Prijenos topline Vođenje (kondukcija) Strujanje (konvekcija) Zračenje (radijacija):
|
|
|
- Θεοφάνια Δασκαλοπούλου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Prijenos topline Toplina je dio unutrašnje energije nekog tijela koja prelazi iz područja više temperature u područje niže temperature. Taj prijelaz se odvija na 3 načina: Vođenje (kondukcija): čvrsta tijela prijenos topline ostvaruje se molekularnim gibanjem dok samo sredstvo miruje Strujanje (konvekcija): fluidi (tekućine, plinovi) pri prijenosu topline giba se i sredstvo. Vođenje topline u fluidima dolazi do izražaja samo ako nije moguć prijenos topline konvekcijom. Zračenje (radijacija): toplinska energija pretvara se u elmag zračenje koje tijelo emitira u okolni prostor, tj. zračenje predstavlja prijenos energije na daljinu elmag valovima bez posredstva materije. Toplinsko zračenje tijela pri sobnoj temp. je zanemarivo u odnosu na druge načine izmjene topline, dok je pri 800K zračenje dominantan mehanizam
2 Toplinsko (infracrveno) zračenje sva tijela, čija je temperatura veća od apsolutne nule (0 K) zrače energiju koja se naziva toplinsko zračenje obuhvaća područje valnih duljina od ~0,75μm do ~1000 μm nastaje kada atomi ili molekule tijela pobuđeni termičkim gibanjem emitiraju elektromagnetske valove. Intenzitet I0 emitirane energije je proporcionalan s temperaturom sustava. Emisioni spektri krutih tijela su kontinuirani tj. sastoje se od svih valnih duljina. Kontinuirani spektar predstavlja raspodjelu energije (intenziteta, gustoće zračenja) po valnim duljinama i bitno ovisi o temperaturi tijela. Za temperature T>800K, uz IR područje valnih duljina, tijela počinju zračiti i vidljiv dio spektra
3 Toplinsko (infracrveno) zračenje Temperatura nekog tijela ovisi o utjecajima drugih tijela iz okoline. Pri interakciji s nekim objektom dio upadne energije se reflektira, dio apsorbira, dio prolazi kroz objekt up a r t ia rt Tok emitiranog zračenja Φe predstavlja energiju koja u jedinici vremena prođe kroz plohu površine S: I (W/m2) je intenzitet emitiranog zračenja e I S(W)
4 Toplinsko (infracrveno) zračenje Intenzitet I (W/m2) zračenja predstavlja zbroj doprinosa po svim valnim duljinama sadržanim u emitiranom spektru: Definiramo emisionu moć ili spektralnu gustoću zračenja: ), ( d T f d d di d I I ) ( ), ( 3 Wm d di T f
5 svaki objekt karakteriziraju tri koeficijenta koeficijent apsorpcije koeficijent refleksije koeficijent transmisije A R a u r u T t u
6 Toplinsko (infracrveno) zračenje Vrijedi zbog zakona sačuvanja energije: A+R+T=1 Svi koeficijenti se mijenjaju ovisno o temperaturi i valnoj duljini A (λ,t) R (λ,t) T (λ,t) Za potpuno neprozirno tijelo T=0 -> A+R=1 Za idealno bijelo tijelo A=0 i T=0-> R=1 Za idealno crno tijelo R=0 i T=0-> A=1 Koeficijent apsorpcije a=1 za sve valne duljine i temperature jedino za idealno crno tijelo.
7 Model idealnog crnog tijela Eksperimenti pokazuju da postoji klasa ugrijanih tijela koja emitiraju iste spektre ako su na istoj T: crna tijela Tijela koja apsorbiraju svo toplinsko zračenje, ništa ne reflektiraju, pa izgledaju crno (npr. čađa, crni pigment) a(, T) 1 Samo u području vidljivog dijela spektra elmag valova (koef. apsorpcije ovisi o intervalu valnih duljina)
8 Model idealnog crnog tijela Potpuno drugačiji primjer je izotermna (T=konst.) šupljina s vrlo malim otvorom koja predstavlja model idealnog crnog tijela koje ne postoji u prirodi; a=1 za sve valne duljine Zračenje crnog tijela ili "zračenje šupljine" odnosi se na objekt ili sustav koji apsorbira svo upadno zračenje i reemitira energiju koja je karakteristična samo za taj specifični sustav koji zrači.
9 Zračenje crnog tijela empirijski zakoni (dobiveni na temelju eksperimentalnih rezultata) koji opisuju zračenje crnog tijela: Kirchhoffov zakon Stefan-Boltzmannov zakon Wienov zakon pomaka zakoni koji opisuju zračenje crnog tijela dobiveni razmatranjima na principima klasične fizike: Wienov zakon zračenja Rayleigh-Jeansov zakon
10 Kirchhoffov zakon Tijelo koje je u toplinskoj ravnoteži s okolinom mora, istodobno s apsorpcijom energiju i emitirati. Intenzitet emitiranog zračenja: I S e W m 2, Φe je emitirani tok zračenja, Φup je upadni tok zračenja, ε(ili e) je faktor emisije. U toplinskoj ravnoteži je faktor emisije jednak faktoru apsorpcije, pa za CT vrijedi: CT CT ; a 1 up a e up e Za realna tijela (sivo tijelo) a<1 e up a a up a ε= A ili ε(λ,t)/a(λ,t)=1 Kirchhoffov zakon jedino za apsolutno crno tijelo ( model) ε=1 i A=1 u realnom svijetu ε<1 i A<1, ali je njihov omjer uvijek=1
11 Wienov zakon pomaka Wien je iz termodinamičkih razmatranja i eksperimentalnih podataka izveo zakon pomaka, prema kojemu se frekvencija, odnosno valna duljina za koju je spektralna gustoća energije zračenja f(, T) crnog tijela maksimalna nalazi na vrijednosti koja ovisi samo o temperaturi crnog tijela: b T max * 1
12 Wienov zakon pomaka Kada temperatura crnog tijela raste ukupna izračena energija se povećava i maksimum intenziteta zračenja se pomiče prema kraćim valnim duljinama.
13 Wienov zakon pomaka Zvijezde zrače kao crna tijela pa njihova boja ovisi o njihovoj temperaturi. Krivulje pokazuju spektre za plave, bijele i crvene zvijezde. Iz vrijednosti valne duljine za koju je gustoća zračenja maksimalna može se izračunati temperatura zvijezde preko Wienovog zakona pomaka.
14 Stefan-Boltzmannov zakon Energija koju emitira crno tijelo u sekundi po jediničnoj površini je proporcionalna četvrtoj potenciji apsolutne temperature: Za užarene objekte (sustave) koji nisu idealna crna tijela, zakon poprima oblik: Ili I T ( Wm 4 2 Gdje je e (ili ε) emisivnost sustava (e = 1 za idealno crno tijelo). )
15 Stefan-Boltzmannov zakon Ako je užareni objekt (sustav) temperature T2 okružen hladnom okolinom (stijenkama) temperature T1, objekt će emitirati snagu: ali će i apsorbirati snagu: A 4 2 T 2 pa je ukupna snaga koju tijelo gubi zračenjem: P P A 4 1 T 1 P 4 P2 P1 A ( T2 T 4 1 )
16
17 Wienov zakon zračenja iz Wienovih termodinamičkih razmatranja slijedilo je da spektralna gustoća zračenja (emisiona moć crnog tijela) mora imati oblik f W (, T) (, T) 5 gdje je W(,T) funkcija koja je u okviru klasične fizike ostala neodređena, jer se njen oblik nije mogao odrediti samo iz termodinamičkih razmatranja, bile su potrebne neke pretpostavke o mehanizmu nastanka zračenja.
18 Rayleigh-Jeansov zakon Rayleigh-Jeansov zakon je bio važan korak u razumijevanju ravnotežnog zračenja zagrijanog objekta, iako nije dao točan opis tog zračenja. Pažljivo proučavanje Rayleigh-Jeansovog zakona daje osnovu za razumijevanje kvantne prirode atoma koja je pretpostavljena u Planckovom zakonu zračenja.
19 Rayleigh-Jeansov zakon zračenje unutar volumena V sastoji se od N stojnih elmag valova izračuna se broj stojnih valova po jedinici volumena za svaku frekvenciju, i svakoj takvoj nezavisnoj vibraciji pridjeli se prosječna energija harmoničkog oscilatora kbt u skladu s klasičnom statističkom fizikom. u termičkoj ravnoteži na temperaturi T, u šupljini se nalazi stalan iznos energije zračenja, koji po jedinici volumena označimo s u. Gustoća energije (ukupna energija po volumenu): E kbtn u N V V kbtdn du V V dn k T B du Broj elmag stojnih valova u intervalu frekvencija ν i dv (bez izvoda): dn 2 8V d 3 c
20 Rayleigh-Jeansov zakon Rayleigh-Jeansov zakon je točan, općenit i neizbježan rezultat klasične fizike, a ne posljedica neke greške ili posebnih pretpostavki koje bi ga ograničile na neku specijalnu situaciju. To je važno naglasiti, jer je on baš zato i katastrofalan za klasičnu fiziku, premda se slaže s eksperimentalnim podacima za niske frekvencije, a ne slaže za visoke frekvencije. Gdje je k B 1,38*10 23 JK 1 Boltzmannova konstanta
21 Rayleigh-Jeansov zakon egzaktno geometrijsko razmatranje dokazuje da je izračena snaga po jedinici površine, tj. spektralna gustoća emitiranog zračenja (energija izračena u jedinici vremena iz otvora jedinične površine), proporcionalna s gustoćom energije : Rayleigh-Jeansov zakon poprima oblik: kt c T f kt c T f ), ( 2 ), ( ), ( m W m J s m du c d T f di
22 Zračenje crnog tijela
23 Rayleigh-Jeansov zakon Važno je kakvo je neslaganje R-J zakona s eksperimentalnim podacima za visoke frekvencije. Apsurdno je da na svakoj temperaturi T > 0, spektralna gustoća energije zračenja raste s frekvencijom do u beskonačnost kao ν2. To znači da bi šupljina na bilo kojoj temperaturi T sadržavala po jedinici volumena energiju zračenja U beskonačno velikog iznosa. Kad bismo takvu šupljinu - recimo ugašenu pećnicu na sobnoj temperaturi - otvorili, ona bi prema Rayleigh-Jeansovu zakonu trebala emitirati ne samo dugovalno i infracrveno područje, nego i vidljivu svjetlost, te još bitno više ultraljubičastog (i još daleko više X- i -γ) zračenja. Ultraljubičasta katastrofa je posljedica nemogućnosti opisa zračenja crnog tijela u okviru klasične fizike. Greška nije u izvodu, već u pretpostavci da se na zračenje crnog tijela ne mogu primijeniti zakoni klasične fizike.
24 Planckova hipoteza Da bi objasnio raspodjelu frekvencija (valnih duljina) zračenja crnog tijela Planck je pretpostavio da se emitirana energija može pojavljivati samo u obliku diskretnih paketa (kvanata) koji su proporcionalni s frekvencijom. Atom, dakle ne može apsorbirati ni emitirati bili koji iznos energije, već samo točno određeni paket energije. To bi značilo da će viši modovi harmoničkog oscilatora (atoma) biti manje popunjeni i na taj način ne dolazi do UV katastrofe koja slijedi iz Rayleigh-Jeans zakona. E h
25 Planckov zakon zračenja problem nastaje zbog precjenjivanja doprinosa visokofrekventnih oscilacija, koje uopće ne mogu biti pobuđene ako je temperatura preniska, i zato nemaju energiju kt Planck je nadalje pretpostavio da je vjerojatnost zauzeća pojedinog nivoa data Boltzmannovom raspodjelom. Prema tome, ako s P0 označimo vjerojatnost da je neki oscilator u osnovnom stanju, vjerojatnost da je u n-tom višem dozvoljenom stanju iznosi
26 Planckov zakon zračenja Ako je N0 broj oscilatora (po jedinici volumena) u osnovnom stanju, onda ih u prvom pobuđenom stanju, dakle s energijom E1, ima u drugom Općenito, u n-tom stanju, na energiji En, ima ih
27 Planckov zakon zračenja Uvedimo pokratu Ukupni broj kvantnih oscilatora frekvencije ν tad možemo pisati njihova ukupna energija je Prosječna energija je po definiciji
28 Planckov zakon zračenja Prosječna energija kvantnog harmoničkog oscilatora Kada u Rayleigh-Jeansovom zakonu umjesto srednje vrijednosti klasičnog oscilatora (kt) uvrstimo srednju energiju kvantnog oscilatora dobivamo Planckov zakon zračenja Iz Planckovog zakona možemo izvesti empirijske zakone koji opisuju zračenje crnog tijela, te zakone dobivene preko klasične fizike kao limes u dugovalnom području (Rayleigh-Jeansov zakon), odnosno u kratkovalnom području (Wienov zakon zračenja).
29
Toplotno zračenje apsolutno crnog tijela
oplotno zračenje apsolutno crnog tijela oplotno zračenje nastaje kada atomi ili molekule tijela, pobuñeni termičkim kretanjem emituju elektromagnetne valove Nastaje na račun unutrašnje energije Čvrsta
UVOD U KVANTNU TEORIJU
UVOD U KVANTNU TEORIJU UVOD U KVANTNU TEORIJU 1.) FOTOELEKTRIČKI EFEKT 2.) LINIJSKI SPEKTRI ATOMA 3.) BOHROV MODEL ATOMA 4.) CRNO TIJELO 5.) ČESTICE I VALOVI Elektromagnetsko zračenje UVOD U KVANTNU TEORIJU
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1
OSNOVNI ZAKONI TERMALNOG ZRAČENJA Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine Ž. Barbarić, MS1-TS 1 Plankon zakon zračenja Svako telo čija je temperatura
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler
Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +
NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 SMJER: ISTRAŽIVAČKI STUDIJ FIZIKE STEFAN-BOLTZMANNOV ZAKON
NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 SMJER: ISTRAŽIVAČKI STUDIJ FIZIKE STEFAN-BOLTZMANNOV ZAKON ZRAČENJA ISTRAŽIVAČKI STUDIJ FIZIKE NFP1 1 ZADACI 1. Odredite otpor volframove niti za razne struje i izračunajte
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Fizika 2. Auditorne vježbe 11. Kvatna priroda svjetlosti, Planckova hipoteza, fotoefekt, Comptonov efekt. Ivica Sorić
Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstava Fizika 2 Auditorne vježbe 11 Kvatna priroda svjetlosti, Planckova hipoteza, fotoefekt, Comptonov efekt Ivica Sorić (Ivica.Soric@fesb.hr)
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Kvantna optika Toplotno zračenje Apsorpciona sposobnost tela je sposobnost apsorbovanja energije zračenja iz intervala l, l+ l na površini tela ds za vreme dt. Apsorpciona moć tela je sposobnost apsorbovanja
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
PRIJENOS ENERGIJE VOĐENJE TOPLINE
PRIJENOS ENERGIJE oplina je energija koja zbog razlike temperature prelazi iz područja više temperature u područje niže temperature. Postoje tri načina prijenosa topline: vođenje (kondukcija), strujanje
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Uvod u modernu fiziku
Uvod u modernu fiziku - kvantna fizika - atomska i molekularna fizika - nuklearna fizika - fizika elementarnih čestica i kozmologija --------------------- - fizika čvrstog stanja - astronomija i astrofizika
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Ovisnost intenziteta zračenja idealnog crnog tijela o valnoj duljini
Kvantna fizika_intro Stefan-Boltzmannov i Wienov zakon, ovisnost intenziteta zračenja idealnog crnog tijela o valnoj duljini, Planckova kvantna hipoteza, fotoelektrični efekt (Einsteinovo objašnjenje),
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val
Optika Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val Transvezalan Boja ovisi o valnoj duljini idljiva svjetlost (od 400 nm do 700 nm) Ljubičasta ( 400 nm) ima kradu valnu duljinu od crvene (700 nm)
Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava
Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:
Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Spektar X-zraka. Atomska fizika
Spektar X-zraka Emitirana X- zraka Katoda Anoda Upadni elektron 1895. godine W. Röntgen opazio je nevidljivo (X-zrake) zračenje koje nastaje pri izboju u cijevi s razrijeđenim plinom. Rendgensko zračenje
4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
12. TOPLINA I TEMPERATURA
12. TOPLINA I TEMPERATURA - različito shvaćanje pojmova topline i temperature u svakodnevnom životu TOPLO MLAKO HLADNO VRUĆE - osjet topline ovisi o temperaturi tijela, a temperatura je mjera kinetičke
Obrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Elektricitet i magnetizam. 2. Magnetizam
2. Magnetizam Od Oersteda do Einsteina Zimi 1819/1820 Oersted je održao predavanja iz kolegija Elektricitet, galvanizam i magnetizam U to vrijeme izgledalo je kao da elektricitet i magnetizam nemaju ništa
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =
100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =
Sustav dvaju qubitova Teorem o nemogućnosti kloniranja. Spregnuta stanja. Kvantna računala (SI) 17. prosinca 2016.
17. prosinca 2016. Stanje qubita A prikazujemo vektorom φ A u Hilbertovom prostoru H A koristeći ortonormiranu bazu { 0 A, 1 A }. Stanje qubita B prikazujemo vektorom φ B u H B... Ako se qubitovi A i B
Infracrvena termografija
Primjena termografije Infracrvena termografija građevinarstvo preventivno održavanje ispitivanje kvalitete proizvoda traganje, spašavanje, vojne svrhe, medicinska dijagnostika,. 1 2 Primjena termografije
Atomi i jezgre 1.1. Atomi i kvanti 1.2. Atomska jezgra λ = h p E = hf, E niži
tomi i jezgre.. tomi i kvanti.. tomska jezgra Kvant je najmanji mogući iznos neke veličine. Foton, čestica svjetlosti, je kvant energije: gdje je f frekvencija fotona, a h Planckova konstanta. E = hf,
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko