Optička spektroskopija
|
|
- Ερατώ Ακρίδας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Optička spektroskopija
2 Uvod Moderno istraživanje bavi se brojnim mikrosistemima: molekulama, atomima, jezgrama i drugim sićušnim, a ipak kompleksnim objektima. Jednu od temeljnijih informacija o mikrosistemu pruža njegova energija. Spektroskopski pristup u odreñivanju energijskih svojstava mikrosistema možemo shematski prikazali slikom. (slika 1.1) U biti, svaki mikrosistem ima svoj karakterističan odziv na odreñenu pobudu. Skup signala dobivenih u takvom odzivu i ureñenih prema energiji nazivamo spektrom? Stručnjaci stoga kažu da je karakterističan spektar mikrosistema ujedno njegov potpis. To bi značilo: ako dva različita mikrosistema imaju različite spektre onda su to doista različiti sistemi, a ako dva mikrosistema imaju identične spektre, onda su to identični mikrosistemi.
3 Shematski prikaz
4 O optičkoj spektroskopiji Newton je prvi razlagao prizmom sunčanu svjetlost u svjetlosne boje. Pravi kvantitativni zahvat započinje Fraunhofer upotrijebivši mnogo bolji sistem za razlaganje svjetlosti - optičku rešetku. Uspjelo se u spektru opaziti diskretne linije. Do njihova otkrića činilo se da zračenje izvora ima kontinuiran spektar (tj. da se intenzitet zračenja mijenja kontinuirano kao funkcija energije ili frekvencije). I danas su optičke rešetke osnovni elementi u analizi optičkih spektara. Njihova je kvaliteta i tehnologija proizvodnje neusporedivo bolja nakon otkrića lasera. U ovom odjeljku bit će riječi o spektrima elektromagnetskog zračenja. Elektromagnetsko zračenje obilježava valna duljina λ ili frekvencija ν. Te dvije veličine povezane su relacijom: λ ν = c m (1.1) gdje je c m brzina svjetlosti u mediju
5 O optičkoj spektroskopiji Kvalitativno spektre dijelimo na emisijske i apsorpcijske. Emisijski spektri nastaju na način opisan uz sliku 1.1. Kod apsorpcijskog spektra mikrosistem upija iz dolaznog (najčešće kontinuiranog uzbudnog spektra) zračenje odreñene frekvencije i to se manifestira kao zatamnjenje linije odgovarajuće frekvencije. Jedan od temeljnih problema spektroskopije na početku njezina razvoja bilo je uspostavljanje veze izmeñu frekvencije emitiranog ili apsorbiranog zračenja i svojstava mikrosistema. To je pitanje razriješio Niels Bohr. U Bohrovoj slici mikrosistem može boraviti u različitim energijskim stanjima. Svakom stanju pridijelimo indeks i. I energija pojedinog stanja E dobiva isti indeks: E i. Kada mikrosistem, prisiljen vanjskim utjecajem, prelazi iz stanja n u stanje m, zrači se energija E n,m = E n E m (1.2)
6 O optičkoj spektroskopiji Einsteinova, pak, relacija povezuje emitiranu energiju s frekvencijom emitiranog zračenja: E=hν (1.3) gdje je li Planckova konstanta. Time je frekvencija emitiranog fotona povezana s energijama mikrosistema sljedećom temeljnom relacijom: ν n,m = (E n E m )/h (1.4) Spektar frekvencija emitiranog zračenja omogućuje da se prethodnom relacijom rekonstruiraju moguća energijska stanja mikrosistema. To razmatranje temelj je svih vrsta spektroskopija. Dakle, mjerenje frekvencijskog (energijskog) spektra mikrosistema omogućava rekonstrukciju energijskih nivoa tog mikrosistema.
7 Osnovni dijelovi mjernog ureñaja Uobičajen naziv instrumenta za dobivanje optičkog spektra jest Spektroskop. Spektrograf, pak, trajno bilježi sliku nekog spektra. Vizualni spektroskop služi za izravno opažanje spektra okom, a spektrometar ima uz taj spektar i mjernu skalu, pa njime možemo očitavati valne duljine u spektru. Bitni dijelovi spektroskopa su: 1. ulazna pukotina (služi za geometrijsku definiciju izvora svjetlosti u spektroskopu) 2. sistem za razlaganje spektra u komponente (prizme ili rešetke) 3. sistem koji za svaku frekvencijsku komponentu spektra formira posebnu sliku ulazne pukotine.
8 Načelo rada spektroskopa s prizmom Na slici 1.2 shematiziran je spektroskop s prizmom. Kroz otvor ulazi svjetlost čiji spektar ispitujemo. Leća L 1 smještena je tako da joj je točka 0 (otvor) u žarištu. Time postižemo da sve zrake putuju paralelno. Poznato je svojstvo prizme da različito lomi svjetlost različitih frekvencija. Jednobojna svjetlost izlazi iz prizme pod jedinstvenim kutom, čija veličina ovisi samo o frekvenciji svjetlosti. Leća L 2 fokusira svaki od paralelnih snopova za različite svjetlosne boje. Poznato je svojstvo leće da fokusira paralelni snop u jednoj točki. Pozicija te točke ovisi o kutu pod kojim paralelni snop pada na leću. Već smo spomenuli da taj kut ovisi o frekvenciji. Konačni je rezultat, dakle, da su se različite komponente ulazne svjetlosti fokusirale na različitim mjestima na zastoru. Meñutim, ako smo zainteresirani za kvantitavnu analizu spektra, tada treba mjeriti intenzitet zračenja kao funkciju koordinate u žarišnoj ravnini leće L 2.
9 Načelo rada spektroskopa s prizmom Slika 1.2 Svjetlost koju ćemo analizirati ulazi kroz otvor O smješten u žarištu leće L 1. Na prizmu pada paralelan snop bijele svjetlosti. Snopovi različitih svjetlosnih boja izlaze iz prizme pod kutovima koji karakteriziraju tu svjetlosnu boju. Leća L 2 fokusira snopove koji na nju padaju pod različitim kutovima na različite x- koordinate u svojoj žarišnoj ravnini.
10 Spektroskop s rešetkom U spektroskopu s rešetkom proces razlaganja svjetlosti na komponente obavlja umjesto prizme rešetka. Na slici 1.3 prikazan je spektroskop s ravnom difrakcijskom rešetkom. Posebno svojstvo te konfiguracije ureñaja jest dvostruko korištenje leće L. Ona najprije služi da formira paralelni snop svjetlosti, a zatim da, pošto je rešetka kutno razložila svjetlost, svaki paralelni snop jednobojne svjetlosti fokusira na odreñeno mjesto na zastoru.
11 Spektroskop s rešetkom Slika 1.3 Spektroskop s rešetkom i jednom lećom L. Rešetka razlaže ulazni paralelni snop u paralelne snopove različitih svjetlosnih boja. Rešetka radi u reflektirajućem modu, pa se ista leća može koristiti još jednom za fokusiranje različitih svjetlosnih boja na različitim koordinatama žarišne ravnine.
12 Kvantitavnu analiza spektra Spektar se može detektirati i registrirati različitim metodama. Na primjer, za infracrveni spektar toplina se konvertira u struju i tada odgovarajućom metodom registrira. Vidljiva svjetlost često se fotografira da bi se iz zacrnjenja filma ustanovio intenzitet, no suvremene metode danas češće se koriste fotoelektričkom konverzijom svjetlosti u strujne signale.
13 Optička rešetka Optička rešetka je ravna površina ispresijecana nizom meñusobno paralelnih pukotina (propusna verzija rešetke) ili nizom zareza istog profila (reflektirajuća verzija). Kada se radi s reflektirajućom rešetkom, gubi se znatno manje zračenja, pa se ona češće upotrebljava. Rešetku karakterizira razmak izmeñu dvaju susjedna zareza, tzv. konstanta rešetke. Do izuma lasera rešetke su se proizvodile urezivanjem zareza u sloj aluminija nanesen na staklo. Za urezivanje se upotrebljavao dijamant (Crown Ruled Diffraction Grating). Holografskim metodama znatno se povećao broj mogućih zareza po milimetru duljine. Princip je sljedeći: pomoću dviju interferirajućih laserskih zraka dobivaju se interferentne pruge. Razmak mañu prugama je vrlo pravilan. Taj niz pruga bilježi se fotoosjeiljivim materijalom za kasniju obradu (Holographicaly Ruled Diffraction Grating). Očito se ovdje razmak meñu prugama može smanjivati prema redu veličine valne duljine svjetlosti upotrijebljene za pojavu interferencije.
14 Formula rešetke Na slici 1.4 prikazano je kako funkcionira difrakcijska rešetka. Na nju pada paralelan snop svjetlosti. Smjer ulaznog snopa zatvara s normalom kut α, Paralelnim zrakama izlaznog snopa pripada kut β. Razlika optičkih putova meñu zrakama koje dolaze s dva susjedna otvora ili zareza jest : = a(sinα + sin β) (1.5) Konstruktivna interferencija (pojačanje svjetlosnog izraza) nastupa u smjeru za koji vrijedi: a(sinα + sin β) = kλ (1.6) gdje je k cjelobrojnik, a λ valna duljina svjetosti. Tako smo dobili formulu rešetke. Za zadani upadni smjer formula rešetke daje izlazne smjerove u kojima za odreñenu frekvenciju svjetlosti nastaju maksimumi.
15 Difrakcijska rešetka Slika 1.4. Na difrakcijsku rešetku ulazi svjetlosni snop pod kutom α prema okomici Razmak izmeñu dva susjedna reflektirajuća zareza jest a. Za zadanu svjetlosnu boju pretpostavljamo izlazni kut β. Uz pomoć okomica na ulaznu i izlaznu zraku lako očitavamo razliku putova za zrake "reflektirane" sa susjednih zareza.
16 Formula rešetke - bljesak Na prvi pogled formula rešetke ne čini se posebno upotrebljivom jer se doprinosi raznih frekvencija svjetlosti koji dolaze od različitih vrijednosti k mogu naći u blizini ili čak prekrivaju. Više je načina da se prevlada taj problem. Jedan od njih je tzv. bljesak kojim možemo koncentrirali svu svjetlost u jednoj vrijednosti k (u jednom redu rešetke). S druge stranie, doprinose izvan uskog područja možemo eliminirati filtrima.
17 Detalji o kutnoj raspodjeli zračenja Detalji o kutnoj raspodjeli zračenja s rešetke. Svaki rešetkin reflektor sa slike 1.4 pridonosi valom koji prema susjednom reflektoru ima razliku u fazi φ : (1.7) Zanemarimo zasad fazne varijacije unutar jednog reflektora i odredimo ukupnu amplitudu koja je rezultat zbrajanja doprinosa svih reflektora: gdje je A 0 intenzitet doprinosa s jednog reflektora, a N ukupan broj zareza. Intenzitet dobivamo kvadriranjem amplitude i uvrštavanjem izraza za φ (1.8) W= Na, to je ukupna širina rešetke. 2π 2 πa(sinα + sin β) ϕ = = λ λ Nϕ sin N ikϕ 2 A = A0 e A = 0 k= 1 ϕ sin 2 2 Wπ(sinα + sin β) sin I( α, β) = I λ 0 2 aπ (sinα + sin β) sin λ W = Nα
18 Efekt varijacije faze Efekt varijacije faze unutar konačnih dimenzija reflektora možemo odrediti sličnim razmišljanjem. Neka nam je φ na trenutak razlika u fazi dvaju susjednih doprinosa unutar jednog reflektora. Možemo ponovno upotrijebiti formulu za zbrajanje. U ovom primjeru potrebno je, meñutim, broj pojasa povećavati dok se razlika smanjuje, ali tako da je φn ukupna razlika u fazi izmeñu rubova jednog reflektora ψ: tako modulacija od konačnih dimenzija dodaje faktor: Pa je rezultat raspodjele energije (1.9): I ( α, β ) ϕ ϕ ψ sin = N 2 ψ 4sin 2 2 ψ 2 Wπ 2 bπ sin (sinα + sin β ) sin (sinα sin β ) λ + λ = I 0 2 aπ bπ sin (sinα + sin β ) (sinα + sin β ) λ λ
19 Efekt varijacije faze Slika 1.5 Raspodjela intenziteta monokromatskog zračenja po izlaznim smjerovima nakon pada na difrakcijsku rešetku konačnih dimenzija.
20 Efekt varijacije faze Grafički je ta zavisnost prikazana na slici 1.5. Očita je pojava glavnog maksimuma (za k=0). Intenziteti viših redova opadaju. Nezgoda je, meñutim, da se koncentracija zračenja dešava za sve valne duljine na istom mjestu u nultom redu. Jedan krajnje jednostavan izlaz iz problema nudi fenomen bljeska.
21 Bljesak Pogledajmo efekt nagiba reflektorskih rebara za kut δ skiciran na slici 1.6. Očito se fazni odnos meñu doprinosima raznih reflektora time ne mijenja (prvi faktor izraza (1.9) za I). Razlika u fazi izmeñu doprinosa krajeva istog reflektora je promijenjena. Ta se promjena lako očitava sa slike 1.6. Ulogu kutova α i β preuzimaju razlike α δ i β δ istim slijedom. Time je novi modulirajući faktor u jednadžbi (1.9): bπ λ bπ λ [ α δ + β δ ] 2 sin sin( ) sin( ) [ sin( α δ ) + sin( β δ )] Rezultantni spektar sa slike 1.5 pomiče se udesno. Pogodnim izborom za neku valnu duljinu može se energija koncentrirati u željenom višem redu. 2
22 Utjecaj nagiba reflektirajućeg zareza Slika 1.6 Utjecaj nagiba reflektirajućeg zareza za δ. Unutar snopa "reflektiranog" s jednog zareza odnos razlika faza promijenio se tako da su ulogu kutova α i β zamijenili (α δ ) i (β δ ).
23 Moć razlučivanja difrakcijske rešetke Kvaliteta spektroskopa opisuje se sposobnošću spektroskopa da razluči dvije razmaknute linije, λ: Rayleighev princip kaže da su dvije valne dužine razlučene ako maksimum doprinosa jedne padne na prvi minimum doprinosa druge. Odredimo, dakle, kutni pomak Db izlazne zrake potreban da se nakon maksimuma dosegne prvi minimum. Vratimo se izrazu za ukupnu amplitudu (1.8). Maksimumi nastupaju za sljedeće vrijednosti razlike laza (vidi nazivnik prvog faktora u (1.9)). φ/2=kπ (1.10) Νφ/2=kNπ (1.11) Prema brojniku izraza za rezultantnu amplitudu (1.8) prvi će minimum nastupiti kad se φ poveća upravo za dφ, tako da se ispuni uvjet: Ν(φ+ dφ )/2 = knπ + π (1.12) Odatle slijedi pomak faze do prvog minimuma: dφ=2π/ν (1.13)
24 Moć razlučivanja difrakcijske rešetke Općenito je razlika faza: φ=2πa(sinα + sin β)/λ (1.14) Možemo uz konstantni kut α odrediti β 0 koji odgovara navedenom pomaku faze dφ: δφ=2πa cosβ β 0 /λ= 2π/Ν (1.15) Tako dobivamo procjenu širine difrakcijskog maksimuma u izlaznom smjeru: β 0 =λ / (an cosβ ) (1.16) Diferenciranjem rešetkinog uvjeta (1.6) možemo pak izračunati pomak difrakcijskog maksimuma koji odgovara promjeni valne duljine λ: cosβ β= kdλ/α (1.17) Pretpostavimo Rayleighovu konfiguraciju: δβ= β 0 (1.18) Uvrštavanjem u predhotnu jednadžbu dobivamo: kdλ / a cosβ = l / Wcosβ (1.19) Time možemo izračunati moć razlučivanja: λ/dλ=kw/a=kn (1.20)
25 Moć razlučivanja difrakcijske rešetke: komentar Difrakcijska rešetka čini srž najkvalitetnijih optičkih spektroskopa. Iz našeg razumijevanja fenomena difrakcije proizašli su izrazi za ukupnu amplitudu zračenja s rešetke te kutnu raspodjelu izlazne snage. Iz navedenih izraza odreñuju se dalje sva bitna svojstva te klase instrumenata. Pojedini proizvoñači opreme mogu tek dodavali samo različite varijante izvedbi, različita fokusiranja, različita mjerenja intenziteta, različite forme lincariziranja skale itd.
26 Primjene optičke spektroskopije Budući da se mikrosistemi mogu identificirati na temelju njihovih karakterističnih spektara, optička spektroskopija ima značajnu primjenu u različitim analitičkim postupcima. Kvalitativni analitički postupak utvrñuje postojanje nekog mikrosistema unutar uzorka prepoznavanjem karakterističnih spektralnih linija unutar spektra cijelog uzorka. Intenzitet, pak, neke identificirane linije može biti precizna mjera broja mikrosistema u uzorku. Tada se radi o kvantitativnoj analizi. U tom smislu važan je zakon apsorpcijske fotometrije, koji je ovdje opisan. U atomskoj emisijskoj spektroskopiji uzorak se grije (npr. strujom). Pomoću emisijskog spektra mogu se odrediti laki elementi jednostavne strukture (alkalijski metali). Iz intenziteta linija može se odreñivati njihova koncentracija. Tako se može kontrolirati udio neke komponente u toku tehnološkog procesa. U atomskoj apsorpcijskoj spektroskopiji upotrebljava se kontinuirani spektar kao ulazni signal. Uzorak se daje u slobodnom, atomskom stanju. Opaža se nestanak karakterističnih linija. Osim u analitičke svrhe, optička spektroskopija još uvijek služi kao istraživačko oruñe u molekularnoj fizici.
27 Zakon apsorpcijske fotometrije - Beerov zakon U kvantitativnoj analitici primjenjuje sc zakon koji povezuje atenuaciju ulaznog svjetlosnog snopa početnog intenziteta I C, molarnu apsorptivnost ε, duljinu prolaza b kroz apsorptivni medij i molamost c. logi 0 /I=εbc (1.21) Iz izmjerene atenuacije, poznatih dimenzija i apsorptivnosti odreñuje se koncentracija. Prethodni izraz razumjet ćemo na temelju koncepta apsorpcijskog udarnog presjeka σ. To je efektivna površina jedne molekule na kojoj se zračenje apsorbira. Ako u jedinici volumena imamo N takvih površina, očito je da je efektivna površina za apsorpciju koju daje sloj jediničnog presjeka debeo dx jednaka Nσdx. Atenuacija di/i prema tome je: -di/i=σndx (1.22) Integriranjem diferencijalne forme slijedi izraz za opadanje intenziteta: ln I 0 /I=σNx (1.23) Suštinska identičnost dvije relacije (1.21) i (1.23) je očita.
28 Molekularna dinamika; primjer istraživanog sistema Molekularnu dinamiku izabiremo kao primjer istraživanog sistema, jer se optička spektroskopija i danas intenzivno koristi u tom vrlo propulzivnom području. S druge strane, molekule su vrlo kompleksni objekti. Drugi složeni mikrosistemi imaju uglavnom manji broj stupnjeva slobode (principijelno različitih mogućnosti pobuñivanja). Poznato je da se molekule formiraju od većeg broja atoma zbog tzv. molekularnih sila. U molekuli su atomi smješteni u dobro definirane pozicije. Glavnina elektrona nalazi se i dalje u orbitama koje bismo imali u izoliranom neutralnom atomu. Za njihovo pobuñenje potrebna je mnogo veća energija od one u molekularnoj spektroskopiji. Stoga takva pobuñenja ovdje ne razmatramo. Valentni (vanjski) elektroni mogu se prostorno protegnuti preko mnogo većeg volumena nego što su pojedini atomi. Prva mogućnost molekularnog pobuñivanja odnosi se upravo na uzbude tih zajedničkih elektrona u energijski više orbite. No kako se radi o pobuñivanju individualnog elektrona, takav prijelaz zove se jednočestičnim. Sljedeća vrsta pobuñivanja jest vibraciisko. Moguće je, naime, zamisliti titranja jednoga dijela molekule prema nekom drugom dijelu analogno titranju izmeñu dva objekta povezana elastičnom oprugom. Ulogu elastične opruge imaju molekularne sile.
29 Molekularni spektri Budući da je riječ o harmoničkim silama, energijski spektar je onaj harmoničkog oscilatora: E=(V+1/2)hν (1.24) gdje je V broj vibracijskih kvanata, a ν frekvencija oscilatora. Obroci energije potrebni za vibracijska pobuñenja znatno su manji od onih za jednočestična. Najmanje obroke energije trebamo za mehaničke rotacije molekule koje su opisane rotacijskim energijskim spektrom: E=h 2 J(J+1)/2I (1.25) gdje je I moment inercije molekule oko osi vrtnje, a J kutna količina gibanja molekule. Cijeli se molekularni spektar može simbolički prikazati kao na slici (1.7).
30 Shematski prikaz energijskih nivoa u molekularnom spektru Debela linija reprezentira jednočestične razine (nivoe), tanka linija vibracijske razine, isprekidana linija rotacijske razine. Apsorpcijski prijelaz prikazujemo kao vertikalnu strelicu prema gore, emisijske kao strelicu prema dolje. Tipične frekvencije prijelaza jesu: ν jednočestični 10 4 do 10 5 cm -1 ν vibracijski 10 2 do 10 4 cm -1 ν rotacijski 1 do 200 cm -1 Slika 1.7 Shematski prikaz energijskih nivoa u molekularnom spektru. Deblje linije reprezentiraju jednočestične nivoe, tanke linije predstavljaju vibracijske familije, a isprekidane linije reprezentiraju rotacijske nivoe.
31 Ramanova spektroskopija Uobičajeni apsorpcijski prijelaz ide s osnovnog stanja na neko više, pobuñeno stanje. Emisijski prijelaz može voditi izravno s pobuñenog na osnovno. Pojava da se nakon pobuñenja jednom frekvencijom pojavljuju prijelazi s manjim frekvencijama (sistem prolazi kroz meñustanja) naziva se fluorescencijom. Ramanov efekt omogućuje drukčiju mogućnost promatranja molekularnih prijelaza. Pri prolazu fotona svjetlosti kroz materijal dio fotonove energije može apsorbirati molekula. Preostali, umanjeni dio energije izlazi kao foton umanjene frekvencije. Takav foton u optičkom spektrometru pojavljuje se s umanjenom energijom u odnosu na upadni snop (Stokesova linija). U Ramanovu efektu moguće je da ulazni foton naiñe na pobuñenu molekulu. Time izlazni foton može imati veću frekvenciju od upadnog snopa (antistoksova linija). Ramanov efekt u biti omogućuje praćenje molekularnih fenomena optičkom spektroskopijom.
32 Frekvencije normalnih molekularnih prijelaza leže prenisko u infracrvenom području. Ramanov efekt fine promjene molekuline energije "superponira" na "osnovnu energiju" ulaznog fotona i čini molekularnu fiziku dostupnom istraživanju optičkim spektrometrima, tj. vidljivoj svjetlosti. Za izravno opažanje molekularnih prijelaza inače dolazi u obzir infracrvena i mikrovalna spektroskopija (u poglavlju 13).
33 Adobe Acrobat Document The Nobel Prize in Physics 1930 Sir Chandrasekhara Venkata Raman India Calcutta, University Calcutta, India r u. 1970
34 Ramanova spektroskopija - primjena Princip Ramanova efekta, opisan u prethodnom odjeljku, danas se vrlo intenzivno primjenjuje u istraživačkom području molekularne fizike i pridruženim područjima kemije i biologije. Ta tehnika doživljava svoj preporod otkrićem lasera. Vjerojatnost da se Ramanov efekt dogodi nije velika. Stoga je za brzo snimanje potreban vrlo intenzivan monokromatski snop, što je omogućeno tek otkrićem lasera. Tipična konfiguracija za mjerenje prikazana je na slici 1.8. Laserski snop pada na uzorak. Radi izbjegavanja ulaznog snopa svjetlosti okomito na taj smjer postavlja se optički spektroskop. Ramanova spektroskopija može se koristiti za identifikaciju molekula. U molekularnoj fizici njome istražujemo strukture i jačinu veza za vrlo kompleksne molekule, kristale i molekularne kristale.
35 Shematski prikaz Ramanova spektroskopa Slika 1.8 Shematski prikaz Ramanova spektroskopa. Laserski snop pada na uzorak. Efekt se promatra obično pod kutom 90 radi izbjegavanja jakog intenziteta osnovne laserske frekvencije. Monokromator propušta samo zračenje jedne frekvencije ili njihova uskog pojasa. Intenzitet propuštene komponente mjeri detektor (fotomultiplikator).
36 Infracrvena spektroskopija Premda se ovom metodom ne koristimo u području vidljive svjetlosti, ipak je ovdje uključena i zbog komplementarnosti Ramanovoj spektroskopiji i radi pune analogije s radom osnovnoga dijela instrumenta. I ovdje je difrakcijska rešetka ključni dio za analizu spektra. Naravno, razlike u valnim duljinama uzrokuju da su razmaci meñu zarezima veći, tj. da su rešetke mnogo grublje. Geometrija rešetke i površinski materijali takoñer su prilagoñeni infracrvenom području. Shema mjerenja prikazana je na slici 1.9. Eksperimentalni aranžman za infracrveno područje u načelu se ne razlikuje bitno od onog za Ramanovu spektroskopiju. Izvor može biti bilo infracrveni laser promjenljive frekvencije, bilo izvor kontinuiranog spektra. Nakon prolaska kroz uzorak, ako smo sc koristili kontinuiranim spektrom, propušteni snop ulazi u monokromator. Njegova je zadaća da rasipa sve zračenje osim zračenja one frekvencije koju istražujemo. To zračenje fokusiramo na detektor. Detekcija propuštenog zračenja i mjerenje njegova intenziteta obavlja se danas pomoću bolometra ili TGS-detektora (Triglycine sulfate TGS Deuterated triglycine sulfate DTGS) i na njega priključene elektroničke dijelove uz dodatak kompjutora. Želimo naglasiti da, za razliku od Ramanove metode, jnfracrvena spektroskopija registrira izravno energijske razlike meñu molekularnim stanjima.
37 Shematski prikaz mjerenja u infracrvenom području Slika 1.9 Shematski prikaz mjerenja u infracrvenom području. Infracrveno zračenje ozraćuje uzorak Efekti apsorpcije promatraju se u propuštenom zračenju pod kutom 0. Monokromator o prilagoñen infracrvenom području zračenja. Infracrvena (IC) spektroskopija uvelike se upotrebljava u kemijskoj analitici. Pomoću IC-spektroskopije mogu se pouzdano odrediti molekule ili funkcionalne grupe. Infracrveni spektar svake molekule praktički je jednoznačan. Infracrvenom spektroskopijom može se iz malih pomaka vrpci u spektru zaključivati i o odvijanju kemijskih procesa.
38 O spektroskopiji kao metodi U uvodu je opisano kako se u spektroskopskoj metodi mikrosistem pobuñuje nekom energijom što za rezultat daje odziv u emisiji karakterističnog zračenja. Spektroskopija završava dešifriranjem tog spektra i zaključcima o njegovu ustrojstvu. Ilustrirali smo taj opći pristup na primjeru optičke spektroskopije nazvane prema frekvencijskom području u kojem instrument može raditi. Meñutim, još je uobičajeno spektroskopije razlikovati prema objektima istraživanja. Jedna opća ideja jest da mikrosistem ima konstituente, tj. elementarne dijelove, od kojih je sastavljen. Meñu tim konstituentima pojavljuju se karakteristične sile, a spektri mogućih energijskih stanja sistema samo su odraz tih sila. Tako razlikujemo sljedeća područja spektroskopije:
39 O spektroskopiji kao metodi Atomska spektroskopija. Proučava stanja i prijelaze meñu njima za mikrosistem sastavljen od teške pozitivne jezgre i elektrona, koji se kreću u kulonskom polju. Red veličine za razmak energijskih nivoa jest od elektronvolta do kiloelektronvolta. Molekularna spektroskopija. Proučava složeniji sistem u kojem ima više teških centara pozitivnog naboja. Elektroni se grupiraju ili oko jednog od njih ili se rasporeñuju po cijeloj molekuli. Tipične energije prijelaza umanjene su u odnosu na atomske za više redova veličine. Nuklearna spektroskopija. Konstituenti atomske jezgre jesu nukleoni (protoni i neutroni) i meña njima djeluju nuklearne sile. I u atomskim jezgrama postoji indicija za egzistenciju centralnog (nuklearnog) polja u kojem se utjecajem snažnih nuklearnih sila kreću individualni nukleoni. Energijski razmak meñu nuklearnim orbitama već je reda veličine megaelektronvolta. Kvarkovska spektroskopija. Najnovija istraživanja dala su jake dokaze da su, na primjer, protoni sastavljeni od kvarkova. Slično vrijedi za još velik broj tzv. elementarnih čestica. Ljudski um ovdje pokazuje nevjerojatnu domišljatost. Kvarkovi se, čini se, u načelu ne mogu izolirati, no mi ih svejedno vodimo u knjigovodstvu konstituenata. Razmaci meñu nivoima u kvarkovskoj spektroskopiji već se penju prema gigaelektronvolt području.
40 Literatura M. Paić, 0snove fizike IV. Liber, Zagreb, R.P. Feynman, Feynman Lectures on Physics I. Addison-Wesley, A.P. Thorne, Spectrophysics, Chapman and Hall, New York, 1988.
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Priprema za državnu maturu
Priprema za državnu maturu G E O M E T R I J S K A O P T I K A 1. Valna duljina elektromagnetskoga vala približno je jednaka promjeru jabuke. Kojemu dijelu elektromagnetskoga spektra pripada taj val? A.
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
UVOD U KVANTNU TEORIJU
UVOD U KVANTNU TEORIJU UVOD U KVANTNU TEORIJU 1.) FOTOELEKTRIČKI EFEKT 2.) LINIJSKI SPEKTRI ATOMA 3.) BOHROV MODEL ATOMA 4.) CRNO TIJELO 5.) ČESTICE I VALOVI Elektromagnetsko zračenje UVOD U KVANTNU TEORIJU
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
INSTRUMENTNE ANALITIČKE METODE I. seminar
INSTRUMENTNE ANALITIČKE METODE I seminar šk.g. 2006/07. 4 selektori valnih duljina sastavila: V. Allegretti Živčić SELEKTORI VALNIH DULJINA filtri monokromatori (disperzni element) apsorpcijski interferencijski
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
F2_K2, R: nastavni materijali s predavanja, preporučena literatura, web stranica katedre fizike;
F_K,.06.08.. Interferencija elektromagnetskih valova; posebno vidljive svjetlosti. Uvjeti za konstruktivnu i destruktivnu interferenciju. Opišite interferentni uzorak za monokromatsku i polikromatsku svjetlost
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Fizika 2. Auditorne vježbe 11. Kvatna priroda svjetlosti, Planckova hipoteza, fotoefekt, Comptonov efekt. Ivica Sorić
Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstava Fizika 2 Auditorne vježbe 11 Kvatna priroda svjetlosti, Planckova hipoteza, fotoefekt, Comptonov efekt Ivica Sorić (Ivica.Soric@fesb.hr)
Prostorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Masa, Centar mase & Moment tromosti
FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Elektron u magnetskom polju
Quantum mechanics 1 - Lecture 13 UJJS, Dept. of Physics, Osijek 4. lipnja 2013. Sadržaj 1 Bohrov magneton Stern-Gerlachov pokus Vrtnja elektrona u magnetskom polju 2 Nuklearna magnetska rezonancija (NMR)
BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI
SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Spektar X-zraka. Atomska fizika
Spektar X-zraka Emitirana X- zraka Katoda Anoda Upadni elektron 1895. godine W. Röntgen opazio je nevidljivo (X-zrake) zračenje koje nastaje pri izboju u cijevi s razrijeđenim plinom. Rendgensko zračenje
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val
Optika Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val Transvezalan Boja ovisi o valnoj duljini idljiva svjetlost (od 400 nm do 700 nm) Ljubičasta ( 400 nm) ima kradu valnu duljinu od crvene (700 nm)
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa
Tranzistori s efektom polja Spoj zajedničkog uvoda U ovoj vježbi ispitujemo pojačanje signala uz pomoć FET-a u spoju zajedničkog uvoda. Shema pokusa Postupak Popis spojeva 1. Spojite pokusni uređaj na
nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
F2_ zadaća_ L 2 (-) b 2
F2_ zadaća_5 24.04.09. Sistemi leća: L 2 (-) Realna slika (S 1 ) postaje imaginarni predmet (P 2 ) L 1 (+) P 1 F 1 S 1 P 2 S 2 F 2 F a 1 b 1 d -a 2 slika je: realna uvećana obrnuta p uk = p 1 p 2 b 2 1.
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t
SPEKTROSKOPIJA SPEKTROSKOPIJA
Spektroskopija je proučavanje interakcija elektromagnetnog zraka (EMZ) sa materijom. Elektromagnetno zračenje Proces koji se odigrava Talasna dužina (m) Energija (J) Frekvencija (Hz) γ-zračenje Nuklearni
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton,
Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton, neutron Građa atoma Pozitron, neutrino, antineutrino Beta
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
F2_kolokvij_K2_zadaci izbor_rješenja lipanj, 2008
F_kolokvij_K_zadai izbor_rješenja lipanj, 008 Fermatov prinip:. Fermatov prinip o širenju svjetlosnih zraka; izvedite zakon refleksije pomoću prinipa minimalnog vremena širenja svjetlosti između dviju
Fizika 2. Fizikalna optika 2009/10
Fizika 2 Fizikalna optika 2009/10 1 Optika..definicija Optika, u širem smislu, je dio fizike koji proučava elektromagnetske valove; njihova svojstva i pojave. Elektromagnetski valovi ili (elektromagnetsko