DN#3 (januar 2018) 3A Teme, ki jih preverja domača naloga: Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek. Ploščine trikotnika, paralelograma, romba, trapeza, deltoida, pravilnih večkotnikov. Ploščina in obseg kroga in njegovih delov. Naloge 1. Izračunaj na minuto in na stotinko stopinje točno neznani topi kot β, če je: (a) sin β = 0, 73 (b) cos β = 1 2+1 (c) tan β = 1 2 [133, 11 ; 114 28 ; 112 30 ] 2. Iz dane vrednosti ene kotne funkcije topega kota izračunaj točne vrednosti ostalih kotnih funkcij tega kota: (a) sin ϕ = 3/5 (b) cos ε = 12/13 (c) tan ψ = 8/15 [ 4/5, 3/4 4/3; 5/13, 5/12 12/5; 8/17, 15/17, 8/15] 3. Nariši v kotomerni kroˇznici (izberi primerno enoto) kote ϕ, ε, ψ ( π 2, π), za katere velja: (a) sin ϕ = 3/5 (b) cos ε = 12/13 (c) tan ψ = 15/8 4. Izračunaj točno vrednost izraza cos 150 sin 90 tan 120 cot 135 cos 180 [= 3 2 ] 5. Izračunaj neznane stranice trikotnikov, ki so na slikah 1-6 označene z *. Velikost nekaterih kotov je zapisana v decimalni obliki z decimalno piko. 1
6. Izračunaj neznane kote trikotnikov, ki so na slikah 11-16 označeni z *. Velikost nekaterih stranic je zapisana v decimalni obliki z decimalno piko. 2
7. Izračunaj dolˇzine daljic AB, DE in AE na desni sliki. Rezultate zaokroˇzi na dm natančno. 8. Izračunaj neznane stranice b in c trikotnikov na slikah 1-3. Rezultate zaokroi na dm natančno. 9. Izračunaj neznane kote trikotnikov, ki so na slikah 11-18 označeni z *. Velikosti nekaterih stranic in kotov so zapisane v decimalni obliki z decimalno piko. 3
10. Štirje nogometaši X, Y, Z in W so postavljeni na igrišču tako, kot prikazuje desna slika. Izračunaj: (a) razdaljo med igralcema X in Z, (b) kote ZWX, WZX in YZX, (c) razdaljo med igralcema W in Y. Rezultate zaokroˇzi na dm in desetinko stopinje natančno. 11. Pretvori: (a) 23 mm 2 v cm 2 (c) 726 cm 2 v m 2 (e) 0.05 m 2 v cm 2 (b) 3.6 ha v m 2 (d) 13.54 cm 2 v mm 2 (f) 0.07 km 2 v ha 12. Zemljišče s ploščino 2 ha na 32 enakih delov. Koliko m 2 meri en del? [625 m 2 ] 13. Izračunaj ploščine trikotnikov v nalogah 8. in 9. 14. Izračunaj ploščino štirikotnika iz naloge 10. 15. Izračunaj na cm natančno vrednost obsega enakokrakega trikotnika, če njegova ploščina meri 15.9 dm 2, kot ob vrhu pa 80. [18.7 dm] 16. Dan je trikotnik ABC s podatki α = 30, β = 50 in a = 7 cm. Na milimeter natančno izračunaj dolˇzino stranice b. Nato izračunaj še ploščino trikotnika na cm 2 natančno. [10, 7 cm; 36, 97 cm 2 ] 17. V paralelogramu ABCD s stranico AB = a = 18 cm in diagonalo BD = f = 11 cm meri kot DBA = ϕ = 77 46. Izračunaj dolˇzini stranice BC = b in diagonalo AC = e ter ploščino paralelograma. [19 cm, e =. 35, 3 cm, p =. 193, 50 cm 2 ] 18. V deltoidu ABCD je premica (B,D) njegova simetrala. Izračunaj na štiri mesta natančno njegov obseg, če je AC = e = 6 m, kot v oglišču B meri 62, v oglišču D pa 80. [20.98 m] 4
19. Od pravokotnika ABCD s stranicama AB = a = 10.5 cm in BC = b = 6 cm odreˇzemo trikotnik tako, kot kaˇze desna slika. Izračunaj dolˇzino daljice CE, če je ploščina trapeza ABED enaka 54 cm 2. [3 cm] D E C A B 20. Izračunaj ploščino osenčenega lika na spodnji sliki. Lok BA je polkrog. [65 = 25.73] 25π 2. D C E 8 A 10 B D C 21. Na sliki kvadratu ABCD s stranico dolˇzine 4 narišemo kroˇzni lok s središčem v oglišču B. Natančno izračunaj obseg in ploščino osenčenega lika, označenega na sliki. 22. V paralelogramu ABCD merita stranici 6 cm in 4 cm, eden od notranjih kotov pa 60. Nariši skico. Izračunaj ploščino in dolˇzino daljše od obeh diagonal. [12 3 cm 2 ; 2 15+6 3 cm =. 10, 08 cm] 23. * V krogu s središčem S in polmerom 2 cm je tetiva MN dolga 2 3 cm. (a) Izračunaj središčni kot MSN = ϕ. (b) Izračunaj ploščino trapeza, ki ima za osnovnici tetivo MN in premer kroga. Zapiši točen rezultat. (c) Koliko odstotkov ploščine kroga predstavlja ploščina manjšega od kroˇznih odsekov, ki ju določa tetiva MN? (d) Točka P naj bo tretje oglišče trikotnika MNP, včrtanega danemu krogu, pri čemer je kot MPN ostri kot, dolˇzini stranic MP in NP pa sta v razmerju 2 : 1. Izračunaj velikost kota MPN in dolˇzini stranic MP in NP. 5 A B
24. * Imamo štiri trapeze ABCD. V vsakem izmed njih merita osnovnici AB = a = 16 cm in CD = c = 2 cm. (a) V prvem trapezu tvorijo dolˇzine stranic c, d, b, a aritmetično zaporedje, kar pomeni, da so razlike med zaporedno zapisanimi stranicami enake. Izračunaj dolˇzini krakov b = BC in d = AD. (b) V drugem trapezu se nosilki krakov sekata v točki E. Izračunajte dolˇzino kraka b, če merita daljici CE = 2 cm in DE = 1 cm. (c) V tretjem trapezu je DAB = α = 70 in ABC = β = 60. Izračunaj dolˇzino kraka d. (d) V četrtem trapezu je krak b za 2 cm daljši od kraka d, ploščina trapeza pa meri 108 cm 2. Izračunajte dolˇzini krakov b in d. 25. * Pri reševanju spodnjih nalog lahko uporabiš natančno vrednost sin 15 = 6 2. 4 (a) Izračunaj natančno ploščino trikotnika ABC s stranicama a = BC = 6 in b = AC = 3 2 6 ter kotom α = BAC = 120. (b) Izračunaj natančno dolˇzino stranice in ploščino pravilnega dvanajstkotnika, včrtanega krogu s polmerom 2. (c) Daljica PR naj bo premer kroga, točka T pa naj leˇzi na kroˇznici, ki omejuje ta krog. Kot RPT meri 15, dolˇzina daljice RT pa je 2 6 2 2. Izračunaj polmer in ploščino tega kroga. 6