Studij matematike u Zagrebu

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Studij matematike u Zagrebu"

Transcript

1 Studij matematike u Zagrebu Andrej Novak, Mladen Vuković, Zagreb Rješavajte, rješavajte zadatke. Svetozar Kurepa, Ovo je prvi od članaka u nizu u kojima vam želimo opisati studij matematike na Matematičkom odjelu Prirodoslovno matematičkog fakulteta u Zagrebu (skraćeno: PMF MO). Nastojali smo ukratko dati odgovore na moguća pitanja srednjoškolaca koji razmišljaju o upisu na studij matematike. Unatoč tome što članak nije u formi pitanja odgovori, pokušat ćemo odgovoriti na sljedeća pitanja: U kojem postotku bi trebala/trebalo riješiti test na državnoj maturi da bih zadovoljila/zadovoljio kriterije upisa na PMF MO? Koliko se kandidata prijavi za studij matematike? Koliko je bodova imao posljednji kandidat na listi koji se ove godine upisao na PMF MO? Tko upisuje PMF MO? Imam li dovoljno predznanja za studij matematike? Kako izgleda nastava na prvoj godini studija? Kako se polažu ispiti? Što je najteže na studiju? Ako završim preddiplomski studij, kako onda upisujem diplomski studij? Gdje se zapošljavaju magistari matematike? Studij matematike na PMF MO odvija se po shemi 3+2. To znači da prve tri godine studija čine tzv. preddiplomski studij, a preostale dvije godine čine diplomski studiji. Na PMF MO u Zagrebu postoje dva preddiplomska studija: preddiplomski sveučilišni studij Matematika i preddiplomski sveučilišni studij Matematika; smjer nastavnički. Oba studija traju minimalno tri godine, odnosno šest semestara. Nakon završenog prediplomskog studija, student može upisati na PMF MO jedan od sljedećih sedam diplomskih studija (četvrta i peta godina!): Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Računarstvo i matematika, Financijska i poslovna matematika, Matematička statistika, Matematika smjer nastavnički i Matematika i informatika smjer nastavnički. U suradnji s Fizičkim odsjekom PMF a izvodi se i Integrirani preddiplomski i diplomski sveučilišni studij matematike i fizike; smjer nastavnički. Navedeni studij izvodi se po shemi 5+0. Glavna tema ovog članka biti će preddiplomski sveučilisni studij Matematika. U nekim od sljedećih članaka u MFL u govorit će se o diplomskim studijama. Na preddiplomski sveučilišni studij Matematika prima se 200 novih studenata svake godine. Ove godine oko 250 srednjoškolaca je taj studij upisalo na prijavi kao prvi na svojoj listi želja, a ukupno oko 1500 srednjoškolaca je navelo preddiplomski studij Matematika kao svoj mogući izbor. U prvom upisnom roku u srpnju upisalo se svih 200 studenata. Posljednji student na listi upisanih imao je ukupno bodova, i to bodova iz srednje škole, te 350 bodova bodova s državne mature (to su bodovi iz matematike; student nije imao niti jedan bod za dodatna postignuća). 1 Izmedu svih 200 upisanih 93 ih je položilo matem- 1 Ocjene iz srednje škole nose najviše 300 bodova (to odgovara prosjeku 5,00). Test iz matematike na 1

2 atiku na maturi s ocjenom odličan, 79 s ocjenom vrlo dobar, 27 s ocjenom dobar, i jedan s ocjenom dovoljan. Od 200 studenata upisanih ove godine na preddiplomski sveučilišni studij Matematika njih oko 150 je završilo neku od gimnazija u Republici Hrvatskoj. Istaknut ćemo gimnazije iz kojih je ove godine najviše upisanih studenata na preddiplomski sveučilišni studij Matematika: V. gimnazija Zagreb 18, XV. gimnazija Zagreb 16, III. gimnazija Split 9, Gimnazija Lucija Vranjanina Zagreb 8, I. gimnazija Zagreb 7, II. gimnazija Zagreb 5, III. gimnazija Zagreb 5, Gimnazija Antuna Vrančića Šibenik 5, Gimnazija Jurja Barakovića Zadar 5, X. gimnazija Ivan Supek Zagreb 4, Gimnazija Pula 4, Gimnazija Andrije Mohorovičića Rijeka 4 i Druga gimnazija Varaždin 4. Prije nego što počnemo opisivati kako izgleda studij matematike navodimo objašnjenja nekih pojmova za koje smatramo da nisu poznati svakom srednjoškolcu. akademska godina naziv za školsku godinu na sveučilištu. Tradicionalno, akademska godina počinje 1. listopada, a završava 30. rujna sljedeće godine. No, na mnogim fakultetima u Zagrebu, pa tako i na PMF MO, nova akademska godina počinje početkom rujna. semestar polovica jedne akademske godine. U Hrvatskoj se gotovo na svim fakultetima nastava odvija u dva semestra: zimskom i ljetnom. kolegij naziv za predmete na sveučilištu. Kolegiji su u pravilu semestralni, tj. nastava iz jednog kolegija počinje kada i semestar, a kraj kolegija je nakon završnih ispita. predavanja i vježbe oblici nastave. Na predavanjima se izlaže teorija, a na vježbama se obično rješavaju zadaci. Predavanja u pravilu drže nastavnici, a vježbe vode asistenti. asistent osoba koja je zaposlena na fakultetu, te je najčešće upisana na poslijediplomski studij, tj. još se školuje radi stjecanja akademskog stupnja doktor znanosti. kolokvij naziv za ispite (najčešće pismene). Na većini kolegija postoje dva kolokvija. Prvi kolokviji se obavljaju sredinom semestra, te obuhvaćaju gradivo koje je ispredavano do tog trenutka. Drugi se pišu nakon završetka nastave u semestru, te sadrže zadatke iz gradiva koje je obradivano nakon prvog kolokvija. Popravni kolokviji se organiziraju za studente koji nisu tijekom semestra uspjeli ostvariti potrebne bodove za prolaz, a oni obuhvaćaju gradivo čitavog kolegija. završni ispit za studente koji su na prvom i drugom kolokviju ostvarili traženi broj bodova organizira se završni ispit. Na završnom ispitu za pojedini kolegij profesor prvo utvrduje ukupan broj bodova koje je student ostvario tijekom semestra. Ovisno o maturi (viša razina) nosi maksimalno 60 bodova. Ti bodovi se množe s 10 kako bi se dobilo rang mjesto za upis, pa test iz matematike na držanoj maturi maksimalno nosi 600 bodova. Za dodatna postignuća može se maksimalno dobiti 100 bodova. Dodatna postignuća su sudjelovanje na državnim natjecanjima, te jako uspješno riješeni testovi iz drugih predmeta na državnoj maturi. Sredjoškolci koji su sudjelovali na državnom natjecanju iz matematike varijanta A, ili pak na državnim natjecanjima iz fizike ili informatike, odnosno ako su osvojili neko od prva tri mjesta na državnom natjecanju iz matematike varijanta B, imaju pravo na izravan upis bilo kojeg preddiplomskog studija na PMF MO u Zagrebu. 2

3 pojedinom kolegiju, to mogu biti bodovi iz kolokvija, domaćih zadaća, seminara, ili pak nekih drugih aktivnosti. Nakon što je utvrdio ukupan broj bodova profesor odlučuje treba li student još odgovarati (pismeno i/ili usmeno). ECTS bodovi su bodovi koje student ostvaruje kada položi pojedini kolegij. Obično suma svih bodova kolegija u jednom semestru iznosi 30 ECTS bodova. Suma ECTS bodova koje student ostvari u nekom semestru odreduje status studenta u sljedećem semestru. Primjerice, student može biti u statusu redovitog studenta, ili pak može ponavljati godinu. ECTS je skraćenica od engleskog naziva European Credit Transfer System. kolegij prethodnik naziv za svaki kolegij koji je uvjet za upis nekog drugog kolegija. Primjerice, da bi student mogao upisati kolegij Teorija skupova, mora položiti kolegije Matematička analiza 2 i Linearna algebra 2. Dakle, kolegiji Matematička analiza 2 i Linearna algebra 2 su kolegiji prethodnici za kolegij Teorija skupova. U ostatku članka opisujemo preddiplomski sveučilišni studij Matematika. Nemamo namjeru navesti listu s naslovima kolegija koji se predaju na studiju. Informacije o studiju u tom obliku su dostupne na web stranicama fakulteta. Radije ćemo se posvetiti opisu kostura studija. Na prvoj godini studija matematike postoje dva kolegija koji čine most izmedu srednje škole i fakulteta to su kolegiji Elementarna matematika 1 i Elementarna matematika 2. Veći dio sadržaja tih kolegija je zapravo ponavljanje gradiva iz srednje škole uz veću dozu matematičke preciznosti. Važan cilj tih kolegija je uvesti osnovne pojmove koji se provlače kroz čitav studij. Ovdje navodimo nekoliko zadataka s kolokvija iz kolegija Elementarna matematika 1 i Elementarna matematika Odredite ostatak pri dijeljenju broja s Dokažite da polinom p(x) = x n 11 nema racionalnih nultočka ako je n 2. n 1 3. Dokažite da je (3k 2)(3k + 1) = n 3n + 1. k=1 4. Na skupu {1, 2} {1, 2, 3} zadana je relacija ρ na sljedeći način: (a, b)ρ(c, d) ((a < c) (a = c b d)). Ispitajte koja svojstva ima relacija ρ. Je li ρ relacija parcijalnog uredaja? A relacija ekvivalencije? Obrazložite svoje odgovore. Grubo govoreći, preddiplomski studij sastoji se od tri istaknute grupe kolegija čiji se sadržaji redom odnose na: matematičku analizu, algebru i računarstvo. 3

4 Osnovni objekt koji se proučava u matematičkoj analizi jest funkcija jedne realne varijable. U kolegiju Matematička analiza 1 cilj je definirati pojam funkcije, upoznati se s elementarnim funkcijama (polinomi, korijeni, kvadratna funkcija, trigonometrijske i arkus funkcije, hiperbolne i area funkcije...), klasificirati ih, te dokazati neke osnovne teoreme o neprekidnim funkcijama. Pokušava se odgovoriti na pitanje je li dana funkcija neprekidna. Ako nije neprekidna, odmah je prirodno sljedeće pitanje: gdje je prekid i koje je vrste. Ako je neprekidna, važno pitanje jest je li dana funkcija derivabilna. Za proizvoljnu funkciju želimo odrediti njen minimum i maksimum, zatim, intervale rasta odnosno pada, te točke infleksije. Razmatramo limese funkcija i nizova. Jako važno pitanje jest i je li dana funkcija integrabilna. Pomoću integrala možemo izračunati duljinu luka zadane krivulje, odnosno površinu raznih likova. Ovdje navodimo neke zadatke s kolokvija iz kolegija Matematička analiza 1. Trudili smo se izabrati samo zadatke u kojima se koriste pojmovi koji su poznati barem učenicima prirodoslovno matematičkih gimnazija. 1. Odredite prirodnu domenu funkcije zadane formulom: 2. Ispitajte konvergenciju reda: f(x) = log 9 x 2 x 2 4x 5 3 2x x 2. arctg ( 3 n n 2 ). 3. Postoji li padajuća funkcija f : R R takva da vrijedi f(f(x) f(x 3 )) = 2 f(x) za svaki x R? U slučaju potvrdnog odgovora nadite sve takve funkcije f. Sve tvrdnje detaljno obrazložite. U algebri osnovni pojam je struktura. Najvažnije strukture koje se proučavaju na preddiplomskom studiju su grupe i vektorski prostori. Grupa je svaki skup zajedno s nekom operacijom koja mora zadovoljavati zadana svojstva. Primjerice, skup Z zajedno sa zbrajanjem, te skup R \ {0} s množenjem, su grupe. Grupe je u matematiku uveo u 19. stoljeću tada dvadesetogodišnji francuski matematičar Évariste Galois. Primjenom grupa Galois je dokazao da za algebarske jednadžbe, čiji je stupanj barem pet, ne postoji formula (sa zadanim svojstvima; koja su to svojstva može se naučiti na studiju matematike), koja bi davala sva rješenja jednadžbe. U kolegijima Linearna algebra 1 i Linearna algebra 2 studenti se detaljno upoznaju s pojmovima matrica, sustavima linearnih jednadžbi, vektorskim i unitarnim prostorima, te objektima na njima: vektorima i linearnim 4

5 operatorima. Ovdje navodimo primjere nekih zadataka s kolokvija iz kolegija Linearna algebra 1. Svjesni smo da većina tih pojmova nije poznata čak ni učenicima prirodoslovno matematičkih gimnazija. No, nadamo se da će ti pojmovi poslužiti kao motivacija čitatelju da na Internetu pronade definicije, te uz malo truda i strpljivosti dode do rješenja. 1. U ovisnosti o parametru λ R riješite sustav: x 1 + 2x 2 + λx 4 = 2 x 1 + x 2 + λx 3 + x 4 = 0 x 2 + x 3 = λ + 2 λx 1 + 3x 2 x 3 + x 4 = 4 2x 1 + 4x 2 x 3 + 2x 4 = 7 2. Izračunajte determinantu: b a a b a b a a b a b Na unitarnom prostoru P 2 realnih polinoma stupnja 2 sa standardnim skalarnim produktom (p, q) = 1 1 p(t)q(t)dt dan je linearni funkcional f(p) = p (0) p(t)dt. Odredite polinom q P 2 takav da vrijedi f(p) = (p, q), za svaki p P 2. Treći istaknuti dio kostura preddiplomskog studija čine računarski kolegiji. Na prvoj godini to su dva kolegija: Programiranje 1 i Programiranje 2. Njihov osnovni cilj je razviti algoritamski način razmišljanja na kratkim programerskim problemima koji se rješavaju u programskom jeziku C. Na drugoj godini studija postoje dva obavezna računarska kolegija, te je moguće upisati još dva izborna računarska kolegija. Na trećoj godini studija postoji jedan obavezan, te jedan izborni računarski kolegij. Kao što smo već i na početku članka naveli, jedan od diplomskih studija posebno je posvećen računarstvu. Navest ćemo nekoliko zadataka s kolokvija na kolegiju Programiranje 1. 5

6 1. Odredite bazu b (ako takva postoji) tako da vrijedi: (49A) b + (49A) b+1 + (49A) b+2 = 2 (49A) b Za prirodan broj n, označimo s a i b najveće cijele brojeve takve da je n djeljiv s 3 a 4 b. Kažemo da je broj n radostan ako su a i b pozitivni brojevi koji u dekadskom zapisu koriste iste znamenke, ali u obrnutom redoslijedu (npr. a = 17, b = 71). Napišite program koji učitava prirodan broj m, te ispisuje sve radosne prirodne brojeve koji su manji ili jednaki m. U programu napišite i iskoristite funkciju koja prima n, a putem varijabilnih parametara vraća a i b, te funkciju koja prima n, a vraća 1 ili 0, ovisno o tome je li broj n radostan ili ne. 3. U koordinatnoj ravnini R 2 zadana je mreža točaka s cjelobrojnim koordinatama {(x, y) : x, y Z}. Žaba se nalazi u točki (0, 0) i treba stići u točku (m, n). U bilo kojoj točki (x, y), žaba može skočiti samo za po jedno mjesto nagore ili dva mjesta udesno, tj. samo u točke (x, y + 1) ili (x + 2, y). Napišite funkciju int zaba1(int m, int n) koja vraća ukupan broj različitih puteva kojima žaba može stići na odredište. Preddiplomski studij matematike pred vas stavlja malene komadiće pojedinih velikih grana matematike. Sama raznolikost kolegija čini svaki semestar posebnim i zahtjevnim na svoj način. Široki raspon problema i veliki broj alata i teorija koje ćete usvojiti tijekom studija matematika u vama će nedvojbeno razviti jedinstven i precizan analitički način razmišljanja. Kolegiji na početnim godinama studija su kao lijepe solističke kompozicije. Svaka nota za sebe je zanimljiva, no ako jedan instrument može stvoriti takvu ljepotu, zamislite što može stvoriti cijeli orkestar. Umijeće takve kompozicije, matematičkim znanjem, i jest konačan cilj obrazovanja na PMF MO. Tom cilju mogu posvjedočiti kolegiji već na drugoj godini, kada se matematička analiza i linearna algebra spoje u kolegije Funkcije više varijabli i Integrali funkcija više varijabli u kojima se preko pojmova naučenih iz linearne algebre poopćavaju pojmovi iz matematičke analize. Alati naučeni u kolegijima iz matematičke analize primjenjuju se u kolegijima Numerička matematika, Vjerojatnost i statistika, Obične diferencijalne jednadžbe i Metode matematičke fizike. U trećoj godini studija postoje i kolegiji koji su posvećeni razmatranju samih osnova matematike. To su prije svega kolegiji Teorija skupova, Matematička logika, te u neku ruku i kolegij Mjera i integral. Želimo još istaknuti da student može i birati neke kolegije. To su dva kolegija posvećena fizici, ili dva posvećena biologiji, odnosno dva kemiji ili računarstvu. Tijekom preddiplomskog sveučilišnog studija Matematika student u jednom semestru sluša u prosjeku pet kolegija. Naravno, toliko ih onda i može položiti na kraju semestra. Ako student ne uspije položiti neki kolegij, tada taj kolegij mora ponovno upisati sljedeće akademske godine. Iako su kolegiji formalno rasporedeni po godinama studija (prva, druga i treća), student može na PMF MO upisati sve kolegije za koje je položio propisane kolegije prethodnike. To primjerice znači da, ako student nije uspio položiti neki kolegij iz prve godine studija, tada on ne može upisati one kolegije iz druge godine studija kojima je nepoloženi kolegij iz prve godine studija prethodnik. No, student može upisati kolegije s treće godine studija za koje je položio kolegije prethodnike. Kada položi sve kolegije na preddiplomskom sveučilišnom studiju Matematika, student je završio taj studij, te stječe zvanje sveučilišni prvostupnik (baccalaureus) matematike, odnosno sveučilišna prvostupnica (baccalaurea) matematike. Tada može dati prijavu za 6

7 upis na jedan od sedam prije navedenih diplomskih studija. U posljednje dvije godine svi prvostupnici su upisali neki od diplomskih studija. Gotovo svi su uspjeli upisati željeni diplomski studij. Do sada je najviše interesa bilo za diplomske studije Financijska i poslovna matematika, te Matematička statistika. Diplomski studij je dio matematičkog obrazovanja u kojem se stječu specijalizirana znanja koja ovise, naravno, o odabiru samog studija. Grade se primjenjive teorije i alati preko kojih ćete rješavati danas aktualne probleme. Završetkom nekog diplomskog studija na PMF MO student stječe pravo na titulu magistar matematike. Matematičari se zapošljavaju u svim segmentima gospodarstva, školstva i znanosti. Zaposleni su u bankama, osiguravajućim društvima, industriji, razvojnim institutima, softverskim kućama, računskim centrima, školama i fakultetima. Neki najuspješniji studenti upisuju doktorske studije u Zagrebu ili inozemstvu, te se zapošljavaju kao asistenti. Posljedica ovako širokih mogućnosti zapošljavanja je da danas gotovo i nema nezaposlenih matematičara u Hrvatskoj. Svjetska iskustva pokazuju da ovakav trend nije kratkotrajan. Potražnja za matematičarima će se i dalje povećavati, ne samo zbog globalne informatizacije, već i zbog potrebe za razvojem i primjenom matematičkih metoda u svim područjima ljudske djelatnosti. Upisuju li studij matematike samo lumeni? Što je najteže na studiju? Što su rekli studenti o studiju? Treba li jako puno učiti? Najbolje je da odgovore na ta pitanja pokušate potražiti na web adresi Tamo možete pronaći razne studentske poruke. U sklopu društvenih zbivanja na PMF MO održavaju se i Glazbene večeri, koncerti koje izvode naši studenti uz potporu fakulteta. Za najbolje studente organiziraju se izlučna natjecanja za medunarodna studentska natjecanja iz matematike. Od najuspješnijih natjecatelja formiraju se timovi za dva medunarodna studentska natjecanja. Jedno natjecanje održava se krajem ožujka ili početkom travnja već dvadesetak godina u Ostravi, gradu na istoku Češke. Mjesto održavanja drugog natjecanja, International Mathematics Competition for University Students (IMC), se iz godine u godinu mijenja. Na IMC u obično sudjeluje 50 ak fakulteta iz većeg broja zemalja, pretežno Europe (gotovo cijele), ali i šire. Traje 6 7 dana (najčešće krajem srpnja ili početkom kolovoza) tijekom kojih ima i dosta vremena za turističke obilaske. Više informacija o studentskim natjecanjima iz matematike možete pronaći na web stranici studenata PMF MO na adresi kskreb. Smatramo da je studij matematike izuzetno dobro organiziran. Pravila studija su jasna i dostupna na web stranicama. Sve obavijesti se obavezno, osim na oglasnu ploču na fakultetu, stavljaju i na web stranice fakulteta. Za veliku većinu kolegija organiziraju se demonstrature (rješavanje zadataka i objašnjavanje gradiva, koje vodi za to odredeni student s više godine studija). Štoviše, studenti mogu doći na konzultacije kod svakog profesora i asistenta kako bi im oni pojasnili gradivo. Svi profesori i asistenti sa studentima komuniciraju i e mailom. Većina ih održava svoje osobne web stranice na kojima su, medu ostalim, stavljeni i razni nastavni materijali. Na kraju navodimo moguće korisne adrese i mjesta za dodatne informacije o studiju matematike. 7

8 Na ovoj web stranici možete naći odgovore gotovo na sva pitanja što se tiče studija matematike. Na početnoj stranici napisane su razne obavijesti. Zatim, tu su detaljni planovi studija s nazivima kolegija, satnicom i ECTS bodovima. Možete pregledati i izvedbene planove za pojedini kolegij (to su pravila koja govore što sve treba učiniti kako bi se položio kolegij). Tu su nastavni materijali: skripte, prezentacije, primjeri testova, primjeri domaćih zadaća... Na ovoj web stranici postoje linkovi prema web stranicama profesora na PMF MO. Svakako je zanimljivo baciti pogled na Studentski forum. web.studenti.math.hr To su web stranice studenata matematike. referada@math.hr Pitanja o upisima i studiju najbolje je da uputite osobama koje su za to najupućenije. Na PMF MO to je svakako osoblje studentske referade. Na navedenu e mail adresu možete poslati pismo sa svim vašim pitanjima. (1) Ovo je telefonski broj referade. Ako ne želite komunicirati e mailom, slobodno nazovite. PMF Matematički odjel, Ured za studente, P.P. 335, Zagreb Pitanja možete poslati i poštom na navedenu adresu. Ured za studente, PMF MO, Bijenička cesta 30, Zagreb Na ovoj adresi možete osobno dobiti sve odgovore na vaša pitanja o studiju. Otvoreni dan fakulteta Već niz godina na PMF MO jedan dan (obično u svibnju) posvećen je predstavljanju fakulteta srednjoškolcima. Tada se okupljenim srednjoškolcima održi predavanje na kojem se prezentiraju studiji, te im se omugući pristup raznim dijelovima fakulteta kao što su primjerice računski centar i matematička biblioteka. Ako želite doći, obavijest o Otvorenom danu fakulteta pronaći ćete na web stranici Smotra zagrebačkog sveučilišta Svake godine se početkom proljeća ili malo ranije u Studentskom centru u Savskoj ulici u Zagrebu organizira predstavljanje zagrebačkih visokoškolskih ustanova. Svaki zagrebački fakultet ima svoj posebni štand. Tako i matematičari imaju svoj štand na kojem se možete okušati u rješavanju zadataka (i osvojiti neku nagradu!), pitati asistente i studente sve što vas zanima o studiju, te nabaviti materijale o studiju. 8

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE **** MLADEN SRAGA **** 0. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE α LOGARITMI Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: Mladen Sraga

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1 Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

FARMACEUTSKO-BIOKEMIJSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU. IZVEDBENI PLAN akademska godina 2012./2013. zimski semestar

FARMACEUTSKO-BIOKEMIJSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU. IZVEDBENI PLAN akademska godina 2012./2013. zimski semestar Naziv kolegija: Matematika sa statističkom analizom Naziv studija: Studij farmacije i medicinske biokemije Godina i semestar studija: Prva, zimski semestar FARMACEUTSKO-BIOKEMIJSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima. M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα