17. prosinca 2016.
Stanje qubita A prikazujemo vektorom φ A u Hilbertovom prostoru H A koristeći ortonormiranu bazu { 0 A, 1 A }. Stanje qubita B prikazujemo vektorom φ B u H B... Ako se qubitovi A i B nalaze u stanjima φ A i φ B, stanje sustava koji se sastoji od tih dvaju qubitova prikazujemo tzv. tenzorskim produktom vektora stanja φ A i φ B, a označavamo ga s φ A φ B, ili jednostavnije φ A φ B. Taj vektor pripada tzv. tenzorskom produktu Hilbertovih prostora H A i H B koji je sam po sebi Hilbertov prostor, a označavamo ga s H A H B.
U Hilbertovom prostoru H A H B je prirodno odabrati ortonormiranu bazu { ij = i A j B ;i,j = 0,1} odnosno { 00 = 0 A 0 B, 01 = 0 A 1 B, 10 = 1 A 0 B, 11 = 1 A 1 B }. Općenit vektor u H A H B tada je Ψ = α 00 + β 01 + γ 10 + δ 11, gdje α, β, γ, δ C. Ako gornji vektor opisuje stanje kvantnog sustava, normiranost tog vektora podrazumijeva α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2 = 1.
Primjer. Ako se qubitovi A i B nalaze u stanjima φ A = λ A 0 A + µ A 1 A i φ B = λ B 0 B + µ B 1 B, stanje sustava prikazujemo vektorom stanja Φ = φ A φ B = λ A λ B 0 A 0 B + λ A µ B 0 A 1 B + µ A λ B 1 A 0 B + µ A µ B 1 A 1 B = α 00 + β 01 + γ 10 + δ 11, gdje su α = λ A λ B, β = λ A µ B, γ = µ A λ B i δ = µ A µ B. Lako je pokazati da je uvijet normiranosti ispunjen.
Neka operator M A djeluje na vektore stanja qubita A u H A, a M B neka djeluje na vektore stanja qubita B u H B. Djelovanju tih operatora na vektore stanja u H A H B odgovara tenzorski produkt operatora koji označavamo s M A M B. Kad se sustav qubitova nalazi u stanju koje možemo izraziti tenzorskim produktom stanja qubitova A i B, Φ = φ A φ B, djelovanje gornjeg operatora možemo izraziti kao (M A M B ) Φ = M A φ A M B φ B.
Primjer. Neka su qubitovi A i B realizirani orijentacijama spinova dviju čestica spinskog kvantnog broja s = 1/2. Projekciju spina čestice A na z-os u sustavu dviju čestica opisujemo operatorom 2 σ z I. Djelovanjem tog operatora na vektore baze u H A H B dobivamo: ( 2 σ z I) 00 = 2 σ z0 A I0 B = 2 0 A 0 B = 2 00 ( 2 σ z I) 01 = 2 σ z0 A I1 B = 2 0 A 1 B = 2 01 ( 2 σ z I) 10 = 2 σ z1 A I0 B = 2 1 A 0 B = 2 10 ( 2 σ z I) 11 = 2 σ z1 A I1 B = 2 1 A 1 B = 2 11
Vektore ortonormirane baze { 00, 01, 10, 11 } u H A H B prikazujemo vektor stupcima: 1 0 0 0 0 1 0 0 00 =, 01 =, 10 =, 11 =. 0 0 0 0 Općenit vektor Φ i odgovarajući dualni vektor Φ prikazujemo s α Φ = β γ i Φ = ( α β γ δ ). δ 1 0 0 1
Ako su (M A ) ij i (M B ) pq elementi matričnog prikaza operatora M A i M B, matrični elementi operatora M A M B su Ako su M A = (M A M B ) ip;jq = (M A ) ij (M B ) pq. ( ) a b c d ( ) α β i M B =, γ δ onda je ( ) aα aβ bα bβ amb bm M A M B = B = aγ aδ bγ bδ cm B dm B cα cβ dα dβ cγ cδ dγ dδ
Primjer. Tenzorski produkt Paulijeve matrice σ z sa samom sobom odnosno prikaz operatora M A M B = σ z σ z : ( ) ( ) 1 0 0 0 1 0 1 0 σ z σ z = = 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0. 0 0 0 1 Analognim postupkom: 0 0 0 1 0 0 0 1 σ x σ x = 0 0 1 0 0 1 0 0 y σ y = 0 0 1 0 0 1 0 0. 1 0 0 0 1 0 0 0
Primjer. Operator M swap = 1 2 (I + σ A σ B ) = 1 2 (I + σ x σ x + σ y σ y + σ z σ z ) ima matrični pirkaz 1 0 0 0 M swap = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 te svojstvo M swap ij = ji zbog taj operator zovemo operatorom SWAP.
Primjer. Svojstveni vektori operatora M swap = 1 2 (I + σ A σ B ) su vektor Φ = 1 2 ( 01 10 ) sa svojstvenom vrijednošću 1 te triplet vektora 00, Φ + = 1 2 ( 01 + 10 ), 11, sa svojstvenom vrijednošću 1.
Primjer. Zbroj projekcija spinova dviju čestica spinskog kvantnog broja s = 1/2 na z-os možemo opisati operatorom S z = 2 (σ z I + I σ z ). Svojstveni vektori operatora S z su Φ sa svojstvenom vrijednošću 0 te vektori tripleta { 00, Φ +, 11 } iz ranijeg primjera sa svojstvenim vrijednostima redom +, 0 i. Primjer. Svojstveni vektori operatora S 2 = S 2 x + S2 y + S2 z su Φ sa svojstvenom vrijednošću 0 te vektori tripleta sa svojstvenom vrijednošću 2 2.
Ako se qubitovi A i B nalaze u općenitim stanjima φ A = λ A 0 A + µ A 1 A i φ B = λ B 0 B + µ B 1 B, stanje sustava prikazujemo vektorom stanja Φ = φ A φ B = α 00 + β 01 + γ 10 + δ 11, gdje je α = λ A λ B, β = λ A µ B, γ = µ A λ B i δ = µ A µ B. Uočavamo da vrijedi αδ = βγ, što znači da tenzorski produkt φ A φ B ne predstavlja potpuno općenit vektor stanja u Hilbertovom prostoru H A H B.
Primjer. U stanjima Φ ± = 1 2 ( 01 ± 10 ) imamo α = δ = 0, β = 1 / 2 i γ = ± 1 / 2 te uočavamo αδ βγ, što znači da ta stanja nije moguće prikazati tenzorskim produktom φ A φ B, gdje su φ A i φ B vektori stanja qubitova. Zaključujemo da tenzorski produkt vektora stanja dvaju qubitova predstavlja samo jedan dio skupa stanja koja dopušta tenzorski produkt Hilbertovih prostora kojima vektori stanja pripadaju.
dvaju ili više qubitova Stanja sustava dvaju ili više qubitova koja je moguće prikazati tenzorskim produktom vektora stanja pojedinih qubitova zovemo čistim stanjima (engl. pure states). Kad se sustav dvaju ili više qubitova nalazi u stanju koje nije moguće prikazati tenzorskim produktom vektora stanja pojedinih qubitova, kažemo da se sustav nalazi u spregnutom stanju (engl. entangled state). Primjer. Stanja sustava dvaju qubitova: Iz definicije stanja 00, 01, 10 i 11 slijedi da su to čista stanja. Stanja Φ ± = 1 2 ( 01 ± 10 ) su spregnuta stanja (vidi prethodni primjer).
Neka se sustav qubitova A i B nalazi u spregnutom stanju Φ = 1 2 ( 0 A 1 B + 1 A 0 B ), a M I neka je operator koji opisuje fizikalnu veličinu povezanu s qubitom A. Očekivana vrijednost u spregnutom sustavu je Φ ( M I ) Φ = = 1 2( 0A M0 A + 1 A M1 A ). Pokazuje se da ne postoji stanje qubita A opisano vektorom φ A = λ A 0 A + µ A 1 A koje ima istu očekivanu vrijednost, φ A M φ A = λ 2 0 A M0 A + µ 2 1 A M1 A + λ µ 0 A M1 A + µ λ 1 A M0 A.
Primjer. Energiju interakcije koja proizlazi iz relativne orijentacije spinova dviju čestica spinskog kvantnog broja s = 1/2 možemo opisati hamiltonijanom oblika Ĥ = ωm swap = ω 2 (I + σ A σ B ). Svojstveni vektori hamiltonijana su Φ = 1 2 ( 01 10 ) sa svojstvenom vrijednošću ω te triplet 00, Φ + = 1 2 ( 01 + 10 ), 11, sa svojstvenom vrijednošću ω.
Primjer. Neka se sustav dvaju spinova u t = 0 nalazi u stanju Φ[0] = 10 = 1 2 ( Φ + + Φ ) koje nije spregnuto, a izrazili smo ga kao linearnu kombinaciju dvaju spregnutih stanja koja odgovaraju svojstvenim stanjima hamiltonijana iz prethodnog primjera. Vremenska evolucija tog stanja daje Φ[t] = 1 2 ( e iωt Φ + + e iωt Φ ) = cos ωt 10 isinωt 01. Uočavamo da za ωt = π/4, početno stanje koje nije bilo spregnuto prelazi u spregnuto stanje Φ[ π /4ω] = 1 2 ( 10 i 01 ).
Razmotrimo sustav koji se sastoji od dva podsustava, A i B, unutar kojih koristimo ortonormirane baze { i } i { µ }. Općenito stanje sustava možemo izraziti kao Φ = i,µ α iµ i µ, bez obzira na to nalazi li se taj sustav u spregnutom stanju ili ne. Kad se sustav nalazi u spregnutom stanju, stanja podsustava A ili B nije moguće izraziti vektorima stanja.
Očekivana vrijednost operatora M koji opisuje neko fizikalno svojstvo podsustava A je Φ (M I) Φ = = i,j ρ A ij M ji = Tr(ρ A M), gdje operator ρ A ij = µ α iµ α jµ zovemo reduciranim operatorom stanja podsustava A. Analogno, očekivana vrijednost operatora M koji opisuje fizikalno svojstvo podsustava B je Φ (I M) Φ = µ,ν ρ B µν M νµ, gdje je ρ B µν = i α iµ α iν.
Primjer. Ako se sustav qubitova A i B nalazi u stanju Φ = α 00 00 + α 01 01 + α 10 10 + α 11 11, reducirani operator stanja qubita A je ( α00 ρ A 2 + α 01 2 α 00 α 10 = + α ) 01α 11 α 00 α 10 + α 01 α, 11 α 10 2 + α 11 2 a reducirani operator stanja qubita B je ( α00 ρ B 2 + α 10 2 α 00 α 01 = + α ) 10α 11 α 00 α 01 + α 10 α. 11 α 01 2 + α 11 2
Primjer. Ako se qubitovi A i B nalaze u čistim stanjima φ A = λ A 0 A + µ A 1 A i φ B = λ B 0 B + µ B 1 B, sustav (AB) se nalazi stanju φ A φ B = α 00 00 + α 01 01 + α 10 10 + α 11 11, gdje su α 00 = λ A λ B, α 01 = λ A µ B, α 10 = µ A λ B i α 11 = µ A µ B. Reducirani operatori stanja qubitova A i B tad su ( ) ( ) λa ρ A 2 λ A µ A λb = λ A µ i ρ B 2 λ B µ B = A µ A 2 λ B µ B µ B 2
Operatorom stanja moguće je opisati stanje kvantnog sustava neovisno o tome nalazi li se on u čistom ili u spregnutom stanju. Svojstva operatora stanja ρ su: Očekivana vrijednost operatora M dana je s M = Tr(ρM) Operator stanja je hermitski operator, ρ = ρ. Svojstvene vrijednosti p i su nenegativne, p i 0. Trag operatora stanja (zbroj svojstvenih vrijednosti) jednak je jedinici, Trρ = i p i = 1. Akko vrijedi ρ 2 = ρ, sustav je u čistom stanju.
Iz svojstava operatora stanja slijedi da je moguće pronaći bazu { i } u kojoj operator stanja ima oblik ρ = i p i i i, a stanje koje taj operator opisuje možemo shvatiti kao nekoherentnu mješavinu u kojoj su stanja i prisutna s vjerojatnošću p i. Kad se sustav nalazi u čistom stanju, jedna od svojstvenih vrijednosti operatora stanja (jedna od vjerojatnosti p i ) jednaka je jedinici, dok su sve ostale jednake nuli. Čistom stanju Φ odgovara operator stanja ρ = Φ Φ.
Teorem o nemogućnosti kvantnog kloniranja Teorem o nemogućnosti kvantnog kloniranja kazuje da nije moguće stanje jednog kvantnog sustava prenijeti na drugi kvantni sustav. Kada bi kloniranje bilo moguće, postojala bi unitarna transformacija koja stanje jednog qubita prenosi na drugi qubit, na primjer χ 1 φ χ 1 χ 1. Pretpostavimo li postoji univerzalni operator U koji provodi kloniranje, imali bismo U χ 1 φ = χ 1 χ 1, U χ 2 φ = χ 2 χ 2.
Izračunamo li sada skalarni produkt vektora na lijevim stranama prethodnih dviju jednadžbi te nakon toga skalarni produkt vektora na desnim stranama, nalazimo uvjet χ 1 χ 2 = χ 1 χ 2 2, koji može biti ispunjen jedino ako χ 1 = χ 2 ili ako χ 1 χ 2 = 0, odnosno stanja koja možemo klonirati moraju biti okomita. Zaključujemo da općenito stanje kvantnog sustava ne možemo klonirati.