Uiverzitet u Sarajevu Građeviski fakultet Katedra za matematiku, programiraje, acrtu geometriju i fiziku Ispita pitaja za drugi parc. ispit iz teor. osova predmeta «VJEROVATNOĆA I STATISTIKA» Akademska godia 008/009. Predmeti astavik/ositelj: Va. Prof. Dr. sci. Huse Fatkić E mail: hfatkic@etf.usa.ba. Šta je statistika? Šta je matematička statistika? Šta je predmet, a šta su zadaci izučavaja statistike?. Opišite početak, razvoj i začaj statistike.. Šta je obilježje, a šta statistički podatak? Šta je populacija (osovi skup), a šta statistička masa (ili statistički skup)?. Objasite pojam statističkog istraživaja. 5. Objasite sljedeće pojmove: statističko posmatraje/promatraje (prikupljaje statističkih iformacija i jihova prva obrada), sređivaje i grupisaje statističkih materijala, obrada i aaliza podataka (prikazivaje statističkih podataka). 6. Za koje se obilježje kaže da je umeričko? Navedite primjere umeričkih obilježja i primjere obilježja koja isu umerička (Kako azivamo ta obilježja?). 7. Defiirajte pojam slučajog uzorka i opišite metod(u) slučajog uzorka. 8. Defiirajte pojam empirijske fukcije distribucije i formulišite fudametali teorem statistike. 9. Na kokretom primjeru slučajog uzorka objasiti kako se određuje aalitički oblik i kostruiše grafik empirijske fukcije distribucije. 0. Defiirajte pojam karakterističe fukcije distribucije i avedite jea osova svojstva.. Defiirajte pojmove slabog i jakog zakoa velikih brojeva, a zatim formulišite Beroullijev zako velikih brojeva i Borelov (ili Kolmogorovljev) zako velikih brojeva.. Formulišite jedu od graičih torema i teorema cetralog limesa u teoriji vjerovatoće.. Defiirajte pojam statistike u užem smislu i pojam dopustive familije distribucija, a zatim avedite ekoliko važih primjera statistika.. Objasite kako se vrši ocjea parametara po uzorku, te defiirajte pojam cetriraa (epomjerljiva, epristrasa) ocjea epozatog parametra. 5. Defiirajte pojmove stabila (postojaa, kozisteta, moća) ocjea parametra, ajefektivija (ajefikasija) ocjea parametra. 6. Defiirajte pojmove: veličia klase / razreda, sredia klase (razreda sredia). Šta je sredja vrijedost (prosjek, sredia obilježja)? Nabrojte vrste sredjih vrijedosti. 7. Defiirajte pojmove: osova sredia, sredia uzorka, osova disperzija / varijasa, disperzija uzorka i empirijska disperzija. 8. Dokažite da je disperzijaa D uzorka pomjerljiva ocjea osove disperzije D o. 9. Dokažite da je empirijska disperzija S epomjerljiva (epristrasa) ocjea osove disperzije D o, tj. da je E (S ) = D o.
0. Kojom vrstom grafika prikazujemo distribuciju frekvecija ili umerički iz (umeričku seriju)? Objasite kako se crta poligo frekvecija, a kako histogram.. Empirijske distribucije i jihove karakteristike (relativa frekvecija g i, fukcija relativih frekvecija f*, kumulativa fukcija F*, sredie, varijas(c)a, stadarda devijacija, cetrali r - ti momet μ r /za diskreti slučaj i općeito u vjerovatoći /, koeficijet asimetrije γ i koeficijet spljošteosti γ, mod M i medija m).. Statističke procjee (Metode statističkih procjea. Najosovije formule. Metod Maximum- Likelihood (tačkasta procjea). Itervala procjea).. Čemu služe tablice površia ispod ormale krive (grafičkog prikaza stadardizirae ormale/gaussove distribucije)? Šta se alazi u predkoloi, a šta u zaglavlju te tablice? Šta predstavljaju brojevi u brojčaom dijelu te tablice?. Šta je to Studetova ili t-distribucija? Kakva je oa u usporedbi s ormalom distribucijom? Kako se određuje broj stepei/stupjeva slobode? Kada se koristimo Studetovom distribucijom? 5. Statističko testiraje (Pojam statističkog testiraja.šta se ustaovljava statističkim testirajem? Formule o testiraju ekih parametara distribucija osovog skupa: ) testiraje sredie E () za slučaj Gaussove distribucije; ) testiraje jedodimezioalih distribucija / χ - test / i dr.). 6. Defiirajte/objasite sljedeće pojmove: Nauča/zastvea hipoteza, statistička hipoteza, ulta hipoteza i alterativa hipoteza. Koja je razlika između ulte i alterative hipoteze? Kako se iterpretiraju rezultati statističkih testova (da li se pomoću jih hipoteza dokazuje ili oi ukazuju a ešto drugo kometirajte to)? Da li statistička hipoteza predstavlja pretpostavku vezau za vrijedost : pozatog parametra zadae distribucije, epozatog parametra zadae distribucije ili ivoa sigifikatosti? 7. Navedite osove parametarske i eparametarske statističke testove, a zatim opišite Studetov test (T - test) / ili Fisherov test (F test, Egzakti test) ili Medijaa test / ili objasite postupak testiraja hipoteze o aritmetičkoj sredii osovog skupa a bazi velikog slučajog uzorka ( Z - test). (Napomea. Naziv "egzakti" za Fisherov test potječe od samog R.A. Fishera da se aglasi suprotost s približim hi-kvadrat testom. Međutim premda bolji, jer se temelji a permutacijama i kombiacijama, Fisherov test je vrlo zahtjeva za račuaje (i za račuar!), pa ga valja koristiti samo za maje uzorke (<00). Za velike uzorke koristite se hi-kvadrat testom, koji daje potpuo jedake rezultate.) 8. Hi kvadrat test : vrste i karakteristike. Kako se određuje teorijska hi kvadrat vrijedost? Koje hipoteze je moguće testirati tim testom? Kada se e smije primjejivati hi kvadrat test? 9. Metoda ajmajih kvadrata (Načelo a kojemu se zasiva metoda ajmajih kvadrata i matematički razlozi za prihvataje ovog ačela. Postupak određivaja parametara metodom ajmajih kvadrata. Određivaje parametara a, b za liearu vezu f(a, b): = a x + b /određivaje regresijskog pravca/. Određivaje primjeree krive. Veze koje se svode a lieare). 0. Korelacija i regresija (Pojmovi korelacije, /fukcije/ regresije, koeficijeta korelacije. koeficijeta determiiraosti, jedostruke i višestruke/multiple korelacije. Formule za izračuavaje: ) koeficijeta /jedostruke/ korelacije; ) koeficijeta višestruke korelacije. Osova svojstva ovih koeficijeata).
D o d a t a k: Neki primjeri ispitih zadataka Zadatak. Dato je kuglica u kutiji koje čie jedu populaciju. Neka kuglica može biti bijele ili crvee boje. Obilježje eka je boja kuglice: ( ω ) =, ako je kuglica ω bijela, a ( ω ) = 0 ako ( ) je kuglica ω crvea. Iverza slika ([ ab, )) je { } ( ) kuglica, odoso ( 0) = - podskup skupa bijelih - podskup skupa crveih kuglica. Normalizovaa mjera (vjerovatoća) P može se defiirati, pr., formulama broj bijelih kuglica broj crveih kuglica P( { x= } ) =, P( { x= 0 }) =. Neka je P( { x= } ) = p. Oda je P( { x= 0} ) = p= q. U ovom slučaju obilježje je slučaja veličia diskretog tipa. Odredite aalitički oblik fukcije distribucije F tog obilježja. Zadatak. Zadaa je raspodjela frekvecija uzorka obima = 60: x i 0 6 0 0 i 5 8 6 5 Odredite raspodjelu relativih frekvecija, empirijdku fukciju raspodjele, matematičko očekivaje, disperziju i stadardu devijaciju zadaog uzorka. Zadatak. Nađite empirijsku fukciju raspodjele i empirijsku disperziju prema zadaoj statističkoj raspodjeli: x i 6 8 5 (f i =) i 0 5 Zadatak. Na jedoj stočoj farmi je statistički posmatraa mliječost stotiu krava, tj. broj hl mlijeka koje svaka krava daje godišje. Podaci su prvo sređei, pa su oda apisai u sljedećoj tabeli. Nacrtati odgovarajući dijagram frekvecija i histogram frekvecija, te izvesti odgovarajuće prirode zaključke. Klase obilježja x Sredia Klase Broj krava f Relativa frekvecija f / 00 9-0 0,0-0 0, - 5 8 0,8 5-7 6 0 0, 7-9 8 0, 9-0 0, - 0, Ukupo 00
Zadatak 5. Nađite koeficijete asimetrije ( α ) i zaobljeosti (spljošteosti, α ) distribucije prema zadaoj statističkoj raspodjeli: x i 6 8 5 (f i =) i 0 5 Zadatak 6. a) Za proizvolja uzorak obilježja, zada tabelom (statističkom raspodjelom) p i x i x x... k i = p p... k x k p k x +... x p +... p izračuajte medijau. b) Na osovu a) izračuajte medijau i (aritmetičku) srediu uzorka zadaog sljedećom tabelom: x i 0 i 6 8 8 6 Koliki su koeficijeti asimetrije ( α ) i zaobljeosti (spljošteosti, α ) posmatrae distribucije? Zadatak 7. Ocijeite parametar p u biomoj distribuciji za = tako da je vrijedost obilježja x =, po maximum likelihood metodi. (Rezultat. p max = 0,67. ) Zadatak 8. Izvuče je uzorak iz populacije i posmatrao je obilježje. Dobivei rezultati su zadai u tablici: x i 0 8 6 0 8 i 5 6 5 0 7 Izračuajte karakteristike položaja, asimetrije, ekscesa i druge važe uzoračke karakteristike, pa dajte ocjee za odgovarajuće karakteristike čitave populacije (statističke mase). Zadatak 9. Fukcija distribucije obilježja eke populacije zadaa je formulom a) 0, x < 0, F ( ): x x =, 0 x <,, x ; 0, x, F ( ): x = arc si, < x 5, π a, x > 5. b) ( x ) Odredite vrijedost kostate a, mod(us), medija(u), (aritmetičku) sredju vrijedost, varijasu i aalitički oblik fukcije gustoće f vjerovatoće za zadau slučaju varijablu /obilježje, a zatim skicirajte grafike fukcija F i f. Zadatak 0. Stadardi propisuju da obilježje za određeu populaciju treba da ima ormalu distribuciju N (75, 0). Pri tom uzorak iz te populacije obima = 90 ima 0 vrijedosti majih
od 60, 5 u polusegmetu [60, 70), 75 u polusegmetu [70, 80), 60 u segmetu [80, 90] i 0 većih od 90. Treba provjeriti hipotezu da obilježje ima ormalu distribuciju N (75, 0), tj. da je fukcija distribucije za zadaa formulom sa ivom začajosti α = 0,05. t 75 0 x F( x) = e d t, 0 π Zadatak. Neka je obilježje broj automobila koji u jediici vremea prođu kroz jeda presjek puta. Pretpostavimo da je u ( = ) 00 mjereja kostatovao sljedeće: Broj automobila 0 Broj pokusa 09 65 Treba sa pragom začajosti α = 0,0 testirati hipotezu da obilježje ima Poissoovu distribuciju P( λ ). Zadatak. Zadae su realizacije dva ezavisa uzorka sljedećom tabelom: Testirajte hipotezu da su zadai uzorci izvučei iz osovih skupova sa idetičom eprekidom distribucijom (raspodjelom, rasporedom, razdiobom). (Uputa i rezultat. Primijeite test Kolmogorova i Smirova. Za vrijedosti x = 0, 0, 5, 50, 55, 60 obilježja zadaih uzoraka, izračuati vrijedosti F ( x ) i G ( ) x odgovarajućih empirijskih fukcija distribucije zadaih uzoraka, a zatim izračuati apsolute vrijedosti jihovih razlika F ( x ) G ( x ) (pogodo je sve to i tabelaro predstaviti ), te uvidjeti da je 6 max D6,6 = F ( ) ( ) x G x = i (iz statističkih tablica) d 6,6; 0,5 =. Kako je D6,6 < d6,6;0,5, to 6 usvajamo hipotezu H 0.) Zadatak. Izračuajte koeficijet korelacije ako su i dva saobraćaja obilježja čije su vrijedosti avedee u sljedećoj tabeli: (Rezultat. r, = 0,977. ) Zadatak. Za uzorak zada tabelom 0 0 0 5 55 0 50 50 5 55 60 0 6 8 9 5 7 8 9 7 0 8 0 0,8,9.0,,,,,, izračuajte koeficijete regresioog pravca oblika * = a + b. 5
(Rezultat. * = - 7,99 +,07. ) Napomee:. Osim ovdje avedeih, kao pripreme zadatke za drugi parcijali ispit koristite sliče i druge zadatke/primjere u pribilješkama i štampaim materijalima sa predavaja i dodate astave (za uvježbavaje rješavaja zadataka) te odgovarajuće zadatke u preporučeoj literaturi za predmet «VJEROVATNOĆA I STATISTIKA»!»! Pri tome se posebo preporučuje da se prerade zadaci : 8, 9, 5, 55, 59, 6, 7; 76, 79, 80, 8-90; 9, 9; 09,, ;,. i 7. iz Zbirke zadataka iz Matematike III autora Stjepaa Skoka. (Ovo e podrazumijeva da će eki od avedeih zadataka obavezo biti zadatak a prvom parcijalom (redovom ili popravom) ispitu ili a itegralom pismeom ispitu ili a završom ispitu iz ovog predmeta!). Ovaj materijal zajedo sa odgovarajućim materijalom pod aslovom «Pitaja za prvi parcijali ispit iz teorijskih osova predmeta «VjEROVATNOĆA I STATISTIKA» Akademska godia 008/009. «predstavlja cjeliu materijala o teoretskim i umeričkim pitajima i zadacima za završi ispit iz predmeta «VJEROVATNOĆA I STATISTIKA»!. Sarajevo, 0. 0. 009.... @ 6