Individuálny študijný plán M A T E M A T I K A - KVARTA 2012/2013 ( Číslovanie kapitol je kvôli lepšej prehľadnosti podľa učebníc. ) Odporúčam: www.oskole.sk cez učivá, predmety a ročník navštíviť príslušné tematické celky I. POLROK 3 Podobnosť (M-9.roč./1.časť, str.55) 3.1 Podobnosť geometrických útvarov, pomer podobnosti 3.1.1 Je daná úsečka dlhá 7,5 cm. Zmeňte ju v pomere a) 3:5; b) 3:2. 3.1.2 Ktorý z uvedených pomerov v úlohe 3.1.1 znamená zväčšenie a ktorý zmenšenie? 3.2 Podobnosť trojuholníkov 3.2.1 Prečo sú každé dva rovnostranné trojuholníky podobné? 3.2.2..Je trojuholník ABC so stranami AB=15,BC=9, CA=12 podobný s trojuholníkom DEF so stranami DE=5, EF=3, FD=4? 3.2.3 V trojuholníku ABC strany AB=4 cm, AC=3 cm zvierajú uhol 80.V trojuholníku A B C strany A B =6 cm, A C = 4,5 cm zvierajú uhol 70. Sú tieto trojuholníky podobné? 3.3 Použitie podobnosti pri riešení geometrických úloh 3.3.1 Daná je úsečka AB dĺžky 8 cm. Rozdeľte ju na 7 zhodných častí! 3.3.2 Narysuj ľubovoľnú úsečku MN a rozdeľ ju na 2 úsečky v pomere 2:5! 3.3.3. K trojuholníku ABC, ktorého strany majú dĺžky a = 4 cm, b = 5 cm, c = 6 cm zostrojte podobný trojuholník A B C s koeficientom podobnosti 1,5! 3.4 Použitie podobnosti v praxi 3.4.1. Na mape s mierkou 1 : 1 100 000 je vzdialenosť vzdušnou čiarou z Trenčianskych Teplíc do Nitry 6,1 cm. Koľko je to km v skutočnosti? 3.4.2 Aký vysoký je stožiar na štadióne, pri ktorom stojí muž vysoký 180 cm a tieň tohto muža je dlhý 1,5 m? Tieň stožiara je v tej chvíli trikrát tak dlhý, ako tieň muža. -1-
5 Goniometrické funkcie (M 9.roč./2.časť, str.5) 5.1 Pravouhlý trojuholník, podobnosť trojuholníkov 5.1.1 Doplň poučky: a) Odvesny v pravouhlom trojuholníku sú strany,ktoré zvierajú uhol. b) Prepona leží vždy oproti uhlu. c) Odvesny s preponou v pravouhlom trojuholníku zvierajú vždy uhly. 5.1.2 V pravouhlom trojuholníku má jeden ostrý uhol veľkosť 40, v druhom pravouhlom trojuholníku má jeden ostrý uhol veľkosť 50. Sú tieto trojuholníky podobné? Ak áno, podľa ktorej vety o podobnosti trojuholníkov? 5.2 Sínus uhla, kosínus uhla, tangens uhla 5.2.1 V pravouhlom trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C doplň správne pomery strán k jednotlivým goniometrickým funkciám: sin α = cos α = tg α = 5.2.2 Zostrojte uhol α, ak sin α = 2/3! 5.2.3 Viete, že sin 30 = 1/2. Napíšte hodnotu cos 60! 6 Lineárne rovnice (M-8.roč./2.časť,str.5) 6.1 Riešenie lineárnych rovníc pomocou ekvivalentných úprav Riešte rovnice a urobte skúšku správnosti: 6.1.1 4.(x 3) = 2.(x + 5) 6.1.2 x/2 + x/4 x = 2 6.1.3 1 - [4.(3 2x)] / 5 = 3x (x + 1)/10 6.2 Vyjadrenie neznámej zo vzorca 6.2.1 V trojuholníku ABC poznáme stranu c = 5 cm a jeho obsah S = 10 cm 2. Vypočítajte výšku na stranu c. 6.2.2 Zo vzorca na výpočet obsahu lichobežníka vyjadrite základňu a. -2-
6.2.3. Určte, v akej hĺbke je poklop ponorky, ktorá je v mori, ak naň pôsobí hydrostatický tlak 512,5 kpa. Hustota morskej vody je 1025 kg/m 3,gravitačná konštanta g =10 N/kg. 6.3 Slovné úlohy riešené lineárnymi rovnicami 6.3.1 Jeden traktorista by pooral pole za 12 hodín. Druhý, s výkonnejším traktorom, by to pooral za 8 hodín. Ako dlho im to bude trvať, ak budú orať spolu? 6.3.2 Bazén sa naplní jedným prítokom za 12 hodín, druhým prítokom za 15 hodín a odtokom vyprázdni za 20 hodín. Ako dlho bude trvať napĺňanie pri zapnutých obidvoch prítokoch a odtoku? 6.3.3 Z chaty vyšla prvá skupina turistov o 8:00 rýchlosťou 4 km/h. Druhá skupina vyšla za nimi o 30 minút neskôr rýchlosťou 6 km/h. Za aký čas a koľko km od chaty doženie prvú skupinu? 4 Riešenie lineárnych rovníc a ich sústav (M 9.roč./1.časť, str.86) 4.1 Lineárne rovnice s neznámou v menovateli Riešte rovnice s neznámou v menovateli, zapíšte podmienku a urobte skúšku správnosti: 4.1.1 4/x 2 = 2/x 4/3 4.1.2 2 6 = a+2 a 2 4.1.3 6(b + 1) = 2-8b (3-5b) 4.2 Sústava lineárnych rovníc s dvomi neznámymi Riešte sústavu lineárnych rovníc s 2 neznámymi a urobte skúšku správnosti: 4.2.1.1 dosadzovacou metódou: x+y=5 2x y = 1-3-
4.2.1.2 sčítacou metódou: x+y=5 2x y = 1 4.2.1.3 porovnávacou metódou: x+y=5 2x y = 1 Ľubovoľnou metódou vyriešte nasledovnú sústavu rovníc a urobte skúšku správnosti: 4.2.2 2(a 3) = -b 5 a 3(b 1) = -7 4.2.3 Určte podmienku riešiteľnosti a vyriešte sústavu: _1_ + _1_ = 3 x y _1_ - _1_ = 1 x y 4.3 Slovné úlohy a) s neznámou v menovateli: 4.3.1 Myslím si číslo. Ak k nemu pripočítam číslo 3 a súčet vydelím mysleným číslom, dostanem číslo 2. Ktoré číslo som si myslel? b) riešte pomocou sústavy 2 rovníc s 2 neznámymi (alebo ako viete): 4.3.2 Tretina súčtu dvoch neznámych čísel je päť, ich podiel je 1,5. Ktoré sú to čísla? c) úlohy o zmesiach: 4.3.3 Zmiešame 8 litrov vody 100 C teplej s 28 litrami vody 10 C teplej. Akú teplotu bude mať voda po zmiešaní? 5 Kruh, kružnica (M-8.roč./1.časť, str.91) 5.1 Kružnica, kruh 5.1.1 Rozhodnite sa správne: a) k(s;r) je označenie a) kruhu, b) kružnice, b) K(S;r) je označenie a) kruhu, b) kružnice. 5.1.2 Ako označujeme polomer a ako priemer kružnice? Aký je medzi nimi vzťah? 5.1.3. Čo musíte poznať, aby ste mohli narysovať kružnicu? 5.1.4 Napíšte vlastnými slovami rozdiel medzi kružnicou a kruhom! -4-
5.2 Tetiva kružnice 5.2.1 Tetiva je úsečka, ktorá spája... body na kružnici (doplňte). 5.2.2 Najdlhšia tetiva v kružnici je... (doplňte). 5.2.3 Os tetivy (os úsečky) prechádza vždy... kružnice (doplňte). 5.3 Vzájomná poloha kružnice a priamky 5.3.1 Načrtnite voľnou rukou, čo je: a) nesečnica b) dotyčnica c) sečnica 5.3.2 Máte kružnicu, ktorá má polomer 3 cm. Na priamke p, ktorá je dotyčnicou ku kružnici sa nachádza bod B, pričom platí, že vzdialenosť bodu B a stredu kružnice je 5cm. Na základe uvedených údajov vypočítajte, aká je vzdialenosť dotykového bodu a bodu B! 5.4 Vzájomná poloha 2 kružníc 5.4.1 Dve kružnice k1(s1;r1) a k2(s2;r2) môžu mať 6 rôznych polôh. Načrtnite všetky možnosti a pomenujte ich! Nezabudnite na označenie(pomenovanie) všetkých údajov v náčrte ( v je dĺžka úsečky S1S2, teda vzdialenosť stredov kružníc). 5.6 Dĺžka kružnice 5.6.1 3,14 alebo 22/7 je hodnota používaná pri výpočtoch kružnice a kruhu. Volá sa Ludolfovo číslo a označujeme ho písmenom gréckej abecedy... (doplňte). 5.6.2 Vypočítajte dĺžku kružnice s polomerom 10 cm. 5.6.3 Vypočítajte obvod kruhu s priemerom 80 cm. 5.8 Obsah kruhu 5.8.1 Vypočítajte obsah kruhu s priemerom 4 cm. 5.8.2 Aký polomer má kruh, ktorého obsah je 78,5 cm 2? -5-
5.7 Oblúk kružnice, kruhový výsek 5.7.1 Vypočítajte dĺžku kružnicového oblúka l (malé el) prislúchajúcu stredovému uhlu 50 v kružnici s polomerom r = 50 cm. 5.7.2 Kruhový výsek s polomerom 5 cm zviera uhol 120. Vypočítajte jeho obsah. 5.10 Slovné úlohy 5.10.1 Akú plochu zavlaží v parku zavlažovač, ak voda dostrekne maximálne do 5m? 5.10.2 Dĺžka strany štvorca je 17 cm. Vypočítajte polomer kružnice, ktorá je : a) štvorcu opísaná, b) štvorcu vpísaná. -6-
II. POLROK 7 Objemy a povrchy telies(m-9.roč./2.časť,str.44) Pri všetkých telesách nezabudnite na náčrt s popisom - výhoda pre lepšie pochopenie úlohy je farebne si vyznačiť, čo poznáte! 7.1 Objem a povrch kocky, kvádra a hranola 7.1.1 Vypočítajte objem a povrch kocky s hranou 8 cm! 7.1.2 Aký povrch má kváder s objemom V=113,088 cm 3 a ak dĺžka hrany a=4,8 cm a dĺžka hrany b=6,2 cm? 7.1.3 Aká je hmotnosť železného stĺpika v plote, ktorý má tvar hranola vysokého 1m s podstavou tvaru pravouhlého rovnoramenného trojuholníka s odvesnou 6 cm? 7.2 Povrch a objem valca 7.2.1 Rotačný valec má výšku v = 2,5 dm a priemer podstavy d = 12 cm. Vypočítajte jeho povrch. 7.2.2. Koľko litrov vody sa vmestí do nádrže tvaru valca s priemerom podstavy 22 dm a výškou nádoby 1,7 m, ak sa úplne naplní? 7.3 Povrch a objem ihlana 7.3.1 Vypočítajte povrch pravidelného 4-bokého ihlana s hranou podstavy 5 dm a výškou trojuholníkovej steny ihlana 75 cm. 7.3.2 Veľká pyramída v Gize (Egypt) má tvar pravidelného 4-bokého ihlana, ktorého podstavová hrana má dĺžku približne 227 m a jej výška je 140 m. Akú hmotnosť má kameň, ktorý bol potrebný na stavbu tejto pyramídy, ak hmotnosť 1 m 3 kameňa je 2,5 tony? (Chodby a miestnosti vo vnútri neberte do úvahy.) 7.4 Povrch a objem kužeľa 7.4.1 Vypočítajte povrch rotačného kužeľa s priemerom podstavy d=25 cm a výškou kužeľa v=18 cm a stranou kužeľa s=22 cm. 7.4.2 Aký objem má kužeľ s priemerom d=26 cm a jeho výška v=8cm? -7-
7.5 Guľa, guľová plocha 7.5.1 Ako vyzerá sieť guľovej plochy? 7.5.2 Vypočítajte objem a povrch gule s polomerom 2 m. 7.6 Úlohy z praxe 7.6.1 Potrubie má dĺžku 12 km a jeho rúry majú priemer 30 cm. Koľko hl vody ho celkom naplní? 7.6.2 Koľko m 3 zeminy sa vybagruje pri kopaní bazéna dlhého 20 m, širokého 5 m a hlbokého 1,5m? 7.6.3 Vypočítajte objem a povrch Zeme. (Považujeme ju za guľu s polomerom 6370 km.) 2 Úprava algebrických výrazov (M-9.roč./1.časť, str.29) 2.1 Celistvé algebrické výrazy 2.1.1 Prepíšte nasledujúci text a namiesto doplňte správne výrazy s premennými. V triede je a chlapcov a b dievčat. ( Platí: a > b ). V triede je spolu žiakov. Dnes chýbajú 2 žiaci. V triede je dnes prítomných žiakov. Zajtra pôjdu 2 dievčatá a 3 chlapci na atletickú súťaž. Nikto iný nebude chýbať. Zajtra bude v triede prítomných žiakov. Chlapcov je o viac ako dievčat. Dievčat je -krát menej ako chlapcov. 2.1.2 Operácie s mnohočlenmi (sčitovanie, odčítanie, násobenie) 2.1.2.1 8x + (4x + 6) (9x 2) 2.1.2.2 4xy - [-(xy + 1) + (xy 1)] 2.1.2.3 -x. (x + 5) 2.1.2.4 (2a 3b). (a + b 1) 2.1.3 Rozklad mnohočlenov na súčin 2.1.3.1 úprava výrazov vynímaním pred zátvorku: 2.1.3.1.1 4x 2 + 40ax 2.1.3.1.2-5a 25ab -8-
2.1.3.1.3 3(x - 1) + 4x(x 1) 2.1.3.1.4 3u + 3 + uv + v 2.1.3.2 úprava výrazov rozkladom podľa vzorcov: 2.1.3.2.1 x 2 + 8x + 16 (overte dosadením x=2) 2.1.3.2.2 4x 2 20x + 25 (overte dosadením x=2) 2.1.3.2.3 x 2 49 (overte dosadením x=2, y= - 1) 2.1.3.3 úprava výrazov s použitím vynímania aj vzorcov: 2.1.3.3.1 16a a 3 2.1.3.3.2 (3x + y) 2 z 2 2.1.3.3.3 2y 2 + 3y + 1 2.1.4 Lomené výrazy 2.1.4.1 Kedy má lomený výraz zmysel? NEZABUDNITE pri každom lomenom výraze určiť, kedy má výraz zmysel! 2.1.4.2 krátenie lomených výrazov: 2.1.4.2.1 3abc 6a 2.1.4.2.2 4a 2 + 8ab 8ab 2.1.4.2.3 10r 10s r 2 s 2 2.1.4.3 rozširovanie lomených výrazov: Rozšírte dané výrazy výrazom uvedeným v zátvorke: 2.1.4.3.1 _3a_ (2a) a+1 2.1.4.3.2 _1_ (3) b 2 2.1.4.3.3 a+b (a b) a-b -9 -
2.1.4.4 sčítanie a odčítanie lomených výrazov: 2.1.4.4.1 1_ + 2 x 1 x 2 1 2.1.4.4.2 _a 1_ - _a + 1_ a 2 + 2 a 2 a 2.1.4.5 násobenie lomených výrazov: 2.1.4.5.1 _2a_. b2 2.1.4.5.2 (x 2 y 2 ). x + y b x+y x-y 2.1.4.6 delenie lomených výrazov pozor na podmienky deliteľnosti (nulou deliť 2.1.4.6.1 _3x_ : _2y nemôžeme): a b 2.1.4.6.2 _m 2-9 : m 2 + 6m + 9 3m m 2 2m 3 + 6m 2 Zložený lomený výraz = inak zapísané delenie lomených výrazov. 2.1.4.6.3 p+q s p q+s 7 Konštrukčné úlohy (M-8.roč./2.časť, str. 48) 7.1 Základné množiny bodov danej vlastnosti 7.1.1 Určte a zostrojte množinu bodov roviny, z ktorých má každý od priamky p vzdialenosť d = 1,5 cm. 7.1.2 Určte a zostrojte množinu všetkých bodov, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od daných 2 rôznobežiek. - 10 -
7.2 Jednoduché konštrukcie Každá konštrukčná úloha musí mať: náčrt, rozbor, konštrukciu so zapísaným postupom, skúšku a diskusiu. 7.2.1 Zostrojte pravouhlý trojuholník ABC s pravým uhlom pri vrchole C, v ktorom poznáte AB = 7 cm, BC = 3 cm. 7.2.2 Zostrojte kružnicu opísanú danému trojuholníku ABC. ( Návod: stred S opísanej kružnice je priesečník osí uhlov.) 5.9 Talesova kružnica (M 8.roč./1.časť, str. 116) 5.9.1 Daná je úsečka MN. Zostrojte Talesovu kružnicu, ktorej priemer je úsečka MN. 5.9.2 Narysujte kružnicu k(s; 3 cm) a vyznačte bod M, pre ktorý platí SM = 5,5 cm. a) Zostrojte dotyčnice z bodu M ku kružnici k. b) Vypočítajte dĺžku úsečky určenej bodom M a dotykovým bodom dotyčnice t ku kružnici k. 7.3 Použitie množín všetkých bodov danej vlastnosti pri riešení konštrukčných úloh 7.3.1 Zostrojte pravouhlý trojuholník ABC, keď poznáte dĺžku prepony c = 7cm a dĺžku odvesny a = 4 cm. Pomenujte množiny bodov, ktoré ste pri riešení použili. 7.3.2 Zostrojte trojuholník ABC, v ktorom je daná dĺžka strany c = 6 cm, veľkosť uhla BAC = 75 a výška vc = 4 cm. 7.3.3 Zostrojte rovnobežník ABCD, ak je veľkosť uhla BAD = 60, uhol ADB = 45 a veľkosť výšky na stranu AB je 5 cm. 7.3.4 Zostrojte lichobežník MNOP so základňami MN a OP, ak je dané: KOMBINATORIKA MN = 6 cm, OP = 3,5 cm, MO = 7 cm, veľkosť uhla OMN = 30. Študijný materiál bude všetkým študentom dodaný začiatkom II. polroka elektronickou formou, pretože v sebe zahŕňa učivo z niekoľkých ročníkov. Pre individuálnych študentov budú zároveň stanovené povinné úlohy na riešenie (výber zo všetkých úloh). VEĽA ÚSPECHOV PRI PRÁCI! V prípade potreby som tu pre vás: 0944 430 660-11 - tadova@gmail.com (Valeria Godovičová)