4 Persektvtet ersektvne fgure Desarguesov teorem Promatrajmo rojektvnu ravnnu kao oeratvn rostor u njoj nz točaka ramen ravaca ( ) s vrhom, r čemu točka ne lež na ravcu ( ) na nosocu Jednoznačno obostrano reslkavanje skua točaka nza ( ) skua ravaca ramena ( ) defnra se na sljedeć načn: ( ) blo kojoj točk X nza rdružuje se onaj ravac x ramena ( ) koj rolaz tom točkom X (obrnuto blo kojem ravcu x ramena ( ) rdružuje se ona točka X nza koja lež na tom ravcu x, tj X = x) ( ) X x Komentar: ) ( ) ( ) ( ) Za nek ramen ( kažemo da je sojn ramen nza nekog nza točaka na taj ramen, ako je se on dobva reslkavanjem Drugm rječma, ako odaberemo nek rozvoljan nz točaka ( ) nosocu, onda sku svh ravaca, tj sojnca točke blo koje točke nza ( ) čne ramen ( ) koj zovemo sojnm ramenom nza ( ) Svakom nzu točaka ( ) blo koju točku, koja ne lež na, rdruženo je neogrančeno mnogo sojnh ramenova tog nza ) ( ) nekog ramena ( ) na taj nza točaka ( ) Za nek nz ( kažemo da je resječn nz ramena ( ), ako je se on dobva reslkavanjem Drugm rječma, ako odaberemo nek rozvoljan ramen ravaca ( ) blo koj ravac, koj ne rolaz točkom, onda sku svh točaka, tj sjecšta ravca blo kojeg ravca ramena ( ) čne nz točaka ( ), koj zovemo resječnm nzom ramena ( ) Svakom ramenu ( ) rdruženo je neogrančeno mnogo resječnh nzova tog ramena ( ) Defncja 4 Dva nza točaka ( ) = {,,,} ( ) {,,,} = na razlčtm nosocma međusobno ersektvna s obzrom na centar ersektvteta ako sojnce rdruženh točaka rolaze točkom (vd slku 9) Persektvtet dvaju nzova s centrom u točk označavamo sa: ( ) ( ) ( ) ( ) su
a b c a b c slka 9 a b c slka 0 Drugm rječma, kažemo da su dva nza ( ) ( ) ersektvno rdružena ako su ( ) ( ) resječn nzov jednog te stog ramena ( ) - vd slku 9 Defncja 4 Dva ramena ravaca ( ) = { a, b, c, } ( ) = { a, b, c, } s razlčtm vrhovma su međusobno ersektvna s obzrom na ravac ako m se rdružen ravc sjeku u točkama nza ( ) (vd slku 0) Prtom se ravac zove os ersektvteta Persektvtet dvaju ram ena ( ) ( ) s os označavamo sa: ( ) ( ) Drugm rječma, kažemo da su dva ramena ( ) sojn ramenov jednog te stog nza ( ) - vd slku 0 ( ) ersektvno rdružena ako su ( ) ( ) Pojam ersektvteta se može ooćt na blo koju fguru u rojektvnoj ravnn l rojektvnom rostoru Defncja 43 Dvje fgure F smještene u jednoj ravnn (l rostoru) su ersektvne s obzrom na centar ako ostoj obostrano jednoznačno reslkavanje elemenata fgura F takvo da sve sojnce rdruženh točaka rolaze točko m očku zovem o centrom ersektvteta th dvju fgura, a somenute sojnce zrakama ersektvteta l rojektorma slka 3
Na slc rkazana su dva trovrha koja su ersektvna s obzrom na centar me možemo sat Defncja 44 Q Dvje fgure F smještene u jednoj ravnn (l rostoru) su ersektvne s obzrom na ravac ako ostoj obostrano jednoznačno reslkavanje elemenata fgura F takvo da arov rdruženh ravaca sjeku u točkama ravca Pravac zovemo os ersektvteta th dvju fgura P R K L M P R PQ R PQ R Q slka R P Q Na slc rkazana su dva trovrha PQ R koja su ersektvna s obzrom na os me možemo sat PQ R PQ R Lako se može vdjet da je defncja 44 dualna defncj 43 s obzrom na rojektvnu ravnnu, kao oeratvn rostor Jasno, rtom se retostavlja da su F dvje ravnnske fgure Dualzacjom defncje 43 u rojektvnom trodmenzonalnom rostoru kao oeratvnom rostoru, dobva se još jedan oblk ersektvteta Defncja 45 Za dvje rostorne fgure F kažemo da su ersektvne s obzrom na neku ravnnu α ako ostoj obostrano jednoznačno reslkavanje elemenata fgura F takvo da arov rdruženh ravaca ravnna sjeku u točkama, odnosno ravcma ravnne α eorem 46 (Desarguesov teorem) ko su dva trovrha ersektvna s obzrom na nek centar (tj točku), onda su on ersektvn s obzrom na nek ravac (tj os) obratno Drugm rječma vrjed: Prtom trovrs mogu ležat u razlčtm ravnnama l u jednoj te stoj ravnn rojektvnog rostora 4
Dokaz: () Pretostavmo da su dvje razlčte ravnne rojektvnog rostora takve da je ravnna zadana trma nekolnearnm točkama,, te da je ravnna zadana nekolnearnm točkama,, Drugm rječma, neka trovrs leže u razlčtm ravnnama neka su on ersektvn s obzrom na neku točku (centar) ada s e sojnce (rdrženh točak a), sjeku u točk (vd slku 3) M L K slka 3 reba dokazat da je: = K, = L, = M, r čemu su K, L M kolnearne točke Podsjetmo se: Promatrajmo najrje ravnnu eorem 4 Uočmo da točke, al sto tako točke ko dvje razlčte t očke P Q leže u ravnn α leže u ravnn, stoga rmjenom teorema određenoj nekolnearnm točkama,, onda svaka točka sojnce PQ (tj ravac PQ) lež u toj 4 mamo da sojnce (ravc), tj ravn n α leže u toj ravnn eorem Nadalje, rem a teoremu rozlaz da se ravc Dva razlčta ravca rojektvne ravnne sjeku sjeku u nekoj točk K se u točno jednoj točk nalogno, ako romatramo ravnnu ada u toj ravnn leže točke, al sto tako točke, a samm tme ravc, tj Prtom se ravc sjeku u nekoj točk L N a st načn mamo u ravnn k leže točke ao točke, stoga u njoj leže ravc, tj, koj se sjeku u nekoj točk M Dokažmo da su K, L M kolnearne točke 5
Uočmo da z = K rozlaz da točka K lež na ravcu, čme lež u rav nn S druge strane mamo da t očka K lež na ravcu, čme lež u ravnn me mamo da točka K lež na resječnc ravnna (vd teorem 6) nalogno z = L mamo da točka L lež na ravcu, tj u ravnn, al sto točka L lež na ravcu, tj u ravnn me točka L lež na resječnc ravnna Na st načn z = M zaključuje mo da točka M lež na resječnc ravnna Dobl smo da sve tr točke K, L M leže na resječnc ravnna, na osnovu čega zaključujemo da su K, L M kolnearne točke brat: neka trovrs leže u razlčtm ravnnama rojektvnog rostora neka su on ersektvn s obzrom na neku os (ravac) ada se arov rdrženh ravaca sjeku u nekm točkama ravca, tj na ravcu ostoje tr točke K, L M takve da je = K, = L, = M (vd slku 3) Jasno dan ravac je resječnca ravnna reba dokazat da ostoj točka takva da su trovrs ersektvn s obzrom na tu točku (centar), tj da je: =, gdje su točke, točke, odnosno točke međusobno rdružene točke s obzrom na točku Jasno,, su sojnce rdruženh točaka (s obzrom na točku ) Iz očetne retostavke rozlaz da ravac lež u ravnn, tj da ravac lež u ravnn, a z dentteta = K s obzrom na teorem zaključujemo da ravc, kao njhovo sjecšte K moraju ležat u nekoj ravnn α me u rojektvnom rostoru ostoj točka (, ), koja će zajedno s točkama određvat ravnnu α tj ravnnu (l analogno će točka zajedno s točkama određvat ravnnu ) Prmjenom defncje rojektvne ravnne na ravnnu α (, tj ) rozl = az: Prmjenom teorema na denttet = L zaključujemo da ravc, kao njhovo sjecšte L moraju ležat u nekoj ravnn α Pretostavmo da u roj rostoru ostoj točka koja zajedno s točkama određuje ravnnu α ada vrjed =, M što ovlač da su točke (kao točke ) slka 4 međusobno rdružene s obzrom na točku K S druge strane z = rozlaz da su točke međusobno rdružene s obzrom na točku, čme zaključujemo da je = 6 L
Name ako b točke ble razlčte, tada b z navedenog rozlazlo da su s obzrom na točku međusobno rdružene točke: ;, al sto tako da je točka rdružena sama seb (vd slku 4a) Uočmo da točka ne može bt rdružena sama seb jer ona nje ncdentna s resječnm ravcem ravnna slka 4a Samo one to čke rojektvn og rostora, koje su ncdentne s resječnm ravcem (ravnna ) su rdružene sam e seb to s obzrom na blo koju točku koja nje ncdentna s tm resječnm ravcem (vd slku 4) m e dobvamo: =, na temelju čega zaključujemo da su trovrs ersektvn s obzrom na točku () Pretostavmo da trovrs leže u jednoj te stoj ravnn (zadanoj nekolnearnm točkama,, l ekvvalentno s nekolnearnm točkama,, vd teorem 3) rojektvnog rostora neka su on ersektvn s obzrom na neku točku (centar) ada se sojnce, sjeku u točk (vd slku 5) slka 5 7
U ovom slučaju treba okazat da je svaka Desarguesova fgura u ravnn ujedno rojekcja neke Desarguesove fgure u rostoru Konkretno u našem slučaju treba okazat da su oba trovrha u ravnn rojekcje nekh odgovarajućh trovrha, koj leže u radnm ravnnama (rojektvnog rostora) razlčth od dane ravnne me će se dokaz od () ozvat na roveden dokaz od () U rojektvnom rostoru odabermo točku P (koja ne lež u ravnn ; rmjena aksom 6) Sojmo točku P s točkama te na sojnc P odabermo neku točku razlčtu od P Promatrajmo sada ravnnu P Lako se vd točke, kao točke P leže u ravnn P, stoga rmjenom teorema 4 mamo da sojnce P leže u ravnn P Nadalje, rmjenom teorema mamo da sjecšte: = P lež u ravnn P Prtom je točka razlčta od točaka P Iz rečenog rozlaz da trovrs leže u dvje međusobno razlčte ravnne, al sto tako razlčte od dane ravnne Prtom se rojekcjom trovrha (z neke ravnne ) dobva trovrh u ravnn te se analogno trovrh u ravnn dobva rojekcjom trovrha (z neke ravnne, gdje je ) Uočmo da su trovrs (koj leže u dvje razlčte ravnn e ) ersektvn s obzrom na točku, jer se sojnce, sjeku u točk (vd slku 5) Prmjenmo l tvrdnju (), zaključujemo da ostoje tr kolnearne točke K, L M takve da je: = K, = L, = M Prmjenom tvrdnje () mamo da točke K, L M moraju ležat na resječnc ravnna (tj ravn na ) Projekcjom točaka K, L M na ravnnu dobvaju se točke K, L M, koje su ujedno sjecšta rojekcja rdruženh stranc a, tj = K, = L, = M Prtom z kolnearnost točaka K, L M rozlaz kolnearnost njhovh rojekcja K, L M me je teorem dokazan Iz gore navedenog dokaza Desarguesovog teorema, vdmo da se Desarguesov teorem dokazuje u rojektvnom rostoru kao oeratvnom rostoru Naomenmo da se Desarguesov teorem ne može dokazat u rojektvnoj ravnn kao oeratvnom rostoru Drugm rječma, za dokaz Desarguesovog teorema otrebno je rmjent aksome -7 Poznato je da ma mnogo rojektvnh ravnna u kojm a ne vrjed Desarguesov teorem akve ravnne često se nazvaju jednm menom nedesarguesove ravnne Najoznatj mod el takve rojektvne ravnne otkro je F R Moulton (vše na vježbama) 8