Geometrija 4. Srdjan Vukmirovi. februar Matemati ki fakultet, Beograd
|
|
- Αδώνια Αλεξιάδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Geometrija 4 Srdjan Vukmirovi Matemati ki fakultet, Beograd februar 2015.
2 Sadrºaj 1 Ana geometrija (ponavljanje) 2 Projektivna ravan Realna projektivna ravan RP 2 Realna projektivna prava RP 1 Trotemenik i Dezargova teorema Dvorazmera 3 Projektivna preslikavanja Denicija i osobine Ana preslikavanja Grupe preslikavanja 4 Homologije Denicija i osobine Homologije u pro²irenoj anoj ravni
3 Ana geometrija ravni R 2 Koordinatni sistem (reper) Oxy. Koordinate ta ke M(x, y). Prava je odredjena sa dve ta ke. Jedna ina prave ax + by + c = 0. Dve prave u ravni se seku ili su paralelne. Kriva drugog reda je skup ta aka koje zadovoljavaju jedna inu: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0. (1) U prostoru je ravan zadata jedna inom ax + by + cz + d = 0 i odredjena je sa tri ta ke. Dve ravni su ili paralelne, ili se seku po pravoj.
4 Ana preslikavanja ravni Denicija Ano preslikavanje ta ku M(x, y) preslikava u ta ku M(x, y ): ( x y ) ( a11 a = 12 a 21 a 22 ) ( x y ) ( b1 + b 2 ) (2) gde je det(a ij ) 0. Kolone matrice A = (a ij ) su koordinate slika baznih vektora, a O (b 1, b 2 ) slika koordinatnog po etka. Osobine anih preslikavanja: bijekcije su; uvaju kolinearnost, konkurentnost, paralelnost, razmeru; mogu da preslikaju trougao u proizvoljan trougao (dokaz).
5 Primer Odrediti formule anog preslikavanja f koje ta ke A 0 (0, 0), B 0 (1, 0), C 0 (0, 1) slika redom u ta ke A(1, 2), B(2, 4), C(3, 3).
6 Homogene koordinate u anoj ravni Denicija Homogene koordinate ta ke M(x, y) ane ravni R 2 su ma koja trojka (x 1 : x 2 : x 3 ) takva da vaºi: x = x 1 x 3, y = x 2 x 3, x 3 0. Vektor M = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 je vektor predstavnik ta ke M. Prava p : ax + by + c = 0 u homogenim koordinatama postaje p : ax 1 + bx 2 + cx 3 = 0. Trojka [a : b : c] predstavlja homogene koordinate prave p. Denicija Prava p : x 3 = 0 naziva se beskona no daleka prava, a svaka ta ka B (x 1 : x 2 : 0), koja joj pripada, beskona no daleka ta ka.
7 Ana ravan dopunjena ta kama beskona no daleke prave x 3 = 0 naziva se dopunjena ili pro²irena ana ravan i ozna ava sa R 2. Paralelne prave ane ravni se seku u beskona no dalekoj ta ki dopunjene ane ravni. Primer Odrediti presek pravih a : 2x 5y + 6 = 0, b : 2x 5y + 7 = 0 u i) anoj ravni; ii) dopunjenoj anoj ravni. Svaka prava dopunjene ane ravni ima jedinstvenu beskona no daleku ta ku i to je njen presek sa pravom x 3 = 0. Primer Odrediti beskona no daleku ta ku prave q : x + 4y 1 = 0.
8 Denicija Realna projektivna ravan je skup ta aka RP 2 := {(x 1 : x 2 : x 3 )}, pri emu ne mogu sve tri homogene koordinate biti jednake nuli. Moºemo identikovati RP 2 sa pro²irenom anom ravni. RP 2 := {(x 1 : x 2 : x 3 )} = {(x 1 : x 2 : x 3 ) x 3 0} {(x 1 : x 2 : 0)} = = {( x 1 x 3 : x 2 x 3 : 1)} {(x 1 : x 2 : 0)} = R 2 p = R 2. Geometrijski moºemo videti realnu projektivnu ravan kao skup (tzv. snop) pravih u R 3.
9 Sve prave realne projektivne ravni ine projektivnu ravan RP 2 := {[x 1 : x 2 : x 3 ]}. koja se zove dualna projektivna ravan pravih. Geometrijski je moºemo videti kao skup svih ravni u prostoru R 3 kroz koordinatni po etak. Homogene koordinate prave p = AB se dobijaju vektorskim proizvodom p = A B. Primer Odrediti jedna inu prave p = AB, ako je A(1, 2, 3), B(0, 1, 2). U projektivnoj ravni se svake dve prave seku! Homogene koordinate prese ne ta ke {P} = a b se dobijaju vektorskim proizvodom P = a b. Primer (za doma i) Odrediti presek P pravih a : 3x 1 + 2x 2 4x 3 = 0 i b : 3x 1 + 2x 2 4x 3 = 0.
10 Iskaz I dobijen zamenom re i ta ka i prava, odnosno pripada i sadrºi u nekom iskazu I naziva se dualan iskaz. Upravo iz ovog razloga, ponekad se obe re i: pripada i sadrºi, menjaju sa re i je incidentno. I : Postoji jedinstvena prava p koja sadrºi ta ke A i B. I : Postoji jedinstvena ta ka P koja pripada pravama a i b. Teorema (Princip dualnosti u ravni) Ako je iskaz I teorema projektivne ravni, tada je i njemu dualan iskaz teorema projektivne ravni. Dokaz: Videli smo da nema su²tinske razlike izmedju projektivnog prostora ta aka i pravih (osim oblika zagrada i na ina ozna avanja). Presk pravih se traºi na isti na in kao i spoj ta aka. Vide emo razne dualne denicije: dvorazmera ta aka i dvorazmera pravih; trotemenik i trostranik; kriva drugog reda i druge klase...
11 Realna projektivna prava Primetimo da ta ka C pripada pravoj p = AB ako vaºi C = α A + β B, (3) za neke brojeve α, β R koji nisu istovremeno nula. Primetimo da λ C = λα A + λβ B, λ 0 predstavlja ista ta ku. Zato su (α : β) homogene koordinate na pravoj p. Svaka prava projektivne ravni je tzv. realna projektivna prava RP 1 koju dobijamo dodavanjem beskona no daleke ta ke P anoj pravoj R: p = RP 1 = {(α : β)} = {( α β : 1)} {(1 : 0)} = R {P }.
12 Iz relacije (3) dobijamo da je model projektivne prave KRUG: 1 α2 + β 2 C = α α2 + β 2 A + β B = cos φa + sin φb. α2 + β2 Dakle, raspored ta aka na projektivnoj pravoj je kao na krugu, pa ne postoji relacija izmedju, ve relacija razdvojenosti parova ta aka. Kaºemo da par ta ka A, B razdvaja par ta aka C, D (A, B C, D). Dve ta ke A, B razbijaju pravu AB na dve projektivne duºi - onu koja sadrºi ta ku C i onu koja sadrºi D.
13 Trotemenik, etvorotemenik,... Tri prave koje nisu konkurentne razbijaju projektivnu ravan na 4 oblasti! Zato ne govorimo o trouglu, ve o trotemeniku. Denicija Trotemenik ABC je gura projektivne ravni koja se sastoji od tri nekolinearne ta ke A, B, C i tri prave AB, BC, CA njima odredjene. Denicija ƒetvorotemenik ABCD je gura projektivne ravni koja se sastoji od etiri ta ke od kojih nikoje tri nisu kolinearne i ²est pravih odredjenih tim ta kama (te prave se zovu ivice etvorotemenika). Dijagonalne ta ke etvorotemenika su preseci "nesusednih" ivica P = AB CD, Q = AC BD, R = AD BC. Za etiri ta ke od kojih nikoje tri nisu kolinearne kaºemo da su u op²tem poloºaju.
14 Dvorazmera Denicija Neka su A, B, C, D kolinearne ta ke i vaºi: C = α A + β B, D = γ A + δ B. (4) Dvorazmera ta aka A, B, C i D je broj (A, B, C, D) := β α : δ γ. (5) Denicija je "dobra" - ne zavisi od izbora vektora predstavnika. Primer A(1 : 0 : 0), B(0 : 1 : 2), C(1 : 2 : 4), D( 1 : 1 : 2). Izra unati (A, B, C, D). Dvorazmera (a, b, c, d) pravih se deni²e dualno.
15 Osobine dvorazmere: a) (A, B, C, D) = (B, A, C, D) 1 Dokaz: Ako zamenimo uloge ta kama A i B u formuli (6) tada brojevi α i β, odnosno γ i δ menjaju uloge, pa se dobija traºeno tvrdjenje. b) (A, B, C, D) = (C, D, A, B). Dokaz: Relaciju (6) moºemo zapisati matri no sa: ( C D ) ( α β = γ δ ) ( A B ). Oznake vektora smo izostavili radi jednostavnosti zapisa. ta je objekat na levoj strani prethodne formule? Odatle, nalaºenjem inverzne matrice dobijamo: ) ( δ β ( A B = 1 γ α ) ( C D ), = αδ βγ.
16 To zna i da je: δ β A = C + D, B = γ α C + D. (6) (C, D, A, B) = β δ : α γ = β α : δ γ = (A, B, C, D). (7) c) Za razli ite ta ke vaºi (A, B, C, D) 0, 1. (za doma i) d) Ako su date ta ke A, B i C i broj µ 0, 1 tada postoji jedinstvena ta ka D takva da vaºi (A, B, C, D) = µ. (za doma i, na primeru) Denicija Parovi ta aka A, B i C, D su harmonijski konjugovani (pi²emo H(A, B; C, D)) ako (A, B, C, D) = 1.
17 Zato je (A, B, C, D) = β : δ = (a, b, c, d). Teorema Ako su a, b, c, d konkurentne prave i A a, B b, C c, D d kolinearne ta ke. Tada je (A, B, C, D) = (a, b, c, d). Dokaz: Po deniciji vaºi: (a, b, c, d) := β α : δ γ c = α a + β b, d = γ a + δ b. Pretpostavimo da A, B, C, D p. Da bi odredili ta ke A, B, C, D traºimo preseke sa pravom p: c p = α( a p ) + β( b p ) d p = γ( a p ) + δ( b p ), tj. C = α A + β B, D = γ A + δ B.
18 Posledica prethodne teoreme je: dvorazmera je invarijanta centralnog projektovanja. Teorema Ano posmatrano, dvorazmera je odnos dve razmere: (A, B, C, D) = AC CB : AD DB. Primer: Dokaz: Po²to su sve ta ke kona ne, tj. x 3 0, odaberimo vektore predstavnike svih ta aka tako da im tre a koordinata bude jednaka jedan. Tada iz relacije C = α A + β B, sledi α + β = 1. AC CB = C A A(α 1) + βb A) = =β(b B C αa + (1 β)b α(b A) = β α. Sli no je za drugu razmeru, pa dobijamo traºeno tvrdjenje.
19 Posledica Sredi²te duºi je konjugovano sa beskona no dalekom ta kom. Na perspektivnim crteºima dvorazmera je vaºna invarijanta. Primedba Primetimo da se razdvojenost parova ta aka moºe formalno uvesti uz pomo dvorazmere. Naime A, B C, D (A, B, C, D) < 0. Ova denicija se poklapa razdvojenosti ta aka na krugu, koju moºemo uvesti aksiomatski (ili posmatrati intuitivno).
20 Projektivna preslikavanja ravni RP 2 Denicija Projektivno preslikavanje je ono koje preslikava ta ku M(x 1 : x 2 : x 3 ) u ta ku M (x 1 : x 2 : x 3 ) formulama λ x 1 x 2 x 3 = p 11 p 12 p 13 p 21 p 22 p 23 p 31 p 32 p 33 x 1 x 2 x 3, det(p ij ) 0. (8) Broj λ 0 sugeri²e da su u pitanju homogene koordinate. Projektivno preslikavanje je indukovano linearnim preslikavanjem vektorskog prostora R 3. Preslikavanje (8) kra e zapisujemo λx = Px, (9)
21 a njemu inverzno preslikavanje sa λx = Cx, gde je C = P 1. (10) Matrice P i λp predstavljaju isto preslikavanje. Kompoziciji preslikavanja odgovara mnoºenje matrica, a inverznom preslikavanju inverzna matrica. Projektivna preslikavanje ine projektivnu grupu PGl 3 (R). Ta grupa je osmodimenziona (opisana sa 8 parametara). Projektivno preslikavanje slika uva kolinearnost i konkurentost. Ovo sledi iz toga ²to su kolinearne ta ke predstavljene linearno zavisnim (LZ) vektorima, a linearno preslikavanje LZ vektore slika u LZ vektore.
22 Osnovna teorema Projektivne geometrije Teorema Postoji jedinstveno projektivno preslikavanje ravni RP 2 koje etiri ta ke A, B, C, D u op²tem poloºaju slika redom u ta ke A, B, C, D, u op²tem poloºaju. Dokaz: Posmatramo bazne ta ke A 0, B 0, C 0, D 0, gde je A 0 (1 : 0 : 0), B 0 (0 : 1 : 0), C 0 (0 : 0 : 1), D 0 (1 : 1 : 1). Pokaºimo da postoji jedinstveno projektivno f : A 0, B 0, C 0, D 0 A, B, C, D. Kako su ta ke A, B, C nekolinearne, odgovaraju i vektori koordinata su nezavisni, pa je vektor D mogu e izraziti u obliku D = λ1 A + λ2 B + λ3 C, gde ni jedan od brojeva λ 1, λ 2, λ 3 nije nula. Ako je, recimo, λ 1 = 0, tada bi ta ke B, C, D bile kolinearne, suprotno pretpostavci. Neka je P matrica ije su kolone redom λ 1 A, λ2 B i λ3 C. Preslikavanje f zadato sa λx = Px je traºeno preslikavanje. Za²to?
23 Matica P je do na mnoºenje skalarom jedinstvena (po deniciji matrice linearnog preslikavanja), pa je f jedinstveno. Na sli an na in se dobija preslikavanje g koje slika A 0, B 0, C 0, D 0 u A, B, C, D, pa je projektivno preslikavanje g f 1 jedinstveno preslikavanje iz tvrdjenja teoreme. Primer Odrediti projektivno preslikavanje ravni koje ta ke A 0, B 0, C 0, D 0 slia u A(1 : 2 : 3), B(3 : 2 : 1), C(0 : 1 : 1), D(7 : 11 : 10). Projektivno preslikavanje ravni sa 4 ksne ta ke u op²tem poloºaju je identitet. Primer a) Pravougaonik i trapez su projektivno ekvivalentni u R 2. b) Dijagonalne ta ke etvorotemenika su medjusobno projektivno ekvivalentne. Projektivna preslikavanje ne uvaju razmeru ni paralelnost.
24 Teorema Projektivna preslikavanja uvaju dvorazmeru. Dokaz: Neka za slike A, B, C, D ta aka A, B, C, D vaºi C = α A + β B, D = γ A + δ B. Primenom formula preslikavanja (9) na te relacije dobijamo P C = αp A + βp B, P D = γp A + δp B. Nakon mnoºenja matricom P 1 sleva, dobijamo C = α A + β B, D = γ A + δ B odakle je (A, B, C, D) = β α : δ γ = (A, B, C, D ).
25 Posledica Ako su tri ta ke neke prave p ksne pri projektivnom preslikavanju, svaka ta ka prave p je ksna. Ako su tri prave koje sadrºe ta ku P ksne pri projektivnom preslikavanju, svaka prava kroz P je ksna.
26 Teorema Parovi ta aka P, Q i R, S su harmonijski konjugovani ako i samo ako postoji etvorotemenik ABCD takav da su P i Q njegove dijagonalne ta ke, a R i S preseci prave PQ sa ivicama etvorotemenika kroz tre u dijagonalnu ta ku. Dokaz: ( = ) Pretpostavimo da takav etvorotemenik ABCD postoji i dokaºimo da su ta ke P, Q, R i S harmonijski konjugovane. Moºemo pretpostaviti da etvorotemenik ima kanonske koordinate: A(1 : 0 : 0), B(0 : 1 : 0), C(0 : 0 : 1), D(1 : 1 : 1). Direktnim ra unom dobijamo P = AD BC = (0 : 1 : 1), Q = AB DC = (1 : 1 : 0), PQ = [1 : 1 : 1], R = BD AC = (1 : 2 : 1), R = 1 P + 1 Q, S = AC PQ = (1 : 0 : 1). R = 1 P + 1 Q odakle je (P, Q, R, S) = 1, tj. H(P, Q, R, S).
27 (= ) Pretpostavimo da vaºi H(P, Q, R, S). Konstrui²imo traºeni etvorotemenik. Neka su p 1, p 2 P i q 1 Q proizvoljne prave.ozna imo A = p 1 q 1, C = AS p 2, D = QC p 1, B = p 2 q 1. Dokaºimo da je ABCD traºeni etvorotemenik. Po konstrukciji su P i Q dijagonalne ta ke. Po konstrukciji je S = PQ AC. Da li je R = PQ DB? Neka je R = PQ DB. Na osnovu dokazanog smera vaºi H(P, Q, R, S). Po pretpostavci vaºi H(P, Q, R, S). Zbog jedinstvenosti etvrte harmonijske ta ke R = R = PQ DB. Dakle, postoji traºeni etvorotemenik ABCD. Primer Neka je ABCD trapez (AB CD), ne obavezno jednakokraki. Neka je P = AD BC, Q = BD AC, E = AB PQ, F = CD PQ. Dokazati: a) H(P, Q, E, F ); b) F = S(DC), E = S(AB).
28 Ana i projektivna preslikavanja Ano preslikavanje (2) nakon prelaska u homogene koordinate postaje x 1 a 11 a 12 b 1 x 1 λ x 2 = a 21 a 22 b 2 x 2. (11) x x 3 Matricu tog preslikavanja ozna avamo sa A b. Vidimo da je ano preslikavanje specijalan slu aj projektivnog preslikavanja pro²irene ane ravni R 2. Teorema Grupa anih preslikavanja je izomorfna podgrupi projektivnih preslikavanja ravni R 2 koje uvaju beskona no daleku pravu p.
29 Dokaz: Projektivno preslikavanje λx = Px uva beskona no daleku pravu, ako i samo ako vaºi λ p 11 p 12 p 13 p 21 p 22 p 23 p 31 p 32 p 33 x 1 x 2 0 = za svako x 1, x 2 R. Drugim re ima, slika proizvoljne beskona no daleke ta ke B (x 1 : x 2 : 0) p je beskona no daleka ta ka B (x 1 : x 2 : 0) p. To ne daje nikakav uslov za prve dve vrste matrice P, a za tre u vrstu dobijamo x 1 x 2 0 p 31 x 1 + p 32 x 2 = 0, za svako x 1, x 2 R. Dakle, uslov da se uva beskona no daleka prava je ekvivalentan sa p 31 = 0 = p 32, p Kako matrice P i λp predstavljaju isto preslikavanje moºemo pretpostaviti da je p 33 = 1, odakle sledi tvrdjenje.
30 to je grupa ve a, to ona razlikuje manji broj objekata. Tako, projektivna grupa ne razlikuje elipsu, hiperbolu i parabolu. Ve a grupa ima manje invarijanti. Recimo, izometrije uvaju duºine (a time i razmeru i dvorazmeru). Ana preslikavanja uvaju razmeru (a time i dvorazmeru), a projektivna samo dvorazmeru. grupa matrica ekvivalentni objekti invarijante projektivna PGl 2 (R) ana Aff 2 (R) konformna Con 2 (R) izometrije Isom 2 (R) p 11 p 12 p 13 p 21 p 22 p 23 p 31 p 32 p 33 a 11 a 12 v 1 a 21 a 22 v s cos φ s sin φ s sin φ ±s cos φ v 1 v cos φ sin φ sin φ ± cos φ v 1 v svi etvorouglovi, ovalne krive 2. reda svi trouglovi, svi paralelogrami, sve elipse, sve hiperbole sli ni trouglovi, svi krugovi, sve parabole podudarni trouglovi konkurentnost, kolinearnost, dvorazmera, tangentnost, unutra²njost krive 2. reda paralelnost, razmera, odnos povr²ina, bekona no daleka prava, konjugovani dijametri uglovi, odnos duºina duºine, povr²ina
31 Homologije Denicija Ta ka S je centar projektivnog preslikavanja f ako je svaka prava kroz S ksna, tj. f (a) = a, a S. Osa preslikavanja se deni²e dualno. Dakle, prava s je osa projektivnog preslikavanja f ako je svaka ta ka prave s ksna, tj. f (A) = A, A s. Denicija Projektivno preslikavanje koje ima osu i centar zove se homologija. Homologija je odredjena sa centrom S, osom s i parom odgovaraju ih ta aka M, M. (dokaz)
32 Teorema Projektivno preslikavanje ima osu ako i samo ako ima centar. Dokaz: (= ) Neka f ima osu s. Neka je M s ta ka takva da M = f (M) M. Ozna imo MM s = X. f (MM ) = f (MX ) = f (M)f (X ) = M X = MM, pa je prava MM ksna. Na sli an na in postoji jo² jedna ksna prava NN. Neka je S = NN MM. f (S) = f (NN MM ) = f (NN ) f (MM ) = NN MM = S. Dokaºimo da je ta ka S centar. 1. slu aj) Ako S s, tada je svaka prava kroz S ksna jer ima dve ksne ta ke - tav cku S i presek sa osom. 2. slu aj) Ako S s, tada su s, MM, NN prave koje sadrºe S i ksne su. Zbog uvanja dvorazmere pravih, svaka prava kroz S je ksna (vidi Posledicu). ( =) Sledi iz dualnosti ose i centra.
33 Posmatrajmo sada homologiju f sa osom s i centrom S u pro²irenoj anoj ravni R 2 = R 2 p. Primetimo: i f 1 je homologija i ima istu osu i centar kao f. Protivosa u je prava koja se slika u beskona no daleku pravu, tj. f (u) = p. Horizont v je prava koja je slika beskona no daleke prave, tj. f (p ) = v. Primetimo da je v protivosa preslikavanja f 1. Lema Za homologiju u pro²irenoj anoj ravni vaºi Dokaz: Neka je s u = A. u s v. A s f (A) = A, A u f (A) p. Dakle, A p, pa se prave s i u seku beskona no daleko, tj. s u. v je protivosa preslikavanja f 1 koje ima istu osu s s v.
34 Ane homologije Lema Jedine ksne prave homologije f su osa s i prave kroz centar S. Dokaz: Pretpostavimo suprotno, da je prava p ksna (f (p) = p), a da nije jedna od navedenih. Neka su m, n S, dve prave koje sadrºe centar i m, n s. Njihovi preseci M, N sa p su ksne ta ke preslikavanja f. Po²to na osi s postoje jo² bar dve ksne ta ke S 1, S, preslikavanje f ima 4 ksne ta ke u op²tem poloºaju. Zato je f identitet. Ova kontradikcija dokazuje tvrdjenje. Teorema Neka je preslikavanje f homologija. Ono je ano ako i samo ako S p ili s = p. Dokaz: Podsetimo se da je projektivo preslikavanje f ano ako i samo ako f (p ) = p, tj. prava p je ksna. Ako je f i homologija tada je na osnovu Leme sledi tvrdjenje.
35 Kako izgledaju ane homologije? S p, s p (centar beskona an, osa kona na) Zraci anosti MM, NN... sadrºe S (paralelni su), a odgovaraju e prave MN i M N se seku na osi. Ovo preslikavanje zovemo anost. s = p, S p (centar kona an, osa beskona na) Odgovaraju e prave MN, M N se seku na osi s = p, pa je MN M N. Zato je SMN SM N za ma koje M i N. Preslikavanje je homotetija sa centrom S i koecientom λ = SM / SM. s = p, S p (i osa i centar beskona ni) MN M N s = p, pa je MN M N ; MM NN = S p, pa je MM NN. Dakle MM = NN, tj. preslikavanje je translacija za vektor MM.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραPROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP
PROJEKTIVNA GEOMETRIJA oktobar 2010. godine ANALITIČKI PRISTUP Homogene koordinate i dvorazmera 1. Tačke 0, i 1 afinog sistema koordinata uzete su redom za bazne tačke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i jedinicu
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar)
Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar) Srdjan Vukmirović August 19, 2003 Aksiome projektivne geometrije P1 Za ma koje 2 tačke A i B postoji tačno jedna prava a = AB kojoj pripadaju tačke A i B.
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Geometrije 4
Zadaci iz Geometrije 4 - za rad na vežbama - 3. maj 2017. 1 Stereometrija 1. Data je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ivice a. Dokazati da je tetraedar ACB 1 D 1 pravilan i odrediti mu dužinu ivice. 2. Dat je
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραVEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je
VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραTeorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Διαβάστε περισσότεραSadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3. 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4
Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 5 Ispitivanje jedna ina drugog reda u R 2 5 5.1 Krive sa centrom.........................
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραAko prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
Διαβάστε περισσότεραSli cnost trouglova i Talesova teorema
Sli cnost trouglova i Talesova teorema Denicija. Dva trougla ABC i A B C su sli cna ako su im sva tri ugla redom podudarna a i ako su im odgovaraju ce stranice proporcionalne tj. a = b b = c c. Stav 1.
Διαβάστε περισσότερα10 Afina preslikavanja ravni
0 Afina preslikavanja ravni 0 Definicija i osobinea afinih preslikavanja Reč afini označava da se pojam odnosi na prostor tačaka koji je vezan za odgovarajući vektorski prostor Intuitivno, afino preslikavanja
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραSadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3
Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 4.1 Ravan u prostoru......................... 5 4.2 Udaljenost ta
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραProjektivna geometrija
Projektivna geometrija Autor: Vladica Andreji Zbirka zadataka baziranih na veжbama drжanih sezone 2004/05 Analitiqki pristup. Osnovna teorema, dvorazmera 27. mart 2005. Zadatak. Taqke 0, i afinog sistema
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραO trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš
O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA ZADATAKA IZ PROJEKTIVNE GEOMETRIJE sa primenama u raqunarskoj grafici
SR AN VUKMIROVI ZORAN STANI ZBIRKA ZADATAKA IZ PROJEKTIVNE GEOMETRIJE sa primenama u raqunarskoj grafici Matematiqki fakultet, Beograd, 2003 Autori: dr Srđan Vukmirovi, Zoran Stani ZBIRKA ZADATAKA IZ PROJEKTIVNE
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra i geometrija
Univerzitet u Sarajevu Elektrotehni ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, septembar 2012. Sadrºaj Sadrºaj ii 1 Uvod 1 2 Matrice i determinante 2 3 Sistemi linearnih jedna ina 3
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραEUKLIDSKA GEOMETRIJA
EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραLEKCIJE IZ MATEMATIKE 1
LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 3 Zapis nekih transformacija ravnine i prostora - pojam matrice i linearnog operatora Lekcije i Matematike 1. 3. Zapis nekih transformacija ravnine i prostora
Διαβάστε περισσότεραVektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer.
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 1: Vektori i transformacije koordinata Tijana Xukilovi 2. oktobar 2017 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραSlika 9: Izometrijske transformacije koordinata. Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom
e 2 f 2 e 2 φ + π 2 Q f 1= f 1 φ e 1 O e 1 f 2 Slika 9: Izometrijske transformacije koordinata Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom Teorema 3.1 Formule transformacija koordinata ravni iz ortonormiranog
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραTEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar
TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god. 2018/19 Sadrºaj 1 Poloºaj krutog tela u prostoru
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραZbirka rešenih zadataka iz Matematike I
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραTEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar
TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραTEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar
TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.
Διαβάστε περισσότεραTAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija
18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότερα