Rešenje predhodnog primera: Neka je A događaj izvlačenja crne kuglice, a B verovatnoća izvlačenja bele kuglice iz prvog izvlačenja.

Transcript

1 USLOVNA VEROVATNOĆA Često smo u prilici da tražimo verovatnoću nekog događaja A, posedujući informaciju o tome da se događaj B realizovao ili pretpostavljajući da će se realizovati. U kesi se nalazi belih i 9 crnih kuglica. Izvlačimo nasumice kuglice, jednu po jednu, bez vraćanja. Kolika je verovatnoća da ćemo iz drugog puta izvući crnu, ako je u prvom izvlačenju izvučena bela kuglca? Verovatnoća P A B P A B, zove se uslovna verovatnoća dodađaja A pod uslovom B i definiše se sa =, za 0 P( B) P B >. Rešenje predhodnog primera: Neka je A događaj izvlačenja crne kuglice, a B verovatnoća izvlačenja bele kuglice iz prvog izvlačenja. P( B ) = P( A B) = = = = 4 V P( A\ B) = = P B 3 Kolika je verovatnoća da će se na kocki, prilikom bacanja, pojaviti paran broja, pod uslovom da je taj broj manji od 4? Neka je A događaj pojave parnog broja, a sa B pojava brojeva manjih od 4. A= { ω, ω4, ω6}, B = { ω, ω, ω3} P( ω ) P( A B) = = = 6 = P( B) P( ω + ω + ω3) Dinar se baca ili do pojave grba ili do tri uzastopne pojave pisma. Pod uslovom da je rezultat prvog bacanja pismo, naći verovatnoću da dinar bude bačen 3 puta. Prilikom bacanja novčića moguće su situacije. G, PG, PPG, PPP P G =, P PG =, P PPG =, P PPP =, Neka je B događaj pojave pisma u prvom bacanju ( B=PG+PPG+PPP), pa je P B = + + =

2 Ako je A događaj da se dinar baca 3 puta, onda je ( A=PPG+PPP) i P AB =. 4 P( A B) = = 4 =. P( B) i P A = + =. Kako je AB=A, U skladu sa definicijom uskovne verovatnoće dolazimo do pojma nezavisnosti događaja A i B. Događaj A nezavisan od događaja B, i obrnuto ako je: P A B = P A, P B A = P B. Za događaje A i B kažemo da su nezavisni ako je P AB = P A P B. Nezavisnost se definiše nad skupom Ω, za razliku od disjunktnosti koja se definiše nezavisno od definicije verovatnoće. Kolika je verovatnoća da se na dvema bačenim kockam dobije zbir 9, ili ako se to ne dogodi, da pri ponovljenom bacanju dobije zbir 7. Verovatnoća da dobijemo zbir 9 je 4 P A = = Verovatnoća da u drugom bacanju kocke dobijemo zbir 7 je 6 P B = = A i B su nezavisni događaji. Događaj da u prvom bacanju ne dobijemo zbir 9, a da u ponovljenom dobijemo zbir 7 se proizvod 8 4 događaja i iznosi = P( A) P( B) = = I konačno P( A+ AB) = + = TOTALNA VEROVATNOĆA Predpostavimo da se događaji H, H,, Hn međusobno isključuju. Realizacija proizvoljnog događaja A mora se realizovati uz realizaciju bar jednog od ovih događaja.

3 Ako izvesni nezavisni dodađaji H, H,, Hn čine jedno razlaganje događaja Ω onda je Ovi događaji čine potpuni sistem hipoteza. n H k = Ω. k = Fali slika Verovatnoće P( H i ) su unapred poznate. Da bismo odredili verovatnoću događaja A potrebno je naći uslovne verovatnoće P( A\ H i ), tj. Realizacije pojedinih hipoteza koje su dovele do realizacije događaja A. Formula totalne verovatnoće: Ako događaji H, H,, Hn čine potpuni sistem hipoteza u odnosu na događaj A, tada je n ( k) ( k) P A = P H P A H. k = Na ispit iz matematike izašlo je 60% studenata koji polažu prvi put i 40% ostalih. Verovatnoća da će student koji polaže prvi put položiti ispit je 0,3, a za ostale 0,4. Odrediti verovatnoću da će slučajno izabrani student položiti ispit. Neka su H, H verovatnoće da student polaže prvi put, odnosno više puta. P H = 0,6 P H = 0, 4 P A H = 0,3 P A H = 0, 4 P( A ) = 0,6 0,3 + 0, 4 0, 4 = 0,34 U nekoj fabrici 30% proizvodnje otpada na mašinu A, % na mašinu B i ostalo na mašinu C. Na mašini A pojavljuje se % škarta, na mašini B,% i na mašini C % škarta. Tokom dana ove mašine proizvedu artikala. Kolika je verovatnoća da će slučajno izabrani proizvod biti škart? A je događaj da je slučajno izabrani proizvod škart. H, H, H su proizvodi izrađeni na mašinama A,B,C. 3 = 0,30, = 0,, ( 3) = 0, 4 ( \ ) = 0,0, ( \ ) = 0,0, ( \ 3) = 0,0 P H P H P H P A H P A H P A H P A = P H P A\ H + P H P A\ H + P H P A\ H = 0,0 3 3 Određeni proizvod proizvode 3 fabrike. Poznato je da prva fabrika proizvodi dva puta više od druge, a druga i treća isto. Takođe % proizvoda iz prve i druge fabrike je defektno, a 4% iz treće. Svi 3

4 proizvodi nalaze se se istom skladištu. Slučajno se bira jedan proizvod. Naći verovatnoću da je on defektan. Ako sa H, H, H 3 obeležimo da je artikal iz ovih fabrika respektivno. P H = P H, P H = P H, P H + P H + P H =, Iz uslova zadatka imamo da je 3 3 pa dobijamo da je P( H) = P( H) = P( H3) =. 4 Ako je događaj A da je izabrani proizvod defektan iz uslova zadatka takođe imamo P A H = P A H = 0,0 P A H = 0,04. ( 3) Na osnovu formule totalne verovatnoće je P A = P H P A H + P H P A H + P H P A H ( 3) ( 3) 0,0 + 0,0 + 0,04 = 0,0 4 4 Koristeći formulu totalne verovatnoće mi ne možemo da odgovorimo na pitanje iz koje fabrike potiče izabrani proizvod. Odgovor daje Bajesova formula. Bajesova formula: Ako izvesni nezavisni dodađaji H, H,, Hn čine potpuni sistem hipoteza u odnosu na događaj A, i P( A ) > 0, tada je k = P Hi P A Hk P Hi P A Hk P( Hi A) = =, i =,, n. n P( A) P H ( k) P( A Hk) Bajesova formula se zove i formula verovatnoća hipoteza( uzroka ), jer na H, H,, Hn možemo gledati kao na različite uzroke koji mogu dovesti do realizacije događaja A. U predhodnom primeru verovatnoća da je traženi proizvod iz prve fabrike je 0, 0,0 P( H A) = = 0, 4. 0,0 Baca se kocka. Ako se na kocki pojavi ili 6 uzima se kuglica iz prve urne, u suprotnom se uzima iz druge urne. Prva urna sadrži 3 crne, bele i zelenu kugligu, a druga urna sadži 4 bele i zelene kuglice. a) Naći verovatnoću da je izvučena bela kuglica b) Naći verovatnoću da je izvučena iz prve urne a) Ako su H, H događaji da su izabrane prva odnosno druga urna, imamo 4 P( H) = =, P( H) = =

5 4 = = = = ( \ ), P( A\ H ) P A H P A = P H P A H + P H P A H = b) P( H \ A) P( A H) P( A) P H \ = = Bernulijevi eksperiment Niz eksperimenata sa dva moguća ishoda koji se izvode pod istim uslovima čine Bernulijeve opite ili eksperimente. Ishodi uzastopnih bacanja novčića čine niz Bernulijevih eksperimenata. Verovatnoća da se u n eksperimenata dogodi k uspeha, ako je verovatnoća svakog uspeha p iznosi n P A p p k k = ( ) Kolika je verovatnoća da se u 0 uzastopnih bacanja novčića 6 puta pojavi grb P( A) = 6 Binarni signal može biti poslat sa tri različita mesta A,B,C. Zna se da su verovatnoće da je signal poslat sa ovih mesta,,. Ako je signal poslat sa mesta A on sadži u proseku 0% jedinica, ( tj 3 6 verovatnoća da se jedinica nalazi na bilo kom mestu binarnog niza je 0,), signal iz mesta B sadrži 30% jedinica i signal iz mesta C sadrži 40% jedinica. Primljen je signal od 0 znakova od kojih su 4 jedinice. Odrediti verovatnoću da je signal poslat iz mesta A,B,C. Neka je D događaj da signal sadrži 0 znakova od kojih su 4 jedinice. Ako je p verovatnoća pojavljivanja jedinice, možemo smatrati da se radi o Bernulijevom eksperimentu i da je 0 4 P( D) = p ( p) 6. Ako je signal poslat iz mesta A, tada je p=0,, pa je P( D A) = ( 0, ) ( 0,8 ) = 0,088. Analogno se dobija P( D B) = ( 0,3 ) ( 0,7 ) = 0,00 i P( D C) = ( 0,4 ) ( 0,6 ) = 0,08. Po formuli totalne verovatnoće n k.

6 P( D ) = 0, , 00+ 0, 08 = 0, 887, 3 6 a na osnovu Bajesove formule imamo P( A) P( D A) 0,088 P( A D) = = = 0, 89 P D 0, 887 P( B) P( D B) = = 0,437 i P( C D) P B D P D P c P D C = = 0,47. P D Dakle zaključujemo da je najverovatnije signal poslat iz mesta B. Pouzdanost uređaja se definiše kao verovatnoća da uređaj ispravno radi. Ako je sistem sačinje od nezavisnih komponenata, tada se pouzdanost može odrediti ako znamo pouzdanost komponenti. Osnovni načini povezivanja komponenti su redna i paralelna veza. p p p p Sistem od dve redne komponente radi samo ako obe komponente rade. Pouzdanost sistema je dakle p = pp. Sistem od dve paralelne komponente ne radi samo ako ni jedna komponenta ne radi. Dakle p p. Pouzdanost sistema je dakle verovatnoća da sistem ne radi je p = ( p )( p ) = p + p p p. Data su dva sistema na slici. Koji ima veću pouzdanost? I II Neka su p, p pouzdanosti datih sistema. 6

7 Sistem I se svodi na paralelnu vezu 3 komponente od kojih je svaka redna sa pouzdanošću 3 pi p p p p 4 6 = = Sistem II se svodi na rednu vezu 3 komponente od kojih je svaka paralelna sa pouzdanošću pa dobijamo 3 Dakle pii p p p p p p = = pi pii p p p p = + 3 > 0, Pa prema tome sistem I imaveću pouzdanost. p p, 7