Nuklearnomedicinske metode u dijagnostici oboljenja GIT, jetre i slezine

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Nuklearnomedicinske metode u dijagnostici oboljenja GIT, jetre i slezine"

Transcript

1 Nuklearnomedicinske metode u dijagnostici oboljenja GIT, jetre i slezine scintigrafija pljuvačnih žlezda ispitivanje motorne funkcije jednjaka ispitivanje motorne funkcije želuca otkrivanje interstinumskog krvarenja hepatobilijarna scintigrafija scintigrafija jetre sa radioaktivnim koloidima scintigrafija krvnog prostora jetre scintigrafija slezine

2 Scintigrafija pljuvačnih žlezda sijaloscintigrafija Mehanizam nakupljanja RF aktivan transport pertehnetatnog jona Tc 99m O 4 u epitelne ćelije pluvačnih žlezda koji se potom izlučuje pljuvačkom simultano ispitivanje funkcije i drenažne sposobnosti pljuvačnih žlezda DINAMSKA + statička scintigrafija

3 radiofarmak Na Tc 99m O 4 aplikovana aktivnost i.v. ubrizgavnaje 150 MBq (4 mci) ekvivalentna doza priprema pacijenta kolimator 1.4 msv (140 mrem) bez pripreme LEHR (niske energije visoke rezolucije Low energy high resolution) snimanje dinamska studija od 40 sličica (frejmova), trajanje frejma je 30 s; na polovini studije, u 20. minutu daje se per os Vit C; anteriorna projekcija (pacijent leži na leđima). Posle 20 minuta mogu se dodati STATIČKI scintigrami u kosom ili bočnom položaju

4 Normalan sijaloscintigram: na sekvencijalnim scintigramima se vidi ravnomerno i intenzivno nakupljanje RF u obe grupe pljuvačnih žlezda; dinamske krive ukazuju na brzu akumulaciju (vaskularna i parenhimska faza), promptnu i izdašnu eliminaciju i fazu reakumulacije Patološki sijaloscintigram: na sekvencijalnim scintigramima se obostrano (simetrično) vidi značajno smanjeno nakupljanje RF u parotidnim žlezdama (mali broj detektovanih impulsa iz ROI ocrtanih nad parotidama): u podviličnim pljuvačnim žlezdama prisutna nešto intenzivnija akumulacija RF ; dinamske krive bez faze eliminacije i reakumulacije kod parotidnih žl.; kod podviličnih prisutne sve tri faze ali nedovoljno: nalaz može odgovarati Sjogrenovom sindromu

5 Normalan sijaliscintigram u obe grupe pljuvačnih žlezda

6 ROI parotidnih žlezda ROI background Zbirni scintigram: ROI podvilične pljuvačne žlezde tireoidea Patološki nalaz dinamske scintigrafije pljuvačnih žlezda Sjogren-ov sindrom: na zbirnom scintigramu [koji nastaje kompjuterskim sabiranjem sekvencijalnih scintigrama ( frejmova ) u toku studije: zbir od 40 sličica ako studija traje 20 minuta, a frejmovi se snimaju na 30 s] se uočavaju simetrično uvećane i parotidne i podvilične pljuvačne žlezde koje intenzivno akumuliraju RF. Ovo povećano nakupljanje RF nije posledica dobre žlezdane funkcije već velikih žlezda. Dinamske krive dobijene iz ROI ocrtanih nad pljuvačnim žlezdama ukazuju na rastuću krivu bez faze eliminacije i reakumulacije.

7 Regioni od interesa ROI : oko parotidnih žlezda (plavo i crveno); oko submandibularnih plj.žl. (zeleno i roze); žuto je ROI na mestu gde nema aktivnosti od RF tj. na nivou mozga: background, osnovna aktivnost. Štitasta žlezda je pokrivena olovnom pločicom da bi se smanjila emisija γ fotona iz nje ( isti RF se koristi za tireoidnu scintigrafiju)

8 Indikacije Sjogren-ov sindrom & sicca sy dokazuje se histopatološki suvoća očiju (Šrimerov test) suvoća ustiju otečene i bolne parotidne žlezde uretritis + anti Ro-SS-A antitela; + anti La-SS-A antitela simetrično obostrano uvećanje parotida akutni sijaloadenitis opstruktivna sijalolitijaza sarkoidoza tumori o benigni (ciste) o maligni

9 Ispitivanje motorne funkcije jednjaka Radiofarmak je hrana obeležena najčešće 99m Tc. Radioaktivna hrana ( čvrsta, tečna, polučvrsta) je bolus RA

10 radiofarmak aplikacija RF i aktivnost ekvivalentna doza priprema pacijenta kolimator snimanje [ 99m Tc]- S-koloid ; 99m Tc nanokoloid; 99m Tc DTPA MBq (0,4-0,5 mci) per os ili sa prženim jajima ili prženom pilećom džigericom (polučvrst obrok) ili u ml soka (tečan) ili na parčetu tosta (čvrst obrok) ili na sferama smole 0,4 msv (40mrem) 4 do 6 sati gladovanja pre aplikacije RF LEGP (kolimator za niske energije, opšte namene) low energy general purpose pacijent je u supinaciji (AP), slike se snimaju od ustiju do gornjeg abdomena; u toku 2 minuta se snimaju sličice frejmovi od po 0,5 s. Snimanje počinje kada pacijent proguta radioaktivni obrok, zatim guta na suvo na 30 s. Test se ponavlja do 6 puta ( 6 puta guta pacijent) DINAMSKA studija

11 Radiološki nalaz u nekim poremećajima motiliteta jednjaka A: klasična ahalazija suženje donjeg sfinktera u vidu ptičijeg kljuna. B: snažna ahalazija difuznio spazmatična suženja sa zatvorenim donjim sfinkterom: C: difuzni ezofagealni spazam (suženje u vidu vadičepa) D: propulzioni divertikulum središnjeg ezofagusa E: normalna peristaltička sekvenca za poređenje F: hipotenzivna peristaltika usporen ezofagealni tranzit G: gastroezofagealni refluks H: klizajuća hilatus hernija

12 Normalan tranzit RF kroz jednjak: VA krive u trećinama ezofagusa

13 Tipična VA (TA time/activity) vreme / aktivnost kriva dobijena iz radionuklidne studije orofaringealnoezofagealnog tranzita ( RF je bolus od 10 ml tečnosti; AP položaj, zdrava ososba u stojećem položaju) A: krive aktivnosti u ustima; B: VA kriva u farinksu; C: VA kriva u celom ezofagusu; D: VA kriva u gornjoj trećini jednjaka; E: VA kriva u srednjoj trećini jednjaka; F: VA kriva u donjoj trećini jednjaka. Zbirni scintigram u sredini sa 3 ROI jednjaka Summed image at center defines the 3 esophageal ROIs.

14 Orofaringealna disfagija: A: VA kriva ROI nad ustima kod pacijenta sa ALS (tečni RF bolus 10ml, stojeći položaj, AP) značajno zadržavanaje i usporen klirens RF iz ustiju, pacijent je dva puta gutao jer nije mogao odjednom da proguta bolus. B: statička slika kod pacijenta sa teškom orofaringealnom disfagijom posle totalne tireoidektomije (oštećen laringealni nerv). Dinamska studija nije bila moguća jer je pacijent kašljao (aspiracija RF u trahei). C: polutečni bolus (10 ml, stojeći, AP ) nije doveo do značajne aspiracije pa je pacijentu mogla da se uradi dinamska studija.va kriva nad faringealnom regijom posle završetka studije sa polutečnim bolusom ukazuje na značajno usporen, nepravilan i nekompletni klirens RF iz farinksa. Radionuklidna studija ezofagealnog tranzita sa RF od 15 ml polutečnog bolusa, stojeći pacijent, anteriorni pozicija) ; uputna dg: amiotrofična lateralna skleroza (ALS). A: VA kriva gornje trećine jednjaka; B: VA kriva srednje trećine jednjaka C: VA kriva donje trećine jednjaka. Zbirni scintigram sa 3 ROI u jednjaku: nalaz značajno zadtržavanje RF u srednjoj trećini, i spora pasaža bolusa u donju trećinu jednjaka. Slično se vidi i kod ahalazije i skleroderme, kod kojih bolesti je zadržavanje RF u distalnim partijama jednjaka pre nego u središnjim.

15 Radinuklidna studija ezofagealnog tranzita kod pacijenta sa ahalazijom (15 ml bolus, pacijent je u supinaciji, PA); prvo gutanje RF, posle 30 s gutanje na suvo 3 puta na 15 s. A: zbirni scintigram sa ROI; B: VA kriva ukazuje na značajno zadržavanje RF u jednjaku. Pošto je pacijent ustao, pa učinjena ponovna scintigrafija u PA, scintigram se praktično nije promenio. Kod skleroderme se u stojećem pložaju pacijenta, RF sasvim evakuiše iz jednjaka. )

16 Radionuklidna studija ezofagealnog tranzita, ezofagealna disfagija (10 ml tečni bolus, AP: A: jednosekundni frejmovi dinamske studije pokazuju neregularne peristaltičke pokrete; B: VA kriva nad farinksom pokazuje normalno inicijalno gutanje sa regurgitacjom: C: VA od ROI nad celim ezofagusom ukazuje na nekoordinosan klirens RF što je tipično za difuzni spazam jednjaka.

17 Indikacije za radionuklidnu studiju ezofagealnog tranzita

18 kvantitativno ispitivanje motorne funkcije digestivnog trakta funkcija izračunavanje normalne vrednosti ezofagusni tranzit gastroezofagusni refluks brzina pražnjenja želuca dudenogastrični refluks procenat smanjena radioaktivnosti u jednjaku odnos RA u jednjaku i želucu procenat smanjenja radioaktivnosti u jednjaku preko 90% se isprazni iz ezofagusa za 10s manje od 3% preko 90% tečnog obroka se isprazni iz želuca preko 80% čvrstog obroka se isprazni iz želuca odnos RA u želucu i duodenumu manje od 5%

19 Tranzitna vremena: vreme zaostajanja (vreme za koje RA padne na 10% od najveće RA) srednje tranzitno vreme srednje vreme ezofagusno pražnjenje EP u 10. sekundi (EP max 10s) EP u 12s frakcija ezofagusne RA u 10. s posle gutanja odnosu na najveću RA frakcija ezofagusne RA u 12. s posle gutanja odnosu na najveću RA Vremena koja mogu da se izračunavaju iz VA krive koja se dobija pri radionuklidnim studijama motiliteta jednjaka imp (cts)- broj impulsa (broj kaunta u ROI) imp (cts) t - broj impulsa (broj kaunta u ROI) u datom vremenu: npr. u 10. s ili 12. s RA radioaktivnost EP ezofagusno pražnjenje

20 Ispitivanje motiliteta želuca

21 radiofarmak aplikovana aktivnost ekvivalentna doza priprema pacijenta kolimator snimanje 99m Tc DTPA MBq ( µCi) per os 0,4 msv (40 mrem) gladovanje 4 do 6 sati pre studije, bez alkohola i bez pušenja. Ukinuti lekove triciklične antidepresive ili derivate antiholinesteraze LEGP AP i PA u sedećem ili stojećem položaju pacijenta ; jednominutni frejmovi u toku 90 minuta ako je čvrst obrok ili u toku 40 minuta ako je tečan obrok

22 gastroezofagealni refluks radiofarmak aplikovana aktivnost ekvivalentna doza priprema pacijenta kolimator snimanje [99mTc] koloid 8-12 MBq u 150 ml 0.1M HCl I 150 ml vode 0,2 msv (20 mrem) gladovanje LEGP snimanje AP ustiju i gornjeg abdomena. Popije se RF i minuta se snimaju slike u stojećem položaju. Ako postoji rezidualna aktivnost u ezofagusu da se pacijentu da popije ml vode da bi se očistila ta radioaktivnost. Pacijent se postavi zatim da legne i postavi se abdominalna poveska preko koje se povećava pritisak na abdomen od 0 do 100 mm Hg, za po 20 mm u intervalima od 30 s. U svakoj poziciji se slika scintigram. Studija se završava kada se pojavi refluks

23 0 min 10 min 15min 30 min 45 min 60 min 75min 90 min 105 min 120 min Studija od 120 minuta sa snimanjem u određenim vremenima. Regioni od interesa ROI su ocrtavani oko celog želuca u AP i PA položajima snimanja (ili levi kosi položaj). ROI treba da obuhvati bilo koju vidljivu radioaktivnost u antrumu i fundusu želuca.

24 produženo pražnjenje želuca

25 Intestinumsko krvarenje radiofarmak priprema pacijenta kolimator snimanje patološki nalaz 99m Tc eritrociti ; 99m Tc Sn/S koloid (kalaj ili sumpor koloid) ako ima uslova gladovanje 4 do 6 sati pre snimanja LEGP (kolimator opšte namene za niske energije) Čim se aplikuje radiofarmak započne se snimanje. Scintigrami se dobijaju na 5 minuta do 60 minuta trajanja studije. Ako se do tada ne pojavi mesto krvarenja (ektravazacija RF) onda se snima na 4 sata, na 6 sati i na 24h. Pozicija animanja je AP a mogu se dodati i PA ili bočni položaji zona ( fokalna ili trakasta) povećanog nakupljanja RF

26 82 godišnja žena : krvarenje inicijalno u proksimalnom a potpom i u celom descedentnom kolonu krvarenje transverzalnom kolonu

27 Scintigrafija pomoću denaturisanih eritrocita DE obeleženih 99m Tc (RF) ukazuje na aktivno krvarenje. Zmijoliko nakupljanje RF(strelica) ukazuje na prolazak krvi kroz tanko crevo. Tačno mesto krvarenja nije vidljivo ali se misli da je u proksimalnim partijama GITa. Eksplorativna laparotomija je pokazala da je reč o čiru koji krvari u drugom delu duodenuma.

28 krvarenja u crevu protokol snimanja za Mekelov divertikulum radiofarmak Na 99m Tc O 4 aplikovana RA ekvivalentna doza priprema pacijenta kolimator MBq (9-10 mci) 4 msv (400 mrem) gladovanje pred snimanje LEGP snimanje AP abdomen od želuca do male karlice, milion impulsa po slici, na 5 minuta slike u 30., 40., 50. i 60. minuti. Desni bočni položaj na kraju snimanja. Možda dodati i levi bočni položaj ako je potrebno

29 MD mokraća želudac Mekelov (Meckel) divertikulum (MD) je ostatak embriološkog omfaloenetričkog duktusa u njegovom slivu u ileum. Divertikulum je obložen mukozom želuca koja luči HCl i uzrok je ulceracija koje krvare. To je najčešći uzrok krvarenja u donjem GITu kod dece. Najveći broj bolesnika nema simptome. To je bolest pravila 2 : 2% populacije pokazuje divertikulum, a najčešće se nalazi na 2 stope od ileocekalne valvule. Scintigrafija MD pomoću Na 99m Tc O 4 : želudac izlučuje RF pa pošto je MD obložen gastričnom mukozom na scintigramu se vizualizuje u istom vremenu kad i želudac.

30 Mekelov divertikulum kod 2-godišnjeg dečaka u donjoj paraumbilikalnoj regiji desno; hirurški potvrđen.

31 Pitanja: koji je RF? 99m Tc obeleženi Er koja je patofiziološka osnova scintigrafskog nalaza? Krvarenje u gornjim partijama GITa s desne strane

32 18F-FDG PET/CT u Kronovoj bolesti: transverzalni (A) i frontalni preseci (B) ukazuju na fokalno povećano nakupljanje RF koje se na CT- u jasno identifikuje kao tanko crevo (uz zadebljanje zida creva) SUV max 10,4

33 Hepatobilijarna scintigrafija

34 radiofarmaci za hepatoscintigrafiju derivati iminodisirćetne kiseline koje hepatociti akumuliraju aktivnom transportom komercijalno ime hemijski naziv skraćenica primena 99m Tc mebrofenin 99m Tc lidofenin 99m Tc iprofenin 99m Tc disofenin trimetilbromoiminod isirćetna kiselina Hepatobilijarna iminodisirćetna kiselina; dimetiliminodiacetat na kiselina Paraizopropiliminod isirćetna kiselina Diizopropiliminodisi rćetna kiselina BrIDA HIDA PIPIDA DISIDA jedan od prvih nekada veoma korišćenih RF koji daje kompletnu sliku funkcije jetre

35

36 Protokol za hepatobilijarnu scintigrafiju radiofarmak aplikacija RF priprema pacijenta kolmator snimanje 99m Tc tribromometil HIDA i.v. aplikacija 20-80MBq (1,5-2 mci) gladovanje preko noći, bez jela pred snimanje LEGP (niske energije, opšte namene) 20 minuta posle ubrizgavanja RF pacijent je u supinaciji pod kamerom, markerom sa dugoživućim izotopom 57 Co se obeleže kriste ilijake. 30 minuta posle aplikacije RF, snimaju se frejmovi od 2 minuta, a u 40. minuti se u fiziološkom rastvoru da lek sinkalid koji stimuliše prežnjenje žuči. Lek se daje u toku 15-minutne infuzije. Snimanje se završava u 80. minuti. Umesto sinkalida može da se da masni obrok (punomasno meleko u 240 ml energetskog napitka Kalšejk )

37 Pristizanje RF (HIDA) u jetru i njegov klirens u pojedinim vremenima

38 Normalan nalaz scintigrafije jetre pomoću HIDA GB (gallbladder) žučna kesa ; SB (small bowel) tanko crevo

39 Hepatobilijarna scintigrafija uz stimulaciju sa stimulacijom žučne kese pomoću holecistokininom (CCK); mesta na kojima se nalazi RF u određenim vremenima u toku studije

40 Indikacije za HB scintigrafiju diferencijalna dijagnoza neonatalne žutice bilijarna atrezija neonatalni hepatitis akutni holecistitis akutni pankreatitis težak hronični holecistitis druge teške bolesti jetre Žučna kesa Hepatički duktusi

41 AP scintigrami dinamske scintigrafije jetre pomoću HIDA (levo) sa VA krivom generisanom nad relevantnim ROI ( proksimalni deo zajedničkog bilijarnog duktusa i duodenuma-desna slika). Postoji odložene ( usporena) drenaža u tanko crevo sa stasom RA u duktusu komunisu. VA kriva pokazuje da je RA dospela u duktus u 8,75 minutu, a u duodenum tek u 32,25. minutu što je značajno produžen tranzit iz hilusa jetre do duodenuma: vreme tranzita je 23.5 minuta a normalno je manje od 10 minuta (normal < 10 min).

42 Bilijarna atrezija: RF se ne gubi iz jetre jer nema žučnih puteva kojima bi se izlučio iz jetre. Isti intenzitet nakupljanja RF se uočava od početka do kraja studije Neonatalni hepatitis

43 Prolazak (tranzit; klirens) HIDA kroz jetru u različitim vremenima

44 (A) Devojčica, novorođenče sa hepatocelularnom bolešću. RF 99mTc-disofenin scintigrafija u 5, 20, and 60 min pokazuje na eliminaciju RF u crevo (strelice) (B) Dečak star 7 dana sa bilijarnom atrezijom. 99mTc-disofenin scintigrafija u 5 min, 60 min, and 24 h ne pokazuje RF u crevu. Veliki deo RF se eliminiše bubrezima ( RA u mokraćnoj bešici)

45 Bilijarna striktura posle laparoskopske holecistektomije: (a) AP HIDA scintigrami kod pacijenta je izvedena rekonstrukcija žučne kese pomoću hepatičko-jejunostome posle velikog oštećenja bilijarnog duktusa za vreme laparoskopske operacije: u celini je produženo lučenje (streloca bela) RF iz jetre. Desni intrahepatički duktus se slabo vizualizuje na scintigramu. (b) Koranlni presek na MR holangiopankreatografiji ukazuje na značajno proširenje intrahepatičnog duktusa i strikturu na bilijarnoj anastomozi (strelica).

46 Akutni holecistitis: scintigrami u anteriornoj projekciji (AP) ; RF je HIDA ; nalaz: ravnomerna akumulacija u parnhimu jetre sa brzim klirensom iz jetre, vizualizuje se bilijarno stablo i neometan prolazak RF u tanko crevo (strelica). Žučna kesa se ne vizualizuje čak ni na odloženim scintigramima, posle 4h, što je posledica zapaljenja žučne kese.

47 Hemangiomi jetre hemangiom na MR hemangiom na UZ slici i Dopple-u Hemangiom na CT

48 Heamangiomi su najčešći benigni tumori jetre. Histološki to su veći novoformirani prostori obloženi vaskularnim endotelom, klinički najčešće bez simptoma. Komplikacije hemangioma su retke i uključuju krvarenje, infarkte, nekrozu i trombocitopeniju. Njihov značaj je u razlikovanju u odnosu na sekundarne i primarne maligne tumore u jetri. A: Tipičan scintigram jetre sa hemangiomom dobijen pomoću RF denaturisanih eritrocita (DE) obeleženih 99m Tc. H-RA (radioaktivnost) u srcu; S-RA u slezini; velika zona intenzivne i ravnomerne akumulacije RF u kaudalnom režnju jetre ( deblja strelica) B: SPECT nalaz sa istim RF: hemangiom u desnom režnju jetre.

49 SPECT 99m Tc- Er transverzalni preseci: jasno ocrtana zona intenzivne akumulacija RF u levom režnju jetre: patološki nalaz (hemangim) je zona povećanog nakupljanja RF u levom režnju jetre (strelica)

50 A B Sekvencijalne 5-minutne slike u različitim vremenima ; RF 99m Tc Er: patološko nakupljanje u vidu trakaste elongirane forme u gornjem desnom hemiabdomenu. Iako akumulacija RF raste u toku vremena ( na planarnim scintigramima) ne može se utvrditi primarno mesto krvarenja ili transverzalni kolon ili duodenum. (B) SPECT/CT ukazuju da krvarenje nije u orednjim delovima abdomena što bi odgovaralo transverzalnom kolonu (retroperitonealna pozicija) već je u središnjim delovima tj, najverovatnije u duodenumu.

51 Hepatička disfunkcija: AP HIDA scintigram u različitim vremenima posle trisekcionektomije: globalno usporen tranzit RF kroz ostatak jetre (L); RF još uvek u krvnom prostoru srca (H)i slezine (Sp), Scintigram ukazuje na hepatocelularnu disfunkciju ostatka jetre. Crna strelica je hepato ilealna fistula.

52 scintigrafija jetre pomoću koloida radiofarmak statička 99m Tc koloid dinamska 99m Tc koloid aplikovana RA 75 MBq (2 mci) 150 MBq (4 mci) pripreme pacijenta bez pripreme gladovanje pre snimanja ekvivalentna doza 1 msv (100 mrem) 2 msv (200 mrem) kolimator LEGP LEHR snimanje AP, impulsa, PA, levi i desni kosi položaj Bolus injekcija dok je pacijent u supinaciji pod kamerom čije vidno polje treba da obuhvati jetru; 0.5s frejmovi u toku 60 sekundi ; potom 5s frejmovi u toku 1 min; zatim odložene statičke scintigrafije u 30min, 60. minutu desni i levi kosi položaji.

53 Necirotična portalna fibroza NCPF: scintigrafija jetre pomoću 99m Tc koloida: difuzno nehomogena i smanjena akumulacija RF u jetri sa uvećanom slezinom scintigrafija u cirozi jetre pomoću 99m Tc koloida : difuzno nehomogena i smanjena akumulacija RF u jetri i šiftom RF u koštanu srž

54 ISPITIVANJE PERMEABILITETA, APSORPCIJE I PRISUSTVA BAKTERIJA U DIGESTIVNOM TRAKTU ispitivanje gubitka proteina Ispitivanje poremećaja apsorpcije vitamina B12 (Šilingov test) izdisajni testovi ispitivanje poremećaja apsorpcije žučnih kiselina

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

Juniorski četverac bez kormilara sezona 2014/2015 sa osvrtom na završne pripreme pred EP i SP. Aleksandar Smiljanić

Juniorski četverac bez kormilara sezona 2014/2015 sa osvrtom na završne pripreme pred EP i SP. Aleksandar Smiljanić Juniorski četverac bez kormilara sezona 2014/2015 sa osvrtom na završne pripreme pred EP i SP Aleksandar Smiljanić Generacija 1996 / 1997 8 + SP Hamburg 2014 4 - SP Rio de Janeiro 1. Cvijetić Nikola (1997)

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120

3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120 Srednja masinska skola OSOVE KOSTRUISAJA List1/8 355$&8158&1(',=$/,&(6$1$9-1,095(7(10 3ROD]QLSRGDFL maksimalno opterecenje Fa := 36000 visina dizanja h := 440 mm Rucna sila Fr := 350 1DYRMQRYUHWHQR optereceno

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnčk fakultet unverzteta u Beogradu 6.maj 8. Odsek za Softversko nžnjerstvo Performanse računarskh sstema Drug kolokvjum Predmetn nastavnk: dr Jelca Protć (35) a) () Posmatra se segment od N uzastonh

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα