Κφάλαιο : Μτάδοση θρμότητας μ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ Συντλστής όψως Στο προηγούμνο κφάλαιο μλτήσαμ κυρίως τις ιδιότητς ακτινοβολίας που κπέμπται, απορροφάται και αντανακλάται από μία πιφάνια Τώρα ξτάζουμ την ανταλλαγή ακτινοβολίας ανάμσα σ δύο ή πρισσότρς πιφάνις Εξαρτάται από τις ιδιότητς και την θρμοκρασία των πιφανιών αλλά και από την γωμτρία τους όπως και από τον μταξύ τους προσανατολισμό Εξτάζονται πριπτώσις όπου το μέσο που βρίσκται ανάμσα στις πιφάνις δν κπέμπι, απορροφά ή σκδάζι την ακτινοβολία (nonparticipating medium και πομένως δν πιδρά στην μταφορά ακτινοβολίας μταξύ των πιφανιών Οι συνθήκς αυτές ισχύουν απόλυτα όταν υπάρχι κνό και προσγγιστικά στην πρίπτωση των πρισσοτέρων αρίων Στο πλαίσιο αυτό ίναι απαραίτητο να προσδιορίσουμ γωμτρικά χαρακτηριστικά στη μλέτη ανταλλαγής ακτινοβολίας ανάμσα σ πιφάνις ισάγοντας τον ορισμό του συντλστή όψως (view factor, configuration factor, form factor or shape factor Συντλστής όψως ή για λόγους συντομίας απλώς μ ίναι ο λόγος της ακτινοβολίας που απομακρύνται από την πιφάνια και προσπίπτι στην πιφάνια προς την συνολική ακτινοβολία που απομακρύνται από την πιφάνια Αντίστοιχα, ή ίναι το κλάσμα της ακτινοβολίας που απομακρύνται από την πιφάνια και προσπίπτι στην πιφάνια Πρόκιται για καθαρά γωμτρική ποσότητα που δν ξαρτάται από τη θρμοκρασία ή τις ιδιότητς των πιφανιών Έστω δύο πιφάνις και οι οποίς ίναι προσανατολισμένς τυχαία η μία προς την άλλη όπως φαίνται στο Σχήμα Σ κάθ πιφάνια ορίζται η στοιχιώδης η διαφορική πιφάνια d και d οι οποίς απέχουν μταξύ τους απόσταση μήκους S Οι γωνίς θ και θ ορίζονται ως οι γωνίς που σχηματίζονται ανάμσα στην υθία που συνδέι τις διαφορικές πιφάνις και τα μοναδιαία διανύσματα n και n που ίναι κάθτα στις πιφάνις d και d Από τον ορισμό της έντασης της ακτινοβολίας προκύπτι ότι η ισχύς ακτινοβολίας που απομακρύνται από την d και προσπίπτι στην d ίναι dq I cosq d d ω d d e+ r,, όπου cosθd dω S dq I cosq cosq d d d d S e+ r,
Σχήμα : Ανταλλαγή ακτινοβολίας ανάμσα στις πιφάνις και Υποθέτοντας ότι η πιφάνια κπέμπι και αντανακλά διαχυτικά τότ προκύπτι ότι dq J cosq cosq d d π S I J π d d (* όπου / e+ r, Σημιώνται ότι η ολική ακτινοβόλος ισχύς J (radiosity δίδται από το ολοκλήρωμα ππ/ 0 0 0 ( J I,, cos sin d d d λθ, e+ r λθϕ θ θ θ ϕ λ Εάν η πιφάνια κπέμπι και αντανακλά διαχυτικά τότ Iλθ, e+ r( λθϕ,, Iλ, e+ r( λ και J ( λ πi ( λ J I λ λ,e+ r ή π e + r Τονίζται ότι το J (όπως και το E σχτίζται μ τη πραγματική πιφάνια νώ το I μ την πιφάνια προβολής Μ βάση τον ορισμό του συντλστή όψως προκύπτι ότι dq d d cosq cosq cosq dd d d d ω J d πs π Φαίνται λοιπόν ότι ο διαφορικός συντλστής όψως ξαρτάται μόνο από το μέγθος της πιφάνιας d και τον προσανατολισμό της σ σχέση μ την πιφάνια d
Εύκολα αποδικνύται ότι d d dq d d d J d cosqcosqd π S και πομένως d d (** d d d d Ολοκληρώνοντας ως προς την πιφάνια για να βρούμ τη νέργια που φθάνι σ όλη την πιφάνια και διαιρώντας μ την ολική νέργια που φύγι από την d έχουμ dqd d cosq cosq d d d d d Jd π S όπου τα όρια της ολοκλήρωσης προς την πιφάνια κτίνονται μόνο στο τμήμα που φαίνται από την d Επίσης από τον κανόνα της αμοιβαιότητας d d dd d Η ισχύς ακτινοβολίας που απομακρύνται από όλη την πιφάνια και προσπίπτι σ όλη την πιφάνια προκύπτι ολοκληρώνοντας τη σχέση (* ως προς τις πιφάνις, δηλαδή cosq cosq q J d d π S και μ βάση τον ορισμό τον ορισμό του συντλστή όψως προκύπτι ότι J cosθ cosθ d d J π S cosθ cosθ d d d d π S Ομοίως cosθ cosθ d d π S (***και (** Οι σχέσις (** για τις πιφάνις και, όπως και τις στοιχιώδις πιφάνις d και d ίναι γνωστές ως ο κανόνας της αμοιβαιότητας (reciprocity rule
Ένας άλλος σημαντικός κανόνας στη πρίπτωση κλιστών κοιλοτήτων που αποτλούνται από i,,, πιφάνις ίναι ο κανόνας του αθροίσματος (summation rule που ισχύι για κάθ μία από τις πιφάνις της κοιλότητας: i, i,,, Άρα σ μία κοιλότητα μ i,,, πιφάνις ορίζονται άγνωστοι συντλστές όψως και απαιτίται αντίστοιχος αριθμός ξισώσων Λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνς της αμοιβαιότητας και του αθροίσματος ο αριθμός των αγνώστων συντλστών όψως μιώνται σημαντικά Συγκκριμένα, από τον κανόνα της αμοιβαιότητας ορίζονται ( / ξισώσις και ξισώσις από τον κανόνα του αθροίσματος Επομένως ο αριθμός των ξισώσων που πρέπι να αγνώστων συντλστών μιώνται σ ( ( / / / / Σ πίπδς και κυρτές (convex πιφάνις i i 0 το οποίο βέβαια δν ισχύι για κοίλς (concave πιφάνις όπου > 0 Παραδίγματα όπου δν απαιτίται υπολογισμός ολοκληρωμάτων Να βρθούν οι συντλστές όψως στις παρακάτω διατάξις: i i Παράδιγμα : Ομόκντροι κύλινδροι μ την αξονική απόσταση ανάμσα στις βάσις να τίνι στο άπιρο (Σχήμα α + και 0 + και Παράδιγμα : Κύλινδρος μ ακτίνς βάσων r r r και ύψους L (Σχήμα β Ν ξισώσις από τον κανόνα αθροίσματος: + + + + + + Ν(Ν-/ ξισώσις από τον κανόνα αμοιβαιότητας: Συμπληρωματικές σχέσις συγκκριμένης διάταξης: 0, 0 Έχουμ 9 αγνώστους μ 8 ξισώσις και πομένως ένας συντλστής θα προκύψι από την βιβλιογραφία: S S r r /, + R S +, R R r / L, R r / L
Παράδιγμα : Τρίγωνο μ πλυρές L, L, L (Σχήμα γ Κανόνας αθροίσματος: +, +, + Κανόνας αμοιβαιότητας:,, Επιλύουμ το σύστημα των 6 ξισώσων μ τους 6 άγνωστους και βρίσκουμ: L + L L L + L L L + L L, L L + L L L+ L L L+ L L,, L L L, L L Σχήμα : Ομόκντροι κύκλοι (αριστρά, κύλινδρος (μέση και τρίγωνο (δξιά Σ πιο σύνθτς γωμτρίς για τον υπολογισμό των συντλστών όψως ίναι απαραίτητη η αριθμητική πίλυση των διπλών ολοκληρωμάτων (*** Τα ολοκληρώματα αυτά έχουν υπολογισθί για διάφορς γωμτρίς και οι αντίστοιχοι συντλστές όψως βρίσκονται στη βιβλιογραφία (Σχήματα και αντίστοιχα σχήματα 5-8 και πίνακς και στο βιβλίο των Cengel και Ghaar Σχήμα : Συντλστής όψως για υθυγραμμισμένα παράλληλα ορθογώνια 5
Σχήμα : Συντλστής όψως για ομόκντρους παράλληλους δίσκους Σχήμα 5: Συντλστής όψως για κάθτα ορθογώνια μ κοινή ακμή Όλα αυτά τα αποτλέσματα που ίναι διαθέσιμα στη βιβλιογραφία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να υπολογιστούν συντλστές όψως σ πιο σύνθτς γωμτρίς Η διαδικασία αυτή γίνται πιο αποτλσματική άν ισάγουμ τις ξής πιπλέον βασικές σχέσις μταξύ των συντλστώ όψων: Ο συντλστής όψως μιας πιφάνιας i προς μια πιφάνια μπορί να υπολογισθί ως το άθροισμα των συντλστών όψως της πιφάνιας i προς τις πιμέρους μικρότρς πιφάνις που συνθέτουν την πιφάνια, δηλαδή άν K K τότ i i 6
Η παραπάνω σχέση, γνωστή ως ο κανόνας της υπέρθσης, σημαίνι απλώς ότι η ακτινοβολία που προσπίπτι σ μια πιφάνια ισούται μ το άθροισμα της ακτινοβολίας που προσπίπτι στα πιμέρους τμήματα Άρα μία σύνθτη πιφάνια μπορί να διασπαστί σ πιμέρους απλούστρς πιφάνις και να βρθούν υκολότρα οι πιμέρους συντλστές όψως Πολλαπλασιάζοντας την παραπάνω σχέση μ αμοιβαιότητας προκύπτι ότι K i i i i i i i + i i + + i i K + + + i i i K K i K K i i i i και φαρμόζοντας τις σχέσις i Σ ιδιαίτρς σύνθτς γωμτρίς όπου τα ολοκληρώματα δν υπολογίζονται αναλυτικά αλλά αριθμητικά οι αριθμητικές λύσις πιστοποιούνται ικανοποιώντας τις σχέσις αμοιβαιότητας και διατήρηση νέργιας Τέλος, αρχές συμμτρίας όπου ίναι φαρμόσιμς μπορούν να χρησιμοποιηθούν Μαθηματικές τχνικές για τον υπολογισμό των συντλστών όψως: Hottel s crossed - string method: βλέπ αμέσως παρακάτω Contour integration: pply Stoes theorem for reduction of the multiple integration over surface area to a single integration around the boundary of the area Differentiation of nown factors: Generation of view factors between differential elements by differencing nown factors between finite elements Μέθοδος των διασταυρούμνων χορδών (Hottel s crossed - string method Εφαρμόζται σ διατάξις όπου η μία διάσταση κτίνται στο άπιρο και η λύση δν ξαρτάται από τη συγκκριμένη διάσταση Μ τη φαρμογή του νόμου των διασταυρούμνων χορδών ίναι δυνατόν να υπολογίσουμ την μταφορά θρμότητας μ ακτινοβολία σ απέναντι πλυρές ττραπλύρων και σ πριπτώσις όπου υπάρχι μρική παρμπόδιση ανάμσα σ πιφάνις από την ύπαρξη άλλων σωμάτων Μία τυπική διάταξη όπου φαρμόζται μ πιτυχία η μέθοδος των διασταυρούμνων χορδών φαίνται στο Σχήμα 6 Τριγωνική κοιλότητα fgabcf: agf abc + agf abc cf agf Τριγωνική κοιλότητα adefga: agf def + agf def ad agf 7
Επίσης + + agf agf agf ( agf abc agf def agf abc agf agf def Σχήμα 6: Τυπική διάταξη για την φαρμογή της μθόδου των διασταυρούμνων χορδών Στη τλυταία σχέση αντικαθιστούμ τους συντλστές όψως και προκύπτι + agf agf cf ad abc def Επίσης agf agf agf και πομένως cf + ad abc def dιaστaυρο ύµeνeςcορd ές µηdιaστaυρο ύµeνeςcορd ές eπιϕάνeιa Εναλλαγή ακτινοβολίας σ μέλανς πιφάνις Έστω ότι οι δύο διαφορικές πιφάνις d και d του Σχήματος έχουν τα χαρακτηριστικά των μλανών πιφανιών σ θρμοκρασίς Τ και Τ Τότ η ισχύς ακτινοβολίας που απομακρύνται από την d και προσπίπτι στην d ίναι dq I cos cos cos cos cos d d I θ θ d d E θ θ d b q ω d d b d b S π S,,, Αντίστοιχα, η ισχύς ακτινοβολίας που απομακρύνται από την d και προσπίπτι στην d ίναι dq I cos cos cos cos cos d d I θ θ d d E θ θ d b q ω d d b d b S π S,,, Επομένως η καθαρή μταφρόμνη ισχύ ακτινοβολίας ανάμσα στις πιφάνις d και d ίναι 8
dq ( E E cosθ cosθ cos cos d b b d d ( T T θ θ s d d od πs πs ή d d,, ( ( dq σ T d σ T d σ T T d σ T T d d d d d d d d d Ολοκληρώνοντας ως προς τις πιφάνις ύκολα προκύπτι ότι η καθαρή μταφρόμνη ισχύ ακτινοβολίας ανάμσα στις πιφάνις και ίναι ( ( q σ T σ T σ T T σ T T Στη συνέχια, η παραπάνω προσέγγιση που ισχύι για δύο μέλανς πιφάνις, γνικύται θωρώντας τη μταφορά θρμότητας μ ακτινοβολία ανάμσα στις πιφάνις μίας κοιλότητας που αποτλίται από Ν μέλανς πιφάνις (Σχήμα Σχήμα : Ανταλλαγή ακτινοβολίας ανάμσα σ μέλανς πιφάνις μίας κοιλότητας Διατυπώνουμ το ισοζύγιο θρμότητας σ μία τυχαία πιφάνια της κοιλότητας Η θρμότητα που προσδίδται στην πιφάνια ώστ η θρμοκρασία της να παραμένι T ίναι Όταν > 0 τότ η πιφάνια θρμαίνται, νώ όταν το < 0 τότ η πιφάνια ψύχται Η ισχύ κπομπής ίναι E σt Το ισοζύγιο θρμότητας πριγράφται ως ξής: σ σ, T T όπου το άθροισμα ίναι ως προς όλς τις πιφάνις της κοιλότητας Εφαρμόζοντας τον κανόνα της αμοιβαιότητας και έχουμ ότι 9
σ σ σ σ σ σ T T T T T T ( σ T T Παράδιγμα : Έστω μία τριγωνική κοιλότητα μ πλυρές,, που διατηρούνται στις θρμοκρασίς T, T, T αντίστοιχα Να υπολογισθούν οι θρμότητς,, που προσδίδονται στις πιφάνις ώστ να διατηρηθούν στις δδομένς θρμοκρασίς Από τα ισοζύγια θρμότητας σ κάθ πλυρά της κοιλότητας έχουμ: ( σ( ( σ( ( σ( σ T T + T T σ T T + T T σ T T + T T Από τις παραπάνω ξισώσις ύκολα προκύπτουν οι ποσότητς,, Εάν ίναι γνωστές οι ποσότητς,, και πρέπι να υπολογίσουμ τις θρμοκρασίς T, T, T τότ ίναι απαραίτητο να πιλύσουμ ένα μη γραμμικό σύστημα Παρατηρούμ ότι το ισοζύγιο ( σ( ( + σ( + ( + σ( σ( T T σ( T T σ( T T σ( T T σ( T T σ( T T + + σ T T + T T + σ T T T T σ T T T T + + + + + 0 Σχέσις όπως η παραπάνω μπορούν να χρησιμοποιούνται για να λέγχται η ορθότητα των υπολογισμών 0
Εναλλαγή ακτινοβολίας σ αδιαφανίς, διαχυτικές και γκρίζς πιφάνις Έστω μία κοιλότητα που αποτλίται από Ν πιφάνις (Σχήμα Ο σκοπός ίναι να μλτήσουμ τη μταφορά θρμότητας μ ακτινοβολία ανάμσα στις πιφάνις μ τους ξής δύο τύπους οριακών συνθηκών: α Προσδιορισμός του ποσού θρμότητας που προσδίδται σ μία πιφάνια όταν η θρμοκρασία ίναι δδομένη και β Προσδιορισμός της θρμοκρασίας της πιφάνιας όταν η θρμότητα που προσδίδται στην πιφάνια ίναι γνωστή Οι υπολογισμοί βασίζονται στη μέθοδο των θρμικών ισοζυγίων και ναλλακτικά στη μέθοδο δικτύου Σχήμα : Κοιλότητα μ Ν πιφάνις Θρμικά ισοζύγια Διατυπώνουμ το ισοζύγιο θρμότητας σ μία τυχαία πιφάνια της κοιλότητας Οι ποσότητς G και J δηλώνουν την ιδική ολική θρμορροή που προσπίπτι και που απομακρύνται αντίστοιχα από την πιφάνια Όπως έχι αναφρθί ίναι γνωστές ως ακτινοβόληση (irradiation και ακτινοβόλος ισχύ (radiosity Η ποσότητα θρμότητας ανά μονάδα πιφάνιας που προσδίδται στην πιφάνια ώστ να διατηρίται σ σταθρή θρμοκρασία συμβολίζται μ q Το ισοζύγιο θρμότητας πριγράφται ως ξής: q ( J G (* ή q ( Ε α G Η ακτινοβόλος ισχύς ισούται μ την κπμπόμνη και την αντανακλώμνη ισχύ ακτινοβολίας, δηλαδή ( ( J E + ρg E + α G σt + G,
όπου έχουν χρησιμοποιηθί οι σχέσις ρ ( α ( αδιαφανίς και γκρίζς πιφάνις Επιλύοντας για την ακτινοβόληση βρίσκουμ J E J Eb G που ισχύουν για Αντικαθιστώντας το αποτέλσμα αυτό στο ισοζύγιο νέργιας (* προκύπτι J J E b ή ( E J b (** Για να χρησιμοποιήσουμ την παραπάνω ξίσωση θα πρέπι να γνωρίζουμ την ακτινοβόλο ισχύ J Μία δύτρη έκφραση για την ακτινοβόλο ισχύ J προκύπτι υπολογίζοντας την ακτινοβόληση G της πιφάνιας από όλς τις πιφάνις της κοιλότητας: G J + J + + J + + J + + J G J J J Αντικαθιστώντας το αποτέλσμα αυτό στο ισοζύγιο νέργιας (* προκύπτι J J (*** ή J J ( J J Η ποσότητα ίναι η θρμότητα που προσδίδται στην πιφάνια μ αγωγή ή/και συναγωγή ή ναλλακτικά η απώλια θρμότητας από την πιφάνια λόγω ακτινοβολίας προς την κοιλότητα Οι ξισώσις (** και (*** ίναι ισοζύγια νέργιας ανάμσα στη καθαρή μταφορά θρμότητας μ ακτινοβολία και στη θρμότητα που προσδίδται μ αγωγή ή/και συναγωγή Γράφοντας τις ξισώσις (** και (*** για κάθ πιφάνια προκύπτουν Ν ξισώσις για τους Ν αγνώστους που αποτλούνται από τις Ν ακτινοβόλς ισχύς J και ανάλογα μ τις οριακές συνθήκς τις Ν θρμορροές ή θρμοκρασίς T Θα δίξουμ στη συνέχια ότι τα ξισώσις για τα ή T J μπορούν να απαλιφθούν και να απομίνουν μόνο Ν
Παράδιγμα : Έστω δύο πολύ μγάλς παράλληλς πλάκς μ θρμοκρασίς T και T ( T > T Να προσδιοριστί η καθαρή θρμορροή ακτινοβολίας ανάμσα στις πλάκς (Σχήμα Σχήμα : Μταφορά θρμότητας μ ακτινοβολία ανάμσα σ παράλληλς πλάκς Προφανώς Οι ξισώσις (** και (*** γράφονται ως ξής: σt J Πλάκα : ( σt J Πλάκα : ( J J J J Από τις (*** προκύπτι ότι, νώ από τις (** έχουμ J σt και Αντικαθιστώντας τις δύο παραπάνω σχέσις βρίσκουμ: J σt σt + ( T T σ + Εναλλακτικά θα μπορούσ να γνωρίζουμ τη θρμορροή και θρμοκρασία T και να υπολογίσουμ από το παραπάνω αποτέλσμα την άγνωστη θρμοκρασία T Για παράλληλς πλάκς μ ππρασμένς πιφάνις και φαρμόζοντας την αντίστοιχη ανάλυση προκύπτι ότι: ( T T σ + +
Παράδιγμα : Έστω τριγωνική κοιλότητα απίρου μήκους Να υπολογισθούν οι θρμορροές πιφάνις ώστ να παραμένουν στις θρμοκρασίς T,,, (Σχήμα στις Σχήμα : Τριγωνική κοιλότητα απίρου μήκους Πλυρά : ( σt J Πλυρά : ( σt J Πλυρά : ( σt J J J J J J J J J J J J J Η πρώτη ξίσωση από τα ζυγάρια ξισώσων πιλύται για τις ποσότητς J, J και J και οι προκύπτουσς κφράσις αντικαθίστανται στην αντίστοιχη δύτρη ξίσωση Παίρνουμ το παρακάτω σύστημα τριών ξισώσων για τα, και : T T T ( σ σ σ + σt + ( σt σt + σt σt + ( σt Το γραμμικό σύστημα των τριών ξισώσων πιλύται για τους αγνώστους, και Για οι παραπάνω ξισώσις ανάγονται σ αυτές του μέλανος σώματος που δν αποτλούν σύστημα και ίναι σ ρητή μορφή
Όταν η πιφάνια στη πίσω πλυρά της ίναι καλά μονωμένη θωρίται αδιαβατική και στη πρίπτωση αυτή η καθαρή θρμορροή θωρίται μηδνική, δηλαδή 0 Αυτό συνπάγται ότι η πιφάνια πανακτινοβολί όλη την προσπίπτουσα ακτινοβολία και ονομάζται πανακτινοβολούσα πιφάνια (reradiating surface Στις πριπτώσις αυτές φαίνται από την ξίσωση (** ότι J Eb σt και η ακτινοβόλος ισχύ δν ξαρτάται από την ικανότητα κπομπής Ολοκληρώνοντας τη μέθοδο των θρμικών ισοζυγίων σημιώνται ότι ξισώνοντας τις δξιές πλυρές των ξισώσων (** και (*** απαλίφονται οι θρμορροές και προκύπτι ένα σύστημα Ν ξισώσων που πριλαμβάνι τις ακτινοβόλους ισχύς J και τις θρμοκρασίς T : ( Eb J J J J ( J σ T Στη πρίπτωση αυτή πιλύται το σύστημα πρώτα για τα υπολογίζονται τα J και μτά από την (*** Είναι ιδιαίτρα σημαντικό να τονίσουμ ότι η μθοδολογία βασίζται στην υπόθση ότι η ακτινοβόλος ισχύς J στις ξισώσις (** και (*** που απομακρύνται από κάθ πιφάνια κατανέμται ομοιόμορφα, δηλαδή ίναι σταθρή σ όλη την πιφάνια Πολλές φορές αυτό δν ισχύι και τότ οι λύσις ίναι προσγγιστικές Εναλλακτικά, όταν ο αριθμός των πιφανιών ίναι σχτικά μικρός φαρμόζται η μέθοδος του δικτύου που βασίζται στη προσέγγιση των θρμικών ισοζυγίων μ ηλκτρικό κύκλωμα Για παράδιγμα στο ισοζύγιο ( E J b ισχύι ότι: Διαφορά δυναμικού: Eb J, Ένταση ρύματος:, Αντίσταση: R 5
Ασπίδς ακτινοβολίας Οι ασπίδς ακτινοβολίας κατασκυάζονται από υλικά χαμηλής ικανότητας κπομπής και υψηλή ικανότητα αντανάκλασης και χρησιμοποιούνται ώστ να λαττώσουν την καθαρή θρμορροή ανάμσα σ δύο πιφάνις Έστω δύο παράλληλς πλάκς μγάλης πιφάνιας σ θρμοκρασίς T και T μ ικανότητα κπομπής και Όπως ήδη γνωρίζουμ η καθαρή ναλλαγή θρμότητας μ ακτινοβολία ίναι q q q ( T T σ + Εάν τοποθτήσουμ ανάμσα μία τρίτη πλάκα σ θρμοκρασία T α μ ικανότητα κπομπής α, α προς τη πλάκα και αντίστοιχα τότ έχουμ: q α ( α σ T T σt σt + α α, q α ( α σ T T σt σt + B B α α σt σtα σtα σt σt σt q a qa σta + + B B B B σt σt T + α B σ + B αντικαθιστούμ τη ποσότητα αυτή στο q : q q σt σt σt + B σt σt σt σt + + B + + B B B B ( T ( T σ T T σ α α + + + + + + α α α α Παρατηρούμ ότι για μικρές τιμές των α, α η θρμορροή μιώνται δραστικά Για Ν ασπίδς ακτινοβολίας μ όλα τα (και των πλακών ίσα αποδικνύται ότι η ακτινοβολία μιώνται Ν+ φορές 6
Παράδιγμα : Κρυογνικό ρυστό ρέι σ κυλινδρικό αγωγό μγάλου μήκους και διαμέτρου D, του οποίου η ξωτρική πιφάνια ίναι διαχυτική και γκρίζα μ και θρμοκρασία T Ο αγωγός προστατύται από ξωτρικό ομόκντρο κύλινδρο διαμέτρου D μ και θρμοκρασία T Κ Ο χώρος μταξύ των δύο κυλίνδρων ίναι σ πολύ χαμηλή πίση (κνό μ αποτέλσμα η μτάδοση θρμότητας να γίνται μόνο μ ακτινοβολία Το ποσό θρμότητας ανά μονάδα μήκους που μταφέρται στον κρυογνικό σωλήνα ίναι: q L ( πd ( σ T T D + D Για να μιωθί η θέρμανση του κρυογνικού αγωγού τοποθτίται κυλινδρική ασπίδα ακτινοβολίας διαμέτρου D α και α αστη μέση της απόστασης ανάμσα στον σωτρικό και ξωτρικό κύλινδρο Να υπολογισθί η μιωμένη θρμορροή που προσδίδται στον κρυογνικό σωλήνα Η θρμορροή δίδται από τη σχέση ( T T q' σ L α + + + + πd πd πd πd πd α α α α α ( πd ( σ T T q' L α D D D + + + D D D q' q α α α α D + D α D D D + + + D D D α α α α Παρατηρούμ ότι για μικρές τιμές του α η θρμορροή μιώνται δραστικά Επίσης, θα πρέπι ο λόγος D / D α να ίναι όσο πιο κοντά στη μονάδα, δηλαδή η ασπίδα προστασίας θα πρέπι να βρίσκται όσο γίνται πιο κοντά στον σωτρικό αγωγό αυξάνοντας τη θρμική προστασία του κρυογνικού αγωγού 7
5 Γνίκυση σ πιφάνις μ μη ομοιόμορφη προσπίπτουσα, ανακλώμνη και κπμπόμνη ακτινοβολία Η μέχρι τώρα ανάλυση βασίζται στην διαίρση της κοιλότητας σ πιμέρους πιφάνις ππρασμένου μβαδού και στη συνέχια γίνται η υπόθση ότι η θρμοκρασία, η ακτινοβόληση και η ακτινοβόλος ισχύς παραμένουν ομοιόμορφς και σταθρές σ κάθ πιφάνια της κοιλότητας Εάν σ κάποια από τις πιμέρους πιφάνις οι ποσότητς αυτές δν ίναι σταθρές η πιφάνια θα πρέπι να διαιρθί σ μικρότρα τμήματα έτσι ώστ σ κάθ τμήμα οι ποσότητς αυτές να ίναι σταθρές Ακολουθώντας αυτή τη προσέγγιση οι πιφάνις της κοιλότητας ή κάποις από αυτές θα διαιρούνται σ απιροστά μικρά τμήματα και πλέον θα ίναι δυνατόν να ληφθούν υπόψη μγάλς αλλαγές στα μγέθη T,, G και J Η προσέγγιση αυτή μας οδηγί στη διατύπωση των ισοζυγίων θρμότητας μέσω ολοκληρωτικών ξισώσων που πιλύονται αναλυτικά και αριθμητικά Θωρούμ πάλι μία κοιλότητα που αποτλίται από Ν πιφάνις ππρασμένου μβαδού και η κάθ μία διαιρίται σ διαφορικές πιφάνις, δηλαδή σ πιφάνις μ απιροστά μικρό μβαδόν (Σχήμα Παραμένι η υπόθση ότι οι πιφάνις ίναι διαχυτικές και γκρίζς Ο πιπλέον πριορισμός ίναι ότι οι ιδιότητς ακτινοβολίας ίναι ανξάρτητς της θρμοκρασίας Σχήμα : Κοιλότητα μ Ν πιφάνις μ μη ομοιόμορφη ακτινοβολία Το ισοζύγιο θρμότητας στην πιφάνια d πριγράφται ως ξής: q J G (* Η ακτινοβόλος ισχύς ισούται μ την κπμπόμνη και την αντανακλώμνη ισχύ ακτινοβολίας: ( ( J E + ρg E + α G σt + G Επιλύοντας για την ακτινοβόληση βρίσκουμ 8
G J E J E b το αποτέλσμα αυτό στο ισοζύγιο νέργιας (* προκύπτι q J J E b ή q ( E b J ( σt J (** Για να χρησιμοποιήσουμ την παραπάνω ξίσωση θα πρέπι να γνωρίζουμ την ακτινοβόλο ισχύ J Μία δύτρη έκφραση για την ακτινοβόλο ισχύ J προκύπτι υπολογίζοντας την ακτινοβόληση G της πιφάνιας από όλς τις πιφάνις της κοιλότητας: ( r ( r r ( r ( r r d G J d, d + J d, d + d d d d ( ( ( * r * ( * r, r r r, r ( (, d d r r r + J d d + + J d d + + J d d d d d d Εισάγοντας το κανόνα της αμοιβαιότητας J ( r dd d ( r, r d J ( r dd d ( r, r d d J ( r dd d ( r, r στη παραπάνω σχέση βρίσκουμ d G d J ( r dd d ( r, r Αντικαθιστώντας το αποτέλσμα αυτό στο ισοζύγιο νέργιας (* προκύπτι ( r ( r, r (*** q J J d d d cosθcosθ Υπνθυμίζουμ ότι μ βάση τον ορισμό dd d d ο συντλστής π S όψως dd d πριλαμβάνι την διαφορική πιφάνια d Συνηθίζται η ξίσωση (*** να γράφται στη πιο βολική μορφή 9
( r ( r, r q J J K d όπου ( ( K r, r d r, r / d ίναι ο πυρήνας (ernel της ολοκληρωτικής ξίσωσης d d Γνικά έχουμ και πάλι δύο πριπτώσις: Όταν οι θρμοκρασίς και οι θρμορροές ίναι σημαντικές τότ οι (** και (*** συνδυάζονται και απαλίφονται οι ακτινοβόλος ισχύς, ώστ να προκύψι ένα σύστημα που να συνδέι τις θρμοκρασίς μ τις θρμορροές Όταν οι ακτινοβόλος ισχύς ίναι σημαντικές τότ οι (** και (*** συνδυάζονται και απαλίφονται οι θρμορροές, ώστ να προκύψι ένα σύστημα που συνδέι τις θρμοκρασίς μ τις ακτινοβόλους ισχύς Στη δύτρη πρίπτωση το σύστημα έχι τη μορφή J ( e J ( r dd d ( r, r eσ T Παράδιγμα 5: Έστω τριγωνική κοιλότητα που στην αξονική διύθυνση κτίνται στο άπιρο Η πλυρά θρμαίνται ομοιόμορφα, η πλυρά ίναι σ ομοιόμορφη θρμοκρασία και η πλυρά έχι χαρακτηριστικά μλανής πιφάνιας σ θρμοκρασία μηδέν Να βρθί η ολοκληρωτική ξίσωση που πριγράφι τη κατανομή θρμοκρασίας της πλυράς q σταqρή q q ( r T 0 0 J r σt r q Πλυρά : ( ( Πλυρά : J ( r σt q ( r Πλυρά : J σt q J 0 Πλυρά : q J ( r J ( r d ( r, r J ( r d ( r, r d d d d q σt q σt q d ( r, r d d 0
q + q σt σt d + q d ( r, r ( r, r d d d d q σt T d + q d ( r σ ( r, r ( r ( r, r d d d d Πλυρά : q J ( r J ( r d ( r, r J ( r d ( r, r d d d d q σt q T q d ( r σ ( r ( r, r d d q T T d q d ( r σ σ ( r ( r, r + ( r, r d d d d Πλυρά : Δν χριάζται η αντίστοιχη ξίσωση αφού οι δύο παραπάνω δν πριέχουν την θρμορροή q αφού και T 0 Οι παραπάνω ξισώσις απλοποιούνται άν ισάγουμ τις σχέσις dd d( r, r d και d ( r, r Τα ισοζύγια θρμότητας ξαναγράφονται στη μορφή q σt T + q d ( r σ ( r ( r, r d d d q T T d + q ( r σ σ ( r ( r, r d d d d d d Το σύστημα των δύο ολοκληρωτικών ξισώσων πιλύται για τους αγνώστους q( r και ( T r