Σημαντικές παρατηρήσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 5 ο ο Η έννοια της παραγώγου Να υπάρχει διάστημα της μορφής ή ή α,,β Για να βρούμε τον παράγωγο αριθμό μιας συνάρτησης σ ένα σημείο, προσέχουμε τα εξής: Το σημείο πρέπει να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης το οποίο να είναι υποσύνολο του πεδίο ορισμού της συνάρτησης Η συνάρτηση να είναι συνεχής στο H έννοια της παραγώγου στο α,,β βρίσκει εφαρμογή στη φυσική αφού: t αν θεωρήσουμε = S(t) τη συνάρτηση θέσης ενός κινητού τότε η στιγμιαία ταχύτητα τη χρονική στιγμή δίνεται από τη σχέση υ(t ) S (t ), δηλαδή είναι η παράγωγος της συ- νάρτησης θέσης Σχόλιο: Όταν ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά, τότε κοντά στο οπότε είναι υ(t ) Ενώ, όταν το κινητό κινείται προς τα αριστερά κοντά στο t ισχύει είναι υ(t ) Αντίστοιχα, προκύπτει ότι η επιτάχυνση α(t) από τη σχέση α(t ) υ (t ) t ισχύει St S t St S t t t ενός κινητού τη χρονική στιγμή, δηλαδή είναι η παράγωγος της ταχύτητας t t t,, οπότε δίνεται Βασικές Προτάσεις (χωρίς απόδειξη) Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα, τότε είναι συνεχής στο [Θεώρημα σελ 7 σχολικού] Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο [Λόγω αντιθετοαντιστροφής του παραπάνω θεωρήματος] Μέθοδοι Αν ζητείται να εξετάσουμε αν μια συνάρτηση με κλάδους, απόλυτες τιμές κλπ είναι παραγωγίσιμη στο σημείο που αλλάζει τύπο, τότε, βρίσκουμε τα πλευρικά όρια του λόγου μεταβολής κάνουμε χρήση του ορισμού Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3-85-

Αν ζητείται να εξετάσουμε αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ακραίο σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε, εργαζόμαστε με χρήση του ορισμού στο σημείο αυτό, δηλ, βρίσκουμε το όριο του λόγου μεταβολής της στο σημείο αυτό 3 Για να βρούμε παραμέτρους ώστε η να είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο απαιτούμε η να είναι καταρχήν συνεχής στο μετά να υπάρχει το όριο του λόγου μεταβολής της στο να είναι πραγματικός αριθμός το οποίο D 4 Αν ζητείται να δείξουμε ότι μια συνάρτηση, για την οποία δεν γνωρίζουμε τον τύπο της αλλά μόνο κάποια ανισοτική σχέση που ικανοποιεί, είναι παραγωγίσιμη στο του πεδίου ορισμού της, τότε: βρίσκουμε την τιμή Σχηματίζουμε το λόγο από τη δοσμένη σχέση θέτοντας όπου το μέσα στη δοσμένη ανισότητα Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των ορίων (πχ το κριτήριο παρεμβολής) βρίσκουμε το lim 5 Αν ζητείται να δείξουμε ότι μια συνάρτηση, για την οποία δεν γνωρίζουμε τον τύπο της αλλά μόνο κάποιες ιδιότητές της (πχ συναρτησιακές σχέσεις) ότι είναι παραγωγίσιμη στο σημείο α του πεδίου ορισμού της, είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της (δηλ για κάθε ), τότε: Βρίσκουμε το Έχουμε πλέον γνωστό ότι Παίρνουμε το λόγο α από τις δοσμένες σχέσεις α lim α α α βρίσκουμε το όριό του όταν χρησιμοποιώντας το παραπάνω όριο Αυτό γίνεται συνήθως κάνοντας αλλαγή μεταβλητής ώστε από να παίρνουμε h α Ειδικά: αν η συναρτησιακή σχέση είναι της μορφής αβ τότε κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής h, ενώ αν η σχέση που δίνεται είναι της μορφής g αβ τότε κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής h, h 6 Αν ζητείται να υπολογισθεί όριο που κρύβει όριο λόγου μεταβολής, εξετάζω αν το όριο που δίνεται έχει τη μορφή lim, όπου κατάλληλη συνάρτηση οπότε κάνω χρήση του ορισμού της παραγώγου των κανόνων παραγώγισης Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3-86-

Ασκήσεις Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμες οι συναρτήσεις β) () στα σημεία g ( ) συν, π,π, στο σημείο [Όλες του σχολικού σελ9-] Αν 3 Αν α ημ, () β 4, () α β γ, > α α, 4 Έστω με g(),g () Να βρείτε τα α, β να είναι παραγωγίσιμη στο, να βρείτε τα α, β ώστε η να είναι παραγωγίσιμη στο, να βρείτε τα α, β, γ ώστε η να είναι παραγωγίσιμη στο 5 Θεωρούμε συνάρτηση συνεχή στο για κάθε 3 3 ώστε η συνάρτηση ισχύει η ισότητα: g (), () α β, Να βρείτε, αν υπάρχει, την παράγωγο της στο σημείο = 6 Αν η συνάρτηση είναι ορισμένη στο συνεχής στο αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 7 Αν παραγωγίσιμη συνάρτηση στο 8 Aν η συνάρτηση g είναι συνεχής στο είναι παραγωγίσιμη στο α 9 Αν, g παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο ( ) g() Αν για κάθε α α, να βρείτε το () ( lim α α () lim 3, να δείξετε ότι η συνάρτηση αν μόνον αν g( για κάθε, να δείξετε ότι () g () ισχύει είναι παραγωγίσιμη στο ( ) g() Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο ( ) g( ), με, να ( ) αg( ) για τις οποίες ισχύει () g() g( ), να δείξετε ότι: () g () Θεωρούμε συνάρτηση η οποία έχει την ιδιότητα: κάθε Να δείξετε ότι () 3 Aν για κάθε ισχύει 6 3 () g () οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο σημείο, να δείξετε ότι: β) ( ) g( ) ( ) g ( ) 9 g( ) ισχύει () g(), να δείξετε ότι η ημ () () ημ, για, Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 3-4 -87-

4 Έστω συνάρτηση : ( ), g() (3 5), με () Να δείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο είναι παραγωγίσιμη στο 5 Αν η είναι παραγωγίσιμη στο σημείο β) γ) δ) ε) ( h) ( ) lim = ( ) h h ( h) ( 3h) lim = 4 ( ) h h () ( ) lim ( ) ( ) e () e ( ) lim e ( ) ( ) ( h) ( ) ( ) lim, h h ο να δείξετε ότι: 6 Έστω συνάρτηση συνεχής στο, για την οποία ισχύει Nα δειχθεί ότι η είναι παραγωγίσιμη στο 7 Θεωρούμε συνάρτηση για την οποία ισχύει: αποδείξετε ότι: (i) ημ, για κάθε R (ii) Η είναι παραγωγίσιμη στο 8 Θεωρούμε δύο συναρτήσεις, g για τις οποίες ισχύει: Να αποδείξετε ότι: ημ g ημ, 3 () () ημ β) Οι συναρτήσεις g είναι παραγωγίσιμες στο 3 3 () (), για κάθε, για κάθε () g () ημ Να, για κάθε *********** 9 Αν : Nα δείξετε ότι για την οποία ισχύουν ( y) ( ) ( y) y για κάθε,y Αν η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η είναι παραγωγίσιμη στο () β) Αν η είναι παραγωγίσιμη στο α με (, τότε η είναι παραγωγίσιμη στο Αν :, παραγωγίσιμη στο (α β) (συνβ (β)συνα για κάθε α, β β) () () () συν, για κάθε Θεωρούμε συνάρτηση :,, για την οποία ισχύει, να αποδείξετε ότι: η οποία ικανοποιεί τη σχέση: ( y) () (y) () (y), για κάθε,y Αν η είναι παραγωγίσιμη στο σημείο, να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 3-4 -88-

Δίνεται η συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε,y () y ( y) () y να ισχύει: Δείξτε ότι η είναι παραγωγίσιμη σε κάθε 3 Έστω συνάρτηση ορισμένη στο, συνεχής στο () ημ στο 4 για κάθε, η οποία ικανοποιεί τη σχέση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη 4 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο με (), η οποία για κάθε,y * ικανοποιεί τη σχέση ( y) () (y) () Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε κάθε 5 Έστω συνάρτηση : *, με ( ) παραγωγίσιμη στο ( (β) lim (α β) (), όπου α, β με α β 6 Έστω μία συνάρτηση η οποία για κάθε,y () (y) y () () (y) y Να αποδείξετε ότι: για κάθε,y β) Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε κάθε 7 Έστω συνάρτηση :(, ) Να αποδείξετε ότι ικανοποιεί τη σχέση η οποία ικανοποιεί τη σχέση:, ( ) () (y) ( y) y, για κάθε,y Αν είναι (), να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη σε κάθε (, ) 8 Έστω συνάρτηση : R R τέτοια, ώστε Να αποδείξετε ότι β) Να αποδείξετε ότι y y y γ) Να αποδείξετε ότι y y y για κάθε *,y δ) Αν η είναι παραγωγίσιμη στο, να αποδείξετε ότι θα είναι παραγωγίσιμη στο κάθε α 9 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο με () =, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: () για κάθε () () (y) 6 ( y) (y) για κάθε,y () Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη σε κάθε R, με ( ) ( ) Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 3-4 -89-

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Φυλλάδιο Φυλλάδι555 6 ο ο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Σημαντικές παρατηρήσεις Τα σύμβολα () είναι ταυτόσημα Εκφράζουν τα δύο την παράγωγο συνάρτηση της () Όμως, δε συμβαίνει το ίδιο για τα σύμβολα ( ) ( ) Το ( ) εκφράζει την τιμή της παραγώγου της στο σημείο πρόκειται για παράγωγο σταθερού αριθμού ( ), ενώ το ( ) είναι, αφού Η παράγωγος μιας συνάρτησης δεν είναι κατ ανάγκη μια συνεχής συνάρτηση 3 Αν παραγωγίσιμη σε σύνολο Α, δεν συμπεραίνεται ότι η Πρώτα απαλλασσόμαστε από το απόλυτο είναι παραγωγίσιμη στο Α 4 Αν παραγωγίσιμη σε σύνολο Α, δεν συμπεραίνεται ότι η είναι παραγωγίσιμη στο Α 5 Η συνάρτηση () έχει πεδίο ορισμού το, αλλά παραγωγίζεται στο, 6 Αν υπάρχει η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης στο ), σημαίνει ότι η ή [,β) (ν ), με θ είναι συνεχής στο D (δηλαδή το (ν) ( ) ορίζεται σε σύνολο της μορφής ( θ, θ) ή (α, ] 7 Προσοχή! Είναι διαφορετικοί οι συμβολισμοί δύναμη), αφού: (ν) (ν) () () (ν) () ενώ (νιοστή παράγωγος) ν ν () () () ν () (νιοστή Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3-9-

Ασκήσεις [Α,,4,5 Β, σελ7-8] Να αποδείξετε ότι: e lim ln Να αποδείξετε ότι: lim 3 Έστω συνάρτηση : τέτοια, ώστε ( y) () (y) για κάθε, y Να αποδείξετε ότι () β) Να αποδείξετε ότι ( y) () (y) γ) Να αποδείξετε ότι η είναι περιττή δ) Αν η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η είναι παραγωγίσιμη 4 Αν για την συνάρτηση () :, ισχύει ( y) () (y),,y (, ), να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη 5 Έστω : () Να υπολογίσετε τα όρια: β) γ) () lim () lim () lim συνάρτηση παραγωγίσιμη στο με () 6 Για τις συναρτήσεις, g δίνονται συνεχής στο g παραγωγίσιμη στο Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( g)() ταν g( ) 7 Δίνεται η συνάρτηση : με τύπο όχι παραγωγίσιμη σ αυτό Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης είναι παραγωγίσιμη στο, όταν μόνο ό-, () συν, β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο γ) Να υπολογίσετε το όριο lim () Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3-9-

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Φυλλάδι555 Φυλλάδιο 7 ο ο 3 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Σημαντικές παρατηρήσεις Οι κανόνες παραγώγισης ισχύουν για τις τιμές του στις οποίες όλες οι συναρτήσεις που εμφανίζονται παραγωγίζονται Σχόλιο: Οι κανόνες παραγώγισης εφαρμόζονται μόνο σε ανοικτά διαστήματα Αν θέλουμε να βρούμε την παράγωγο του αθροίσματος δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων, g στο ( ) g( ), τότε γράφουμε ( g) ( ) ( ) g ( ) ως παράγωγος της σταθερής συνάρτησης ( ) g( ) όχι ( ) g( ) Αντίστοιχη προσοχή δίνουμε αν θέλουμε να βρούμε την παράγωγο του γινομένου ή του πηλίκου ή της σύνθεσης δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων 3 Αν μια συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο δεν σημαίνει ότι η g, η g ή η παραγωγισιμότητας στο την βοήθεια του ορισμού g δεν είναι παραγωγίσιμη στο γιατί του πεδίου ορισμού της, Η εξέταση της σε οποιαδήποτε από τις παραπάνω συναρτήσεις γίνεται με 4 Μπορεί δύο συναρτήσεις, g να μην είναι παραγωγίσιμες σε ένα σημείο ορισμού τους η συνάρτηση g Παράδειγμα: Οι συναρτήσεις σημείο, ενώ η συνάρτηση g, ή g g ή g να είναι παραγωγίσιμη στο του πεδίου δεν είναι παραγωγίσιμες στο έχει τύπο ( g)() είναι παραγωγίσιμη στο Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 3-4 -9-

5 Αν θέλουμε να υπολογίσουμε την παράγωγο συνάρτηση μιας συνάρτησης ορισμένης στο Α, θα δουλεύουμε ως εξής: i) Με κανόνες παραγώγισης θα υπολογίζουμε την, στα ανοικτά διαστήματα του πεδίου ορισμού της ii) Εκεί που κλείνει το πεδίο ορισμού Α της ή στα σημεία που αλλάζει ο τύπος της, θα δουλεύουμε πάντα με τον ορισμό της παράγωγου σε σημείο, για να βλέπουμε αν ορίζεται στη θέση αυτή παράγωγος, οπότε το σημείο αυτό του Α της, θα ανήκει στο πεδίο ορισμού της παραγώγου συνάρτησης, στην αντίθετη περίπτωση δεν θα ανήκει στο πεδίο ορισμού της παραγώγου συνάρτησης Σχόλιο: Δεν βρίσκουμε ποτέ το πεδίο ορισμού της παραγώγου συνάρτησης από τον τύπο 6 Αν για τις συναρτήσεις,g ισχύει ότι () g() δεν σημαίνει απαραίτητα ότι () g() τότε () g () Ενώ αν () g () 7 Αν μια συνάρτηση ορισμένη σε διάστημα Δ, αντιστρέφεται η στο (Δ) με (), (Δ), τότε: παραγωγίσιμη Απόδειξη: Για κάθε (Δ) ισχύει (), Δ επομένως: () ( ) (), (Δ) () Η σχέση () εξασφαλίζει ότι, αν ( ) y ( ), τότε ( ) (y ) Βασικές Προτάσεις (με απόδειξη) Αν μία συνάρτηση είναι άρτια παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, τότε η είναι περιττή Αν μία συνάρτηση είναι περιττή παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, τότε η είναι άρτια ****** Σχόλιο: Ακολουθούν πίνακες με παραγώγους συναρτήσεων κανόνες παραγώγισης, κατά παράβαση ης γενικής αρχής ότι συνήθως δεν εμφανίζεται στα φυλλάδια θεωρία που υπάρχει μέσα στο σχολικό βιβλίο Αυτό γίνεται, κυρίως, για να υπάρχουν συγκεντρωμένα σε ένα μέρος όλοι οι τύποι τα αντίστοιχα πεδία ορισμού για να διευκολύνεται το διάβασμα των μαθητών Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 3-4 -93-

( ΠΙΝΑΚΑΣ Ι ) Παράγωγοι στοιχειωδών συναρτήσεων Συνάρτηση A Παράγωγος Διάστημα που παραγωγίζεται η ) () c ) () 3) (c) () ν (), ν {,} ν ν ( ) ν 4) κ * (), κ * κ κ ( ) κ * 5) () α, α [, ), αν α,, αν α (, ) ( ) α α α [, ), αν α,, αν α (, ) 6) 7) 8) 9) () ln () log () ln () (, ) (, ) (ln ) * [, ) (, ) (log ) (, ) ln (ln ) * (, ) ) ) ) () e () α, α () ημ (e ) e (α ) α lnα (ημ) συν 3) 4) () συν () εφ A { / συν } π { / κπ,κ } (συν) ημ (εφ) συν ( εφ ) A A 5) () σφ A { / ημ } { / κπ,κ } (σφ) ημ ( σφ ) A A 6) () * * 7) (),, * Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 3-4 -94-

Ειδική περίπτωση: παραγώγιση της συνάρτησης (), ν,μ ν μ * Αν μ είναι περιττός αριθμός, τότε η συνάρτηση γράφεται: Αν μ είναι άρτιος αριθμός, τότε η συνάρτηση γράφεται: () μ () ν με A [, ) μ μ ν ν μ ν ( ), με, Στη συνέχεια, παραγωγίζουμε τον κάθε κλάδο στο αντίστοιχο ανοιχτό διάστημα ελέγχουμε αν είναι παραγωγίσιμη στο άκρο ή στο σημείο αλλαγής του τύπου Προσοχή! Η συνάρτηση A [, ) ενώ A g μ () ν με μ άρτιο, είναι διαφορετική από την g() ν μ, αφού A ) Παράγωγος αθροίσματος ) Παράγωγος γινομένου αριθμού επί συνάρτηση 3) Παράγωγος γραμμικού συνδυασμού συναρτήσεων 4) Παράγωγος γινομένου ( ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙ ) Κανόνες Παραγώγισης (αφορά συναρτήσεις παραγωγίσιμες σε ένα διάστημα Δ) ( g) () () g () (λ) () λ () (λ λ λ ) () λ () λ () λ () κ κ κ κ (g) () () g() () g () αλλά (g h) () () g() h() () g () h() () g() h () (για περισσότερες των 3 παραγόντων-συναρτήσεων ομαδοποιούμε ακολουθούμε τους προηγούμενους κανόνες) 5) Παράγωγος πηλίκου () g() () g () () g g () ( ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙΙ ) Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο Δ η είναι παραγωγίσιμη στο g(δ), τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο Δ ισχύει: ( g) () (g()) g () ή αλλιώς (g()) (g()) g () Αν u g(), τότε: (u) (u) u Αν y (u) u g(), τότε: dy dy du (κανόνας της αλυσίδας) γενικά d du d Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 3-4 -95-

Αν y (u (u (u (u ()))))) 3 κ, τότε: dy dy du du du d du du du d 3 κ ( ΠΙΝΑΚΑΣ ΙV ) Παράγωγοι βασικών συνθέτων συναντήσεων Αν η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη, τότε έχουμε: ) ) ν ν () ν () (), ν {,} () (), () () Αν u (),όπου είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση, τότε έχουμε: ) ) ν ν u ν u u, ν {,} u u, u u 3) ημ() συν() () 3) ημu συνu u 4) συν() ημ() () 4) συνu ημu u 5) 6) () εφ() () συν () συν () () σφ() () ημ () ημ () 5) 6) u συν u συν u εφu u u σφu u ημ u ημ u 7) () () e e () 7) u u e e u 8) () ln () () () () 9) log () α ) () () lnα () () α α lnα () 8) 9) ln u log α ) u α u u u u u u u lnα u α lnα u ) λ λ () λ () (), (), λ {,} ) λ λ u λ u u, u, λ {,} g() g() ln() Προσοχή! Αν φ() [()] με (), τότε γράφουμε φ() e παραγωγίζουμε g() g() ln() g() ln() g() φ () [()] e e g() ln() [()] g() ln() Σχόλιο: Το πεδίο ορισμού της παραγώγου των παραπάνω συναρτήσεων προκύπτει εύκολα παρατηρώντας τον αντίστοιχο τύπο Ωστόσο, ο έλεγχος της ύπαρξης παραγώγου σε άκρα διαστημάτων γίνεται απαραίτητα με τον ορισμό Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 3-4 -96-

Ασκήσεις Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων: β) e ln ημ συν, g ημ, h, εφ ημ ln ημ, g, h, φ συν ημ e [Α,,3,4,6,,3,4,5 Β 7,9 σελ38-4] γ) δ) ε) e () e π συν ημ (),, g() (ημ),,, h() ( ),, φ() 3 3, () ημ ημ,, g() log (ημ), (, ) (, π), h() ημ(συν )συν(ημ ) Βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων κάνοντας χρήση του συμβολισμού Leibniz (κανόνας της αλυσίδας): β) φ() ln(ημ), (, π) 4 k() συν (3 ) 3 Αφού πρώτα υπολογίσετε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων, να βρείτε τις παραγώγους αυτών: () (e )ln( ) β) g() ln( ) γ) e e h() ( )ln 4 Nα βρεθεί το πεδίο ορισμού των παραγώγων των συναρτήσεων: β) γ) () g() h() 3 5 5 3 5 Nα βρεθεί η παράγωγος της στο σημείο όταν: () ημ 6 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : κάθε Nα βρείτε την () για την οποία 3 () ημ(π) 7 Aν η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο περιττή, τότε να βρείτε: την () β) την g (), όταν () = g() ()ημ (ημ) για συν 8 Αν ()= +ημ, να βρείτε το π π 3 4 4 Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 3-4 -97-

9 Nα αποδείξετε ότι: Αν β) Αν y e ln, τότε, τότε γ) Αν y e ημ συν () () dy y d, τότε y y e συν Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε ( 3) () Δείξτε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο είναι παράλληλη στον άξονα να ισχύει: 3 Aν Aν 64 7 ( ) ημ συν () g(), Εξετάστε αν ισχύει η σχέση β) Εξετάστε αν ισχύει η σχέση, να δείξετε ότι υπάρχει σημείο (g ) () g () () (g ) () g () () ***** 3 Να βρεθεί πολυώνυμο P() τέτοιο ώστε για κάθε P() 4 4 Αν Ρ() είναι ένα πολυώνυμο βαθμού ν π, για το οποίο βρείτε την (g ) () Υπάρχει η (g ) () ; να ισχύει: P, να αποδείξετε ότι ο ρ ( ) 4P είναι παράγοντάς του αν μόνο αν ο ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου καθώς της παραγώγου του Δηλαδή, Ρ ρ π Ρ ρ Ρ ρ β) Να αποδείξετε ότι το είναι παράγοντας του πολυωνύμου ν ν ν ν ν ν, νν με ν γ) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β ώστε το πολυώνυμο 4 Ρ α 4 α β 3β 4 να διαιρείται από το 3 5 Έστω το πολυώνυμο α β γ με ρίζες τους Να αποδείξετε ότι : i) ii) iii) iv) ρ ρ ρ 3 ρ ρ ρ ρ ρ ρ 3 3 β ρ ρ ρ γ 3 για κάθε ρ,ρ,ρ 3 β αγ ρ ρ ρ γ 3 ***** ρ,ρ,ρ 3 διαφορετικές μεταξύ Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 3-4 -98-

6 Να βρείτε τα αθροίσματα: β) S e e e e 3 ν 3 ν S e e 3e νe, νν 7 Αν η συνάρτηση : (), για κάθε,y,α β) () () () ()e, είναι παραγωγίσιμη ισχύει, να δειχθεί:, για κάθε 8 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση,y R * () Δείξτε ότι: () y (y) β) () ( ) 9 Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση : () ( y) ( y) ()(y) Να αποδείξετε ότι: () () για κάθε Να δείξετε ότι: Αν () β) Αν () ημ γ) Αν () e τότε τότε, τότε (ν) () (ν) y ( y) e () e (y) α * : τέτοια ώστε (y) () (y) για κάθε για κάθε, y [Υπολογισμός της (ν) με επαγωγή] ν ( ) ν! ν, νπ ( ) ημ +, ν (ν) () e ( ν) Θεωρούμε την πολυωνυμική συνάρτηση α,α,,α,α ν ν Να αποδείξετε ότι α ν (ν) () ν! α ν ν ν, για την οποία ισχύει: α α α α (κ) () ν ν για κ ν [Υπολογισμός της - ] Α Έστω : (α,β) R συνάρτηση, γνησίως μονότονη συνεχής Αν η είναι παραγωγίσιμη στο η (α,β) με παραγωγίζεται στο Β Δίνεται η συνάρτηση 3 Δίνεται η (i) 3 () e ( ) η ( ) ισχύει ( ) ( ) () e, είναι συνεχής στο ( ), να βρείτε τον αριθμό ( ) (), με ( ) τότε: Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη να βρείτε το πεδίο ορισμού της (ii) Αν γνωρίζουμε ότι η ( ) () 4 Aν () ημ, - είναι παραγωγίσιμη στο D -, να αποδείξετε ότι π π, να αποδείξετε ότι ( ) (), (,) - Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 3-4 -99-

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Φυλλάδι555 Φυλλάδιο 8 ο ο - 3 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Σημαντικές παρατηρήσεις Η εφαπτομένης της γραφικής παράστασης είναι ευθεία που διέρχεται από το σημείο έχει συντελεστή διεύθυνσης την παράγωγο ( ) Επομένως, η εξίσωση της είναι: της στο C συνάρτησης σε σημείο επαφής Α(,y ) (,( )) y ( ) ( )( ) Α(,y ) Μεθοδολογία ΓΕΝΙΚΗ ΟΔΗΓΙΑ: Όταν ζητείται η εξίσωση εφαπτομένης μια συνάρτησης, τότε: Όταν γνωρίζουμε το σημείο επαφής A(,( )) η συνάρτηση είναι παραγω- γίσιμη στο Α: η εξίσωση της εφαπτομένης προκύπτει άμεσα από τον τύπο β) Όταν δεν γνωρίζουμε το σημείο επαφής: το ορίζουμε εμείς, έστω γράφουμε την εξίσωση της εφαπτομένης στο βρίσκουμε ικανοποιώντας τις συνθήκες του προβλήματος ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ M(,( )), Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 3-4 --, το οποίο ) Εφαπτομένη σε γνωστό σημείο Α(,()) της C [Α 5 σελ, Α 7,B, σελ39] Βρίσκουμε ( ) ( ) β) Γράφουμε την εξίσωση y ( ) ( )( ) ) Εφαπτομένη (που διέρχεται) από γνωστό σημείο Α, εκτός της C [Α σελ39] Ονομάζουμε έστω M(,( )) τo άγνωστο σημείο επαφής γράφουμε την εξίσωση της εφαπτομένης στο Μ (ε): y y ( )( ) (μοναδικός, επομένως, άγνωστος είναι το β) Μετά απαιτούμε η ευθεία ε να διέρχεται από το σημείο Α γ) Υπολογίζουμε το γράφουμε τέλος την εξίσωση της ε () = λ+β ) ε:y=λ+β 3) Εφαπτομένη με γνωστό συντελεστή διεύθυνσης λ [Α 3 σελ 8, Α 8,9,B,6 σελ39] Ονομάζουμε έστω M(,( )) τo άγνωστο σημείο επαφής β) Τότε λ ( ), οπότε το προσδιορίζεται γ) Γράφουμε, τέλος, την εξίσωση της ε M C () A M ( )=g() ε C Cg g() M

4) Ευθεία που εφάπτεται σε γραφική παράσταση [A, Β σελ39] Για να εφάπτεται η ευθεία ε : y λ β να υπάρχει σημείο για το οποίο ισχύουν συγχρόνως: M(,( )) της C με την Το σημείο Μ να επαληθεύει την (ε), δηλαδή ( ) λ β Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 3-4 -- C πρέπει β) Η κλίση της ευθείας (ε) να ισούται με την αντίστοιχη της C, δηλαδή ( ) λ 5) Κοινή εφαπτομένη γραφικών παραστάσεων σε κοινό τους σημείο [Β 3 σελ39] Θεωρούμε M(,( )) το κοινό σημείο επαφής Οι γραφικές παραστάσεις των g θα έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη β) ( ) g( ) των y C g(), αν ισχύουν συγχρόνως:, δηλαδή το σημείο Μ είναι κοινό σημείο C g ( ) g ( ), οπότε επαληθεύει τις y (), δηλαδή οι C C g εφαπτόμενες Από τις σχέσεις αυτές υπολογίζουμε το φαπτόμενης έχουν παράλληλες κατόπιν την εξίσωση της κοινής ε- 6) Κοινή εφαπτομένη γραφικών παραστάσεων σε διαφορετικά σημεία ( Ζητείται να βρούμε τις εξισώσεις των κοινών εφαπτομένων των γραφικών παραστάσεων των g Μια ευθεία (ε) θα είναι κοινή εφαπτομένη των αν υπάρχουν σημεία Α( α,() Β β,g ισχύουν: ( g (β) β) Η εφαπτομένη της Β( β,g(β)) C () στο Α α, C C g ( (β)) για τα οποία ( (), διέρχεται από το Από τις παραπάνω εξισώσεις βρίσκω τα α, β την εξίσωση της κοινής εφαπτομένης 7) Κοινή εφαπτομένη γραφικών παραστάσεων σε διαφορετικά σημεία (β) [Β 4, σελ39] Ζητείται να αποδείξουμε ότι η εφαπτόμενη (ε) της C, ()= λ+β σε συγκεκριμένο σημείο Α( α,() εφάπτεται στην C Αρκεί να υπάρχει σημείο Β β,g g ( (β)) της g C που να ικανοποιεί τα παρακάτω: ( g (β) βρίσκουμε τα β A στα οποία η C δέχεται εφαπτόμενη πα- g g ράλληλη στην (ε) β) Κατόπιν βρίσκουμε τις εφαπτόμενες της C στα σημεία β δείχνουμε ότι το g σημείο Α( α,() ανήκει σε μια από τις εφαπτόμενες που βρήκαμε M ε () C M ε C ( ) = g() ( )=g() A α ε :y=λ+β M Cg C β M B ε C C C ( )=g() ε Cg Cg M A

Ασκήσεις Δίνεται η συνάρτηση της Αν () 3 C που άγονται από το Κ () α ln β 3 φαπτόμενη της C το σημείο, να βρείτε τα α,β R στο σημείο της A,() 3 Για την παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση δίνεται ότι () 3 () 3 4 4 για κάθε Κ, Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της 4 Έστω συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι: Να βρείτε τις εφαπτόμενες ώστε η ευθεία ε : y 4 να είναι ε- C ln () στο σημείο A,() για κάθε Δ Να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο M,() 5 Έστω η συνάρτηση Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του διαγράμματος C () που διέρχεται: από το σημείο (,) β) από το σημείο (,) 6 Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων () 4 33, g() 7 Δίνεται η συνάρτηση με 3 () α 5 η ευθεία (ε) : y Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η ευθεία (ε) να είναι εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της να βρείτε το σημείο επαφής β) Να βρείτε τα υπόλοιπα κοινά σημεία της (ε) με την 8 Δίνονται οι συναρτήσεις 3 g() 3 5 Να αποδείξετε ότι η εφαπτόμενη της C στο σημείο () e A,() C, εφάπτεται της 9 Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων () g() 4 Θεωρούμε συνάρτηση την ευθεία με εξίσωση y η οποία εφάπτεται της στο σημείο με τετμημένη Δίνεται η συνάρτηση Να υπολογίσετε το όριο () κ 6κ 7, με κ C g () lim Να δείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του κ, η γραφική παράσταση της διέρχεται από σταθερό σημείο β) Να βρείτε τις τιμές του κ, για τις οποίες η C εφάπτεται στον άξονα C Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 3-4 --

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 9 ο ο 4 Ρυθμός Μεταβολής Έστω συνάρτηση y () παραγωγίσιμη στο Ρυθμός μεταβολής του y ως προς στο σημείο Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 3-4 -3- λέγεται η παράγωγος Ρυθμός μεταβολής του y ως προς λέγεται η παράγωγος () Αν δύο μεγέθη,y συνδέονται με την σχέση y () προς, τότε: Αν το y αυξάνεται ως προς με ρυθμό α, εννοούμε () α ( ) παραγωγίσιμη συνάρτηση ως β) Αν το y μειώνεται ως προς με ρυθμό α, εννοούμε () α [Κίνηση υλικού σημείου] 3 Έστω σώμα που κινείται κατά μήκος ενός άξονα ας είναι S S(t) η τετμημένη του σώματος αυτού τη χρονική στιγμή t H συνάρτηση S καθορίζει τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t ονομάζεται συνάρτηση θέσης του κινητού 4 Ο ρυθμός μεταβολής της S ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή, της S ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή τη χρονική στιγμή t συμβολίζεται με t υ(t ) t είναι η παράγωγος S (t ), λέγεται (στιγμιαί ταχύτητα του κινητού Είναι δηλαδή S (t ) = υ(t ) Απλούστερα, ταχύτητα είναι η παράγωγος του διαστήματος ως προς το χρόνο, δηλαδή υ(t) S (t) 5 Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή είναι η παράγωγος υ (t ), της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή Είναι, δηλαδή, α( t )=υ ( t ) = S(t ) t t συμβολίζεται με α(t ) t, λέγεται (στιγμιαί Απλούστερα, επιτάχυνση είναι η παράγωγος της ταχύτητας ως προς το χρόνο, ή η δεύτερη παράγωγος του διαστήματος ως προς το χρόνο Δηλαδή α(t) υ (t) S (t) 6 Επί πλέον, ισχύουν τα εξής: Αν S(t), τότε το κινητό βρίσκεται στην αρχή των αξόνων β) Αν S(t), τότε το κινητό βρίσκεται επί του θετικού άξονα γ) Αν S(t), τότε το κινητό βρίσκεται επί του αρνητικού άξονα δ) Αν S(t), τότε το κινητό κινείται προς τα δεξιά (θετική φορά) ε) Αν S(t), τότε το κινητό κινείται προς τα αριστερά (αρνητική φορά) στ) Αν υ(t) S (t), τότε έχουμε κίνηση προς τα δεξιά

ζ) Αν υ(t) S (t), τότε έχουμε κίνηση προς τα αριστερά η) Αν υ(t) S (t), τότε έχουμε μηδενισμό της ταχύτητας θ) Αν υ(t) S (t) ι) Αν υ(t) S (t), τότε έχουμε κίνηση επιταχυνόμενη, τότε έχουμε κίνηση επιβραδυνόμενη ι Αν α(t) S (t), τότε έχουμε κίνηση επιταχυνόμενη ιβ) Αν α(t) S (t), τότε έχουμε κίνηση επιβραδυνόμενη ιγ) Αν α(t) S (t), τότε έχουμε μηδενισμό της επιτάχυνσης ιδ) Αν α(t) S (t) ιε) Αν α(t) S (t) [Οικονομικά μεγέθη], τότε έχουμε αύξηση της επιτάχυνσης, τότε έχουμε μείωση της επιτάχυνσης 7 Στην οικονομία, το κόστος παραγωγής Κ, η είσπραξη (έσοδ Ε το κέρδος Ρ εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας του παραγόμενου προϊόντος 8 Η σχέση που συνδέει τις παραπάνω συναρτήσεις είναι: τα παρακάτω: Η παράγωγος παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους Κ ως προς την ποσότητα, όταν Η παράγωγος παριστάνει το ρυθμό μεταβολής της είσπραξης Ε ως προς την ποσότητα, όταν Η παράγωγος, όταν Κ ( ) Pt ( ) Ε( t) K( t) (), ενώ ισχύουν λέγεται οριακό κόστος στο E ( ) P ( ) λέγεται οριακή είσπραξη στο παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κέρδους P ως προς την ποσότητα λέγεται οριακό κέρδος στο 9 Από την () προκύπτει ότι: P( t) Ε( t) K( t) Ακόμη, υπάρχουν οι ακόλουθες έννοιες: K() Μέσο κόστος παραγωγής της ποσότητας ενός προϊόντος, είναι K () μ E() Μέση είσπραξη (μέσο έσοδο) της ποσότητας ενός προϊόντος, είναι E () μ P() Μέσο κέρδος της ποσότητας ενός προϊόντος, είναι P () μ [Σύνθετες συναρτήσεις] Αν το y είναι συνάρτηση του [ y y() ] το είναι συνάρτηση του t ( (t) ), τότε το y είναι τελικά συνάρτηση του t [ y(t) y((t)) ] Γενικά στα προβλήματα ρυθμού μεταβολής κάνουμε χρήση του τύπου Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 3-4 -4- (g ) () g () () αν ο κανόνας της αλυσίδας dy dy du, με y g(u) u (), έχει ευρύτερη εφαρμογή d du d 3 Στο dy, το δηλώνει ανεξάρτητη μεταβλητή στη γενική περίπτωση δηλώνει συνάρτηση d 4 Συνάρτηση είναι το dy όπου, y είναι οι μεταβλητές της συνάρτησης από την οποία d προήλθε

Μέθοδοι Πως λύνουμε προβλήματα ρυθμού μεταβολής Αναγνωρίζουμε τις μεταβλητές του προβλήματος Επισημαίνουμε τους ρυθμούς μεταβολής που δίνονται αυτούς που ζητούνται Βρίσκουμε τύπους που συνδέουν τις μεταβλητές του προβλήματος Εφαρμόζουμε τον κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης ( ή τον κανόνα της αλυσίδας) Κίνηση σημείου σε καμπύλη Οι συντεταγμένες του σημείου Μ(,y) της καμπύλης φ(,y) είναι συναρτήσεις του χρόνου t Έτσι: Η εξίσωση της καμπύλης γράφεται φ (t),y Παραγωγίζουμε την σχέση ως προς t ( (t)) 3 Προβλήματα που οι συναρτήσεις,y συνδέονται με κάποια σχέση Είναι δυνατόν η σχέση αυτή να λύνεται ως προς y ή να μη λύνεται ως προς y ή να λύνεται με περισσότερους από έναν τύπους ως προς y, όπως για παράδειγμα είναι οι y Τότε, συνήθως, y p, Εκφράζουμε τις συναρτήσεις με μια κοινή μεταβλητή t: β) Παραγωγίζουμε την σχέση ως προς t (t), y y(t) Λυμένα παραδείγματα [Το «κλασικό» πρόβλημα της σκάλας] Μία σκάλα μήκους 3 m είναι τοποθετημένη σ' έναν τοίχο Το κάτω μέρος Β γλιστράει στο δάπεδο με ρυθμό, m/sec Την στιγμή που η κορυφή της σκάλας απέχει από το δάπεδο,5 m να βρείτε: Τον ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ β) Την ταχύτητα πτώσης του Α Λύση: Αρχικά, σημειώνουμε πως τα μεγέθη, y, θ μεταβάλλονται όλα συναρτήσει του χρόνου t Συνεπώς είναι: (t),y(t) θ(t), επιπλέον (t), m / sec Ζητούμενο είναι το θ (t) Ψάχνω μια σχέση που να συνδέει τη γωνία θ με όσο το δυνατόν μόνο γνωστά μεγέθη Ισχύει συνθ συνθ(t) (t) συνθ(t) (t) ημθ(t) θ (t) (t) (t) θ (t) 3 3 3 3 β) Ζητούμενο είναι το y (t) Μια σχέση που συνδέει τις μεταβλητές μου είναι y 9 [Π Θεώρημα στοοαβ] Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 3-4 -5-

Άρα, έχουμε: η χρονική στιγμή όπου (t ) (t ) (t) y (t) 9 (t) (t) y (t) y(t) y (t ) y(t ) y(t ),5m άρα (t ) 9 y (t ),75, όπου t Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 3-4 -6-

Ασκήσεις [Όλες του σχολικού σελ43-45] Η θέση ενός κινητού πάνω σε άξονα κατά την χρονική στιγμή t δίνεται από την συνάρτηση θέσης S με 3 S(t) t t 6t 3 Την αρχική ταχύτητα του κινητού β) Σε ποιες χρονικές στιγμές μηδενίζεται η ταχύτητα γ) Πότε η ταχύτητα του κινητού είναι ίση με 4 m/sec δ) Ποια χρονική στιγμή η επιτάχυνση του είναι 8 m/sec όπου S σε μέτρα t σε sec Να βρείτε: ε) Ποιες χρονικές στιγμές το κινητό αλλάζει κατεύθυνση κίνησης στ) Να βρεθούν τα χρονικά διαστήματα στα οποία μειώνεται το μέτρο της ταχύτητας του κινητού Το κόστος παραγωγής Κ() η τιμή πώλησης Π(), μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος δίνονται από τις συναρτήσεις αντιστοίχως ( ) 3 3 Κ 6 Π() 4 Nα αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους μηδενίζεται όταν ο ρυθμός μεταβολής του κόστους ο ρυθμός μεταβολής της πώλησης είναι ίσοι β) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους μηδενίζεται όταν το μέσο κόστος είναι ίσο με το οριακό κόστος γ) Να βρείτε πότε ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους 3 Η ολική επιφάνεια ενός κύβου αυξάνεται με ρυθμό P() Π () K() cm / sec είναι θετικός Τη στιγμή κατά την ο- ποία η ακμή του κύβου είναι,8 m, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του όγκου του κύβου 4 Να δειχθεί ότι η απόλυτη τιμή ενός μεγέθους p(t) p(t) p (t) αυξάνει αν μόνον αν 5 Ένα κινητό κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση σημείο Α 3, y Καθώς περνάει από το, η τεταγμένη y ελαττώνεται με ρυθμό 3 μονάδες ανά sec Nα βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τετμημένης κατά την χρονική στιγμή που το κινητό διέρχεται από το σημείο Α 6 Κατά μήκος των πλευρών Ο Οy μιας ορθής γωνίας κινούνται τα σημεία Α Β αντίστοιχα έτσι ώστε (ΟΑ) (ΟΒ) cm Την χρονική στιγμή t κατά την οποία το κι- νητό Α κινείται με ταχύτητα 8cm/sec απέχει από το Ο απόσταση (ΟΑ) 3cm να βρείτε: Tην ταχύτητα με την οποία κινείται το Β β) Tον ρυθμό μεταβολής της απόστασης (ΑΒ) Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3-7-

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Φυλλάδιο Φυλλάδι555 9 ο ο - 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως αληθείς (Α) ή ψευδείς (Ψ) Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, όταν υπάρχει το όριο () () lim Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα εσωτερικό σημείο της, τότε () lim () () 3 Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα εσωτερικό σημείο όταν υπάρχουν τα όρια () () lim, () () lim 4 Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο συνεχής στο σημείο αυτό 5 Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό 6 Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο ( h) () lim h () h 7 Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο είναι συνεχής στο σημείο αυτό του πεδίου ορισμού του πεδίου ορισμού της, είναι πραγματικοί αριθμοί του πεδίου ορισμού της, τότε είναι του πεδίου ορισμού της, τότε του πεδίου ορισμού της, τότε η 8 Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο, τότε ορίζεται πάντα η εφαπτομένη της C στο σημείο της,() 9 Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο ισχύει (), τότε η εξίσωση της οριζόντιας εφαπτομένης της C στο,() είναι η y H εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο της A,(), δεν έχει άλλο κοινό σημείο με την C Για μια συνάρτηση ισχύει δέχεται οριζόντια εφαπτομένη 3 ) e Τότε η ()( C στο σημείο A,() Για να εφάπτεται η C στον άξονα, θα πρέπει: () () 3 Αν μια ευθεία (ε) έχει μόνο ένα σημείο τομής με τη γραφική παράσταση της, τότε είναι οπωσδήποτε εφαπτόμενη αυτής Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3 --

4 Αν η παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ, Δ είναι μια λύση της εξίσωσης () τότε στο η εφαπτόμενη της C είναι παράλληλη προς την διχοτόμο y της ης 3 ης γωνίας των αξόνων 5 Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιας σταθερής συνάρτησης σε οποιοδήποτε σημείο της, συμπίπτει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 6 Αν οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων τέμνονται, τότε στο κοινό τους σημείο δέχονται κοινή εφαπτομένη 7 Η συνάρτηση () έχει διαφορετική κλίση σε κάθε σημείο της 8 Υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στα οποία η C έχει τον ίδιο ρυθμό μεταβολής () 3 9 Αν () g() για κάθε ( α,β) (α,β) () g() για κάθε ( α,β) παραγωγίσιμη στο (α,β), τότε η g παραγωγίσιμη στο Αν η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη για κάθε, τότε η () συνάρτηση για κάθε Αν η : είναι άρτια παραγωγίσιμη, τότε η είναι περιττή Αν ο αριθμός είναι διπλή ρίζα της πολυωνυμικής συνάρτησης (), τότε το της () 3 Αν,g : Δ, Δ διάστημα το, τότε η η g είναι παραγωγίσιμες στο 4 Αν,g : Δ, Δ διάστημα το Δ ώστε η συνάρτηση g είναι συνεχής είναι ρίζα να είναι παραγωγίσιμη στο Δ ώστε η συνάρτηση να είναι παραγωγίσιμη στο η g να μην είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η g δεν είναι παραγωγίσιμη στο 5 Η ρητή συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη 6 Αν 7 Αν (),, τότε η είναι παραγωγίσιμη με 3, τότε () 4 4 () 5, () ( ln ), 8 Αν παραγωγίσιμη στο η g δεν παραγωγίζεται στο g(), τότε η g δεν παραγωγίζεται στο 9 Αν,g : Δ, Δ διάστημα Δ, τότε η g είναι παραγωγίσιμη στο 3 Αν,g : Δ, Δ διάστημα Δ στο, τότε η g δεν είναι παραγωγίσιμη στο 3 Αν,g : Δ, Δ διάστημα g παραγωγίσιμη στο, τότε η g παραγωγίσιμη στο 3 Αν,g : Δ, Δ διάστημα g() τότε, η g παραγωγίσιμη στο ώστε οι συναρτήσεις, g να είναι παραγωγίσιμες στο ώστε οι συναρτήσεις, g να μην είναι παραγωγίσιμες Δ ώστε η να είναι παραγωγίσιμη στο, () Δ ώστε οι συναρτήσεις g παραγωγίσιμες στο με, Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3 --

33 Αν μια συνάρτηση g δεν είναι παραγωγίσιμη στο g(), τότε η g δεν είναι παραγωγίσιμη στο η δεν είναι παραγωγίσιμη στο 34 Η συνάρτηση με () είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της 35 Η συνάρτηση με () 36 Αν : παραγωγίσιμη, τότε η συνάρτηση h με είναι παραγωγίσιμη στο ισχύει () ln h() () ημ() είναι παραγωγίσιμη 37 Αν μια συνάρτηση είναι πολυωνυμική ν βαθμού, τότε η είναι επίσης πολυωνυμική ν- οστού βαθμού 38 Αν () ημ, τότε ισχύει πάντα () συν 39 Η συνάρτηση με 4 Αν,g : 4 Αν : (), είναι παραγωγίσιμη στο με () παραγωγίσιμες με () g(),, τότε ()( g)() παραγωγίσιμη με ημ συν,, τότε (ημ) 4 Αν () ημ, τότε () (), 43 Αν () ln( ), τότε () συν, 44 Αν η πολυωνυμική συνάρτηση έχει το ρ διπλή ρίζα, τότε η έχει το ρ απλή ρίζα () () 45 Αν (), τότε (3 h) (3) 46 Αν lim, τότε (3) h h 47 Είναι π () συν Άρα 3 π () ημ 3 για κάθε κοντά στο 48 Για την ισχύει ότι (3) 5, τότε θα είναι (3)(5) 49 Είναι d( 5) d 5 5 5 Αν μια συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ, τότε η είναι συνεχής στο Δ 5 Η συνάρτηση, 3 3, 3 είναι παραγωγίσιμη στο, με () 5 Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο, τότε ( g)() () g() 53 Ο ρυθμός μεταβολής μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης στο του πεδίου ορισμού της, ισούται με την παράγωγό της στο 54 Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης, της γραφικής παράστασης μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης στο του πεδίου ορισμού της, ισούται με το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης στο 55 Ο ρυθμός μεταβολής του διαστήματος που διανύει ένα κινητό, ως προς το χρόνο, εκφράζει την επιτάχυνση του κινητού Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3-3-

56 Ο ρυθμός μεταβολής του διαστήματος που διανύει ένα κινητό, ως προς το χρόνο, εκφράζει τη ταχύτητα του κινητού 57 Αν Κ είναι η συνάρτηση που εκφράζει το κόστος της παραγωγής μονάδων ενός προϊόντος τότε, το όριο lim K() εκφράζει το οριακό κόστος στο 58 Ο ρυθμός μεταβολής της επιφάνειας ενός κύκλου ως προς την ακτίνα του ισούται με την περίμετρο του κύκλου 59 Ένα κινητό κινείται κατά μήκος του ενός άξονα υ(t) είναι η ταχύτητα του κινητού την χρονική στιγμή t Παρακάτω είναι η γραφική παράσταση της υ(t) Τότε Όταν t,4 το κινητό κινείται προς τα δεξιά β) Όταν t γ) Όταν t 4 δ) Όταν t 6 ε) Όταν t 8 στ) Όταν t,6 το κινητό είναι ακίνητο το κινητό αλλάζει φορά κίνησης το κινητό έχει επιτάχυνση μηδέν το κινητό αλλάζει φορά κίνησης δεξιά προς αριστερά το κινητό επιβραδύνει Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών Σε ποιο από τα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν, Ξ είναι η y παράγωγος της συνάρτησης ίση με Α: στο Κ Β: στο Λ Γ: στο Μ Δ: στο Ν K Λ O Ν Ξ Ε: στο Ξ Μ Η ευθεία (ε) είναι εφαπτομένη της καμπύλης y () στο σημείο Σ(,) Τότε ( ) y=() y ε Α: Β: Σ Γ: Δ: Ε: κανένα από τα προηγούμενα - - O Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3-4-