Geometrijske imperfekcije

Transcript

1 Geometrijske imperfekcije K. F. Pri izvodu diferecijalnih jednadžbi ravnoteže za ravnu gredu u ravnini (predavanje Statička nelinearnost za štap u ravnini (1), odjeljci. i 3.) pretpostavili smo da je u početnom stanju, prije nanošenja opterećenja, os grede savršeno ravna 1, podudarna s osi x. U stvarnosti, medutim, savršen sistem ne postoji. Nesavršenosti se mogu iskazati na različite načine: geometrijski nesavršen oblik, nesavršeno smješteno ili usmjereno opterećenje, neravnomjeno rasporedena svojstva materijala ili greške u materijalu... Ograničit ćemo se na nesavršenost početnoga oblika uzet ćemo da os grede u nenapregnutom stanju nije ravna. Oblik osi nazvat ćemo (početnom) imperfekcijom. U odjeljku 3. predavanja Statička nelinearnost za štap u ravnini pokazali smo da je (linearizirana) jednadžba ravnoteže momenata za nerastezljivu Bernoulli Eulerovu gredu, uz m i q,x (tako da je HÔxÕ H), M ½ ÔxÕ Hw ½ ÔxÕ V ÔxÕ. (1) Funkcija w opisuje pomake točaka osi grede od početnoga do ravnotežnog položaja. Kako os (savršeno) ravne grede leži na osi x, to su pomaci od osi x. Postoji li, medutim, početna geometrijska imperfekcija, onda je w w imp w el. () Funkcijaw imp opisujepočetni, nesavršeni, zakrivljenioblikosi, afunkcijaw el pomaketočaka osi od tog početnog oblika. Funkcija w pak daje ravnotežne položaje točaka u odnosu na os x. Formalnim integriranjem jednadžbe (1) od lijevoga kraja (u ishodištu) do nekog presjeka x (uz uvodenje pomoćne varijable ξ) dobit ćemo a potom, uvrštavanjem izraza (), odnosno, MÔxÕ HwÔxÕ MÔxÕ H w el ÔxÕ w imp ÔxÕ MÔxÕ Hw el ÔxÕ Hw imp ÔxÕ V ÔξÕdξ, V ÔξÕdξ, V ÔξÕdξ. 1 Govoreći strogo geometrijski, savršeno ravna je, naravno, pleonazam crta ne može biti nesavršeno ravna. Tu smo retoričku figuru upotrijebili da naglasimo razliku izmedu ideal(izira)noga matematičkog modela i stvarne, samo naizgled ravne grede. 1

2 Iako nesavršeno, početno je stanje nenapregnuto, tako da naprezanja, a time i momenti savijanja, ovise samo o pomacima od početnoga stanja w imp : MÔxÕ EI w ¾ elôxõ. (3) Uvrštavanje tog konstitucijskog izraza u prethodnu jednadžbu daje EIw ¾ el ÔxÕ Hw elôxõ H w imp ÔxÕ V ÔξÕdξ. Riječ je o linearnoj diferencijalnoj jednadžbi s konstantnim koeficijentima, tako da možemo primijeniti princip superpozicije i neovisno analizirati utjecaj (početne) imperfekcije: odnosno, nakon dijeljenja sa EI, EI w ¾ el ÔxÕ Hw elôxõ Hw imp ÔxÕ, w ¾ el ÔxÕ H EI w elôxõ H EI w impôxõ. (4) Opće je rješenje nehomogene diferencijalne jednadžbe (4), kao što znamo, zbroj općeg rješenja pripadne homogene jednadžbe i partikularnoga rješenja: w el ÔxÕ w el,h ÔxÕ w el,p ÔxÕ. Pripadna je homogena diferencijalna jednadžba Njezino ćemo rješenje tražiti u obliku tako da je w ¾ elôxõ H EI w elôxõ. (5) w el,h ÔxÕ e µx, w ¾ el,h ÔxÕ µ e µx. Tražimo, naime, funkciju čija je druga derivacija jednaka sàmoj funkciji pomnoženoj zadanom konstantom: wel ¾ ÔxÕ H EI w elôxõ. I sada ćemo morati razlikovati djelovanja tlačne i vlačne sile. Za tlačnu silu intenziteta P t bit će H P t, pa je odgovarajuća homogena diferencijalna jednadžba P welôxõ ¾ t EI w elôxõ,

3 ili, uz poznati nam koeficijent h l H EI, w ¾ el ÔxÕ Po uvrštavanju izraza za pretpostavljeno rješenje, Å µ e µx, w elôxõ. (6) dobivamo karakterističnu jednadžbu čija su rješenja µ µ 1, i h l, tako da je opće rješenje homogene jednadžbe (6) w el,h ÔxÕ a 1 sin l x a cos l x. (7) Za vlačnu je pak silu H P v, te je homogena jednadžba odnosno, w ¾ el ÔxÕ P v EI w elôxõ, wel ¾ h ÔxÕ l w elôxõ. (8) Rješenja njezine karakteristične jednadžbe su µ h µ 1, h l, pa je opće rješenje jednadžbe (8) w el,h ÔxÕ a 1 sh l x a ch l x. (9) Partikularno rješenje nehomogene jednadžbe ovisi o njezinoj desnoj strani, o funkciji w imp. Neka, primjerice, početna imperfekcija ima oblik kvadratne parabole koja os x siječe na krajevima grede, a tjeme joj je u polovini raspona. Napišemo li funkciju w imp u obliku w imp ÔxÕ w Ôax bx cõ w w imp ÔxÕ, 3

4 gdje je w veličina imperfekcije u lß, morat će biti w imp ÔÕ, w imp ÔlßÕ 1 i w imp ÔlÕ. Prvi uvjet daje c, a preostala dva sustav dviju jednadžbi za nepoznanice a i b: njegovo je rješenje te je konačni izraz za odabranu imperfekciju 4 a l b 1, a lb ; a 4 i b 4 l, w imp ÔxÕ w l x 4 x»¹. (1) Kako je desna strana nehomogene diferencijalne jednadžbe polinom drugoga stupnja i kako jedan član te jednadžbe sadrži nederiviranu nepoznatu funkciju, partikularno će rješenje takoder biti polinom drugog stupnja: w el,p ÔxÕ c c 1 x c x. Nehomogena je diferencijalna jednadžba za tlačnu silu w ¾ elôxõ w elôxõ h w impôxõ. (11) Uvrstimoliunjuizrazezapretpostavljenorješenjeinjegovudruguderivaciju (w ¾ el,p ÔxÕ c ) te izraz (1) za odabranu imperfekciju, dobit ćemo to jest, ³±c c l c»¹ ±c c 1 x c x ¹ w l x 4 x»¹, ³± h c 1 4w»¹x l 3 ³± h l c 4w»¹x. l 4 Ta će jednadžba biti zadovoljena za svaki x samo ako su slobodni član i koeficijenti uz x i x jednaki nuli. Iz tih uvjeta slijede, redom, c 4w l 4 c 4w, c 1 c 4w l 3 c 1 4w l, c c 8w, 4

5 te je partikularno rješenje w el,p ÔxÕ w ³± 8 4 l x 4 x»¹. (1) I napokon, opće je rješenje nehomogene jednadžbe (11) za imperfekciju (1) Å Å h h w el ÔxÕ a 1 sin l x a cos l x w ³± 8 h 4 l x 4 x»¹. (13) Zasad neodredene konstante a 1 i a ovise o zadanim rubnim uvjetima. Primjerice, za slobodno su oslonjenu gredu rubni uvjeti Ti uvjeti daju sustav dviju jednadžbi w el ÔÕ i w el ÔlÕ. a 8w, čije su rješenje a 1 sinh a cosh 8w, a 8w, a 1 8w 1 cosh sinh 8w tg. Za vlačnu je silu nehomogena diferencijalna jednadžba wel ¾ h ÔxÕ l w elôxõ h l w impôxõ. (14) Uvrštavanjem izrazâ za pretpostavljeno rješenje i za odabranu početnu imperfekciju dobivamo c h ±c c 1 x c x ¹ w l x 4 x»¹ i odatle h c 4w l 4 c 4w, h c 1 4w l 3 c 1 4w l, c h l c c 8w h, tako da je partikularno rješenje w el,p ÔxÕ w ³± 8 4 l x 4 x»¹. 5