> 0 svakako zadovoljen.

Transcript

1 Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/3 ŠIFRA KANDIDATA _ Zadatak Za koje vrijednosti parametra ( ) + 3 = 0 m x mx oba iz skupa i suprotnog znaka? m su rješenja kvadratne jednačine a) m > 3 b) m < 3 c) m < d) m= im = 4 Da bi rješenja kvadratne jednačine bila suprotnog znaka njihov proizvod mora biti negativan Vietovo c 3 pravilo za ovaj slučaj glasi x x = = < 0 odnosno za m < je zadovoljen uslov da rješenja a m kvadratne jednačine budu suprotnog znaka Da bi rješenja kvadratne jednačine bila realna njena diskriminanta D mora biti veća od nule Kako je c < 0 to mora vrijediti i 0 a c a<, pa je uslov D = b 4ac > 0 svakako zadovoljen Tačan odgovor je c Zadatak Površina jednakostraničnog trougla stranice a iznosi 6 Površina kvadrata čija je stranica takođe a je: a) 8 3 b) 3 c) 8 3 d) 3 Ako je a stranica jednakostranničnog trougla, onda je njegova površina: P = a = Površina kvadrata stranice a iznosi: 4P 4 P = a = = = Tačan odgovor je a

2 Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/3 Zadatak 3 Kružnica zadana jednačinom ( x ) ( y ) 4 + = i kružnica zadana jednačinom x + y x y = 0 se dodiruju samo u jednoj tački Kolika je udaljenost između centara tih kružnica? a) 3 b) 6 c) 0 d) 4 Udaljenost centara za dvije kružnice koje se dodiruju izvana u samo jednoj tački jednaka je zbiru njihovih poluprečnika Prva kružnica ima poluprečnik r = Jednačina druge kružnice se može napisati u obliku ( x ) ( y ) x y x y + + 4= 0 odnosno u obliku + =, odakle se vidi da je njen poluprečnik r = Tražena udaljenost je r+ r = + = 3 Tačan odgovor je a Zadatak je moguće riješiti i grafički ukoliko se skicira slika zadanog problema Zadatak 4 Skup svih rješenja nejednačine 4x+ 0 < x + je: 3 a), + b), + c), + d) Zadana nejednačina je ekvivalentna sistemu nejednačina: 4x x + > 0 ( x ) 4x+ 0< + 3 3, 3 3 Rješenja ovih nejednačina su x, +,, +,,, + x x, respektivno 3 Traženi skup je presjek prethodnih skupova rješenja i dobije se da je to interval, + Tačan odgovor je b

3 Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/3 Zadatak Vrijednost izraza + z z, za z = 3, i gdje je i imaginarna jedinica, je: a) b) c) d) Nakon korištenja pravila za apsolutnu vrijednost količnika, izraz + z + z + 3i + 3 = = = = z z 3i + ( 3) + z z postaje Tačan odgovor je c z Zadatak 6 Ako je izraz z + odrediti z a) z = 0 b) z = ± c) čisto imaginaran za sve kompleksne brojeve z, z, z = d) z = Modul kompleksnog broja z= x+ i y, čiji su realni i imaginarni dio x i y, respektivno, definira se formulom je: z = x + y Ako se z= x+ i y uvrsti u zadani izraz, dobije se da x + y y i z x + iy x + i y x+ iy = = = z + x + iy + x + + i y x + iy = + x+ + y x+ + y Izjednačavajući realni dio dobijenog izraza sa nulom, dobije se x y x y z + = 0 + = = Tačan odgovor je d 3

4 Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/3 a a ab Zadatak 7 U skupu realnih brojeva izraz :, ako je a 0, b 0, a b, a+ b b a+ b jednak je izrazu: a a a a) b) c) b b b d) a b Zadati izraz se može napisati u obliku: ab a ab ab a ab a a + b a a : = : = = = Tačan odgovor je d a+ b b a+ b a+ b b a+ b a+ b b ab b ab b Zadatak 8 Rješenja jednačine sin x+ cos x = na razmaku [ 0,π ) su: π = = a) x 0 x b) x = 3π c) x = π d) x = π x = 3π Množeći lijevu i desnu stranu zadate jednačine sa, dobije se sin x+ cos x = Posljednja jednačina se može napisati u obliku: π sin x + =, 4 odakle slijedi da je: π π π 3π x+ = + kπ x+ = + mπ,( km, ), Na osnovu toga je opšte rješenje zadate jednačine dato sa: x= kπ x= + mπ π Od svih ovih rješenja intervalu [ 0,π ) pripadaju samo: x = 0 i x = Tačan odgovor je a 4

5 Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/3 Zadatak 9 Neka su rješenja jednačine ( x) ( x ) je vrijednost izraza x x jednaka: log 4 + log = log realni brojevi x i x, tada a) 0 b) c) d) Domen zadane jednačine je skup: D= { x :4 x> 0 x > 0 } = { x : < x< 4} Zadata jednačina je ekvivalentna jednačini log3( ( 4 x) ( x ) ) = log3, koja se svodi na kvadratnu jednačinu ( 4 x) ( x ) =, čija su rješenja x = i x = 3 Vrijednost izraza x x je zbog toga jednaka Tačan odgovor je b Zadatak 0 Jednačina x+ 4 x = x ima dva rješenja, x ix Suma x + x iznosi: a) b) 4 c) 9 4 d) 4 Definiciono područje za datu jednačinu je za x \{ 0} Jednačina se na svom domenu može ekvivalentirati na sljedeći način: x+ x x + x ± + 8 = x = x x = 0 x, = x =, x = x 4 Tražena suma iznosi x + x = + = 4 4 Tačan odgovor je d

6 Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/3 Zadatak Ako je a) 4 cos 3 α = i α [ 0, π], onda je sinα jednako: 4 4 b) c) ± d) 3 cos 3 α = ( 0 α π) sinα= cos α = 4 Tačan odgovor je a Zadatak U nekom aritmetičkom nizu prvi član je 4, a osmi član Koliko iznosi suma trećeg i petog člana tog niza? a)9 b)6 c)36 d)3 Za n-ti član aritmetičkog niza vrijedi: gdje je a an = a + n d prvi član niza, a d je diferencija niza Na osnovu uslova iz postavke zadatka je a = 4 i a8 = 4 + (8 ) d = d = 3 Tražena suma trećeg i petog člana niza iznosi 6 Tačan odgovor je b 6

7 Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/3 Zadatak 3 Oznaka a ( b) je oznaka broja a izraženog u brojnom sistemu baze b Suma jednaka je broju: ( 7) ( 7) a) 300 ( ) b) c) 46 ( 0) d) 643 ( 7) Data suma se može direktno odrediti u brojnom sistemu baze 7 i iznosi 643 ( 7) Prebacivanjem u sistem sa bazom rješenje je 300 () Zadatak se može riješiti i prebacivanjem u brojni sistem baze 0, sabiranjem i provjeravanjem tog rezultata u brojnim sistemima baza i (zbog ponuđenih odgovora) = = 3 = 643 = 300 ( 7) ( 7) ( 0) ( 7) ( ) Tačni odgovori su a i d Priznaje se barem jedan tačan odgovor Zadatak 4 Skup svih rješenja logaritamske nejednačine ( x ) ( x ) realnih brojeva je:,, + 8 a) b), 8 log + log < u skupu 3 3 c) (,+ ) d), 8 Domen zadane nejednačine je skup D= { x : x+ > 0 x > 0 } = { x : x> } x + Zadata nejednačina je ekvivalentna nejednačini: log < log 3 x 3 3 Vodeći računa da je baza logaritma manja od, prethodna nejednačina se svodi na nejednačinu: x+ x+ 8x+ > > 0 > 0 x 9 x 9 9 x Tabelarno se vrlo lako dobije da je rješenje ove nejednačine x, (, + ) rješenje se dobije kao presjek dobijenog skupa i skupa D, pa je traženi skup rješenja (,+ ) Tačan odgovor je c 8 Konačno 7

8 Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/3 Zadatak Jednačina prave p koja prolazi kroz tačku A(3, -7) i na koordinatnim osama odsijeca jednake odsječke je: a) y = x 4 b) y = x 4 c) y = x + 4 d) y = x + 4 Za rješavanje navedenog zadatka najpovoljnije je koristi se segmentnim oblikom prave u ravni: x y p : + = m n pri čemu su m i n odsječci na koordinatim osama Decartesovog pravouglog koordinatnog sistema Iz 3 7 uslova zadatka vrijedi da je m= n i + = m n Rješavanjem se dobije da je m = n = 4, pa je tražena prava p: y = x 4, Tačan odgovor je a Zadatak 6 Neka knjiga ima određenu početnu cijenu Ona prvo poskupi za 0 %, pa zatim pojeftini za 0 % Tako dobivena cijena knjige je: a) ista kao početna b) % viša u odnosu na početnu cijenu c) % niža u odnosu na početnu cijenu d) 0% niža u odnosu na početnu cijenu Ako se početna cijena knjige označi sa x, nakon poskupljenja od 0%, knjiga košta 0 x+ x=, x Nakon pojeftinjenja od 0%, knjiga košta,x,x= 0,7 x= x Dakle knjiga je sada % jeftinija u odnosu na početnu cijenu Tačan odgovor je c 8

9 Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/3 Zadatak 7 Kvadratni trinom x + x 3 može se napisati u sljedećem obliku a) ( x + 3)( x + ) b) ( x + 3)( x ) c) ( x 3)( x ) d) ( x 3)( x + ) Sređivanjem datog izraza se dobije: x + x 3 = x + 3x x 3 = x(x + 3) (x + 3) = (x + 3)( x ) Tačan odgovor je b Zadatak 8 Odrediti sve vrijednosti α iz skupa [ 0, π ) za koje je nejednačina: α + x α x + > sin sin 3 0 7π π a) α b) α 0,, π 6 6 c) [ 0, ), zadovoljena za svaki realni broj x π π α π d) α, 6 6 Zadana nejednačina je kvadratna, oblika ax + bx + c > 0, ( a, b, c ) i biće zadovoljena za svaki realni broj x kada je a > 0 i D = b 4ac < 0, gdje je a = sinα +, b = ( sinα 3) i c = 7π π Prvi uslov se svodi na a > 0 sinα + > 0 sinα > α 0,, π 6 6 Drugi uslov se svodi na: b 4ac < 0 4sin α 6sinα + 7 < 0 4sin α 4sinα sinα + 7 < 0, odnosno sinα( sinα 7) ( sinα 7) < 0 ( sinα )( sinα 7) < 0 S obzirom da je sinα za svaki realni α, to je sinα 7 < 0 za svaki realni α, pa je sinα > 0 što je na π π intervalu [ 0, π ) ispunjeno za α, 6 6 Tačan odgovor je d 9

10 Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/3 4 3 Zadatak 9 Ostatak pri dijeljenju polinoma P( x) = 4x x + x + binomom ( ) a) b) 0 c) d) - x je: Za rješavanje ovog zadatka najpogodnije je iskoristiti Bezuov stav: Ostatak dijeljenja polinoma P x sa x x0 jednak je vrijednosti tog polinoma za x= x0 Pa je: 4 3 r x = P = = Tačan odgovor je a Zadatak 0 Skup svih rješenja nejednačine x+ > x je dat sa: a) < x < b) < x < c) < x < d) < x < Prema sljedećoj tabeli moguće je rastaviti rješavanje zadane nejednačine na tri dijela: Za x+ > x iz koje se dobije x > što ne x rješava se nejednačina zadovoljava uslov x + > iz koje se dobije x > Presjek Za x [, ] rješava se nejednačina x ( x ) postavljenog i dobivenog uslova daje rješenje u ovom slučaju x (, ] 3 Za x rješava se nejednačina x+ > ( x ) iz koje se dobije x < postavljenog i dobivenog uslova daje rješenje u ovom slučaju x [,) Rješenje nejednačine je unija dobivenih rješenja pod, i 3 i to je x (, ) Tačan odgovor je a Presjek 0