1 Vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu

Transcript

1 M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, III predavanje, Vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu Posmatrajmo trajektoriju materijalne tačke prikazanu na slici 1. Smatramo da se deo trajektorije između tačaka M 1 i M 2 može aproksimirati kružnim lukom poluprečnika R razapetim nad uglom ϕ. Krug sa centrom u tački C koji najbolje aproksimira krivu u tački P naziva se oskulatorni krug. Ovaj krug sadrži tačku P i njoj dve beskonačno bliske tačke i, dakle, nalazi se u oskulatornoj ravni. Jedinični vektor tangente pri kretanju materijalne tačke menja orijentaciju, tako da je u vremenskom intervalu t priraštaj jediničnog vektora tangente e τ, kao što je prikazano na slici. Na osnovu jednakosti uglova sa normalnim kracima, lako se ustanovi da je ugao koji zaklapaju e τ (t) i e τ (t+ t) jednak ϕ. Pored toga, trougao AM 1 B je jednakokraki, tako da je ugao koji zaklapaju e τ (t) i e τ (t+ t) sa e τ jednak β = π/2 ϕ/2. Slika 1: Uz izvođenje izraza za vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu. Iskoristimo izvedeni izraz za brzinu u prirodnom koordinatnom sistemu: Ubrzanje je: v = v e τ. (1) a = d v dt = d(v e τ) = dv dt dt e τ +v d e τ dt. (2) Primetimo da se, dok se materijalna tačka kreće po kružnom luku (delu oskulatornog kruga), vrh vektora e τ kreće po kružnom luku sa centrom u tački M 1, odnosno vektor e τ rotira u oskulatornoj ravni. Stoga se može koristiti izvedeni izraz za prvi izvod jediničnog vektora koji rotira u ravni, koji u kontekstu prirodnog koordinatnog sistema ima oblik: d e τ dt = ϕ( e b e τ ) = ϕ e n = R ϕ R e n = d(rϕ) dt Izraz za vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu je: e n = ds dt e n = v R e n. (3) a = a τ + a n = v e τ + v2 R e n, (4) 1

2 gde su vektor tangencijalnog ubrzanja i vektor normalnog ubrzanja, respektivno. a τ = v e τ = dv dt e τ, (5) a n = v2 R e n (6) Prvi izvod jediničnog vektora tangente može se odrediti pomoću geometrijske konstrukcije, na sličan način kako su određeni izvodi jediničnih vektora e ρ i e ϕ. Najpre izvršimo zamenu promenljive Izraz za ubrzanje u prirodnom koordinantom sistemu je, dakle: d e τ dt = d e τ ds ds dt = vd e τ ds. (7) a = dv dt e τ +v 2d e τ ds. (8) Primetimo da je: Takođe: e τ ϕ. (9) s R ϕ, (10) gde je s = s(t 2 ) s(t 1 ). Intenzitet vektora d e τ /ds je, prema tome: d e τ ds = lim e τ ϕ = lim s 0 s s 0 R ϕ = 1 = K, (11) R gde je K krivina trajektorije u datoj tački trajektorije (tački M 1 ). je: Ako s 0 tada ϕ 0, a ugao na osnovici jednakokrakog trougla formiranog od e τ (t), e τ (t+ t) i e τ ( π β = lim ϕ 0 2 ϕ ) = π 2 2. (12) Ovo znači da d e τ /ds ima pravac normale na trajektoriju. Primetimo da se smer d e τ poklapa sa smerom e n ako je ds > 0, dok je za ds < 0 smer d e τ suprotan od smera e n. Dakle, u opštem slučaju smer d e τ /ds se poklapa sa smerom e n. Sledi, dakle, da je izraz za vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu: a = v e τ + v2 R e n, (13) što je već pokazano. Definišimo vektor krivine trajektorije K u datoj tački trajektorije (u datom vremenskom trenutku): K = K e n. (14) Izraz za vektor ubrzanja je: a = v e τ +v 2 K. (15) Primetimo da se a τ i a n definišu za proizvoljno krivolinijsko kretanje. Pri tome se a τ, a n, R i K odnose na datu tačku trajektorije, odnosno dati vremenski trenutak. Vektor normalnog ubrzanja uvek je usmeren ka centru krivine trajektorije u datoj tački (tačka M 1 na slici 1). Lako se zaključi da je stoga vektor vektor ubrzanja 2

3 Slika 2: (a) Ubrzano krivolinijsko kretanje. (b) Usporeno krivolinijsko kretanje. (c) Ravnomerno krivolinijsko kretanje. materijalne tačke uvek usmeren ka konkavnoj strani trajektorije. Vektor a nema komponentu u pravcu binormale, što znači da leži u oskulatornoj ravni. Ukoliko je poznata zavisnost a τ = a τ (t) moguće je odrediti zavisnost v(t) rešavanjem diferencijalne jednačine dv dt = a τ(t). (16) Razdvajanjem promenljivih dv = a τ dt, (17) i integraljenjem dobija se rešenje u formi: Ako je, na primer, a τ = const, lako se dobije: v v 0 dv = a(t)dt t v(t) = v t 0, (18) a τ (t)dt. (19) v(t) = v 0 +a τ t. (20) Na sličan način, koristeći dobijenu zavisnost algebarske vrednosti intenziteta brzine od vremene i ds dt = v(t), (21) dobije se: s(t) = s 0 +v 0 t+ 1 2 a τt 2. (22) Treba primetiti da oblik dobijene jednačine kretanja materijalne tačke duž trajektorije s = s(t) za a τ = const ne zavisi od oblika trajektorije. Bez gubitka opštosti, da bismo razmotrili kako kretanje zavisi od znaka a τ, pretpostavićemo da se smer brzine poklapa sa orijentacijom trajektorije. U zavisnosti od smera a τ u odnosu na smer v mogu se razlikovati tri slučaja krivolinijskog kretanja. 3

4 je U prvom slučaju, prikazanom na slici 2(a), tangencijalno ubrzanje je orijentisano kao vektor brzine, tako da a τ (t) > 0 dv dt > 0, (23) što znači da se intenzitet brzine povećava u funkciji vremena. Ovde je dakle reč o ubrzanom kretanju (po datoj krivolinijskog putanji). U drugom slučaju, prikazanom na slici 2(b), tangencijalno ubrzanje je suprotno orijentisano od vektora brzine, tako da je a τ (t) < 0 dv dt < 0, (24) što znači da intenzitet brzine opada u funkciji vremena. Ovde je dakle reč o usporenom kretanju. U trećem slučaju, prikazanom na slici 2(c), tangencijalno ubrzanje je jednako nuli u svakom vremenskom trenutku, tako da je: a τ (t) = 0 dv dt = 0 v = const. (25) Poslednji oblik kretanja, sa konstantnim intenzitetom brzine, je ravnomerno krivolinijsko kretanje. Kod ravnomernog krivolinijskog kretanja vektor ubrzanje je orijentisan ka centru trajektorije u tački u kojoj se nalazi materijalna tačka u datom vremenskom trenutku, odnosno samo je normalna komponenta ubrzanja različita od nule. U ovom slučaju vektor brzine i vektor ubrzanja zaklapaju pravi ugao. Intenzitet ubrzanja jednak je: a = ( ) v a 2 τ +a2 n ( v) = (26) R Orijentacija vektora ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu definisana je kosinusima pravca prema tangenti i normali: 1 2 Sektorska brzina cos ( a, e τ ) = a τ a, (27) cos ( a, e n ) = a n a. (28) Pri kretanju materijalne tačke njen radijus vektor u vremenskom intervalu t prebriše površinu P. Ako je vremenski interval t mali, prebrisana površina radijus vektorom materijalne tačke može se aproksimirati površinom trougla prikazanog na slici 3. Sektorska brzina određuje kako se u toku vremena vrši prebrisavanje površine radijus vektorom materijalne tačke. Prebrisanoj površini pridružimo vektorsko svojstvo. Intenzitet vektora P je P = P, pravac P je normalan na prebrisanu površinu, a smer P određuje se pomoću pravila desne zavojnice u odnosu na smer kretanja materijalne tačke (smer kretanja r). Vektor prebrisane površine je, dakle, Sektorska brzina je: 1 Konsinus pravca prema binormali u svakom vremenskom trenutku jednak je nuli. P = 1 ( r r). (29) 2 P v S = lim t 0 t = lim 1 r r t 0 2 t. (30) 4

5 Slika 3: Vektor prebrisane površine P. Koristeći v = r = lim t 0 r/ t, za vekor sektorske brzine dobije se: v S = 1 r v. (31) 2 Merna jedinica za sektorsku brzinu je kvadratni metar u sekundi: [v S ] = m2 s. (32) Izraz za sektorsku brzinu u Dekartovom koordinatnom sistemu je: v S = 1 i j k 2 x y z. (33) ẋ ẏ ż Ako je kretanje u xy ravni, v S = 1 i j k 2 x y 0 = 1 2 (xẏ ẋy) k, (34) ẋ ẏ 0 što znači da je vektor sektorske brzine normalan na ravan kretanja materijalne tačke. Izraz za sektorsku brzinu u cilindričnom koordinatnom sistemu je: v S = 1 e ρ e ϕ e z 2 ρ 0 z. (35) ρ ρ ϕ ż Ako se materijalna tačke kreće u polarnoj ravni r = ρ e ρ, (36) v = ρ e ρ +ρ ϕ e ϕ. (37) Sektorska brzina je: v S = 1 2 r v = 1 2 ρ e ρ ( ρ e ρ +ρ ϕ e ϕ ), (38) 5

6 Konačno, v S = 1 2 ρ ρ 0 e ρ e ρ ρ2 ϕ e ρ e ϕ. }{{} e z (39) v S = 1 2 ρ2 ϕ e z. (40) Algebarska vrednost intenziteta sektorske brzine je: v S = 1 2 ρ2 ϕ. (41) Primetimo da je vektor v S normalan na polarnu ravan, a smer sektorske brzine zavisi od znaka prvog izvoda polarnog ugla ϕ po vremenu: ϕ > 0: v S je u smeru e z ; ϕ < 0: v S je u suprotnom smeru od e z. Naposletku primetimo da na osnovu izraza za cirkularno ubrzanje a ϕ = 1 d ρdt (ρ2 ϕ) (42) i izraza (41) sledi a ϕ = 2 d(v S ) = 2 v S ρ dt ρ. (43) 3 Srednja vrednost vektora brzine, pređeni put i srednja vrednost intenziteta vektora brzine Posmatrajmo materijalnu tačku koja se kreće po trajektoriji prikazanoj na slici, tako da je vektor pomeraja u vremenskom intervalu of t 1 do t 2 ( t = t 2 t 1 ) jednak r. Srednja vednost vektora brzine, u oznaci v sr ili v, je: S obzirom da je: srednja vrednost vektora brzine je: r 0 v sr v = r t. (44) / d r = v(t)dt v sr = / t 2 t 1, (45) t2 t 1 v(t)dt t 2 t 1. (46) Posmatrajmo dijagrame zavisnosti algebarske vrednosti intenziteta vektora brzine v(t) i intenziteta vektora brzine v (t), koji su prikazani isprekidanom i punom linijom na slici, respektivno. Treba primetiti da se u vremenskim intervalima t [t 1,t ] i t [t,t 2 ] zavisnosti v(t) i v (t) poklapaju, jer je v(t) > 0. Elementarni pređeni put u vremenskom intervalu [t,t+dt] jednak je: ds = ds = v(t)dt = v(t) dt = v (t)dt. (47) 6

7 Slika 4: Uz definiciju srednje vrednosti vektora brzine. Pređeni put u vremenskom intervalu od t 1 do t 2 je: Ako je v (t) = const, tada je pređeni put: S t1,t 2 = t 2 S t1,t 2 = v t 2 t 1 v (t)dt. (48) t 1 dt = v (t 2 t 1 ). (49) Ako zavisnost algebarske vrednosti intenziteta vektora brzine v(t) ima oblik prikazan na slici 5, pređeni put od t 1 do t 2 je: S t1,t 2 = t 2 t 1 v (t)dt = Srednja vrednost intenziteta vektora brzine je: t t 1 v(t)dt+ t t ( v(t))dt+ t 2 t v(t)dt. (50) v = v = S t 1,t 2 t 2 t 1. (51) Slika 5: Ilustračija izračunavanja pređenog puta. 7

8 4 Veza između vektora brzine u Dekartovim i polarnim koordinatama Posmatramo kretanje u polarnoj (xy ravni). Podsetimo se da su veze između Dekartovih i polarnih koordinata: x = ρcosϕ y = ρsinϕ. (52a) (52b) Pored toga, projekcije brzine u Dekartovom koordinatnom sistemu su: v x = ẋ v y = ẏ. (53a) (53b) Takođe, projekcije brzine u polarnom koordinatnom sistemu su: v ρ = ρ v ϕ = ρ ϕ. (54a) (54b) Projekcije brzine u Dekartovim koordinatama su: v x = ẋ = d dρ (ρcosϕ) = dt dt cosϕ ρsinϕdϕ dt = v ρcosϕ v ϕ sinϕ, (55) v y = ẏ = d dρ (ρsinϕ) = dt dt sinϕ+ρcosϕdϕ dt = v ρsinϕ+v ϕ cosϕ. (56) Veza između projekcija brzina u dva kooordinatna sistema može se predstaviti u matričnoj formi: v x cosϕ sinϕ = ρ. v y sinϕ cosϕ v ϕ (57) } {{ } T Ako su poznate v x i v y, projekcije v ρ i v ϕ se određuju na osnovu: v ρ = T 1 v x cosϕ sinϕ = v x, (58) sinϕ cosϕ v ϕ gde je T 1 inverzna matrica matrici T. v y v y 5 Određivanje a τ i a n na osnovu parametarskih jednačina kretanja u Dekartovom i polarnom koordinatnom sistemu Smatramo da su poznate parametarske jednačine kretanja materijalne tačke u Dekartovom koordinatnom sistemu: x = x(t), y = y(t), z = z(t). (59a) (59b) (59c) Pretpostavimo da se orijentacija trajektorije u prirodnom koordinatnom sistemu poklapa sa smerom brzine u trenutku t. Ukoliko ovo nije ispunjeno kretanje u trenutku t može se opisati tako što se obrne orijentacija trajektorije. 8

9 Vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu je: Pomnožimo skalarno ovaj izraz sa v = v e τ : a = a τ + a n = a τ e τ +a n e n. (60) ( v = v e τ ) S obzirom da su vektori e τ i e n međusobno ortogonalni ( e τ e n = 0), sledi: / a = a τ e τ +a n e n. (61) v a = v e τ (a τ e τ +a n e n ) = va τ. (62) Na osnovu činjenice da se orijentacija trajektorije poklapa sa smerom brzine u datom vremenskom trenutku, algebarska vrednost intenziteta vektora brzine je pozitivna, tako da je v = v, pa je tangencijalno ubrzanje: a τ = v a v = ẋẍ+ẏÿ +ż z ẋ2 +ẏ 2 +ż 2. (63) Primetimo i da je za v = v : a τ = v = dv dt = d v dt a τ u izrazima (63) i (64) ima algebarsko značenje: (64) ako v a > 0, tada a τ > 0; ovakvo kretanje je ubrzano: tada je d v /dt > 0; ako v a < 0, tada a τ < 0, ovakvo kretanje je usporedno: tada je d v /dt < 0. Formirajmo sada vektorski proizvod vektora brzine i vektora ubrzanja, pri čemu je vektor ubrzanja dat u prirodnom koordinatnom sistemu: ( v = v e τ ) / a = a τ e τ +a n e n, (65) Koristeći činjenicu da su jedinični vektori u prirodnom koordinatnom sistemu međusobno upravni sledi: v a = va n e b, (66) gde je e b jedinični vektor binormale. Podsetimo se da je a n 0, t.j. a n ima smer normale. S obzirom da su pravac i smer a n poznati, dovoljno je odrediti intenzitet vektora normalnog ubrzanja: v a = v a n, (67) odakle sledi: a n = v a v = (ẏ z żÿ)2 +(żẍ ẋ z) 2 +(ẋÿ ẏẍ) 2 ẋ2 +ẏ 2 +ż 2. (68) Poluprečnik krivine trajektorije u datoj tački trajektorije je: R = v2 a n = (ẋ 2 +ẏ 2 +ż 2 ) 3/2 (69) (ẏ z żÿ)2 +(żẍ ẋ z) 2 +(ẋÿ ẏẍ) 2. Ako se materijalna tačka kreće u xy ravni: i j k v a = ẋ ẏ 0 = (ẋÿ ẏẍ) k. (70) ẍ ÿ 0 9

10 Normalno ubrzanje je: a n = ẋÿ ẏẍ ẋ2 +ẏ 2. (71) Poluprečnik krivine trajektorije materijalne tačke koja se kreće u xy ravni je: R = v2 = (ẋ2 +ẏ 2 ) 3/2. (72) a n ẋÿ ẏẍ Poluprečnik krivine trajektorije mterijalne tačke koja se kreće u xy ravni može se izračunati i ako je poznata eksplicitna forma jednačine kretanja materijalne tačke u koordinatnom obliku: y = y(x). (73) Koristimo: Odavde sledi: y = d2 y dx 2 = d dx ( ) dy = d ( dy dx dx dt ) dt = dt dx dx (ẏ ) d dt ẋ = 1 ẋÿ ẏẍ ẋÿ ẏẍ ẋ ẋ 2 = ẋ 3. (74) ẋÿ ẏẍ = y x 3. (75) Izraz za poluprečnik krivine trajektorije je: R = v2 = (ẋ2 +ẏ 2 ) 3/2 a n ẋÿ ẏẍ Konačno je izraz za poluprečnik krivine trajektorije: = [ẋ2 (1+y 2 ) ] 3/2 ẋ 3 y. (76) R = (1+y 2 ) 3/2 y. (77) Ako se za opis kretanja koristi cilindrični koordinatni sistem (ρ = ρ(t), ϕ = ϕ(t), z = z(t)), algebarska vrednost intenziteta tangencijalnog ubrzanja je: Intenzitet normalnog ubrzanja je: a τ = v a v = v ρa ρ +v ϕ a ϕ +v z a z. (78) vρ 2 +v2 ϕ +v2 z a n = (vϕ a z v z a ϕ ) 2 +(v z a ρ v ρ a z ) 2 +(v ρ a ϕ v ϕ a ρ ) 2 vρ 2, (79) +v2 ϕ +v2 z a poluprečnik krivine trajektorije je: R = (vρ 2 +vϕ 2 +vz) 2 3/2 (80) (vϕ a z v z a ϕ ) 2 +(v z a ρ v ρ a z ) 2 +(v ρ a ϕ v ϕ a ρ ) 2. Slično kao u Dekartovom koordinatnom sistemu, ako je poznato ρ = ρ(ϕ), može se izvesti izraz za poluprečnik krivine u datoj tački trajektorije: gde su: Izvođenje izraza (81) se ostavlja čitaocu za vežbu. R = (ρ2 +ρ 2 ) 3/2 ρ 2 +2ρ 2 ρρ, (81) ρ = dρ dϕ, ρ = d2 ρ dϕ2. (82) 10

11 Slika 6: Ugaona brzina i ugaono ubrzanje. 6 Kružno (rotaciono) kretanje materijalne tačke Kružno (rotaciono) kretanje materijalne tačke je specijalan slučaj krivolinijskog kretanja tačke po kružnici. Ovo kretanje se odvija u jednoj ravni (komplano kretanje), kao što je prikazano na slici 6. Posmatrajmo kretanje po kružnici poluprečnika R. Za dato R, pozicija materijalne tačke određena je samo uglom rotacije ϕ (polarni ugao u polarnom koordinatnom sistemu). Kružno kretanje opisano je jednom parametarskom jednačinom: ϕ = ϕ(t). (83) Pridružimo vektorsko svojstvo diferencijalno malom uglu d ϕ, sa sledećim svojstvima: intenzitet d ϕ je d ϕ = ds R ; vektor d ϕ je normalan na ravan kretanja materijalne tačke (pravac binormale); smer d ϕ je određen po pravilu desne zavojnice prema smeru kretanja materijalne tačke. Pošto smo definisali vektor d ϕ, definišimo vektor ugaone brzine: Merna jedinica za ugaonu brzinu je radijan u sekundi: Karakteristika kretanja je i period obrtanja (period rotacije), što je vreme za koje se materijalna tačka obrne za pun krug. Vektor ugaonog ubrzanja je: ω = d ϕ dt = ϕ.. (84) [ω] = rad s. (85) T = 2π ω, (86) α = d ω dt = ω = ϕ. (87) 11

12 Jedinica za ugaonu brzinu je radijan u sekundi na kvadrat: [α] = rad s 2. (88) Poseban slučaj kružnog kretanja je ravnomerno kružno kretanje, koje se obavlja pod uslovom α = 0 ω = const. Primetimo da pri rotaciji materijalne tačke vektor položaja materijalne tačke u odnosu na proizvoljnu tačku na osi rotacije r i vektor položaja materijalne tačke u odnosu na centar kružne putanje R rotiraju oko ose rotacije. Pored toga, za kružno kretanje materijalne tačke važi: poluprečnik krivine trajektorije R isti je u bilo kojoj tački trajektorije: to je poluprečnik kružnice; oskultatorna ravan je ista za sve tačke trajektorije: to je ravan kružne putanje; centar krivine isti je i nepromenljiv u prostoru za svaku tačku trajektorije: to je centar kružnice. 7 Periferna (linijska) brzina i periferno (linijsko) ubrzanje Perifernom (linijskom) brzinom i perifernim (linijskim) ubrzanjem materijalne tačke nazivamo brzinu i ubrzanje, respektivno, materijalne tačke pri kružnom kretanju. Slika 7: Periferna brzina. Izvedimo poseban izraz za perifernu brzinu. Pođimo od izraza za vektor brzine materijalne tačke koja se kreće kružno u prirodnom koordinatnom sistemu, u kome je referentna tačka O postavljena kao na slici 7: Vektor ugaone brzine je: a vektor položaja materijalne tačke u odnosu na centar kružnice je: v = v e τ = ds dt e τ = R dϕ dt e τ. (89) ω = dϕ dt e b, (90) R = R e n. (91) Vektor brzine sada možemo pisati u obliku: v = Rω e τ, (92) 12

13 gde je ω algebarska vrednost intenziteta vektora ugaone brzine. Pored toga, Koristeći izraz (92) i poslednju relaciju, vektor brzine je dat sa: Ako je pol proizvoljna tačka na osi rotacije, tako da je vektor položaja R materijalne tačke u odnosu na centar kružne putanje je: tako da je periferna brzina (vektori ω i d su kolinearni): Periferno ubrzanje je: odnosno: e τ = e n e b = e b ( e n ). (93) v = ω e b ( R e n ) = ω R. (94) OC = d, (95) R = r d, (96) v = ω ( r d) = ω r. (97) a = d v dt = d dω d r ( ω r) = r+ ω dt dt dt, (98) a = α r + ω ( ω r). (99) }{{}}{{} e τ e n Ovo je izraz za periferno ubrzanje. S obzirom da je prvi vektor u izrazu sa desne strane paralelan e τ, a drugi e n, lako se zaključi: a τ = α r, a n = ω v = ω ( ω r). (100a) (100b) 8 Dodatak III predavanju: Sferni koordinatni sistem Sferni koordinatni sistem se definiše kao na slici 8. Uvedimo pomoćni Dekartov koordinatni sistem sa početkom (tačka O) u centru zamišljene sfere. Odmeri se najpre rastojanje materijalne tačke od koordinatnog početka r. Potom se odredi ugao koji vektor položaja materijalne tačke zaklapa sa z osom θ, a zatim ugao koji projekcija vektora položaja na xy ravan zaklapa sa x osom ϕ. Pri računanju θ i ϕ referentni pravci su z i x osa, respektivno. Pojedine koordinate u ovom koordinatnom sistemu su: r : radijus; θ: polarni ugao; ϕ: azimutni ugao. Jedinični vektori pojedinih karakterističnih pravaca su: e r : usmeren duž vektora položaja; e θ : ima pravac tangente na meridijan, a smer mu je u smeru porasta ugla θ; e ϕ : ima pravac tangente na paralelu, a smer mu je u smeru porasta ugla ϕ. 13

14 Slika 8: Sferni koordinatni sistem. 9 Dodatka III predavanju: Vektor brzine u sfernom koordinatnom sistemu Koristimo izraz za vektor položaja u sfernom koordinatnom sistemu: Vektor brzine je: r = r e r. (101) v = ṙ e r +r d e r dt. (102) Da bismo odredili izvod e r po vremenu, izvedimo prvo veze između jediničnih vektora u sfernom i Dekatovom koordinantom sistemu. Bilo koji vektor može se izraziti pomoću njegovih projekcija na ose Dekartovog koordinatnog sistema, tako da se za jedinični vektor e r može pisati: Projekcije jediničnog vektora e ρ na pojedinačne ose su:: e r = ( e r i) i+( e r j) j +( e r k) k. (103) e r i = sinθcosϕ, (104) e r j = sinθsinϕ, (105) e r k = cosθ. (106) Na sličan način se mogu odrediti projekcije preostala dva jedinična vektora u sfernom koordinatnom sistemu na ose Dekartovog koordinatnog sistema, tako da su veze između e r, e θ i e ϕ i i, j i k: e r = sinθcosϕ i+sinθsinϕ j +cosθ k, e θ = cosθcosϕ i+cosθsinϕ j sinθ k, e ϕ = sinϕ i+cosϕ j. (107a) (107b) (107c) Izvod vektora e r po vremenu je: d e r dt = [ cosθcosϕ θ sinθsinϕ ϕ] i+ [ cosθsinϕ θ +sinθcosϕ ϕ] j sinθ θ k. (108) 14

15 Koristeći izraze za e θ i e ϕ, Zamenom ovog izraza u (102), dobije se: d e r dt = θ e θ +sinθ ϕ e ϕ. (109) v = ṙ e r +r θ e θ +rsinθ ϕ e ϕ. (110) 15