Morganναδώσειμίαεναλλακτικήμέθοδο,αποδεικνύονταςπρώταότιηευθείαπουδιχοτομεί κάθεταμίαχορδήπεριέχειτοκέντροτουκύκλου. Παρ όλααυτά,καιαυτήημέθοδοςέχει

Ã Ð Ó ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ ³ È Ö ÐÓÙ º½ È Ö Õ Ñ Ò ØÓÙ ÐÓÙ ³ ÇÖ ÑÓ ½ ½½ ÈÖ Ø ½ ÈÛ Ö ÓÙÑ ØÓ ÒØÖÓ ØÓÙ ÐÓÙº ÈÖÓØ ¾ ½ ÉÓÖ ÐÓ Ø ÑÒ Ñ ÒÓ ÔØ Ñ ÒÓ º ÈÖÓØ ½ ½ ÔØ Ñ Ò º ÈÖÓØ ¾¼ ¾¾ ½ ÛÒ ØÑ Ñ Ø ÐÓÙ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖ ÐÓÙº

à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ ÈÖÓØ ¾ ¾ ¾ ÉÓÖ Ø Ü ÛÒ º ÈÖ Ø ¼ ÈÛ ÕÓØÓÑ Ø Ò Ø ÜÓº ÈÖÓØ ½ È Ö Ø Ö Ô Ö ÛÒ ôò ÐÓÙº ÈÖÓØ ÌÓÑ ÕÓÖ ôò Ø ÑÒÓÙ ôò ÔØÓÑ ÒÛÒº º¾ ÇÖ ÑÓ ØÓÙ ÐÓÙ ³ ÇÖ ÑÓ ½º ³Á Ó ÐÓ Ò ÙØÓ ØÛÒ ÓÔÓÛÒ Ó Ñ ØÖÓ Ò Ó ÔÓ Ø ¹ ØÓÙ Ô Ø ÒØÖ Ò º ½ Ô Ö Ø Ö ÓÙÑ ô Ø ÒÒÓ Ø Ø Ø ÐÛÒ Ò Ò Ø Ø Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ ÔÛ Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ ÐÐ Ñ ÐÐÓÒ Ø Ø Ñ ØÖÛÒ ØÒÛÒµº Ç Ù Ð ÓÔ Ò ÔÓ Ü Ø Ò ÖÕ ØÓÙ ÁÔÔÓ Ö Ø Ô Ø Ò ÓÔÓ ÔÖÓ ÔØ Ó ÙÒ Ñ ØÛÒ ÓÖ ÑôÒº ¾º Ì ÔØÓÑ Ò ØÓÙ ÐÓÙ Å Ù Ð Ø Ø ÔØ Ø Ò ÐÓ Ò Ø Ò ÙÒ ÒØ ¾ ØÓÒ ÐÓ ÔÖÓ Ø Ò Ø Ò Ø ÑÒ ØÓÒ ÐÓº... º ÌÑ Ñ ÐÓÙ Ò ØÓ Ô Ö Õ Ñ ÒÓ Ô ØÓÒ ÐÓ Ñ Ù Õ Ñ º ½ Κατάπολλούςόπωςλ.χοι Tartaglia, Borelli, Playfairτούτοςοορισμόςέπρεπεναείναι αξίωμα.κατ άλλους,όπωςοsimson,είναιδυνατόννααποδειχθείωςπρότασηχρησιμοποιώνταςφερ ειπείντηνεναπόθεση,αλλάοευκλείδηςτοαποφεύγειαυτόόπουμπορεί.βλέπουμε ότιδενυπάρχειορισμόςτηςακτίνας,οιαρχαίοιδενχρησιμοποιούσαναυτόντονόρο. Ετσι ακτίναεδώείναιηαπόστασηαπότοκέντρο. ¾ άπτεταιστοαρχαίοκείμενο. Αςπαρατηρήσουμετηδιαφοράτουάπτεται=συναντάκαι εφάπτεται.

º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ÉÇÊ ï Ë ËÉ ÌÁÃïÀ Âï ËÀ ÃïÍÃÄÏÆ º ÛÒ ØÑ Ñ ØÓ Ò Ô Ö Õ Ñ Ò Ô ÔÓ Ù Ô Ö ¹ Ö ÐÓÙº º ÛÒ ØÑ Ñ Ò ÛÒ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ø ÙÒ Ñ Ò ØÑ Ñ Ø Ø Ò ÔÓ Ó Ñ Ó Ð Ô Ø Ô Ö Ö ØÓÙ ØÑ Ñ ØÓ Ó Ù ÙÒ Ó Ò Ô ÙØ ÔÖÓ Ø Ö Ø Ù ÓÔÓ Ò ØÓÙ ØÑ Ñ ØÓº ËÕ Ñ º½ ÛÒ ØÑ Ñ ØÓ Ö Ø Ö µ ÛÒ ØÑ Ñ Ü µº... ½½º ³ÇÑÓ ØÑ Ñ Ø ÐÛÒ Ò Ø Õ Ñ Ò ÛÒ ÙØ Ó ÛÒ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙº º ÐÓ ³ Å ÖÓ ÉÓÖ ÐÛÒ ÐÓ Ø ÑÒ Ñ ÒÓ ÔØ Ñ ÒÓ ÈÖÒ Ü Ò Ñ ØÓ Å ÖÓ Ó Ù Ð Ô Ö Ø ØÓ ÔÖ Ð Ñ ³ ½ ÔÛ Ö Ø ØÓ ÒØÖÓ Ò ÐÓÙº ÌÓ ØÓ Ò Ø Ô Ö Ü ÒÓ Ó Ô ÖÜ ØÓÙ ÒØÖÓÙ Ü ÐÞ Ø ØÓÙ ÇÖ ÑÓ ³ ½ ½ Ò Ñ Ò Ø Ø Ù ØÓÙ ÐÓÙ Ñ Ø Ü ÐÞ ØÓÒ ÔÖÓ ÓÖ Ñ ØÓÙ ÒØÖÓÙº Å ÐÐÓÒ Ô Ö ÙØ Ø ÔÖ Ø Ô Õ Ô Ð Ø Ö Ø ÕÒ º Ò¹ Ø ØÓ Ñ Ò Ò ÖÕ Ó ÛÑ ØÖ Ø ÕÒØ µ Ò Ö Ò ÐÓ ØÓ ÕôÑ ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø Ò ÓÙº ÈÓÙ Ò ØÓ ÒØÖÓ À Ô ÒØ Ò ÓÐ º Ç Ù Ð Ô ÖÒ Ñ ØÙÕ ÕÓÖ Ø Ò Ñ Ó Ø Ø º Ã Ø Ô Ò ÔÓ Ò Ø ØÓ Ñ ÓÒ Ø Ñ Ó ØÓÙ Ò ØÓ ÒØÖÓ ØÓÙ ÐÓÙ Οορισμόςτηςγωνίαςσετμήμααπηχείτηνπαράδοσητηςμεικτήςγωνίας.Σήμεραείναι παντελώςξεπερασμένος. Είναιηγνωστήσεόλουςεγγεγραμμένηγωνία. Δηλαδή,ηχορδή. Προτάσειςα 9και11. Εδώόμωςυπάρχειέναχάσμα: απόπουθενάδενδικαιολογείται ότιημεσοκάθετοςθατέμνειτονκύκλοσεακριβώςδύοσημεία! Τούτοοδήγησετον De

à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ Ñ Ø Ò Ô Û ØÓÔÓº Ò ØÓ ÒØÖÓ Ø Ò ÔÓ Ó ÐÐÓ Ñ Ó ÒØ ØÓÙ ÐÓÙ ØÓ ÒôÒ Ñ Ø Ö Ø ÕÓÖ ØÓ Ñ ÓÒ Ø ÔÓ Ò Ø ÜÛØ Ö ÛÒ ØÓÙ Ò Õ Ñ Ø Þ Ñ ÒÓÙ ØÖ ôòóù Ò Ñ Ø Ò ÛØ Ö ØÓÙ ÐÐÓÙ ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ò ØÓº ËØ Ò ÈÖ Ø ³ ¾ ÔÓ Ò Ø Ø ÕÓÖ Ò ÐÓÙ Ò ØÓ ÛØ Ö ØÓÙ ÐÓÙ Òô Ø Ò ÈÖ Ø ³ ÔÓ Ò Ø Ø Ñ Ñ ØÖÓ ÕÓØÓÑ Ñ ÕÓÖ Ò Ñ ÒÓ Ò Ò Ø ÙØ Òº ÈÖ Ø ³ º Ò Ò ÐÓ Ó Ù ÔÓÙ Ò Ô ÖÒÓ Ò Ô ØÓ ÒØÖÓ Ø ÑÒÓÒØ Ñ Ø Ü ØÓÙ Ø Ø Ò ÕÓØÓÑÓ ÒØ º ³ ØÛ Ó ÐÓ Ñ ³ ÙØ Ò Ó Ù Ó ÔÓÙ Ò Ô ÖÒÓ Ò Ô ØÓ ÒØÖÓ Ø ÑÒÓÒØ Ñ Ø Ü ØÓÙ ØÓ Ð Û Ø Ò ÕÓØÓÑÓ ÒØ º ËÕ Ñ º¾ ÈÖ Ø ³ º Ô Ü º Ø ØÛ Ø Ò ÙÒ Ø Ò Ò ÕÓØÓÑ Ó Ò ô Ø Ò Ò Ñ Ø Ò Ñ Ø Ò Õ Ð ØÓ ÒØÖÓ ØÓÙ ÐÓÙ ØÛ ØÓ ÙÒ º Morganναδώσειμίαεναλλακτικήμέθοδο,αποδεικνύονταςπρώταότιηευθείαπουδιχοτομεί κάθεταμίαχορδήπεριέχειτοκέντροτουκύκλου. Παρ όλααυτά,καιαυτήημέθοδοςέχει προβλήματα γιαλεπτομέρειες,κοιτάξτετον Heath, vol. II,σελ.7 8. Πρότασηγ 1.

º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ÉÇÊ ï Ë ËÉ ÌÁÃïÀ Âï ËÀ ÃïÍÃÄÏÆ Ô ÐÓ Ô Ò ÔÓ Ù ÔÓÙ Ô ÖÒ Ô ØÓ ÒØÖÓ ÕÓØÓÑ ÔÓ Ø Ò Ø ÑÒ ØÛ Ò Ö ÓÖ º È Ð Ô ÔÓ Ù ÕÓØÓÑ ÔÓ Ø Ò Ø ÑÒ ¹ ØÛ Ö Ò ÓÖ º Õ Ø Ò ÓÖ Ö Ò Ñ Ø Ò Ñ Ö Ø Ö Ñ Ø Ò Ñ Ð Ø Ö ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ò ØÓº ³ Ö Ò Ò ÐÓ Ó Ù ÔÓÙ Ò Ô ÖÒÓ Ò Ô ØÓ ÒØÖÓ Ø ÑÒÓÒØ Ñ Ø Ü ØÓÙ Ø Ø Ò ÕÓØÓÑÓ ÒØ Çº º º Ç ÈÖÓØ ³ ½½»½¾ Ò ÙÑ º  ÜÓÙÑ Ñ ÒÓ Ø Ò ÈÖ Ø ³ ½½ ÔÓÙ Ñ Ð ÛØ Ö ÔØ Ñ ÒÓÙ ÐÓÙ Ô Ü Ø ³ ½¾ ÔÓÙ Ñ Ð ÜÛØ Ö ÔØ Ñ ÒÓÙ ÐÓÙ Ò Ô Ö ÔÐ º ÈÖ Ø ³ ½½º Ò Ó ÐÓ ÔØÓÒØ Ñ Ø Ü ØÓÙ ÛØ Ö Ð Ó Ò Ø ÒØÖ ØÓÙ Ø Ø Ù ÔÓÙ ÙÒ Ø ÒØÖ ØÓÙ ÔÖÓ Ø Ò Ñ Ò Ô Ö Ô ØÓ Ñ Ó Ô ØÛÒ ÐÛÒº Ø Ò Ó ÐÓ ÔÓÙ ÔØÓÒØ Ñ Ø Ü ØÓÙ ÛØ Ö ¹ ØÓ Ñ Ó Ð ØÓ ÒØÖÓ ØÓÙ ÐÓÙ ØÓ ÒØÖÓ À ØÓÙ ÐÓÙ º Ä Û Ø Ù ÔÓÙ ÙÒ Ø À ÔÖÓ Ø Ò Ñ Ò Ô ÖÒ Ô ØÓ º ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ½½º Ô Ü º Πρότασηγ 3. Πρότασηγ 1.

à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ Ø Ò Ò Ò ÙÒ Ø Ò ÑÔ ÔÛ À ÙÒ Ó Ò Ó Àº Ô ÐÓ Ô Ò ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ À À Ò Ñ Ð Ø ÖÓ Ô Ø Ò Ð Ô Ø Ò Â ½¼ Ö Ó Ò Àº ³ Ö ÐÓ Ô À Ò Ñ Ð Ø Ö Ø ÐÓ Ô Àº À À Ò Ñ Ø Ò À Ö À Ò Ñ Ð Ø Ö Ô Ø Ò ÀÂ Ð Ñ Ö Ø Ö Ò Ñ Ð Ø Ö Ô Ø Ò Ñ ¹ Ð Ø Ö ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ò ØÓº ³ Ö Ô Ø À ÙÒ Ñ Ò Ù Ò Ô Ö ÜÛØ Ö Ô ØÓÒ Ò ÐÓ ÐÐ ÛØ Ö ØÓÙ ÐÐÓÙµ Ö Ô Ö Ô ØÓ Ó Ò Ñ Ó º ³ Ö Ò Ó ÐÓ ÔØÓÒØ Ñ Ø Ü ØÓÙ ÛØ Ö Ð Ó Ò Ø ÒØÖ ØÓÙ Ø Ø Ù ÔÓÙ ÙÒ Ø ÒØÖ ØÓÙ ÔÖÓ Ø Ò Ñ Ò Ô Ö Ô ØÓ Ñ Ó Ô ØÛÒ ÐÛÒ Çº º º ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ½¾º Ç ÈÖÓØ ³ ½½»½¾ Õ Ò Ò Ö Ñ Ø ÖÑÓ Ø Ò ÖÕ Ø ØÓÒ ØÓÙ Å ÛÒ Ò ÓÙ Ø Ù Ø Ø ØÓÙ Ð Ñ ÒÓÙ ÓØ Ó ÖÙ ÑÓ º ËÕ Ñ º µ ½¼ Πρότασηα 20.

º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ÉÇÊ ï Ë ËÉ ÌÁÃïÀ Âï ËÀ ÃïÍÃÄÏÆ ËÕ Ñ º ÖÑÓ ØÛÒ ÈÖÓØ ÛÒ ³ ½½»½¾ Ø Ò Ñ ÛÒ ÖÕ Ø ØÓ¹ Ò À Ý Ø Ritterstiftskirche ØÓ Wimpfen Ø ÖÑ Ò ½¾ ¼º ËÕ Ð Ø ÈÖÓØ ³ ½½»½¾ ËÕ Ø ¹ ÐÛÒ Ò Ò Ô Ö Ø Ô ØÓÙ Ñ Ð Ø Ø ØÛÒ ËØÓ Õ ÛÒ Ø Ó ÔÓ Ü ØÛÒ ÈÖÓØ ÛÒ ³ ½½»½¾ Ò Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø º ½½ À Ñ Ö Ò ÔÖ Ø ¹ ÔÓÙ ÒØ Ø ÙØ Ø ÈÖÓØ ÐÐ Ü ÓÐÓÙ Ò Þ Ø Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ù Ð ÛÖ Ñ Ø ÙÒ ØÓÒ Ö Ñ Ø Ò Ø Ò ¹ ØÛÒ Ó ÒôÒ Ñ ÛÒ Ó ÐÛÒ Ñ Ø Ò Õ ÔÓÙ Õ Ô Ø ØÛÒ ÒØÖÛÒ ØÓÙ Ñ ØÓ Ñ Ó ØÛÒ ØÒÛÒ ØÓÙº ½¾ ËÙÒÓÐ Ó ÈÖÓØ ³ ½½»½¾ ÒØ Ø ÒØ Ô Ø Ô Ñ Ò ½ ½º Ò Ô Ø ØÛÒ ÒØÖÛÒ Ó ÐÛÒ Ò Ñ Ð Ø Ö Ô ØÓ ¹ ÖÓ Ñ ØÛÒ ØÒÛÒ ØÓÙ Ø Ø Ó ÐÓ Ò ÕÓÙÒ Ó Ò Ñ Ò ÜÛØ Ö Ó Ó Ò ÔÖÓ ØÓÒ ÐÐÓÒº ¾º Ò Ô Ø ØÛÒ ÒØÖÛÒ Ó Ò ÛÒ ÐÛÒ Ò Ñ Ö Ø Ö Ô Ø Ò Ô ÐÙØ Ø Ñ Ø ÓÖ ØÛÒ ØÒÛÒ ØÓÙ Ø Ø Ó ÐÓ Ò ÕÓÙÒ Ó Ò Ñ Ó Ñ Ö Ø ÖÓ ÐÓ Ø ÓÐ Ð ÖÓ ÛØ Ö ØÓÙ Ñ Ð Ø ÖÓÙº º Ò Ô Ø ØÛÒ ÒØÖÛÒ Ó ÐÛÒ Ò Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ØÒÛÒ ØÓÙ Ø Ø Ó ÐÓ ÕÓÙÒ Ò Ó Ò Ñ Ó Ñ ÒÓ ØÓ ÓÔÓÓ Ø Ø Ò ÒØÖÓº Ç ÐÓ Ò ÜÛØ Ö Ó Ó Ò ÔÖÓ ØÓÒ ÐÐÓÒº º Ò Ô Ø ØÛÒ ÒØÖÛÒ Ó Ò ÛÒ ÐÛÒ Ò Ñ Ø ÓÖ ½½ Δείτελ.χ.τον Heath, Vol. II,σελ.24 32. ½¾ Οιρίζεςαυτήςτηςμεθόδουβρίσκονταιστους Veronese, Legendreκαιάλλους. ½ Γιατιςαποδείξεις,κοιτάξτετον Heath, Vol. II,σελ.30 32,ήταβιβλίατηςΓεωμετρίας τουλυκείου.

¼ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ ØÛÒ ØÒÛÒ ØÓÙ Ø Ø Ó ÐÓ ÕÓÙÒ Ò Ó Ò Ñ Ó Ñ ÒÓ ØÓ ÓÔÓÓ Ø Ø Ò ÒØÖÓº Ç Ñ Ö Ø ÖÓ ÐÓ Ø ÛØ Ö ØÓÙ Ñ Ð Ø ÖÓÙº º Ò Ô Ø ØÛÒ ÒØÖÛÒ Ó ÐÛÒ Ò Ñ Ö Ø Ö Ô ØÓ ÖÓ ¹ Ñ Ñ Ð Ø Ö Ô Ø ÓÖ ØÛÒ ØÒÛÒ ØÓÙ Ø Ø ÕÓÙÒ Ó Ó Ò Ñ ÔÓÙ Ö ÓÒØ ÙÑÑ ØÖ Û ÔÖÓ Ø ÒØÖÓ ÐÐ Ò ÒØ ³ ÙØ Òº º ÐÓ ³ Å ÖÓ ÔØ Ñ Ò Ç Ø Ö ÔÖÓØ ÙØ Ø Ô Ö Ö ÓÙ Ò Ñ Ð ô Ø Ò ØÓ ¹ Õ ô ÛÑ ØÖ Ø Ñ Ø Õ Ñ ØÞÓÙÒ Ø Ò Ø ÒÒÓ Ø ÔØÓ¹ Ñ Ò Û Ñ Ö ÑÑ ÔÓÙ ÓÙÑÔ ØÓÒ ÐÓ Ò ÕÖ ØÓ Ö Ð Ó Ñ ØÓ Ò ô ÓÙÒ Ñ ÔÐ Ø Ù Ø ÔØ Ñ Ò À ÔØ Ñ Ò Ò Ø Ø Ò ØÒ ÔÓÙ Ø Ô ØÓ ÒØÖÓ ÔÖÓ ØÓ Ñ Ó Ô º ÈÖ Ø ³ ½ À Ù ÔÓÙ Ö Ø Ø Ô ØÓ ÖÓ Ø Ñ ØÖÓÙ Ò ÐÓÙ Ô Ø ØÓÙ ÐÓÙº à ØÓÒ Ø ÔÓ Ñ Ø Ü Ø Ù Ø Ô Ö Ö Ò ÑÔÓÖ Ò Ô Ö Ñ Ð ½ ÐÐ Ù º Ã Ñ Ò ÛÒ ØÓÙ Ñ Ù ÐÓÙ Ò Ñ Ð Ø Ö Ô ÓÜ Ù Ö ÑÑ ÛÒ ÐÓ Ô Ò Ñ Ö Ø Ö Ô ÓÜ Ù Ö ÑÑ ÛÒ µº ½ ³ ØÛ Ó ÐÓ ÖÛ Ô ØÓ ÒØÖÓ Ñ Ñ ØÖÓ Ð Û Ø Ñ Ò Ô ØÓ ÔÖÓ Ø Ò Ø Ô Ø ØÓÙ ÐÓÙº Ô Ü º Ø Ò Õ Õ Ô ÒØ ØÓÙ ÐÓÙ ÔÛ Õ ÙÒ º Ô Ò Ñ Ø Ò ÛÒ Ò Ñ Ø ÛÒ º ½ À Ò ÓÖ Ö º ³ Ø ØÓ ØÖ ÛÒÓ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ½ ουπαρεμπεσείταιστοαρχαίοκείμενο=δενμπορείναπέσειμεταξύ. ½ Απότηναρχαιότηταήδη,αλλάκαιστοδιάστημααπότον13οέωςτον17οαιώνα,το τελευταίομέροςτηςπρότασηςέγινεαντικείμενοδιαμάχης.ποιεςγωνίεςεννοείοευκλείδης; ΚατάτονΠρόκλο,καιεδώαπηχείταιηπαράδοσητωνμεικτώνγωνιών,τιςοποίεςκατάτ άλλαοευκλείδηςχρησιμοπιείαπόελάχισταέωςκαθόλου.ηγωνίαπουπαρεμβάλλεταιβέβεια δενείναιμεικτή. Στνπρο-Ευκλείδειαεποχή,οΔημόκριτοςείχεγράψειπερίτηςδιαφορής γνώμηςήπερίψαύσεωςκύκλουκαισφαίρης. ½ Πρότασηα 5.

º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ÈÌïÇÅ Æ Ë ½ ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ½ º ÇÖ Ñ Ø ÔØÓÑ Ò º Ó ÛÒ ôò Ò Ó Ñ Ó ÓÖ ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ò ØÓº ½ ³ Ö Ñ Ò Ô ØÓ Ø Ø Ò Ô ÒØ ØÓÙ ÐÓÙº ÇÑÓÛ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÜÓÙÑ Ø ÑÑ Ø ØÓ Ø Ô Ô Ø Ô Ö Ö º ³ Ö Ô ÓÙÒ Ð Ø º Ô ÔÛ º Ä Û Ø ØÓÒ Ø ÔÓ Ñ Ø Ü Ø Ø Ô Ö Ö Â Ò Ô Ö Ñ ÐÐ Ø ÑÑ ÐÐ Ù º Ø Ò Ø Ò ÙÒ Ø Ò Ô Ö Ñ Ð ÔÛ Õ Ô ØÓ Ñ Ó À Ø Ø Ò º ½ Ã Ô À Ò ÓÖ À Ò Ñ Ö Ø Ö Ô ÓÖ Ò Ö Ñ Ð Ø Ö Ô Ø Àº ½ À Ò Ñ Ø Â Ö Â Ò Ñ Ð Ø Ö Ô Ø À Ñ Ö Ø Ö Ô Ø Ñ Ð Ø Ö ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ò ØÓº ³ Ö ØÓÒ Ø ÔÓ Ñ Ø Ü Ø Ù Ø Ô Ö Ö Ò Ô Ö Ñ ÐÐ Ø ÑÑ ÐÐ Ù º Ä Û Ø Ñ Ò ÛÒ ØÓÙ Ñ Ù ÐÓÙ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ò Ù Ø Ò Ô Ö Ö Â Ò Ñ Ð Ø Ö Ô Ù Ö ÑÑ ÓÜ ÛÒ ÐÓ Ô ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ò Ô Ö Ö Â Ø Ò Ù Ò Ñ Ö Ø Ö Ô Ù Ö ÑÑ ÓÜ ÛÒ º Ø Ò ÙÔ ÖÕ Ù Ö ÑÑ ÛÒ Ñ Ð Ø Ö Ô Ø ÛÒ ÔÓÙ Ô Ö ¹ Õ Ø Ô Ø Ò Ù Ø Ò Ô Ö Ö Â Ñ Ö Ø Ö Ô Ø Ò ÛÒ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ò Ô Ö Ö Â Ø Ò Ù ØÓÒ Ø ÔÓ Ñ Ø Ü Ø Ô Ö Ö Â Ø Ù Ô Ö Ñ ÐÐ Ø Ù ÓÔÓ Ò Ø Ò ÛÒ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ø Ù µ Ñ Ð Ø Ö Ñ Ò Ô Ø Ò Ô Ö Õ ¹ Ñ Ò Ô Ø Ò Ù Ø Ò Ô Ö Ö Â Ñ Ö Ø Ö Ô Ø Ò ÛÒ ½ Πρότασηα 17. ½ Πρότασηα 12. ½ Πρότασηα 19.

¾ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ò Ô Ö Ö Â Ø Ò Ù º ÐÐ Ò Ô Ö Ñ ÐÐ Ø º ³ Ö Ò ÙÔ ÖÕ Ù Ö ÑÑ ÓÜ ÛÒ ÔÓÙ Ò Ò Ñ Ð Ø Ö Ô Ø ÛÒ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ò Ù Ø Ò Ô Ö Ö Â Ñ Ö Ø Ö Ô Ø ÛÒ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ò Ô Ö Ö Â Ø Ò Ù º ËÕ Ñ º Ã Ö ØÓ ÛÒ º ËÕÓÐ ÞÓÒØ Ø Ò Ô Ü Ó Ñ Ü Ò Ø Ò Ö ØÓ ¾¼ ÛÒ ÔÓÙ Õ Ñ ØÞ Ø Ô Ø Ò Ù ØÓÒ ÐÓ ØÓ Ñ Ó Ô º Ñ Ø Ó Ù Ð ÔÓ Ò Ø ÛÒ Ñ Ø Ü ØÓÙ ÐÓÙ Ø ÔØÓÑ Ò Ò Ñ Ö Ø Ö Ô Ù Ö ÑÑ ÛÒ º ÌÓ ØÓ Õ Ó Ö ÙÒ Ô Ø Ø Ü ØÛÒ ÛÒ ôò Ò Ð Û ØÓÙ Ñ ¹ ÓÙ ØÓÙº À ÛÒ α ØÓÙ Õ Ñ ØÓ º ÑÔÓÖ Ò ÕÓØÓÑ Ü Ò Ü Ò µ ÐÐ ÔÓØ ÔÖÓ ÔØÓÙ ÛÒ Ò Ò Ñ Ö Ø Ö Ô Ø Ò ¹ Ö ØÓ º Ñ ÕÖÓÒÓÙ ÖÓÙ Ø Ü ÙØ ØÛÒ ÛÒ ôò ØÛÒ Ñ ØôÒ ÙÑÔ Ö Ð Ñ ÒÓÑ ÒÛÒµ Ò Ñ ÖÕ Ñ º ¾½ Ç Ù Ð Ø Ò Ò Ñ ÖÓ Ø Ø Ø Ø ÐÐ Ô Ö ÔØô ÔÓ Ð Ñ ¹ ÖÕ Ñ Ø Ü º ËØÓÒ ÇÖ Ñ ³ Ñ Ð Ñ Ò Ø Ò ÔÓÐÐ ÔÐ ØÓ Ò Ò Ü Ô Ö ÓÙÒ ØÓ Ò ØÓ ÐÐÓ Ø Ò ÈÖ Ø ³ ½ Õ Ö ô Ø Ò Ø Ø Ø ³ ½ ÕÒ Ñ Ø Ó ØÓÙ ÓÖ ÑÓ ³ Ø Ø ÓÕ Ñ Ø Ð ÒÓÙÒ Ñ Ö Ø Ö Ô ØÓ Ø ÖÓ Ñ Óº Ç ÖÕ Ñ Ó Ñ ¹ ÖÕ Ñ Ø Ü Ø Ò ÒÛ Ø Ø Ô ÖÔÓÙ ÕÖ Ò ÔÖ Ò ØÓÒ ÖÕ Ñ º È Ö Ñ º ¾¼ ΟόροςοφείλεταιστονΠρόκλο. ¾½ Αςείναι xηγωνίαμεταξύτουκύκλουκαιτηςεφαπτομένηςκαι yμίατυχαίαευθύγραμμη γωνία. ΟΕυκλείδηςαπλάμαςλέγειότιγιακάθεφυσικόαριθμό n,το nx < yδηλαδήτο x είναιαπειροστόωςπροςτο y. Ενασύνολοπουέχειμίααλγεβρικήδομήκαιμίαδιάταξηκατά τηνοποίαυπάρχουν x, yμετο xναείναιαπειροστόωςπροςτο yκαλείταιμη-αρχιμήδειο.

º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ÈÌïÇÅ Æ Ë Ô ØÓ ØÓ Ò Ò Ö Ø Ù ÔÓÙ Ø Ø Ô Ø Ö Ñ Ñ ØÖÓÙ ÐÓÙ ÔØ Ø ØÓÒ ÐÓ Ø Ù ÔØ Ø Ò Ñ ÒÓ Ñ Ó Ô Õ Ø Ù ÔÓÙ Ø ÑÒ ØÓÒ ÐÓ Ó Ñ Ô Ø ÒØ ØÓÙ ÐÓÙº ¾¾ º Ǻ º º Ç ÈÖÓØ ³ ½»½ Ò Ñ Ö µ ÒØ ØÖÓ ØÓÙ ÈÓÖ Ñ ØÓº À ÈÖ ¹ Ø ³ ½ Ò Ó Ò ÖÓÒØÓ Ð Û Ø ØÙÔ Ø ÕÖ Ø Ùѹ Ñ ØÖ Ò Ñ Ñ Ø Ô Õ Ö Ñ º ÈÖ Ø ³ ½ º Æ Õ ÔØÓÑ Ò ØÓÙ ÐÓÙ Ô Ó Ò Ñ Ó ØÓÙº ³ ØÛ ØÓ Ó Ò Ñ Ó Ó Ó ÐÓº ÈÖ Ô Ò Õ Ô ØÓ ÔØÓÑ Ò ØÓÙ ÐÓÙ º ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ½ º Ô Ü º Ø Õ Ð ØÓ ÒØÖÓ ØÓÙ ÐÓÙ ¾ Õ ÙÒ º Ã Õ Ö Ó ÐÓ À Ñ ÒØÖÓ Ø Ñ ¾ º Ã Õ Õ Ø Ø Ò Ô ØÓ ¾ ÕÓÙÒ ÙÒ Ó º Ä Û Ø ÔØÓÑ Ò Ô ØÓ ØÓÒ ÐÓ Õ Õ º ¾¾ Πρότασηγ 2. ¾ Πρότασηγ 1. ¾ διάστημα=ακτίνα. ¾ Πρότασηα 11.

à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ Ø Ô ØÓ Ò ÒØÖÓ ØÛÒ ÐÛÒ À Ö Ò Ñ Ø Ò Ñ Ø Ò º ³ Ø Ó Ó Ù Ò Ñ Ø Ó Ù Ô Ö ÕÓÙÒ Ó Ò ÛÒ º ¾ º ³ Ö Ò Ñ Ø ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ò Ó Ñ ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ó ÐÓ Ô ÛÒ Ò Ñ Ø ÐÓ Ô ÛÒ º ¾ ³ Ö ÛÒ Ò Ñ Ø ÛÒ º À Ò ÓÖ Ö ÓÖ º Ã Ò Ô ØÓ ÒØÖÓ ¾ º à ٠ÔÓÙ Ø Ø Ô ØÓ ÖÓ Ø Ñ ØÖÓÙ ÔØ Ø ØÓÒ ÐÓ ¾ Ö ÔØ Ø ØÓÒ ÐÓ º ³ Ö Ô ØÓ Ó Ò Ñ Ó ØÓÙ ÐÓÙ Õ ÔØÓÑ Ò Ù Çº ºÈº Ù ØÓ Ñ Ñ Ø Ô Ü Ò Ó ÔÖÓ ØÓ ØÖ ÔÓ Ñ ØÓÒ ÓÔÓÓ ÔØÓÑ Ò ÔÓÙ Ø Ò ÔÖôØ Ñ Ø Ò ÕÒ Ò Õ Õ Ñ ØÓ ÔÖ Ð Ñ ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ò Ô Ö Õ Þ ØÓ Ñ Ò ÔØÓÑ Ò ØÓ ØÓ Ò Ø Ò Ø Ù ÓÑÝÓØ ÕÒ Ñ º À Ø Ù ÕÒ Ô Ø Ô Ó Ò Ñ Ó Ø ÐÓÙµ ÑÔÓÖÓ Ò Ò Õ Ó Ò Ó ÔØ Ñ Ò ØÓÒ ÐÓº Ò Ô Ò Ö Ø ØÓ Ø Ó ÔØ Ñ Ò Ò Ø Ó ÛÒ Ñ ÔÐ ÙÖ Ø ÔØ Ñ Ò Ø Ò Ù ÔÓÙ ÙÒ ØÓ Ó Ò Ñ Ó Ñ ØÓ ÒØÖÓ Ò Ô º ¼ Ç Ù¹ Ð Ô Ö Ð Ô Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ ØÓ Ó Ò Ñ Ó Ö Ø Ô ÒÛ Ø Ò Ô Ö Ö ÔÖÓ Òô Ð Û Ø Ð ÔØÓÑ ÖÓ Ò ÐÙ Ø ÈÖ Ø ³ ½ º Ô Ö Ø Ö ÓÙÑ Ø ÐÓ Ø Ò Ü Ö Ñ Ø Ö ÑÑ Ò Ñ Ð Ó ÛÒ Ò ÓÖ ÈÖ Ø ³ ½ Ô Ö ØÛµ ÔÐô Õ Ñ Ò Ö ÝÓÙÑ ÐÓ Ñ ØÖÓÙ ØÓ ØÓ Ø ÑÒ ØÓÒ Ó ÒØ ÐÓ Ø Ó Ñ Ô º º ÐÓ ³ Å ÖÓ ½ ÛÒ ØÑ ¹ Ñ Ø ÐÛÒ ³Á Û Ó Ø Ö Ô Ó Ñ ÒØ ÔÖÓØ ØÛÒ ËØÓ Õ ÛÒ Ò Ó Ô Ö ØÛ ½º À ÈÖ Ø ³ ¾ Ô Ö ØÓÙ ÖÓ Ñ ØÓ ÛÒ ôò ØÖ ôòóù ¾ ΜεκορυφήτοΕ. ¾ Πρότασηα 4. ¾ δηλαδήακτίνα. ¾ Πρότασηγ 16. ¼ Ταπαραπάνωδείχθηκαναπότον ΗρωνατονΑλεξανδρέα.

º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ½ ÏÆïÁ Ë Ë ÌÅïÀÅ Ì ¾º ÈÖ Ø ³ ØÓ ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ µ º ÈÖ Ø ³ ¾½ Ô Ö ØÓÙ Ò ÐÐÓ ôøóù ØÛÒ ÛÒ ôò ØÑ Ñ º ÈÖ Ø Ø³ ¾ Ô Ö ØÛÒ Ò ÐÓ ôò ØÛÒ ÔÐ ÙÖôÒ ÓÑÓÛÒ ØÖ ôòûòº À ÈÖ Ø ³ ¾¼ Ñ ØÓ ÓØ Ñ Ò ÖÕ ØÓ ÐÓ ³º ÈÖ Ø ³ ¾¼º Ë Ò ÐÓ ÛÒ ØÓ ÒØÖÓ ½ Ò ÔÐ Ø ÛÒ Ø Ò Ô Ö ¹ Ö Ø Ò Ó ÛÒ ÕÓÙÒ Ø Ò Ô Ö Ö º ¾ ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ¾¼º Ô ÒØÖ Ö ÑÑ Ò ÛÒ º Ô Ü º ÉÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ ÕÖÓÒÓ ÙÑ ÓÐ Ñ ÙÒØÓÑ ÐÐ Ø Ø³ ÐÐ ÓÐÓÙ Ó Ñ Ø Ð ÔØô ØÓÒ Ù Ð º ³ ØÛ α = Ñ ØÓ Ø ÜÓ º ÌÓ Ò ØÓ ÒØÖÓ ØÓÙ ÐÓÙº Ø Ò ÔÖôØ Ô ÖÔØÛ Ò ØÓ ØÓ ÛØ Ö Ø αº À ÔÖÓ Ø Ò Ø ØÓ º Ì Ø ØÓ Ò Ó Ð Ö ÜÛØ Ö ÛÒ ǫ = = 2 2βº ³ÇÑÓ η = = 2 2γº ³ Ö µ = = ǫ + η = 2(β + γ) = 2αº À Ô ÖÔØÛ ØÓÙ Ñ ÓÙ ÒØ Ñ ØÛÔÞ Ø Ô Ö ÑÓ Ñ Ø ÓÖ Ø ÖÓ ÒØ ÒØ Ò ÔÖÓ Ø ÒØ Ó ÛÒ º À ÈÖ Ø ³ ¾½ Ò Ñ Ó Ô Ö Ñ Ø ³ ¾¼ ½ =ηεπίκεντρηγωνία. ¾ Μεάλλαλογιαηεπίκεντρηγωνίαενόςτόξουείναιδιπλάσιατηςεγγεγραμμένηςστοίδιο τόξο.

à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ ÈÖ Ø ³ ¾½º Ë Ò ÐÓ Ó ÛÒ ØÓ Ó ØÑ Ñ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙº ËÕ Ñ º½¼ ÈÖ Ø ³ ¾½º Ç Ö ÑÑ Ò ØÓ Ó Ø ÜÓ Ò º À ÔÖôØ ÓÙ Ø ÖÑÓ Ø ÈÖ Ø ³ ¾½ Ò Ô Ö ØÛº ÈÖ Ø ³ ¾¾º ËØ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖ ÒØ ÐÛÒ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ô Ò ÒØ ÛÒ ôò Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º ³ ØÛ Ó ÐÓ Ñ ³ ÙØ Ò ØÛ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖÓ ØÓ Ð Û Ø ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ô Ò ÒØ ÛÒ ôò Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º Ô Ü º ÕÓÙÒ ÙÒ Ó º Ô ØÖ ÛÒÓ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ØÖ ôò ÛÒ ôò ØÓÙ Ò Ó Ñ Ó ÓÖ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ØÖ ôò ÛÒ ôò Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º À Ñ Ò Ò Ñ Ø Ò Ò ØÓ Ó ØÑ Ñ Ò Ñ Ø Ò Ò ØÓ Ó ØÑ Ñ º ³ Ö Ð Ò Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ º ÈÖÓ Ø Ø Ø Ó º ³ Ö ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ º ÐÐ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º ³ Ö ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ò Ó Ñ Ó =εγγεγραμμένατετράπλευρα. Πρότασηα 32. Πρότασηγ 21.

º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ¾ ÉÇÊ ï Ë ÌïÇ Ã Á ÏÆïÁ Ë ËÕ Ñ º½½ ÈÖ Ø ³ ¾¾º Ö ÑÑ ÒÓ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖÓ Ç Ô Ò ÒØ ÛÒ ÕÓÙÒ ÖÓ Ñ Ó ÓÖ º ÓÖ º ³ÇÑÓ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÜÓÙÑ Ø ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ÛÒ ôò Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º ³ Ö Ø Ø ØÖ ÔÐ ÙÖ ÒØ ÐÛÒ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ô Ò ÒØ ÛÒ ôò Ò Ó Ñ Ó ÓÖ Çº º º º ÐÓ ³ Å ÖÓ ¾ ÉÓÖ Ø Ü ÛÒ Ë ØÓ Ø Ø Ô Ö Ö Ó ØÓÙ ÐÓÙ ³ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ø ÒÓÒØ Ñ Ò Ø ÕÒ ØÖ ÔÓ Ò Ø Ö Ø Ø Ô Ö ÑÓ Ñ Ø ÔÖÓØ Ô Ö Ñ ôò Ô Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑÛÒ ØÖ ôòûò ØÓ ÐÓ ³ ¹ º À Ø Ø ØÛÒ ÛÒ ôò Ñ Ø Ö Ø Ô ØÓ Ó ØÑ Ñ ØÑ Ñ Ø ÛÒ ÐÛÒ ÑÓ Ø ÕÓÖ Ø Ø Ü Ø Ü ÓÖÞÓÙÒ ÕÓÖ ÒØ ØÖ Û ØÓ Ó Õ Ø ÛÒ Ø Ø Ü º ³ÇÐ ÙØ Ö ÓÙÒ ÖÑÓ ØÓ ÐÓ ³º º ÐÓ ³ Å ÖÓ È Ö Ø Ö Ô Ö ÛÒ ôò ÐÓÙ ËØÓ Å ÖÓ ½ Ó Ö Ô Ö ÔØô Ò Ñ Ð Ø Òº À ÔÖôØ Ò ÙØ Ø ÛÒ Ñ Ð Óº À Ñ ØÖÓ Ò ÐÓÙ Ò Ñ Ù Ö ÑÑ

à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ ØÓÒ Ù Ð ÙØ Ò ÓÖÞ ÛÒ ½ ¼ ÑÓ ÖôÒ Ó ÓÖ ôòµ ØÓ ÒØÖÓº ÈÖ Ø ³ ½º Ë Ò ÐÓ ÛÒ Ñ Ð Ó Ò ÓÖ º º º ËÕ Ñ º½¾ ÈÖ Ø ³ ½º À Ö ÑÑ Ò Ñ ØÖÓ Ò ÓÖ º À Ô Ü Ò Ô Ð ÕÖ Ó ÐôÒ ØÖ ôòûò Ô Ö Ð ÔØ Õ Û Ü À ÜÛØ Ö ÛÒ Ò Ñ ØÓ ÖÓ Ñ + Ö Ó + = + ÔÖÓ ÔØ Ø Ò ÓÖ º ÈÖ Ø ³ ¾º Ò ÔÓ Ù ÔØ Ø ÐÓ Ô ØÓ Ñ Ó Ô Õ Ù ÔÓÙ Ø ÑÒ ØÓÒ ÐÓ Ó ÛÒ ÔÓÙ Õ Ñ ØÞ Ñ Ø Ò ÔØÓÑ Ò Ò Ñ Ø ÛÒ Ø Ò ÐÐ Ü ØÑ Ñ Ø ØÓÙ ÐÓÙº Ø Ò Ù EF ÔØ Ø ØÓÒ ÐÓ ABCD ØÓ Ñ Ó B Ô ØÓ B Õ Ù BD ÔÓÙ Ø ÑÒ ØÓÒ ÐÓ Ð Û Ø Ó ÛÒ ÔÓÙ Õ Ñ ØÞ BD Ñ Ø Ò ÔØÓÑ Ò EF Ò Ñ Ø ÛÒ Ø Ò ÐÐ Ü ØÑ Ñ Ø ØÓÙ ÐÓÙ Ð ÛÒ FBD Ò Ñ Ø ÛÒ BAD ÛÒ EBD Ò Ñ Ø ÛÒ DCBº ΤοθεώρημααυτόαποδίδεταιστονΘαλή. ΕχειειπωθείπροηγουμένωςότιείναιάμεσηαπόρροιατηςΠρότασηςγ 20,αναυτήεπεκταθείώστεναπεριέχειτηνπερίπτωσηείναι μικρότεροήίσοτουημικυκλίου,δηλαδήηγωνίαστοκέντροείναιίσημεδύοορθές. ΥπάρχουνενδείξειςσταΜετάταΦυσικάτουΑριστοτέλη,ότιυπήρχεδιαφορετικήαπόδειξητου αποτελέσματοςαυτούγνωστήςστουςπρο-ευκλείδειουςχρόνους. Ηπρότασηπεριέχεικαιάλλααποτελέσματαπουαφορούνγωνίεςτμημάτωνκαιγωνίες σετμήμταμεγαλύτεραήμικρότεραημικυκλίων.

º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ÏÆïÁ Ë Ë ÃïÍÃÄÇÍË Æï ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ ¾º  ôö Ñ ÛÒ ÕÓÖ ÔØÓÑ Ò º Ô Ü º  ÐÓÙÑ Ò ÜÓÙÑ Ø φ = FBD = BAD = α ψ = EBD = DCB = γº Ò Ò ØÓ Ò ØÙÕ Ó Ñ Ó ØÓÒ ÐÓ ÐÐ Ð Û ØÓÙ Ò ÐÐÓ ôøóù Ø ÛÒ BAD ÑÔ ÓÖÓ Ñ Ò ÙÔÓ ÓÙÑ Ø BA Ò Ñ ØÖÓº  ØÓÙÑ Ô β = ABCº À ADB Ò ÓÖ Ö ØÓ ÖÓ Ñ α+β Ò Ó Ñ ÓÖ º ÐÐ Ô β +φ Ò Ñ ÓÖ Ø α = φº Ô γ = π α = π φ = ψº ¼ Ç Ô Ñ Ò Ó ÔÖÓØ Ò Ô Ö ÐÐ Ø ³ ¾ ÔÓÙ Ò ÕÖ Ñ Ø Ñ ÓÙÖ Ó Ò Ø Ø Ø ÐÐ Ð Ø Ò ÖÑÓ Ø ³ ¾½º ÈÖ Ø ³ º Æ Ö Ó Ù ØÑ Ñ ÐÓÙ ÔÓÙ Õ Ø ÛÒ Ñ Ù¹ Ö ÑÑ ÛÒ º ÈÖ Ø ³ º Ô Ó ÒØ ÐÓ Ò Ö ØÑ Ñ ÔÓÙ Õ Ø ÛÒ Ñ Ó Ù Ö ÑÑ ÛÒ º ³ ØÛ Ó Ó ÐÓ Ó Ù Ö ÑÑ ÛÒ Þ Ø Ø Ò Ö ØÑ Ñ ÐÓÙ ÔÓÙ Õ Ø ÛÒ Ñ Ø Ò Ù Ö ÑÑ ÛÒ º Πρότασηγ 31 Πρότασηα 32. ¼ Πρότασηγ 22.

¼ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ º ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ º Ô Ü º Õ Ô ØÓ ÔØÓÑ Ò º Ã Õ Ø Ù Ø Ô ÒÛ ØÓ ÛÒ Ñ Ø Ò º ½ Ô ÐÓ Ô Ò Ù ÔØ Ø ØÓÒ ÐÓ Ô ØÓ Ñ Ó Ô ÖÕ Ø ÛÒ Ò Ö Ñ Ø Ò ÛÒ ÔÓÙ Ø ¹ Ù Ø ØÓ Ò ÐÐ Ü ØÑ Ñ º ÐÐ Ò Ñ Ø Ò Ö ÛÒ ØÓ ØÑ Ñ Ò Ñ Ø Ò º ³ Ö Ô ØÓÒ Ó ÒØ ÐÓ Ö ØÓ ÔÓÙ Õ Ø ÛÒ Ñ Ø Ó Ù Ö ÑÑ ÛÒ º Ǻ ºÈº ¾ º ÐÓ ³ Å ÖÓ ÌÓÑ ÕÓÖ ôò Ø ¹ ÑÒÓÙ ôò ÔØÓÑ ÒÛÒ ËØ Ñ Ö Ò ÛÑ ØÖ ØÓÙ ÐÙ ÓÙ Ó Ø Ð ÙØ ØÖ ÔÖÓØ ØÓÙ ÐÓÙ ³ Ø ÒØ ÒØ ØÓÙ ÔÐ ÓÙ Ø ÛÖ Ø ÓÑÓ Ø Ø ÔÓÙ Ó ÔÓ Ü ½ Πρότασηα 23. ¾ Μίαεναλλακτικήκατασκευήεδώθαήταννακατασκευάσουμεμίαεπίκεντρηγωνίαδιπλάσιατηςδοθείσας ανηδοθείσαείναιορθή,χρειάζεταιμόνοναφέρουμετηνδιάμετροτου κύκλου.

º º Á ÄïÁÇ ïåï ÊÇË ÉÇÊ ï Ë Ìï ÅÆÇÍË Ë ÈÌïÇÅ Æ Ë ½ ØÓÙ Ò ÓÐ º Ë ÙØ ØÓ Ø Ó Ó Ù Ð Ò ÑÔÓÖ Ò ÕÖ ÑÓ¹ ÔÓ Ò ÐÓ ÙØ ØÓ Ð Ó Ô ÖÔÐÓ Ñ ÖÓ Ð ÔÓ Ü º È ÔÐ Ñ Ò Ø ÈÖÓØ ³» Ò Ø Ù Ø Ò ÐÐÓ ôøóù ÔÓÙ Ð Ø Ñ Ö Ò Ñ Ñ ÓÙ Û ÔÖÓ ÐÓ ÓÔÓ Õ Ô Ü Ñ Ò¹ Ø Ö ÐÓ Ø Ò ØÓÖ Ø ÛÑ ØÖ º ÈÖ Ø ³ º Ò Ó Ù Ø ÑÒÓÒØ ÐÓ ØÓ Ô Ö Õ Ñ ÒÓ Ô Ø ØÑ Ñ Ø Ø Ñ ÓÖ Ó ôò Ó Ó Ø Ñ ØÓ Ô Ö Õ Ñ ÒÓ ÓÖ Ó ôò Ó Ô Ø ØÑ Ñ Ø Ø Ð¹ Ð º ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ º ÈÖ Ø ³ º Ò Ð ÔÓ Ó Ñ Ó Ø ØÓÙ ÐÓÙ ØÓÒ ÐÓ Ô ØÓÙÒ Ó Ù Ñ Ø ÑÒÓÙ ÐÐ ÔØÓÑ Ò Ø Ø ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ÔÓÙ Ô Ö ¹ Õ Ø Ô Ð Ø Ò Ø ÑÒÓÙ ØÓ ØÑ Ñ Ø Ø ØÓÙ ÐÓÙ Ñ Ø Ü ØÓÙ Ñ ÓÙ Ø ÙÖØ Ô Ö Ö Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø ÔØÓÑ ¹ Ò º ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ º  ÛÖ Ñ Ì ÑÒÓÙ ÔØÓÑ Ò 2 = º ΗΠρότασηαυτήείναιτογνωστόΘεώρημαΤέμνουσαςκαιΕφαπτομένης.

¾ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ Ü Ò Ô Ö ÓÙÑ Ø Ò Ô Ö Ô ÒÛ ÈÖ Ø ô Ø Ò ÙÑÔ Ö Ð Ñ Ò Ø Ò ÒØ ØÖÓ Ø ÈÖ Ø ³ Ø ØÓ Õ Ñ º½ ÔØÓÑ Ò Ò Ñ ÒÓ Ò 2 = º  ÜÓÙÑ Ñ ÒÓ ØÓ Ù ØÓ ÒØ ØÖÓ Ó Ò Õ Ø ÖÓ Ò ÖÓÒº Ô Ü Ñ Ø Ò ÕÖ ÓÑÓ Ø Ø º  ÛÖÓ Ñ Ø ØÖ ÛÒ Ø ÓÔÓ ÕÓÙÒ Ó Ò Ø Ò º Ò Ò ÔØÓÑ Ò Ø Ø Ô Ø Ò ³ ¾ Ò º Ô Ø Ò ³ ¾ Ó ÒØ ØÓ Õ ÐÓ Ô ÛÒ Ò Ø ØÖ ÛÒ Ò Ó ôò º ³ Ö : 2 = º À Ô Ü ØÓÙ Ù Ð º Ç Ù Ð ÛÖ ÔÖôØ Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ Ô ÖÒ Ô ØÓ ÒØÖÓº È Ö Ð ÔÓÙÑ ÙØ Ø Ò Ô ÖÔØÛ Ø Ó Ñ Ó Ó ÔÓÙ ÓÐÓÙ Ó ÒØ Ò Ô ÒÓÑÓ ØÙÔ Ñ ÙØ Ø Ò Ô ÖÔØÛ º ³ ØÛ Ø Ø Ò ÙÒ ÓÒØ Ó º ËØ Ò Ù ÕÓÙÑ Ø Ò Ø Ø Ø ³ 2 2 º ÌôÖ ØÖ ÖÑÓ ØÓ٠Ⱥ º Ó Ó Òº Ô Ø Ù 2 2 2 2 2 2 º ³ Ö 2 2 Ô Πρότασηστ 4. Πρότασηστ 16. Τούτηηπερίπτωσηείναιαυτόπουστιςμέρεςμαςονομάζουμεοριακή. ΟΕυκλείδης, όπωςκαιόλοιοι Ελληνεςγεωμέτρεςάλλωστε,δενεπιτρέπειστονεαυτότουνασυνάγει τηναλήθειατηςοριακήςπερίπτωσηςκατευθείαναπότηνγενικήπερίπτωσηπουτηνπεριέχει, αλλάδίδειξεχωριστήαπόδειξη.

º º Á ÄïÁÇ ïåï ÊÇË ÉÇÊ ï Ë Ìï ÅÆÇÍË Ë ÈÌïÇÅ Æ Ë 2 2 º ÌôÖ Ô Ò ÔØÓÑ Ò 2 2 2 º ÒØ ØôÒØ ÖôÒØ ØÓ 2 Ô Ö Ô ÒÛ 2 º ÔÖôØ Ý Û Ô Ü ØÓÙ Ù Ð ÕÒ Ô Ó Ô ÖÔÐÓ Ô Ø Ò Ô Ü Ñ Ø Ò ÕÖ ÓÑÓ Ø Ø º È Ö ØÓ ØÓ Ø Ð ÙØ ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ò ÈÖ Ø Ø³ Ø Ò Ø³ ½ Ó ÓÔÓ ÕÖ ÞÓÒØ Ø ÒÒÓ Ù ÓÐ Ø ¹ Ö Ñ Ð ØÓÙ ÐÓÙ ³º ËÙÒÓÐ ÐÓ Ô Ò Ô Ü ØÓÙ Ù Ð Ò ÔÐÓ Ø Ö Ò Ø ÕÒ ÔÓÐ ÔÐÓ º

à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ