Južnoitalsko učenje o duši
|
|
- Νίκη Μάγκας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 JAHS. 2017; 3(1): Južnoitalsko učenje o duši 1 Željko Kaluđerović 1 Odsjek za filozofiju, Filozofski fakultet Sveučilišta u Novom Sadu, Novi Sad, Srbija koji se može izvesti, barem implicitno, da su oduhovljena bića, dakle, i životinje, ali i neke biljke, u određenom smislu svjesna bića. Sažetak: U radu se istražuju posredno i neposredno sačuvani stavovi Pitagore i pitagorejaca koji, po autorovu mišljenju, predstavljaju ishodišnu točku odstupanja od glavnog toka zapadne filozofije i anticipiraju većinu kasnijih modaliteta neantropocentričnih pristupa. Fragmenti italskih mislilaca, drugačije rečeno, mogu poslužiti gotovo kao smjernice danas tako aktualnim (bio) etičkim zahtjevima za novim i drugačijim rješavanjem relacije između ljudi i tzv. neljudskih živih bića. Pitagorejska ideja da su svi oblici života srodni nije samo dovela u vezu ljude sa životinjama i biljkama nego i nagovijestila da ljudska duša, doduše tek nakon pročišćenja, može postići stapanje s vječnom i božanskom dušom, kojoj po svojoj prirodi i pripada. Na vezu i analogiju koja se može uspostaviti između čovjeka i univerzuma upućuje Aristotelova konstatacija kako je prema pitagorejcima moguće da bilo koja duša uđe u bilo koje tijelo. Ovo srodstvo svih varijeteta života bila je nužna pretpostavka pitagorejskog učenja o besmrtnosti i seobi duša. O palingenesiji izvještava Ksenofan poznatim riječima da je Pitagora u prolazu vidio kako neki ljudi tuku psa pa im je rekao da to više ne rade, jer je po jaukanju životinje prepoznao da je to duša njegova prijatelja. Iz 7. fragmenta Kolofonjanina vidljivo je zašto srodstvo svih bića koje je u vezi s učenjem o seobi duša stoji u osnovi pitagorejske zabrane jedenja životinjskog mesa. Pitagorino prepoznavanje duše prijatelja utjelovljene u psu ilustrira i prenošenje osobnog identiteta na psyche, što znači da osobnost na neki način preživljava u selidbama duše i da postoji kontinuitet identiteta. Zaključak je Ključne riječi: Pitagora i pitagorejci, neantropocentrizam, srodnost, život, duša, učenje, besmrtnost, palingenesia Datum primitka: Datum prihvaćanja: DOI: /3/1/2 Adresa za dopisivanje: Željko Kaluđerović Odsjek za filozofiju, Filozofski fakultet Sveučilišta u Novom Sadu dr. Zorana Đinđića 2, Novi Sad, Srbija E-pošta: zeljko.kaludjerovic@ff.uns.ac.rs Tel:
2 16 Kaluđerović Ž. Južnoitalsko učenje o duši. JAHS. 2017; 3(1): Jedna je od univerzalno poznatih i priznatih činjenica povezanih s Pitagorom da je prvi donio u Grčku učenja da je sve živo što se rađa međusobno srodno. Ideja da su svi oblici života srodni nije samo dovela u vezu ljude sa životinjama i biljkama nego i nagovijestila da ljudska duša, doduše tek nakon pročišćenja, može postići stapanje s vječnom i božanskom dušom, kojoj po svojoj prirodi i pripada. Ovo srodstvo svih varijeteta života bila je nužna pretpostavka pitagorejskog učenja o seobi duša (παλιγγενεσία). 1 O palingenesiji 2 kao Pitagorinoj doktrini izvještava Ksenofan poznatim riječima (DK21B7)? Jednom je na prolazu vidio psa kako ga mlate, kažu, ganut ovako progovori: Stani, ne tuci, to je mog prijatelja duša koju sam prepoznao po njenu jauku. 3 žanski i prirodni razlozi? Aristotel je u izgubljenom spisu O pitagorejcima (DL, VIII, 34), napisao da je Pitagora savjetovao da se ne jede bob i zbog njegove sličnosti sa stidnim dijelovima tijela ili s vratima Hada. Bob se jedini nigdje ne sastavlja ili zato što je štetan ili zato što je po obliku sličan cijelom svemiru. Bob i nadima i tako ima najviše veze s duševnim dijelom, štoviše, sadrži duše mrtvih, a istovremeno nosi porijeklo, kao i ljudska bića, iz istog oblika prvobitne tvari. Svim spomenutim tumačenjima, a i nekim drugima, povremeno bizarnima, zajedničko je to da je uspostavljena veza između boba καί ποτέ μιν στυφελιζομένου σκύλακος παριόντα φασὶν ἐποικτῖραι καὶ τόδε φάσθαι ἔπος παῦσαι μηδὲ ῤάπιζ, ἐπεὶ ἦ φίλου ἀνέρος ἐστίν ψυχή, τὴν ἔγνων φθεγξαμένης ἀίων. Iz ovog fragmenta vidljivo je zašto srodstvo svih bića koje je u vezi sa učenjem o seobi duša stoji u osnovi zabrane jedenja životinjskog mesa od strane, barem nekih, pitagorejaca. Ovaj fragment pokazuje i da je pitagorejsko vjerovanje u preporod ili obnavljanje duše već u šestom stoljeću prije naše ere bilo dovoljno dobro poznato da bi moglo biti parodirano. Pitagorino prepoznavanje duše prijatelja utjelovljene u psu ilustrira, s druge strane, prenošenje osobnog identiteta na ψυχή, što znači da osobnost na neki način preživljava u selidbama duše i da postoji kontinuitet identiteta. 4 Zaključak je koji se može izvesti, barem implicitno, da su oduhovljena bića, dakle, i životinje, ali i neke biljke, u određenom smislu svjesna bića. Strukturni je problem ovakvog gledišta kako uklopiti srodnost cjelokupne physis s logičkim implikacijama da onda ni biljke ne treba konzumirati, s obzirom na to da su, prema pitagorejcima, živa bića i dio zajedništva prirode. U bilješkama Aleksandra Polihistora (DL, VIII, 28) spominje se da je u Pitagorejskim uspomenama pronašao rješenje paradoksa. Pitagorejci su smatrali da živi sve što sudjeluje u toplini, to je i razlog zašto su biljke živa bića (ζῷα), ali da sve nema dušu (ψυχὴν). Duša je otrgnuti komadić aithera ( neograničenog daha, tj. tzv. petog elementa), onog toplog i onog hladnog. Duša se razlikuje od života, besmrtna je 5 jer je besmrtno i ono od čega se odvojila. 6 Biljke, znači, posjeduju život, ali nemaju sve dušu pa su neke od njih pogodne za konzumiranje. Moguće je da razlog zašto su se pitagorejci suzdržavali od jedenja boba (lat. Vicia faba) 7 leži u činjenici da su vjerovali u njegovu oduhovljenost. Jamblih kao motiv zašto je Pitagora propisivao da se ne jede bob dodaje i mnoge božanske i prirodne razloge. 8 Koji su to bo- i života, smrti i duše. Misteriozno utjelovljenje univerzalnoga životnog daha i bliska veza s ljudskim životom koje su pitagorejci vidjeli u bobu dovela je do toga da ga zabrane za jelo. Usporedbom vjerovanja u palingenesiju 9 i homogenost (ὁμογενῆ) svih živih bića sa stavovima tzv. neciviliziranih plemena uočava se da i kod određenih divljih plemena vjerovanje u srodnost svih živih bića ide zajedno s kontingentom zabrana tj. tabua. Ove zabrane vrlo se često odnose na to što se ne smije jesti, premda se mogu odnositi i na druge stvari koje iz današnje perspektive nemaju baš mnogo smisla. Razlika je između ovih plemena i pitagorejske zajednice to što kod spomenutih plemena tabui imaju karakter puke zabrane, bez objašnjenja njihova značenja i smisla. Kod pitagorejaca, barem nekih, s druge strane, propisi o suzdržavanju od određenih vrsta hrane bili su doktrinarno utemeljeni, osmišljeni odnosno obrazloženi. 10 Ako, recimo, nije dopušteno hraniti se životinjskim mesom, onda takva zabrana proizlazi iz rizika da se jedu dalji ili bliži rođaci. 11 Drugačije rečeno, kada se jede životinjsko meso, čovjek se izlaže opasnosti da pojede nekog svojeg pretka čija se duša u kontinuiranim selidbama uselila u tijelo, naprimjer, nekog janjeta. Brojna su i heterogena svjedočanstva o ovoj temi, koja, kao i neke druga pitanja koja su razmatrana u pitagorejskom bratstvu, izazivaju kontroverze. Njih same vrlo je teško sistematiziramo i konsekventno interpretirati, pa ne čudi što stavovi oko (ne)upotrebe životinjskog mesa nisu u potonjim vremenima jednoznačno prihvaćani. Ukratko, varirali su od uvjerenja o potpunoj zabrani upotrebe mesa životinja u bratstvu, preko suz-
3 Kaluđerović Ž. Južnoitalsko učenje o duši. JAHS. 2017; 3(1): državanja od jedenja samo određenih vrsta životinja, do kategoričkog poricanja bilo kakve zabrane konzumiranja mesa. Prema prvoj verziji, Pitagora nije dozvoljavao da se jede meso životinja, a razlog je dobro poznat one kao mi (ljudi, op. Ž. Kaluđerović) imaju dušu (DL, VIII, 13). U nastavku ovog pasusa, istina, navodi se da je bitna srodnost životinja i ljudi bila svojevrsna kamuflaža i maska filozofa sa Samosa. Njegova tobože istinska namjera bila je da zabranom mesa životinja za ishranu postigne umjerenost u ishrani kod ljudi i lakše nabavljanje same hrane. To je prema ovoj interpretaciji bio put ka dobrom tjelesnom zdravlju i bistrini duše. On ne samo da se suzdržavao od životinjske hrane nego je, po Eudoksu, zbog svojeg zgražavanja nad ubijanjem i ubojicama općenito išao toliko daleko da je čak odbijao družiti se s kuharima i lovcima. Smatralo se zatim da su neke životinje svete i da ako se jedu, mogu narušiti bliskost bogova i ljudi. Zato je u bratstvu bilo zabranjeno jesti bijele pijetlove, jer su posvećeni Mjesecu, a posvećeni su Mjesecu jer oglašavaju vrijeme dana, kao što se nisu smjele dirati ni svete ribe, odnosno crnorepke i crvenorepke koje su bile posvećene zemaljskim bogovima. Jamblih pak bilježi da se, prema pitagorejskim acusmatama, smiju konzumirati samo životinje koje su prikladne za žrtvovanje, s obzirom na to da samo u njih ne ulazi ljudska duša. Ova zbirka pravila pitagorejskog načina života donosi i zabranu jedenja životinjskog srca, možda zato što se pretpostavljalo da je baš u njemu smještena duša. Porfirije u popisu Pitagorinih Symbola navodi da se od dijelova žrtvovanih životinja ne smiju jesti ni slabine, testisi, spolni organi, moždina, noge ni glava, zbog njihova simboličkog značenja. Oni su na životinjama istovremeno označavali začeće, rađanje, rast, početak i kraj; u cjelini gledano, predstavljali su vodeće dijelove tijela. Od Aristoksena pa nadalje bilo je odlučnih pokušaja i da se u osnovi negira postojanje zabrane. Aristoksen, suprotno prethodnim tvrdnjama, smatra da je bob bilo Pitagorino omiljeno povrće zbog svojih pročišćavajućih i ublažavajućih svojstava, kao i da je on u ovaj vid ishrane uključio praščiće i jariće (ponegdje se dodaju i pijetlo- vi). Ovo nisu samo zanimljivi detalji koji možda razbijaju ili bi trebali razbiti monotoniju izlaganja u ovom radu. Aristoksen je, po autorovu mišljenju, želio pokazati onima koji su u njegovu vremenu (4. st. pr. n. e.) prenaglašavali suzdržavanje od mesne ishrane da su, ako tako može reći, postali veći pitagorejci od samog Pitagore. Sam Aristoksen imao je prijatelje među učenim pitagorejcima koji su vjerojatno bili relaksirali ili relativizirali one elemente doktrine koji im nisu izgledali vrlo smislenima. Napuštanje drevnih propisa sigurno nije moglo proći bez reakcije odnosno otpora najrevnijih pitagorejaca te su učeni pitagorejci bili optuživani, modernom terminologijom rečeno, za reviziju tj. herezu izvornog pitagorizma. 12 Prema drugim svjedočanstvima Aristoksena (DL, VIII, 20), Pitagora je navodno dozvoljavao da se jedu sva živa stvorenja osim volova koji oru i ovnova. Ova tvrdnja, kad se razmisli, manje upućuje na srodstvo ljudi, barem s volovima, a više govori o pragmatičnim razlozima nejedenja radnih životinja. 13 Stavljajući ljude u isti rang sa životinjama, Pitagora je zahtijevao da se one smatraju srodnicima i prijateljima i da im se ni u kojoj prilici ne nanosi šteta. Mislio je da se time potiče mirotvorstvo, jer ako se ljudi počnu groziti ubojstva životinja, kao nečeg nezakonitog i neprirodnog, neće ni ubojstvo čovjeka smatrati časnim činom pa posljedično neće niti ratovati. Ovu indirektnu dužnost što se tiče životinja potom su prepoznali Kliment Aleksandrijski, Majmonid, Toma Akvinski, Kant i neki moderni filozofi, a i danas se upotrebljava kao argument zašto ne treba vršiti eksperimente na životinjama. Razlog je kasnija moguća dehumanizacija samog čovjeka. 14 * Duša je prema Pitagori bila besmrtna (ἀθάνατος), 15 a to je podrazumijevalo znatno više od običnog, odnosno pukog preživljavanja. Moglo bi se reći da je riječ o svojevrsnom nalikovanju bogu (ὁμοίωσις θεῷ), pri čemu put do spasenja nije pronalazio u objavi ili odgovarajućem setu zabrana, već u filozofiji. Interesantan i referentan uvid u pitagorejsko učenje u ovom smislu dao je Aristoksen (DK58D2)? Sve ono što su oni određivali u pogledu toga što se mora ili što se ne smije činiti smjeralo je prema druženju s božanstvom, i to je bio njihov princip; ne samo da im je sav život bio uređen spram poslušnosti koja se duguje bogu, nego je i smisao te filozofije bio taj da smiješno postupaju ljudi koji dobro traže od nekuda druguda umjesto od bogova. 16 ἅπαντα ὅσα περὶ τοῦ πράττειν ἢ μὴ πράττειν διορίζουσιν, ἐστόχασται τῆς πρὸς τὸ θεῖον ὁμιλίας, καὶ ἀρχὴ αὕτη ἐστὶ καὶ βίος ἅπας συντέτακται πρὸς τὸ ἀκολουθεῖν τῶι θεῶι καὶ ὁ λόγος οὗτος ταύτης ἐστὶ τῆς φιλοσοφίας, ὅτι γελοῖον ποιοῦσιν ἄνθρωποι ἄλλοθέν ποθεν ζητοῦντες τὸ εὖ ἢ παρὰ τῶν θεῶν.
4 18 Kaluđerović Ž. Južnoitalsko učenje o duši. JAHS. 2017; 3(1): Ova asocijacija i relacija duše prema onom božanskom primjereno demonstrira vezu religiozne i filozofske odnosno znanstvene strane pitagorejskog učenja, iako je od ranih dana bilo takvih intencija, čineći ih licem i naličjem jednog jedinstvenog sustava. 17 Za Pitagoru katarza i spas duše, kao što je navedeno, nisu ovisili jednostavno, kao u misterijskim kultovima, o odgovarajućoj inicijaciji i ritualnoj čistoći, nego o filozofiji. S pravom je J. Burnet napisao da je filozofija u Joniji značila nešto kao radoznalost, a da je riječ φιλοσοφία 18 imala znatno složenije značenje gdje se god može pronaći trag Pitagorina utjecaja. Sama philosophia bila je očišćenje i način bježanja od kotača, 19 što predstavlja karakteristiku najbolje grčke misli. 20 Filozofija je zapravo tada slično kao i danas značila upotrebu moći davanja dokaza (logon didonai) motrenja radi postizanja znanja. Načelo kosmosa koje sjedinjuje filozofa s božanskim ilustrira mjesto iz Platonove Države (500b d)? Onaj ko je svoj duh zaista upravio prema onome što stvarno jest, nema vremena, o Adeimante, da spušta svoj pogled na ljudske stvari, da se bori sa njima i da se ispunjava zavišću i mržnjom, nego gleda i posmatra uređene stvari koje uvek ostaju iste, u kojima nema međusobnog pričinjavanja niti podnošenja nepravde, nego u kojima vladaju samo red i razložnost (logos). To on podražava i sa tim se izjednačuje što najviše može... Filozof, dakle, koji se bavi onim što je božansko i uređeno, postaje i sam uređen i božanski, ukoliko je to čoveku moguće. 21 Osim dovođenja u blisku vezu pitagorizma i atomizma na početku ovog pasusa, Stagiranin pri kraju pasusa pod onima koji tvrde da je duša samopokrećuće načelo aludira na platonovce. 25 U nastavku odlomka (De An. 404a21 25) njegova se kritika konkretizira: platonovci nisu vidjeli da postoji išta što pokreće a da se i samo ne kreće. Prvobitno načelo, kako su ga Grci shvaćali i znatno prije Platona i njegovih sljedbenika, razumijevalo se kao vječno i stoga nužno neuzrokovano ili samouzrokovano te bez jasno razgraničenog, aristotelovski rečeno, causa materialisa i causa efficiensa. Odgovor na pitanje što je to samouzrokovano ili samopokrećuće sve otprilike od 6. st. p. n. e. gotovo je uvijek bio isti: duša ili život (ψυχή). 26 Οὐδὲ γάρ που, ὦ Αδείμαντε, σχολὴ τῷ γε ὡς ἀληθῶς πρὸς τοῖς οὖσι τὴν διάνοιαν ἔχοντι κάτω βλέπειν εἰς ἀνθρώ[c.] πων πραγματείας, καὶ μαχόμενον αὐτοῖς φθόνου τε καὶ δυσμενείας ἐμπίμπλασθαι, ἀλλ εἰς τεταγμένα ἄττα καὶ κατὰ ταὐτὰ ἀεὶ ἔχοντα ὁρῶντας καὶ θεωμένους οὔτ ἀδικοῦντα οὔτ ἀδικούμενα ὑπ ἀλλήλων, κόσμῳ δὲ πάντα καὶ κατὰ λόγον ἔχοντα, ταῦτα μιμεῖσθαί τε καὶ ὅτι μάλιστα ἀφομοιοῦσθαι... Θείῳ δὴ καὶ κοσμίῳ ὅ γε φιλόσοφος ὁμιλῶν κόσμιός τε [d.] καὶ θεῖος εἰς τὸ δυνατὸν ἀνθρώπῳ γίγνεται Kasniji se komentatori slažu da je numeričko objašnjenje univerzuma generalizacija koja je apstrahirana iz izvanrednog Pitagorina otkrića da ἁρμονία, 22 koju je izjednačio s brojem, ima glazbenu konotaciju, što je poznato iz Stagiraninova objašnjenja harmonije sfera, i može se pretpostaviti iz Platonova iskaza (Rep. 531a) da traže numeričke relacije u zvučnom skladu. 23 Najbolje stanje, po Pitagori, ono je u kojem su oprečne kvalitete toliko izmiješane, uz puno poštovanje zakona proporcije, da su njihove opozicije neutralizirane do te mjere da tvore eufoniju u glazbi, zdravlje u tijelu i kosmos tj. red i ljepotu u univerzumu kao cjelini. Aristotel zatim navodi pitagorejsko određenje duše (De An. 404a17 21)? Za rane predsokratovce osnovno bivstvo na je neki način bilo oživljeno i odnosilo se prema vidljivom tjelesnom svijetu kao duša prema ljudskom tijelu. 27 Aristotel u Met. 985b23 26 piše da su pitagorejci odgajani i obrazovani u duhu matematike, kao i da su smatrali da su njezina načela bila i načela svih bića. Iako su pitagorejci najčešće opisivali strukturalnu shemu stvari, njihovo je uvjerenje bilo da su istovremeno ocrtavali i tvarnu prirodu istih tih stvari. Italskim filozofima bilo je moguće da govore o odnosu stvari i brojeva, a da pritom brojeve, bez ikakvih problema u vlastitom rasuđivanju, tretiraju i kao aritmetičke jedinice i kao geometrijske točke i kao fizikalne atome. Proces nastajanja zato su mogli objašnjavati na sljedeći način: iz ograničenog i neograničenog, neparnog i parnog nastaju brojevi, iz brojeva nastaju geometrijske figure, a od geometrijskih figura nastaju fizikalni objekti. 28 Neki od njih su ustvrdili da je duša ta prašina u vazduhu, a drugi da je ona to što ovu pokreće. A što se te /prašine/ tiče, za nju je rečeno da je očigledno neprekidno u pokretu, pa čak i da nema nimalo vetra. Na isto se svode i oni koji tvrde da je duša to što pokreće samo sebe. 24 ἔφασαν γάρ τινες αὐτῶν ψυχὴν εἶναι τὰ ἐν τῷ ἀέρι ξύσματα, οἱ δὲ τὸ ταῦτα κινοῦν, περὶ δὲ τούτων εἴρηται ὅτι συνεχῶς φαίνεται κινούμενα, κἂν ᾖ νηνεμία παντελής. ἐπὶ ταὐτὸ δὲ φέρονται καὶ ὅσοι λέγουσι τὴν ψυχὴν τὸ αὑτὸ κινοῦν
5 Kaluđerović Ž. Južnoitalsko učenje o duši. JAHS. 2017; 3(1): Stagiranin je potom smatrao da je duša za pitagorejce stanje ili uređenje brojeva, o čemu izvještava u petom poglavlju prve knjige Metafizike (985b26 31)? A kako su brojevi tu po prirodi prvi, a njima se činilo da kod njih opažaju mnoge sličnosti s onim što jest ili što postaje, pre nego kod vatre, zemlje, i vode, zato što je takvo i takvo svojstvo brojeva pravednost, ovakvo duša, a drugo um, povoljan čas, i ukratko podjednako i sve ostalo. 29 ἐπεὶ δὲ τούτων οἱ ἀριθμοὶ φύσει πρῶτοι, ἐν δὲ τοῖς ἀριθμοῖς ἐδόκουν θεωρεῖν ὁμοιώματα πολλὰ τοῖς οὖσι καὶ γιγνομένοις, μᾶλλον ἢ ἐν πυρὶ καὶ γῇ καὶ ὕδατι, ὅτι τὸ μὲν τοιονδὶ τῶν ἀριθμῶν πάθος δικαιοσύνη, τὸ δὲ τοιονδὶ ψυχὴ καὶ νοῦς, ἕτερον δὲ καιρὸς καὶ τῶν ἄλλων ὡς εἰπεῖν ἕκαστον ὁμοίως Kada Aristotel u Met. 985b26 kaže da su brojevi po prirodi prvi (φύσει πρῶτοι), to znači da su najjednostavniji od matematičkih stvari. Stagiranin u Met. 985b29 govori da je pitagorejcima nekakvo svojstvo (kurziv Ž. Kaluđerović) brojeva pravednost, neko drugo svojstvo duša ili um, a neko treće pak povoljan čas. U tekstu je upotrijebljena teško prevodiva grčka višeznačnica πάθος, za koju je na ovom mjestu najbolje zadržati prijevod svojstvo, jer ako se pogleda npr. odlomak iz Met. 1004b10 12, vidjet će se da su neparnost, parnost, razmjernost, nja na spomenute numeričke opservacije 31 otkrivanje snažnog utjecaja osobenog pitagorejskog učenja na ne(u)obič(aje)ni matematički pristup praktičkoj filozofiji koji se može pronaći kod Platona. U raspravi koja se vodi u dijalogu Gorgija Sokrat je minuciozno objašnjavao Kaliklu da se vrlina svake stvari sastoji u redu i u skladnosti koja proizlazi iz reda. Posljedično tome, i duša koja ima u sebi svoju vlastitu skladnost bolja je od one duše koja tu skladnost nema. Duša koja posjeduje takvu skladnost razborita je, harmonična i umjerena, a umjerena je i pravedna duša, konačno, dobra. Sokrat se potom obraća Kaliklu (Gorg. 507e 508a)? Mudri ljudi, moj Kalikle, tvrde da su prijateljstva, poštovanje reda, zatim umerenost i pravednost one snage koje povezuju nebo i zemlju, bogove i ljude, te zato vasionu oko nas nazivaju kosmosom, što znači red, a ne razuzdanost i nered, moj dragoviću. A ti, kao što vidim, ne pridaješ nikakve važnosti svemu tome, i pored toga što si filozof, i zato ti je ostalo nepoznato da geometrijska jednakost ima veliku moć među bogovima i među ljudima. Ti misliš da je najvažnije to da se ima više, jer zanemaruješ geometriju. 32 Φασὶ δ οἱ σοφοί, ὧ Καλλίκλεις, καὶ οὐρανὸν καὶ γῆν καὶ θεοὺς καὶ ἀνθρώπους τὴν κοινωνίαν συνέχειν καὶ φιλίαν καὶ κοσμιότητα καὶ σωφροσύνην καὶ δικαιότητα, καὶ τὸ ὅλον τοῦτο διὰ ταῦτα κόσμον καλοῦσιν, ὧ ἑταῖρε, οὐκ ἀκοσμίαν οὐδὲ ἀκολασίαν. Σὺ δέ μοι δοκεῖς οὐ προσέχειν τὸν νοῦν τούτοις, καὶ ταῦτα σοφὸς ὤν, ἀλλὰ λέληθέν σε ὅτι ἡ ἰσότης ἡ γεωμετρικὴ καὶ ἐν θεοῖς καὶ ἐν ἀνθρώποις μέγα δύναται σὺ δὲ πλεονεξίαν οἴει δεῖν ἀσκεῖν γεωμετρίας γὰρ ἀμελεῖς. jednakost, nadmašivanje, zaostajanje navedeni kao ἴδια πάθη broja. Na temelju ovoga može se zaključiti da su pitagorejci identificirali dikaiosyne, psyche, nous i kairos s određenim svojstvom broja kao što je neparnost ili kvadratnost. Aristotelovo spominjanje duše i uma kod pitagorejaca kao svojstva brojeva, da se zbog prirode istraživanja u ovom radu zadržimo na njima, može se razumjeti kao da su pitagorejci upotrebljavali ψυχή u smislu νοῦς i da su oba pojma bila predstavljena istim brojem, jedinicom. Nešto oprezniji pristup bio bi da je na osnovi Stagiraninova navoda jedino moguće reći da su duša i um bili predstavljeni istim brojem, a da je taj broj najvjerojatnije broj 1. Postoje, istina, i bilješke koje sugeriraju da je duša bila predstavljena brojem 2 (a um brojem 1), imajući u vidu da se kreće od premisa ka konkluziji, brojem 4, brojem 6 ili čak brojem Neki povjesničari filozofije smatraju da je možda najveća dobrobit od obraćanja pažnje i usmjeravanja mišlje- Platonovo spominjanje mudrih ljudi (οἱ σοφοί) na početku pasusa vjerojatno se odnosi na pitagorejce i Empedokla. 33 Kada Sokrat kaže da ti ljudi cjelinu svega nazivaju kosmosom, što znači red, samo je izrazio jedno od reprezentativnih značenja grčke imenice muškog roda κόσμος. Ono što treba imati u vidu jest da se za Pitagoru tradicionalno tvrdilo da je bio prvi koji je upotrijebio ime kosmos za svijet, u znak priznanja za red koji manifestira. Iz Gorgije se može uočiti da matematički i polumatematički primjeri, premda ne toliko kompleksni kao u Menonu, također nagovještavaju pitagorejske elemente kao uzor. U Gorg. 465b Sokrat kaže da će zbog sažetosti govoriti jezikom matematičara i odmah potom nastavlja govoriti o dvostrukoj proporciji tipa a:b::c:d i e:f::g:h. Još izrazitiji primjer utjecaja pitagorizma iznosi se u Gorg. 503e 504a, gdje se kaže da je cilj slikara, građevinara i brodograditelja da strogo određeno (taxis) raspolažu pojedinim elementima u svojem radu, pode-
6 20 Kaluđerović Ž. Južnoitalsko učenje o duši. JAHS. 2017; 3(1): šavajući ih tako da se slože jedni s drugima dok sve ne bude sjedinjeno u lijepu i harmoničnu cjelinu (kosmos). Slično i liječnici i učitelji gimnastike tijelo dovode u red i odgovarajuću skladnost. Ovo naglašavanje važnosti kosmosa, koje je usko povezano s kozmičkom važnošću matematičkih zakona, nesumnjivo je pitagorejskog porekla. 34 Platonov interes za pitagorejsku tradiciju u Gorgiji vidljiv je i na mjestu gdje Sokrat citira Euripida ( Ko zna nije li život smrt i nije li smrt život? (Gorg. 492e), kao i kada se tijelo (σῶμά) dovodi u vezu s grobnicom (σῆμα) duše (Gorg. 493a). 35 Kada u nastavku pasusa (Gorg. 493a c) Atenjanin kaže da je to čuo od jednog mudraca (σοφῶν) i potom dovede u vezu požudni dio duše s probušenom bačvom koja se ne može napuniti, ima potrebu dodatno pojasniti da je tu priču izmislio neki duhoviti čovjek vjerojatno sa Sicilije ili iz Italije, aludirajući na pitagorejce, a možda i na pitagorejca Empedokla. Na tragu W. K. C. Guthrieja može se zaključiti da su postojale dvije suvremene predodžbe duše: Jedna je psyche, koja iščezava u trenutku smrti i koju medicinski pisci, uključujući i neke skeptičke i heretičke pitagorejce, racionaliziraju u harmoniju fizičkih opreka koje sačinjavaju tijelo. 36 Drugi je više tajnoviti daimon 37 u čovjeku, koji je besmrtan trpeći palingenesiju (transmigraciju u Guthriejevoj verziji) kroz mnoga tijela, ali je u svojem čistom bivstvu božanski. Obje su predodžbe duše preživjele, rame uz rame, u generalnom toku religiozne misli, kao što su i obje opstale u neobičnoj kombinaciji matematičke filozofije i religioznog misticizma koja je stvorila pitagorizam. 38 Literatura: 1. Herodot u svojoj Povijesti (II, 123), uz određeni oprez, prenosi informaciju da su navodno Egipćani prvi zagovarali palingenesiju. Zanimljiva je njegova bilješka pri kraju pasusa da su ovo mišljenje odnosno shvaćanje prihvatili i pojedini Heleni, neki ranije, a neki kasnije, i da su se ponašali kao da su ga sami izmislili. Herodot piše da, iako što su mu poznata njihova imena (Pitagora, Empedoklo?), ipak ih neće spominjati i navoditi. Vidi: Herodot (2009). Istorija. Beograd: Dereta, str Huffman pak smatra da je, osim verzije o Egipćanima, moguće i da je sam Pitagora tvorac doktrine o seobi duše, kao i da je, što je po njemu vjerojatnije, njezino porijeklo iz Indije. Huffman, C. A., The Pythagorean tradition, p. 70, u: A. A. Long (ed.) (1999). The Cambridge Companion to EARLY GREEK PHILOSOPHY. Cambridge: Cambridge University Press. 2. Treba razlikovati grčke pojmove παλιγγενεσία ( preporod, obnavljanje duše ) i μετεμψύχωσις ( prelazak duše iz tijela u tijelo ) (pojedini novoplatonisti i kršćanski apologeti upotrebljavaju i pojam μετενσωμάτωσις ( ulazak (duše) u drugo tijelo ). Neprecizniji i, nažalost, češće upotrebljavan termin μετεμψύχωσις javlja se tek kod poznijih autora. Ovaj je izraz neprecizniji jer sugerira da je u pitanju vjerovanje koje govori o preegzistenciji ili samostalnoj egzistenciji duša, dok kod izraza παλιγγενεσία to nije slučaj. Izvorno pitagorizam, naime, predmnijeva da se duša, u obliku života, seli iz tijela u tijelo. Tijelo, naravno, mora da umrijeti da bi duša izašla iz njega i na neki misteriozan način produžila svoju egzistenciju u novom organizmu. Vjerovalo se, dakle, da smrt nekog čovjeka označava u isti mah rađanje nekog drugog živog bića, da, konačno, duša nigdje i nikada ne postoji sama za sebe izvan tijela. 3. Prev. J. Kaštelan. Diels, H., (1983). Predsokratovci fragmenti I. Zagreb: Naprijed, str. 132, B7. Njem. izd. Diels, H., Kranz, W., (1985). Die Fragmente der Vorsokratiker I. Zürich: Weidmann, s. 131, B7. 4. Sudeći prema bilješkama Diogena Laertija (VIII, 4), odnosno pričama Heraklida s Ponta, Pitagora je mogao i u životu i u smrti sačuvati sjećanje na sve što je doživio. U životu se mogao sjetiti svega, a poslije smrti bi sačuvao isto pamćenje. 5. Da duša na neki način nastavlja život nakon smrti i da palingenesia uključuje nagrade i kazne za prethodno učinjeno vidljivo je i iz bilješke Iona s Hija (DK36B4). 6. Detaljnije vidi u: Guthrie, W. K. C. (1962). A History of Greek Philosophy I. Cambridge: Cambridge University Press, p Bob nije sinoniman odnosno identičan s grahom (lat. Phaseolus vulgaris), koji je porijeklom iz Južne Amerike i u Europi se prvi put spominje tek otprilike godine. 8. Prev. M. Tasić. Jamblih (2012). Pitagorin život. Beograd:
7 Kaluđerović Ž. Južnoitalsko učenje o duši. JAHS. 2017; 3(1): DERETA, str. 69. Pitagora je zabranjivao i da se jede sljez (lat. Malvaceae), s obrazloženjem da je ova biljka prvi glasnik i svjedočanstvo simpatije onog nebeskog prema onom zemaljskom. 9. Učenje o palingenesiji jedno je od rijetkih bitnih pitagorejskih stavova za koje Stagiranin nije naš najraniji izvor. Njegovo referiranje o spomenutoj temi (De An. 407b20 26) ipak se s dužnom pažnjom uzimalo u obzir čak i kada je bilo izrečeno u negativnom kontekstu. Aristotelova je teza da svako tijelo mora biti povezano sa sebi svojstvenim oblikom i likom te da svaki živi organizam mora biti povezan sa sebi svojstvenom dušom. Stagiranin je mogao imati na umu Ksenofanove riječi iz spominjanog 7. fragmenta (DK21B7), kada piše kao da je kao u pitagorejskim basmama moguće da bilo koja duša uđe u bilo koje telo (De An. 407b21 23), i smatrati da se u tijelo psa ne može smjestiti duša čovjeka, ali je vjerojatnije da je njegovo učenje načelnijeg karaktera. 10. Uvjerenje ili svojevrstan osjećaj da se treba kloniti hrane životinjskog porijekla, ali ne i sve koja je biljnog porijekla, može se dovesti u vezu i s drevnim otklonom i strahom od skrnavljenja srodnom krvlju (koje najbolje detektiraju dvije imenice srednjeg roda u klasičnom grčkom jeziku ἄγος ( (krvna) krivnja, grijeh, ono što se mora okajati ) i μίασμα ( skrnavljenje, grozota ), koji je Pitagora vjerojatno naslijedio od svojih nefilozofskih preteča. Empedoklo je vlastiti otpor takvim praksama pokušao također filozofski utemeljiti, premda se u njegovom 139. fragmentu (DK31B139) priziva još starije doba. 11. Empedoklo je, naprimjer, mislio (DK31B137) da transmigracija podrazumijeva da ljudi doslovno ubijaju svoje srodnike, odnosno da čovjek koji jede meso može pojesti svojeg sina, kao i sin oca, ili da djeca mogu pojesti svoju majku zato što su izmijenili obličje. 12. Detaljnije vidi u: Guthrie, W. K. C. (1962). A History of Greek Philosophy I. Cambridge: Cambridge University Press, pp ; Burnet, J. (1962). Early Greek Philosophy. Cleveland and New York: The World Publishing Company, pp ; Pavlović, B. (1997). Presokratska misao. Beograd: ΠΛΑΤΩ, str ; Mattéi, J. F. (2009). Pitagora i pitagorovci. Zagreb: Jesenski i Turk, str S druge strane, Pitagora je vjerovao da hrana pomaže obrazovanju ljudi, ako je kvalitetna i redovita, pa je odobravao da se jede ono što dovodi tijelo u zdravo i smireno stanje. Bio je također uvjeren da odgovarajuća hrana pogoduje umijeću proricanja, čistoći i neporočnosti duše, odnosno razboritosti i vrlini. 14. Porfirije u trećoj knjizi spisa O uzdržavanju od oduševljenih (bića) (Περὶ αποχης εμψυχων) piše da je pitagorejcima blagost prema životinjama bila vježba filantropije i sućuti. Porphyry, On Abstinence from Animal Food, 3.20, p Preuzeto s internetske adrese: google.rs/books?id=pu5haaaacaaj&printsec=frontco ver&dq=porphyry+on+abstinence+from+animal+food +pdf&hl=en&sa=x&ved=0ahukewjwkejdnr_tahvbtxok HTY1BxIQ6AEIJjAB#v=onepage&q&f=false, pristupljeno 25. travnja Određeni segmenti ovog dijela članka preuzeti su, uz znatne korekcije, iz: Kaluđerović, Ž., Jašić, O., Pitagorejska i arapska recepcija ne-ljudskih živih bića. Nova prisutnost : Porfirije (V. Pyth. 19) eksplicitno navodi da je najprije postalo općepoznato Pitagorino kazivanje da je duša besmrtna (ἀθάνατον... ψυχήν). Vidi: Diels, H. (1983). Predsokratovci fragmenti I. Zagreb: Naprijed, str. 98, 8a. Kahn smatra da je poimanje duše kao besmrtne, posljedično i potencijalno božanske, jedna od dvije grupe ideja (druga predstavlja pokušaj razumijevanja i objašnjenja prirode stvari matematičkom terminologijom) koje omogućavaju trajnu vitalnost pitagorejske tradicije. Kahn, C. H. (2001). Pythagoras and the Pythagoreans. Indianapolis/ Cambridge: Hackett Publishing Company, Inc., p Prev. A. S. Kalenić. Diels, H. (1983). Predsokratovci fragmenti I. Zagreb: Naprijed, str. 423, D2. Njem. izd. Diels, H., Kranz, W. (1985). Die Fragmente der Vorsokratiker I. Zürich: Weidmann, s. 468, D Vidi: Guthrie, W. K. C. (1962). A History of Greek Philosophy I. Cambridge: Cambridge University Press, pp Prema Diogenu Laertiju, on je i tvorac ovog neologizma (I, 12). Vidi: Laertije, D. (1973). Životi i mišljenja istaknutih filozofa. Beograd: BIGZ, str Ta ideja je potom na adekvatan način izložena u Platonovu Fedonu. 20. Burnet, J. (1962). Early Greek Philosophy, Cleveland and New York: The World Publishing Company, p Prev. A. Vilhar, B. Pavlović. Platon (1993). Država. Beograd: BIGZ, str , 500b d. Original Države preuzet je iz: Platon (1990). DER STAAT. Werke: in 8 Bd.; griech. u. dt., vierter band, Hrsg. von G. Eigler, Darmstadt, s , 500b d. 22. Imenica ženskog roda ἁρμονία, za koju mnogi kažu da je ključna riječ pitagorizma, ima sljedeća značenja: spajanje, slaganje ; veza, ugovor ; sklad, suglasje, harmonija ; ime Zeusove kćeri koja se zove Ἁρμονία. Harmonia još može značiti ljestvica, pa i oktava. Za harmoniju se u jednoj od acusmata (DK58C4) kaže da je najljepša (κάλλιστον). 23. Ovakvu tezu podržavaju, recimo, Barnet, Taylor i Cornford. 24. Prev. S. Blagojević. Aristotel (2012). O duši, u: O duši. Parva naturalia. Beograd: PAIDEIA, str , 404a U pitagorejskoj kozmogoniji duša također mora biti jedina početna instancija, kao što je za miletske mislioce jedno arche bilo božansko načelo u njihovu svijetu. 25. Vidi: Phaedr. 245c 246a; Nom. 895e 896a, Nom. 966e. 26. Ova relativno česta srodnost pa i poistovjećivanje duše i života ne znači da pitagorejci nisu bili uvjereni da je duša, premda jest harmonija, također, kao što je nekoliko puta navedeno u ovom radu, besmrtna. Besmrtnost duše, štoviše, ono je o čemu ovisi da duša bude harmonija, a pod njom (harmonijom) ovdje se posebno misli na skladnost kozmičkog odnosno numeričkog tipa. Činjenicu besmrtnosti duše utvrđuje i E. Rohde, dodajući da je
8 22 Kaluđerović Ž. Južnoitalsko učenje o duši. JAHS. 2017; 3(1): duša besmrtna zato što je vječna. Rode, E. (1991). PSYC- HE. Sremski Karlovci. Novi Sad: Izd. knjiž. Z. Stojanovića, str Vidi i: DK44A23, DK44B14, DK44B22; Phaed. 81d, Phaed. 86b c; De An. 405a29 405b1, De An. 407b27 32, De An. 408a5 9; Pol. 340b Vidi: Jaeger, W. (1967). The Theology of the Early Greek Philosophers. Oxford: Oxford University Press, p Vidi i: Kaluđerović, Ž. (2017). Rana grčka filozofija. Zenica: Hijatus. str Prev. S. U. Blagojević. Aristotel (2007). Metafizika. Beograd: PAIDEIA, str. 18, 985b Usporediti i Platonove bilješke: Rep. 525d, Rep. 527b, Rep. 529d; Tim. 35b. 30. U DK14.8 pronalazi se moguće objašnjenje za ovaj broj. Tamo se, naime, navodi da je Pitagora: Metempsihoze koje su mu se izvršile prošao u razmacima od po 216 godina: poslije toliko se dakle godina Pitagora iznova rodio i opet došao u život. Prev. A. S. Kalenić. Diels, H. (1983). Predsokratovci fragmenti I. Zagreb: Naprijed, str. 96, 8. njem. izd. Diels, H., Kranz, W. (1985). Die Fragmente der Vorsokratiker I. Zürich: Weidmann, s. 99, U pseudo-aleksandrovom komentaru jednog Aristotelova odlomka (Met. 1092b8 13), može se uočiti kako pitagorejac Eurit (koji je živio na početku 4. st. p. n. e. i bio je Filolajev učenik) izlaže zanimljivu kombinaciju mozaičnog predstavljanja likova s pomoću raznobojnih kamenčića i pitagorejskog numeričkog simbolizma (DK45.3). Vidi: Diels, H. (1983). Predsokratovci fragmenti I. Zagreb: Naprijed, str. 366, Prev. A. Vilhar. Platon (1968). Gorgija, u: Protagora. Gorgija. Beograd: Kultura, str. 166, 507e 508a. Original Gorgije preuzet je iz: Platon (1988). DES SOKRATES APOLOGIE. KRITON. EU- THYDEMOS. MENEXENOS. GORGIAS. MENON. Werke: in 8 Bd.; griech. u. dt., zweiter band, Hrsg. von G. Eigler, Darmstadt, s. 450, 507e 508a. Usporediti: Rep.431e 432a, Rep.443d. 33. Pasus iz Magna Moralie (1182a11 14), vjerojatno djelo nekog ranog sljedbenika Aristotela, ali koje u osnovi izražava njegova gledišta, može dodatno potkrijepiti tezu da su σοφοί koji se spominju na ovom mjestu u Gorgiji ustvari pitagorejci. 34. Detaljnije vidi u autorovoj knjizi. Kaluđerović, Ž. (2015). Dike i dikaiosyne. Skopje (Makedonija): Magnasken, str , Slično i u Crat. 400c. 36. Autor je u ovom istraživanju ovlaš spominjao tzv. pretežno fizikalna objašnjenja duše, poput onih koja kao Simija i Kebet u Fedonu (86b) dušu tretiraju kao smjesu i sklad (κρᾶσιν καὶ ἁρμονίαν) tjelesnih dijelova ili fizičkih suprotnosti (a samim time i kao smrtnu i propadljivu), ili onih koji dušu u određenoj mjeri poistovjećuju s eterom (αἰθέρος) tj. onih koji navode da je duša neka prašina (ξύσματα) u zraku, premda je fokus u radu bio na tzv. religioznim i filozofskim poimanjima duše. 37. Guthrie je u svojoj knjizi napisao termin daimon koji je Empedoklo upotrebljavao kao ekvivalent za dušu. Nazivajući dušu daimonom prije nego psycheom, Empedoklo je vjerojatno želio naglasiti božansku prirodu čovjeka. Inače, na riječ ψυχὴν u sačuvanim se Empedoklovim fragmentima nailazi samo jednom (DK31B138). 38. Ovaj pasus predstavlja parafrazu tj. prijenos Guthrieijevih riječi iz odlomka njegove knjige Povijest grčke filozofije I, poglavlje o Pitagori i pitagorejcima, koje je on imenovao kao Priroda duše. Guthrie, W. K. C. (1962). A History of Greek Philosophy I. Cambridge: Cambridge University Press, p. 319.
9 Kaluđerović Ž. Južnoitalsko učenje o duši. JAHS. 2017; 3(1): SOUTHERN ITALIAN DOCTRINE OF THE SOUL 1 Željko Kaluđerović 1 Department of Philosophy, University of Novi Sad, Faculty of Philosophy, Novi Sad, Serbia Summary: The paper investigates directly and indirectly preserved views of Pythagoras and Pythagoreans who, according to the author, represent the antecedents of deviations from the mainstream Western philosophy and anticipate the majority of later modalities of non-anthropocentric approaches. Fragments of italic thinkers, in other words can serve almost as guidelines for today highly actual (bio)ethical requirements for a new and different resolution of the relation between humans and so called non-human living beings. The Pythagorean idea that all forms of life are kindred brought into connection not only humans with animals and plants, but also indicated that human soul, however only after purification, can achieve melding with eternal and divine soul, to which it belongs by its own nature. The link and analogy that may be established between a man and universe is referred to in Aristotle s statement that, according to Pythagoreans it is possible for any soul to enter any body. This kinship of all varieties of life, eventually, was a necessary prerequisite for the Pythagorean doctrine on immortality and the transmigration of souls. Xenophanes reports about palingenesia by a well known statement that once when Pythagoras saw some people beating a dog and advised them to stop, since in the yelping of the dog he recognized the soul of his friend. From Colophonian fragment (DK21B7) it is evident why kinship of all beings which is associated with the doctrine of the transmigration of souls is at the basis of the Pythagorean ban on the eating of animal flesh. Pythagoras recognition of his friend s soul embodied in a dog illustrates the transfer of personal identity on the psyche, which means that a personality somehow survives in the migrations of the soul and that there is a continuity of identity. The conclusion that can be derived, at least implicitly, is that ensouled beings, therefore animals, but also certain plants, in a sense, are conscious beings. Keywords: Pythagoras and Pythagoreans, non-anthropocentrism, kinship, life, soul, doctrine, immortality, palingenesia
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών
Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Željko Kaluđerović. Univerzitet u Novom Sadu, Filozofski fakultet, Dr. Zorana Đinđića 2, RS Novi Sad
Izvorni članak UDK 128:141.141(091)Tales Primljeno 21. 1. 2015. Željko Kaluđerović Univerzitet u Novom Sadu, Filozofski fakultet, Dr. Zorana Đinđića 2, RS 21000 Novi Sad zeljko.kaludjerovic@gmail.com Talesov
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
STUDIJE I OGLEDI. ŽELJKO KALUĐEROVIĆ Filozofski fakultet, Novi Sad PITAGOREJSKA RECEPCIJA BIVSTVA PRAVDE
STUDIJE I OGLEDI Arhe, III, 5-6/2006 UDK 1(38), 510.21 Aristotel Originalni naučni rad ŽELJKO KALUĐEROVIĆ Filozofski fakultet, Novi Sad PITAGOREJSKA RECEPCIJA BIVSTVA PRAVDE Rezime: Autor u radu najpre
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Studije. Željko Kaluđerović. Univerzitet u Novom Sadu, Filozofski fakultet, dr Zorana Đinđića 2, RS Novi Sad
Studije Izvorni članak UDK 165.7:[128:591.511](38) Primljeno 17. 12. 2013. Željko Kaluđerović Univerzitet u Novom Sadu, Filozofski fakultet, dr Zorana Đinđića 2, RS 21000 Novi Sad zeljko.kaludjerovic@gmail.com
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Trigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
ANAKSIMANDROVO POIMANJE POČELA (BIĆA) I NJEGOVA DOKTRINA DÍKE I TÍSIS. Sažetak
Željko Kaluđerović Odsjek za filozofiju Filozofski fakultet Univerzitet u Novom Sadu RS 21000 Novi Sad, Dr. Zorana Đinđića 2 zeljko.kaludjerovic@ff.uns.ac.rs UDK: 1Anaksimandar Izvorni znanstveni članak
4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Zadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών
Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.