5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και f f, τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας τουλάχιστον ( αβ, ), τέτοιος ώστε f η. Μονάδες 7 Α. Έστω μια συνάρτηση f και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Πότε θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο ; Μονάδες 4 Α. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο; Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν για δύο συναρτήσεις f, g ορίζονται οι συναρτήσεις f g και g f, τότε ισχύει πάντοτε ότι f g g f. β) Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α βi και γ δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους. γ) Για κάθε ισχύει ότι ( συν) ημ. δ) Έστω f μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α,β]. Αν ισχύει ότι f() για κάθε [ αβ, ] και η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα β αυτό, τότε f d. α ε) Αν lim f και f κοντά στο, τότε lim. f ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: z 4 z. Μονάδες Β. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων αυτών των μιγαδικών αριθμών Ζ είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ=. Μονάδες 7 z z Β. Έστω w z z, όπου z, z δύο μιγαδικοί αριθμοί του ερωτήματος Β. Να αποδείξετε ότι: ΠΕΙΡΑΙΑΣ: Αγ. Κωνσταντίνου (5 ος όροφος), τηλ.: 45 ΜΑΡΟΥΣΙ: Δ. Ράλλη ( ος όροφος), τηλ.: 6458 thsmos@otnt.gr
5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ α) Ο w είναι πραγματικός και (μονάδες 4) β) 4 w 4. (μονάδες 7) Μονάδες Β. Αν w 4, όπου w είναι ο μιγαδικός αριθμός του ερωτήματος Β, να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους μιγαδικούς αριθμούς z, z και να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τις εικόνες A( z ), B( z ), Γz ( ) των μιγαδικών αριθμών z, z και z, με z iz, είναι ισοσκελές. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f,. Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (, ). Μονάδες 6 Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f έχει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών μία ακριβώς ρίζα. Μονάδες 5 8 Γ. Να αποδείξετε ότι f f t dt για κάθε. Μονάδες 4 f t dt, g, Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο [, ). Μονάδες 7 Γ4. Δίνεται η συνάρτηση ΘΕΜΑ Δ Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύουν: f f f για κάθε και f. Δ. Να αποδείξετε ότι f ln,. Μονάδες 5 Δ. α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f. (μονάδες ) β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, την ευθεία y και τις ευθείες και. (μονάδες 4) Μονάδες 7 Δ. Να υπολογίσετε το όριο: lim f t dt ln f. Μονάδες 6 ΠΕΙΡΑΙΑΣ: Αγ. Κωνσταντίνου (5 ος όροφος), τηλ.: 45 ΜΑΡΟΥΣΙ: Δ. Ράλλη ( ος όροφος), τηλ.: 6458 thsmos@otnt.gr
5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ f t dt 8 f t dt Δ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (,). Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 94. Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 88. Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 59. Α4. α Λ, β Σ, γ Λ, δ Σ, ε Σ ΘΕΜΑ Β Β. Είναι z 4 z ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ άρα z 4 4 z z 4z 4 4z z zz 4z 4z 6 4zz 4z 4z 4 zz zz 4 άρα z 4 z. Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο Ο(,) και ακτίνα. Β. α) Οι εικόνες των z, z ανήκουν στον παραπάνω κύκλο, άρα και z z 4 z z 4 z z z 4 z z 4 z 4 z 4 z. 4 4 z z z z Είναι w z z 4 4 z z w z z z z αφού w w ο w είναι πραγματικός αριθμός (γιατί w w w w i Im w Im w w ). ος τρόπος z z z Είναι w z z z z z 4 4 Άρα ο w. z z z z z z z z R z z R z z ΠΕΙΡΑΙΑΣ: Αγ. Κωνσταντίνου (5 ος όροφος), τηλ.: 45 ΜΑΡΟΥΣΙ: Δ. Ράλλη ( ος όροφος), τηλ.: 6458 thsmos@otnt.gr
5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ β) Αρκεί να δείξουμε ότι w 4 w 4 w 4 z z z z z z z z Είναι από την τριγωνική ανισότητα 4 z z z z z z. z z z z z z z z z z Β. Αν w 4 τότε 4 z z z z z z z z z z. Άρα z z () A(z ). Είναι Γ(z ) Β(z ) () AB z z z z 4. ΑΓ z z z iz z i z 4 5. ΒΓ z z iz z z i z i 5. Είναι (ΑΓ)=(ΒΓ) άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. ΘΕΜΑ Γ f,. Γ. Η f ως πηλίκο συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων (εκθετικής, πολυωνυμικής) είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο με f f, f Για (, ) είναι f() και η f συνεχής στο,. f f + + + ΠΕΙΡΑΙΑΣ: Αγ. Κωνσταντίνου (5 ος όροφος), τηλ.: 45 ΜΑΡΟΥΣΙ: Δ. Ράλλη ( ος όροφος), τηλ.: 6458 thsmos@otnt.gr
5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Για (, ) είναι f() και η f συνεχής στο,. αύξουσα στο,. Επομένως η f γνησίως αύξουσα στο είναι το γιατί αφού και lim f, lim f, lim f lim lim lim και lim lim f lim lim lim DLH DLH Γ. Είναι f Άρα η f γνησίως και συνεχής, άρα το σύνολο τιμών της, άρα η εξίσωση γίνεται 5 f f f f. ά Η f στο είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα. Το,, που είναι το σύνολο τιμών της. Επομένως η εξίσωση έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα. Γ. Είναι f t dt f, f t dt f t dt α α f u Θεωρούμε τη συνάρτηση Η f είναι συνεχής στο f t dt f,. κ α f t dt, u, α. άρα ορίζεται στο η κ και είναι παραγωγίσιμη με κu f u,. Η κ στο διάστημα,, α ως παραγωγίσιμη είναι συνεχής. Στο (,) είναι παραγωγίσιμη. Επομένως ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού, δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον, κ κ f t dt f t dt α α κ f () f Είναι f f f () ώστε ΠΕΙΡΑΙΑΣ: Αγ. Κωνσταντίνου (5 ος όροφος), τηλ.: 45 ΜΑΡΟΥΣΙ: Δ. Ράλλη ( ος όροφος), τηλ.: 6458 thsmos@otnt.gr
5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ f tdt f t dt f f t dt f t dt f f t dt f, ος τρόπος f Είναι για κάθε με t f t f Άρα f tdt f dt f tdt f,. Γ4. Από το ερώτημα Γ είναι g f t dt f t,, Για η g ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών και παραγωγίσιμων είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με κ 4 κ κ κ g 4f f f t dt f tdt α α f f f tdt f t dt f f γιατί από το Γ ερώτημα, σχέση (), έχω: f άρα f f και f t dt f t dt f f t dt 4f f lim g lim lim DLH,, g στο,. 4f f f g Άρα η g συνεχής στο Επομένως η g γνησίως αύξουσα στο,. f συν. f ΠΕΙΡΑΙΑΣ: Αγ. Κωνσταντίνου (5 ος όροφος), τηλ.: 45 ΜΑΡΟΥΣΙ: Δ. Ράλλη ( ος όροφος), τηλ.: 6458 thsmos@otnt.gr
5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΘΕΜΑ Δ Δ. Είναι f f f f f f f f,. Άρα από συνέπεια θεωρήματος Μέσης Τιμής είναι f f f Για δίνει c c. f f Επομένως,. f f c,. f f f f f f f, ( ) Έστω Τότε έχουμε f H,. H Υποθέτουμε ότι υπάρχει Η () για δίνει: Επομένως Όμως, ( ) ώστε H. αδύνατη στο. H για κάθε και συνεχής, άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο. f δηλαδή H για κάθε. H, f H, f ln,. δηλαδή Παρατήρηση: Είναι, ισχύει,, ισχύει Δ. α) Η f ως σύνθεση συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο με f,. Η f ως πηλίκο συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο με ΠΕΙΡΑΙΑΣ: Αγ. Κωνσταντίνου (5 ος όροφος), τηλ.: 45 ΜΑΡΟΥΣΙ: Δ. Ράλλη ( ος όροφος), τηλ.: 6458 thsmos@otnt.gr
5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ f, f f Είναι f στο,. Η f συνεχής στο,, άρα η f γνησίως αύξουσα στο,, δηλαδή η f κυρτή στο,. Και f στο,, η f συνεχής στο,, άρα η f γνησίως φθίνουσα στο,, δηλαδή η f κοίλη στο,. Στο ως παραγωγίσιμη η f δέχεται εφαπτομένη, άρα το σημείο, f, δηλαδή η αρχή των αξόνων, είναι Σημείο Καμπής της f. β) Η εξίσωση της εφαπτομένης στην C στο Σ.Κ. είναι f y f f y. Η f στο [,] είναι συνεχής και κοίλη, άρα f εφ f (η ισότητα ισχύει στο σημείο επαφής, δηλαδή για ). Λ f,, Έστω Η Λ συνεχής στο [,] και Λ, άρα E Λ d f d d f d f d f d f f d f d d ln ln ln ln τμ.. f f + + ΠΕΙΡΑΙΑΣ: Αγ. Κωνσταντίνου (5 ος όροφος), τηλ.: 45 ΜΑΡΟΥΣΙ: Δ. Ράλλη ( ος όροφος), τηλ.: 6458 thsmos@otnt.gr
5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ f Δ. Είναι άρα γιατί αφού f f f t dt lim f ln f f f tdt f tdt f lim lim o DLH f f f t dt lim, f συν. και lim f συν. lim o f f και f f f u ln f ln f lim lim lim DLH u u u το u f u u lim f ln lim στο u u u Δ4. Θεωρώ τη συνάρτηση Λ f t dt 8 f tdt για,. Η Λ είναι ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχής στο [,]. και Λ f tdt, : Λ f t dt 8 Είναι από το Δβ ερώτημα για κάθε t (η ισότητα μόνο για t ) άρα άρα t 8 f t dt t dt δηλαδή, : f t t f t dt 8, και για κάθε t άρα Λ f t t f t t (η ισότητα μόνο για t ) t f t dt t dt άρα Επομένως Λ Λ. f t dt f t dt Λ. ΠΕΙΡΑΙΑΣ: Αγ. Κωνσταντίνου (5 ος όροφος), τηλ.: 45 ΜΑΡΟΥΣΙ: Δ. Ράλλη ( ος όροφος), τηλ.: 6458 thsmos@otnt.gr
5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Εφαρμόζεται για τη Λ στο [,] το θεώρημα Bolzano, άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον, ώστε Λ. Επιμέλεια: Σ. ΚΟΥΤΣΟΥΒΕΛΗΣ Π. ΛΥΓΚΩΝΗΣ Μ. ΣΙΜΙΤΖΟΓΛΟΥ Δ. ΣΤΡΟΥΖΑΚΗΣ Δ. ΝΤΖΟΥΡΟΠΑΝΟΣ ΠΕΙΡΑΙΑΣ: Αγ. Κωνσταντίνου (5 ος όροφος), τηλ.: 45 ΜΑΡΟΥΣΙ: Δ. Ράλλη ( ος όροφος), τηλ.: 6458 thsmos@otnt.gr