Teorija pouzdanosti i održavanje brodskih sistema
|
|
- Γερβάσιος Βασιλειάδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Teorija pouzdanosti i održavanje brodskih sistema DIO I: Uvod u teorija pouzdanosti i proračun pouzdanosti sistema Fakultet za pomorstvo u Kotoru Akademska godina: Materijal pripremio: Prof. dr Radovan Stojanović, ETF Podgorica TPIOBS, Kotor,
2 1.1 Uvod u teoriju pouzdanosti Uvod Osnovni pojmovi i relacije Primjeri, zadaci, domaći Vrste otkaza Raspodjele Literatura TPIOBS, Kotor,
3 Uvod Pojmovi koje treba usvojiti t - vrijeme rada elementa, sistema; tekuće vrijeme R*(t) - statistička vrijednost (procjena) pouzdanosti Q*(t) - statistička vrijednost (procjena) nepouzdanosti f*(t) - statistička vrijednost (procjena) frekvencije otkaza λ*(t) - statistička vrijednost (procjena) intenziteta otkaza T - slučajna promjenjiva veličina vrijemena do pojave otkaza sistema R(t) - pouzdanost, funkcija pouzdanosti Q(t) - nepouzdanost, funkcija nepouzdanosti F(t) - funkcija raspodjele otkaza f(t) - funkcija gustine otkaza, funkcija gustine vrijemena do pojave otkaza λ(t) - funkcija intenziteta otkaza MTBF - srednje vrijeme izmedju otkaza MTTF - srednje vrijeme do otkaza λ - parametar eksponencijalne raspodjele; intenzitet otkaza µ - parametar normalne raspodjele; srednja vrijednost σ - parametar normalne raspodjele; standardna devijacija TPIOBS, Kotor,
4 Uvod Postoji više definicija pouzdanosti Najjednostavnije rečeno pouzdanost (eng. RELIABILITY) je sposobnost objekta (komponente, uređaja, sistema) da uspješno obavlja zadatu mu funkciju, pod određenim uslovima, u datom vrijemenskom intervalu. Prema američkom MIL standardu pod pouzdanošću se podrazumijeva vjerovtnoća daće neki predmet svoju namjensku funkciju obavljati u datom vrijemenskom intervalu, pod zadatim uslovima. Njemački standard DIN definiše pouzdanost kao sposobnost nekog proizvoda ili robe da zadovolji, u toku primjene, uslovljene zahtjeve koji se postavljaju u pogledu ponašanja ili održavanja njihovih osobina za duži vrijemenski period. Prema ruskom standardu (GOST) pouzdanost se definiše kao svojstvo objekta da ispunjava zadate funkcije i održava vrijednost eksploatacionih parametara tokom vrijemena u zadatim granicama, koje su određene zadatim režimima i uslovima korišćenja, tehničkog opsluživanja, remonta, skladištenja i transporta. TPIOBS, Kotor,
5 Uvod... Vidi se da je pouzdanost vjerovatnoća, što znači broj između 0 i 1 ili 0 i 100%. Može se predstaviti kao odnos između broja uspješnih zadataka sistema n 1 (t) prema ukupnom broju ovih zadataka n : gdje je t vrijeme trajanja zadatka. Rˆ(t) je procjena pouzdanosti jer je broj zadataka sistema n(t) konačan broj. Stvarna pouzdanost se dobija kada broj zadataka sistema teži beskonačnosti, tj. Npr: automobil koji od sto pokušaja upali 99 puta ima pouzdanost obzirom na sposobnost pokretanja(paljenja) 99 % ili TPIOBS, Kotor,
6 Uvod... Istorija Početak brzog razvoja pouzdanosti kao naučne discipline vezuje se za 30-te godine ovog vijeka, kada je počeo i nagli razvoj vazduhoplovne industrije. Problem pouzdanosti postao je zanimljiv prvo u tehnici. Vrlo brzo je uočeno da sa povećanjem složenosti tehničkog sistema njegova pouzdanost brzo pada.to je dovelo do toga da se smatralo daće pouzdanost predstavljati granicu veličine i složenosti tehničkog sistema. Naime, postojao je strah daće pouzdanost velikog i složenog sistema biti tako mala da ga uopšte neće imati smisla graditi. John von Neuman i drugi naučnici, istih 30tih godina 20tog vijeka, su dokazali da pouzdanost ne predstavlja granicu veličine i složenosti sistema, odnosno da je moguće izgraditi sistem bilo koje veličine i složenosti i bilo koje pouzdanosti. Proučavanje fenomena pouzdanosti dovelo je do stvaranja posebnog naučnog pravca tzv. TEORIJE POUZDANOSTIčiji je jedan od tvoraca J.von NEUMAN. TPIOBS, Kotor,
7 Uvod... Istorija... U godini amerikanci su lansirali uspješno samo 28% satelita, dok je sada ta cifra 92% i ima stalnu tendenciju porasta; U godini, period garancije za automobil iznosio je 90 dana ili 6000 kilometara, dok danas neki proizvođači već nude garanciju od 10 godina ili km; Hidraulična pumpa na avionu DC-8 prvobitno je imala vrijeme između remonta 1200 h. Kontinualnim prikupljanjem podataka o otkazima, omogućene su konstrukcijske izmjene koje su povećale pouzdanost pumpe. Kao rezultat toga povećano je srednje vrijeme između remonta na h, zatim 4000 h i najzad 5800h. Znači, povećana pouzdanost rezultirala je smanjenjem troškova održavanja; Dobro postavljenim i vođenim programom, pouzdanost sistema naoružanja na avionu F-105 podignuta je sa 0,7263 na 0,8986. Troškovi pouzdanosti bili su visoki 25,5 miliona dolara, ali su zato i uštede bile ogromne -54 miliona dolara godišnje u troškovima održavanja. TPIOBS, Kotor,
8 Uvod... Neki pojmovi koji se koriste u teoriji pouzdanosti Proizvod je širok pojam pod kojim se mogu podrazumijevati: sistem, uređaj, sklop ili komponenata. Komponenta (element) - osnovna jedinica ili dio koji se ne može rastaviti na manje djelove bez njenog uništenja. Sklop je samostalna cjelina, koja se sastoji od više komponenata, a koja ima specifičnu funkciju. Uređaj predstavlja kompletnu jedinicu za upotrebu, a sastoji se od izvjesnog broja sklopova smeštenih u jednom zajedničkom okviru. Sistem je tehnička organizaciona cjelina, odnosno integrisana grupa uređaja, zasamostalno izvršenje neke grupe zadataka. TPIOBS, Kotor,
9 Uvod... Osnovne postavke teorije pouzdanosti Teorija pouzdanosti temelji se na dvije osnovne pretpostavke ili dva osnovna zakona pouzdanosti i to: 1) Moguće je izgraditi sistem bilo koje veličine i složenosti te bilo koje pouzdanosti iz elemenata bilo koje nepouzdanosti. 2) Pouzdanost bilo kojeg sistema je uvijek manja od pouzdanosti kritičnog elementa u sistemu. TPIOBS, Kotor,
10 Osnovni pojmovi i relacije Ako je T slučajna promenljiva veličina koja označava vrijeme pojave otkaza ondaće vjerovatnoća otkaza u funkciji vrijemena biti: Funkcija F(t) zove se funkcija raspodele otkaza i ona pokazuje vjerovatnoću daće sistem otkazati do vremena t. U teoriji verovatnoće ova funkcija se zove kumulativna funkcija raspodjele. Ako se pouzdanost sistema označi kao vjerovatnoća bezotkaznog rada u vremenskom intervalu t, može se pisati: gdje R(t) označava FUNKCIJU POUZDANOSTI (eng. PROBABILITY OF SURVIVAL). TPIOBS, Kotor,
11 Osnovni pojmovi i relacije... Funkcija pouzdanosti ima sledeće osnovne osobine: 1. R(0) = 1 (tj. može se razmatrati samo pouzdanost onih elemenata koji su bili ispravni u trenutku početka rada); 2. R(t) predstavlja monotono opadajuću funkciju (slika 1.) zadatog vremena rada t; 3. R(t) 0 pri t (tj. bilo koji element vrijemenom otkazuje). Statistička vrijednost R(t) ocjenjuje se kao odnos broja jednotipskih primeraka (elemenata) koji posle vrijemena t rade bez otkaza prema ukupnom broju n primeraka, koji su ispravni u momentu vremena t = 0. n(t) - broj elemenata (sistema, uredjaja, primeraka) koji su otkazali u toku vrijemena t, odnosno u vrijemenu 0 t, N - ukupan broj elemenata (sistema, uredjaja, primeraka) koji se posmatra (ispituje), * - označava statističku vrijednost ocijenjenog parametra. TPIOBS, Kotor,
12 Osnovni pojmovi i relacije... FUNKCIJA NEPOUZDANOSTI (eng. PROBABILITY OF FAILURE) Primjer funkcije pouzdanosti TPIOBS, Kotor,
13 Osnovni pojmovi i relacije... Funkciju gustine otkaza (eng. FAILURE DENSITY FUNCTION, FAILURE FREQUENCY) se obeležava sa f(t), a na osnovu osnovnih zakona iz teorije vjerovatnoće može se napisati da je: TPIOBS, Kotor, Površina ispod krive f(t)
14 Osnovni pojmovi i relacije... Statistička vrijednost ušestanosti otkaza ocenjuje se relacijom gdje su: t - vremenski interval od t do t+ t, u toku kojeg je otkazalo n(t) elemenata, n(t) - broj elemenata koji su otkazali u vremenskom intervalu od t do t+ t. TPIOBS, Kotor,
15 Osnovni pojmovi i relacije... INTENZITET OTKAZA λ(t) (eng. FAILURE RATE, HAZARD RATE) - Statistička ocjena intenziteta otkazaλ(t) odredjuje se relacijom gdje su: N - ukupan broj posmatranih elemenata, n(t) - ukupan broj otkazalih elemenata do trenutka t, odnosno do početka intervala t, pričemu je t=ti - ti-1, TPIOBS, Kotor,
16 Osnovni pojmovi i relacije... Kriva koja prikazuje intenzitet otkaza, u zavisnosti od vremena, načelno, ima oblik kao na slici (bathtub curve). TPIOBS, Kotor,
17 Osnovni pojmovi i relacije... Prvi period, period ranih otkaza ili period uhodavanja, traje zavisno od vrste uredjaja.u tom periodu otkazuje relativno veliki broj sastavnih djelova, pričemu su to oni koji su najnepouzdaniji, tj. oni u kojima postoje skriveni defekti nastali u procesu proizvodnje sastavnih djelova. Osim toga, manifestuju se i greške nastale pri sastavljanju i montiranju uredjaja. Poželjno je da se period ranih otkaza završi u fabrici - kod proizvodjača. Drugi period je period normalnog rada ili eksploatacije, a karakteriše ga najmanji i približno konstantni intenzitet otkaza. To je i najduži period u kome je proces uhodavanja završen, a trošenje i starenje još nisu nastupili. Zadatak konstruktora, proizvodjača i lica koja vrše eksploataciju je da što više produže, upravo, period normalnog rada. Otkazi u ovom periodu nastaju ili zbog nepredvidjenih pojava u okviru samih sastavnih djelova ili zbog nepredvidjenih spoljnih uticaja. Treći period predstavlja period otkaza usled starenja i istrošenosti. Čak i pri veoma brižljivom projektovanju, proizvodnji i eksploataciji, nastupa period kada se otkazi dogadjaju svečešće zbog ispoljavanja neizbežnih procesa trošenja i starenja sastavnih djelova. TPIOBS, Kotor,
18 Osnovni pojmovi i relacije... SREDNJE VRIJEME DO OTKAZA (eng. MEAN TIME TO FAILURE - MTTF) Srednje vrijeme do otkaza (MTTF) definiše se kao matematičko očekivanje slučajnog vrijemena rada do prvog otkaza: Srednje vrijeme do otkaza To jednako je površini koja je ograničena krivom R(t) i apscisnom osom. U slučaju eksponencijalnog zakona pouzdanosti srednje vrijeme do otkaza je: Statističko srednje vrijeme rada do otkaza za grupu primeraka (kada je broj otkaza jednak broju ispitivanih primeraka, tj. n = N) istog tipa definiše se kao: gdje je: Ti - vrijeme rada do otkaza i-tog primjerka. TPIOBS, Kotor,
19 Osnovni pojmovi i relacije... SREDNJE VRIJEME IZMEDJU OTKAZA (eng. MEAN TIME BETWEEN FAILURES - MTBF) Srednje vrijeme izmedju otkaza (MTBF) definiše se kao matematičko očekivanje slučajnog vremena rada izmedju otkaza. U slučaju jednog primjerka uredjaja (koji se zamenjuje ili opravlja posle otkaza) gdje su: n - ukupan broj otkaza uredjaja u toku posmatranog perioda eksploatacije, Ti - vrijeme rada bez otkaza izmedju (i-1)-og i i-tog otkaza. Za N primjeraka važi: gdje su: Tij - vrijeme rada bez otkaza izmedju (i-1)-og i i-tog otkaza, j-og primerka uredjaja, n - broj otkaza j-og primerka. Ako u toku ispitivanja neki uzorci ne otkažu ni jedanput onda je : gdje su: Ti - vrijeme do i-tog otkaza ili izmedju (i-1)-tog i i-tog otkaza, s - srednji broj primeraka koji nisu otkazali ni jedanput, n - ukupan broj otkaza za sve primerke uredjaja. Za eksponencijalnu raspodjelu vrijemena rada do otkaza srednje vrijeme rada do otkaza (MTTF) jednako je srednjem vrijemenu rada izmedju otkaza (MTBF). TPIOBS, Kotor,
20 Primjeri, zadaci, domaći Zadatak 1: Ispituje se N = 100 uredjaja, koji se pri otkazu ne opravljaju. Do trenutka t 1 =7500 časova otkazalo je n(t 1 ) = 10, do trenutka t 2 = 8000 časova n(t 2 ) = 11, a do trenutka t 3 = 8500 časova n(t 3 ) = 13 uredjaja. Naći: a) vjerovatnoću ispravnog (bezotkaznog) rada, odnosno pouzdanost R(t 2 ), b) vjerovatnoću otkaza Q(t 2 ), c) gustinu raspodjele vrijemena rada do otkaza f(t 2 ) i d) intenzitet otkazaλ(t 2 ) za t 2 = 8000 časova rada. Pri odredjivanju f(t 2 ) i λ(t 2 ) uzeti interval vremena t 1 t 3 (t 1 = t 2 - t/2; t 3 = t 2 + t/2), gdje je t = t 3 - t 1 dužina tog intervala, a trenutak t 2 se nalazi u sredini intervala. TPIOBS, Kotor,
21 Primjeri, zadaci, domaći... a) Vjerovatnoća ispravnog rada ili, kraće, pouzdanost u toku vremena rada ti se može izračunati relacijom: odnosno u toku vremena t 2 je, n(ti) - ukupan broj uredjaja (sistema, elemenata) koji su otkazali do trenutka t, N - ukupan broj uredjaja (sistema, elemenata) koji se posmatra, ispituje. Na osnovu toga, vjerovatnoća daće svi uredjaji raditi ispravno u toku od t 2 = 8000 sati rada je: TPIOBS, Kotor,
22 Primjeri, zadaci, domaći... b) Kako je R*(t ) + Q*(t ) =1, Q*(t )=0.11 c) Gustina vremena rada do otkaza u trenutku t 2 može se odrediti relacijom: gdje je: n(t) - broj otkazanih uredjaja na intervalu t. Prema tome, u trenutku t 2 = 8000 sati, gustina vremena rada do otkaza je: TPIOBS, Kotor,
23 Primjeri, zadaci, domaći... d) Intenzitet otkaza u trenutku t 2 može se odrediti relacijom: U skladu sa tim, intenzitet otkaza u trenutku t 2 = 8000 sati je: TPIOBS, Kotor,
24 Primjeri, zadaci, domaći... Zadatak 2: Odrediti srednje vrijeme do otkaza, To, na osnovu rezultata ispitivanja sistema koji se ne opravljaju. Broj ispitivanih sistema je N = 8. Vrijeme rada do otkaza svakog i-tog sistema (i=1,...,8) prikazano je u tabeli. Srednje vrijeme do otkaza može se odrediti relacijom: TPIOBS, Kotor,
25 Primjeri, zadaci, domaći... Domaći 1: Za Jedan Nd - YAG laser koji služi za mjerenje daljine je poznato To=MTTF=83.33h, naći pouzdanost tog lasera u toku 0,5 časova neprekidnog mjerenja? Pretpostaviti da se može primijeniti eksponencijalna raspodjela. TPIOBS, Kotor,
26 OTKAZI ELEMENATA I SISTEMA Pod otkazom u smislu pouzdanosti podrzumijeva se prestanak sposobnosti uređaja da vrši zahtijevanu funkciju. U toku eksploatacije uređaji i sistemi i njihovi sastavni djelovi (elementi) mogu se naći u jednom od dva moguća stanja: ispravnom ili neispravnom. Pod dejstvom različitih faktora, u toku eksploatacije elemenata (sistema) mijenja se velična nekog od parametara elemenata x(x1, x2,..., xn) u toku vremena u okviru dopuštenih granica a i b. Pod parametrom se podrazumeva bilo koja karakteristika elemenata (sistema). U toku te promene parametar x1 dostiže jednu od granica a ili b, a izlazak izvan okvira dopuštenih granica kvalifikauje se kao otkaz. Na taj način, pod otkazom se podrazumijeva događaj koji se dešava u trenutku kada je vrijednost parametra x1 dostigla jednu od granica ili je izašla izvan njih. Međutim promjena parametra x1 van odrđenih granica ne mora uvijek označavati i gubljenje radne sposobnosti elemenata. Na primjer, kod radioprijemnika, može se desiti da mu osjetljivost bude manja od dozvoljene granice koja je odrđena tehničkim uslovima. To se smatra otkazom, bez obzira što prijemnik može i dalje da radi. Da bi se lakše analizirli, otkazi se klasifikuju. Kriterijuma klasifikacije ima više, pa je u tabeli dat pregled vrsta otkaza prema raznim kriterijumima klasifikacije. Jedan otkaz može odgovarati raznim kriterijumima pa će na taj način biti razvrstan u više vrsta. TPIOBS, Kotor,
27 OTKAZI ELEMENATA I SISTEMA... TPIOBS, Kotor,
28 OTKAZI ELEMENATA I SISTEMA... TPIOBS, Kotor,
29 OTKAZI ELEMENATA I SISTEMA... TPIOBS, Kotor,
30 Raspodjele koje se koriste u teoriji pouzdanosti Funkcija pouzdanosti i funkcija intenziteta otkaza su jedinstveni, tj. određenoj funkciji pouzdanosti odgovara samo određena funkcija intenziteta otkaza i obrnuto. Funkcije gustine otkaza koje su najčešće koriste imaju različite raspodjele. Eksponencijalna raspodjela gdje jeλparametar a t vrijeme otkaza. Znači, očekivano vrijeme bezotkaznog rada je jednako recipročnoj vrednosti intenziteta otkazaλ. Ta vrijednost se često obeležava sa MTTF, nekada sa To, a za eksponencijalnu raspodjelu vazi MTTF=MTBF (Tsr), pa je: TPIOBS, Kotor,
31 Raspodjele koje se koriste u teoriji pouzdanosti... Normalna raspodjela Jednačina za funkciju gustine otkaza u slučaju normalne raspodele je: gdje jeµ-srednja vrednost, σ - standardna devijacija i t - vrijeme otkaza. TPIOBS, Kotor,
32 Raspodjele koje se koriste u teoriji pouzdanosti... tj. očekivano vrijeme bezotkaznog rada (MTBF) jednako je srednjoj vrednostiµ TPIOBS, Kotor,
33 Raspodjele koje se koriste u teoriji pouzdanosti... Lognormalna raspodjela TPIOBS, Kotor,
34 Raspodjele koje se koriste u teoriji pouzdanosti... Ostale raspodjele Vajbulova raspodjela Gama raspodjela Beta raspodjela Studentova raspodjela Fišerova raspodjela, Snedekorova raspodjela Binomna raspodjela (diskretna) Poasonova raspodjela (diskretna) Geometrijska (diskretna) TPIOBS, Kotor,
35 Literatura Rifat Ramović, POUZDANOST SISTEMA,ELEKTRONSKIH,TELEKOMUNIKACI ONIH I INFORMACIONIH, ETF Beograd Josip Lovrić: Osnove brodske terotehnologije, Pomorski fakultet u Dubrovniku. TPIOBS, Kotor,
36 1.2. PRORAČUN POUZDANOSTI SISTEMA Konfiguracije brodskih sistema u pogledu pouzdanosti Analiza sistema sa rezervom. Efektivnost i gotovost TPIOBS, Kotor,
37 PRORAČUN POUZDANOSTI SISTEMA... Pojmovi koje treba usvojiti m - Prosječno vrijeme između kvarova sistema koji se redovno ne servisira. m T - Prosječno vrijeme između kvarova sistema koji se redovno servisira. R SU Ukupna pouzdanost sistema sastavljenog iz više komponenti. λ S prosječan index kvarova (index zamjene). E - Efektivnost sistema. FP - Funkcionalna podobnost sistema, Ao - Operativna gotovost Aa Dostignuta gotovost Ai Unutrašnja gotovost. tr - vrijeme u aktivnom radu (vrijeme korišćenja), tnr - vrijeme kada sistem ne radi, ali je ispravan za rad (vrijeme čekanja na rad), to - vrijeme u otkazu (vrijeme zastoja), MDT - srednje vrijeme u otkazu (srednje vrijeme zastoja), MTBM - srednje vrijeme izmedju održavanja. MTTR - srednje vrijeme izmedju korektivnih opravki (srednje vrijeme aktivne opravke korektivnog održavanja). MTBMp - srednje vrijeme izmedju preventivnih održavanja, MTBMk - srednje vrijeme izmedju korektivnih održavanja. tao - aktivno vrijeme opravke (održavanja),. TPIOBS, Kotor,
38 KONFIGURACIJA BRODSKIH SISTEMA U POGLEDU POUZDANOSTI Tehnički sistemi se dijele na sisteme sa rezervom i na sisteme bez rezerve (nekada se kaže rezervisanosti). Rezerva (redundancy) ili rududansa konfiguracija koja osigurava sposobnost da se izbjegne zastoj i onda kad neka komponenta sistema zataji. Serijski sistem je sistem bez rezerve. Ako jedna komponenta u lancu zakaže, zakaže cijeli sistem. Sistemi sa rezervom mogu biti: a) paralelni ( obje komponente u stalnom radu ) b) udvojeni (jedna komponenta radi, a druga u pripravnosti), utrostručeni ili mnogostruki ( stand-by sistemi). TPIOBS, Kotor,
39 SERIJSKI SISTEMI Ukupna pouzdanost Srednje vrijeme do (izmedju) otkaza, To, rednog modela, kada jeλi = const., dobija se Relacijom, ne oba λi prosječni intenzitet otkaza (indeks kvarova) i-te komponente TPIOBS, Kotor,
40 SERIJSKI SISTEMI Otkazi elemenata nezavisni Masina Spojnica Mjenjač Konusni zupčanik Kardanska osovina R(sistema)=R(masine) x R(spojnice) x R(mjenjaca) x R(kardanske) x R(konusnog) TPIOBS, Kotor,
41 PARALELNI SISTEMI Srednje vrijeme do (izmedju) otkaza, To, rednog modela, kada jeλi = const., dobija se relacijom λi prosječni intenzitet otkaza (indeks kvarova) i-te komponente TPIOBS, Kotor,
42 UDVOJENI SISTEMI Srednje vrijeme do (izmedju) otkaza, To, rednog modela, kada jeλi = const., dobija se relacijom λi prosječni intenzitet otkaza (indeks kvarova) i-te komponente TPIOBS, Kotor,
43 PRIMJER, SLOŽENI SISTEM Primjer 1: Izračunati pozdanost Rs sistema sa slike TPIOBS, Kotor,
44 Analiza sistema sa rezervom Prosječno vrijeme između kvarova sistema kod kojeg se ne obavljaju popravke je: Ako se popravke na sistemu vrše svakih T sati (svaka komponenta mora biti popravljena ili zamjenjena): m T prosječno vrijeme između kavarova za sistem koji se održava sa periodom T λ SU prosječni indeks kvarova cijelog sistema R SU (t) pouzdanost ukupnog sistema Q SU (t) nepouzdanost ukupnog sistema (1 - R SU (t)) Poslije matematičkih transformacija može se pisati TPIOBS, Kotor,
45 Analiza sistema sa rezervom, primjeri Primjer 2: Brod ima udvojeni sistem dizel generatora. Do njegovog zastoja može doći tek ako se oba generatora pokvare. Indeks kvara za svaki od generatora je je 2 kvara na sati. Vrijeme između servisiranja takva dva generatora po preporuci proizvođača iznosi T= 4000 sati. a) Odrediti pouzdanost svake od jedinica R U i sistema R SU b) Vrijeme izmedju dva kvara za cijeli sistem kada se odrzava i kada se ne odrzava. -λ=2/10000=0,0002 Pouzdanost jednog od generatora za T=4000 sati Pouzdanost ukupnog sistema za T=4000 sati TPIOBS, Kotor,
46 Analiza sistema sa rezervom, primjeri... Prema jednačini za m T vrijeme između dva kvara za cijeli sistem će biti: Ako se ovaj udvojeni sistem ne bi redovno održavao, njegovo prosječno vrijeme između kvarova bilo bi: Ukoliko se sistemi sa rezervom održavaju u redovnim intervalima pouzdanostće biti puno veća nego kada se reaguje samo kod izbijanja kvara. Brod je specifično prevozno sredstvo. Moguće je obavljati popravak u hodu. Moramo dizajnirati važnije sisteme na brodu tako da im ni u jednom slučaju pouzdanost ne padne ispod 0,96 %. TPIOBS, Kotor,
47 Analiza sistema sa rezervom, primjeri... Primjer 3: Imamo udvojeni sistem od dva ispravna generatora. Ako se zna index kvarova generatora i maksimalno vrijeme plovidbe od 3 nedelje odrediti pouzdanost jednog od generatora i čitavog sistema. A sistema: To naravno zadovoljava gore navedene propise. Pretpostavimo da se na moru desi kvar jednog od generatora. U radu ostaje drugi generator. Kad bi se pustio da generator leži neispravan tri nedelje brod bi i dalje plovio ali bi pouzdanost bila manja od potrebne (RSU jednog generatora). To naravno ne zadovoljava. Zaključak, popravka se mora izvršiti na moru ako želimo da sistem radi sa propisanom pouzdanošću ( veća od 0,96). Pretpostavimo da na brodu ima rezervnih djelova i da je posada tako uvježbana da se svaki kvar generatora može otkloniti za tri dana. Tada u slučaju kvara jednog generatora i uz pretpostavku da se kvar može otkloniti za 70 sati, pouzdanost ispada: Što zadovoljava propise =R U TPIOBS, Kotor,
48 POUZDANOST U SLUČAJU REDOVNOG ODRŽAVANJA Ako se posmatra mješoviti sistem i isključuju se slučajni kvarovi, te posmatraju samo kvarovi zbog dotrajalosti, te se komponente zamjenjuju nakon kvara, sistem poprima konstantan index kvarova nakon perioda stabilizacije.. Kriva gustine kvarova zbog dotrajalosti sijalica na brodu (Gausova raspodjela, M maksimum pregorijevanja prve generacije). Sijalice prve generacije postupno se mijenjaju kako koja pregori sa sijalicama druge generacije. Vidljivo je daće kriva gustine kvarova druge generacije biti osjetno spljoštena (maksimum kvarova druge generacije će biti 2M). Analogno za treću generaciju. Broj pregorijevanja TPIOBS, Kotor,
49 POUZDANOST U SLUČAJU REDOVNOG ODRŽAVANJA... Primjer 4: Sistem na brodu ima sijalica. Prosječni vijek sijalice je M = 7200 sati, a standardna devijacijaσ= 600 sati. U intervalu od +/-3 σ nalazi se 97 % sijalica, dakle između 5400 i 9000 sati će pregoreti 9970 sijalica. Maksimum pregorijevanjaće biti u 7200 satu. Na slici se je data kriva gustine kvarova sijalica na brodu zbog dotrajalosti. Naći index kvarova za čitav sistem od sijalica (index zamjene ili prosječan index kvarova). Broj pregorijevanja Prema gornjim relacijama: TPIOBS, Kotor,
50 EFEKTIVNOST Efektivnost je sposobnost sistema da obavi funkciju za koju je namijenjen, uključujući učestalost otkaza, teškoće u toku opravki i održavanja, kao i podobnost sistema da obavi funkciju kada radi u skladu sa konstrukcijskom koncepcijom. U stvari, pod efektivnošću se podrazumijevaju tri pitanja: 1 - da li je sistem spreman za izvršenje svoje funkcije (zadatka) kada se to od njega zahtijeva (raspoloživost, odnosno gotovost); 2 - da liće sistem nastaviti da funkcioniše u toku zadatog vremena trajanja zadatka, ukoliko je odgovor na prvo pitanje pozitivan (pouzdanost); 3 - da liće sistem ispuniti željene ciljeve zadatka, pod uslovom da je odgovor na prva dva pitanja pozitivan (funkcionalna podobnost). Efektivnost se izražava verovatnoćom daće sistem zadovoljiti operativni zahtjev u toku odredjenog vremena kada radi pod specificiranim uslovima, preko relacije: gdje su: E - efektivnost sistema, A raspoloživost, odnosno gotovost sistema, R - pouzdanost sistema, FP - funkcionalna podobnost sistema FUNKCIONALNA PODOBNOST Funkcionalna podobnost je vjerovatnoća daće sistem uspješno izvršiti svoj zadatak, pod uslovom da radi u okviru konstrukcijskih mogućnosti (da se koristi u skladu sa namj enom). RASPOLOŽIVOST - GOTOVOST Raspoloživost (AVAILABILITY) je vjerovatnoća daće sistem biti spreman za upotrebu kada se to od njega zahtijeva. TPIOBS, Kotor,
51 OPERATIVNA GOTOVOST Operativna gotovost (OPERATION AVAILABILITY) je vjerovatnoća da sistem zadovoljavajuće funkcioniše u bilo kom trenutku vremena ili da je spreman za upotrebu kada se to zahtijeva gdje su: tr - vrijeme u aktivnom radu (vrijeme korišćenja), tnr - vrijeme kada sistem ne radi, ali je ispravan za rad (vrijemečekanja na rad), to - vrijeme u otkazu (vrijeme zastoja), MDT - srednje vrijeme u otkazu (srednje vrijeme zastoja), MTBM - srednje vrijeme izmedju održavanja. TPIOBS, Kotor,
52 OPERATIVNA RASPOLOŽIVOST - OSTVARENA, DOSTIGNUTA GOTOVOST Operativna raspoloživost (ACHIEVED AVAILABILITY) je vjerovatnoća raspolaganja sistemom kada su uzeti u obzir planirano (preventivno) i neplanirano (korektivno) održavanje. gdje su: MTTR - srednje vrijeme izmedju korektivnih opravki (srednje vrijeme aktivne opravke korektivnog održavanja), MTBM - srednje vrijeme izmedju održavanja: gdje su: MTBMp - srednje vrijeme izmedju preventivnih održavanja, MTBMk - srednje vrijeme izmedju korektivnih održavanja. TPIOBS, Kotor,
53 SOPSTVENA RASPOLOŽIVOST - UNUTRAŠNJA GOTOVOST Sopstvena raspoloživost (INHERENT AVALILABILITY) je vjerovatnoća da sistem zadovoljavajuće funkcioniše u bilo kom trenutku vremena (vrijeme korišćenja i aktivno vrijeme opravke) kada se koristi u specificiranim uslovima. gdje su: tao - aktivno vrijeme opravke (održavanja), MTBF - srednje vrijeme izmedju otkaza. Kada raspodjela vremena rada do otkaza odgovara eksponencijalnom zakonu raspodjele, sopstvena raspoloživost se može odrediti relacijom,kada t, TPIOBS, Kotor,
54 GOTOVOST - PRIMJERI Zadatak 3. Za element čija je vrijemenska slika stanja data odrediti operativnu gotovost. Rješenje: Operativna gotovost predstavlja odnos vremena "u radu" i ukupnog vrijemena: Za posmatrani period, operativna gotovost sistema je: Prema tome, operativna gotovost iznosi 0,5 ili 50 %. TPIOBS, Kotor,
55 GOTOVOST PRIMJERI Zadatak 4: Iz prosječne vremenske slike stanja jednog radarskog sistema u toku sedmice dobijeni su sledeći podaci: sistem radi 4 časa dnevno; na vrijeme zastoja (zbog postupaka korektivnog održavanja) otpada 30 časovačasova sedmično, od kojih na aktivno vrijeme opravke (održavanja) otpada 16 časova. Odrediti: a) operativnu gotovost, b) ostvarenu gotovost (operativnu raspoloživost), c) unutrašnju gotovost (sopstvenu raspoloživost) ovog radarskog sistema. Nacrtati vremensku sliku stanja ovog sistema. Rješenje: a) Operativna gotovost se odredjuje prema izrazu gdje su: tr - vrijeme u aktivnom radu (vrijeme korišćenja), tnr - vrijeme kada sistemčeka na rad (ne radi ali je ispravan), slobodno vrijeme, to - vrijeme u otkazu (vrijeme zastoja). Na osnovu teksta zadatka, vrijeme u aktivnom radu tr = (4 x 7) = 28 časova sedmično, vrijeme u otkazu to = 30 časova sedmično, a slobodno vrijeme (vrijeme kada se sistem ne koristi i ne obavljaju opravke, odnosno kada je sistem ispravan) tnr = 110 časova (jer sedmica ima 168 časova), pa je operativna gotovost TPIOBS, Kotor,
56 GOTOVOST PRIMJERI b) Ostvarena gotovost (operativna raspoloživost) odredjuje se prema izrazu c) Unutrašnja gotovost (sopstvena raspoloživost) odredjuje se prema izrazu gdje je: tao - aktivno vrijeme opravke. Aktivno vrijeme opravke tao = 16 časova. Prema tome, vremenska slika stanja ovog radarskog sistema, u toku jedne sedmice, data je na slici ta - administrativno vrijeme, tlp - logističko vrijeme. TPIOBS, Kotor,
57 DOMAĆI 2 Domaci 2: Ako se jedan sistem sastoji od 10 identičnih elemenata u rednoj konfiguraciji sa pouzdanošću 0,99, pričemu su otkazi elemenata nezavisni, kolika je pouzdanost tog sistema? Kolika bi bila pouzdanost sistema ako bi umjesto 10 bilo 50 takvih elemenata? Kako se ponaša pouzdanost sistema, sa elementima u rednoj konfiguraciji, pri povećanju broja elemenata? Kako utiče veličina pouzdanosti jednog elementa na promjenu pouzdanosti sistema pri povećanju broja elemenata?. TPIOBS, Kotor,
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραRifat M. Ramović !!! !!! Beograd god. IBM Compatible Workstation. Workstation. Satellite dish. Satellite dish. Radio tower.
Rifat M. Ramović Workstation!!! IBM Compatible Workstation Satellite dish Satellite dish Radio tower Workstation!!! Satellite dish POUZDANOST SISTEMA ELEKTRONSKIH, TELEKOMUNIKACIONIH I INFORMACIONIH Beograd
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραKonstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραObrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραMašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραPISMENI ISPIT IZ STATISTIKE
1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραGrafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραKorektivno održavanje
Održavanje mreže Korektivno održavanje Uzroci otkaza mogu biti: loši radni uslovi (temperatura, loše održavanje čistoće...), operativne promene (promene konfiguracije, neadekvatno manipulisanje...) i nedostaci
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα