Z A D A C I - Grupe A i B Z A P R O D U Ž E N I

Transcript

1 Elektrotehički fakultet Uiverziteta u Sarajevu Z A D A C I - Grupe A i B Z A P O D U Ž E N I POPAVNI (PAC I INTEGALNI) ISPIT IZ PEDMETA INŽENJESKA MATEMATIKA Akademska godia Sarajevo, IME I PEZIME STUDENTA : BOJ INDEKSA : JEDINSTVENI MATIČNI BOJ : NASTAVNA GUPA (BOJ) : UPUTSTVO: 1 Za svaki od prva četiri zadatka pouđea su četiri odgovora od kojih je samo jeda tača iješite ove zadatke, a zatim za svaki od zadataka koji ste riješili zaokružite redi broj pod kojim je avede tača odgovor za taj zadatak, pa taj broj upišite a odgovarajuće mjesto u dole avedeoj tabeli Zaokruživaje više od jedog odgovora vreduje se kao i etača odgovor Svaki tača odgovor za koji je dato odgovarajuće obrazložeje se boduje sa po,5 boda, a svaki etača odgovor se vreduje sa po 0 bodova Ukoliko se e zaokruži iti jeda od pouđea četiri odgovora, kao i u slučaju kada za zaokružei tača odgovor ije dato zadovoljavajuće obrazložeje, za taj zadatak studet ostvaruje 0 bodova iješite detaljo peti zadatak, koji je s otvoreim odgovorom Tačo urađe taj zadatak doosi 10 bodova Boduju se i tačo urađei dijelovi tog zadatka (pri tom bodovaju ajmaja jediica mjere je 0,5 bodova) Nije dozvoljeo korišteje bilježaka, kjiga, kalkulatora, mobilih telefoa i bilo kakvih elektroskih uređaja, iti drugih pomagala, kao i drugih papira osim uvezaih papira dobijeih za ovaj ispit Takođe ije dozvolje ikakav razgovor sa kolegama/studetima i dežurim a ovom ispitu, tj svaku izradu bilo kojeg od zadataka a ovom parcijalom ispitu mora svaki kadidat samostalo uraditi Svaki od kadidata koji prekrši bilo šta od ovdje avedeog, bit će isključe sa ovog ispita i ovaj jegov parcijali ispit vredova sa 0 bodova ezultati popravog ( I / II parc ili itegralog) ispita iz IM1: Zad 1 Zad Zad Zad 7 Zad Zad 8 Zad 4 Zad 9 Zad 5 Zad 10 Ukupa broj ostvareih bodova: Vlastoruči potpis studeta: Predmeti astavik: Var Prof Dr Sci Huse Fatkić

2 Z A D A C I - Grupa A za prvi parcijali ispit (ili prvi dio itegr ispita) iz IM a produžeom roku za poprave ispite, Sarajevo, Zad 1 Ispitati da li fukcije + y + y +, y y + y y f ( x, y) : = x x y g( x, y) : = x + 5x x x x y imaju lokale ekstreme u tački (0, 0) [I Fukcije f i g imaju miimum II Fukcija f ima miimum, a fukcija g maksimum III Fukcija f ima miimum, a fukcija g ema ekstrema IV Fukcije f i g emaju ekstrema ] Zad Primjeom Eulerove teoreme za homogee fukcije odrediti parametre a, b tako da jedačia x a x + b = 0 ( =,, 4,) ima dvostruk korije 1 = 0 a b a+ b = 0 II = 0 a b III + 1 IV a + b = 0 ] Zad Naći opšte rješeje diferecijale jedačie ( y x ) d y (xy+ 1) dx = 0, a zatim odrediti ou itegralu krivu koja siječe pravu zadau jedačiom y = pod uglom od 45 y y x y + x = C; ( C1=, C = 7) II x y + x = C;( C1=, C= 1 7) III y x y + x = C;( C1=, C = ) IV y x y + x = C; ( C1=, C = ) ] Zad 4 Elektromotora sila E u strujom krugu struje i, otpora i iduktiviteta L sastavljea je d i od pada apoa i i elektromotore sile samoidukcije L Postaviti diferecijalu jedačiu d t matematskog modela zadaog fizikalog problema, a zatim (pomoću te jedačie) odrediti struju i u treutku t, ako je E = E0 ( E 0 je kostata) a i = 0 za t = 0 E t 0 L E i = ( t e ) II 0 t L i ( t e E t = ) III 0 L i (1 L e E t = ) IV 0 L i = (1 e ) ] L Zad 5 Neka je zadaa reala fukcija f od dvije reale promjeljive formulom 10 f (x, y) : = si x si y a) Odrediti i geometrijski pretaviti prirodi dome Dom ( f ) b) Ustaoviti osova svojstva skupa Dom( f ) (ograičeost, povezaost, koveksost, otvoreost /zatvoreost) c) Ispitati parost (eparost), simetričost (atisimetričost) i homogeost zadae fukcije f d) Skicirati grafik zadae fukcije f ispitujući presjeke jeog grafika sa ravima koje su paralele koordiatim ravima e) Ispitati diferecijabilost zadae fukcije f f) Ispitati postojaje ekstremih vrijedosti (lokalih i globalih/apsolutih) zadae fukcije f i, u slučaju da postoje, ispitati jihovu prirodu i odrediti ih g) Odrediti doju među (if) i gorju među (sup) zadae fukcije f IME I PEZIME STUDENTA :

3 Z A D A C I - Grupa B za prvi parcijali ispit (ili prvi dio itegr ispita) iz IM a produžeom roku za poprave ispite, Sarajevo, Zad 1 Primjeom ekstrema reale fukcije više realih promjeljivih riješiti sljedeći zadatak : Ako električim strujim krugom otpora teče struja I, oda će količia toplie proizvedee u jediici vremea biti proporcioala sa I Odrediti kako treba razgraati struju I a struje I1, I, I pomoću tri provodika s pojediačim otporima 1,, da oslobođea toplia bude ajmaja I1= I= I II I1: I: I= 1: : III I1: I: I= : : IV 1= = ] Zad Naći skup svih tačaka diferecijabila ( xy, ) u kojima je fukcija 1 xy xy si, ( xy, ) (0,0), f( x, y): = x + y x + y 0, ( xy, ) = (0,0) II \ { (0,0) } III [0, 1] IV Zad iješiti diferecijalu jedačiu C C p y xy y = \ 0,1 ] C 5 C p x= + p, y= + II x= + p, y= + p p p p C C p p p C C p p p III x= + p, y= + IV x= + p, y= + ] Zad 4 iješiti diferecijalu jedačiu ( x+ y) y 1 = 0, a zatim odrediti ou itegralu krivu koja prolazi tačkom (0, - 1) x + y + = 0 II x + y + 1 = 0 III x + y + = 0 IV x + y + 1 = 0] Zad 5 Neka je zadaa reala fukcija f triju realih promjeljivih formulom f (x, y, z) = si x si y si z a) Odrediti prirodi dome Dom( f ) i ispitati parost (eparost), simetričost (atisimetričost) i homogeost zadae fukcije f b) Izračuati parcijale izvode prvog i drugog reda zadae fukcije f i ispitati diferecijabilost zadae fukcije f c) Ispitati postojaje lokalih ekstremih vrijedosti zadae fukcije f i, u slučaju da postoje, ispitati jihovu prirodu i odrediti ih d) Odrediti ajmaju i ajveću vrijedost zadae fukcije f a (zatvoreoj i ograičeoj) oblasti D za koju je: x 0, y 0, z 0, x + y + z e) Odrediti doju među (if) i gorju među (sup) zadae fukcije f IME I PEZIME STUDENTA :

4 4 Z A D A C I - Grupa A za dugi parcijali ispit (ili drugi dio itegr ispita) iz IM a produžeom roku za poprave ispite, Sarajevo, Zad 1 Primjeom Laplaceove trasformacije riješiti Cauchyjev zadatak: IV y ( t) + y''( t) + y( t) = t, y(0) = y'(0) = y''(0) = 0, y''' (0) = 1 t ( t ( y () t = e t cos t + si t ) II y () t = e t + cos t si t ) III y() t = ( t 1)sit IV y() t = t sit] Zad Izračuati zapremiu v tijela V omeđeog s površi: x + y + z =, z= x + y ( z x + y ) v = (7 ) II v = ( 1) III v = (8 7) IV v = (7 5) ] Zad Pokazati da je vektorsko polje F: = (x + xy) i + ( x + y + z) j + ( y+ z ) k potecijalo i aći jegov potecijal u(x, y, z) [I u (x, y, z) = III u (x, y, z) = x + x y + y + yz + z + C II u (x, y, z) = x + x y + y + yz + z + C IV u (x, y, z) = x + x y + y + yz + z + C x + x y + y + y + z + C] Zad 4 Primjeom Eulerove metode aći opšte rješeje sistema diferecijalih jedačia y ( x) = y( x) z( x) + x, z ( x) = 4 y( x) z( x) + 4x + 1 x 1 x 1 1 x x 5 y = C1e + Ce + x +, z= C1e + Ce + x x x 1 1 x x 5 II y = C1e + Ce + x +, z= C1e + Ce + x x 1 x 1 1 x x 4 5 III y = C1e + Ce + x +, z= C1e + Ce + x x 1 x 1 1 x x 1 5 IV y = C1e + Ce + x +, z= C1e + Ce + x ] Zad 5 Zadae su reale fukcije f, g jede reale promjeljive formulama: si x f( x) = arcsi(cos x); g( x) =, ( x k ), g( k ) = lim g( x),( k Z) 10 si x x k = 1 a) Ispitati eprekidost zadaih fukcija f, g i jihovih izvoda f, g i pokazati da su f, g periodiče fukcije, te skicirati grafik zadae fukcije f b) azviti u Fourierov red zadae fukcije f, g i ispitati apsolutu, uiformu i kovergeciju u sredjem dobijeog reda fukcije f c) Ispitati da li postoji Laplaceova trasformacija zadae fukcije f d) Odrediti (ili ustaovitida da e postoji) Fourierovu trasformaciju i Fourierov itegral zadae fukcije f i fukcije f defiirae sa f ( x) = f( x) za svaki x (0, x \ 0, i f (x) = 0 za svaki ( ] IME I PEZIME STUDENTA :

5 5 Z A D A C I - Grupa B za drugi parcijali ispit (ili drugi dio itegr ispita) iz IM a produžeom roku za poprave ispite, Sarajevo, Zad 1 Kriva C zadaa je jedačiama y = x + z, y = z Napisati Freet - Serretove formule za tu krivu i jee ortove t,, b prirodog trijedra u tački (0, 0, 0) dt d db dt j k d db ( j + k ) =, = i, = 0 II = III dt = ( j + k ), d, db i 0 = = IV = Zad Izračuajte zapremiu tijela V omeđeog s površi: [I II III dt j k y z IV ] ( x + ( ) ) + ( ) = 1, = i, = 0, d db = i, = 0 ] Zad Pomoću Stocesove formule izračuati cirkulaciju vektorskog polja A= y i x j + z k duž koture c koja se dobije presjekom paraboloida x + z = 1 y sa koordiatim ravima II III IV ] Zad 4 Izračuajte sljedeći površiski itegral: ( y + z+ 1 x )ds, S ako je S dio cilidra x + y = 1, između ravi z = 0, z = 1 [I 1 + II + III + IV 4 + ] Zad 5 Zadae su reale fukcije f, g jede reale promjeljive formulama: si x f( x) = arccos(si x); g( x) =, ( x k ), g( k ) = lim g( x),( k Z) si x x k = 1 b) Ispitati eprekidost zadaih fukcija f, g i jihovih izvoda f, g i pokazati da su f, g periodiče fukcije, te skicirati grafik zadae fukcije f b) azviti u Fourierov red zadae fukcije f, g i ispitati apsolutu, uiformu i kovergeciju u sredjem dobijeog reda fukcije f c) Ispitati da li postoji Laplaceova trasformacija zadae fukcije f d) Odrediti (ili ustaovitida da e postoji) Fourierovu trasformaciju i Fourierov itegral zadae fukcije f i fukcije f defiirae sa f ( x) = f( x) za svaki x (0, x \ 0, i f (x) = 0 za svaki ( ] IME I PEZIME STUDENTA :