Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1. 4 UVJETNA VJEROJATNOST Ponovimo... 14
|
|
- Ἡσίοδος Ταμτάκος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Sadrˇzaj Sadrˇzaj 1 4 UVJETNA VJEROJATNOST Ponovimo
2 Radni materijal 2
3 Poglavlje 4 UVJETNA VJEROJATNOST Thomas Bayes ( ) uvodi pojam uvjetne vjerojatnosti: vjerojatnost da se dogodi dogadaj B ako se dogodio dogadaj A jednaka je kvocijentu vjerojatnosti da se dogode dogadaji i A i B i vjerojatnosti dogadaja A. MOTIV 4.1 Kontolor u tvornici daje nakon vizualnog pregleda tri tipa odluke: 1) proizvod je defektan i šalje se na daljnje pretrage 2) sumnja se da je proizvod defektan i šalje se na daljnje pretrage 3) proizvod je ispravan. Pokazalo se dosada da je kontolor bio u pravu kad je odlučio: o neispravnosti u 80% slučajeva, o sumnji na neispravnost u 50% slučajeva, a o ispravnosti proizvoda a u 90% slučajeva. U toku jednog dana kontrolor donosi prvu odluku kod 50%, drugu kod 20% i treću dijagnozu kod 30% proizvoda. (a) Odredite vjerojatnost neispravnosti proizvoda. (b) Odredite vjerojatnost pogrešne odluke tj. odluke kontolora da je proizvod ispravan a on je zaista neispravan. (c) Odredite vjerojatnost nepotrebnih troškova ili slanja na daljnje pretrage proizvoda ako je zaista ispravan. Definicija 4.1 (UVJETNA VJEROJATNOST) Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor i neka je A F takav da je > 0. Tada funkciju P A : F [0, 1] zovemo uvjetna vjerojatnost a definiramo B F kao P A (B) P(B/A) P(B A), vjerojatnost od B uz uvjet da se dogodio A. 0 P A (B) P(B). 3
4 tko želi znati više TEOREM 4.1 Uvjetna vjerojatnost je vjerojatnost. Zadovoljava uvjete (UP1) P A (B) 0, B F (svojstvo nenegativnosti); (UP2) P A (Ω) 1 (svojstvo normiranosti); (UP3) A i F, i N, A i A j, i j P A ( (svojstvo prebrojive aditivnosti). Dokaz: (UP3) A i F, i N, A i A j, i j A i A F, i N, (A i A) (A j A), i j A i ) P A (A i ) P A ( A i ) P( A i A) P(A i A) P( (A i A)) P A (A i ). P(A i A) NAPOMENA 4.1 važno T: Ako je Ω konačan i ako su svi elementarni dogadaji jednako vjerojatni onda je uvjetna vjerojatnost dogadaja B uz uvjet da se dogodio dogadaj A prema aksiomatskoj definiciji jednaka vjerojatnosti a priori: D: P A (B) A B. A Neka je (Ω, P(Ω), P) diskretni vjerojatnosni prostor, gdje je Ω konačan prostor elementarnih dogadaja i P({ω i }) 1 n, i {1,..., n}. Neka je A P(Ω), A m > 0 i m n. Za B P(Ω) tako da je A B r, uvjetna vjerojatnost P A : P(Ω) [0, 1] je definirana na slijedeći način P A (B) P(B A) r n m n r m. PRIMJER 4.1 Bacamo kocku. Kolika je vjerojatnost da će pasti paran broj pod uvjetom da je je pao broj manji od 4? Radni materijal 4
5 4. UVJETNA VJEROJATNOST Rješenje: Ω {ω 1,..., ω 6 } {1, 2, 3, 4, 5, 6}, P({ω i }) 1 6. A {1, 2, 3}, > 0, 3 6 B {2, 4, 6}, P A(B)? P(B A) P A (B) P({2}) PRIMJER 4.2 Izabiremo slučajno dva broja izmedu brojeva od 1 do 9. Ako je njihov zbroj paran broj kolika je vjerojatnost da su oba neparna? Rješenje: Ω {{ω i, ω j } : ω i ω j, ω 1,..., ω 9 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}}, P({ω i }) 1 9. A Ω, A {ω i1, ω i2 }, ω i1 + ω i2 paran, C(2) + C (2) 4 5 C (2) 9 ( 4 ) ( ) ( 9 ) B Ω, B {ω i1, ω i2 }, ω i1, ω i2 neparni, P A (B)? P(B A) C(2) 5 C (2) , P P(B A) A(B) TEOREM 4.2 (FORMULA PRODUKTA VJEROJATNOSTI) Vjerojatnost produkta (presjeka) dva dogadaja (A B) jednaka je produktu vjerojatnosti jednog od njih i uvjetne vjerojatnosti drugog, pod uvjetom da se prvi dogodio. P(A B) P A (B), P(A B) P(B) P B (A). Dokaz: Ako je > 0, prema definiciji uvjetne vjerojatnosti P A : P(A B) P A (B) P(A B) P A (B). Ako je 0 P A (B) P(B) P(A B) P(B) 0. TEOREM 4.3 (FORMULA PRODUKTA VJEROJATNOSTI*) Vjerojatnost produkta (presjeka) n dogadaja (A 1 A 2... A n ) jednaka je P( n A i ) P(A 1 ) P A1 (A 2 ) P (A1 A 2 )(A 3 )... P( n 1 (A n ) A i ) n 1 P(A 1 ) P(A 2 /A 1 ) P(A 3 /A 1 A 2 )... P(A n / A i ). 5 Radni materijal
6 Dokaz:Pomoću AMI. PRIMJER 4.3 Iz špila karata (52 karte) izvlačimo jednu za drugom dvije karte. Kolika je vjerojatnost da obe karte budu pik? Rješenje: A obje karte su pik A 1 prva je pik, P(A 1 ) A 2 druga je pik, P(A 2 /A 1 ) A A 1 A 2. Prema formuli produkta (presjeka) vjerojatnosti: P(A 1 A 2 ) P(A 1 ) P(A 2 /A 1 ) Ili direktno (pomoću formule za uzorak bez vraćanja): P(A 1 A 2 ) C(2) 13 C(0) 13 C(0) 13 C(0) 13 C (2) PRIMJER 4.4 U kutiji se nalazi 10 kuglica: 6 bijelih i 4 crne. Izvlačimo 3 kuglice jednu za drugom. Kolika je vjerojatnost da će bar jedna od njih biti bijela? Rješenje: A izvučena bar jedna bijela, A c izvučene sve crne, A 1 prva izvučena crna, P(A 1 ) 4 10 A 2 druga izvučena crna, P(A 1 /A 2 ) 3 9, A 3 treća izvučena crna, P(A 3 /A 1 A 2 ) 2 8. Prema formuli produkta (presjeka) vjerojatnosti P(A c ) P(A 1 ) P(A 2 /A 1 ) P(A 3 /A 1 A 2 ) Ili direktno (pomoću formule za uzorak bez vraćanja): ( 4 ) ( 6 P(A c ) P(A 1 A 2 A 3 ) C(3) 4 C(0) 6 3 ( 0) C (3) 10 ) P(A c ) PRIMJER 4.5 U kutiji se nalazi 50 proizvoda: 20% neispravnih. Kontrolor izvlači 5 proizvoda sukcesivno (bez vraćanja). Kolika je vjerojatnost da će ocjena kontrolora biti pozitivna (svi proizvodi u uzorku ispravni)? Rješenje: A izvučeni svi ispravni predmeti, A 1 prvi izvučeni ispravan, P(A 1 ) A 2 drugi izvučeni ispravan, P(A 2 /A 1 ) 39 49, A 3 treći izvučeni ispravan, P(A 3 /A 1 A 2 ) Radni materijal 6
7 4. UVJETNA VJEROJATNOST A 4 četvrti izvučeni ispravan, P(A 4 /A 1 A 2 A 3 ) 37 47, A 5 peti izvučeni ispravan, P(A 5 /A 1 A 2 A 3 A 4 ) Prema formuli produkta (presjeka) vjerojatnosti P(A 1 ) P(A 2 /A 1 ) P(A 3 /A 1 A 2 ) P(A 4 /A 1 A 2 A 3 ) P(A 5 /A 1 A 2 A 3 A 4 ) Ili direktno (pomoću formule za uzorak bez vraćanja): P(A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 ) C(5) 40 C(0) 20 C (5) ( 40 5 ) ( 20 ) 0 ( 50 ) 5 Definicija 4.2 (NEZAVISNI DOGADAJI) Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor i neka su A, B F. Za dogadaje A i B kažemo da su nezavisni ako vrijedi P(A B) P(B). Definicija 4.3 (FAMILIJA NEZAVISNIH DOGADAJA) Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor i neka je A i F, i I familija dogadaja. Kažemo da je to nezavisna familija dogadaja ako za svaki konačni podskup različitih indeksa {i 1,..., i k } I vrijedi k P( A ij ) j1 k P(A ij ). j1 PRIMJER 4.6 Ako su A i B nezavisni dogadaji, takvi da > 0, P(B) > 0 onda vrijedi P(B/A) P(B) P A (B), P(A/B) P B (A). P A (B) P(B/A) P(B A) P(B) P(B). PRIMJER 4.7 (a) Proizvoljan dogadaj A i siguran dogadaj su nezavisni. (b) Proizvoljan dogadaj A i nemoguć dogadaj uvijek su nezavisni. 7 Radni materijal
8 Rješenje: (a) Ω A A, P(Ω) 1, P(Ω A) 1 P(Ω). (b) A, P( ) 0, P( A) P( ) P( ) 0. PRIMJER 4.8 Ako su A i B nezavisni dogadaji onda su nezavisni dogadaji: (a) A c i B, (b) A i B c, (c) A c i B c. Rješenje: (a) (A c B) (A B), (A c B) (A B) B P(B) P(A c B) + P(A B) P(A c B) P(B) P(A B) P(B) P(B) P(B) (1 ) P(A c ) P(B). (b) (A B c ) (A B), (A B c ) (A B) A, P(A B c ) + P(A B), P(A B c ) P(A B) P(B) (1 P(B)) P(B c ). (c) (A c B c ) (A B) c, P(A c B c ) P((A B) c ) 1 P(A B) 1 ( + P(B) P(A B)) 1 ( + P(B) P(B)) (1 ) (1 P(B)) P(A c ) P(B c ). PRIMJER 4.9 Motor pokreće električni generator. Vjerojatnost otkazivanja motora u roku jednog mjeseca je 0.08, a generatora Kolika je vjerojatnost da ćemo morati popravljati cijeli uredaj tijekom tog mjeseca? Rješenje: Prema svojstvu (e) vjerojatnosti A, B F P(A B) + P(B) P(A B) za dogadaj A pokvario se motor i dogadaj B pokvario se generator, računamo vjerojatnost P(A B). Budući su dogadaji A i B nezavisni onda je P(A B) P(B). Radni materijal 8
9 4. UVJETNA VJEROJATNOST Vjerojatnost otkazivanja cijelog uredaja je P(A B) Vjerojatnost da će trebati popravak je PRIMJER 4.10 Ako su A i B nezavisni dogadaji pozitivnih vjerojatnosti onda se dogadaji ne isključuju. Rješenje: Pretpostavimo suprotno: A B. A i B su nezavisni i pozitivnih vjerojatnosti P(A B) P(B) > 0, što je u kontradikciji s P(A B) P( ) 0. Zaključujemo da je pretpostavka kriva: A B, dogadaji se ne isključuju. TEOREM 4.4 (FORMULA POTPUNE VJEROJATNOSTI) Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor i neka skupovi H 1, H 2,..., H n F čine potpun sistem dogadaja. Tada A F Dokaz: n P(H i ) P(A/H i ). Skupovi H 1, H 2,..., H n F, čine potpun sistem (familiju) dogadaja: n n H i H j, i j, H i Ω, P(H i ) 1. Prema teoremu o vjerojatnosti produkta (presjeka) dogadaja: P(A H i ) P(H i ) P(A/H i ). A F, (A H i ) (A H j ). n n P(A Ω) P(A ( H i )) P( (A H i )) n P(A H i ) n P(H i ) P(A/H i ). TEOREM 4.5 (BAYESOVA FORMULA) Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor i neka skupovi H 1, H 2,..., H n F čine potpun sistem dogadaja. Neka dogadaj A F ima pozitivnu vjerojatnost > 0. Tada je i P(H i /A) P(H i) P(A/H i ), P(H i /A) P(H i) P(A/H i ). n P(H j ) P(A/H j ) j1 9 Radni materijal
10 H 1 H 2 H 2 A H 1 A H n A A H n Dokaz: Definicija uvjetne vjerojatnosti i formula produkta vjerojatnosti povlači da vrijedi: P(H i /A) P(H i A) P(H i) P(A/H i ). Prema formuli potpune vjerojatnosti dobivamo: P(H i /A) P(H i) P(A/H i ). n P(H j ) P(A/H j ) j1 NAPOMENA 4.2 Bayesovu formulu koristimo kad želimo naći istinitu hipotezu iz skupa od n postavljenih hipoteza H i, i 1,..., n, ako znamo da se dogodio dogadaj A. Za svako i 1,..., n, računamo P(H i /A). Hipoteza H i0 za koju je P(H i0 /A) 1, uzima se da je ispravna. PRIMJER 4.11 Na našem fakultetu je 4% studenata i 1% studentica koji nisu državljani RH. Omjer studenata i studentica upisanih na fakultet je 40:60. Ako je slučajno izabrana jedna osoba upisana na naš fakultet koja je strani državljanin kolika je vjerojatnost da je to studentica? Rješenje: Postavljamo hipoteze-potpun sistem dogadaja: H 1 izabrana osoba je studentica, P(H 1 ) H 2 izabrana osoba je student, P(H 2 ) H 1 H 2, H 1 H 2 Ω. Radni materijal 10
11 4. UVJETNA VJEROJATNOST Dogadaj A koji se dogodio: A izabrana osoba je strani državljanin. Zadane su uvjetne vjerojatnosti dogadaja A uz uvjet jedne i druge hipoteze: P(A/H 1 ) 1 100, P(A/H 2) Trebamo odrediti P(H 1/A)? Koristimo Bayesovu formulu: P(H 1 /A) P(H 1 ) P(A/H 1 ) 2 P(H j ) P(A/H j ) j P(H 1 ) P(A/H 1 ) + P(H 2 ) P(A/H 2 ) PRIMJER 4.12 Tri stroja S1, S2 i S3 učestvuju u ukupnoj proizvodnji u omjeru 60 : 30 : 10. Stroj S1 proizvodi 2%, stroj S2 3% i stroj S3 4% neispravnih proizvoda. Ako se slučajno izabere jedan proizvod koji je neispravan, kolika je vjerojatnost da je bio napravljen na stroju S3? Rješenje: Postavljamo hipoteze-potpun sistem dogadaja: H 1 izabrani predmet je sa stroja S1, P(H 1 ) H 2 izabrani predmet je sa stroja S2, P(H 2 ) H 3 izabrani predmet je sa stroja S3, P(H 3 ) H i H j, i j, H 1 H 2 H 3 Ω. Dogadaj A koji se dogodio: A izabrani proizvod je neispravan. Zadane su uvjetne vjerojatnosti dogadaja A uz uvjet pojedine hipoteze: P(A/H 1 ) 2 100, P(A/H 2) 3 100, P(A/H 3) Trbamo odrediti P(H 3 /A)? Koristimo Bayesovu formulu: P(H 3 /A) P(H 3 ) P(A/H 3 ) 3 P(H j ) P(A/H j ) j P(H 1 ) P(A/H 1 ) + P(H 2 ) P(A/H 2 ) + P(H 3 ) P(A/H 3 ) Prisjetimo se motivacijskog primjera: 11 Radni materijal
12 PRIMJER 4.13 motiv Kontolor u tvornici daje nakon vizualnog pregleda tri tipa odluke: 1) proizvod je defektan i šalje se na daljnje pretrage 2) sumnja se da je proizvod defektan i šalje se na daljnje pretrage 3) proizvod je ispravan. Pokazalo se dosada da je kontolor bio u pravu kad je odlučio: o neispravnosti u 80% slučajeva, o sumnji na neispravnost u 50% slučajeva, a o ispravnosti proizvoda a u 90% slučajeva. U toku jednog dana kontrolor donosi prvu odluku kod 50%, drugu kod 20% i treću dijagnozu kod 30% proizvoda. (a) Odredite vjerojatnost neispravnosti proizvoda. (b) Odredite vjerojatnost pogrešne odluke tj. odluke kontolora da je proizvod ispravan a on je zaista neispravan. (c) Odredite vjerojatnost nepotrebnih troškova ili slanja na daljnje pretrage proizvoda ako je zaista ispravan. Rješenje: Postavljamo hipoteze-potpun sistem dogadaja: H 1 prva odluka -proizvod je neispravan, P(H 1 ) 0.5; H 2 druga odluka - sumnja se da je proizvod neispravan, P(H 2 ) 0.2; H 3 treća odluka- proizvod je ispravan, P(H 3 ) 0.3. H i H j, i j, H 1 H 2 H 3 Ω. Dogadaj A proizvod je neispravan. Dogadaj A c proizvod je ispravan. Zadane su uvjetne vjerojatnosti dogadaja A uz uvjet pojedine hipoteze: P(A/H 1 ) 0.8, P(A/H 2 ) 0.5 P(A/H 3 ) 0.1. (a) Trebamo odrediti (b) Trbamo odrediti P(H 3 /A)? (c) Trebamo odrediti P(H 1 H 2 /A c ) (a) Koristimo formulu potpune vjerojatnosti: 3 P(H j ) P(A/H j ) j P(A c ) Radni materijal 12
13 4. UVJETNA VJEROJATNOST (b)koristimo Bayesovu formulu: P(H 3 /A) (c) Koristimo Bayesovu formulu: P(H 3 ) P(A/H 3 ) 3 P(H j ) P(A/H j ) j P(H 1 H 2 /A c ) P(H 1) P(A c /H 1 ) + P(H 2 ) P(A c /H 2 ) P(A c ) Radni materijal
14 4.1. Ponovimo 4.1 Ponovimo UVJETNA VJEROJATNOST Uvjetna vjerojatnost od B uz uvjet da se dogodio A ako > 0 ako 0 formula produkta vjerojatnosti nezavisni dogadaji A i B formula potpune vjerojatnosti P A (B) P(B/A) P A (B) P(B A) P A (B) P(B) P(A B) P A (B) P(A B) P(B) n P(H j ) P(A/H j ) Bayesova formula P(H i /A) P(H i) P(A/H i ) j1 n P(H j ) P(A/H j ) j1 Radni materijal 14
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI
Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI............................ KONTINUIRANI -dim tko želi znati više.............................. 5. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE........
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Uvod u vjerojatnost i statistiku
Vježbe 5. 1 Uvjetna vjerojatnost i nezavisnost dogadaja 2 Zadaci 3 Formula potpune vjerojatnosti 4 Bayesova formula 5 Zadaci Monty Hall problem - Koze i auto I Pretpostavite da igrate igru u kojoj birate
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Statistika i osnovna mjerenja
Statistika i osnovna mjerenja Teorija vjerojatnosti M. Makek 2016/2017 Uvod Pokus bilo koji postupak ili proces koji rezultira opažanjem Ishod moguć rezultat pokusa (različiti ishodi se međusobno isključuju)
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
VJEROJATNOST 1. kolokvij studenog 2013.
Zadatak 1 (10 bodova (a (5 bodova Iskažite i dokažite teorem o strukturi vjerojatnosti na partitivnom skupu prebrojivog skupa. Zašto u slučaju prebrojivog skupa možemo promatrati samo vjerojatnosti definirane
VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
VJEROJATNOST I STATISTIKA
Vera Čuljak VJEROJATNOST I STATISTIKA Gradevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu Predgovor Poštovani čitatelji, nadam se da ćete naći korisne informacije u ovom nastavnom tekstu. Ruski matematičar P.L.
2. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE VJEROJATNOSTI
2. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE VJEROJATNOSTI 2. ALGEBRA DOGAĐAJA 2.. Intuitivna definicija Slučajan pokus (eksperiment) jest takav pokus čiji ishodi nisu jednoznačno određeni skupom uvjeta pokusa. Sa Ω označavamo
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Vjerojatnost i statistika
Vjerojatnost i statistika E. Kovač Striko B. Ivanković T. Fratrović 12. ožujka 2007. Sadržaj 2 Vjerojatnost 27 2.1 Uvod...................................... 27 2.2 Intuitivne definicije vjerojatnosti......................
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }
VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Uvod u vjerojatnost i matematičku statistiku
Uvod u vjerojatnost i matematičku statistiku - vježbe - Danijel Krizmanić 28. rujna 2007. Sadržaj Osnove vjerojatnosti 2 2 Kombinatorika i vjerojatnost 5 3 Uvjetna vjerojatnost. Nezavisnost 9 4 Geometrijske
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Rešenje predhodnog primera: Neka je A događaj izvlačenja crne kuglice, a B verovatnoća izvlačenja bele kuglice iz prvog izvlačenja.
USLOVNA VEROVATNOĆA Često smo u prilici da tražimo verovatnoću nekog događaja A, posedujući informaciju o tome da se događaj B realizovao ili pretpostavljajući da će se realizovati. U kesi se nalazi belih
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Slučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.
Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
VJEROJATNOST popravni kolokvij veljače 2017.
Zadatak 1. (20 bodova) (a) (4 boda) Precizno definirajte pojam σ-algebre događaja na nepraznom skupu Ω. (b) (6 bodova) Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor i A, B F događaji. Pomoću aksioma vjerojatnosti
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Vjerojatnost - 1. dio. Uvod u vjerojatnost. 1. Kolika je vjerojatnost da se pri bacanju dviju kocki pojavi: a) zbroj 8 b) barem jedna četvorka?
Vjerojatnost - 1. dio Uvod u vjerojatnost 1. Kolika je vjerojatnost da se pri bacanju dviju kocki pojavi: a zbroj 8 b barem jedna četvorka? ( 5, 11 36 36. Ako se znade da je od 100 žarulja pet neispravnih,
Vjerojatnost i statistika
Vjerojatnost i statistika vježbe 015/016. 1. siječnja 016. Sadržaj Sadržaj 1 Kombinatorika 4 1.1 Permutacije............................ 4 1. Permutacije s ponavljanjem................... 5 1.3 Varijacije.............................
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
REKURZIVNE FUNKCIJE PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc.dr.sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Brigita Švec REKURZIVNE FUNKCIJE Diplomski rad Voditelj rada: Doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, Rujan, 2014. Ovaj diplomski
Osnovni pojmovi iz kombinatorike, vjerojatnosti i statistike I. Kombinatorika
Osnovni pojmovi iz kombinatorike, vjerojatnosti i statistike I. Kombinatorika Teorem o uzastopnom prebrojavanju (TUP) Ako x 1 možemo birati na n 1 načina, ako x 2 možemo birati na n 2 načina,..... ako
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike
Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 1 Slučajna varijabla Slučajna varijabla je funkcija X koja elementarnim dogadajima pridružuje
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
VJEROJATNOST I STATISTIKA 2. kolokvij lipnja 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 0 min Ukupan broj bodova: 50 Zadatak.. kolokvij - 0. lipnja 0. (a Ako su X i Y diskretne slučajne varijable, dokažite da vrijedi formula E [X + Y ] = E [X] + E [Y ].
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa