Euklidska geometrija II (1. dio)
|
|
- ψυχή Τρικούπης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Akademska 2012/2013. (sveska je skinuta sa stranice pf.unze.ba\nabokov U svesci je mogu a pojava grešaka. Za uo ene greške pisati na infoarrt@gmail.com) Euklidska geometrija II (1. dio) Dodaci Dodatak A - Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije I 3 Dodatak B - Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II 57 Spisak aksioma 97 Euklidska ravan Sedmica br. 1 Ponavljanje gradiva iz EG I - Podudarnost trougla 100 Euklidski prostor Sedmica br. 2, 3 i 4 Aksioma paralelnosti 123 Elementarni zadaci 133 Razni zadaci 139 Izabrani zadaci za vježbu 145 Elementarni zadaci za vježbu 159 Euklidska ravan Sedmica br 5, 6, 7 i 8 Sli nost trouglova i Talesova teorema 173 Konstrukcija duži. Homotetija. Trigonometrija. Razni zadaci. 191 Sedmica br. 9, 10, 11 i 12 Konstruktivni zadaci (Konstrukcija trougla. Konstrukcija etverougla. Konstrukcija ta ke. Konstrukcija prave. Razni konstruktivni zadaci) 227 Sedmica br 13, 14 i 15 Apolonijev problem 273 Ispitni rokovi Nekoliko ispitnih rokova iz te 309
2 Elementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1 Računanje uglova u trouglu Trougao 1. Težišnica i visina iz vrha A u ABC djele ugao α na tri jednaka dijela. Koliki su uglovi trougla ABC. 2. Utrouglu ABC je ABC =2 BAC i težišna linija CM je normalna (ortogonalna) na BD ugla ABC. Odrediti uglove trougla ABC. 3. Dat je jednakokraki - pravougli trougao ABC s pravim uglom kod vrha C. Nad stranicom (katetom) BC konstruisan je jednakostranični trougao BCD (razlikovati dva slučaja, kad je tačka D sa one strane prave p(a, B) sa koje nije tačka C i kad je tačka D sa one strane prave p(b,c) sakojenije tačka A). Izračunati veličinu ugla ADB. 4. Na hipotenuzi AB pravouglog trougla ABC date su tačke M i N tako da je AM = AC, BN = BC i poredak A N M B. Izračunati ugao MCN. 5. Dat je jednakokraki trougao ABC (AC = BC). Na kraku AC odabrane su dvije tačke M i N tako da je ABM = CBN i MN = MB, pri čemu je tačka M bliža tački A nego tačka N. Koliki je ugao ABN? 6. Dat je jednakokraki trougao ABC sa osnovicom BC tako da je ugao BAC > 50. Na osnovici BC data je tačka M takva da je ugao BAM =50, a na kraku AC tačka N takva da je AM = AN. Koliki je ugao CMN. 7. U oštrouglom trouglu ABC (AC < BC) visina h c = CC i simetrala s = p(c, M) ugla γ zaklapaju ugao od 9, a simetrale spoljašnjih uglova kod tjemena A i B sijeku se pod uglom od 61. Odrediti uglove ABC. 8. Nacrtati trougao ABC, (β>α) i visinu h c iz vrha C. Tačku u kojoj visina h c iz vrha C siječe pravu AB označimo sa E. Produžimo stranicu BC preko vrha C, te konstruiši simetralu vanjskog ugla uz vrh C. Tačku u kojoj simetrala siječe pravu p(a, B) označi sa D. Akoje 1 2CD = CE, odrediti koliko je β α. 4. Neka je I centar upisanog kruga trougla ABC (AB<BC). Neka je k krug opisan oko trougla ABC itačkap središte luka AC (kojem ne pripada tačka B) kruga k. Dokazati da I pripada duži BP. 5. Dokazati da su dva trougla ABC i A B C podudarna ako je c = c, h c = h c i t c = t c,gdjesu h c i h c visine, a t c i t c težišnice trougla ABC i A B C redom na stranice c i c. 6. Iz jednog tjemena oštrouglog trougla konstruisana je visina, iz drugog simetrala ugla a iz trećeg težišna duž. Dokazati da trougao kojeg obrazuju njihove presječne tačke ne može biti jednkostraničan. 7. Dat je krug k sa centrom u tački S iprečnikomab (A, B k, S AB). Na krugu k odrediti tačku C tako da zbir duži AC + BC bude najveći. Odgovor obrazložiti. Paralelogram Četverougao 1. Definicija paralelograma: Paralelogram je četverougao ako i samo ako ima paralelne one stranice koje su suprotne jedna drugoj. Koristeći isključivo ovu definiciju, teoreme o podudarnosti trouglova i teoremu o podudarnosti uglova na transferzali dokazati sljedeću tvrdnju: Četverougao ABCD je paralelogram akko ima jedan par suprotnih stranica koje su istovremeno paralelne i podudarne. 2. Definicija paralelograma: Paralelogram je četverougao ako i samo ako ima paralelne one stranice koje su suprotne jedna drugoj. Koristeći isključivo ovu definiciju i teoreme o podudarnosti trouglova dokazati sljedeću tvrdnju: Četverougao ABCD je paralelogram akko ima podudarne suprotne stranice. 3. Definicija paralelograma: Paralelogram je četverougao akko ima paralelne one stranice koje su suprotne jedna drugoj. Koristeći isključivo ovu definiciju, teoreme o podudarnosti trouglova i teoremu o podudarnosti uglova na transferzali, dokazati sljedeću tvrdnju: Četverougao ABCD je paralelogram akko mu se dijagonale polove. 4. Koristeći isključivo formulu za površinu pravouglog trougla (P = a b 2, gdje su a i b katete) izvesti formulu za površinu paralelograma (P = a h, gdje je AB = a, a h udaljenost između stranica AB i CD). 5. Svaka prava koja sadrži presjek dijagonala paralelograma i siječe jednu stranicu, siječe i suprotnu stranicu. Njen odsječak je raspolovljen presječnom tačkom dijagonala. Dokazati. Dokazi u vezi trougla 1. Neka je I centar upisanog kruga ABC, (AB < BC), tačka S centar opisanog kruga k oko trougla ABC itačkam sredina stranice AC. AkosuP i N tačke dobijene presjekom prave p(m,s) ikrugak (gdje su tačke B i N sa jedne strane, a tačka P sa druge strane prave p(a, C)), dokazati da je BNI pravougli trougao. 2. Neka je I centar upisanog kruga trougla ABC (AB<BC), k krug opisan oko trougla ABC i tačka P presječna tačka poluprave pp[b,i) ikrugak. Dokazati da je AIP jednakokraki. 3. Postoji li trougao čije su dužine visina h a =2cm, h b =4cm i h c =6cm? Pravougaonik i kvadrat 1. Posmatrajmo površine devet različitih kvadrata P 11,P 12,P 13,P 21,P 22,P 23,P 31,P 32 i P 33. Za ove površine znamo da vrijedi jednakost P 11 + P 12 + P 13 = P 21 + P 22 + P 23 = P 31 + P 32 + P 33 = P 11 + P 21 + P 31 = P 12 + P 22 + P 32 = P 13 + P 23 + P 33 = P 11 + P 22 + P 33 = P 13 + P 22 + P 31. Ako su P 12 =21, P 13 =14,P 23 =19iP 31 =20, diskutovati da li se mogu odrediti površine P 11,P 22 i P Zadan je kvadrat ABCD dužine stranice 1 dm. Naći poluprečnik kružnice koja dodiruje njegove dvije stranice i prolazi kroz njegov jedan vrh. 3 4
3 3. Pravougaonik je podjeljen na 9 manjih pravougaonika. Površine pet od njih su 5, 3, 9, 2 i 2 cm 2 (vidi sliku). Odrediti površinu pravougaonika. Trapez 1. Definicija trapeza: Trapez je četverougao koji ima tačno jedan par paralelnih stranica. Obrazložiti odgovor na pitanje: Da li je paralelogram trapez? Koristeći isključivo formulu za površinu pravouglog trougla (P = ab 2 ) izvesti formulu za površinu trapeza (P = 1 2 (a + c)h gdje su a i c dužine dvije paralelne stranice, a h udaljenost između njih). 2. Ako su kraci trapeza međusobno normalni, dokazati da je zbir kvadrata osnovica jednak zbiru kvadrata dijagonala. 3. Dijagonala razbija jednakokraki trapez na dva jednakokraka trougla. Odrediti uglove tog trapeza. 4. U jednakokrakom trapezu srednja linija ima dužinu 5 cm, a dijagonala je dva puta duža od srednje linije. Kolika je površina tog trapeza? Tetivni četverougao, centralni i periferiski ugao 1. Dokazati da je suma oštrog i tupog periferiskog ugla nad istom tetivom Dokazati da je ugao između tangente i tetive jednak periferiskom uglu nad tom tetivom. Pravilni mnogouglovi 1. U dati pravilni šestougao upisati 8 podudarnih četverouglova (Prisjetimo se osobina pravilnog šestougla: pravilan šestougao ima ABCDEF ima šest podudarnih stranica, šest podudarnih uglova, tri para paralelnih suprotnih stranica (AB ED, BC EF, CD AF ) i dijagonale AD, BE i CF se polove). Obrazložiti ideju koja vas je dovela do rješenja. 2. Polazeći isključivo od formule za površinu pravouglog trougla (P = ab 2 ) izvesti formulu za površinu pravilnog šestougla P = 3a2 3 2, gdje je a dužina stranice. 3. Pravilan šestougao je šestougao kod koga su podudarne sve stranice i podudarni svi uglovi. Dat je pravilan šestougao ABCDEF. Polazeći od definicije pravilnog šestougla (pretpostavljajući da više ništa ne znamo o pravilnom šestouglu) dokazati da se dijagonale AD, CF i BE sijeku u istoj tački S. Rotacija i osna simetrija 1. U ABC je upisan krug k(i,r). Centar opisanog kruga k (M,r )oko BCI nalazi se na presjeku pp[a, I] ikrugak (S, r )kojijeopisanoko ABC. Spomenute krugove i trouglove nacrtati na proizvoljan način. Nakon toga krug k preslikati osnom simetrijom s osom u pravoj p(c, M) gdje je M centar kruga k. 2. Jednakokraki trougao ABC čiji je obim O =64cm, a visina na osovici h a =24cm rotirati oko vrha B za ugao od 90 u pozitivnom smjeru. Izračunati površinu novonastalog rotiranog trougla. 3. Jednakokraki trapez ABCD sa osnovicom AB =7cm rotirati oko tačke C za ugao od 120 u pozitivnom smjeru. Konstrukcija prave 1. Data je prava p, tačka A i oštar ugao α. Konstruisati pravu koja prolazi kroz datu tačku A (A p) i siječe datu pravu p pod uglom α. 2. Kroz datu tačku M van date prave p konstruisati pravu koja siječe datu pravu pod uglom od 20. (Ugao od 20 konstruisati približno tačno.) 3. Dat je trougao ABC. Konstruisati pravu p koja je jednako udaljena od vrhova A, B i C datog trougla. c. Konstrukcija trougla i četverougla 1. Konstruisati pravougli trougao kome je data hipotenuza i jedan oštar ugao. 2. Konstruisati pravougli trougao ABC ako su poznati kateta b i visina h c koja odgovara hipotenuzi 3. Konstruisati četverougao ABCD ako su date dužine njegovih stranica AB = 8cm, BC = 6cm, CD =5cm i AD =7cm. Da li se u ovaj četverougao može upisati krug? Razni zadaci 1. Težišnica i visina iz vrha A u ABC djele ugao α na tri jednaka dijela. Koliki su uglovi trougla ABC. 2. Dat je krug k 1 (O 1,r 1 ) i u njegovoj unutrašnjosti krug k 2 (O 2,r 2 ) takav da dodiruje krug k 1 utački P. Dokazati da su tačke O 1, O 2 i P kolinearne. 3. Tačka D je podnožje visine koja odgovara hipotenuzi AB pravouglog trougla ABC, am i N su redom sredine duži CD i BD. Dokazati da p(a, M) p(c, N). 5 6
4 Euklidska geometrija 1 4. Na pravoj p(a, B) trougla ABC data je tačka M takva da je A B M i BM = BC. Dokazati da je prava p(m,c) paralelna simetrali ugla. 5. U četverougao ABCD je AB<BC<CD<ADi svake dvije susjedne stranice se razlikuju za 2 cm (izuzev AB i AD). Naći površinu četverougla, ako mu je obim 36 cm i ako dijagonala AC pripada simetrali ugla BAD. 6. Date su dvije paralelne prave a i b, date su tačke A a, B b itačkac koja se nalazi "između" pravih a i b. Ako je CAa =30 i CBb =45 izračunati ugao ACB. 7. Neka je k krug koji je opisan oko trougla ABC, AB < AC inekajetačkan središte luka AC (kojem pripada i tačka B) krugak. Dalje, neka je M središte duži AC i P N tačka presjeka prave p(n,m) i opisanog kruga. Dokazati da je NP prečnik opisanog kruga. 1. Nabrojati svih pet stavova o podudarnosti trouglova! Koju dodatnu osobinu stav SSU mora zadovoljiti? 2. Četverougao je tetivni akko Kako glasi prvi potreban i dovoljan uslov da bi četverougao bio tetivni (zbir dva naspremna ugla...). 4. Kako glasi drugi potreban i dovoljan uslov da bi četverougao bio tetivni (uglovi koji gledaju na...). 5. Četverougao je paralelogram akko ima paralelne one stranice Kako glasi prvi potreban i dovoljan uslov da bi četverougao bio paralelogram (četverougao je paralelogram akko ima podudrne one stranice...) 7. Kako glasi drugi potreban i dovoljan uslov da bi četverougao bio paralelogram (četverougao je paralelogram akko ima najmanje jedan par suprotnih stranica koje su istovremeno...) 8. Kako glasi treći potreban i dovoljan uslov da bi četverougao bio paralelogram (četverougao je paralelogram akko mu se dijagonale...) 9. Kako glase definicije centralnog ugla nad tetivom, centralnog ugla nad lukom, periferiskog ugla nad tetivom, periferiskog ugla nad lukom (centralni ugao nad tetivom je ugao čiji se vrh nalazi na centru kruga a njegovi kraci prolaze kroz krajnje tačke tetive...) 10. U kakvom su odnosu centralni i periferiski ugao nad tetivom? 11. Zbir oštrog i tupog periferiskog ugla nad istom tetivom iznosi Šta je π? Šta je stepen? Šta je pravi ugao? Kako pomoću šestara podjeliti ugao na tri dijela sa približnom tačnošću? 13. Šta je srednja linija trougla i koje osobine ima? 14. Kakvu osobinu imaju odsječi tangenti na krug? 7 18
5 9 10
6 11 12
7 13 14
8 15 16
9 17 18
10 19 20
11 21 22
12 23 24
13 25 26
14 27 28
15 29 30
16 31 32
17 33 34
18 35 36
19 37 38
20 39 40
21 41 42
22 43 44
23 45 46
24 47 48
25 49 50
26 51 52
27 53 54
28 55 56
29 Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II Sličnost trouglova 4. Centar upisanog kruga u jednakokrakom trouglu dijeli visinu u odnosu 12 : 5. Ako je dužina kraka trougla 60 cm, naći dužinu osnovice tog trougla. 5. Dokazati da težište trougla dijeli težišnicu u omjeru 2:1. 1. Neka su dati krugovi k 1 (O 1,r 1 ), k 2 (O 2,r 2 )ik 3 (O 3,r 3 ) takvi da k 1 dodiruje krug k 2 utačkip, k 2 dodiruje krug k 3 utačkiq, ak 1 i k 3 nemaju zajedničkih tački. Na pravoj p(o 1,O 3 ) date su tačke M i N takve da M k 1, N k 3 i važi poredak M O 1 O 3 N. Nekaje{T } = p(o 1,O 3 ) p(p, Q). Dokazati da su trouglovi TNQ i TPM slični. 2. Neka je I centar upisanog kruga ABC (AB < BC), tačka S centar opisanog kruga k oko trougla ABC, M sredina stranice AC inekajetačkap na luku AC (kojem ne pripada tačka B) krugak takva da je PAI jkk, da važi poredak P M S idajepm AC. AkojetačkaN presječna tačka poluprave pp[p, S) ikrugak dokazati da je AMP NAP idaje PIN PMI. Deltoid 1. Deltoidjeupisanukrugk 1. Kraća dijagonala dijeli dužu na odsječke 37 cm i54cm. Nad tim odsječcima kao nad prečnicima konstruisani su krugovi k 2 i k 3. Naći površinu P = P k1 P k2 P k3, označiti na slici šta predstavlja ova površina i odrediti dužinu kraće dijagonale BD. 3. Neka su dati krugovi k 1 (O 1,r 1 ), k 2 (O 2,r 2 )ik 3 (O 3,r 3 ) takvi da k 1 dodiruje krug k 2 utačkip, k 2 dodiruje krug k 3 utačkiq, ak 1 i k 2 nemaju zajedničkih tački. Na pravoj p(o 1,O 2 ) date su tačke M i N takve da M k 1, N k 3 i važi poredak M O 1 O 3 N. Nekaje{T } = p(o 1,O 2 ) p(p, Q). Dokazati da su trouglovi TNQ i TPM slični. 4. U pravouglom trouglu ABC, a i b su kraci a c je hipotenuza (BC = a, AC = b, AB = c). Dokazati da je a 2 + b 2 = c 2. Crtanje duži 1. Date su duži a i b (b <1 <a). Nacrtati duž x ako je x b = a a 2. Talesova teorema 1. Dat je trougao ABC u kome su poznate dvije visine AA = h a,cc = h c i težišnica CC 1 = t c. Ako je data tačka D na duži BA takva da C 1 D BC dokazati da je C 1 D = 1 2 h a. Tvrdnju dokazati bez primjene teoreme o srednjoj liniji trougla. 2. Neka je ABCD paralelogram. Na polupravoj DB uzeta je tačka E tako da je poluprava AB simetrala ugla CAE. Neka je F tačka presjeka pravih CE i AB. Dokazati da je EC EF = AB BF. 2. Date su duži a i b. Nacrtati duž x ako je x 2+1= 3. Nacrtati duž x = 3+ab 1, gdje su a i b date duži (a <1 <b). ab ab Nacrtati duž x =,gdjesua i b date duži. ab 5. Date su duži a i b. Nacrtati duž x ako je x 3 b 2=. a 3a a 2, gdje je a<1 <b. b Omjeri u trouglu Trigonometrija 1. Utrouglu ABC je α : β : γ = 3 : 4 : 5. Dokazati da prava koja sadrži poluprečnik BS (S je centar opisane kružnice ABC) siječe stranicu AC utačkin koja je dijeli u omjeru 1 : 2 računajući od vrha A. 2. Ako jednakostraničnom trouglu ABC (stranice a) svaku stranicu produžimo za a, dobijemo trougao A 1 B 1 C 1. U kojem omjeru se nalaze površine trouglova ABC i A 1 B 1 C (Kosinusna teorema) Dat je raznostraničan trougao ABC sa stranicama a, b, c i uglom α = BAC. Dokazati da je a 2 = b 2 + c 2 2bc cosα. 2. Neka je ABCD paralelogram kod koga su AB = a, BC = b, AC = p i BD = q. Dokazati da vrijedi jednakost p 2 + q 2 =2a 2 +2b 2 (uputa: iskoristiti kosinusnu teoremu). 3. Dokazati da težište trougla dijeli težišnicu u omjeru 2:
30 Konstrukcije četverouglova Konstrukcija prave u zadacima u kojima se pojavljuje i krug 1. Dat je ABC i data je duž DE. Konstruisati pravougaonik čija je površina jednaka površini trougla ABC i čija je jedna stranica jednaka dužini duži DE. Konstrukcije trougla 1. Konstruisati vanjsku zajedničku tangentu dvijema datim kružnicama. 2. Date su dvije podudarne kružnice k 1 i k 2 itačkat.kroztačkut konstruisati pravu na kojoj date kružnice odsjecaju podudarne tetive. 3. Konstruisati unutrašnju zajedničku tangentu dvijema datim kružnicama. 1. Date su tri konkurentne prave i na jednoj od njih tačka A. Konstruisati trougao ABC, tako da njegove visine leže na datim pravama. Konstrukcija kruga Računanje površine tijela u ravni 1. Data je prava t itačkea, B t takve da p(a, B) t. Konstruisati krug kroz tačke A i B koja dodiruje datu pravu t. 2. Konstruisati kružnicu koja prolazi kroz datu tačku i dodiruje datu pravu u datoj tački. 1. Dokazati da je površina pravouglog trougla jednaka proizvodu odsječaka p i q na koje u trouglu upisana kružnica dijeli hipotenuzu. 1. Površina pravouglog trougla ABC se računa po formuli P = a b 2, gdje su a i b katete trougla. Iskoristiti ovu formulu i pomoću nje izvesti formulu za površinu P = a ha 2 proizvoljnog raznostraničnog trougla (h a je visina spuštena na stranicu a). Izvesti formulu i za površinu jednakostraničnog trougla u kojoj se kao promjenjiva pojavljuje samo stranica a. Krug 1. Neka je k krug koji je opisan oko trougla ABC, AB < AC inekajetačkan središte luka AC (kojem pripada i tačka B) krugak. Dalje, neka je M središte duži AC i P N tačka presjeka prave p(n,m) i opisanog kruga. Dokazati da je NP prečnik opisanog kruga. 2. Date su prave t, q i s takve da q t, s t, s t = {Q} i q t = {P }. Dati su krugovi k 1 (O 1,r 1 )i k 2 (O 2,r 2 ) takvi da je O 1 s, s k 1 = {M,N} i Q M N, O 2 q, k 2 dodiruje krug k 1 utačkie i k 1 dodiruje pravu t utačkip. Dokazati da je PN O 1 O 2 = {E}. 3. Dati su krugovi k 1 (O 1,r 1 )ik 2 (O 2,r 2 ) koji se dodiruju u tački E i dat je krug k 3 (O 3,r 3 )takavda siječe krug k 1 utačkamap i Q, akrugk 2 utačkamam i N. AkosaS označimo presjek pravih p(p, Q) i p(m,n) dokazati da je p(s, E) tangenta na krug k 1 inakrugk 2. Razni zadaci 1. Dat je trougao ABC u kome su poznate dvije visine AA = h a,cc = h c itežišnicacc 1 = t c. Na stranici BC data je tačka D takva da C 1 D BC i C 1 D = 1 2 AA. Diskutovati da li se tačka D može dobiti kao presjek dva kruga čiji se poluprečnici mogu izraziti preko h a,h c ili t c. 2. Dat je krug k sa centrom u tački S i prečnikom AB (A, B k, S AB). Na krugu k odrediti tačku C tako da zbir duži AC + BC bude najveći. Odgovor obrazložiti. 3. Zadani su ugao ACB, polupravacm unutar ugla ACB i poluprava CS koja polovi ACB. Dokazati da je SCM = 1 2 ( MCA MCB). 4. Ako su kraci trapeza međusobno normalni, dokazati da je zbir kvadrata osnovica jednak zbiru kvadrata dijagonala. 5. Utrouglu ABC je AC = BC, a visina AD sa simetralom AE (E BC) ugla DAC gradi ugao od 30. Naći uglove trougla ABC i dokazati da je AE = EC. 6. Na kraku x ugla xoy data je tačka A. Konstruisati na kraku y tačku B, takodaje OAB =3 OBA
31 61 62
32 63 64
33 65 66
34 67 68
35 69 70
36 71 72
37 73 74
38 75 76
39 77 78
40 79 80
41 81 82
42 83 84
43 85 86
44 87 88
45 89 90
46 91 92
47 93 94
48 Euklidska geometrija 2 1. Za dva trougla kažemo da su slična akko... Nabrojati četri stava o sličnosti trouglova! Očemu moramo voditi računa kada se pozivamo na sličnost SSU? 2. Kako glasi treći potreban i dovoljan uslov da bi četverougao bio tetivni (AS CS =..., gdje je S...). 3. Ugao izme du tangente i tetive jednak je peri Talesova teorema glasi: Neka su... (vidi sliku)... Ako su a i a dvije me dusobno SP paralelne prave tada vrijedi = SP = PQ. 5. Poljedica talesove teoreme: SP SQ =, SP = PP, SP = PP i SP = P Q. 6. Obrat Talesove teoreme glasi: SP SP = = PQ a a. 7. Neka je prava p(p, T) tangenta na krug k. U kakvom su odnosu duži PT, PA i PB sa slike ispod? 8. Neka su date dvije prave koje se sijeku u tački S i koje sijeku krug k utačkama A, B, C i D. U kakvom su odnosu duži SA, SB, SC i SD sa slike ispod?
49 97 98
50 Podudarnost trouglova Ura deni zadaci 1. Naći zbir α + β + γ + δ + η uglova u tjemenima petokrake zvijezde. (Zvijezda je nacrtan slobodno). 2. U trouglu je jedna stranica podudarna dvostruko odgovarajućoj visini. Dokazati da ugao naspramtestranicenemože da bude tup. 3. Neka je AB najmanja stranica trougla ABC i M proizvoljna tačka u unutrašnjosti trougla. Dokazati da je MA+ MB + MC < AC + BC. 4. Ako sva tri tjemena trougla A 1 B 1 C 1 pripadaju unutrašnjosti ABC, tada je obim A 1 B 1 C 1 manji od obima trougla ABC. Dokazati. 5. Jedan ugao trougla dva puta je veći od drugog, dok težišna linija iz tjemena trećeg ugla dijeli taj ugao na dva dijela od kojih je jedan dva puta veći od drugog. Naći uglove trougla. 6. Dokazati da se simetrale stranica trougla sijeku u jednoj tački S (S je centar opisane kružnice trougla). 7. Neka je ABC oštrougli trougao sa centrom opisane kružnice u tački S. Tačka P BC je ortogonalna projekcija tačke A. Pretpostavimo da je BCA ABC +30. Dokazati da je CAB + CSP < Na bočnim stranicama AC i BC jednakokrakog trougla ABC date su tačke M i N redom, tako da je CM + CN = AC (M i N nisu sredine stranica). Dokazati da je prava odre dena sredinama bočnih stranica trougla incidentna sa sredinom duži MN. 9. Kroz tačku M-sredinu osnovice AB jednakokrakog trougla ABC prolazi prava koja siječe prave p(a, C) ip(b,c) utačkama P i Q redom, tako da je (P M Q). Dokazati da je PQ > AB. 10. Dokazati da se visine trougla sijeku u jednoj tački H (H zovemo ortocentar trougla). 11. Unutar ABC uzeta je tačka M takva da je MBA =30, MAB =10. Odrediti ugao AMC, akoje ACB =80 i AC = BC. 12. Odrediti uglove trougla kod kojeg je centar opisane kružnice simetričan centru upisane kružnice u odnosu na jednu od njegovih stranica. 13. U unutrašnjosti kvadrata ABCD data je tačka E takva da je CDE jednakokraki sa uglovima kod C i D od 15. Dokazati da je ABE jednakostraničan. 14. Duž koja spaja sredine dvije susjedne stranice trougla se zove srednja linija trougla. Neka su P i Q redom sredine stranica AB i AC trougla ABC. Dokazati da je PQ = 1 BC idaje 2 p(p, Q) p(b,c). 15. Iz jednog tjemena oštrouglog trougla konstruisana je visina, iz drugog simetrala ugla a iz trećeg težišna duž. Dokazati da trougao kojeg obrazuju njihove presječne tačkenemože biti jednakostraničan. 16. Dijagonala AC konveksnog četverougla ABCD polovi njegov obim, a njena sredina pripada dijagonali BD. Dokazati da je AB = CD i AD = BC. 17. Ukonveksnomčetverouglu ABCD rastojanja tjemena A i B od tjemena CD su podudarna, a pored toga je AC + CB = AD + DB. Dokazati da je AD = BC i AC = BD
51 18. Dokazati da većoj visini odgovara manja stranica i obrnuto. 19. Kroz tačku M koja leži na osnovici AB jednakokrakog ABC prolazi prava koja siječe prave p(a, C) ip(b,c) utačkama P i Q redom, tako da je M sredina duži PQ. Dokazati da je AP = BQ. 20. U trouglu ABC je upisana kružnica sa centrom u I. Dokazati da se centar opisane kružnice oko trougla BCI nalazi na presjeku poluprave pp[a, I) i kružnice koja je opisana oko trougla ABC. 21. Neka je I centar upisane kružnice trougla ABC. U unutrašnjosti ABC data je tačka P takva da je PBA+ PCA = PBC + PCB. Dokazati da je AP AI, teda jednakost vrijedi ako i samo ako se tačka P podudara sa tačkom I. Zadaci za vježbu 22. Dokazati da je ugao koji obrazuju visina i težišna linija koje odgovaraju hipotenuzi pravouglog trougla jednak razlici oštrih uglova toga trougla. 23. Koje veličine mogu da budu uglovi α, β, γ trougla ABC, akojeα β γ. 24. Data je kružnica k(o, r) itačka M. C je proizvoljna tačka kružnice k(o, r), a A i B su tačke u kojima prava MO siječe kružnicu k(o, r). Dokazati da je MA MC MB ili MB MC MA. 25. Centri upisane i opisane kružnice trougla se poklapaju. Dokazati da je taj trougao jednakostraničan. 26. Dokazati da je ugao trougla: (a) oštar ako i samo ako je naspremna stranica manja od dvostruke težišne linije koja joj odgovara; (b) prav ako i samo ako je naspremna stranica podudarna dvostrukoj težišnoj liniji koja joj odgovara; (c) tup ako i samo ako je naspremna stranica veća od dvostruke težišne linije koja joj odgovara. 27. Koja stranica raznostranog trougla je najbliža: (a) centru opisane kružnice; (b) ortocentru; (c) težištu? (Odgovore obrazložiti.) 28. Koja tjeme raznostranog trougla je najbliža: (a) ortocentru; (b) centru upisane kružnice (c) težištu? (Odgovore obrazložiti.) 29. U unutrašnjosti konveksnog četverougla naći tačku za koju je zbir rastojanja do tjemena četverougla minimalan. 30. Naći tačku S za koju je zbir rastojanja do četiri tačke iste ravni minimalan
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II
Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II Sličnost trouglova 1. Neka su dati krugovi k 1 (O 1, r 1 ), k 2 (O 2, r 2 ) i k 3 (O 3, r 3 ) takvi da k 1 dodiruje krug k 2 u tački P, k 2 dodiruje krug k
Διαβάστε περισσότεραElementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1
Elementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1 Trougao Računanje uglova u trouglu 1. Težišnica i visina iz vrha A u ABC djele ugao α na tri jednaka dijela. Koliki su uglovi trougla ABC. 2. U trouglu
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Zenica, 27.01.2010. Pismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1 Zadatak br. 1 a) U oštrouglom trouglu ABC (AC < BC) visina
Διαβάστε περισσότεραAko dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična.
Sličnost trouglova i Talesova teorema Definicija sličnosti trouglova Dva trougla ABC i A B C su slična ako su im sva tri ugla redom podudarna i ako su im a odgovarajuće stranice proporcionalne tj. = b
Διαβάστε περισσότεραAksiome podudarnosti
Aksiome podudarnosti Postoji pet aksioma podudarnosti (tri aksiome podudarnosti za duži + dvije aksiome podudarnosti za uglove) III 1 Za svaku polupravu a sa početnom tačkom A i za svaku duž AB, postoji
Διαβάστε περισσότεραKonstruktivni zadaci. Uvod
Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog
Διαβάστε περισσότεραSadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.)
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Matematika i informatika Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.) Sedmica broj 1 i 2 (Osnovi pojmovi iz geometrije) Uvod
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραSli cnost trouglova i Talesova teorema
Sli cnost trouglova i Talesova teorema Denicija. Dva trougla ABC i A B C su sli cna ako su im sva tri ugla redom podudarna a i ako su im odgovaraju ce stranice proporcionalne tj. a = b b = c c. Stav 1.
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB
Διαβάστε περισσότερα12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija
12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija Elementarna pitanja: 1. Nabrojati sve geometriske figure prikazane na slici ispod. [kocka, kvadar, četverostrana piramida, sfera
Διαβάστε περισσότερα9 Elementarni zadaci: Prizma i kvadar
9 Elementarni zadaci: Prizma i kvadar Elementarna pitanja: 1. Kako glasi formula za računanje površine prizme? 2. Kako glasi formula za računanje zapremine prizme? [V = B H] 3. Kako glasi formula za računanje
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότερα1. APSOLUTNA GEOMETRIJA
1. APSOLUTNA GEOMETRIJA Euklidska geometrija izvedena sintetičkim metodom zasniva se na aksiomama koje su podeljene u pet grupa i to: aksiome rasporeda, aksiome incidencije, aksiome podudarnosti, aksiome
Διαβάστε περισσότεραRacionalni algebarski izrazi
. Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραO trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš
O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *)
.7. DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOMETRIJE *) Riječ je o sljedećem zadatku iz geometrije: Oko jednakostraničnog trougla Δ opisana je kružnica. Dokazati da svaka tačka M luka ima osobinu M+ M = M. Daćemo
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost
Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Profesor Student Nebojša Ikodinović Marina Stanković 270/2011 Anđela Milijašević 132/2011 Datum:15.12.2014
Διαβάστε περισσότεραEUKLIDSKA GEOMETRIJA
EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku
Διαβάστε περισσότεραAksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije
Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije 1. Postoji jedna i samo jedna prava koja sadrži dve razne tačke A i B. 2. Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B, C. 3. Ako
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραLEKCIJE IZ ELEMENTARNE GEOMETRIJE
LEKCIJE IZ ELEMENTARNE GEOMETRIJE BANJA LUKA, 2010. i ii Sadržaj: 1 Prva lekcija 1 1.1 O Euklidovim Elementima................... 1 1.2 Osnovni pojmovi u geometriji................... 3 1.3 Aksiome incidencije
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar)
Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar) Srdjan Vukmirović August 19, 2003 Aksiome projektivne geometrije P1 Za ma koje 2 tačke A i B postoji tačno jedna prava a = AB kojoj pripadaju tačke A i B.
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραPROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
Διαβάστε περισσότεραZbirka zadataka iz geometrije. Elektronsko izdanje
Zbirka zadataka iz geometrije . Predrag Janičić ZBIRKA ZADATAKA IZ GEOMETRIJE Sedmo izdanje (treći put ponovljeno četvrto izdanje) Matematički fakultet Beograd, 2007 Autor: dr Predrag Janičić, docent
Διαβάστε περισσότερα4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότερα56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine
56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Geometrije 4
Zadaci iz Geometrije 4 - za rad na vežbama - 3. maj 2017. 1 Stereometrija 1. Data je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ivice a. Dokazati da je tetraedar ACB 1 D 1 pravilan i odrediti mu dužinu ivice. 2. Dat je
Διαβάστε περισσότεραZdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραTehnologija bušenja II
INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραGeometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije
Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije Master rad Mentor: Prof. dr Mića Stanković Student: Ivana Gavrilović Niš,
Διαβάστε περισσότεραGeometrija II. Elvis Baraković siječnja Tuzla;http://pmf.untz.ba/staff/elvis.barakovic/
Geometrija II Elvis Baraković 1 10. siječnja 2018. 1 Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u Tuzli, Odsjek matematika, Univerzitetska 4 75000 Tuzla;http://pmf.untz.ba/staff/elvis.barakovic/ Sažetak
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραAko prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
Διαβάστε περισσότεραVEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je
VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj
Διαβάστε περισσότεραUDRUŽENJE MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE UDRUŽENjE MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE UDRUGA MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE. Sarajevo,
ZADACI UDRUŽENJE MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE UDRUŽENjE MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE UDRUGA MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE BOSNIA-HERZEGOVINA MATHEMATICAL SOCIETY BHMS Zmaja od Bosne 35, 7000
Διαβάστε περισσότεραTAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραSličnost trouglova i primene
Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet Seminarski rad iz metodike nastave matematike i računarstva Sličnost trouglova i primene Autori: Aleksandra Obradović Aleksandra Radulović Milica Pješčić Mirjana
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
Geometrija 1. dio. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραKantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK
Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK Živinice 1.4.014. ZADACI UDRUŽENJE MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραGeometrijski trikovi i metode bez imena
Geometrijski trikovi i metode bez imena Matija Bašić lipanj 2016. U ovom tekstu želimo na jednom mjestu navesti vrlo klasične ideje u rješavanju planimetrijskih zadataka. Primjeri variraju od jednostavnih
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραPismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:
Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija
18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότερα, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.
J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραPROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP
PROJEKTIVNA GEOMETRIJA oktobar 2010. godine ANALITIČKI PRISTUP Homogene koordinate i dvorazmera 1. Tačke 0, i 1 afinog sistema koordinata uzete su redom za bazne tačke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i jedinicu
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραPRIPREMNI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT
PRIPREMNI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U SARAJEVU Ovo je Izbor zadataka koji su namjenjeni budućim studentima za lakše pripremanje prijemnog ispita na Građevinskom fakultetu
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραVektori. Ukoliko biste kasnije te godine poželeli da odete iz Beograda na Zlatar, vaš put bi obrazovao vektor b: #slika:
Vektori Zamislite da živite u Beogradu I da želite da odete avionom u Herceg Novi na more. Ukoliko biste povezali trenutno nalazište i željenu destinaciju, obrazovali biste vektor: #slika: Pošto biste
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.
09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB
Διαβάστε περισσότερα2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =
Zadatak (Tomislav gimnazija) Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna parna roja Rješenje inačica pća formula za parne rojeve je n n N udući da se parni rojevi povećavaju za možemo
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
5. GEOMETRIJA 5.1 Opcenito o kutevima Poznate su slijedece vrste kuteva: siljasti kut α < 90 pravi kut α = 90 tupi kut 90 < α < 180 ravni kut α = 180 izboceni kut 180 < α < 360 puni kut α = 360 Komplementi
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότεραwwwmatematiranjecom TRIGONOMETRIJSKI KRUG Uglovi mogu da se mere u stepenima i radijanima Sa pojmom stepena smo se upoznali još u osnovnoj školi i ako se sećate, njega smo podelili na minute i sekunde(
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραPošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότερα