M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VII predavanje, 2017.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VII predavanje, 2017."

Transcript

1 M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VII predavanje, Konzervativne sile i potencijalna energija 1 Konzervativne sile Definicija konzervativne sile. Sila je konzervativna ako rad te sile pri kretanju tela na koga ona deluje ne zavisi od putanje po kojoj se telo kreće, već samo od početnog i krajnjeg položaja tela. Posmatrajmo materijalnu tačku na koju deluje sila F i dve putanje, označene sa (a) i (b), po kojima se telo kreće između tačaka M 1 i M 2, respektivno (videti sliku 1). Slika 1: Uz definiciju konzervativne sile. Matematički zapis uslova konzervativnosti sile je: A M1,M 2(a) = A M1,M 2(b), (1) gde su A M1,M 2(a) i A M1,M 2(b) radovi sile F između tačaka M 1 i M 2 po putanjama (a) i (b), respektivno. Koristeći definicioni izraz za mehanički rad, uslov konzervativnosti je: r 2 F d r = r 2 F d r. (2) r 1(a) r 1(b) Odavde je: r 2 F d r r 2 F d r = 0, (3) r 1(a) r 1(b) odnosno: r 2 F d r+ r 1 F d r = 0. (4) r 1(a) r 2(b) Zbir dva integrala u prethodnom izrazu je integral po zatvorenoj putanji l koja se sastoji od delova (a) i (b): F d r = 0. (5) l 1

2 Ovaj izraz je alternativni uslov za konzervativnost sile. Alternativna definicija konzervativne sile. Sila je konzervativna ako je izvršeni rad te sile pri kretanju tela na koga deluje po proizvoljnoj zatvorenoj putanji jednak nuli. Napomenimo da obe definicije podrazumevaju proizvoljne putanje i odnose se na proizvoljne krajnje tačke putanje. 1 Slika 2: Uz dokaz konzervativnosti sile Zemljine teže. Primer 1. Sila Zemljine teže. Posmatrajmo telo koje se kreće po dejstvom sile Zemljine teže na malim visinama (visina h mnogo manja od poluprečnika Zemlje, h R Z ) od površine Zemlje, kao što je prikazano na slici 2. Sila Zemljine teže je: F g Q = m g = const. (6) Izaberimo putanje (a) i (b) kao na slici 2. Elementarni rad sile Zemljine teže je: da = m g d r = mg k (dx i+dy j +dz k) = mgdz. (7) Mehanički rad sile Zemljine teže po putanji (a) od M 1 do M 2 je: Mehanički rad sile Zemljine teže po putanji (b), od M 2 do M 1 je: h A 12(a) = ( mg)dz = mgz h 0 = mgh. (8) 0 0 A 12(a) = ( mg)dz = mgz 0 h = +mgh. (9) h Očigledno je: A 12(a) +A 21(b) = 0, (10) što znači da je sila Semljine teže konzervativna. 1 U drugoj definiciji je, naravno, krajnja tačka se poklapa sa početnom tačkom. 2

3 Slika 3: Uz dokaz konzervativnosti elastične sile. Primer 2. Elastična sila opruge. Pokažimo da je elastična sila opruge konzervativna na primeru jednodimenzionog kretanja tela po horizontalnoj idealno glatkoj podlozi. Telo je zakačeno za oprugu koeficijenta krutosti k, kao što je prikazano na slici 3. Samo elastična sila ima pravac x ose duž koje se kreće telo, dok su sila Zemljine teže i normalna sila normalne na podlogu. Prema tome, samo elastična sila, čija je algebarska vrednost vrši rad. Elementarni rad ove sile pri kretanju tela od x do x+dx je: F el = kx, (11) da = kxdx. (12) Da bismo pokazali da je elastična sila konzervativna izaberimo dve putanje tela: putanja (a) je između tačaka x 1 i x 2, dok je putanja (b) od x 1 do x 0, pa zatim do x 2. Rad elastične sile pri kretanju tela po putanji (a) je: Rad elastične sile po putanji (b) je x 2 kx 2 x 2 A 12(a) = ( kx)dx = 2 = k x 1 2 x 1 ( x 2 2 x 2 ) 1. (13) Očigledno je: x 0 x 2 k A 12(b) = ( kx)dx+ ( kx)dx = 2 x 1 x 0 ( x 2 0 x 2 k ( 1) x x 2 k ( 0) = x x 2 ) 1. (14) A 12(a) = A 12(b), (15) što znači da je elastična sila konzervativna. Primer 3. Sila trenja. Da bismo dokazali da je sila trenja nekonzervativna, razmotrimo blok koji se kreće po kružnici kako je prikazano na slici 4. Smatramo da je blok materijalna tačka na koju deluje sila trenja suprotno kretanju. Uočimo dve putanje između tačaka M 1 i M 2 : (a), kada se tačka zarotira za ugao π/2 rad i (b), kada se tačka zarotira za 3π/2 rad. Rad sile trenja pri kretanju tela po putanji (a) je: dok je rad sile trenja po putanji (b): A 12(a) = A(ϕ = π 2 ) = µmgπr 2, (16) A 12(b) = A(ϕ = 3π 2 ) = µmg3πr 2. (17) 3

4 Slika 4: Uz dokaz nekonzervativnosti sile trenja. Očigledno je: A 12(a) A 12(b), (18) što dokazuje da je sila trenja nekonzervativna. 2 Potencijalna energija Pored kinetičke energije postoji još jedna forma energije materijalne tačke koja se definiše u mehanici. To je energija pridružena položaju koja se naziva potencijalna energija. Podsetimo se da je rešenje određenog integrala jednako razlici odgovarajuće primitivne funkcije u gornjoj i donjoj granici: Prema definiciji konzervativne sile: b a f(x)dx = g(x) b a = g(a) g(b). (19) r 2 F d r = g( r2 ) g( r 1 ), (20) r 1 gde je g( r) skalarna funkcija koja je rešenje neodređenog integrala. Ako ovu funkciju označimo sa E p, g E p, tada je: r 2 r 1 F d r = Ep ( r 1 ) E p ( r 2 ) = E p. (21) I definicija potencijalne energije. Rad sile koja deluje na materijalnu tačku jednak je negativnoj promeni potencijalne energije materijalne tačke pridružene toj sili. 4

5 Dakle, E p = A. (22) Potencijalna energija se definiše samo za konzervativne sile. Uočimo i da je samo promena potencijalne energije relevantna tokom kretanja objekta, pa se potencijalna energija E p može odrediti do na aditivnu konstantu. Praktični postupak je da se usvoji da je potencijalna energija u nekoj tački prostora jednaka nuli. Ta tačka je referentna tačka za računanje potencijalne energije i određivanje energetskog balansa. Ako je, na primer, tačka M 0 referentna tačka, na osnovu I definicije potencijalne energije, promena potencijalne energije pri kretanju materijalne tačke od proizvoljne tačke M u tačku M 0 je: E p = E p (M 0 ) E p (M) = S obzirom da je E p (M 0 ) = 0, potencijalna energija tela u tački M je: E p (M) = A M,M0 = M 0 M M 0 M F d r. (23) F d r. (24) II definicija potencijalne energije. Potencijalna energija materijalne tačke u nekoj tački prostora jednaka je radu sile koja deluje na materijalnu tačku pri njenom kretanju iz date tačke u referentnu tačku. Koristeći teoremu o promeni kinetičke energije, A = E k, (25) i (22) sledi: E k + E p (E p +E k ) = 0. (26) Poslednji rezultat predstavlja zakon o održanju mehaničke energije: E = E k +E p = const, (27) gde je E ukupna mehanička energija (ili kratko: mehanička energija) tela. Za konzervativne sile važi: rad konzervativne sile ne zavisi od putanje po kojoj se telo kreće, već samo od položaja krajnjih tačaka putanje; rad konzervativne sile jednak je negativnoj promeni potencijalne energije; ukupna mehanička energija je konstantna; tokom kretanja postoji dvosmerna konverzije energije, kinetičke energije u potencijalnu i obrnuto. Primer 1. Potencijalna energija materijalne tačke u gravitacionom polju Zemlje. 5

6 Slika 5: Uz izvođenje izraza za potencijalnu energiju materijalne tačke u gravitacionom polju Zemlje. Posmatrajmo malo telo koje se nalazi u Zemljinom gravitacionom polju u tački M na visini h iznad Zemljine površine, kao što je prikazano na slici 5. Pretpostavimo da je visina h mnogo manja od poluprečnika Zemlje, h R Z. Prema definiciji potencijalna energija ovog tela je: E pm = r M0 r M m g d r = r M0 r M mgdz k (dx i+dy j +dz k) = 0 h ( mg)dz = mgz 0 h = mgh. (28) Ovo je izraz za potencijalnu energiju tela na koje deluje sila Zemljine teže na maloj visini od površine Zemlje. Slika 6: Uz izvođenje izraza za elastičnu potencijalnu energiju. Primer 2. Elastična apotencijalna energija. Posmatrajmo sada telo mase m koje zakačeno za oprugu koeficijenta krutosti k (videti sliku 6). Ako je referentna tačka u položaju kada je opruga nenapregnuta (x = 0), potencijalna energija tela koje je prikačeno za deformisanu oprugu je: E p (x) = Na osnovu ovog izraza promena E p pri kretanju materijalne tačke od x 1 do x 2 je: Na osnovu ovoga i A = E p sledi: do čega se može doći direktnom integracijom. x 0 ( kx)dx = kx2 2. (29) E p = kx2 2 2 kx (30) A = E p = kx2 1 2 kx2 2 2, (31) 6

7 Slika 7: Uz izvođenje izraza za gravitacionu potencijalnu energiju. Primer 3. Gravitaciona potencijalna energija dve materijalne tačke. U ovom slučaju dve materijalne tačke masa m 1 i m 2 nalaze se na međusobnom rastojanju r = r, kao što je prikazano na slici 7. Prema Njutnovom zakonu gravitacije, sila kojom prva materijalna tačka deluje na drugu je: F 12 = γm 1m 2 r 2 e r, (32) Potencijalna energija materijalne tačke mase m 2 u gravitacionom polju materijalne tačke mase m 1, za referentnu tačku r 0, je: E p (r) = r ( γ m ) 1m 2 r 2 e r dr e r, (33) gde je, jednostavnosti radi, izabrana pravolinijska putanja čiji pravac prolazi kroz centar od r do r. Odavde: Konačno je: E p (r) = γm 1 m 2 r dr r 2 = γm 1m 2 E p (r) = γm 1m 2 r ( 1 ). (34) r r. (35) Primetimo da je potencijalna energija jednaka radu koji izvrši gravitaciona sila pri udaljavanju dve materijalne tačke ka. Ovo znači da je izvedeni izraz za E p (r) istovremeno potencijalna energija čestice mase m 1 u gravitacionom polju čestice mase m 2, tj. izvedeni izraz za E p je karakteristika para materijalnih tačaka. Ako se izabere proizvoljna putanja, kada je elementarni vektor pomeraja u sfernom koordinatnom sistemu d r = dr e r +rdθ e θ +rsinθdϕ e ϕ, moguće je jednostavno pokazati da se dobije isti izraz za potencijalnu energiju kao (35). 7

8 Slično je za sistem od n materijalnih tačaka: n 1 E p = n i=1 j>i gde je r ij rastojanje između materijalnih tačaka masa m i i m j. γ m im j r ij, (36) 3 Veza između konzervativne sile i potencijalne energije Slika 8: Uz izvođenje veze između konzervativne sile i potencijalne energije. Smatramo da je poznata funkcija potencijalne energije: koja u opštem slučaju zavisi od sve tri Dekartove koordinate. E p = E p (x,y,z), (37) Najpre posmatrajmo kretanje materijalne tačke duž x ose, tako da na materijalnu tačku deluje proizvoljno orijentisana sila F (ne mora biti rezultujuća), kako je prikazano na slici 8. Elementarni pomeraj je: a, koristeći da = de p, elementarni rad je dat izrazom: Odavde seledi: d r = dx i, (38) da = F d r = F x dx = de p. (39) F x = de p dx. (40) Promena potencijalne energije duž x pravca očigledno ne zavisi od F y i F z, jer su obe ove sile upravne na x osu, te stoga ne vrše rad. Da bi se označilo da se radi o izvodu funkcije više promenljivih, umesto oznake za običan izvod (d) treba koristiti oznaku za parcijalni izvod ( : delta): F x = E p x. (41) 8

9 Ukoliko se na sličan način posmatra kretanje duž y i z ose, dobije se: F y = E p y, (42) Prema tome, vektor sile je: odnosno jednostavnije: F z = E p z. (43) Ep F = ( x i+ E p y j + E ) p y k, (44) F = E p, (45) gde je = x i+ y j + z k (46) operator koji se naziva nabla. Ako nabla deluje na skalarnu funkciju naziva se gradijent, u oznaci grad. Prema tome, vektor sile je: Interesantan primer je funkcija potencijalne energije F = grade p. (47) E p (x,y,z) = k 2 (x2 +y 2 +z 2 ). (48) Prvi parcijalni izvodi su: E p x E p y = kx, (49) = ky, (50) Vektor sile je, prema tome: E p z = kz. (51) F = kx i ky j kz k = k r. (52) Ova sila je centralna, usmerena ka koordinatnom početku i linearno zavisna od vektora položaja. Ona predstavlja sistem koji se naziva trodimenzioni izotropni linearni harmonijski oscilator, koji je vrlo koristan model u fizici. Sila F(x,y,z) ne mora biti konzervativna sila, odnosno proizvoljna zavisnost sile od Dekartovih koordinata ne predstavlja u opštem slučaju konzervativnu silu. Konzervativne sile zadovoljavaju poseban uslov, koji ćemo sada izvesti. Uočimo: F x y = ( E p y x F y x = x ( E p y Mešoviti parcijalni izvod ne zavisi od redosleda diferenciranja, tj. važi: ) ) = 2 E p x y, (53) = 2 E p y x. (54) 2 E p x y = 2 E p y x. (55) Na osnovu poslednje tri jednakosti sledi: F x y F y x = 0. (56) 9

10 Slično se za preostale dve kombinacije pravaca dobija: F y z F z y = 0, (57) F z x F x = 0. (58) z U vektorskoj analizi se definiše rotor vektora u oznaci rot. Za vektor sile F: i j k ( rotf = Fz x y z = y F ) y i+( Fx z z F ) z Fy j +( x x F ) x k. (59) y F x F y F z Na osnovu (56), (57) i (58) sledi uslov konzervativnosti sile F: rot F = 0. (60) 4 Kretanje u polju centralnih sila Centralne sile su sile čija napadna linija (nosač vektora sile) prolazi kroz jednu nepokretnu tačku koja se naziva centar sile, a intenzitet sile zavisi od rastojanja od centra. Fizička polja ovakvih sila su stacionarna. Sila, dakle, ima oblik: F = F(r) e r, (61) gde je e r jedinični vektor radijalne ose sfernog koordinatnog sistema. Slika 9: Uz dokaz konzervativnosti centralnih sila. Pokazaćemo da je fizičko polje centralne sile konzervativno. Posmatrajmo dve ekvipotencijalne površi 2 ovakvog polja razdvojene za dr (videti sliku 9). Centar ekvipotencijalne povrči (tačka SO naziva se centar sile). 2 Ekvipotencijalna površ je geometrijsko mesto tačaka istog potencijala, pri čemu se potencijal definiše kao ϕ = E p/s, gde je s svojstvo malog (probnog) tela koje se nalazi u datom fizičkom polju. s je masa za gravitaciono polje, a naelektrisanje za električno polje. 10

11 Elementarni radovi pri elementarnim pomerajima d r 1 i d r 2 između tačaka na udaljenju r i r+dr od centra sile su: da 1 = F 1 d r 1 = F 1 d r 1 cosθ 1, (62) da 1 = F 2 d r 2 = F 2 d r 2 cosθ 2. (63) Sa slike 9 se lako ustanovi da važi: Pored toga: d r 1 cosθ 1 = d r 2 cosθ 2 = dr. (64) F 1 = F 2 = F, (65) jer se tačke C i D nalaze na istom rastojanju od centra sile. Prema tome za svaki par susednih ekvipotencijalnih linija, razdvojenih za dr, važi: F 1 d r 1 = F 2 d r 2. (66) Odavde direktno sledi: 2 F d r = 2 F d r, (67) 1(a) 1(b) što znači da je polje centralnih linija konzervativno. 5 Stabilnost kretanja Posmatrajmo sistem koji se sastoji od lake elastične opruge koeficijenta krutosti k i tela mase m (videti sliku 10). Slika 10: Sistem tela mase m i elastične opruge koeficijenta krutosti k. Potencijalna energija tela zakačenog za oprugu je: E p (x) = kx2 2. (68) Ova zavisnost je prikazana na slici 11. Potencijalna energija ne može biti veća od ukupne energije. Naime, ako bi bilo E p > E (69) tada bi važilo: odakle sledi: E k +E p > E k +E, (70) E k < 0. (71) 11

12 Ovo je fizički nemoguće, jer m 0 i v 0. Sila koja deluje na česticu je: F x = F x i, (72) gde je F x = de p dx = kx. (73) Elastična sila je uvek usmerena ka centru, tj. deluje tako da se telo vraća u položaj ravnoteže (restituciona sila). Kretanje tela je u ovom slučaju oscilatorno, a tačka oko koje telo osciluje predstavlja položaj stabilne ravnoteže datog tela. Svaki minimum potencijalne energije je tačka stabilne ravnoteže: Slika 11: Potencijalna energija tela zakačenog za oprugu. Posmatrajmo funkciju potencijalne energije prikazanu na slici 12. Kretanje nije moguće u oblastima 0 x < x 1 i x 2 < x < x 3. Ukoliko je brzina čestice u položaju stabilne ravnoteže veća od nule, tada čestica osciluje oko te tačke. Tačka x 01 je položaj stabilne ravnoteže, dok je tačka x 02 položaj labilne ravnoteže. Kretanje tačke u položaju stabilne ravnoteže zavisi od ukupne energije. Ako je E = E p (x 02 ), materijalna tačka miruje u položaju labilne ravnoteže. Slika 12: Primer funkcije potencijalne energije sa tačkama stabilne i labilne ravnoteže. 12

13 Opšte teoreme dinamike mehaničkih sistema Mehanički sistem je skup materijalnih tačaka ili tela u kome položaj i kretanje svake materijalne tačke ili tela zavisi od pozicije i kretanja ostalih materijalnih tačaka ili tela. Bitna karakteristika mehaničkog sistema je postojanje interakcije između pojedinih čestica ili tela. Ako između tela ne postoji interakcija, ona ne čine mehanički sistem. Svako telo se može predstaviti sistemom materijalnih tačaka, pa se shodno tome svaki mehanički sistem može predstaviti sistemom materijalnih tačaka. Kretanje svake materijalne tačke ćemo analizirati u inercijalnom referentnom sistemu. Prema tome, rezultati koje ćemo dobiti (teoreme i zakoni) važe samo u inercijalnim sistemima reference. Primeri mehaničkih sistema su: kruto telo; telo okačeno o oprugu; Sunčev sistem. 6 Teorema o promeni količine kretanja mehaničkog sistema Posmatrajmo sistem materijalnih tačaka koje međusobno interaguju prikazan na slici 13. Na svaku materijalnu tačku deluje spoljašnja (eksterna) sila F (ext) k. Ova sila predstavlja rezultantnu svih spoljašnjih sila koje deluju na k-tu materijalnu tačku. Rezultantna unutrašnja (interna) sila na k-tu materijalnu tačku je mera međusobnog delovanja ostalih materijalnih tačaka u sistemu na k-tu materijalnu tačku: 3 F (int) k = n i=1 (i k) F ik. (74) Jednačina kretanja k-te čestice je: Slika 13: Sistem materijalnih tačaka. 3 Samointerakcij, interakcija tačke sa samom sobom, ne postoji. d p k dt = F (ext) k + F (int) k. (75) 13

14 Napišimo sada jednačine kretanja svih materijalnih tačaka u sistemu u razvijenoj formi: d p 1 dt d p 2 dt d p n dt = F 21 + F F n1 + F (ext) 1, (76) = F 12 + F F n2 + F (ext) 2, (77).. (78) = F 2n + F 3n F n 1,n + F (ext) n. (79) Ako saberemo ove jednačine, primenjujući III Njutnov zakon na unutrašnje sile, lako se dobije: d P dt = F (ext) rez. (80) Ovo je matematički zapis teoreme o promeni količine kretanja mehaničkog sistema (TKK(ms)). Ovde je P ukupna količina kretanja mehaničkog sistema, a F (ext) rez je rezultantna spoljašnja sila koja deluje na sistem. 4 P = n p k, (81) k=1 = k F (ext) k (82) TKK(ms). Brzina promene ukupne količine kretanja mehaničkog sistema jednaka je sumi svih spoljašnjih sila koje deluju na sistem. Slika 14: Trougao vektora količine kretanja pri raspadu jezgra na 3 manja jezgra. Jednačina (80) može se napisati i u formi: n k=1 m k a k = F (ext) rez = n k=1 F (ext) k. (83) Na osnovu TKK(ms): F (ext) rez = 0 P = k p k = const. (84) 4 Treba primetiti da komponente rezultantne spoljašnje sile na mehanički sistem nemaju istu napadnu tačku. 14

15 Ovaj rezultat je matematički zapis zakona o održanju količine kretanja mehaničkog sistema. ZKK(ms). Ako je vektorska suma spoljašnjih sila koje deluju na mehanički sistem jednaka nuli, ukupna količina kretanja sistema je konstantna. Poseban slučaj mehaničkog sistema je izolovan mehanički sistem (ims). To je mehanički sistem na koji ne deluju spoljašnje sile. ZKK(ims). Ukupna količina kretanja izolovanog mehaničkog sistema je konstantna. Primer primene zakona o održanju količine kretanja je raspad nepokretnog izolovanog jezgra koje miruje (videti sliku 14). Pretpostavimo da se jezgro raspadne na 3 fragmenta masa m 1, m 2 i m 3. Količina kretanja jezgra pre raspada jednaka je nuli, jer se jezgro ne kreće. Prema tome, važi: 0 = m 1 v 1 +m 2 v 2 +m 3 v 3, (85) gde su v 1, v 2 i v 3 brzine fragmenata posle raspada. Na osnovu ove jednačine sledi da se vektori količina kretanja tri fragmenta nalaze u jednoj ravni. 15

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

1 Kinematika krutog tela

1 Kinematika krutog tela M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, IV predavanje, 2017. 1 Kinematika krutog tela Kruto telo je sistem materijalnih tačaka čija se međusobna udaljenost ne menja tokom vremena. Kruta tela

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

1 Osnovni problemi dinamike materijalne tačke

1 Osnovni problemi dinamike materijalne tačke M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, V predavanje, 2017. 0.1 III Njutnov zakon Posmatrajmo dva tela za koja smatramo da su materijalne tačke. Ove dve čestice međusobno interaguju tako

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VI predavanje, 2017.

M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VI predavanje, 2017. M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VI predavanje, 2017. 1 Kretanje neslobodne materijalne tačke Telo može biti primorano da se kreće po površi ili liniji. Takav oblik kretanja naziva se neslobodno

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu

1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, II predavanje, 2017. 1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu Posmatrajmo materijalnu tačku koja se kreće po trajektoriji prikazanoj na slici 1.

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile RAD SILE Sila se može tokom kretanja opisati kao zavisnost od vremena t ili od trenutnog vektora položaja r. U poglavlju o impulsu sile i količini kretanja je pokazano na koji način se može povezati kretanje

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

1 Vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu

1 Vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, III predavanje, 2017. 1 Vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu Posmatrajmo trajektoriju materijalne tačke prikazanu na slici 1. Smatramo

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

y = f(m) ili y = f(x 1, x 2,...,x n ). (1.1)

y = f(m) ili y = f(x 1, x 2,...,x n ). (1.1) Glava 1 Teorija polja U matematičkoj teoriji polja 1 ne izučava se fizički smisao neke veličine koja je zadata u datom polju. Izučavaju se samo opšta svojstva polja koja se kasnije, u fizici i drugim oblastima,

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, XII predavanje, 2017.

M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, XII predavanje, 2017. M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, XII predavanje, 2017. Mehaničke oscilacije Oscilacije neke fizičke veličine su periodične promene te veličine oko ravnotežne vrednosti. Posmatrajmo sistem

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija

Analitička geometrija 1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1 OSNOVNI ZAKONI TERMALNOG ZRAČENJA Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine Ž. Barbarić, MS1-TS 1 Plankon zakon zračenja Svako telo čija je temperatura

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

4 Izvodi i diferencijali

4 Izvodi i diferencijali 4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

1 Osnovne postavke klasične nerelativističke mehanike

1 Osnovne postavke klasične nerelativističke mehanike 1 Osnovne postavke klasične nerelativističke mehanike Osnovni model koji koristimo u mehanici je materijalna tačka (ili čestica. Jednostavno rečeno, materijalna tačka je geometrijska tačka kojoj pridružujemo

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Sila i Njutnovi zakoni (podsetnik)

Sila i Njutnovi zakoni (podsetnik) Sila i Njutnovi zakoni (podsetnik) -Sila je mera interakcije (međusobnog delovanja) tela. I Njutnov zakon (zakon inercije) II Njutnov zakon (zakon sile) III Njutnov zakon (zakon akcije i reakcije) [] =

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela.

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Prve dve dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti, imaju oblik: 1) m & x X, ) m & y = Y. = i i Dok, u drugoj varijanti, njihov

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Navedimo neke primere potencijalnih polja koja su od posebnog interesa u raznim oblastima fizike i tehnike. F = γ m m 0. r, (1.1)

Navedimo neke primere potencijalnih polja koja su od posebnog interesa u raznim oblastima fizike i tehnike. F = γ m m 0. r, (1.1) Glava 1 Teorija polja 1.1 Primeri nekih polja od interesa za fiziku i tehniku Navedimo neke primere potencijalnih polja koja su od posebnog interesa u raznim oblastima fizike i tehnike. Privlačenje dve

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Sistem sučeljnih sila

Sistem sučeljnih sila Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijabilnost funkcije više promenljivih

Diferencijabilnost funkcije više promenljivih Matematiči faultet Beograd novembar 005 godine Diferencijabilnost funcije više promenljivih 1 Osnovne definicije i teoreme, primeri Diferencijabilnost je jedan od centralnih pojmova u matematičoj analizi

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA

OTPORNOST MATERIJALA 3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0

Διαβάστε περισσότερα

RADNA VERZIJA. Teorijska mehanika. Teorijska mehanika. 16. april 2012

RADNA VERZIJA. Teorijska mehanika. Teorijska mehanika. 16. april 2012 Sunčica Elezović-Hadžić 16. april 2012 2 Sadržaj I Diskretni sistemi 7 1 Osnovne postavke 9 1.1 Uvod............................................ 9 1.2 Postulati sile.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će se bez obzira na masu kretati istim ubrzanjem Zanimljivo

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα