Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme začiatok súradnicovej sústavy 0 2. začiatkom 0 vedieme priamky x, y, z, ktoré nazývame súradnicové osi 3. osi orientujeme, určíme si kladný a záporný smer od začiatku 0. Osi sa tak rozdelia na kladnú a zápornú časť(poloos). Kladnú poloos označujeme obvykle šípkou. 4. zvolíme jednotky na osiach K takto zvolenej súradnicovej sústave je ku každému bodu priradená usporiadaná n-tica reálnych čísel, ktoré nazývame súradnicami bodu a naopak, každá usporiadaná n-tica reálnych čísel udáva polohu práve jedného bodu v zvolenej súradnicovej sústave. 1. na priamke (číselná os) Číslo x nazývame súradnicou bodu A. Zápis A[ x] čítame: bod A má súradnicu x. začiatok A[x] -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 záporná polos kladná polos 2. v rovine Čislo x nazývame prvou súradnicou bodu A (súradnica x), číslo y druhou súradnicou bodu A (súradnica y). Sústava rozdelí rovinu na štyri časti (kvadranty). Sústavu používame aj pri výpočtoch s komplexnými číslami, v goniometrii. y II. kvadrant 4 I. kvadrant 3 A[x,y] 2 1-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4-1 -2-3 x III. kvadrant -4 IV. kvadrant
vzdialenosť dvoch bodov podľa ich súradníc A[x a ;y a ] B[x b ;y b ] AB B A x x y y 2 b 2 a b a je to vlastne veľkosť vektora B-A Všeobecná rovnica priamky rovnica v tvare Koeficienty a, b sú súradnicami normálového vektora priamky p. Normálový vektor je kolmý na smerový vektor priamky p. c je rovné skalárnemu súčinu polohového vektora ľubovoľného bodu priamky s normálovým vektorom [a;b], t.j., ak X je ľubovoľný bod priamky, tak (X - O).n = -c. Číslo je priamo úmerné vzdialenosti priamky od začiatku súradnicovej sústavy. ľubovoľný nenulový násobok tejto rovnice je rovnicou tej istej priamky. Polroviny určené touto priamkou majú nerovnice vzájomná poloha 2 priamok o priamky sú rovnobežné, ak je normálový vektor jednej k-násobkom normálového vektora druhej priamky p: x-2y+6 = 0 ; n[1;-2] m = k*n => p je rovnobežná s q q: 2x-4y-10= 0 ; m[2;-4] o priamky sú na seba kolmé, ak sa súčin ich normálových vektorov rovná 0 m. n = 0 Smernicová rovnica priamky rovnica v tvare Číslo k sa volá smernica priamky, je to tangens uhla priamky s kladným smerom osi x. Smernica priamky vyjadruje relatívnu zmenu závislej premennej pri zmene nezávislej premennej x.
Číslo q je y-ová súradnica priesečníka priamky s osou y. Rovnica priamky so smernicou k prechádzajúcej bodom [x 0 ;y 0 ]je k=0 => priamka p je rovnobežná s osou x p y => priamka p nemá smernicu, ani smernicový tvar vzájomná poloha 2 priamok o priamky sú rovnobežné, ak sa ich smernice rovnajú p: y=2x+1 ; k 1 = 2 k 1 = k 2 => p je rovnobežné s q q: y=2x-10 ; k 2 = 2 o priamky sú na seba kolmé, ak sa súčin ich smerníc rovná -1 k 1 * k 2 = -1 odvodenie: smernicový tvar rovnice všeobecný tvar normálový vektor y = k 1 x + q 1 k 1 x y + q 1 = 0 m = [k 1 ;-1] y = k 2 x + q 2 k 2 x y + q 2 = 0 n = [k 2 ;-1] priamky sú kolmé ak m. n = 0 m. n = k 1 k 2 + 1 = 0 k 1 k 2 = -1 Parametrické vyjadrenie priamky x = A 1 + u 1 *t y = A 2 + u 2 *t A[A 1 ;A 2 ]; A patrí p u[u 1 ;u 2 ] = smerový vektor priamky p t = parameter
Uhol 2 priamok u v u α v = smerový vektor priamky p = smerový vektor priamky q p q cos u. v u. v Vzorec je v absolútnej hodnote, aby bola dodržaná podmienka 0 α 90 O Vzdialenosť bodu od priamky ĽUBOVOĽNÉHO BODU KRUŽNICE OD STREDU p M, p am bm 1 a 2 2 b c 2 M[m1;m2] P: ax + by + c = 0 M Rovnica kružnice Kružnica je množina bodov, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od daného bodu S S = stred kružnice r = polomer kružnice; vzdialenosť ľubovoľného bodu kružnice od stredu STREDOVÝ TVAR ROVNICE KRUŽNICE a) S[0;0], => k: x 2 + y 2 = r 2 b) S[m;n] => k: (x-m) 2 +(y-n) 2 = r 2
VŠEOBECNÝ TVAR ROVNICE KRUŽNICE x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 Ako prevedieme stredovú rovnicu na všeobecnú: Roznásobíme zátvorky a upravíme na tvar všeobecnej rovnice napr: (x-1) 2 + (y-6) 2 = 5 x 2-2x + 1 + y 2-12y + 36 = 5 x 2 + y 2-2x - 12y + 32 = 0 Ako prevedieme všeobecnú rovnicu na stredový tvar: x 2 + y 2-2x - 12y + 32 = 0 (x 2-2x) + (y 2-12y) + 32 = 0 združíme si do zátvoriek výrazy s rovnakou premenou (x 2-2x + 1) + ( y 2-12y + 36) + 32 1 36 = 0 upravíme na kvadratické trojčleny nesmieme zabudnúť potom odčítať, čo sme pričítali (x - 1) 2 + (y - 6) 2 = 5 Dotyčnica ku kružnici (x-m)(x 0 -m) +(y-n)(y 0 -m) = r 2 ; T[x 0 ;y 0 ]-bod dotyku Príklad: Dokážte, že rovnica x 2 + y 2 + 6x 8y + 21 = 0 je rovnicou kružnice, určte jej polomer a stred: Riešenie: Ak existuje kružnica k (S,r), ktorú máme udanú, tak má rovnicu: (x m) 2 + (y m) 2 = r 2 k tejto rovnici prídeme tak, že zadanú rovnicu si upravíme do všeobecného tvaru a to nasledovne: x 2 + 6x + y 2 8y = 21 členy s neznámou x aj y dorátame do štvorca, pričom tie isté hodnoty dorátame aj na druhú stranu rovnice: x 2 + 6x + 9 + y 2 8y + 16 = 21+ 9 +16 upravíme do vzorca:
(x + 3) 2 + (y 4) 2 = 4 Zo získanej stredovej rovnice kružnice teraz určíme stred kružnice a jej polomer: m = 3; n = 4; S ( 3,4); r = = 2 Príklad: Napíšte rovnicu kružnice, ktorá prechádza bodmi: A(7,3); B( 2,6); C(5, 1) Riešenie: Ak existuje hľadaná kružnica, potom má rovnicu: x 2 + y 2 + Mx + Ny + L = 0 Predpokladáme, že bod A leží na kružnici, takže dosadíme do rovnice súradnice x,y. Obdobne to isté platí pre bod B a C. Dostaneme nasedovné rovnice: Dosadzujeme súradnice bodu A: 7 2 + 3 2 + M.7 + N.3 + L = 0 58 + 7M + 3N + L = 0 Dosadzujeme súradnice bodu B: ( 2) 2 + 6 2 2M + 6N + L = 0 40 2M + 6N + L = 0 Dosadzujeme súradnice bodu C: 5 2 + ( 1) 2 + 5.M 1.N + L = 0 26 + 5M N + L = 0 Vzniknuté rovnice si napíšeme pod seba a dostaneme sústavu troch rovníc s tromi neznámimi: 58 + 7M + 3N + L = 0 40 2M + 6N + L = 0 26 + 5M N + L = 0 Riešením tejto sústavy rovníc nám vychádza: M = 4; N = 6; L = 12
Dané tri body určujú kružnicu o tejto rovnici: x 2 + y 2 4x 6y 12 = 0 po úprave na stredový tvar: (x 2) 2 + (y 3) 2 = 25 Príklady 1. Nájdite rovnicu priamky p, ktorá prechádza bodom M=[3,1] a je: a) rovnobežná s osou x b) rovnobežná s osou y c) rovnobežná s priamkou q určenou rovnicou x+3y 1=0 d) kolmá na priamku r určenú rovnicou 2x+3y 12=0 2. Priamka p je určená parametrickými rovnicami x = 3 t, y = 2 + 2 t, t R Nájdite priesečníky priamky p s: a) osou x b) osou y c) priamkou q určenou rovnicou 4x 2y=0. 3. Určte vzájomnú polohu priamok p a q daných rovnicami p : x = 7 + 3 t, y = 2 t, t R q : 2 x 3 y + 1 = 0. 4. Zistite vzdialenosť bodu A=[4,3] od priamky p určenej rovnicou 4x 3y+18=0. 5. Dané sú súradnice troch bodov A=[2,2],B=[0, 4],C=[6,0].Vypočítajte súradnice ťažiska T trojuholníka ABC a dĺžky jeho ťažníc. 6. Nájdite súradnice stredu S a polomer r kružnice k určenej rovnicou x 2 2 x + 4 y + y 2 + 1 = 0 a určte jej priesečníky s a) osou x
b) osou y. 7. Vypočítajte uhol priamok p a q, ak je dané: p: 5x+3y-7=0 q: 4x-y+5=0 8. Zistite všeobecnú rovnicu priamky p, ak poznáte bod A[4;1], ktorý leží na p a priamku q: y=3x+2, ktorá je kolmá na p. 9. Určte vzájomnú polohu priamok p, q: p: 2x-y+1=0 q: x+2y-7=0 10. Napíšte rovnicu kružnice, ktorá má stred v bode S( 2,4) a prechádza bodom A ( 1,5) 11. Určte stred a polomer kružnice, ktorá je daná rovnicou: x 2 + y 2 10x + 10y 20 = 0 12. Napíšte rovnicu kružnice, ktorá prechádza bodmi: A[-3;2] B[-1;4] C[3;0] 13. Napíšte rovnicu kružnice so stredom S[-5;4], ktorej sa dotýka priamka p: 3x-4y+6=0. 14. Rozhodnite, či je možné zostrojiť dotyčnicu ku kružnici x 2 +y 2 +4x-2y+4=0 z bodu M[3;4] 15. Nájdite rovnicu dotyčnice kružnice so stredom v bode S=(4,2 ) a polomerom r=2 cm, ktorá je rovnobežná s priamkou x-y+3 =0. 16. Je daná kružnica so stredom [1;2] a polomerom r=5. Ďalej sú dané body A[5;9] B[2;0] Aká je vzájomná poloha kružnice a a) priamky ab b)úsečky AB c) polpriamky AB d)polpriamky SA 17. Vypočítajte uhol, ktorý zvierajú priamky p a q, ak a) p: x-y+16=0 q: 2y-5=0 b) p: x=2t, y=4-t q: 2x-y+3=0 18. Vypočítajte vzdialenosť bodu A od priamky p, ak a) A[1;-3] p: 2x-y-5=0 b) A[1;-3] p: y=x 19. Zostrojte dotyčnicu ku kružnici (x-3) 2 + (y+12) 2 = 100 a) z bodu L[9;-4] b) z bodu M[5;2] 20. Vypočítajte vzájomnú polohu kružníc k 1 : S 1 [2;9] r 1 = 10 k 2 : S 2 [0;10] r 2 = 5