkoholi, pa i ugljovodonici; i što predstavljaju biološki veoma značajna jedinjenja sa raznim funkcijama, u tkivima ćelija ili, pak, u tečnostima koje one sadrže 1

2 Uloga lipida snovna uloga lipida je da predstavljaju konstitutivne komponente biomembrana, da učestvuju u predaji nervnih impulsa i stvaranju kontakata meñu ćelijama, da obrazuju energetsku rezervu i termoizolacioni sloj i da štite organizam od mehaničkih povreda LIPIDI Neutralni lipidi (Prosti) Složeni lipidi (Membranski) Fosfolipidi Steroli Glikolipidi Triacilgliceroli Glicerofosfolipidi Sfingolipidi Sfingolipidi Podela lipida 2

3 Podela Kako se u lipide ubrajaju jedinjenja koja se karakterišu rastvorljivošću u organskim rastvaračima, u lipide se ubrajaju i terpeni i terpenoidi, vitamini rastvorni u mastima (A,D,E,K) Podela lipida se vrši i na osnovu sposobnosti da podležu hidrolizi u baznoj sredini (saponifikacija): osapunjivi (mogu se saponifikovati) masti i ulja, voskovi, fosfolipidi, sfingolipidi, lipoproteini, neosapunjivi (ne mogu se saponifikovati) steroidi, terpeni, prostaglandini Prosti lipidi C 2 C C 2 C 2 --C-R 1 C--C-R 2 C 2 --C-R 3 glicerin (glicerol) triglicerid (triacilglicerol) predstavljaju osnovu masti u triacilglicerole spadaju i cerini (osnova voskova) 3

4 Pojava i uloga masti Trigliceridi masnih kiselina u životinjskom svetu se nalaze u tkivima ćelija organizama Kod biljaka se najčešće nalaze u semenu, a to je posebno karakteristično za biljke čije seme služi i za industrijsko dobijanje biljnih ulja, kao što su suncokret, pamuk, soja, lan i dr U semenu drugih biljaka sadržaj biljnih masti je znatno manji, ali ne postoji ni jedna biljka u čijem semenu se ne nalazi bar nekoliko procenata masti Masti ima i u plodovima nekih biljaka (palma, maslina) kao i u kori drveća (breza) Pojava i uloga masti Kod životinja i riba, mast je koncentrisana u potkožnim masnim tkivima ili pak u tkivima koja okružuju unutrašnje organe, naročito organe koji se odlikuju posebnom ulogom u životnim procesima (srce, bubrezi, želudac i dr) Najveće količine prisutnih masti imaju ulogu rezervnih materija koje se koriste pri lošoj ishrani ili u slučaju oboljenja Masti, osim što imaju veliku energetsku vrednost, štite organizam od hladnoće zbog svoje loše toplotne provodljivosti U mastima se nalaze i materije koje nisu masti, a imaju važnu fiziološku ulogu (vitamini D, A, E, K) 4

5 Neutralne masti i ulja definicija - glicerinski estri masnih kiselina Podela na čvrste masti i tečna ulja Podela na proste trigliceride i mešovite C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C tristearin simetrični oleodistearin asimetrični oleodistearin oleo-palmitostearin Masne kiseline koje ulaze u sastav masti Masne kiseline koje učestvuju u izgradnji masti su, sa retkim izuzecima, jednobazne kiseline Dvobazne kiseline su, u malim količinama, nañene u drugim vrstama lipida, kao što su voskovi Daleko najveći broj masnih kiselina ima ravan ugljovodonični niz, dok se masne kiseline sa razgranatim nizom sreću u malim količinama (kod masti bakterija i u voskovima) Većina masnih kiselina koje ulaze u sastav masti sadrži parni broj ugljenikovih atoma Masne kiseline koje se sreću u mastima mogu da budu zasićene i nezasićene d nezasićenih, u mastima nailazimo na one koje sadrže dvostruke veze kao i one koje sadrže trostruke veze 5

6 6

7 Strukturna formula oleinske kiseline (cis-konfiguracija) Strukturna formula linolne kiseline (cis-cis-oblik) 7

8 Strukturna formula linolenske kiseline (cis-cis-cis-oblik) Esencijalne masne kiseline Linolna, linolenska i arahidonska kiselina predstavljaju esencijalne masne kiseline γ-linolenska kiselina (dvostruke veze u položajima 6,9,12) je izomer α-linolenske kiseline (9,12,15) Linolna i α-linolenska kiselina su nezamenljive jer se ne mogu sintetisati u organizmu Iz linolne kiseline se u organizmu dobija γ- linolenska, a iz nje arahidonska, koja je prekursor u sintezi prostaglandina 8

9 Esencijalne masne kiseline ve esencijalne masne kiseline se obeležavaju i kao omega masne kiseline prema udaljenosti dvostruke veze od ω C atoma (poslednji C atom u nizu) Tako su linolna, γ-linolenska i arahidonska kiselina ω- 6, a α-linolenska ω-3, masne kiseline leinska kiselina prema ovoj nomenklaturi spada u ω-9 masne kiseline Iz α-linolenske kiseline se u organizmu mogu sintetisati druge ω-3 masne kiseline: eikozapentaenska (20:5) i dokozaheksaenska kiselina (22:6) Esencijalne masne kiseline Neravnoteža ili nedostatak ω-3 masnih kiselina u odnosu na količinu ω-6 (pretpostavlja se da je ispravan odnos ovih kiselina 1 : 2) je uzrok mnogih bolesti kao što su: depresija i poremećaj ponašanja (uključujući nasilje), dijabetes, artritis i rak Unos dovoljnih količina ω-3 masnih kiselina smanjuje opasnost od pojave kardiovaskularnih bolesti (ishrana bogata ribom iz severnih mora) 9

10 Struktura molekula triglicerida grupe i ostaci masnih kiselina u ravni (nasuprot) Šematski prikaz pretpostavljenog prostornog rasporeda molekula glicerida Kristalni oblici glicerida a) b) c) Različite mogućnosti asocijacije glicerida sa različitim ostacima masnih kiselina u kristalima a) i b) asocijacija zasićenih glicerida c) asocijacija zasićeno-nezasićenih glicerida u obliku dvojnih slojeva do asocijacije dolazi zahvaljujući van der Valsovim silama izmeñu ugljnizova 10

11 emijska svojstva glicerida reakcije koje se odvijaju samo na estarskim vezama glicerida; reakcije koje se odvijaju samo na ugljovodoničnim ostacima masnih kiselina glicerida; i reakcije koje se istovremeno odvijaju na estarskim vezama i na ugljovodoničnim ostacima masnih kiselina glicerida Reakcije glicerida masnih kiselina na estarskoj vezi idroliza glicerida masnih kiselina Alkoholiza triglicerida masnih kiselina Transesterifikacija triglicerida masnih kiselina Termička razgradnja glicerida masnih kiselina 11

12 idroliza glicerida masnih kiselina Gliceridi masnih kiselina mogu se hidrolizovati na četiri različita načina: hidrolizom u prisustvu - -jona (alkalna hidroliza); hidrolizom u prisustvu + -jona (kiselinska hidroliza); enzimskom hidrolizom; i hidrolizom u neutralnoj sredini, u prisustvu katalitičkih količina Ca, Mg ili Zn Alkalna hidroliza CR CR + 3K 3RCK + postupna CR Kiselinska hidroliza CR CR RC + postupna CR Enzimska na niskim temperaturama, može biti selektivna Neutralna na povišenim temperaturama i pritisku, u prisustvu katalizatora 12

13 Alkoholiza triglicerida masnih kiselina CR CR CR + C 3 CR + CR RCC 3 CR CR + C 3 CR + RCC 3 CR + C 3 + RCC 3 katalizatori benzensulfonska i toluensulfonska kiselina Transesterifikacija triglicerida masnih kiselina CR CR CR CR 1 + R 1 CR 2 CR + CR RCR2 CR CR CR CR 1 CR 2 + CR 2 CR + CR 3 CR CR 1 CR CR 3 u prisustvu katalizatora (sulfatna, baze, metali) 13

14 Termička razgradnja glicerida masnih kiselina zagrevanjem istopljene masti na o C CR CR 2 RC + RC=C= CR RC + RC--CR Transformacije masti na ostacima kiselina Izomerizacija ostataka nezasićenih masnih kiselina Katalitičko hidrogenovanje glicerida nezasićenih masnih kiselina (ulja) ksidacija masti molekulskim kiseonikom 14

15 Izomerizacija ostataka nezasićenih masnih kiselina Promena prostornog rasporeda (cis u trans) Pomeranje dvostruke veze Pojava granjanja Elaidiranje nezasićenih masnih kiselina oleinska , katalizator (N 2, N 2, Se, Ni, S 2 ) elaidinska kiselina 15

16 rotacija oko C-C veze R' R'' [ N 2 ] : R' : cis-oblik R'' kompleks cis-oblika sa azot(iv)-oksidom R' : N R'' [ 2 ] kompleks trans-oblika sa azot(iv)-oksidom R' : + N 2 R'' trans-oblik upotrebom specijalnih katalizatora ili osvetljavanjem sistema reakcija može ići i u suprotnom smeru! Migracija dvostruke veze nezasićenih masnih kiselina δ γ - ili γ β R-C=C-C 2 -C 2 -C R-C 2 -C=C-C 2 -C β α R-C 2 -C 2 -C=C-C migracija u pravcu C kod linolne i linolenske, dobijaju se konjugovane dvostruke veze 16

17 Katalitičko hidrogenovanje glicerida nezasićenih masnih kiselina (ulja) Katalitičkim hidrogenovanjem tečnih ulja mogu da se dobiju čvrste masti, pa je moguće da se postigne i to da ovako dobijene čvrste masti imaju i tačno odreñenu temperaturu topljenja "biljna mast" i za pripremu margarina idrogenovanje može da se izvodi dejstvom molekulskog vodonika u prisustvu katalizatora na atmosferskom pritisku ili pak na nešto povišenom, reñe na pritiscima od 3-5 bara, a ponekad i na bara Temperature na kojima se izvodi hidrogenovanje kreću se u granicama od o C Selektivno hidrogenovanje više nezasićene kiseline se hidrogenuju pre manje nezasićenih kiselina uticaj katalizatora (katalizatori na bazi Pd selektivniji od katalizatora na bazi Ni) difuzija vodonika na površini katalizatora (intezivnija difuzija manja selektivnost) osim hidrogenovanja dolazi i do stvaranja izomernih nezasićenih masnih kiselina 17

18 ksidacija masti molekulskim kiseonikom Proizvode koji nastaju možemo podeliti u tri grupe: proizvodi razgradnje ostataka nezasićenih masnih kiselina; proizvodi oksidacije ostataka masnih kiselina koje sadrže isti broj C-atoma, kao i polazni ostaci masnih kiselina, ali se od polaznih ostataka razlikuju po sadržaju kiseoničnih funkcija U ovu grupu spadaju i proizvodi kod kojih je došlo do izomerizacije ostataka masnih kiselina proizvodi kod kojih je došlo ne samo do oksidacionih već i do polimerizacionih i kondenzacionih promena na ostacima masnih kiselina, a u ovim proizvodima mogu da se nañu i nove kiseonične funkcionalne grupe Proizvodi oksidacije se mogu podeliti i na termički stabilne i nestabilne Inicijacija In + R In + R Propagacija Terminacija R + 2 R R + R R + R 2 R R-R 2 R R-R R + R R-R 18

19 ksidacija oleinske kiseline C 3 (C 2 ) 6 -C 2 -C=C-C 2 -(C 2 ) 6 C + 2 C 3 (C 2 ) 6 -C-C=C-C 2 -(C 2 ) 6 C C 3 (C 2 ) 6 -C 2 -C=C-C-(C 2 ) 6 C ili C 3 (C 2 ) 6 -C-C=C-C 2 -(C 2 ) 6 C + 2 C 3 (C 2 ) 6 -C-C=C-C 2 -(C 2 ) 6 C C 3 (C 2 ) 6 -C 2 -C=C-C-(C 2 ) 6 C + 2 C 3 (C 2 ) 6 -C 2 -C=C-C-(C 2 ) 6 C 19

20 Zasićene masne kiseline R-C 2 -C + R-C-C + Ȯ-- 2 R-C-C + 2 R-C-C Stabilizacija peroksidnog radikala druga maskiselina -C=C-C- + -C 2 -C 2 - -C=C-C- + -C 2 -C- stabilni hidroperoksid 20

21 ksidacija linolne kiseline brže od oleinske C 3 (C 2 ) 4 C=CC 2 C=C(C 2 ) 7 C C 3 (C 2 ) 4 C=CCC=C(C 2 ) 7 C bisalilni radikal Monomolekulsko razlaganje hidroperoksida -C- -C- + alkoksidni hidroksilni -C- + -C 2 -C 2 - -C- + -C 2 -C- samoubrzanje reak + -C C- 21

22 idroperoksidi mogu i da se razlože i po bimolekulskom tipu R-- R R-- --R Inhibitori autoksidacije (antioksidansi) su tokoferoli (vitamin E), 2- i 3-terc-butil-4-oksianizol (BA), nordihidroguaretna kiselina (NDK), estri viših masnih alkohola i galne kiseline Voskovi izgrañeni od jednovalentnih viših masnih alkohola i jednobaznih viših masnih kiselina voskovi se dele na biljne (karnauba), životinjske (pčelinji, lanolin, spermacet) i mineralne voskove (montan) d zasićenih masnih kiselina u voskovima se pojavljuju palmitinska i cerotinska kiselina (smeša kiselina C 24, C 26 i C 28 ) Sem toga pojavljuju se i druge zasićene masne kiseline sa parnim brojem C-atoma do C 36 22

23 Voskovi d viših masnih alkohola najčešće se sreću cetil (C 16 ) i ceril (C 26 ) alkohol, mada se mogu naći i alkoholi C 8 -C 30 Nezasićeni alkoholi i sekundarni alkoholi tipa RC()C 3 se retko sreću Javljaju se i razgranati, zasićeni, primarni alkoholi Aliciklični alkoholi se takoñe sreću pri čemu je od sterola najpoznatiji holesterol, a javljaju se i stigmasterol, ergosterol, lanosterol i dr Složeni (membranski) lipidi Sadrže u svom sastavu i atome P, N, a ponekad i S snovna podela je na fosfolipide, sterole i glikolipide Fosfolipidi se dele na glicerofosfolipide i sfingolipide 23

24 Glicerofosfolipidi nepolarni repovi C C 2 C C 2 C P X pšta formula glicerofosfolipida polarna glava 24

25 Fosfatidne kiseline -C-R -C-R 1 -P() 2 α-izomer -C-R -P() 2 -C-R 1 β-izomer masne kiseline: oleinska, linolna, palmitinska, stearinska i linolenska sreću se u zelenim delovima biljaka, najčešće u obliku soli (Ca, Na) Lecitini i kefalini -C-R 1 -C-R -P--C 2 -C 2 -N 2 -C-R 1 -C-R + -P--C 2 -C 2 -N 3 etanolamin hidratizovani oblik kefalin dipol-jonski oblik 25

26 Lecitini i kefalini -C-R 1 -C-R -P--C 2 -C 2 -N(C 3 ) 3 -C-R 1 -C-R + -P--C 2 -C 2 -N(C 3 ) 3 holin hidratizovani oblik lecitin dipol-jonski oblik U izgradnji glicerofosfolipida učestvuje veći broj različitih masnih kiselina, kako zasićenih tako i nezasićenih: kod glicerofosfolipida biljnog porekla miristinska, palmitinska, stearinska, zasićene masne kiseline C 20 -C 26, palmitoleinska, oleinska, linolna, linolenska, nezasićene masne kiseline C 20 -C 26 kod glicerofosfolipida životinjskog porekla arahidonska 26

27 Fosfatidilserin -C-R 1 + -C-R N 3 -P--C 2 -C C Struktura glicerofosfolipida koji sadrže serin u masi mozga, u organima rogate stoke, u semenu nekih uljarica Acetalfosfatidi viši masni aldehidi u enolnom obliku: palmitaldehid i stearaldehid Na + 3 N-C 2 -C 2 --P _ plazmalogen + _ Na N-C 2 -C 2 --P _ acetalfosfatid (dobijen sintetski) Struktura plazmalogena i njihov prelaz u acetalfosfatide 27

28 Inozit-fosfatidi -C-R 1 -C-R P Najjednostavniji inozit-fosfatid Sfingolipidi 5 4 C N 3 2 sfingozin 1 dihidrosfingozin + 3 N homolozi: C 16, C 17, C 19 i C 20 28

29 snovni molekul iz kog se izvode sfingolipidi ceramid R-C-N najčešće C 24 C-C=C-(C 2 ) 12 -C 3 C 2 -N-C C 2 --X Sfingolipidi (opšta formula) u tkivu mozga i nerava 29

30 N + -P--C 2 -C 2 -N(C 3 ) 3 sfingolipid (sfingomielin) 30

31 Cerebrozidi R-C-N galaktocerebrozid C 2 izolovani iz mozga nejonska komponenta membrana C 2 C 2 N-C-C 3 C 3 -C _ N C C gangliozid C 3 -(C 2 ) 16 -C-N C 2 C 2 glukoza galaktoza N-acetilgalaktozamin sialinska kiselina osnovne komponente ćelijskih površinskih membrana, u mozgu (6%) 31

32 Bioregulatori lipidnog porekla U bioregulatore lipidnog porekla spadaju prostaglandini, prostaciklini, tromboksani i leukotrieni, biološki veoma aktivne supstance poznate pod zajedničkim nazivom eikosanoidi sadrže u svojoj strukturi 20 C atoma, osnovni prekursor arahidonska kiselina (20:4) Masti kao rezervne materije Kao rezervne, masti se pojavljuju u dva oblika i to: rezervne materije jetre, i rezervne materije tkiva 32

33 Lipidno-proteinske strukture Retko u slobodnom obliku u ćelijama, osim kao rezervne materije bično sa proteinskim ili ugljenohidratnim komponentama molekula Dva osnovna tipa lipidno-proteinske strukture: biološke membrane i plazma lipoproteini Biološke membrane a) b) c) a) Lipidi sa jednim ostakom pri maksimalnom pakovanju grade sferne micele b) Ukoliko je broj molekula u miceli veći od optimalnog u sredini micele će se naći voda c) Takve micele se mogu smanjiti smanjem praznine u sredini micele, ali i takva elipsoidna micela sadrži u sredini vodu 33

34 Cilindrični van der Valsov omotač sila kod fosfolipida stvara micelu oblika diska (lipidni dvojni sloj) 34

35 Proteini koji ulaze u sastav membrana se dele na osnovu načina vezivanja za membranu: Integralni proteini su čvrsto vezani za membrane hidrofobnim silama i mogu se odvojiti samo dejstvom agenasa koji narušavaju strukturu membrane Za tu svrhu se koriste organski rastvarači, deterdženti i dr Neki integralni proteini vezuju lipide toliko čvrsto da se od njih mogu odvojiti samo denaturacijom Periferijski proteini se odvajaju od membrana pod relativno blagim uslovima koji ne narušavaju strukturu membrane, kao što je dejstvom koncentrovanog rastvora soli (npr 1 M NaCl) ili promenom p Periferijski proteini ne vezuju lipide i za površinu membrane se vezuju elektrostatičkim i vodoničnim vezama 35

36 Sve biološke membrane sadrže integralne proteine Integralni proteini se ili nalaze na jednoj strani membrane ili su postavljeni tako da prolaze kroz membranu (transmembranski proteini) Biološke membrane su asimetrične tako da su integralni proteini locirani u jednoj od površina membrane (spoljašnjoj ili unutrašnjoj) ili su kao u slučaju transmembranskih proteina orijentisani u jednom smeru Šematski prikaz plazmatične membrane 36

37 Šematski prikaz plazmatične membrane Difuzija Pasivni transport Difuzija kroz kanal Aktivni transport 37

38 Plazma lipoproteini acilglicerol + estar holesterola micela belančevine + fosfolipidi 38

39 Uloga frakcija plazma lipoproteina u transportu materija u organizmu je sledeća: hilomikron učestvuje u transportu masti apsorbovane u tankom crevu do jetre i adopoznih tkiva (egzogeni triacilglicerol), lipoprotein veoma male gustine učestvuje u transportu masti koja se sintetiše u jetri (endogeni triacilglicerol), lipoprotein male gustine učestvuje u transportu holesterola, uglavnom kao acil estar koji se sintetiše u jetri, i lipoprotein velike gustine učestvuje u transportu holesterola iz perifernih tkiva do jetre za kataboličke procese Terpeni Terpeni i terpenoidi predstavljaju najbrojniju grupu sekundarnih metabolita biljaka, koji se delimično javljaju i u tkivima životinja Terpenoidi su kiseonični derivati terpena Poseduju značajnu fiziološku aktivnost, nosioci su lekovitosti droga kao i nosioci mirisa 1887 godine Wallach ustanovio tzv "izoprensko pravilo" 3 C 2 C C 2 C C 2-metil-1,3-butadien (izopren) glava izoprenska jedinica terpena Strukturna formula izoprena rep 39

40 Terpeni C 3 C 2 C C 2 2 C C C 2 glava rep rep 3 C C 3 glava Strukturna formula citronelola 2 izoprenske jedinice sastojak ružinog ulja Terpeni glava glava rep rep Karakteristično povezivanje glava-rep kod terpena 40

41 Redosled povezivanja glava-rep kod kaučuka tj Redosled povezivanja rep-rep" kod skvalena ( rep-rep" kombinacija dva "glava-rep" trimera izoprena) Ružička pravilo o biosintezi terpena 2 C 3 CSCoA C 3 SCoA 2 C C 2 C C 2 mevalonska kiselina C 3 CC 2 CSCoA acetoacetil koenzim A masne kiseline C 3 C 3 DMAPP izomeraza P P 2 C C 3 P P IPP C 3 C 3 3 C P P GPP Nastajanje geranil-pirofosfata iz acetilkoenzima A 41

42 Steroidi Steroidi su organska jedinjenja biljnog ili životinjskog porekla, koja se zbog rastvorljivosti u tzv lipidnim rastvaračima (etar, benzen, hloroform, ugljentetrahlorid, i sl) ubrajaju po nekim klasifikacijama u grupu lipida Karakteristično je da sadrže tetraciklično jezgro ciklopentanoperhidrofenantrena Sam naziv steroidi (grč stereoς čvrst, stear loj) označava i poreklo i bližu karakteristiku -čvrstinu Steroidi A B 6 12 C D triterpeni, 6 izoprj -nemaju 3 metil grupe Tetraciklično jezgro ciklopentanoperhidrofenantrena ( estran ) Na C 10 i C 13 obično su vezane po jedna angularna ( iz ugla ) metil grupa, na C 3, C 11 i C 17 mogu se nalaziti funkcionalne grupe (- ili =), a na atomu C 17 je veoma često bočni niz 42

43 Steroidi Jezgro steroida je u suštini planarno, a način meñusobnog povezivanja (kondenzacije prstenova A/B/C/D) može dovesti do niza stereoizomernih jedinjenja: Prstenovi A/B, A/C i C/D mogu biti u cis ili trans položajima; Supstituenti na C3, C5, C8, C10, C13 i C17 cikličnog sistema mogu biti usmereni u prostoru ispod (α - supstituenti) ili iznad (β -supstituenti) ravni papira, pri čemu se α -supstituenti označavaju isprekidanom linijom ( ), a β -supstituenti punom linijom ( ) Supstituenti kod kojih konfiguracija u odnosu na jezgro nije odreñena niti poznata, se označavaju sa ξ (ksi), a ova veza se obeležava tačkastom linijom () Stereohemija steroida R R a) b) Sterodi 5α-serije a) konfiguraciona formula b) konformaciona formula 43

44 Stereohemija steroida R R a) b) Sterodi 5β-serije a) konfiguraciona formula b) konformaciona formula Steroidi imaju dvostruki značaj: sva jedinjenja ove grupe su biološki aktivna; i imaju različite, vitalne funkcije u živim organizmima * A * C * * B 21 * * * D * holesterol (holesterin) 2 8 =256 stereo-izomernih oblika teorijski u ljudskom organizmu ga ima g; veći deo holesterola krvne plazme (oko 75 %) u esterifikovanom obliku 44

LIPIDI. Definicija lipida

LIPIDI. Definicija lipida LIPIDI Definicija lipida Lipidi su materije biološkog porekla koje ulaze u sastav organizama biljaka i životinja, i u osnovi se karakterišu time: što su slabo rastvorni ili nerastvorni u vodi, a rastvorni

Διαβάστε περισσότερα

PODELA LIPIDA NE MOGU SE SAPONIFIKOVATI MOGU SE SAPONIFIKOVATI STEROIDI TERPENI PROSTI SLOŽENI MASTI I ULJA VITAMINI (A,D,E,K) FOSFOLIPIDI

PODELA LIPIDA NE MOGU SE SAPONIFIKOVATI MOGU SE SAPONIFIKOVATI STEROIDI TERPENI PROSTI SLOŽENI MASTI I ULJA VITAMINI (A,D,E,K) FOSFOLIPIDI LIPIDI ŠTA SU LIPIDI Pod nazivom lipidi podrazumeva se velika grupa raznorodnih jedinjenja, koja se nalaze u biljnim i životinjskim tkivima, nerastvotljiva u vodi a dobro rastvorljiva u nepolarnim organskim

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

o glikolipidi (glicero- i sfingoglikolipidi sadrže ostatke ugljenihhidrata (β-dglukoze,

o glikolipidi (glicero- i sfingoglikolipidi sadrže ostatke ugljenihhidrata (β-dglukoze, LIPIDI aziv potiče od grčke reči lipos, mast. Lipidi su biomolekuli koji se nalaze u biljnim i životinjskim tkivima; rastvorni su u nepolarnim organskim rastvaračima (hloroform, dietiletar, benzen, aceton),

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

ZADACI LIPIDI. Biohemija I Sarajevo,

ZADACI LIPIDI. Biohemija I Sarajevo, ZADACI Biohemija I Sarajevo, 14.12.2015. Definicija lipida. Kako se definicija lipida razlikuje u odnosu na definiciju npr. aminokiselina ili proteina? Definicija lipida. Kako se definicija lipida razlikuje

Διαβάστε περισσότερα

MASTI U HRANI I ISHRANI

MASTI U HRANI I ISHRANI MASTI U HRANI I ISHRANI Predavač: prof. dr Slañana Šobajić Liebig je 1842. godine utvrdio postojanje tri glavne grupe sastojaka živog sveta: proteina, ugljenih hidrata i masti MAKROMOLEKULE OSNOVNI HRANLJIVI

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

LIPIDI. Osnove biokemije Boris Mildner OSNOVNE KARAKTERISTIKE LIPIDA

LIPIDI. Osnove biokemije Boris Mildner OSNOVNE KARAKTERISTIKE LIPIDA LIPIDI Osnove biokemije Boris Mildner OSNOVNE KARAKTERISTIKE LIPIDA Lipidi su raznolika grupa spojeva kojima je jedino zajedničko svojstvo da su netopljivi u vodi a topljivi su u organskim otapalima. Masti

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

LIPIDI IN LIPIDNE MEMBRANE

LIPIDI IN LIPIDNE MEMBRANE LIPIDI IN LIPIDNE MEMBRANE Maščobne kisline Sestavljeni lipidi (mašč.kisline + alkohol) Triacilgliceroli Glicerofosfatidi Sfingolipidi Voski Enostavni lipidi (vsi so izoprenski derivati) Terpeni Steroidi

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

MASTI U HRANI I ISHRANI. Predavač: prof. dr Slađana Šobajić MAKROMOLEKULE OSNOVNI HRANLJIVI SASTOJCI MAKRONUTRIMENTI

MASTI U HRANI I ISHRANI. Predavač: prof. dr Slađana Šobajić MAKROMOLEKULE OSNOVNI HRANLJIVI SASTOJCI MAKRONUTRIMENTI MASTI U HRANI I ISHRANI Predavač: prof. dr Slađana Šobajić MAKROMOLEKULE OSNOVNI HRANLJIVI SASTOJCI MAKRONUTRIMENTI 1 Lipidos (grč.) = mastan Chevreul (XIX vek) otkrio buternu, valerijansku, kapronsku,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

REAKCIJE ELIMINACIJE

REAKCIJE ELIMINACIJE REAKIJE ELIMINAIJE 1 . DEIDROALOGENAIJA (-X) i DEIDRATAIJA (- 2 O) su najčešći tipovi eliminacionih reakcija X Y + X Y 2 Dehidrohalogenacija (-X) X strong base + " X " X = l, Br, I 3 E 2 Mehanizam Ova

Διαβάστε περισσότερα

Supstituisane k.k. Sinteza Aminokiseline Biodegradabilni polimeri Peptidi. Industrijska primena Aminokiseline Stočarstvo Hiralni katalizatori

Supstituisane k.k. Sinteza Aminokiseline Biodegradabilni polimeri Peptidi. Industrijska primena Aminokiseline Stočarstvo Hiralni katalizatori Supstituisane k.k. Značaj Sinteza Aminokiseline Biodegradabilni polimeri Peptidi Industrijska primena Aminokiseline Stočarstvo Hiralni katalizatori Hidroksikiseline Kozmetička industrija kreme Biološki

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

MASTI U HRANI I ISHRANI. Predavač: prof. dr Slađana Šobajić

MASTI U HRANI I ISHRANI. Predavač: prof. dr Slađana Šobajić p r o t e i n a, u g l j e n i h h i d r a t a i m a s t i MASTI U HRANI I ISHRANI Predavač: prof. dr Slađana Šobajić Liebig je 1842. godine utvrdio postojanje tri glavne grupe sastojaka ži v o g s v e

Διαβάστε περισσότερα

Masti 3/15/2016. Lipidi (masti) Osnovne funkcije masti (lipida) Elementarni sastav masti i skroba, %

Masti 3/15/2016. Lipidi (masti) Osnovne funkcije masti (lipida) Elementarni sastav masti i skroba, % Lipidi (masti) Masti grupa materija koja se međusobno može bitno razlikovati u pogledu hemijskih svojstava, ali za sve je zajedničko rastvaranje u organskim rastvaračima (etar, CCl 3, hloroformu, aceton)

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

ОРГАНСКA ХЕМИЈA ХАЛОГЕНАЛКАНИ

ОРГАНСКA ХЕМИЈA ХАЛОГЕНАЛКАНИ ОРГАНСКA ХЕМИЈA Предавања ХАЛОГЕНАЛКАНИ Др Весна Антић, ванредни професор Др Малиша Антић, ванредни професор Halogenalkani - alkilhalogenidi- Halogenalkani su jedinjenja opšte formule R-X, gde je X atom

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

BIOFIZIKA BIOFIZIČKE OSOBINE ĆELIJSKE MEMBRANE. Aleksandar Tomić maj 2007

BIOFIZIKA BIOFIZIČKE OSOBINE ĆELIJSKE MEMBRANE. Aleksandar Tomić maj 2007 BIOFIZIKA BIOFIZIČKE OSOBINE ĆELIJSKE MEMBRANE Aleksandar Tomić maj 2007 O čemu je reč? STRUKTURA I GRADIVNI ELEMENTI ĆELIJSKE MEMBRANE BIOFIZIČKE KARAKTERISTIKE MEMBRANE IZVEDENE IZ STRUKTURE MEMBRANE

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

STVARANJE VEZE C-C POMO]U ORGANOBORANA

STVARANJE VEZE C-C POMO]U ORGANOBORANA STVAAJE VEZE C-C PM]U GAAA 2 6 rojne i raznovrsne reakcije * idroborovanje alkena i reakcije alkil-borana 3, Et 2 (ili TF ili diglim) Ar δ δ 2 2 3 * cis-adicija "suprotno" Markovnikov-ljevom pravilu *

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Ο H C C H HC5 3CH \ / \ 4 /

Ο H C C H HC5 3CH \ / \ 4 / 1 RUDARSKI ODSEK-Eksploatacija tečnih i gasovitih mineralnih sirovina i gasna tehnika PREDMET: EMIJA I PRERADA NAFTE I GASA (za studente VI semestra) Prof. dr Slobodanka Marinković (21.3.2008) AROMATIČNI

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Uloga lipida u organizmu

Uloga lipida u organizmu Metabolizma lipida Uloga lipida u organizmu LIPIDI Depo energije Strukturni elementi Specijalne funkcije Trigliceridi Fosfolipidi Steroidni hormoni Glikolipidi Prostaglandini Holesterol Vitamini A, D,

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

MEĐUMOLEKULSKE SILE JON-DIPOL DIPOL VODONIČNE NE VEZE DIPOL DIPOL-DIPOL DIPOL-INDUKOVANI INDUKOVANI JON-INDUKOVANI DISPERZNE SILE

MEĐUMOLEKULSKE SILE JON-DIPOL DIPOL VODONIČNE NE VEZE DIPOL DIPOL-DIPOL DIPOL-INDUKOVANI INDUKOVANI JON-INDUKOVANI DISPERZNE SILE MEĐUMLEKULSKE SILE JN-DIPL VDNIČNE NE VEZE DIPL-DIPL JN-INDUKVANI DIPL DIPL-INDUKVANI INDUKVANI DIPL DISPERZNE SILE MEĐUMLEKULSKE SILE jake JNSKA VEZA (metal-nemetal) KVALENTNA VEZA (nemetal-nemetal) METALNA

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Ispitna pitanja za teorijski deo ispita. Pitanja iz neorganske hemije

Ispitna pitanja za teorijski deo ispita. Pitanja iz neorganske hemije Ispitna pitanja za teorijski deo ispita Pitanja iz neorganske hemije 1. Struktura atoma. Protoni, neutroni i elektroni. Atomske i molekulske mase.izotopi. 2. Elektronska konfiguracija. Atomske s, p i d

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Kiselo bazni indikatori

Kiselo bazni indikatori Kiselo bazni indikatori Slabe kiseline ili baze koje imaju različite boje nejonizovanog i jonizovanog oblika u rastvoru Primer: slaba kiselina HIn(aq) H + (aq) + In (aq) nejonizovani oblik jonizovani oblik

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

CILJNA MESTA DEJSTVA LEKOVA

CILJNA MESTA DEJSTVA LEKOVA FARMACEUTSKA HEMIJA 1 CILJNA MESTA DEJSTVA LEKVA Predavač: Prof. dr Slavica Erić Ciljna mesta dejstva leka CILJNA MESTA NA MLEKULARNM NIVU: lipidi (lipidi ćelijske membrane) ugljeni hidrati (obeleživači

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Prirodno-matematički fakultet Društvo matematičara I fizičara Crne Gore

Prirodno-matematički fakultet Društvo matematičara I fizičara Crne Gore Prirodno-matematički fakultet Društvo matematičara I fizičara Crne Gore OLIMPIJADA ZNANJA 2018. Rješenja zadataka iz HEMIJE za IX razred osnovne škole 1. Koju zapreminu, pri standardnim uslovima, zauzimaju

Διαβάστε περισσότερα

Biohemijski i mikrobiološki principi I DEO

Biohemijski i mikrobiološki principi I DEO Biohemijski i mikrobiološki principi I DEO Prof.dr Danijela Kojić uvod biomolekuli ugljeni hidrati aminokiseline i proteini lipidi nukleinske kiseline enzimi i regulacija enzimske aktivnosti bioenergetika

Διαβάστε περισσότερα

ZNAČAJ I ULOGA HRANE U ORGANIZMU

ZNAČAJ I ULOGA HRANE U ORGANIZMU 13.2.2018 ZNAČAJ I ULOGA HRANE U ORGANIZMU 1 Hranom se nazivaju sve materije biljnog, životinjskog i mineralnog porekla, koje služe za odvijanje odredjenih funkcija u čovečijem organizmu (fizički i umni

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

UGLJOVODONICI. Organska jedinjenja koja sadrže samo ugljenik i vodonik (C i H)

UGLJOVODONICI. Organska jedinjenja koja sadrže samo ugljenik i vodonik (C i H) UGLJOVODONICI Organska jedinjenja koja sadrže samo ugljenik i vodonik (C i ) PODELA UGLJOVODONIKA emijske osobine ugljovodonika Ugljovodonici Veze u molekulu emijska reaktivnost Vrsta hem. reakcija Zasićeni

Διαβάστε περισσότερα

A L D O L N A R E A K C I J A

A L D O L N A R E A K C I J A A L D L A E A K C I J A * U PTI^IM USLVIMA * Katalizovane bazama * Katalizovane kiselinama * U APTI^IM USLVIMA (eakcije preformiranih enolata ili dirigovane adicije) * U baznim uslovima * U kiselim uslovima

Διαβάστε περισσότερα

VODA ELEKTROLITI I ACIDO-BAZNA RAVNOTEŽA...

VODA ELEKTROLITI I ACIDO-BAZNA RAVNOTEŽA... SADRŽAJ UVOD 1 1. BIOHEMIJA ĆELIJE... 1-1 1.1 UVOD... 1-2 1.2 ĆELIJA KAO OSNOVNA ŽIVA JEDINICA TELA... 1-2 1.3 VANĆELIJSKA TEČNOST UNUTRAŠNJA OKOLINA... 1-2 1.4 BIOELEMENTI I BIOMOLEKULI... 1-3 1.5 ĆELIJA

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα