ODREĐIVANJE TEŽIŠTA KRUTOG TELA Korišćenjem Varinjonove teoreme, dobija se: = Gi. = G z

Transcript

1 TEŽIŠTE Svako kruto telo je sačinjeno od velikog brojačestica (elementarnih delova). Kada se telo nalazi u blizini Zemljine površine na svaku od tihčestica dejstvuje sila njene težine koja je usmerena ka centru Zemlje. Posmatranjem krutih tela, čije su dimenzije, u odnosu na dimenzije Zemlje, zanemarljive, može se usvojiti da su sile težina pojedinihčestica tela međusobno paralelne. Te sile, s obzirom da su još i vezane za određenečestice tela, nazivaju se vezanim sistemom paralelnih sila. Pri ma kakvom okretanju tela u odnosu na Zemlju, ove sile menjaju pravac u odnosu na telo ali i dalje ostaju paralelne i jednako usmerene. One su uvek vertikalne i usmerene naniže. Napadne tačke tih sila nakon okretanja tela ostaju nepromenjene. Rezultanta sila težina svihčestica nekog krutog tela je sila težine samog tela. Težište tela je tačka kroz koju prolazi napadna linija sile težine tela pri ma kakvom njegovom položaju u prostoru. Položaj težišta je nepromenljiv u odnosu na kruto telo.

2 ODREĐINJE TEŽIŠT KRUTOG TEL Korišćenjem arinjonove teoreme, dobija se: Gi xi Gx G x x G i i G Gi yi Gy Gi yi y Gz G Gi G z i i z G z G i i

3 Za homogena tela, kod kojih specifična težina γ ima istu vrednost u svakom delu njihove zapremine, važe jednakosti: Gi γ i, G γ, što daje: i xi x, i yi i zi y, z. Težište homogenog tela, pošto zavisi samo od njegovog geometrijskog oblika, naziva se i težištem zapremine. Težište homogenog tela, pošto zavisi samo od njegovog geometrijskog oblika, naziva se i težištem zapremine. Kada se i u gornjim izrazima zameni infinitezimalno malom veličinom d, koordinata x i zameni sa x a sume zamene određenim integralima po čitavoj zapremini, dobijaju se sledeće formule za definisanje težišta zapremine: xd yd zd x ( ), y ( ), ( ) Za tela koja imaju ravan simetrije težište se mora nalaziti u toj ravni. Kada telo ima osu simetrije težište se mora nalaziti na toj osi. z.

4 ODREĐINJE TEŽIŠT HOMOGENE LINIJE Formule za položaj težišta linije: xdl ydl zdl x, y, z. L L L TEŽIŠTE KRUŽNOG LUK x xdl L R α α cosϕdϕ αr R α sin ϕ α α R R sin α sin( α) sin α α [ ] α Rsin α O α Korišćenje jednakosti:sin α sin x R cosϕ, dl Rdϕ, L α R ( ) α Zbog simetrije je očigledno da se težište duži (štapa) nalazi na njenoj sredini

5 ODREĐINJE TEŽIŠT PORŠINE Formule za položaj težišta površine: ( ) xd ( ) yd ( ) zd x, y, z. POLOŽJ TEŽIŠT TROUGL N NB Za trougao BD, DN ( ) i M ( DM MB ) su težišne linije. Iz sličnosti trouglova BD i NBM NM D Iz sličnosti trouglova D i MN N D N DN 3, D ( 3) DN Iz sličnosti trouglova QND i PD QP QD 3 h 3 Težište trougla se nalazi na trećini visine h, mereno od osnovice. Zbog simetrije je očigledno da se težišta pravougaonika i kruga nalaze na svim njihovim osama simetrije.

6 POLOŽJ TEŽIŠT KRUŽNOG ISEČK Zamislimo da je kružni isečak (Sl.1) podeljen na veliki broj jednakih uskih trouglova, kao što je prikazano na slici. Svaki od tih trouglova praktično ima težište na rastojanju rr/3 od centra O odgovarajućeg kruga. Spajanjem težišta svih tih uskih trouglova dobija se kružni luk kome se težište poklapa se težištem kružnog isečka. Zbog rr/3, u skladu sa formulom za težište kružnog luka, dobija se da je položaj težišta kružnog isečka određen izrazom: Rsin α O 3 α ODREĐINJE TEŽIŠT SLOŽENIH LINIJ I SLOŽENIH PORŠIN Pod složenom linijom podrazumeva se linija sačinjena od više elementarnih linija, kojima su poznate dužine i položaji težišta. Izrazi, kojima se određuje položaj težišta složene linije, imaju oblik:

7 x lixi l y i i lizi, y, z. L L L l i - dužine elementarnih linija x i, y i i z i - koordinate težišta elementarne linije čija je dužina l i L ukupna dužina složene linije koju određuje jednakost L li Pod složenom površinom podrazumeva se površina koja se može dobiti sabiranjem ili sabiranjem i oduzimanjem više elementarnih površina, kojima su poznate veličine i položaji težišta. Trouglovi, pravougaonici, krugovi i kružni isečci sučeste elementarne površine. Izrazi, kojima se određuje položaj težišta složene površine, imaju oblik: i xi y i i i zi x, y, z. i - veličine elementarnih površina x i, y i i z i - koordinate težišta elementarne površine čija je površina i ukupna površina složene površine koju određuje jednakost i Sume u ovim izrazima su algebarske, što znači da je predznak nekog člana + ako se radi o površini koja se dodaje i - ako se radi o površini koja se oduzima.

8 Primer 11.1 Za složenu liniju, prikazanu na slici 1, i složenu površinu, prikazanu na slici, odrediti koordinate težišta u prikazanim koordinatnim sistemima. eličina a je poznata. Sl.1 a, l a l aπ l1, 3 a x 1, x 0, x3 a a a a y1, y, y3 π L l1 + l + l a a π l1x1 + lx + l3x3 x a L l1 y1 + l y + l3 y3 y a L 1 x1 x + 3 x 39 π a 1 π x 3 1 a 1 a, a π, a, x a, x3 a x 3 y a, y a, y a a Sl. ( ) i π 1 y1 y + 3 y 54 π a 1 π y 3

9 PPUS-GULDINO TEOREM O PORŠINI OBRTNOG TEL ds Obrtanjem ravanske linije oko ose, koja se nalazi u istoj ravni sa linijom dobija se obrtna površina (Sl.1). Prikazana linija L je ravanska pošto leži u xy ravni. Obrtanje se vrši se oko y ose za pun ugao od π rad. Obrtanjem elementartnog dela linije dužine dl, čija x koordinata iznosi x, oko y ose za pun krug, dobija se elementarna površina obrtnog tela koja iznosi xπ dl Integraljenjem ovog izraza dobija se S π xdl πx L Primer 11. Korišćenjem Papus - Guldinove teoreme izračunati površinu lopte? Lopta se može dobiti obrtanjem polovine kružnog luka oko y ose (Sl.): R R L Rπ, x S πx L π Rπ 4R π π π

10 PPUS-GULDINO TEOREM O ZPREMINI OBRTNOG TEL Obrtanjem ravanske površine oko ose, koja se nalazi u istoj ravni sa tom površinom dobija se obrtna zapremina (Sl.1). Prikazana površina je ravanska pošto leži u xy ravni. Obrtanje se vrši oko y ose za pun ugao od π rad. Obrtanjem elementartnog dela dčija x koordinata iznosi x, oko y ose za pun krug, dobija se elementarna zapremina obrtnog tela koja iznosi d xπ d Integraljenjem ovog izraza dobija se π xd πx Primer 11.3 Korišćenjem Papus-Guldinove teoreme odrediti formulu za zapreminu prave kupe čija je površina bazisa B a visina H? Prava kupa se može dobiti obrtanjem pravouglog trougla oko y ose (Sl-). x R RH R RH R π H B H, πx π