ΘΕΜΑ Α Α1. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 15 Α. α) Ψ β) Σχήμα 1 και μελέτη της f, όπου η f είναι συνεχής στο και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α. Ορισμός σελ. 7 Α. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΘΕΜΑ Β f() ln, και g(), 1 1 Β1... f g.. f g.. g g.. f R 1,,1 1,,1 1,1.. f g,1, γιατί: 1 προσήμων προκύπτει,1., δηλαδή αρκεί 1, όπου με πίνακα Ακόμα, ο τύπος της f g είναι f g ln 1 Β. h f g ln,,1 1 Η h είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις και σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με 1 1 1 1 1 1 h, 1 1 1 1 1 h,1, δηλαδή η h είναι 1-1 οπότε αντιστρέφεται. άρα
y y Θέτω y ln 1 1 1 y y y y y 1, για κάθε y R και πρέπει y 1 y y y y,1 1,, που ισχύει και 1 1, που ισχύει. y 1 1 Άρα h 1 με.. 1 R h 1 () h, 1 με.. R φ παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με 1 για κάθε R. 1 1 1 B. Έστω Επομένως η είναι γνησίως αύξουσα στο R και δεν παρουσιάζει ακρότατα. παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + O - Σ.Κ.
Για, Για, Στο η φ στρέφει τα κοίλα άνω. η φ στρέφει τα κοίλα κάτω. 1 1, η φ παρουσιάζει σημείο καμπής το 1 Άρα..:,, R 1 Β.. 1 1 lim lim lim 1 1 1 1 lim lim 1 1 οριζόντια στο, η y 1. οριζόντια στο, η y δηλαδή ο. ΘΕΜΑ Γ Γ1. Έστω M,f το σημείο επαφής μιας εφαπτομένης της f εφαπτομένης είναι: y f f, όπου f και C τότε η εξίσωση της f.
Θα δείξουμε ότι υπάρχουν δυο ακριβώς, τέτοια ώστε η (ε) να διέρχεται από το,, δηλαδή. Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση έχει δυο ακριβώς ρίζες στο,. Θεωρούμε τη συνάρτηση g με τύπο g, όπου g 1 και g 1. Η g είναι παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με g Ο πίνακας μονοτονίας της g είναι - - O + O - g O - O + g. για κάθε, ως πράξεις συνεχών, άρα g στο,. g για κάθε, και η g συνεχής στο,,άρα g στο,. g Άρα η g παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο και στο : : y 1 y Για 1 Για : : y 1 y Γ. Οι γραφικές παραστάσεις των ευθειών είναι: O O 1 g g. με τιμή : y, : y και της συνάρτησης f
Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη, είναι: C f και τις ευθείες 1 1 1, όπου το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη άξονα είναι: Cf και τον E f d f d d 1 111.. 1 1 και το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι.. : 1 1 1 Οπότε η (1) γίνεται: 1 1 1 1. 8 Γ. Η f είναι κυρτή στο, και η εφαπτομένη της Cf στο B(,) f f y f, για κάθε,. Άρα Γ. Η f είναι κυρτή στο, και y ισότητα να ισχύει μόνο για. Άρα f για κάθε 1,, άρα f είναι y, άρα f lim f, η εφαπτομένη στο B(,), για κάθε 1, 1 για κάθε 1,., άρα f, οπότε f με την
f Έστω K 1 K(), όπου Κ συνεχής στο για κάθε 1,, τότε 1 1 1 1 1 1, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων με f () K()d 1 d f () f () d 1 d d ln 1 f () f () d ln 1 ln1 d 1 1 1 ΘΕΜΑ Δ Δ1. f () Η f είναι συνεχής στο, 1,,, πολυωνυμική και συνεχής στο 1, ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων, Η f είναι συνεχής στο, ως πράξεις των συνεχών συναρτήσεων εκθετική, άρα και στο, και συνεχής στο R άρα και στο Στο lim f () lim και limf () limf () f () f f () Κρίσιμα σημεία της f H f παραγωγίσιμη στο συνεχής στο R ως συνεχής στο R ως, lim f () lim συνεχής στο 1, ως πράξη και σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με 1 1 f 1
Η f παραγωγίσιμη στο f. Στο f ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με f () f () lim lim lim lim lim f () f () lim lim lim lim 11 1, 1, f,, Εσωτερικά σημεία όπου η f δεν παραγωγίζεται Εσωτερικά σημεία όπου η Στο 1, f Αδύνατη f Στο η, η f ύ, Όμως,, άρα έχει δυο κρίσιμα σημεία τα:,.
για κάθε 1, Η f είναι συνεχής στο 1, f για κάθε, Δ. f άρα η f στο 1, f, 1 f, f ή, f, f ή, f, f, Ο πίνακας μονοτονίας της f είναι: f -1 π
Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο -1 με τιμή f 1 1, τοπικό ελάχιστο στο με τιμή f, τοπικό μέγιστο στο με τιμή f τοπικό ελάχιστο στο π με τιμή f., Άρα η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο και στο π και ολικό μέγιστο στο. Η f στο 1, 1 και f συνεχής στο Δ 1 άρα f 1 f,f 1 f 1,1 Η f στο, και f συνεχής στο Δ άρα f f,f f, Η f στο, και f συνεχής στο Δ άρα f f,f f, Άρα το σύνολο τιμών είναι το f 1 f f,.
Δ. Θεωρούμε συνάρτηση K() f g ορισμένη στο,. 5 K(),,. Η Κ είναι συνεχής στο, ως πράξεις και σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Το ζητούμενο E K()d, 1 (1) εμβαδόν είναι:, 1 1 1 () (1) (),, Άρα K(),, 5 5 E K()d d d d I1 d d d d d d 1 1 1 1 1 d I 1 I
I 5 5 5 5 1 d 5 5 5 5 5 Άρα 5 5 1 1 5 7 1 5 5 1 E K()d I I.. Δ. 16 f () 8 Λύνουμε την εξίσωση ως προς f () : 16f () 8 16f () 8 8 16f () 8 f () f () 16 16 (από ορισμό ολικού μεγίστου) Όμως f (), 1,. 16 16 Οπότε.