2. Tautologije; Bulove funkcije (SDNF, SKNF)
|
|
- Βαυκις Αυγερινός
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 III dvoqas veжbi Vladimir Balti 2. Tautologije; Bulove funkcije SDNF, SKNF) Tautologije Teorijski uvod Navedimo neke tautologije zajedno sa Ƭihovim nazivima) koje se qesto koriste. naziv formula zakon iskʃuqeƭa tre eg p p zakon dvojne negacije p p zakon neprotivreqnosti p p) zakon refleksivnosti za implikaciju p p zakon uklaƭaƭa implikacije p q) p q zakon kontrapozicije p q) q p) zakon uklaƭaƭa ekvivalencije p q) p q) q p) zakon tranzitivnosti za ekvivalenciju p q) q r) p r) zakon svođeƭa na apsurd p q q)) p zakoni idempotentnosti p p p, p p p zakoni komutativnosti p q q p, p q q p, p q) q p), p q) q p) zakoni asocijativnosti p q r) p q) r, p q r) p q) r zakoni apsorptivnosti p p q) p, p p q) p zakon distributivnosti prema p q r) p q) p r) zakon distributivnosti prema p q r) p q) p r) De Morganovi zakoni p q) p q, ) p q) p q modus ponens p p q) q p p q) p q, p p q) p q, p q) p q) 0, p q) p q) 1, zakoni saжimaƭa p q) p q) 1, p q) p q) p, p q) p q) 0, p q) p q) p, p r) q r) p q) p r) q r), p r) q r) p q) p r) q r) 1
2 Bulove funkcije Definicija 1. Bulova funkcija sa n promenʃivih je preslikavaƭe f : {0, 1} n {0, 1}. Uopxteno, Bulova funkcija f : {0, 1} n {0, 1} se moжe shvatiti kao n-arna operacija u skupu {0, 1}. Broj razliqitih Bulovih funkcija f : {0, 1} n {0, 1} jednak je 2 2n. Sada emo razmatrati Bulove funkcije sa jednom promenʃivom Ƭih ima 2 21 = 2 2 = 4). ƫihove vrednosti da emo u slede oj tablici tu svakoj od Bulovih funkcija odgovara jedna kolona sa 2 elementa, koji mogu biti ili 0 ili 1; ta kolona je ustvari binarni zapis indeksa te funkcije). p ϕ 0 ϕ 1 ϕ 2 ϕ Sada emo razmatrati Bulove funkcije sa 2 promenʃive Ƭih ima 2 22 = 2 4 = 16). ƫihove vrednosti da emo u slede oj tablici tu svakoj od Bulovih funkcija odgovara jedna kolona sa 4 elementa, koji mogu biti ili 0 ili 1; ta kolona je ustvari binarni zapis indeksa te funkcije). p q f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f 12 f 13 f 14 f Primetimo da funkcije simetriqne u odnosu na sredinu obe tablice imaju sve suprotne vrednosti, tj. jedna od Ƭih se dobija negiraƭem druge, odnosno vaжe formula ϕ 3 k = ϕ k za prvu tablicu) i f 15 k = f k za drugu tablicu). Sada emo za svaku od ovih funkcija dati formulu tj. odgovaraju i Bulov izraz), kao i Ƭeno ime. ϕ 0 p) = 0 ϕ 1 p) = p ϕ 2 p) = p ϕ 3 p) = 0 = 1 nula-funkcija promenʃiva p kao i identiqna funkcija; direktna funkcija) negacija p kao i komplementarna fun.; indirektna fun.) jedan-funkcija f 0 p, q) = 0 nula-funkcija kao i konstantna Bulova funkcija 0) f 1 p, q) = p q konjunkcija kao i logiqki proizvod; I-funkcija) f 2 p, q) = p q) = p q negacija implikacije od p ka q kao i zabrana po q) f 3 p, q) = p promenʃiva p f 4 p, q) = q p) = p q negacija implikacije od q ka p kao i zabrana po p) f 5 p, q) = q promenʃiva q f 6 p, q) = p q) p q) = p q ekskluzivno ILI kao i XOR; zbir po modulu 2; logiqka nejednakost; alternativna funkcija) f 7 p, q) = p q disjunkcija kao i logiqki zbir; ILI-funkcija) f 8 p, q) = p q) = p q = p q NILI-funkcija kao i Lukaxijeviqeva funkcija; Pirsova funkcija) f 9 p, q) = p q) p q) = p q ekvivalencija kao i logiqka jednakost; ekskluzivno NILI) f 10 p, q) = q negacija q f 11 p, q) = q p)) = q p = p q implikacija od q ka p f 12 p, q) = p negacija p f 13 p, q) = p q)) = p q = p q implikacija od p ka q f 14 p, q) = p q) = p q = p q NI-funkcija kao i Xeferova funkcija) f 15 p, q) = 0 = 1 jedan-funkcija kao i konstantna Bulova funkcija 1) Napomenimo da se za neke od ovih opercija koriste i drugaqije oznake: ϕ 2 p) = p, f 1 p, q) = p q, f 2 p, q) = p q, f 4 p, q) = q p i f 6 p, q) = p q, f 7 p, q) = p + q. U originalu se Lukaxijeviq i Xefer pixu Lukasiewicz i Sheffer. U prethodnom razmatraƭu vidimo da smo svakoj od funkcija f 0, f 1, f 2,..., f 15 pridruжili neku iskaznu formulu u nekim sluqajevima i vixe razliqitih iskaznih formula). PostavƩa se pitaƭe: da li je za svaku Bulovu funkciju koja je data pomo u tablice) mogu e odrediti odgovaraju u iskaznu formulu. Odgovor je potvrdan, a to emo pokazati korix eƭem pojmova SDNF i SKNF. 2
3 Radi jednostavnijeg zapisa uvex emo kra i zapis α = α 1, α 2,..., α n ), kao i slede e oznake: x 1 = x i x 0 = x. Iskazne promenʃive negde ih zovu i proste formule, odnosno atomske formule), kao i Ƭihove negacije zva emo literali. Literale, kao i Ƭihove konaqne konjunkcije zva emo konjunkti. Konjunkte, kao i Ƭihove konaqne disjunkcije zva emo formule u disjunktivnoj normalnoj formi ili kra e formule u DNF). DNF kod koje se u svakom konjuktu javʃaju sve iskazne promenʃive naziva se savrxena disjunktivna normalna forma ili kra e SDNF). Literale, kao i Ƭihove konaqne disjunkcije zva emo disjunkti. Disjunkte, kao i Ƭihove konaqne konjunkcije zva emo formule u kon junktivnoj normalnoj formi ili kra e formule u KNF). KNF kod koje se u svakom disjuktu javʃaju sve iskazne promenʃive naziva se savrxena konjunktivna normalna forma ili kra e SKNF). Primer 1. Literali su: a, b, c,..., p, q, r, s,..., a, b,..., p, q,... Konjunkti su, npr.: a, b, p, a b, p q r s t,... DNF su, npr.: c a b c) a d), p q s) p q s) p q s) p q s),... Od prethodne 2 DNF prva nije SDNF jer se u svakom konjuktu ne javʃaju sve iskazne promenʃive a, b, c, d), dok druga jeste SDNF svaki konjukt sadrжi i p i q i s). Formulu koja je SDNF moжemo zapisati i kao p 0 q 1 s 0 ) p 0 q 1 s 1 ) p 1 q 0 s 0 ) p 1 q 0 s 1 ). Disjunkti su, npr.: a, b, p, a b, p q r s t,... KNF su, npr.: a b) a b) a b), p q r) q r s) p r s) p q s),... Od prethodne 2 KNF, prva je SKNF jer se u svakom disjuktu javʃaju sve iskazne promenʃive a, b, c), dok druga nije SDNF svaki disjukt ne sadrжi i p i q i r i s). Formulu koja je SDNF moжemo zapisati i kao a 1 b 0 ) a 0 b 0 ) a 0 b 1 ). Sada emo navesti tvrđeƭa koja nam govore da skoro) svaku Bulovu funkciju sa n-promenʃivih x 1, x 2,..., x n moжemo zapisati i u SDNF i u SKNF. Radi kra eg zapisivaƭa stavi emo da je α oznaqava proizvoʃnu n-torku α = α 1, α 2,..., α n ) i dusjunkcije odnosno konjunkcije) na desnoj strani e i i po svim mogu im n-torkama α. Primetimo da u posledƭoj formuli vaжi x 1 1 α 1 = x 1 α 1 ). Teorema 1. Za proizvoʃnu Bulovu funkciju f : {0, 1} n {0, 1}, razliqitu od nula-funkcije, postoji SDNF: fx 1, x 2,..., x n ) = α fα 1, α 2,..., α n ) x 1 α 1 x 2 α 2... x n n. α {0,1} n Teorema 2. Za proizvoʃnu Bulovu funkciju f : {0, 1} n {0, 1}, razliqitu od jedan-funkcije, postoji SKNF: fx 1, x 2,...,x n ) = 1 α fα 1, α 2,...,α n ) x 1 1 α 1 x 2 1 α 2... x n n. α {0,1} n Napomena. Na osnovu prethodnih teorema sledi da za nula-funkciju ne postoji SDNF, ali za Ƭu postoji DNF, npr. x x; takođe, za jedan-funkciju ne postoji SKNF, ali za Ƭu postoji KNF, npr. x x. Iz prethodnih tvrđeƭa sledi da se svaka Bulova funkcija f : {0, 1} n {0, 1} moжe izraziti preko operacija, i. Sada emo razmatrati preko kojih jox unarnih i binarnih) operacija iz skupa prethodno uvedenih Bulovih funkcija M = {ϕ 0, ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3, f 0, f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6, f 7, f 8, f 9, f 10, f 11, f 12, f 13, f 14, f 15 } moжemo prikazati sve Bulove funkcije. U tu svrhu emo uvesti 2 pojma: generator-skupa i baze Bulovih funkcija. Definicija 2. Skup G M naziva se generator-skup skupa M ako se pomo u operacija iz G mogu izraziti sve Bulove funkcije. Definicija 3. Skup B M naziva se baza Bulovih funkcija ako se pomo u operacija iz B mogu izraziti sve Bulove funkcije i nijedan pravi podskup A B nije generator-skup. 3
4 Na osnovu Teorema 1 i 2 imamo da je skup G = {,, } generator-skup. On nije baza jer na osnovu De Morganovih pravila moжemo izraziti preko i a i moжemo izraziti preko i ). Zato su skupovi B 1 = {, } i B 2 = {, } dve baze Bulovih funkcija. U narednim primerima pokaza emo da su i B 3 = {, } i B 4 = { } baze, a analogno posledƭem se pokazuje da je i B 5 = { } baza. U prethodim primerima smo videli da postoje 2 jednoqlane baze i to su jedine jednoqlane baze). Moжe se pokazati da dvoqlanih baza ima ukupno u kojima je jedna operacija unarna, a druga binarna i 24 kod kojih su obe operacije binarne). Moжe se pokazati da troqlanih baza ima ukupno 10 4 u kojima je jedna operacija unarna, a druge dve binarne i 6 kod kojih su sve tri operacije binarne). Dokazano je da ne postoje baze sa 4 i vixe operacija. Student Stefan Dailoski 328/11 je pokazao da je B 6 = {, } jedna baza sa 2 binarne operacije. Pronađite i primere troqlanih baza! Zadaci 1. Ekvivalenciju izraziti pomo u negacije i implikacije. RexeƬe 1. Kako je p q = p q) q p) dovoʃno je da konjunkciju izrazimo preko i. Kako za implikaciju imamo p q = p q i iz De Morganovih pravila i zakona dvojne negacije dobijamo p q = p q), tj. p q = p q). Time smo implikaciju predstavili pomo u negacije i konjunkcije a nama treba obratno!). Ako ovde negiramo obe strane dobijamo p q) = p q. Kako nama ne treba p q nego p q, to emo sva pojavʃivaƭa promenʃive q zameniti sa Ƭenom negacijom q: p q) = p q. Sada jox ostaje da se vratimo na traжeno predstavʃaƭe ekvivalencije: p q = p q) q p) ). RexeƬe 2. Ovde emo samo drugaqije da izvedemo predstavʃaƭe preko i. Ako napravimo tablicu za konjunkciju imamo: p q p q p q) p q Ona, za razliku od implikacije, ima jednu 1 i tri 0. Ali zato ako je negiramo, p q), dobijamo jednu 0 i tri 1 xto je i situacija sa implikacijom). Ali implikacija je netaqna samo kad 1 0, pa tu situaciju treba da imamo kod 0. To moжemo posti i ako bi p ostavili nepromeƭeno, a umesto q uzeli q xto je predstavʃeno uz desnu stranu prethodne tablice). Time smo pokazali da je p q) = p q, odakle dobijamo p q = p q). Kraj zadatka ide analogno. Napomena. Na osnovu jednakosti p q = p q) koju smo ovde pokazali i qiƭenice da je B 2 = {, } baza Bulovih funkcija sledi da je i B 3 = {, } generator-skup. Moжe se pokazati da je ovo i baza tj. da ni { } ni { } ne qine generator-skup). 2. Pokazati da je B 4 = { } baza Bulovih funkcija. RexeƬe. Kako je p p = p i kako iz p q = p q) dobijamo da je p q = p q) = p q) = p q) p q), uspeli smo da predstavimo obe funkcije iz baze B 1 = {, } predstavimo preko Lukaxijeviqeve funkcije. Time smo pokazali da je B 4 = { } baza. Napomena. I operaciju moжemo da predstavimo preko : p q = p q) = p q, pa je p q = p q = p p) q q). 4
5 Doma i zadaci Odrediti DNF i SDNF, kao i KNF i SKNF 1, za logiqku funkciju f = p q r p) )) s q. RexeƬe. Ako odredimo SDNF ona je istovremeno i DNF sliqno je SKNF i KNF). Pri određivaƭu SDNF u zadƭoj koloni u) tablici funkcije traжimo 1. Za svaku tu 1 određujemo konjunkt po slede em pravilu: ako je fa, b, c, d) = 1 onda imamo konjunkt p a q b r c s d tj. ako za neku 1 na kraju kod promenʃive p imamo 0 onda u konjunkt ide p, a ako imamo 1 onda u konjunkt ide p itd.). Pri određivaƭu SKNF u zadƭoj koloni u) tablici funkcije traжimo 0. Za svaku tu 0 određujemo disjunkt po slede em pravilu: ako je fa, b, c, d) = 0 onda imamo disjunkt p 1 a q 1 b r 1 c s 1 d tj. ako za neku 0 na kraju kod promenʃive p imamo 0 onda u disjunkt ide p, a ako imamo 1 onda u disjunkt ide p itd.). Na osnovu tablice Lukaxijeviqeve funkcije p q p q imamo da vaжe slede e osobine x 0 = 0 x = x, x 1 = 1 x = 0. ƫih emo koristiti pri popuƭavaƭu tablice za f = p q r p) )) s q: ϕ L D f p q r s r p q r p) p ϕ q s q L D konjunkt p q r s p q r s p q r s p q r s p q r s p q r s p q r s p q r s p q r s p q r s Traжena SDNF a samim tim i DNF) je f = p q r s) p q r s) p q r s) p q r s) p q r s) p q r s) p q r s) p q r s) p q r s) p q r s). Napomena. Ovu SDNF moжemo,,skratiti, tj. neke od qlanova moжemo spojiti i dobiti minimalnu DNF. PosledƬa 4 qlana imaju zajedniqko p q, a za r i s se javʃaju sve 4 varijante: r s, r s, r s i r s). Sada emo to i strogo formalno isterati koristimo vixe puta distributivnost u odnosu na ): p q r s) p q r s) p q r s) p q r s) = p q r) s s) ) p q r) s s) ) = p q r) 1 ) p q r) 1 ) = p q r) p q r) = p q r) p q r) = p q) r r) = p q) 1 = p q 1 U tom doma em se traжila samo DNF i SDNF, a poxto ve imamo određenu tablicu za ovu funkciju odredi emo Ƭenu i KNF i SKNF. 5
6 DaƩe, prvi, drugi, peti i xesti qlan moжemo spojiti: p q r s) p q r s) p q r s) p q r s) = q s. Konaqno, tre i, qetvrti, sedmi i osmi qlan moжemo spojiti: p q r s) p q r s) p q r s) p q r s) = q r. Sada sva ova tri spajaƭa moжemo iskoristiti da dobijemo minimalnu DNF: f = p q) q s) q r). Ovaj izraz moжemo jox vixe pojednostaviti ali to vixe nije ni DNF, ni KNF) korix eƭem distributivnosti i komutativnosti: f = p q) q s) q r) = p q) r q) q s) = p r) q q s). Ovde je qesto pitaƭe: Kako neki qlan x u ovom sluqaju sedmi i osmi) moжemo 2 ili vixe) puta koristiti pri spajaƭu? Odgovor nam daju zakoni idempotentnosti i komutativnosti, tj. x = x x i x y = y x. Zakon idempotentnosti nam sluжi da taj qlan x zamenimo sa x x pa emo prvo x koristiti u prvom spajaƭu, a drugo x u drugom), dok zakon komutativnosti koristimo samo da ispremextamo elemente u disjunkciji. DaƩe, prethodno dobijenu tablicu za f moжemo iskoristiti i za dobijaƭe SKNF. Traжena SDNF a samim tim i DNF) je f p q r s L D disjunkt p q r s p q r s p q r s p q r s p q r s p q r s f = p q r s) p q r s) p q r s) p q r s) p q r s) p q r s). Napomena. Opet moжemo spajati qlanove da bi dobili minimalnu KNF: prvi, drugi, peti i xesti nam daju: p q r s) p q r s) p q r s) p q r s) = q s, a tre i i qetvrti: Stoga je minimalna KNF: p q r s) p q r s) = p q r. f = q s) p q r). 6
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.
Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραOsnovno svojstvo iskaza, ma kako složen bio, jeste da je on ili tačan, ili netačan.
Iskazna algebra Osnovno svojstvo iskaza, ma kako složen bio, jeste da je on ili tačan, ili netačan. Da bi se pravila za odred ivanje istinitosti precizno formalizovala, uvodi se sledeća matematička struktura.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku
10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku Definicija 20 Iskazni račun je deduktivni sistem H = X, F orm, Ax, R, gde je X = S {,, (, )}, gde S = {p 1, p 2,..., p n,... }, F orm je skup iskaznih
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραBulove jednačine i metodi za njihovo
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Bulove jednačine i metodi za njihovo rešavanje Master rad Mentor: Slavko Moconja Student: Nevena Dordević Beograd, 2017. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Bulova algebra 3
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραA Pismeni ispit iz DMS-a, A
A Pismeni ispit iz DMS-a, 08.0.009. A Prezime i ime studenta br. indeksa 1. (5 poena) Misle i da je atraktivan izgled dovoljan za karijeru pevaqice, pet mojih mladih sugrađanki (Kristina, Jelena, Tanja,
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραDiskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić
Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija. Teorijski uvod
IspitivaƬe funkcija Teorijski uvod IspitivaƬe funkcija je centralni i svakako najbitniji deo svakog kursa matematike. On daje matematiqku osnovu za skiciraƭe grafika na osnovu matematiqke formule određenih
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραOvo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK
SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραArhitektura računara
Arhitektura računara vežbe - čas 1 i 2: Minimizacija logičkih funkcija Mladen Nikolić URL: http://www.matf.bg.ac.yu/~nikolic e-mail: nikolic@matf.bg.ac.yu 1 Bulova algebra Klod Šenon je 1938. uočio da
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne
ISKAZI U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ili netačne, tj rečenice koje imaju logičkog smisla.ovakve rečenice se u matematici nazivaju iskazi.dakle,
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραArhitektura računara. vežbe - čas 1 i 2: Minimizacija logičkih funkcija
Arhitektura računara vežbe - čas 1 i 2: Minimizacija logičkih funkcija 1 Bulova algebra Klod Šenon je 1938. uočio da se Bulova algebra može koristiti u rešavanju problema digitalne elektronike. Bulova
Διαβάστε περισσότεραDiskretna Matematika
Diskretna Matematika Iskazni Račun Žarko Mijajlović Zoran Petrović Maja Roslavcev........................... Matematički fakultet Beograd 2011 2 Glava 1 Iskazni račun Matematička logika najčešće se definiše
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότεραArhitektura računara. Bulova algebra. Elementi logike. Logičke funkcije. Potpuni sistemi logičkih funkcija. Uvod u organizaciju računara 1.
Bulova algebra Arhitektura računara vežbe - čas i 2: Minimizacija logičkih funkcija Klod Šenon je 938. uočio da se Bulova algebra može koristiti u rešavanju problema digitalne elektronike. Bulova algebra
Διαβάστε περισσότερα