Zdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:

Σχετικά έγγραφα
6 Primjena trigonometrije u planimetriji

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =

4 Sukladnost i sličnost trokuta

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.

Pošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5

y 2 = 4x, koja prolazi kroz točku vertikalno iznad njezinog fokusa.

( , 2. kolokvij)

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

2s v A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0

Zadaci iz trigonometrije za seminar

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

Prof. Mira Mihajlović Petković 1

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)

Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta

ALFA List - 1. Festival matematike "Split 2013." Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013.

Radni materijal 17 PRIZME

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.

7 Algebarske jednadžbe

Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.

Temeljni pojmovi trigonometrije i vektorskog računa

Repetitorij matematike zadaci za maturu 2008.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

MINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I ŠPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO

1.4 Tangenta i normala

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE

Kut je skup točaka ravnine odre - den dvama polupravcima sa. Polupravci a i b su krakovi kuta, a njihov zajednički početak V je vrh kuta.

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

POPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= *

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 2010.

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE

Proljetno kolo 2017./2018.

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Geometrijski trikovi i metode bez imena

Op cinsko natjecanje Osnovna ˇskola 4. razred

13. SFERNA TRIGONOMETRIJA

11. GEOMETRIJA. Zadaci:

Operacije s matricama

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja

L. Kralj, Z. Ćurković, D. Glasnović Gracin, S. Banić, M. Stepić. Petica+ 5. udžbenik i zbirka zadataka za 5. razred osnovne škole DRUGI SVEZAK

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

18. listopada listopada / 13

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Temeljni pojmovi o trokutu

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Proljetno kolo 2017./2018.

Općinsko natjecanje. 4. razred

2.7 Primjene odredenih integrala

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo. 29. siječnja 2009.

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 2010.

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

ZI. NEODREðENI INTEGRALI

Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Pitanja za usmeni dio ispita iz matematike

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

RJEŠENJA ZA 4. RAZRED

Ljetno kolo 2017./2018.

ŠKOLSKO (GRADSKO) NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 4. veljače 2010.

radni nerecenzirani materijal za predavanja

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

TOPLINA I TEMPERATURA:

Priprema za ispit znanja Vektori

ZADACI. Osnovna škola

α =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

DODATAK UDŽBENIKU ZA 7. RAZRED DEVETOGODIŠNJE ŠKOLE SUSTAVA KATOLIČKIH ŠKOLA ZA EUROPU

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

Transcript:

Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α = 103 8`, β =41 33`; e) c = 0.89 cm, α = 88,γ =1 ; g) a = 13.8 cm, c = 8 cm, γ = 15.. Kutovi trokuta u omjeru su 3 : 5 : 7. Koliki je omjer duljina najdulje i najkraće stranice trokuta? a? 3. U ABC je α = β, β = 3γ, a + b = 30 cm. Kolika je duljina stranice 4. Razlika duljina dviju stranica trokuta jednaka je 34 cm, a nasuprot tim stranicama nalaze se kutovi od 108 i 8. Kolike su duljine stranica tog trokuta? 5. Duljina hipotenuze pravokutnog trokuta jednaka je 15 cm, a jedan šiljasti kut trokuta iznosi 4 8`. Odredi duljinu odsječka simetrale pravog kuta koji je unutar trokuta. 6. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a =.9, c = 16.9, β = 395 ; b) b = 3.8, c = 5., α = 3336 ; c) a = 4.4, b = 5.8, c = 6.. 7. Duljine stranica trokuta u omjeru su 4: 3: 6. Koliki je najmanji kut ovog trokuta? 8. Duljine stranica trokuta jednake su n + n + 1, n + 1 i n 1, gdje je n broj veći od 1. Koliki je kut nasuprot najduljoj stranici? 9. Odredi duljine stranica trokuta ako vrijedi a: b = 1: 7, c = 3 cm i α = γ. 10. Kolika je površina pravilnog deveterokuta upisanog kružnici polumjera 5 cm? 1

11. Kolika je dulijina po velični srednje dijagonale pravilnog deveterokuta ako je duljina njegove stranice cm? 1. Uz neku cestu stoji prometni znak kojemu je uz naznaku uspona zapisano 1%. Pod kojim se kutom u odnosu prema horizontalnoj površini uspinje ta cesta? Koliko je visoko drvo kojemu je duljina sjene na toj kosini 3.5 m, ako zrake sunca s kosinom zatvaraju 18? 13. Omjer duljina osnovice i kraka jednakokračnog trokuta je. Koliki su kutovi u tom trokutu? 14. U kružnicu polumjera 4 upisan je šiljastokutan trokut ABC s duljinama stranica AB = 4, AC = 4 3. Odredi kutove trokuta. 15. Dokaži da za svaki trokut vrijedi relacija: ctgα+ctgβ +ctgγ = a +b +c 4P.

ispit za a-grupu 1. Izračunaj najmanji kut u pravokutnom trokutu kojemu su 1 i 18 duljine kateta.. Jednakokračne ljestve raširene su do 35. Krakovi su im dugački 3 m. Na kojoj je visini postolje? 3. Kolika je površina pravilnog dvanaesterokuta kojemu je opisana kružnica promjera 50 cm? 4. Izračunaj najveći kut u trokutu kojemu su duljine stranica 10, 175 i 40. 5. Izračunaj ostale elemente i površinu trokuta kojemu je zadano: a = 1 cm, b = 15cm i α =66. 6. Neka su 7 i 11 duljine dijagonala paralelograma i 31 0`11 je njegov šiljasti kut. Izračunaj duljine stranica i površinu paralelograma. 7. Snjegulica je obavila šetnju u tri pravocrtna smjera. Prvo je skretanje obavila za 109 0, drugo za 3 0, nakon tog drugog skretanja prešla 0.8 km i vratila se doma. Koliko je ukupno (ukupna duljina sva tri smjera) Snjegulica šetala? 8. Na krakovima BC i BA jednakokračnog trokuta ABC ( ABC = 0 ) dane su točke P i Q tako da je P AC = 50 i QCA = 60. Odredite P QC = 0. 9. Dokaži identitete: a) tg9 0 tg7 0 tg63 0 + tg81 0 = 4. (Hint: dokaži, pa primjeni identitet tgα + tgβ = sin(α+β) cosα cosβ.) b) cos10 0 cos50 0 cos70 0 = 3 8. (Hint: dokaži, pa primjeni identitet cosx cos ( 60 0 x ) cos ( 60 0 + x ) = 1 4 cos3x.) 10. Na formulama (0). 3

ispit za b-grupu 1. Izračunaj najmanji kut u pravokutnom trokutu kojemu je 1 duljina katete i 19 duljina hipotenuze.. Krater oblika stošca (osni presjek mu je jednakokračan trokut) ima promjer 0.5 km. Koliko je dugačka rampa spuštena iz vrha kratera okomito na suprotnu stranu kratera ako je kut pri vrhu kratera 37 3. Kolika je površina pravilnog desterokuta kojemu je opisana kružnica promjera 84 mm? 4. Izračunaj najveći kut u trokutu kojemu su duljine stranica 15, 17 i 9. 5. Izračunaj ostale elemente i površinu trokuta kojemu je zadano: a = 1 cm, b = 15 cm i β =56. 6. Neka su 17 i 1 duljine dijagonala paralelograma i 55 je njegov šiljasti kut. Izračunaj duljine stranica i površinu paralelograma. 7. Dva ravna zrcala spojena su pod kutom od 158. Zraka svjetlosti upada na jedno od njih pod kutom od 68 na udaljenosti 48 cm od spoja. Hoće li ta zraka nakon odbijanja upasti na drugo zrcalo? Ako da, na kojoj udaljenosti od spoja i pod kojim kutom? 8. Neka je S središte kružnice opisane trokutu ABC, BS AC = E, CS AB = F. Ako su kutovi CF E, AF E, BAC medusobno jednaki, odredite njihovu veličinu. 9. Dokažte identitete: a) tg 10 +tg 50 +tg 70 = 9. b) sin0 0 sin40 0 sin80 0 = 3 8. (Hint: dokaži, pa primjeni identitet sinx sin ( 60 0 x ) sin ( 60 0 + x ) = 1 4 sin3x.) 10. Na formulama (0). 4

1. Ponovi izvode formula: sin(α ± β) = sinα cosβ ± sinβ cosα (1) cos(α ± β) = cosα cosβ sinα sinβ () tg(α ± β) = ctg(α ± β) = tgα ± tgβ 1 tgα tgβ ctgα ctgβ 1 ctgβ ± ctgα (3) (4) sinα = sinα cosα (5) cosα = cos α sin α (6) tgα = tgα 1 tg α cos α = 1 + cosα sin α = 1 cosα sinα ± sinβ = sin( α ± β cosα + cosβ = cos( α + β cosα cosβ = sin( α + β (7) (8) (9) ) cos( α β ) (10) ) cos( α β ) (11) ) sin( α β ) (1) sinα sinβ = cosα cosβ = sinα cosβ = cos(α β) cos(α + β) cos(α + β) + cos(α β) sin(α + β) + sin(α β) (13) (14) (15) 5

. Dokaži sljedeće formule za trokut (ρ je polumjer upisane a ρ a, ρ b i ρ c su polumjeri pripisanih kružnica danom trokutu ABC): P = s tg α tg β tg γ (16) tg α = ρ a s (17) P = ρ a (s a) (18) 1 ρ = 1 ρ a + 1 ρ b + 1 ρ c (19) P = ρρ a ρ b ρ c (0) 4t c = a + b c (1) 4t c = c + 8ctgγ () a + b a b = tg α+β α β (3) 6